Bài tập giải tích số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.01 MB, 67 trang )
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
SAI SỐ VÀ TÍNH GẦN ĐÚNG
Bài 1.
Xác định sai số tuyệt đối giới hạn của số gần đúng x = 3,14 thay cho số
.
Bài 2.
Đo trọng lượng của 1 dm
3
nước ở 0
0
C nhận được:
p
*
= 999,847g
0,001g.
Hãy xác định sai số tương đối giới hạn của phép đo trên.
Bài 3.
Một mảnh đất hình chữ nhất có chiều dài d =15,45m và chiều rộng
r = 3,94m với sai số 1cm.
Hãy ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn của diện tích S.
Bài 4.
Cho các số gần đúng a =4,7658 và b = 3,456 với a =5.10
-4
và b=10
-3
;
còn u = a.b. Hãy tìm sai số tương đối giới hạn của a và b; tính u và ước lượng
sai số u và u.
Bài 5.
Cho a=12345; và a =0,1%, b=34,56 với b=0,8%. Xác định sai số tuyệt đối
giới hạn a; b.
Bài 6.
Cho u = a-b với a = 55,23 và b = 55,20; a = b = 0,005.
Tính u, u và u.
Bài 7. Cho u = a/b + c với a = 125; b = 0,5; c = 5; a = b = 0,1 ; c = 1.
Tính u và u.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
GIẢI
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
SAI SỐ VÀ TÍNH GẦN ĐÚNG
Bài 1.
Vì
15,314,3
nên
01,0
x
và có thể chọn
01,0
x
.
Chú ý
:
Nếu
142,314,3
thì
002,0
x
và do vậy ta có giá trị
002,0
x
.
Bài 2.
Sai số tương đối giới hạn của phép đo trên là:
p =p/׀p׀ = 0,001/999,847 = (10
-4
)%
Bài 3.
Sai số 1cm= 0,01m ta hiểu là:
d = 0,01m. Do đó: d = 15,45m ± 0,01m
r = 0,01m. Do đó: r = 3,94m ± 0,01m
Khi đó diện tích của mảnh đất được tính là:
S = d.r = (15,45m) . (3,94 m) = 60,873 m
2
Cách 1.
Ta có: d =d/׀d׀ = 0,01/15,45 = 6,47.10
-4
;
r = r/׀r׀ = 0,01/3,94 = 2,54.10
-3
.
Sai số tương đối giới hạn của S là:
S = d + r = 0,01/15,45 + 0,01/3,94 = 3,18.10
-3
Sai số tuyệt đối giới hạn của S là:
S = ׀S׀. S = (60,873).( 3,18.10
-3
) = 0,1939.
hay làm tròn S = 0,2 m
2
.
Cách 2.
Với cận trên là (15,45 + 0,01) .(3,94 + 0,01) = 61,067 m
2
và cận dưới là (15,45 - 0,01) . (3,94 - 0,01) = 60,679m
2
hay 60,679 ≤ S ≤ 61,067
Vậy ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn của S là:
| S-S
0
| ≤ 0,194 m
2
= S
hay làm tròn S = 0,2 m
2
Bài 4.
Ta có: a =a/׀a׀ = 5.10
-4
/4,7658 = 1,049.10
-4
;
b = b/׀b׀ = 10
-3
/3,456 = 2,8935.10
-4
.
Sai số tương đối giới hạn của S là:
u = a + b = 5.10
-4
/4,7658 + 10
-3
/3,456
= 1,049.10
-4
+ 2,8935.10
-4
= 3,9426.10
-4
Ta có: u = a.b = (4,7658).(3,456 ) = 16,470
Sai số tuyệt đối giới hạn của S là:
u = ׀u׀.u = (16,47).(3,9426.10
-4
)
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
= 6,4935.10
-3
.
Bài 5.
Với a=12345; b=34,56 và a =0,1%, b=0,8%.
Ta có: - Sai số tuyệt đối giới hạn a = ׀a׀.a = 12345.0,1%= 12,345;
- Sai số tuyệt đối giới hạn b = ׀b׀.b = 34,56.0,8%= 0,27648.
Bài 6.
Ta có u = a - b = 55,23 - 55,20 = 0,03; a = b = 0,005.
Sai số tuyệt đối giới hạn của u là:
u = a + b = 0,005 +0,005 = 0,01.
Sai số tương đối giới hạn của u là:
u = u/׀u׀ = 0,01 / 0,03 = 33,33% .
Bài 7.
