Vật lý đại cương - Phần cơ học pdf

11/15/2011
1
HOÀNG ĐỨC TÂM
11/15/2011 Hoang Duc Tam 2
11/15/2011
2
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
1. Các khái niệm mở ñầu
2. Phương trình chuyển ñộng và quĩ ñạo
3. Vận tốc và gia tốc
4. Các chuyển ñộng cơ học ñơn giản
11/15/2011 Hoang Duc Tam 3
1. Các khái niệm mở đầu
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
Chuyển ñộng cơ học: Sự chuyển
ñộng trong cơ học là sự thay ñổi vị
trí tương hỗ của các vật.
Chuyển ñộng xảy ra trong
không gian và thời gian, không gian
và thời gian là không thể tách rời.
Hệ qui chiếu: Tập hợp các vật
không chuyển ñộng ñối với nhau
mà người ta khảo sát sự chuyển
ñộng của một vật nào ñó ñối với
chúng và các ñồng hồ tính thời
gian tạo thành một hệ qui chiếu.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 4
Chuyển ñộng và hệ qui chiếu
11/15/2011
3
11/15/2011 Hoang Duc Tam 5

1. Các khái niệm mở đầu (tt)
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
Chuyển ñộng và hệ qui chiếu (tt)
Chất ñiểm: Một vật mà trong
những ñiều kiện của bài toán ñã
cho có thể bỏ qua các kích thước
của nó ñược gọi là một hệ chất
ñiểm.
Hệ chất ñiểm: Một tập hợp chất
ñiểm ñược gọi là hệ chất ñiểm. Vật
rắn là một hệ chất ñiểm trong ñó
khoảng cách giữa các chất ñiểm
không thay ñổi.
Chất ñiểm và hệ chất ñiểm
1. Các khái niệm mở đầu (tt)
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
 Để xác ñịnh chuyển ñộng của chất ñiểm, người ta thường gắn vào hệ qui
chiếu một hệ tọa ñộ.

 Hệ tọa ñộ Descartes thường có ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng
ñôi một tạo thành một tam diện thuận Oxyz, O là gốc tọa ñộ.

 Vị trí của một chất ñiểm trong không gian ñược xác ñịnh bởi ba tọa ñộ x, y,
z, ba tọa ñộ này cũng chính là ba tọa ñộ của véc-tơ bán kính ܱܯ
= ݎ
Ԧ
.
Phương trình chuyển ñộng
11/15/2011 Hoang Duc Tam 6
Phương trình chuyển động và quĩ đạo

11/15/2011
4
11/15/2011 Hoang Duc Tam 7
1. Các khái niệm mở đầu (tt)
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
Phương trình chuyển ñộng (tt)
M
࢘

Khi chất ñiểm M chuyển ñộng,
các tọa ñộ x, y, z là hàm của thời
gian t:


=



=



=



x f(t)
M y g(t)
z h(t)
hay

=
 
r r(t)
Các phương trình này gọi là
những phương trình chuyển ñộng
của chất ñiểm M
Quĩ ñạo : Khi chuyển ñộng chất ñiểm vẽ nên một ñường nào ñó. Đường này
ñược gọi là quĩ ñạo. Tùy theo dạng của quĩ ñạo người ta phân biệt chuyển
ñộng thẳng, chuyển ñộng tròn, chuyển ñộng cong,v.v…
Phương trình chuyển động và quĩ đạo (tt)
11/15/2011 Hoang Duc Tam 8
2. Vận tốc và gia tốc
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
Vận tốc
 Trong ñời sống hằng ngày, vận tốc là quãng ñường vật ñi ñược trong một
ñơn vị thời gian. Nếu trong những khoảng thời gian nhỏ tùy ý vật ñi ñược
những quãng ñường như nhau, thì chuyển ñộng của vật là chuyển ñộng
ñều. Khi ñó vận tốc của vật có thể tính bằng cách lấy quãng ñường cho thời
gian.

 Trong vật lí, vận tốc là ñại lượng ñặc trưng
không chỉ cho ñộ nhanh hay
chậm của sự chuyển dời của hạt theo quĩ ñạo mà còn cho cả hướng trong
ñó hạt chuyển ñộng tại mỗi thời ñiểm.
11/15/2011
5
11/15/2011 Hoang Duc Tam 9
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
 Xét chuyển ñộng của chất ñiểm M ñối với hệ qui chiếu K ñược qui ước là
ñứng yên. Giả sử chất ñiểm M chuyển ñộng trên ñường cong AB.

