Đề tài " cách giải cho bài toán về tìm quãng đường đi được trong dao động điều hòa " docx

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài.
Có lẽ với tên của đề tài “Điểm ¼ trong chuyển động tròn đều” sẽ gây
không ít sự tò mò cho các thầy (cô). Không ít người đã hỏi tôi “điểm ¼” là
điểm như thế nào, trong chuyển động tròn đều điểm này nằm ở đâu, ý nghĩa
vật lí và ứng dụng của điểm đó thế nào?
Sau khi các thầy (cô) đọc xong đề tài này, các thầy (cô) sẽ hiểu đó chỉ
là một điểm do cá nhân tác giả định nghĩa trong quá trình nghiên cứu. Với
mục đích đem lại sự mới mẻ, khác lạ và đơn giản trong việc ứng dụng sự
liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Ứng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa
là một công cụ rất mạnh trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường
và thời gian trong dao động điều hòa. Không chỉ giới hạn trong phạm vi của
chương Dao động cơ học mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng
điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu để áp
dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài
toán.
Thực tế, để giải bài toán tìm quãng đường trong dao động điều hòa có
khá nhiều cách giải khác nhau. Nhưng, có cách chỉ áp dụng cho trường hợp
riêng nào đó, có cách áp dụng được với mọi bài toán thì xuất hiện nhiều điều
kiện giàng buộc dẫn đến độ phức tạp cao, khó nhớ khi vận dụng. Vì vậy tôi đã
lựa chọn đề tài này để nghiên cứu với mong muốn tìm ra cách giải tối ưu cho
loại bài toán này.
II. Mục đích của đề tài.
Đề tài đươc xây dựng với mục đích đưa ra một hướng nghiên cứu nhằm
tiếp cận và ứng dụng các đặc điểm liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển
động tròn đều. Kết quả là tìm ra cách giải cho bài toán về tìm quãng đường đi
được trong dao động điều hòa.
4
III. Giới hạn, phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung vào sự liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động

tròn đều. Dựa vào đặc điểm trong chuyển động tròn đều suy ra các đặc điểm
trong dao động điều hòa. Kết hợp với phương pháp toán học để đưa ra
phương pháp giải cho bài toán: tính quãng đường đi được trong dao động điều
hòa.
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
“Chia để Trị” đó là một phương pháp được áp dụng để giải các bài toán
lớn, phức tạp. Kỹ thuật này sẽ chia bài toán hiện thời thành N bài toán nhỏ
hơn, thực hiện lời giải cho từng bài toán nhỏ này và từ đó tổng hợp xây dựng
lời giải cho bài toán lớn. Trong đề tài, bài toán tác giả đề cập đến không hẳn
là quá phức tạp, nhưng có vận dụng với phương pháp tương tự.
Kết hợp với phương pháp toán học, tính tuần hoàn của các hàm số
lượng giác, kết quả của bài toán thu được cũng có tính tuần hoàn đáng lưu
tâm.
5
PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Kiến thức liên quan
1. Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều:
“Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được
coi là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều lên đường kính là
đoạn thẳng đó”
2. Khái niệm “điểm ¼”
- Điểm P dao động điều hòa với
phương trình
cos( )x A t
ω ϕ
= +
được
coi là hình chiếu của điểm M
chuyển động tròn đều, ngược chiều
kim đồng hồ, với vận tốc góc ω, bán

kính quỹ đạo A, lên trục Ox nằm
ngang (O là tâm quỹ đạo).
- Quỹ đạo chuyển động tròn của M được chia thành 4 phần bằng nhau
bởi các điểm gọi là “điểm ¼” . Khi đó vị trí các “điểm ¼” xác định bởi
tọa độ góc:
2
k
π
α
=
(với k nguyên) và được gọi kèm theo tính chẵn, lẻ
của k. Các điểm ứng với k=
0, 2, 4 ± ±
là “điểm ¼” chẵn, các điểm ứng
với k=
1, 3 ± ±
là “điểm ¼” lẻ.
3. Đặc điểm của dao động điều hòa tại các “điểm ¼”
Phương trình dao động của điểm P:
cos( )x A t
ω ϕ
= +
,
sin( )v A t
ω ω ϕ
= − +
- Điểm M chuyển động qua các “điểm ¼” thì pha dao động của P thỏa
mãn:
2
t k