Kiến thức:
Hàm tổng đại số: u = a + b
u = a + b
Hàm thương: u = a : b
u = a + b
Tóm tắt đề bài:
Cho u = a:b + c với a = 125; b = 0,5; c = 5; a = b = 0,1; c = 1.
a) Ta có: u = 125:0,5 + 5 = 250 + 5 = 255.
b) Đặt x = a:b suy ra u = x + c. Do đó u = x + c.
x =
x .x mà x = a + b = a: a + b: b = 0,1:125 + 0,1:0,5.
Nên x =
x .x =
5,0
125
(0,1:125+0,1:0,5) = 50,2.
Do đó: u = x + c = 50,2 +1 = 51,2.
Vậy: u = u:
u = 51,2 : 255
0,2007.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
BÀI TẬP CHNG 2.
GII GN ĐÚNG PHNG TRÌNH SIÊU VIT VÀ ĐẠI SỐ
1. Tách nghim phng trình
Bài 1.
Cho phương trình:
015234
2345
xxxxxxf
.
Tìm khoảng chứa nghiệm của hàm số f(x).
Bài 2.
Cho
phương
trình:
5x
5
-
8x
3
+
2x
2
-
x
+
6
=
0.
Tìm
cận
trên
nghiệm
dương
của
phương
trình
trên
Bài 3.
Cho
phương
trình:
2x
5
-
4x
4
+ x
3
-5x
2
-
3
x
+
7 =
0
Tìm
cận
trên
nghiệm
dương
của
phương
trình
trên.
2. Gii gn đúng phng trình bằng phng pháp chia đơi
Bài 4.
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình:
012f(x)
34
xxx
biết khoảng cách ly nghiệm là:
1; 0x
với sai số không quá
-3
10
.
Bài 5.
Tìm nghiệm dương của phương trình f(x) = x
2
+ 2x – 0,5 trong khoảng [0;1]
theo phương pháp chia đôi.
Bài 6.
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình sau:
01xf(x)
3
x
.
với sai số không quá
-3
10
.
Bài 7.
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình:
07x2xf(x)
3
biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 2), với sai số không quá
-3
10
.
3. Gii gn đúng phng trình bằng phng pháp lặp
wWw.kenhdaihoc.com - Kờnh Thụng Tin - Hc Tp - Gi Trớ
Baứi 8.
Gii phng trỡnh x
5
- 40 x + 3 = 0; x[0,1],
bng
phng
phỏp
lp.
Baứi 9.
Gii gn ỳng phng trỡnh f(x) = x
3
+x-1000=0
bng
phng
phỏp
lp
. Bit
khong cha nghim l [9, 10].
Baứi 10.
Tỡm
nghim nghim gn ỳng phng trỡnh:
x
3
+ x
2
-1 = 0
bng
phng
phỏp
lp. Bit khong phõn ly nghim l [0; 1].
Baứi 11.
Tỡm
nghim nghim gn ỳng phng trỡnh:
01000
3
xx
bng
phng
phỏp
lp. Bit khong phõn ly nghim l [1000/1001; 1001].
4. Gii gn ỳng phng trỡnh bng phng phỏp tip tuyn
Baứi 12.
tớnh gn ỳng
3
15
ta gii phng trỡnh x
3
-15 = 0 trờn on [2,3].
Baứi 13.
Tỡm nghim gn ỳng ca
phng
trỡnh:
02,12,02,0
23
xxxxf
bng
phng
phỏp
tip
tuyn. Bit khong cỏch ly nghim l: (1,1; 1,4).
Baứi 14.
Tỡm nghim gn ỳng ca
phng
trỡnh:
010000753
24
xxxxf
bng
phng
phỏp
tip
tuyn. Bit khong cỏch ly nghim l: (-11;- 10).
Baứi 15.
Tỡm nghieọm dửụng cuỷa phửụng trỡnh f(x) = x
2
+ 2x 0.5 trong
khong
cha
nghim: [0,1] theo phửụng phaựp Newton (phng phỏp tip tuyn).
4. Gii gn ỳng phng trỡnh bng phng phỏp dy cung
Baứi 16.
Gii
gn ỳng
phng
trỡnh sau:
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
x
3
-
x
-
1
=
0
bằng
phương
pháp
dây
cung.
Bài 17
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng phương trình:
02,12,02,0f(x)
23
xxx
biết khoảng cách ly nghiệm là: [1,1; 1,4], với sai số không quá
-3
10
.
Bài 18 Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương
trình:
01f(x)
3
xx
biết khoảng cách ly nghiệm là: [1; 2], với sai số không quá
-3
10
.
Bài 19
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương trình:
04x2xf(x)
4
biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 1,7), với sai số không quá
-2
10
.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
GIAÛI BÀI TP CHNG 2.