 Vị trí của M ñối với hệ qui chiếu K ñược xác ñịnh bằng véc-tơ
࢘ kẻ từ gốc
tọa ñộ ñến chất ñiểm M, ࢘ là hàm theo thời gian ࢘ = ࢘(࢚).

 Ở thời ñiểm
࢚+ ∆࢚, chất ñiểm ở vị trí: ࢘ ࢚+ ∆࢚ = ࢘ ࢚ +∆࢘. Véc-tơ vận
tốc tại thời ñiểm t ñược ñịnh nghĩa:

(
)
0→
= = =
 
 
ɺ
t
r dr
v t lim r
t dt
∆
∆
∆
2. Vận tốc và gia tốc (tt)
Vận tốc
11/15/2011 Hoang Duc Tam 10
2. Vận tốc và gia tốc (tt)
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
Vận tốc trong hệ tọa ñộ Descartes
(

)
(
)
(
)
(
)
= + +
  

r t x t i y t j z t k
Véc-tơ vận tốc ݒ
Ԧ
của chất ñiểm trong hệ tọa ñộ Descartes ñược viết dưới
dạng:
= = + +

  

ɺ ɺ
ɺ
dr
v xi yj zk
dt
= =
ɺ
x
dx
v x
dt

= =
ɺ
y
dy
v y
dt
= =
ɺ
z
dz
v z
dt
2 2 2 2 2 2
= + + = + +
ɺ ɺ
ɺ
x y z
v v v v x y z
Vận tốc của chất ñiểm trên các trục Ox, Oy, Oz
Vận tốc (tt)
11/15/2011
6
11/15/2011 Hoang Duc Tam 11
2. Vận tốc và gia tốc (tt)
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
Gia tốc
 Để ñặc trưng cho sự thay ñổi của véc-tơ vận tốc theo thời gian, ta ñưa
vào khái niệm gia tốc.

 Giả sử ở thời ñiểm

t véc-tơ vận tốc của chất ñiểm là ࢜(࢚) và ở thời ñiểm
t +∆
∆∆
∆t là ࢜ ࢚ + ∆࢜. Gia tốc của chất ñiểm M ở thời ñiểm t
2
2
0→
= = = =
  
 
ɺɺ
t
v dv d r
a lim r
t dt
dt
∆
∆
∆
Trong hệ tọa ñộ Descartes
2
2
= = + +

  

ɺɺ ɺɺ
ɺɺ
d r
a xi yj zk

dt
Gia tốc trên các trục Ox, Oy, Oz
= = =
ɺɺ ɺɺ
ɺɺ
x y z
a x; a y; a z
2 2 2 2 2 2
= + + = + +
ɺɺ ɺɺ
ɺɺ
x y z
a a a a x y z
11/15/2011 Hoang Duc Tam 12
2. Vận tốc và gia tốc (tt)
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến
Để xác ñịnh véc-tơ gia tốc tiếp
tuyến và gia tốc pháp tuyến ta
ñưa vào véc-tơ ñơn vị tiếp tuyến
quĩ ñạo: ࣎ =
ࢊ࢘
ࢊ࢙

= = =
 


ɺ
dr dr ds

v s
dt ds dt
τ
= = +




ɺɺ ɺ
dv d
a s s
dt dt
τ
τ
Gia tốc (tt)
࣎(࢚+ ∆࢚)
M
0

M
O
࢘
࢘
+ࢊ࢘
࣎(࢚)
ࢊ࢘
11/15/2011
7
11/15/2011 Hoang Duc Tam 13
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)

Do ࣎ là véc-tơ tiếp tuyến quĩ
ñạo nên có thể thấy rằng thành
phần tiếp tuyến của véc-tơ gia tốc:
=


ɺɺ
t
a s
τ
2. Vận tốc và gia tốc (tt)
Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến
Gia tốc (tt)
ࢇ
ࢇ
࢔

ࢇ
࢚

࣎
࢔
11/15/2011 Hoang Duc Tam 14
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
Gọi ࢔ là véc-tơ ñơn vị hướng theo véc-tơ ࢊ࣎ và có ñiểm ñặt tại M, khi
ñó:
=


d d

n
ds ds
τ τ
࣎(࢚)
࣎
(࢚+ ∆࢚)
࢔
࣎(࢚)
࣎
(࢚+ ∆࢚)
ࢊ࣎
ࢊ࣐
2. Vận tốc và gia tốc (tt)
Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến
Gia tốc (tt)
11/15/2011
8
 Góc tạo thành giữa hai ñường
thẳng (góc M
0
OM) bằng góc tạo
thành giữa tiếp tuyến
࣎(࢚) tại M
và tiếp tuyến ࣎(࢚+ ࢤ࢚) tại M’ và
bằng
ࢊ࣐ (Cặp góc có cạnh tương
ứng vuông góc).

