Đề thi thử ĐH môn Toán THPT Lục Ngạn, Bắc Giang

S GD&T Bc Giang
Trng THPT Lc Ngn s 1

 chính thc
 THI TH I HC LN 1
NM HC 2013 - 2014
Môn: Toán - khi A, A1, B, D.

Thi gian làm bài 180 phút, không k thi gian phát 


I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH ( 7 im)
Câu 1 (2 im). Cho hàm s
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
có  th (1).
a) Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s (1) khi m = 0.
b) Tìm m  hàm s (1) ng bin trên khong
(
)
+∞
;2

Câu 2 (1 im). Gii phng trình sau:
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan

cos
x x
x x
x
+ −
− =

Câu 3 (1 im). Gii phng trình sau:
2 2
7 - x + x x + 5 = 3 - 2x - x (x R)
∈

Câu 4 (1 im). Tìm m  h phng trình sau có 3 cp nghim thc phân bit:

2
3( 1)
1
x y m
xy x

+ + =


= −



Câu 5 (1 im
).
Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy là hình ch nht, SA vuông góc vi áy, G

là trng tâm tam giác SAC, mt phng (ABG) ct SC ti M, ct SD ti N. Tính th tích ca khi
a din MNABCD bit SA=AB=a và góc hp bi ng thng AN và mp(ABCD) bng
0
30
.
Câu 6 (1 im) Cho x,y,z tho mãn là các s thc:
2 2
x - xy + y = 1
.Tìm giá tr ln nht và giá tr
nh nht ca biu thc:

4 4
2 2
x + y + 1
P =
x + y + 1

II. PHN RIÊNG (3 im): Thí sinh ch c làm mt trong hai phn ( Phn A hoc phn B).
A. Theo chng trình chun
Câu 7a (1 im). Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC vi
AB = 5
, C(-1;-1), ng thng
AB có phng trình: x + 2y – 3 = 0 và trng tâm tam giác ABC thu c ng thng d:
x + y – 2 = 0 . Tìm to  !nh A và B.
Câu 8a (1 im). Trong mt phng vi h to  Oxy, cho ng tròn (C):
2 2
x + y - 4x - 4y + 4=0

và ng thng d có phng trình:
x + y - 2=0

. Chng minh rng d luôn ct (C) tai hai im phân
bit A và B. Tìm to  im M trên ng tròn (C) sao cho din tích tam giác MAB ln nht.
Câu 9a (1 im). Cho khai trin:
(
)
12
2 2 24
0 1 2 24
1 + x + x = a + a x + a x + +a x
. Tính
4
a
.
B. Theo chng nâng cao
Câu 7b (1 im). Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC bit B(2;-1), ng cao và phân giác
trong qua !nh A và C l"n lt có phng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0. Vit phng
trình các cnh ca tam giác ABC.
Câu 8b (1 im). Trong mt phng Oxy, vit phng trình chính tc ca Elíp (E), bit rng tâm sai
ca (E) bng
5
3
và hình ch nht c s có din tích bng 24.
Câu 9b (1 im). M t h p ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . Ly ng#u
nhiên 3 viên bi (không k th t ra khi h p). Tính xác xut  trong 3 viên bi ly ra có ít nht 1
viên bi .
Ht
Chú ý: Giáo viên coi thi không gii thích gì thêm.
H và tên thí sinh: S bao danh:

HNG DN CHM VÀ CHO IM

Môn: Toán (Thi Th H ln 1 - Nm hc 2013 - 2014)
Câu Ni dung c bn
im

Câu 1
2 
Cho hàm s
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
có  th (C
m
).
a) Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s khi m = 0.
b) Tìm m  hàm s ng bin trên khong
(
)
+∞
;2


a
(1)
Vi m = 0 ta có: y = 2x
3
– 3x
2
+ 1
*TX: R

* Gii hn:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞

*S bin thiên:
Ta có y’ = 6x
2
– 6x =6x(x-1) = 0 <=> x = 0; x= 1
x -
∞
0 1 +
∞

y’ + 0 - 0 +


y
1 +
∞


-
∞
0

0.5

* kt lun ng bin, nghch bin và cc tr.
* Ch! ra to  im un U(1/2;1/2), Hs có th b qua bc này

0.25

* V  th:

O
1
1







0,25

b
(1 )
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
)1(6)12(66'
2
+++−= mmxmxy

y’ có
01)(4)12(
22
>=+−+=∆ mmm


0.5






+=
=
⇔=
1
0'
mx
mx
y


0.25


Hàm s ng bin trên
(
)
+∞
;2

⇔
0'
>
y

2
>
∀
x
⇔
21

≤
+
m
⇔
1
≤
m


1
≤
m



0.25

Câu 2
1 
Gii phng trình sau:
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
+ −

− =





K c
os
x
$
0, pt


c


a v


2 2 2
cos2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0
x x x x x x
− = + − + ⇔ − =


0.5


Gi


i ti

p

c cosx = 1 và cosx = 0,5 r

i

i chi

u

k



a ra

S:
2 2
2 , 2 ; hay
3 3
x k x k x k
π π
π π
= = ± + =
.