GII GN ĐÚNG PHNG TRÌNH SIÊU VIT VÀ ĐẠI SỐ
1.
Tách nghim phng trình
BƠi 1.
Từ phương trình
015234
2345
xxxxxxf
, ta có:
.1a ;5 ;1 ;2a ;3 ;4
543210
aaaa
51;5;1;2;3max,1;max
1
niam
i
55;1;2;3;4max1,0;max
2
niam
i
Suy ra
21
4
5
1
51
1
xxx
4
9
6
1
x
.
BƠi 2.
Từ phương trình:
5x
5
-
8x
3
+
2x
2
-
x
+
6
=
0
, t
a
có:
a
0
=
5;
a
1
=
0;
a
2
=
-8;
a
3
=
2;
a
4
=
-1;
a
5
=
6.
Do
a
2
=
-8
là
hệ
số
âm
đầu
tiên,
nên
m
=
2
1;8max a
=
81;8max
.
Vậy
cận
trên
của
nghiệm
dương:
5
8
1N
.
BƠi 3.
Từ phương trình:
2x
5
-
4x
4
+ x
3
-5x
2
-
3
x
+
7 =
0, ta
có
a
0
=
2;
a
1
=
-4;
a
2
=
1;
a
3
=
-5;
a
4
=
-3;
a
5
=
7.
Do
a
1
=
- 4
là
hệ
số
âm
đầu
tiên,
nên
m
=
1
53;5;4max a
.
Vậy
cận
trên
của
nghiệm
dương:
5,3
2
7
2
5
1 N
.
2. Gii gn đúng phng trình bằng phng pháp chia đôi
BƠi 4.
-
Tách
nghiệm:
Ta có:
f(0)=
-1
<
0; f(1) =
1>0. Suy ra:
f(0).f(1) =
(-1).1= -1
<
0.
Nên theo định lý 1 phương
trình
đã cho
có
một
nghiệm
x
[0;1].
- Chính
xác
hoá
nghiệm:
Áp
dụng
phương
pháp
chia
đôi
.
Bảng
kết
quả:
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
n a
n
b
n
2
nn
ba
2
nn
ba
f
0 0 1 0,5
5,0f
= -1,19
1 0,5 1 0,75
75,0f
=-0,59
2 0,75 1 0,875
875,0f =0,051
3 0,75 0,875 0,8125
8125,0f
=-0,3039
4 0,8125 0,875 0,8438
8438,0f
=-0,1353
5 0,8438 0,875 0,8594
8594,0f
=-0,0444
6 0,8594 0,875 0,8672
8672,0f
=0,0027
8672,0limlim
n
n
n
n
ba
Kết
luận:
Nghiệm
của
phương
trình:
x
0,8672.
BƠi 5.
f(x) = x
2
+ 2x – 0,5
-
Tách
nghiệm:
Ta có:
f(0)=
-1/2
<
0; f(1) =
5/2>0. Suy ra:
f(0).f(1) =
(-1/2).(5/2)= -5/4
<
0.
Nên theo định lý 1 phương
trình
đã cho
có
một
nghiệm
x
[0,1].
- Chính
xác
hố
nghiệm:
Áp
dụng
phương
pháp
chia
đơi
.
Bảng
kết
quả:
n
a
n
b
n
c
n
= (a
n
+b
n
)/2 f(c
n
)
0
0 1 0,5 0,75
1
0 0,5 0,25 0,0625
2
0 0,25 0,125 -0,23438
3
0,125 0,25 0,1875 -0,08984
4
0,1875 0,25 0,21875 -0,01465
5
0,21875 0,25 0,234375 0,023682
6
0,21875 0,234375
0,2265625 0,004456
22656,0limlim
n
n
n
n
ba
Kết
luận:
Nghiệm
của
phương
trình:
x
22656,0
.
Bài 6:
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm
2;1x
- Chính xác hoá nghiệm: f(1)=-1<0; f(2)=5>0.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
Bảng kết quả:
n a
n
b
n
2
nn
ba
f
0 1 2 f(1,5)=0,875
1 1 1,5 f(1,25)=-0,297
2 1,25 1,5 f(1,375)=0,225
3 1,25 1,375 f(1,313)=-0,052
4 1,313 1,375 f(1,344)=0,084
5 1,313 1,344 f(1,329)=0,016
6 1,313 1,329 f(1,321)=-0,016
7 1,321 1,329 f(1,325)=0,001
Vậy 325,1
x .
Bài 7:
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm
2;1x
f(1) = - 4 < 0; f(2) = 5 > 0.