 Khi M tiến dần ñến M
0

thì ñoạn
thẳng M
0
O tiến dần ñến giới hạn
r, nên r ñược gọi là bán kính
chính khúc của ñường cong tại
M
0
.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 15
࣎(࢚)
࣎
(࢚+ ∆࢚)
ࢊ࣎
ࢊ࣐
࣎(࢚+ ∆࢚)
M
0

M
O
࢘
࢘+ ࢊ࢘
࣎(࢚)
ࢊ࢘
2. Vận tốc và gia tốc (tt)
Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến
Gia tốc (tt)
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
11/15/2011 Hoang Duc Tam 16

Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
1
= =
d d .d
τ τ ϕ ϕ
và
=
ds rd
ϕ
1
=
d
ds r
τ
Vậy véc-tơ gia tốc pháp tuyến có thể viết:
(
)
(
)
2
2
2
  
ɺ
  
ɺ ɺ ɺ
n
s
d d ds d v
a s s s n n

dt ds dt ds r r
τ τ τ
= = = = =
Gia tốc toàn phần:
( )
( )
2
2
2
2 2
 





= + = +







 
ɺ
ɺɺ
t n
s
a a a s

r
࣎(࢚)
࣎
(࢚+ ∆࢚)
ࢊ࣎
ࢊ࣐
Từ hình vẽ suy ra:
2. Vận tốc và gia tốc (tt)
Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến
Gia tốc (tt)
11/15/2011
9
a) Chuyển ñộng thẳng biến ñổi ñều
Đây là dạng chuyển ñộng thẳng :
=


a const
Do chuyển ñộng là thẳng nên:
= = =
t
dv
a a const
dt
0
0
−
= = ⇒ = +
v v
a const v v at

t
Mặt khác:
2
0
1
2
= ⇒ = ⇒ = +
ds
v ds vdt s v t at
dt
Nếu khử t trong hai phương trình quãng ñường và vận tốc sẽ có:
2 2
0
2
− =
v v as
11/15/2011 Hoang Duc Tam 17
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
3. Một số dạng chuyển động cơ đơn giản
0


=


= −





x
y
a
a
a g
0



=






= −




x
y
dv
dt
dv
g
dt
1
2



=


= − +




x
y
v C
v
v gt C
1 0 0
2 0 0


= =


= =



x
y
C v v cos
C v v sin

α
α
11/15/2011 Hoang Duc Tam 18
b) Chuyển ñộng với gia tốc không ñổi (ném ngang, ném xiên)
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
3. Một số dạng chuyển động cơ đơn giản (tt)
11/15/2011
10
11/15/2011 Hoang Duc Tam 19
Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
0
0



=





= − +



dx
v cos
dt
dy
gt v sin

dt
α
α
0 3
2
0 4
1
2


= +




= − +



x v t cos C
y v t sin gt C
α
α
3 0
4 0
0
0


= =



= =



C x
C y
0
2
0
1
2


=




= −



x v t cos
y v t sin gt
α
α
Khử t trong hai phương trình trên ta ñược phương trình quĩ ñạo:
2

2 2
0
1
2
= − +
gx
y x tan
v cos
α
α
b) Chuyển ñộng với gia tốc không ñổi (ném ngang, ném xiên) (tt)
3. Một số dạng chuyển động cơ đơn giản (tt)
a) Định luật Newton thứ nhất
Mọi vật ở trạng thái nghỉ hay chuyển ñộng
thẳng ñều và thẳng chừng nào mà sự tác ñộng
từ phía các vật khác chưa buộc nó phải thay
ñổi trạng thái ñó.
Có thể diễn ñạt ñịnh luật thứ nhất dưới
dạng sau: Vận tốc của một vật bất kì vẫn còn
không ñổi cho ñến lúc sự tác ñộng từ phía các
vật khác lên vật này gây ra sự biến ñổi vận tốc
ñó.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 20
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
1. Các định luật Newton
Isaac Newton 1642 - 1727
11/15/2011
11
Tốc ñộ biến thiên xung lượng
của vật bằng lực F tác dụng lên

vật:
=


dp
F
dt
Phương trình trên ñược gọi là
phương trình chuyển ñộng của
vật.
Mặt khác:
࢖ = ࢓࢜
(
)
(
)
= =
=
 


d mv d v
dp
m
dt dt dt
ma
Như vậy, có thể biểu diễn hệ
thức của ñịnh luật Newton thứ hai
dưới dạng
=



ma F
Cách diễn ñạt khác của ñịnh
luật Newton thứ hai: Tích khối
lượng của vật với gia tốc của nó
bằng lực tác dụng lên vật.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 21
b) Định luật Newton thứ hai
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
1. Các định luật Newton (tt)
1200 kg
F = 600 N
a = ?
=


