ĐỀ THI HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN : GIẢI TÍCH 2 potx

Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Họ tên SV : ……………………………………
Khoa Khoa học Ứng dụng MSSV : ………………………………………
Bộ Môn Toán Ứng dụng
ĐỀ THI HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN : GIẢI TÍCH 2
NGÀY THI : /06/2011
THỜI GIAN : 90 phút
(Sinh viên không được sử dụng tài liệu)
Đề thi có 07 câu
CA
Câu 1: Cho hàm
2
2
( , )
y x
f x y x e ye= -
. Tính d
2
f(0,1)
Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y)=x
3
+3y
2
-15x-12y
Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2
2
1
( 1)
.3
n

n n
n
n
n
¥
=
+
å
Câu 4: Tìm bán kính hội tụ và tính tổng chuỗi sau
2
0
( 1)
( 1)( 2)
n n
n
x
n n
+
¥
=
-
å
+ +
Câu 5: Tính tích phân
,
D
I xydxdy=
òò
trong đó miền D giới
Câu 6: Tính tích phân

2 2
2
S
I x dydz ydzdx z dxdy= + +
òò
trong đó S là phía
trong mặt paraboloid y=4-x
2
-z
2
lấy phần ứng với y ≥ 0
Câu 7: Tính tích phân
2 2 2 2
( ) 2 ( )
C
I y z dx xzdy x y dz= + + + -
ò
Ñ

với C là giao tuyến của 2 mặt
2 2 2
4
2
x y z z
z x
ì
ï
+ + =
ï
í

ï
= +
ï
î

lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ phía nửa dương trục Oz
CN BM duyệt
P N CA
Cõu 1 (1,5): Tớnh
2
2
2
2 2
y x
x
y x
y
f xe xye
f x e e
ỡ
ù
ù
Â
= -
ù
ù
ớ
ù
ù
Â

= -
ù
ù
ợ
(0.5)
Tớnh
2 2
2
2
2
2 2 4
, 2 2
y x x
xx
y y x
yy xy
f e ye x ye
f x e f xe xe
ỡ
ù
ù
ÂÂ
= - -
ù
ù
ớ
ù
ù
ÂÂ ÂÂ
= = -

ù
ù
ợ
(0.5) Suy ra
2 2
(0,1) ( 2)d f e dx= -

Cõu 2 (1,5): 4 im dng
1 2 3 4
(1,2), ( 1, 2), (2,1), ( 2, 1)M M M M- - - -
(0.5)
Cc tr :
min max
(2,1) 28, ( 2, 1) 28f f f f= = - = - - =
(0.5)
K t cc tr ti M1, M2 (0.5)
Cõu 3 (1) Hi t theo t/c Cauchy
Cõu 4 (1.5) BKHT R=1 (0.5)
1 1 2
0 0
( 1) ( 1)
( )
1 2
n n n n
n n
x x
S x x
n n
+ + +
Ơ Ơ

= =
- -
= +
ồ ồ
+ +
(0.5)
( ) ln(1 ) ln(1 ) , ( 1,1)S x x x x x x= + + + - " -ẻ
(0.5)
Cõu 5: (1.5)
2
1
0 2 2
4
2 2
0 0 2 sin
4
. cos sin . cos sin
I
I
I d r r dr d r r dr
p
p
j
j j j j j j
-
= +
ũ ũ ũ ũ
14444444444442 4444444444443
1444444444442 444444444443
(0.5)

I
1
=1 (0.5), I
2
= ắ, I= 7/4 (0.5)
Cõu 6: (1.5) Gi S
1
l phớa bờn phi (y dng) phn mp y=0 b gii hn bi x
2
+z
2
=4 thỡ
SUS
1
l mt biờn phớa trong vt th V gii hn bi 0y4-x
2
-z
2
(0.5)
p dng CT Gauss ta cú
1
2 2
2 (2 2 2 )
SUS V
x dydz ydzdx z dxdy x z dxdydz+ + = - + +
ũũ ũũũ
2
2 2 4
0 0 0
2 (1 cos sin ) 0

r
I d rdr dy
p
j j j
-
= - + + -
ũ ũ ũ
(0.5) . Vy I = -16 (0.5)
Cõu 7: (1.5) C1: Dựng CT Stokes : Chn S l phn mp nm trong hỡnh cu vi phỏp
vecto ngc hng dng trc Oz,
1
(1,0, 1)
2
S
n = -
uur
(0.5)
1 1
(2 2 ) (2 2 ).0 ( 2 2 )
2 2
S
I z y z x y x ds
ộ ự
ổ ử
-
ữ
ỗ
ờ ỳ
= - + - + - -
ữ

ũũ
ỗ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
(0.5)
2 2
2 4
2 ( ) 2 (2 2) 2 8 2
S
x y
I z x ds x dxdy
p
+ Ê
= - + = - + = -
ũũ ũũ
(0.5)
Cách 2: Tính trực tiếp . PT tham số của C
{
2 2
2 4
2 cos , 2sin , 2 cos 2,
2
x y
x t y t z t
z x
ì
ï

+ =
ï
= = = +Û
í
ï
= +
ï
î
t đi từ 2π đến 0 (0.5đ)
0
2 2 2 2
2
(4 sin 2cos 4 2 cos 4)( 2 sin ) 2 2 cos ( 2 cos 2)2cos (2 cos 4sin )( 2 sin )I t t t tdt t t tdt t t tdt
p
= + + + - + + + - -
ò
(0.5đ)
8 2I
p
= -
(0.5đ)