- Chính xác hoá nghiệm:
Bảng kết quả:
n a
n
b
n
2
nn
ba
f
0 1,0 2,0 f(1,5) =3,375+3-7= - 0,625 < 0
1 1,5 2,0 f(1,75) = 5,359+3,5-7=1,859 > 0
2 1,5 1,75 f(1,625)=4,291+3,25-7=0,541> 0
3 1,5 1,625
f(1,563)=3,818+4,689-7=- 0,056 < 0
4 1,563
1,625
f(1,594)= 4,050+3,188-7=0,238> 0
5 1,563
1,594
f(1,579)= 3,937+3,158-7=0,095> 0
6 1,563
1,579
f(1,571)=3,877+3,142-7=0,019> 0
7 1,563
1,571
f(1,567)=3,848+3,134-7=-0,018<0
8 1,567
1,571
f(1,569)=3,863+3,138-7=0,001
Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10
-3
là: 569,1x
.
3. Gii gn đúng phng trình bằng phng pháp lặp
Bài 8.
Giải phương trình x
5
- 40 x + 3 = 0; x[0,1],
bằng
phương
pháp
lặp.
Hớng dn.
-Tách nghiệm:
Ta có: f(0) = 3 > 0; f(1) = -36< 0. Suy ra:
f(0).f(1) =
3.(-36)= -108
<
0.
Nên theo định lý 1:
Phương trình có một nghiệm
1;0x
.
wWw.kenhdaihoc.com - Kờnh Thụng Tin - Hc Tp - Gi Trớ
- Chớnh xaực hoaự nghieọm:
Ta a phng trỡnh ó cho v dng:
x = (x
5
+3)/40 .
t: g(x) = (x
5
+3)/40.
Ta thy g(x) tho món: 0 g(x) 1
0 g
/
(x) = x
4
/8 1/8 = q <1 ; vi x[0,1]
Vi x
0
= 0,5, EPSILON = 0,0001 sau 4 ln lp chỳng ta c x = 0,075.
Baứi 9.
Gii gn ỳng phng trỡnh f(x) = x
3
+x-1000 = 0
bng
phng
phỏp
lp
. Bit
khong cha nghim l [9, 10].
Hng dn
Cỏch 1.
D thy f(9).f(10) <0 nờn phng trỡnh cú nghiờm trong khong (9,10). Ta cú 3
cỏch a phng trỡnh v cỏc dng sau:
a) x=
1
(x) = 1000-x
3
b) x=
2
(x) = 1000/x
2
-1/x
c) x=
3
(x) = (1000-x)
1/3
Ta xột tng trng hp:
d)
1
(x) = -3 x
2
; max |
1
(x)| =300 >>1
e)
2
(x) = -2000.x
-3
+ x-
2
; |
2
(10)| 2
f)
3
(x) = -(1000-x)
-2/3
/3; |
3
(x)| 1/(3 . 999
2/3
) 1/300 =q
Hai hm u khụng tha món cỏc tớnh cht | (x) | <1.Cũn hm
3
(x) hi t rt
nhanh vỡ q rt bộ.
Cỏch 2.
-
Tỏch
nghim:
Ta cú:
f(9) =
-262
<
0; f(10) =
10 > 0. Suy ra:
f(9).f(10) =
-2620
<
0.
Nờn theo nh lý 1 phng
trỡnh
ó cho
cú
mt
nghim
x
[9; 10].
-
Chớnh
xỏc
hoỏ
nghim:
3
3
100001000 xxxx
;
3
1000 xx
;
1
1000
2
x
x
t
3
1000 xxg
. Suy ra
10,9;1
10003
1
.
3
1
/
2
/
xxg
x
xg
.
Khi ú ỏp
dng
phng
phỏp
lp
(chn
x
0
=
9). Ta cú bng kt qu sau:
n x
n
3
1
1000 xxgx
nn
0 x
0
= 9
97,99
0
gxg
1 x
1
= 9,97
967,997,9
1
gxg
2 x
2
= 9,967
967,9967,9
2
gxg
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
3
43
10
xx
Kết
luận:
Nghiệm
của
phương
trình:
x
9,967.
Baøi 10.
Tìm
nghiệm nghiệm gần đúng phương trình:
x
3
+ x
2
-1 = 0
bằng
phương
pháp
lặp. Biết khoảng phân ly nghiệm là [0; 1].
Gii:
-
Tách
nghiệm:
Ta có:
f(0) =
-1
<
0; f(1) =
1 > 0. Suy ra:
f(0)f(1) =
(-1).1 = -1
<
0.
Nên theo định lý 1 phương
trình
đã cho
có
một
nghiệm
x
[0; 1].