π
ω ϕ
+ =
(với k nguyên)
- M chuyển động từ một “điểm ¼” đến “điểm ¼” liền sau thì P đi được
quãng đường bằng A và mất thời gian là T/4.
6
0
1
2
3
O
x
¼ lẻ
¼ lẻ
¼ chẵn ¼ chẵn
- M qua “điểm ¼” chẵn (k =
0, 2, 4 ± ±
) thì P ở vị trí biên, vận tốc tức
thời của P nhỏ nhất v=0 (vận tốc đổi dấu, vật dao động điều hòa đổi
chiều chuyển động)
- M qua “điểm ¼” lẻ (k =
1, 3 ± ±
) thì P ở VTCB, vận tốc tức thời của P
lớn nhất v = ω.A (gia tốc đổi chiều, lực kéo về đổi chiều)
Lưu ý: Các nội dung viết ngay sau đây sẽ quy ước: M qua “điểm ¼” ta có
thể nói P cũng qua “điểm ¼”
II. Vận dụng “điểm 1/4” tính quãng đường vật dao động điều hòa đi
được từ thời điểm t
1

đến t
2

1. Phương pháp “Điểm ¼”
- Cơ sở: dựa vào đặc điểm:
o Vật dao động điều hòa từ một “điểm ¼” đến “điểm ¼” liền sau
được quãng đường bằng A
o Thời điểm vật qua các “điểm ¼” thỏa mãn
2
t k
π
ω ϕ
+ =
(với k
nguyên)
- Các bước giải:
o Bước 1: Tính
1 1 2 2
cos( ); cos( )x A t x A t
ω ϕ ω ϕ
= + = +
o Bước 2: Tìm trong khoảng thời gian t
1
 t
2
vật đi qua bao nhiêu
“điểm ¼” dựa vào bất phương trình:
1 2
1 2
2

2 2
( ) ( )
t k t
t k t
π
ω ϕ ω ϕ
ω ϕ ω ϕ
π π
+ ≤ ≤ +
⇔ + ≤ ≤ +
Lấy phần nguyên
1 1 2 2
2 2
( ) ; ( )k t k t
ω ϕ ω ϕ
π π
   
= + = +
   
   
.
Khi đó: Số điểm ¼ vật đi qua là số giá trị nguyên của k, là:
k= k
2
– k
1
,
7
k
1

là điểm ¼ đầu tiên vật đi qua;
k
2
là điểm ¼ cuối cùng vật đi qua.
o Bước 3: Ta tưởng tượng kéo quãng đường vật đi được thành một
đoạn thẳng và được chia nhỏ bởi các “điểm ¼” (hình vẽ)
Với:
o s
1
là quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến “điểm 1/4” đầu
tiên k
1
. Được tính theo 1 trong 2 trường hợp:
Vậy
1
1
1
A x
s
x
 −

=



8
1 1

s A x
= −
1 1
s x
=
nếu k
1
chẵn

nếu k
1
lẻ
Điểm ¼ Điểm ¼ Điểm ¼ Điểm ¼
Vị trí tại
thời
điểm t
1
Vị trí tại
thời
điểm t
2
Điểm ¼
đầu tiên
k
1
Điểm ¼
cuối
cùng k
2
Số “điểm ¼” vật đi qua là k = k

2
-k
1

1
s
2
s
0
1
2
3
O
x
Điểm ¼ k
1

chẵn
Thời điểm t
1
0
1
2
3
O
x
Thời điểm t
1
Điểm ¼ k
1

lẻ
o s
2
là quãng đường đi được từ “điểm 1/4” cuối cùng k
2
đến thời
điểm t
2
. Được tính theo 1 trong 2 trường hợp:
Vậy
2
2
2
A x
s
x
 −

=



o Bước 4: Khi đó quãng đường vật đi được từ t
1
 t
2
được tính
bằng:
2 1 1 2
( )s k k A s s

= − + +
- Kết luận: Tóm tắt các bước tính:
o Bước 1: Tính:
1 1 2 2
cos( ); cos( )x A t x A t
ω ϕ ω ϕ
= + = +
o Bước 2: Tính (lấy phần nguyên):
1 1 2 2
2 2
( ) ; ( )k t k t
ω ϕ ω ϕ
π π
   
= + = +
   
   
o Bước 3: Tính s
1
và s
2
theo :

i
i
i
A x
s
x
 −


=



(với i=1,2)
o Bước 4: Quãng đường đi được:
2 1 1 2
( )s k k A s s= − + +
9
2 2
s A x
= −
2 2
s x
=
nếu k
2
chẵn

nếu k
2
lẻ
nếu k
i
chẵn

nếu k
i
lẻ

0
1
2
3
O
x
Điểm ¼ k
2

chẵn
Thời điểm t
2
0
1
2
3
O
x
Thời điểm t
1
Điểm ¼ k
2
lẻ
2. So sánh với phương pháp thông thường:
Bước 1 : Xác định :
1 1 2 2
1 1 2 2
x Acos( t ) x Acos( t )
và
v Asin( t ) v Asin( t )