F ma
là phương trình cơ bản của cơ học chất ñiểm. Phương trình này bao quát cả
hai ñịnh luật Newton I và II.
Với ñịnh luật Newton I:
0 0
= ⇒ = ⇒ =

  
 
F a v const
Với ñịnh luật Newton II:
0 0
≠ ⇒ = ≠


  

F
F a
m
11/15/2011 Hoang Duc Tam 22
c) Phương trình cơ bản của cơ học chất ñiểm
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
1. Các định luật Newton (tt)
11/15/2011
12
11/15/2011 Hoang Duc Tam 23
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
 Đôi khi người ta gọi ñịnh luật Newton thứ nhất là ñịnh luật quán tính.

 Hệ qui chiếu trong ñó ñịnh luật Newton thứ nhất không ñược nghiệm ñúng
gọi là hệ qui chiếu không quán tính.

 Có vô số các hệ qui chiếu quán tính. Một hệ qui chiếu bất kì chuyển ñộng
thẳng và ñều (tức với vận tốc không ñổi) ñối với một hệ qui chiếu quán
tính nào ñó cũng là một hệ qui chiếu quán tính.
d) Hệ qui chiếu quán tính
1. Các định luật Newton (tt)
Hệ qui chiếu trong ñó ñịnh luật
Newton thứ nhất ñược nghiệm ñúng
ñược gọi là hệ qui chiếu quán tính
Định luật Newton thứ ba khẳng
ñịnh rằng các lực mà các vật có
tương tác tác dụng lẫn nhau sẽ

bằng nhau về ñộ lớn và ngược
chiều nhau. Nội dung của ñịnh
luật Newton thứ ba có thể biểu diễn
dưới dạng ñẳng thức:
12 21
= −
 
F F
Từ ñịnh luật Newton thứ ba suy ra rằng các lực xuất hiện từng cặp: có
thể so sánh một lực bất kì ñặt vào một vật nào ñó với một lực bằng nó về ñộ
lớn và ngược chiều ñặt vào một vật khác tương tác với vật ñã cho.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 24
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
e) Định luật Newton thứ ba
1. Các định luật Newton (tt)
11/15/2011
13
a) Thiết lập các ñịnh lí về ñộng lượng
Theo ñịnh luật Newton thứ hai:
=


F ma
Nếu chất ñiểm chịu tác dụng của nhiều lực thì ࡲ =
∑
ࡲ
࢏
với ࡲ
࢏
là các lực

thành phần
(
)
= = = =

 


d mv
dv dp
F ma m
dt dt dt
Định lí 1: Đạo hàm ñộng lượng của một chất ñiểm theo thời gian có giá trị
bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất ñiểm ñó.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 25
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
2. Các định lí về động lượng
Định lí 2: Độ biến thiên ñộng lượng của một chất ñiểm trong một khoảng
thời gian nào ñó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp lực) tác
dụng lên chất ñiểm trong thời gian ñó.
Trong trường hợp lực
ࡲ không ñổi theo thời gian ta có:
=


p Ft
∆
11/15/2011 Hoang Duc Tam 26
a) Thiết lập các ñịnh lí về ñộng lượng (tt)
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)

2. Các định lí về động lượng (tt)
Lấy tích phân hai vế:
2
1
2 1
= − =
∫

  
t
t
p p p Fdt
∆
ධ
ࡲࢊ࢚
࢚
૛
࢚
૚
: gọi là xung lượng của lực trong khoảng thời gian ñó.
= ⇔ =