-
Chính
xác
hoá
nghiệm:
1
1
01
23
x
xxx .
Đặt
1
1
x
xg . Suy ra
1,0;1
12
1
/
3
/
xxg
x
xg
;
Khi đó áp
dụng
phương
pháp
lặp
(chọn
x
0
=
0,75). Ta có bảng kết quả sau:
n x
n
1/1
1
nnn
xxgx
0 x
0
= 0,75
7559,075,0
0
gxg
1 x
1
= 0,7559
754658,07559,0
1
gxg
2 x
2
= 0,754658
754924,0754658,0
2
gxg
3 x
3
= 0,754924
754867,0754924,0
3
gxg
4
43
10
xx
Kết
luận:
Nghiệm
của
phương
trình:
x
0,754867.
Baøi 11.
Tìm
nghiệm nghiệm gần đúng phương trình:
0
1000
3
x
x
bằng
phương
pháp
lặp. Biết khoảng phân ly nghiệm là [1000/1001; 1001].
Gii:
-
Tách
nghiệm:
Ta có:
f(1000/1001) =
-1,002
<
0; f(1001) =
100300000 > 0.
Suy ra:
f(1000/1001).f(1001)=(-1,002).100300000 <
0
.
Nên theo định lý 1 phương
trình
đã cho
có
một
nghiệm
x
[1000/1001; 1001].
-
Chính
xác
hoá
nghiệm:
1
1000
;
1000
;1000;100001000
22
3
33
x
x
x
x
xxxxxxx
.
Giả sử chọn phương trình:
1000
3
xx
.
Đặt
1000
3
xxg
. Suy ra
;33
2/
xxg
x
[1000/1001; 1001].
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
với hàm g(x) như vậy phương pháp lặp không có hy vọng hội tụ.
Giả sử chọn phương trình:
3
1000 xx
.
Đặt
3
1000 xxg
. Suy ra:
;1
1000
1
3
1
3
2
/
x
xg
x
[1000/1001; 1001].
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
Khi đó áp
dụng
phương
pháp
lặp
(chọn
x
0
=
1). Ta có bảng kết quả sau:
n x
n
3
1
1000
nnn
xxgx
0 x
0
= 1
003,101
0
gxg
1 x
1
= 10,003
033,10003,10
1
gxg
2 x
2
= 10,033
033,10033,10
2
gxg
3
21
10
xx
Kết
luận:
Nghiệm
của
phương
trình:
x
10,033
4. Gii gn đúng phng trình bằng phng pháp tiếp tuyến
Baøi 12.
Để tính gần đúng
3
15
ta giải phương trình x
3
-15 =0 trên đoạn [2,3].
Hớng dn.
Dễ kiểm tra thấy f(2).f(3) < 0; f ’(x) =3x
2
>0; f ’’(x) =6x > 0 trên đoạn
[2,3] và x
0
=3 là điểm Fourier và do các đạo hàm f ’(x) và f ’’(x) không đổi dấu trên
[2,3] nên
m = min { |f ’(a)|, |f ’(b)| } = min{12, 27} = 12 > 0.
Áp dụng công thức
k
k
kk
xf
xf
xx
/
1
. Ta có:
22
3
1
5
3
2
3
15
k
k
k
k
kk
x
x
x
x
xx
Ta có x
1
= 2,5556; x
2
= 2,4693
Sai số |x
2
- x*| < |f(x
2
)|/m = 0,005.
Baøi 13.
Tìm nghiệm gần đúng của
phương
trình:
02,12,02,0
23
xxxxf
bằng
phương
pháp
tiếp
tuyến. Biết khoảng cách ly nghiệm là: (1,1; 1,4).
Gii:
-
Tách
nghiệm:
Ta có:
f(1,1)=
-0,331
<
0; f(1,4) =
0,872 >0.
Suy ra:
f(1,1).f(1,4) =
(-0,331).0,872= -0,289
<
0.
Nên theo định lý 1 phương
trình
đã cho
có
một
nghiệm
x
(1,1; 1,4).
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
-
Chính
xác
hoá
nghiệm:
f ’(x)
= 3x
2
-0,4x-0,2
4,1 ;1,1x
f ’’(x)
=
6x
- 0,4
4,1 ;1,1x
Áp
dụng
phương
pháp
tiếp
tuyến, ta có:
Giả sử nếu chọn
x
0
=
1,1 thì
f(1,1).
f’’(1,1) = (-0,331).6,2
<
0 không thoả điều
kiện hội tụ Furiê.
Chọn
với
x
0
=
1,4
khi đó f(1,4).
f ’’(1,4)
= 0,872.8
>
0 thoả điều kiện hội tụ Furiê
nên
quá
trình
lặp
sẽ
hội
tụ
đến
nghiệm.
