DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (234.34 KB, 3 trang )

Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2

Mail: Page 1

DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA
(tham khảo thêm SBT và HDG bài tập Toán cao cấp HP2)

Dạng 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số:
Ví dụ 1: Sử dụng điều kiện cần để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
( )
1
1
1. 1
2 1
n
n
n
n
+∞
=
+
−
−
∑

( )
1
3 5
2.
5 2 1
n n

n
n
n
+∞
=
+
− +
∑

(
)
2
ln 2 1
3.
1
n
n n
n
+∞
=
+ −
−
∑

Ví dụ 2: Sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
2
3
1
1
1.

100 1
n
n
n n
+∞
=
+
− −
∑

3
4
1
1 1
2.
n
n n
n
+∞
=
+ − −
∑

2
1 1
3. ln
1
n
n
n

n
+∞
=
+
 
 
−
 
∑

2
2
1
1
3.
3
n
n
n
+∞
=
+
 
 
−
 
∑

2
1

5.
( 3)
n
n
n
n
n
+∞
+
=
+
∑

(
)
4
3
1
ln 1
6.
3 3
n
n n
n n
+∞
=
+ +
− +
∑

(
)
5
1
ln 1 2
7.
n
n
n
+∞
=
+
∑

2
ln
8.
1
n
n
n
n
+∞
=
+
∑

1
1 1
9. ln

n
n
n n
+∞
=
+
 
−
 
 
∑

2
1
10.
n
n
n
n
+∞
=
−
∑

2
1
1 1
11. ln
1
n

n n
+∞
=
+
∑

2
1
1
12. 1
n
n
n e
+∞
=
 
−
 
 
∑

(
)
2
1
ln 2 1
13.
1
n
n

n
+∞
=
+
+
∑

2
1
14.
ln
n
n
n n
+∞
=
+
∑

3
1
cos
15.
1
n
n n
n
+∞
=
+

+
∑

1
1
16. arcsin
n
n
n n
+∞
=
+
∑

1
3 1
17.
4 2 1
n
n
n
n
+∞
=
+
− +
∑

1
18.

n
n
e
+∞
−
=
∑

3
1
1
19.
1
n
n
n n
n
+∞
=
+
+
∑

1
20. tan
3
n
n
n
π

+∞
=
+
∑

2
3
1
sin
21.
1
n
n
n
+∞
=
+
∑

Ví dụ 3: Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, Dalambe để sự hội tụ của các chuỗi số sau:
(
)
2
1
3 1 !
1.
.8
n
n
n

n
+∞
=
+
∑

(
)
( )
2
1
3 !
2.
2 !
n
n
n
n
+∞
=
∑

2 1
1
2 5
3. tan
2
n
n
n

n
π
+∞
+
=
−
∑

2
1
2 1
4.
2
n
n
n
+∞
=
−
∑

1
2 7
5.
.3
n
n
n
n
+∞

=
−
∑

(
)
2
2
1
5 !
6.
n
n
n
n
n
+∞
=
∑

2
1
1 2 3
7.
2 2 1
n
n
n
n
n

+∞
=
+
 
 
+
 
∑

2
1
8.
4 1
n
n
n
n
n
+∞
=
 
 
−
 
∑

(
)
2
1

1
1
9.
3 .
n n
n
n
n
+∞
+
=
+
∑

Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2

Mail: Page 2

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ sau:
( )
1
ln
1. 1
1
n
n
n
n
+∞
=

−
+
∑

(
)
3 1
1
1
2.
ln
n
n
n n
−
+∞
=
−
−
∑

( )
1
1
1
3. 1
1
n
n
n

n
+∞
+
=
−
−
+
∑

( )
( )
2
1
1
4. 1
3 1 .3
n
n
n
n
n
+∞
+
=
−
+
∑

( )
( )