 

dp
F dp Fdt
dt
Từ biểu thức :
11/15/2011
14

11/15/2011 Hoang Duc Tam 27
Động lượng ñặc trưng cho chuyển
ñộng về mặt ñộng lực học, nó là
một ñại lượng ñặc trưng cho khả
năng truyền chuyển ñộng.
Xung lượng của một lực trong
khoảng thời gian Δݐ ñặc trưng cho
tác dụng của lực trong khoảng thời
gian ñó.
b) Ý nghĩa của ñộng lượng và xung lượng
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
2. Các định lí về động lượng (tt)
Định lí về mô-men ñộng lượng
Xét một chất ñiểm A chuyển ñộng trên một quĩ ñạo (C) dưới tác dụng của
lực
ࡲ có ñộng lượng ࢖ = ࢓࢜.
(
)
= =



d mv
dp
F
dt dt
Nhân hữu hướng hai vế này với
=



r OM
∧ = ∧


 
dp
r r F
dt
hay
(
)
( ) ( )
∧ = ∧ = ∧

    
d mv
d d
r r mv r p
dt dt dt
( )
(
)
(
)
( ) ( )
0
∧ + ∧ = ∧ + ∧=
=
=
∧

∧
+ ∧
 

     





d mv d mv
dr
mv r v mv r
dt dt dt
d
r mv
d
d m
t
d m
r
v
r
dt
v
dt
Chú ý
11/15/2011 Hoang Duc Tam 28
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
3. Mô-men động lượng của chất điểm

11/15/2011
15
( )
∧ = ∧

  
d
r p r F
dt
Vậy:
Kí hiệu: gọi là mô-men ñộng lượng của chất ñiểm ñối với gốc O.
= ∧

 
L r p
∧


r F
: chính là momen của lực F ñối với ñiểm O.
=



F /O
dL
M
dt
11/15/2011 Hoang Duc Tam 29
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)

3. Mô-men động lượng của chất điểm (tt)
Định lí về mô-men ñộng lượng (tt)
11/15/2011 Hoang Duc Tam 30
Định lí về mô-men ñộng lượng: Đạo hàm theo thời gian của mô-men ñộng
lượng ñối với O của một chất ñiểm chuyển ñộng bằng tổng mô-men ñối với O
của các lực tác dụng lên chất ñiểm.
Hệ quả
Trong trường hợp chất ñiểm chịu tác dụng của lực xuyên tâm (phương
của lực tác dụng ñi qua ñiểm O cố ñịnh)
0 0
= ⇔ = ⇒ =



   
F /O
dL
M L const
dt
Từ ñây có thể kết luận rằng chất ñiểm M luôn chuyển ñộng trong một
mặt phẳng cố ñịnh.
Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (tt)
3. Mô-men động lượng của chất điểm (tt)
Định lí về mô-men ñộng lượng (tt)
11/15/2011
16
Định nghĩa: Công nguyên tố dA của lực ۴
Ԧ
tác dụng vào một chất ñiểm M
làm dịch chuyển vật một ñoạn ܌࢙ bằng:

= =


dA Fds Fds cos
α
Công tổng cộng A của lực ܨ
Ԧ
trong chuyển dời trên một ñường cong CD
bất kì bằng tích phân của công nguyên tố dA từ C ñến D:
 
= =
∫ ∫


CD CD
A dA Fds
11/15/2011 Hoang Duc Tam 31
Chương 3. NĂNG LƯỢNG
1. Công và công suất
Công
11/15/2011 Hoang Duc Tam 32
Công suất: trong khoảng thời gian ∆࢚, một lực nào ñó sinh công ∆࡭. Theo
ñịnh nghĩa, tỉ số:



gọi là công suất trung bình của lực ñó trong khoảng thời gian ∆ݐ.
=
tb
A

P
t
∆
∆
0
→
= =
t
A dA
P lim
t dt
∆
∆
∆
Công suất tức thời (công suất) của lực
= ⇒ = =

   
 
ds
dA Fds P F Fv
dt
Chương 3. NĂNG LƯỢNG (tt)
1. Công và công suất (tt)
Công suất
Nếu lực ۴
Ԧ
là không ñổi
11/15/2011
17

11/15/2011 Hoang Duc Tam 33
2. Động năng của chất điểm – Định lí động năng
Chương 3. NĂNG LƯỢNG (tt)
Xét một chất ñiểm có khối
lượng m , chịu tác dụng của lực
۴
Ԧ

và chuyển dời từ vị trí 1 sang vị trí
2,
công của lực ۴
Ԧ
:
(
)
(
)
2
1
=
∫


A Fds
Mặt khác
= =



dv

F ma m
dt
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
2 2
1 1
2 2
1 1
2
2
1
2
= =
= =
 


=







 
∫ ∫
∫ ∫
∫


 

  

dv
A Fds m ds
dt
ds
m dv mvdv
dt
v
md
2 2
2 1
1 1
2 2
= −
A mv mv
Suy ra:

