(TIỂU LUẬN) báo cáo bài tập lớn môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề tài 5 PHƯƠNG PHÁP NEWTON

ĐẠI HỌC QUỐC GIA
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC 2020-2021


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐỀ TÀI: 5
PHƯƠNG PHÁP NEWTON
Giảng viên hướng dẫn: Đoàn Thị Thanh Xuân
LỚP L03 - NHÓM 5 --- HK 211

TPHCM, ngày 2/11/2021
1


Danh sách thành viên nhóm 5 lớp L03:
ST

Họ và tên

T
1

Võ Huỳnh Nhật Duy

2

Peng Yih En

3

Ngô Huỳnh Ngọc Giàu

4

Vương Thế Hậu

5

Bùi Trọng Hiếu

2


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý thuyết
2. Tìm hiểu bài tốn
3. Sử dụng cơng cụ hỗ trợ Matlab
PHẦN KẾT LUẬN
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

3


LỜI NĨI ĐẦU
Thân chào cơ và các bạn sinh viên!
Đây là báo cáo Bài tập lớp do nhóm 5 thực hiện.

Dưới sự hướng dẫn của cơ Đồn Thị Thanh Xn, nhóm chúng em đã cố gắng trình bày
nổi bật các ý chính một cách rõ ràng, cụ thể nhất để bạn đọc và cơ có thể dễ dàng hiểu
rõ và đánh giá.
Trong thời gian học tập bộ môn Phương Pháp Tính ở lớp, chúng em đã có hội tiếp xúc và
làm quen với nhiều kiến thức, là cơ sở để chúng em có thể hồn thành bài tập lớn này.
Đây cũng là những kiến thức quý báu phục vụ cho quá trình học tập, làm việc sau này
của chúng em. Ngồi ra chúng em cảm thấy bản thân có sự tiến bộ trong việc chủ động
học tập, tìm kiếm thơng tin, trau dồi kĩ năng làm việc nhóm, tạo mối quan hệ gắn kết với
các bạn trong nhóm lớp. Để có được kết quả này là nhờ sự tận tâm trong quá trình giảng
dạy, truyền đạt kiến thức ở lớp và hướng dẫn chúng em trong quá trình thực hiện bài tập
lớn của cơ Đồn Thị Thanh Xn. Chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành
đến Cô!

4


PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí thuyết phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến).
Giả sử (a , b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f ( x)=0. Nội dung của phương
pháp Newton là trên [a , b] thay cung cong AB của đường cong y=f ( x ) bằng tiếp tuyến
với đường cong y=f ( x ) tại điểm A hoặc tại điểm B và xem hoành độ x1 của giao điểm của
tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng ξ. Ta xây dựng x2, ...xn tương
tự.
Xây dựng phương pháp:
Chọn

x
0

Xây dựng dãy lặp

Định lý: Cho phương trình f ( x)=0 trên khoảng
cách ly nghiệm (a , b). Phương pháp Newton hội tụ
nếuf ' ' (x) giữ nguyên dấu trên đoạn (a , b).
Ta sẽ chọn x0 là a hoặc b theo điều kiện Fourier
Nếu f (a) f ' ' ( a)> 0 , chọn x0 =a
Nếu f (b)f ' '( b)> 0 , chọn x0=b
 Lấy một điểm x bất kỳ thuộc [a , b], nếu f ' ( x)f ' ' (x)<0, chọn x0=a
 Lấy một điểm x bất kỳ thuộc [a , b], nếu f ' ( x)f ' ' (x)>0, chọn x0=b

Công thức đánh giá sai số
Giả sử (a , b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f (x)=0. Trên [a , b] ln có ¿ f '
(x)∨≥ m thì cơng thức đánh giá sai số của phương pháp Newton là:
|x −ξ|≤
n

f ( xn )

Với

m=|min {f ' ( x )}|

m
x ∈[a , b]

5


2. Tìm hiểu bài tốn
Cho phương trình sin(x)=0. Xét trong khoảng [-1.5,1.5]. Dùng công thức của
phương pháp Newton áp dụng cho 3 trường hợp

1) X0 = 1.0
2) X0 = 1.2
3) X0 =1.3

f(x)= sinx f’(x)=cosx
φ ( x )=x−

sin x

cos x

= x – tanx với cosx ≠ 0  x ≠
x0 = 1.0
x1 = x0 – tanx0 = 1 – tan1= –0.5574077247 => A
x2 = x1 – tanx1 = A – tanA=0.06593645192 => B
x3 = x2 – tanx2 = B- tanB => C
x4 = x3 – tanx3 = C- tanC => D
x5 = x4 – tanx4 =D – tanD= 0
Giải toán bằng phương pháp hình học

trên phần mềm Geogebra.