1
5. 1
1
n
n
n
n
n n
+∞
=
−
+
∑

( )
( )
2
1
1 1
6. 1 ln
1
n
n
n
n
+∞
=
−
+
∑

1
sin
7.
2 1
n
n
n n
+∞
=
−
∑

( )
( )
1
2
1
8. 1
!
n
n
n
n
n
+∞
−
=
−
∑

( )
2
1
9. 1 sin
2 1
n
n
n
n
+∞
=
−
−
∑

Dạng 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
1
1
1.
.3
n
n
n
x
n
+∞
+
=

∑

2
1
3
2.
5 2
n
n
n
n
x
n
+∞
=
−
∑

( )
3
1
2 1
3. 2
1
n
n
n
x
n
+∞

=
−
−
+
∑

( )
1
4.
1
n
n
n
n x
+∞
=
+
∑

( )
1
1
5. 2 1
2 1
n
n
n
n
x
n

+∞
=
+
 
−
 
−
 
∑

2
1
1 2
6.
2 1
2 1
n
n
n x
x
n
+∞
=
− +
 
 
+
 
+
∑

2
ln 3
7.
3 1
.2
n
n
n
n x
x
n
+∞
=
+
 
 
−
 
∑

( )
1
1
8.
4 .ln 1
n
n
n
x

n
+∞
+
=
+
∑

( )
2
1
9. 1
n
n
n
nx
+∞
=
−
∑

(
)
1
1
10.
3 5 .
n n n
n
x
+∞

=
+
∑

1
1
11. .
(2 1)
n
n
n
n
x
n
+∞
=
 
 
 
+
∑

( )
1
!
12. 2 3
3 17
n
n
n

x
n
+∞
=
−
−
∑

2
1
4 2
13.
3 1
3 1
n
n
n x
x
n
+∞
=
−
 
 
+
 
+
∑

(

)
2
3
1
1
14.
1 2
n
n
n
n x
x
n
+∞
=
 
+
 
 
+
 
∑

( )
1
15. tan
n
n
n x
+∞

=
∑

Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm tổng quát:
2
1
1.
2 1
n
n
x
n n
+∞
=
− +
∑

( )
2 1
1
1
2.
2 1 ! 2 1
n
n
n
n x
n x
+
+∞

=
+
 
 
− −
 
∑

1
2
3. .
3 8 1
n
n
n
x
n x
+∞
=
 
 
− −
 
∑

( )
1
1
3 1
4. 3

3 2
n
n
n
n
x
+∞
+
=
−
−
+
∑

(
)
(
)
1
4
7 2
1
ln 2
5.
. 1
n
n
n
n x
+∞

−
=
+
−
∑

( )
3 1
1
ln 1
6.
1 .
n
n
n
n
n x
+∞
+
=
+
+
∑

Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2

Mail: Page 3

1
2

7.
2 .ln
n
n
n
x
n
+∞
+
=
∑

( )( )
2 1
1
2 1
8.
5 ln
n
n
n
n x
+∞
+
=
−
+
∑

( )

2 1
1
2 1
9.
3 .5
n
n
n
x
n
−
+∞
=
−
∑

( )
4 1
2
1
1
10.
.4
n
n
n
x
n
+
+∞

=
+
∑

2
1
1
1
11.
2 1
n n
n
n
n x
−
+∞
=
   
   
+
   
∑

( )
2
1
2
12. 1
5 2
n

n
n
n
x
n
+∞
=
−
−
∑

Ví dụ 3: Sử dụng định lý Abel và hệ quả:
1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
n
n
n
a x
+∞
=
∑
biết rằng chuỗi số
1
n
n
a
+∞
=
∑
là chuỗi đan

dấu và bán hội tụ.
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
( )
1
2
n
n
n
a x
+∞
=
−
∑
biết rằng
0 1
n
a n
> ∀ ≥
và tại
0
x
=

chuỗi bán hội tụ.
3. Cho chuỗi lũy thừa
( )
1
1
n
n