2
1
2
=
W mv
Động năng của chất ñiểm có khối lượng m và vận tốc v
Định lí ñộng năng: Độ biến thiên ñộng năng của một chất ñiểm trong một
quãng ñường nào ñó có giá trị bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất
ñiểm sinh ra trong quãng ñường ñó.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 34
2. Động năng của chất điểm – Định lí động năng
Chương 3. NĂNG LƯỢNG (tt)
11/15/2011
18
Trong trường hợp vật rắn
chuyển ñộng quay xung quanh một
trục
= =
 


dA Fds M dt
ω
Theo phương trình cơ bản của
chuyển ñộng quay
=


d
M I

dt
ω
2
2
= =
=
 


=






 






dA Fds M dt
d
I dt
dt
Id
ω
ω

ω
ω
Tích phân hai vế:
2 2
2 1
2 2
= −A I I
ω ω
Động năng của vật rắn quay
2
2
=
W I
ω
Tổng quát: vật rắn vừa quay
vừa tịnh tiến (vật rắn lăn không
trượt), biểu thức ñộng năng có dạng
như sau:
2 2
2
2
1 1
2 2
1
2
= +
 


= +






 
W mv I
I
m v
R
ω
11/15/2011 Hoang Duc Tam 35
3. Động năng trong trường hợp vật rắn quay
Chương 3. NĂNG LƯỢNG (tt)
1. Khối tâm
Xét hệ gồm hai chất ñiểm M
1
và M
2
, khối lượng lần lượt là m
1
và m
2
. Nếu ta
có một ñiểm G sao cho:


khi ñó ñiểm G ñược gọi là khối tâm của hệ hai chất ñiểm M
1
, M

2
.
1 1 2 2
0
+ =
 

m M G m M G
Tổng quát: khối tâm ñược ñịnh nghĩa
1 1 2 2
0
+ + + =
  

n n
m M G m M G m M G
hay
1
0
=
=
∑


n
i i
i
m M G
Tọa ñộ của khối tâm ñối với một góc tọa ñộ O nào ñó:
1 1

1 1
= =
= =
= = =
∑ ∑
∑ ∑
 


n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
m OM m r
R OG
m m
với
=


i i
r OM
11/15/2011 Hoang Duc Tam 36
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN
a) Định nghĩa

11/15/2011
19

Nếu chiếu lên ba trục tọa ñộ Descartes:
1 1 1
1 1 1
= = =
= = =
= = =
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
n n n
i i i i i i
i i i
n n n
i i i
i i i
m x m y m z
X ;Y ; Z
m m m
với X, Y, Z là các tọa ñộ trong hệ tọa ñộ OXYZ của véc-tơ ࡻࡳ.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 37
1. Khối tâm (tt)
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
a) Định nghĩa (tt)

∑ ∑
∑
∑ ∑ ∑
= = = =






i
i i
i i
i i
i
i i i
i i i
dr
dr
m m
m v
dR
dt dt
V
dt m m m
với ࢜
࢏
là vận tốc của chất ñiểm ࢓
࢏

b) Vận tốc khối tâm
11/15/2011 Hoang Duc Tam 38
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
1. Khối tâm (tt)
( )
∑
∑ ∑ ∑
∑

= ⇔ = =

 


i
i
i
i i i i
i i i
i
i
dv
m
dV dV
dt
m m a F
dt m dt
Đặt là gia tốc khối tâm
=


dV
a
dt
(
)
∑ ∑
=



i i
i i
m a F
Kết luận: Khối tâm của một hệ chuyển ñộng như một chất ñiểm có khối
lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng
tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ.
c) Phương trình chuyển ñộng của khối tâm
11/15/2011
20
Đối với một hệ chất ñiểm chuyển ñộng, ñịnh lí về ñộng lượng:
(
)
1 1 2 2
+ + + =

  
n n
d
m v m v m v F
dt
Nếu hệ ñang xét là một hệ cô lập:
0
=
 
F
1 1 2 2
+ + + =

  

n n
m v m v m v const
Vậy: Tổng ñộng lượng của một hệ cô lập là một ñại lượng ñược bảo toàn.
∑
∑
= =

 
i i
i
i
i
m v
V const
m
Do ñó, khối tâm của một hệ cô lập hoặc ñứng yên hoặc chuyển ñộng
thẳng ñều.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 39
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
2. Định luật bảo toàn động lượng đối với hệ chất điểm
11/15/2011 Hoang Duc Tam 40
2. Định luật bảo toàn động lượng đối với hệ chất điểm (tt)
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
Bảo toàn ñộng lượng theo phương: Trong trường hợp một hệ chất ñiểm
không cô lập nghĩa là ܨ
Ԧ
≠ 0 nhưng hình chiếu của lên một phương x nào ñó
luôn luôn bằng 0 thì ta sẽ có ñược sự bảo toàn ñộng lượng theo phương x ñó
1 1 2 2
+ + + =