0.5

Câu 3
1
Gii phng trình sau:
2 2
7 - x + x x + 5 = 3 - 2x - x (x R)
∈




2
2 2
3 2 0
7 5 3 2
x x
PT
x x x x x

− − ≥

⇔

− + + = − −



0.25




2
3 2 0
5 2( 2)
x x
x x x

− − ≥

⇔

+ = − +



0.25



3 1
0
2
5 2.
x
x
x
x
x


− ≤ ≤


⇔ ≠


+

+ = −


( )
( )
2
2 0
1 16 0
x
x x
− ≤ <


⇔

+ − =



0.25



1

x
⇔ = −

Vy phng trình ã cho có m t nghim x = - 1.
0.25

Câu 4
1 
Tìm m  h phng trình sau có 3 cp nghim thc phân bit:

2
3( 1) ,(1)
1 ,(2)
x y m
xy x

+ + =


= −





(2) <=>
2
1 0
(1 )
x

xy x
− ≥


= −

<=>
1
1
2
x
y x
x
≤



= − +


( do x = 0 không là nghim)

0,25


Th vào (1) ta có:
2
1
3( 1) 2
x x m

x
+ + − + =
, (3)
Xét hàm s f(x) =
2
1
3( 1) 2
x x
x
+ + − +
trên
(
]
;1
−∞
, lp bng bin thiên.
Lp lun c m%i giá tr x trên
(
]
;1
−∞
thì có duy nht 1 giá tr y, nên (3) có 3
nghim phân bit


0,5



KL:

20
12
3
15
4
4
m
m

< ≤


−

< < −



0,25

Câu 5
1 
Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông cnh bng a. mt bên SAB là
tam giác vuông cân nh S và nm trong mt phng vuông góc vi mt
phng áy. Tính theo a th tích khi chóp S.ABCD và tính khong cách
gia hai ng thng AB và SD.



+ Trong mp(SAC) k& AG ct SC ti M, trong mp(SBD) k& BG ct SD ti

N.
+ Vì G là trng tâm tam giác
ABC nên d' có
2
3
SG
SO
=
suy ra G c(ng là trng
tâm tam giác SBD.
T) ó suy ra M, N l"n lt là
trung im ca
SC, SD.
+ D' có:
. . .
1 1
2 2
S ABD S BCD S ABCD
V V V V
= = =
.
Theo công thc t* s th tích ta có:


.
.
.
1 1 1
. . 1.1.
2 2 4

S ABN
S ABN
S ABD
V
SA SB SN
V V
V SA SB SD
= = =

=
.
.
.
1 1 1 1
. . 1. .
2 2 4 8
S BMN
S BMN
S BCD
V
SB SM SN
V V
V SB SC SD
= = =

=
T) ó suy ra:
. . .
3
.

8
S ABMN S ABN S BMN
V V V V
= + =

+ Ta có:
1
. ( )
3
V SA dt ABCD
= ; mà theo gi thit
( )
SA ABCD
⊥
nên góc hp
bi AN vi mp(ABCD) chính là góc

NAD
, li có N là trung im ca SC
nên tam giác NAD cân ti N, suy ra


0
30 .
NAD NDA
= =
Suy ra:
0
3
tan30

SA
AD a
= =
.
Suy ra:
3
1 1 3
. ( ) . . 3
3 3 3
V SA dt ABCD a a a a
= = = .
Suy ra: th tích c"n tìm là:
3
. .
3 5
8 8
5 3
.
24
= − = − = =
MNABCD S ABCD S ABMN
a
V V V V V V


0,5














0,5

Câu 6
1 
Cho x,y,z tho mãn là các s thc:

2 2
x - xy + y = 1
.Tìm giá tr ln nht và giá
tr nh nht ca biu thc:

4 4
2 2
x + y + 1
P =
x + y + 1







0,25

M

N
O

C
A
D
B
S
G


1
1
I
H
C

xyxyyx
xyxyxyyxyx
33)(1
21
2
22
−≥−+=
=−≥+−=


1
3
1
≤≤− xy








 

xyyxyxyx
+=+⇔=+−
11
2222


12
2244
++−=+
xyyxyx

 !"#$%#$$&

1
3
1
;
2
22
)(
2
≤≤−
+
++−
==
t
t
tt
tfP





0,25


'




−−=
−=
⇔=
+
+−⇔=
)(26
26
0
)2(
6
10)('
2
lt
t
t
tf



0,25


( ")*+
[ ]
1;
3
1
−  ,&
)
3
1
(
−
f
%
)26( −f
%
)1(f
 -
626)26( −=−= fMaxP
%
15
11
)
3
1
(min =−= fP







0,25

Câu
7a
(1)
Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC vi
AB = 5
, C(-1;-1), ng
thng AB có phng trình: x + 2y – 3 = 0 và trng tâm tam giác ABC thuc
ng thng d: x + y – 2 = 0 . Tìm to  nh A và B.