Ta có bảng kết quả sau:
n x
n
nn
xfxf
/
/
nnnn
xfxfxx
/
1
/
0 x
0
= 1,400 0,170 x
1
= 1,4 - 0,170 = 1,230
1 x
1
= 1,230 0,029 x
2
= 1,230 - 0,029 = 1,201
2 x
2
= 1,201 0,001 x
3
= 1,201 - 0,001 = 1,200
3 x
3
= 1,200 0,000 x
4
= 1,200 - 0,000 = 1,200
4 x
4
= 1,200
Kết
luận:
Nghiệm
của
phương
trình:
x
1,200.
Baøi 14.
Tìm nghiệm gần đúng của
phương
trình:
010000753
24
xxxxf
bằng
phương
pháp
tiếp
tuyến. Biết khoảng cách ly nghiệm là: (-11;- 10).
Gii:
-
Tách
nghiệm:
Ta có:
f(-11)=
3453
; f(-10) =
-1050.
Suy ra:
f(-11)f(-10) =
3453.(-1050)
<
0.
Nên theo định lý 1 phương
trình
đã cho
có
một
nghiệm
x
(-11; -10).
-
Chính
xác
hoá
nghiệm:
f ’(x)
= 4x
3
- 6x + 75 < 0
10;11 x
f ’’(x)
=
12x
2
- 6
10;11 x
Áp
dụng
phương
pháp
tiếp
tuyến, ta có:
Giả sử nếu chọn
x
0
=
-10 thì
f(-10).
f’’(-10) = (-1050).1194<
0 không thoả điều
kiện hội tụ Furiê.
Chọn
với
x
0
=
-11
khi đó f(-11).f ’’(-11)
>
0 thoả điều kiện hội tụ Furiê nên
quá
trình
lặp
sẽ
hội
tụ
đến
nghiệm.
Ta có bảng kết quả sau:
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
n x
n
nn
xfxf
/
/
nnnn
xfxfxx
/
1
/
0 x
0
= -11 3453/(-5183) x
1
= -10,334
1 x
1
= -10,334
309/(-4277) x
2
= -10,262
2 x
2
= -10,262
4,335/(-4186,137) x
3
= -10,261
3 x
3
= -10,261
0,149/(-4184,879) x
4
= -10,261
4 x
4
= -10,261
Kết
luận:
Nghiệm
của
phương
trình:
x
-10,261.
Bài 15.
Tìm nghiệm dương của phương trình f(x) = x
2
+ 2x – 0.5 trong khỏang
chứa nghiệm: [0,1] theo phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến).
Gii:
-
Tách
nghiệm:
Ta có:
f(0)=
-0,5
; f(1) =
2,5.
Suy ra:
f(0).f(1) =
(-0,5).2,5
<
0.
Nên theo định lý 1 phương
trình
đã cho
có
một
nghiệm
x
(0; 1).
-
Chính
xác
hố
nghiệm:
f ’(x)
= 2x + 2 = 2(x + 1) > 0
1 ;0x
f ’’(x)
=
2
1 ;0x
Áp
dụng
phương
pháp
tiếp
tuyến, ta có:
Chọn
với
x
0
=
0
khi đó f(0).f ’’(0) = (-0.5).2 = -1 < 0 khơng thoả điều kiện hội tụ
Furiê nên
q
trình
lặp
sẽ
khơng
hội
tụ
đến
nghiệm.
Chọn
với
x
0
=
1
khi đó f(1).f ’’(1) = (2.5).2 = 5 > 0 thoả điều kiện hội tụ Furiê
nên
q
trình
lặp
sẽ
hội
tụ
đến
nghiệm.
Ta có bảng kết quả sau:
Ta có kết quả như sau:
i x f(x) f'(x) x
1
=x
0
-f(x
0
)/f'(x
0
)
x
1
-x
0
1 0,5 0,75 3 0,25 -0,25
2 0,25 0,0625 2,5 0,225 -0,025
3 0,225 0,000625
2,45 0,224744898 -0,00026
4. Gii gn đúng phng trình bằng phng pháp dơy cung
Bài 16. Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương
trình:
01f(x)
3
xx
biết khoảng cách ly nghiệm là: [1; 2], với sai số không quá
-3
10
.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
Gii.
- Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm
2;1x
- Chính xác hoá nghiệm: f(1)=-1; f(2)=5.