x x n nx
m v m v m v const
Hình chiếu của tổng ñộng lượng lên phương x là một ñại lượng bảo toàn.
11/15/2011
21
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
Chuyển ñộng tịnh tiến
Khi một chất rắn chuyển
ñộng tịnh tiến, mọi chất ñiểm
của nó chuyển ñộng theo những
quĩ ñạo giống nhau. Tại mỗi
thời ñiểm các chất ñiểm của
chất rắn chuyển ñộng tịnh tiến
ñều có cùng véc-tơ vận tốc và
gia tốc.
Phương trình chuyển ñộng
của vật rắn tịnh tiến (phương
trình chuyển ñộng của khối tâm
(
)
∑ ∑
=


i i
i i
m a F
Chuyển ñộng quay
Khi một vật rắn chuyển ñộng quay
quanh một trục ∆ cố ñịnh:

 Mọi ñiểm của vật rắn vạch nên những
ñường tròn có tâm nằm trên trục ∆.
 Trong cùng một khoảng thời gian, mọi
ñiểm của vật rắn ñều quay ñược góc θ
.
 Tại cùng một thời ñiểm, mọi ñiểm của
vật rắn ñều có cùng vận tốc góc
࣓ =
ࢊࣂ
ࢊ࢚
và gia tốc góc ࢼ =
ࢊ࣓
ࢊ࢚
=
ࢊ
૛
ࣂ
ࢊ࢚
૛
.
 Tại một thời ñiểm, véc-tơ vận tốc
thẳng và véc-tơ gia tốc pháp tuyến
của một chất ñiểm bất kì của vật rắn
cách trục quay một khoảng r ñược xác
ñịnh:
࢜ = ࣓∧࢘, ࢇ
࢚
= ࢼ∧࢘.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 41
3. Chuyển động của vật rắn

a) Mô-men lực
Tác dụng của lực trong chuyển
ñộng quay: Trong chuyển ñộng
quay của một vật rắn xung quanh
một trục chỉ những thành phần lực
tiếp tuyến với quĩ ñạo của ñiểm ñặt
mới có tác dụng thực sự.
Mô-men của lực
ࡲ
࢚
ñối với
trục quay
∆
∆∆
∆ là một véc-tơ ࡹ xác
ñịnh bởi:
= ∧



M r F
b) Momen quán tính
Momen quán tính của vật ñối
với trục quay là một tính chất của
vật làm cho vật chống lại sự thay
ñổi vận tốc góc quay quanh trục ñó.
Momen quán tính ñôi khi còn ñược
gọi là quán tính quay.
Xét hệ gồm n hạt, khoảng cách
giữa các hạt ñược giữ cố ñịnh.

Momen quán tính của hệ ñối với
một trục quay nào ñó ñược ñịnh
nghĩa :
2
1
=
=
∑
n
i i
i
I m r
m
i
là khối lượng của hạt thứ i, R
i
là
khoảng cách từ hạt i ñến trục quay.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 42
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định
11/15/2011
22
Đối với vật rắn (bánh xe, ròng rọc) ta xem vật ñó gồm rất nhiều phần tử
nhỏ có khối lượng dm, cách trục quay khoảng r thì momen quán tính ñược
ñịnh nghĩa :
2 2
= =
∫ ∫
toaøn bo ä vaät toaøn bo ä vaät

I r dm r dV
ρ
Trong hệ SI ñơn vị của momen quán tính là kg.m
2
.
Lưu ý : Không giống như khối lượng, momen quán tính không phải là một
tính chất nội tại của vật, nó phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng của vật và
vào vị trí của trục quay.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 43
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định (tt)
b) Momen quán tính
Định lí Stein – Huyghens
Định lí này cho ta mối quan hệ giữa giữa momen quán tính I ñối với một
trục ñi qua một ñiểm M tuỳ ý và momen quán tính I
0
ñối với trục song song
với trục trên và ñi qua khối tâm của vật.