= ω + ϕ = ω + ϕ
 
 
= −ω ω + ϕ = −ω ω + ϕ
 
(v
1
và v
2
chỉ cần xác định dấu)
Bước 2 : Phân tích : t = t
2
– t
1
= nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T)
Quãng đường đi được trong thời gian nT là S
1
= 4nA,
Quãng đường trong thời gian ∆t là S
2
* Nếu v
1
.v
2
≥ 0 ⇒
2 2 1
2
2 2 1
T
t S x x

2
T
2A
t S
2
T
t S 4A x x
2

∆ < ⇒ = −



=
∆ ⇒ =



∆ > ⇒ = − −


* Nếu v
1
.v
2
< 0 ⇒
1 2 1 2
1 2 1 2
v 0 S 2A x x
v 0 S 2A x x

> ⇒ = − −


< ⇒ = + +

Bước 3: Quãng đường tổng cộng là S = S
1
+ S
2

3. Bài tập minh họa
Bài 1. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình
12cos(50 )
2
x t
π
= −
. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
( )
12
t s
π
=
, kể từ thời điểm gốc (t=0) là:
A. 6cm B. 90cm C. 102cm D. 54cm.
Trả lời: Đáp án C
Giải: Tính quãng đường vật đi từ thời điểm t
1
=0(s) đến
2

( )
12
t s
π
=
Cách 1: Dựa vào “điểm ¼”
-
1
12cos(50.0 ) 0
2
x cm
π
= − =
;
2
1
12cos(50. ) 12. 6
12 2 2
x cm
π π
= − = =
10
- Tính
[ ]
1 1
2 2
2(50.0 )
2
2
( ) 1;

2(50. )
2
12 2
( ) 7,333 7
k t
k t
π
ω ϕ
π π
π π
ω ϕ
π π

 
−

 
 
= + = = −

 
 
 

 
  

 

−

 
 

= + = = =
 
 

 
 

 

- Tính
1 1
0s x= =
cm (vì k
1
lẻ);
2 2
6s x cm= =
(vì k
2
lẻ)
- Kết quả cuối:
2 1 1 2
( ) (7 1).12 0 6 102s k k A s s cm= − + + = + + + =
Cách 2: Cách giải thông thường:
- Tại t
1
 0 :

0
0
x 0
v 0
=


>


- Tại thời điểm t
2
 π/12(s) :
x 6cm
v 0
=


>


- Số chu kì dao động : N 
0
t t
T
−

t
T


.25
12.
π
π
 2 +
1
12
⇒
t  2T +
T
12
 2T +
300
π
s. Với : T 
2
π
ω

2
50
π

25
π
s
Vậy thời gian vật dao động là 2T và Δt  π/300(s)
- Quãng đường tổng cộng vật đi được là : S
t
 S

1
+ S
2

Với : S
1
 4A.2  4.12.2  96m.
Vì
0
v v 0
T
t <
2
≥



∆


⇒ S
2

0
x x−
 6  0  6cm
Vậy : S
t
 S
1

+ S
2
 96 + 6  102cm.
Nhận xét:
Phương pháp “điểm ¼” có ưu điểm hơn:
11
(Lẻ)
(Lẻ)
- Không phải chia ra thành nhiều trường hợp, độ phức tạp nhỏ hơn.
- Số phép toán phải tính ít hơn, thời gian tính toán nhanh hơn.
- Các phép toán có sự lặp lại giống nhau nên dễ nhớ và dễ vận dụng.
Bài 2. Một vật dao động điều hòa với phương trình
4cos( )
2
x t cm
π
π
= −
. Tính
quãng đường vật đi được trong 2,25 giây đầu tiên.
Giải: Tính quãng đường vật đi từ thời điểm t
1
=0s đến t
2
=2,25s
Cách 1: Dựa vào “điểm ¼”
-
1
4cos( .0 ) 0
2

x cm
π
π
= − =
;
2
2
4cos( .2,25 ) 4. 2 2
2 2
x cm
π
π
= − = =
- Tính
[ ]
1 1
2 2
2( .0 )
2
2
( ) 1;
2( .2,25 )
2
2
( ) 3,5 3
k t
k t
π
π
ω ϕ