x0 = 1.2
x1 = x0 – tanx0 = 1.2 – tan1.2=> A
x2 = x1 – tanx1 = A – tanA=> B x3
= x2 – tanx2 = B- tanB => C x4 =
x3 – tanx3 = C- tanC => D
x5 = x4 – tanx4 =D – tanD= π ( loại)

6

x0 = 1.3
x1 = x0 – tanx0 = 1.2 – tan1.2=> A
x2 = x1 – tanx1 = A – tanA=> B
x3 = x2 – tanx2 = B- tanB => C
x4 = x3 – tanx3 = C- tanC => D
x5 = x4 – tanx4 =D – tanD=−π( loại)

Nhận xét: Vậy chỉ có trường hợp 1 X0 = 1 thỏa khoảng đề bài yêu cầu.
Như vậy ra có thể dùng excel để tìm ra sơ lược vùng nghiệm của X 0 để cho ra
nghiệm thỏa trong khoảng [a;b] ( lấy 2 số sau dấu phẩy )
Links excel tại đây
Vậy nếu xét 2 số sau dấu phẩy thì ta sẽ có được X 0 trong khoảng [-1.16;1.16] là sẽ ra
nghiệm x5 thoải yêu cầu trogn khoảng [a;b] . Nếu muốn nghiệm chi tiết hơn ta có thể
lấy 3 4 hay 5 số sau dấu phẩy.
3) Sử dụng công cụ hỗ trợ Matlab
3.1. Phương hướng giải:
Sử dụng phần mềm Matlab
Lập phương trình thuật tốn tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đề yêu cầu.
Theo các bước sau:
Bước 1: Nhập hàm f cho trước
Bước 2: Nhập và gán các giá trị input a, b, x0
Bước 3: Nhập thuật tốn tạo vịng lặp theo phương pháp Newton
Bước 4: Xuất ra màn hình nếu nghiệm thuộc khoảng đề cho. Nếu khơng thì kết
thúc chương trình.
3.2.

Đoạn code để giải quyết bài toán trên:

% giải nghiệm dùng phương pháp newton
% với sự cho trước của x1 , hàm số và khoảng giá trị

syms s;
7


f = input(' mời nhập hàm f: ');
a = input(' mời nhập biên trái a: ');
b = input(' mời nhập biên phải b: ');
x(1)= input(' mời nhập giá trị x1: ' );
g=diff(f,s,1);
for i=2:6
x(i)=x(i-1)-subs(f,s,x(i-1))/subs(g,s,x(i-1));
end
if x(6)>a & x(6)disp(' giá trị của x5 là: ');
fprintf('%0.8f',x(6));
disp('là nghiệm trong khoảng [a;b]’;
else
disp(' giá trị của x5 là : ');
fprintf('%0.8f',x(6));
disp(' ko la nghiệm trong khoảng [a;b]');
end
return;
3.3. Giải thích ý nghĩa câu lệnh:
- input: dùng để nhập vào các giá trị.
- syms: dùng để khởi tạo biến.
- for: dùng để thực hiện 1 công việc cần lặp đi lặp lại theo một quy luật, với số bước
lặp xác định trước.

- if… else: thực hiện lệnh khi thỏa điều kiện.
- disp: dùng để trình bày nội dung của biến (x) ra màn hình.
- fprintf: thực hiện để ghi định dạng vào màn hình hoặc file.
3.4. Kết quả khi khởi chạy đoạn mã trên phần mềm Matlab:

8


KẾT LUẬN
Như vậy, chúng ta đã tìm hiểu về đề tài số 5 (phương pháp Newton). Nhóm em đã
tiếp cận bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau. Chúng em thấy rằng phương
pháp Newton hội tụ nghiệm nhanh hơn các phương pháp khác như phương pháp chia
đôi, lặp, … nếu điểm đốn ban đầu gần nghiệm. Nhưng nó cũng có nhược điểm là có
thể khơng hội tụ được, cần phải tính đạo hàm và điểm ban đầu X0 .Và ở đây nhóm
em nhận thấy với cơng cụ Matlab việc giải quyết, khảo sát bài toán trở nên dễ dàng,
sinh động và trực quan hơn.
9


DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Giáo trình phương pháp tính

10