* Gi s+ A(3-2a ; a); B(3 - 2b; b)
* Tính trng tâm tam giác G. Vì G thu c d nên ta có:
* Mt khác
AB = 5
.
* T) ó gii h ta c:
3 1
6; ; 4;
2 2
A B
   
− −
   

   
hoc
3 1
6; ; 4;
2 2
B A
   
− −
   
   

0,25

0,25


0,5

Câu
8a
(1)
Trong mt phng vi h to  Oxy, cho ng tròn (C):
2 2
x + y - 4x - 4y + 4=0
và ng thng d có phng trình:
x + y - 2=0
. Chng
minh rng d luôn ct (C) tai hai im phân bit A và B. Tìm to  im M
trên ng tròn (C) sao cho din tích tam giác MAB ln nht.

* Ch! ra (C) có tâm I(2;2), R = 2.
* Ta  giao im d và (C) là nghim h:
2 2
4 4 4 0
2 0
x y x y
x y

+ − − + =

+ − =


Gii h tìm c A(0;2); B(2;0)


0,25


Hay d luôn ct (C) ti hai im phân bit A và B
0,25

B
C
H
A
D

* Ta có
1
.
2
ABC
S AB CH
∆
=
( H là hình chiu C trên AB),
ax max
ABC
S m CH
∆
<=>

D' thy
( )
2
c
C C
x
= ∆ ∩


>

(
∆
) có pt: y =x
Gii h tìm c

(
)
2 2;2 2
C + +

0,25




0,25

Câu
9a
(1)
Cho khai trin:
(
)
12
2 2 24
0 1 2 24
1 + x + x = a + a x + a x + +a x
. Tính
4
a
.



* Xét s hng t,ng quát ca khai trin:

2
12
( )
n n
C x x
+
.
* khai trin
(
)
2
n
x x
+
có s hng t,ng quát:
2
.
k n k k
n
C x x
−

=> s hng t,ng quát ca khai trin ã cho có dng:
12
n
C
.
2
.
k n k k

n
C x x
−
(0 12)
k n
≤ ≤ ≤
.
* S hng cha x
4
khi n + k = 4, vi k trên ta tìm c
}
{
( , ) (0;4);(1;3);(2;2)
k n ∈
.
Thay vào ta c: a
4
= 1221

0,25




0,25

0,25

0,25

Câu
7b
(1)
Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC bit B(2;-1), ng cao và phân
giác trong qua nh A và C ln lt có phng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và
x + 2y – 5 = 0. Vit phng trình các cnh ca tam giác ABC.



* Phng trình cnh BC: 4x+3y-5=0
* Ta  C là nghim h:
4 3 5 0
2 5 0
x y
x y
+ − =


+ − =

=>C(-1;3)
* Gi B' là im i xng ca B qua CD => B'
AC
∈

* Tìm c B' => phng trình AC: y = 3.
* Tìm c A(-5;3)
* Vit c pt AB: 4x+7y-1=0.
KL:

0,5



0,25

0,25

Câu
8b
(1)
Trong mt phng Oxy, vit phng trình chính tc ca Elíp (E), bit rng
tâm sai ca (E) bng
5
3
và hình ch nht c s có din tích bng 24


Gi s+ ptct (E):
2 2
2 2
1,( 0)
x y
a b
a b
+ = > >

T) gi thit ta có
2 2
5
3
c a b
e
a a
−
= = =
<=>2a=3b, (1)


0,5


Mt khác hình ch nht c s có chiu dài bng 2a, chiu r ng 2b nên ta có:
2a.2b= 24 <=> a.b = 6, (2)

0,25


Gii h (1) và (2) tìm c a = 3, b= 2.
KL:
2 2
1
9 4
x y
+ =

0,25

Câu
9b
(1)
Mt hp ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . Ly
ng u nhiên 3 viên bi (không k th t ra khi hp). Tính xác xut  trong 3
viên bi ly ra có ít nht 1 viên bi .



* S ph"n t+ không gian m#u:
(
)
3
15
455
n CΩ = =

* Xét A là bin c "c 3 viên c chn màu xanh": => n(A) =
3
7
C
=35
0,25


* Xác sut ca bin c A:
35 1

( )
455 13
P A
= =

0,25


* Xét B là bin c "có ít nht 1 bi  c chn"
P(B) = 1- P(A) =
12
13

KL:
0,5

Chú ý:
- Trên ây ch là áp án vn tt và hng d n cho im. Hc sinh phi lp lun cht ch
mi cho im ti a.
- Hc sinh gii cách khác úng v n cho im ti a theo thang im.