Bảng kết quả:
n a
n
b
n
)()(
)()(
afbf
abfbaf
x
k
k
xf
0 1 2 1,167 -0,578
1 1,167 2 1,253 -0,286
2 1,253 2 1,293 -0,131
3 1,293 2 1,311 -0,058
4 1,311 2 1,319 -0,024
5 1,319 2 1,322 -0,012
6 1,322 2 1,324 -0,003
7 1,324 2 1,324 0
Vậy
324,1
x
.
Bài 17
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng phương trình:
02,12,02,0f(x)
23
xxx
biết khoảng cách ly nghiệm là: [1,1; 1,4], với sai số không quá
-3
10
.
Gii.
- Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm
4,1 ;1,1x
- Chính xác hoá nghiệm: f(1,1)= -0,331 <0; f(1,4)= 0,872 >0.
2,04,03
2/
xxxf
;
4,06
//
xxf
;
0
/
xf
;
0
//
xf
4,1 ;1,1x
.
Bảng kết quả:
n a
n
b
n
)()(
)()(
afbf
abfbaf
x
k
k
xf
0 1,1 1,4 1,18254 -0,06252
1 1,1825 1,4 1,19709 -0,01056
Vậy
197,1
x
Bài 18
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương trình:
04x2xf(x)
4
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 1,7), với sai số không quá
-2
10
.
Gii
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm dương
7,1 ;1x
f(1) = - 5 < 0; f(1,7) = 0,952 > 0.
- Chính xác hoá nghiệm:
Bảng kết quả:
a
n
b
n
ii
iii
ii
afbf
afab
ax
i
xf
1 1,7
588,1
1f7,1f
1f17,1
1x
1
0817,0588,1f
1,588
1,7
639,1
588,1f7,1f
588,1f588,17,1
588,1x
2
0051,0639,1f
1,639
1,7
642,1
639,1f7,1f
639,1f639,17,1
639,1x
3
0016,0642,1f
1,642
1,7
643,1
642,1f7,1f
642,1f642,17,1
642,1x
3
0004,0643,1 f
Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10
-2
là:
64,1x
.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
BÀI TẬP CHƯƠNG 3.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer
224
652
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
-
Bài 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer
2 3 2
6 2 2
2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer
0 43
14 2
2 2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer
1 2-
2 3
8 2-
21
321
21
xx
xxx
xx
Bài 5. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer
23
5
6
32
321
321
2
3 2
xx
xxx
xxx
Bài 6. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer
10
295
312
321
321
321
3
2
4
xxx
xxx
xxx
Bài 7. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
8 33 8 5
8 3 4 3
5 3 2
5
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Bài 8. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
10 3 6
2
13 3 5
2
4321
432
4321
4321
3
4
2
4
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
Bài 9. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
222482
149373
353
1542
52
4321
4321
421
4321
421
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxx
Bài 10. Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
204 08,004,0
915,03 09,0
808,024,04
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Bài 11. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
361022
25 102
15 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Bài 12. Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
15
1 5
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Bài 13. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel:
2610 2 -
132 10
3 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Bài 14. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel:
593
46
528
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Bài 15. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel:
882
86
65
321
321
321
xxx
xxx
xxx
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
Bài 1:
Hướng dẫn: Ta có
01
D
; hệ phương trình đã cho là hệ Cramer.
Đáp án: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
40
1
x
;
15
2
x
;
11
3
x
.
Bài 2:
Hướng dẫn: Ta có
018
D
; hệ phương trình đã cho là hệ Cramer.
Đáp án: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
1
1
x
;
2
2
x
;
1
3
x
.
Bài 3:
Hướng dẫn: Ta có
08
D
; hệ phương trình đã cho là hệ Cramer.
Đáp án: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
2
7
1
x
;
2
2
x
;
2
5
3
x
.
Bài 4:
Hướng dẫn: Ta có
05
D
; hệ phương trình đã cho là hệ Cramer.
Đáp án: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
2
1
x
;
3
2
x
;
5
3
x
.
Bài 5:
Hướng dẫn: Ta có
010
D
; hệ phương trình đã cho là hệ Cramer.
Đáp án: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 2
1
x ; 1
2
x ; 1
3
x .
Bài 6:
Hướng dẫn: Ta có
027
D
; hệ phương trình đã cho là hệ Cramer.
Đáp án: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
3
1
x
;
4
2
x
;
5
3
x
.
Bài 7:
Hướng dẫn: Biến đổi ma trận mở rộng của hệ đã về dạng:
A
0 : 10 0 0 0
2- : 3- 1- 0 0
5- : 3- 3 1 0
5 : 1 1- 1 1
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
0 10
2 3
5- 3 3
5
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
Đáp án: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là:
18
1
x
;
11
2
x
;
2
3
x
;
0
4
x
Bài 8:
Hướng dẫn: Biến đổi ma trận mở rộng của hệ đã cho về dạng:
A
2- : 2- 0 0 0
6- : 1- 5- 0 0
5 : 1 3 1 0
4 : 1 1- 2 1
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
2- 2
6 5
5 3
4 2
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
.