Mô-men quán tính của một vật rắn ñối với một trục ∆ bất kì bằng mô-
men quán tính của vật ñối với trục ∆
0
song song với ∆ ñi qua khối tâm G của
vật cộng với tích của khối lượng M của vật với bình phương khoảng cách d
giữa hai trục.
2
0
= +
I I md
11/15/2011 Hoang Duc Tam 44

Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định (tt)
b) Momen quán tính (tt)
11/15/2011
23
Các thí dụ về xác ñịnh momen quán tính
Thí dụ 1:
Xét một mạng gồm 8
hạt trên một hình lập phương cạnh
a, các hạt này cùng khối lượng m
và giữ cố ñịnh trên các ñỉnh của
hình lập phương.
a) Tính momen quán tính của
mạng ñối với trục ∆
1
ñi qua tâm
của mạng và song song với các
cạnh có chiều dài là a.
b) Tính momen quán tính của
mạng ñối với trục ∆
2
ñi qua hai
hạt 1 và 5.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 45
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định (tt)
b) Momen quán tính (tt)
1
2
4

3
5
8
7
6
∆
૚

∆
૛

11/15/2011 Hoang Duc Tam 46
a) Khoảng cách từ các hạt ñến trục
quay ∆
1
ñều bằng nhau: ࢘ =
ࢇ
૛

Momen quán tính của hệ:
2
2 2
1
1
8 4
2
=
 




= = =





 
∑
n
i i
i
a
I m r m ma
b) Khoảng cách từ hạt 3 và hạt 7 ñến
trục ∆
2
bằng ࢇ ૛ . Khoảng cách từ
hạt 2, 4, 6 và 8 ñều bằng a vậy
momen quán tính của hệ:
(
)
2
2 2
2
2 2 4 8= + =
I m a ma ma
Các thí dụ về xác ñịnh momen quán tính
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định (tt)

b) Momen quán tính (tt)
1
2
4
3
5
8
7
6
∆
૚

∆
૛

11/15/2011
24
Thí dụ 2: Tìm biểu thức momen
quán tính của một khối trụ rỗng. Cho
bán kính trong của hình trụ là R
1
,
bán kính ngoài là R
2
, chiều cao h và
mật ñộ khối lượng ñều là ρ.
11/15/2011 Hoang Duc Tam 47
R
1

R
2

Các thí dụ về xác ñịnh momen quán tính (tt)
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định (tt)
b) Momen quán tính (tt)
11/15/2011 Hoang Duc Tam 48
Chọn yếu tố thể tích là một lớp trụ mỏng có
chiều cao h, chu vi 2πr và ñộ dày dr vô cùng nhỏ,
ܸ݀ = ℎ2ߨݎ݀ݎ (lí do ñể chọn yếu tố thể tích như thế
vì toàn bộ khối lượng nằm trong yếu tố ñó cách
ñều trục quay).
(
)
2
1
3 4 4
2 1
1
2
2
= = −
∫
R
R
I h r dr h R R
πρ πρ
Thể tích của khối trụ rỗng:
(

)
2 2
2 1
V h R R
π
= −
Khối lượng của trụ:
(
)
2 2
2 1
M h R R
ρ π
= −
(
)
2 2
1 2
1
2
I M R R
= +
Vậy:
Các thí dụ về xác ñịnh momen quán tính (tt)
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định (tt)
b) Momen quán tính (tt)
dr
r
h

11/15/2011
25
Gọi M
i
là một chất ñiểm bất kì của vật rắn, cách trục một khoảng r
i
ứng
với bán kính véc-tơ
࢘
࢏
= ࡻࡹ
࢏
có khối lượng m
i
chịu tác dụng của lực tiếp
tuyến
ࡲ
࢚࢏

.
Chất ñiểm
M
i
chuyển ñộng với gia tốc tiếp tuyến ࢇ
࢚࢏

ñược xác ñịnh:
=



ti i ti
F m a
Nhân hữu hướng hai vế với véc-tơ bán kính:
∧ = ∧

  
i ti i i ti
r F r m a
(
)
(
)
(
)
2
0
∧ ∧
∧ = = −
= −
  
   

 
 
i ti
i i i
i
i i i
r r r .r r r
r a r

β β β
β
11/15/2011 Hoang Duc Tam 49
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định (tt)
c) Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển ñộng quay
11/15/2011 Hoang Duc Tam 50
Từ ñây ta ñược:
2
=


i
i i
m r M
β
2 2
 


= ⇔ =




 
∑ ∑ ∑ ∑
 
 
i i

i i i i
i i i i
m r M m r M
β β
Lấy tổng hai vế theo i :

෌
࢓
࢏
࢘
࢏
૛
࢏
: momen quán tính của vật.

෍
ࡹ
࢏
࢏
: mô-men tổng cộng của ngoại lực tác dụng lên vật rắn
Vậy:
=


I M
β
Đây là phương trình cơ bản của chuyển ñộng quay của vật rắn quanh
một trục.
Chương 4. CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM. VẬT RẮN (tt)
4. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định (tt)

c) Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển ñộng quay (tt)