π π
π
π
ω ϕ
π π

 
−

 
 
= + = = −

 
 
 

 
  

 

−
 
 

= + = = =
 
 


 
 

 

- Tính
1 1
0s x= =
cm (vì k
1
lẻ) ,
2 2
2 2s x cm= =
(vì k
2
lẻ)
- Kết quả cuối:
2 1 1 2
( ) (3 1).4 0 2 2 16 2 2s k k A s s cm= − + + = + + + = +
Cách 2: Cách giải thông thường khác:
- Ta có chu kỳ
2
2T s
π
π
= =
- Phân tích
2 1
2,25 0,25t t t T∆ = − = = +
- Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên

1
4. 16s A cm= =
- Tính li độ và dấu vận tốc tại thời điểm t
1
=2s
1
1
1
1
4cos( .2 )
0
2
0
4sin( .2 )
2
x
x
v
v
π
π
π
π

= −

=


⇔

 
>


= − −


12
(Lẻ)
(Lẻ)
- Tính li độ và dấu vận tốc tại thời điểm t
2
=2,25s
2
2
2
2
4cos( .2,25 )
2 2
2
0
4sin( .2,35 )
2
x
x cm
v
v
π
π
π

π

= −


=
 
⇔
 
>



= − −


- Ta thấy trong 0,25 giây cuối vật không đổi chiều chuyển động nên
quãng đường đi trong 0,25s cuối là
2 2 1
2 2s x x= − =
- Kết quả cuối:
1 2
16 2 2s s s cm= + = +
3. Bài tập vận dụng
Bài 3. Một vật nhỏ dao động điều hòa với biên độ A, chu kỳ dao động T. Ở
thời điểm ban đầu t=0 vật đang ở VTCB hoặc VT biên. Quãng đường mà vật
đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm T/4 là:
A. A/2 B. 2A C. A D. A/4
Bài 4. Một con lắc lò xo dao động với phương trình
6cos(20 )

3
x t cm
π
= +
.
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
13
( )
60
t s
π
=
, kể từ lúc bắt đầu
dao động là:
A. 6cm B. 90 cm C. 102 cm D. 54cm
Bài 5. Một vật dao động với phương trình
3
4 2 cos(5 )
4
x t cm
π
π
= −
. Quãng
đường vật đi từ thời điểm
1
1
( )
10
t s=

đến
2
6( )t s=
là:
A. 84,4cm B. 333,8cm C. 331,4cm D. 337,5cm
Bài 6. (CĐ 2007): Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kì dao
động T , ở thời điểm ban đầu to = 0 vật đang ở vị trí biên. Quãng đường mà
vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = T/4 là:
A/2 . B. 2A . C. A/4 . D. A.
13
Bài 7. Một vật dao động điều hòa với phương trình
2cos(10 )
3
x t cm
π
π
= −
. Tính
quãng đường vật đi được trong 1,1 giây đầu tiên.
Đ/A: 44cm
14
PHẦN III. KẾT LUẬN
Liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa được ứng
dụng vào giải nhiều bài toán về dao động. Vận dụng “điểm ¼” trong việc giải
bài toán tìm quãng đường đi được trong khoảng thời gian cho trước là một
cách khai thác ứng dụng đó. Với hướng khai thác tương tự, phương pháp này
có thể cho đáp án của các bài toán liên quan đến những đặc điểm gắn với
“điểm ¼”, như:
- Trong khoảng thời gian t
1

đến t
2
vật dao động đạt vận tốc cực đại (hay
cực tiểu) bao nhiêu lần,
- Trong khoảng thời gian t
1
đến t
2
vật dao động đổi chiều bao nhiêu
lần…
Hay có thể vận dụng để trả lời các bài toán khác, với thời gian giải
ngắn, có phương pháp giải rõ ràng, dễ vận dụng. Đó là vấn đề mà tác giả
muốn các quý thầy (cô) góp ý để cho đề tài được hoàn thiện và được ứng
dụng rộng rãi hơn.
Hơn thế nữa, việc chia bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ, mỗi bài
toán nhỏ có tính tuần hoàn và phương pháp giải chung là một cách để giải
những bài toán phức tạp, không chỉ áp dụng riêng cho các dạng toán đề cập
đến trong đề tài này, mà có thể vận dụng tìm kiếm lời giải cho các bài toán
khác, thuộc phần kiến thức khác hay môn học khác.
Do kiến thức cá nhân còn nhiều hạn chế rất mong sự nhận xét, đóng
góp ý kiến của các thầy (cô) cho đề tài này.
15