Đáp án: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là:
2
1
x
;
1
2
x
;
1
3
x
;
1
4
x
.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
Bài 9:
Giải hệ phương trình
222482
149373
353
1542
52
4321
4321
421
4321
421
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxx
Ta biến đổi ma trận bổ sung:
)2()1(
322460
293340
83020
111120
52011
222482
149373
35031
15142
52011
)4()3(
43000
43000
32100
111120
52011
15100
71100
32100
111120
52011
00000
43000
32100
111120
52011
(1) d
1
(-2) + d
2
d
1
(-1) + d
3
d
1
(-3) + d
4
d
1
(-2) + d
5
(2) d
2
(-1) + d
3
d
2
(-2) + d
4
d
2
(-3) + d
5
(3) d
3
+ d
4
d
3
+ d
5
(4) d
4
+ d
5
Vậy ta đã đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác:
43
32
112
52
4
43
432
421
x
xx
xxx
xxx
Hệ này có một nghiệm duy nhất (giải từ phương trình cuối đi ngược lên):
3
29
, 2 ,
3
17
,
3
4
1234
xxxx
.
Vậy nghiệm đó là:
3
4
,
3
17
, 2 ,
3
29
.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
Bài 10:
Từ hệ phương trình đã cho:
204 08,004,0
9 15,03 09,0
8 08,024,04
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Suy ra:
5 02,001,0
305,0 03,0
202,006,0
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Ta có:
gxBx
, với:
0 0,02 01,0
0,05 0 03,0
0,02 0,06- 0
B
,
5
3
2
g
.
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
08,002,006,00
3
1
1
j
j
b
;
08,005,0003,0
3
1
2
j
j
b
;
03,0002,001,0
3
1
3
j
j
b .
108,0}03,0;08,0;08,0{
3
1
MaxbMax
j
ij
i
thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn
0;0;0
0
x
ta có bảng kết quả sau:
i
x
x
1
x
2
x
3
1
x
2 3 5
2
x
1,92 3,19 5,04
3
x
1,9094 3,1944 5,0446
4
x
1,90923 3,19495 5,04485
Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x
1
= 1,90923; x
2
= 3,19495; x
3
= 5,04485.
Bài 11:
Từ hệ phương trình đã cho:
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
361022
25 102
15 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Suy ra:
6,3 2,02,0
5,21,0 2,0
5,11,01,0
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Ta có:
gxBx , với:
0 0,2- 2,0
0,1- 0 2,0
0,1- 0,1- 0
B ,
6,3
5,2
5,1
g .
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
2,01,01,00
3
1
1
j
j
b
;
3,01,002,0
3
1
2
j
j
b ;
4,002,02,0
3
1
3
j
j
b
;
14,0}4,0;3,0;2,0{
3
1
MaxbMax
j
ij
i
.
thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn
0;0;0
0
x
ta có bảng kết quả sau:
i
x
x
1
x
2
x
3
1
x
1,5 2,5 3,6
2
x
0,89 1,84 2,8
3
x
1,036 2,042 3,054
4
x
0,990 1,987 2,984
5
x
1,003 2,004 3,005
6
x
0,999 1,999 2,999
7
x
1,000 2,000 3,000
8
x
1,000 2,000 3,000
Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x
1
= 1,000; x
2
= 2,000; x
3
= 3,000.
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí
Bài 12:
Từ hệ phương trình đã cho:
15
1 5
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Suy ra:
2,0 2,02,0
2,02,0 2,0
0,12,02,0
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Ta có:
gxBx
, với:
0 0,2- 2,0
0,2- 0 2,0
0,2- 0,2- 0
B
,
2,0
2,0
0,1
g
.
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
4,02,02,00b
3
1j
j1
;
4,02,002,0b
3
1j
j2
;
4,002,02,0b
3
1j
j3
;
14,0}4,0 ;4,0 ;4,0{MaxbMax
3
1j
ij
i
(thoả mãn điều kiện hội tu)ï.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn
0;0;0
0
x
ta có bảng kết quả sau:
i
x
x
1
x
2
x
3
1
x
1,00 0,20 0,20
2
x
0,92 -0,04 -0,04
3
x
1,016 0,024 0,024
4
x
0,995 -0,008 -0,008
5
x
0,997 -0,001 -0,001
Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x
1
= 1; x
2
= 0; x
3
= 0.
