Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
---------------------

Sáng kiến kinh nghiệm:

Sử dụng phương pháp lập bảng
để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng
phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT

Lĩnh vực: Toán học

2


Năm học: 2020 – 2021

3


MỤC LỤC

Trang

I. PHẦN MỞ ĐẦU

1

1. Lý do chọn đề tài…………….……………………………………………….

1

2. Mục tiêu nghiên cứu…………………………………………………………

1

3. Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………..

1

4. Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………….

1

5. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………..

2

6. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………….

2

7. Những đóng góp mới của đề tài…………………………………………….

2

8. Bố cục của đề tài…………………………………………………………….

2

II. PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………………………...

3

1. Cơ sở khoa học………………………………………………………………

3

1.1. Cơ sở lý luận……………………………………………………………….

3

1.2. Cơ sở thực tiễn…………………………………………………………….

4

1.1.2. 2. Phương pháp sử dụng bảng trong nguyên hàm từng phần…………………..

5

2.1. Các bước làm bài…..………………………………………………………

5

2.2. Hệ thống hóa các dạng bảng trong nguyên hàm từng phần và bài tập ……

6

2.2.1. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và
hàm số lượng giác ………………………………………………………………

6

2.2.2. Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng giác……………………

11

2.2.3. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số lơgarit……………………

14

3. Đánh giá tính hiệu quả của đề tài…………………………………………....

19

III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………...

20

1. Tóm tắt quá trình nghiên cứu………………………………………………..

20

2. Ý nghĩa của đề tài……………………………………………………………

20

3. Những hạn chế của đề tài……………………………………………………

20

4. Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu………………………………

21

PHỤ LỤC……………………………………………………………………...

22

A. Bài kiểm tra …..……………………………………………………………

22

B. Bài tập rèn luyện ………..……………………………………………………

24

C. Phiếu thăm dò ý kiến ………………………...………………………………

28

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….

29


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Theo định hướng về đổi mới phương pháp dạy học thì phương pháp giáo dục phổ
thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh và đặc biệt
là đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho các em. Bên cạnh đó việc ơn tập cho học
sinh 12 đạt kết của tốt trong kì thi cuối cấp cũng là một vấn đề cực kì quan trọng được

đặt ra cho các mơn học trong đó có Toán học. Phải làm thế nào để học sinh vừa nắm
được bản chất các dạng toán, vừa làm toán nhanh, phát hiện các sai sót kịp thời để phù
hợp theo phương pháp thi trắc nghiệm như hiện nay cũng như làm thế nào để đưa lại
sự hứng thú và niềm vui khi học Tốn vẫn ln là trăn trở của đại đa số các giáo viên.
Bản thân tôi là một giáo viên dạy lớp 12 trong năm 2019 – 2020 khi cho học sinh làm
quen với khác niệm nguyên hàm trong chương trình giải tích 12, tơi đã thấy được sự “e
ngại” của các em khi tìm nguyên hàm theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần,
đặc biệt đối với những bài tốn sử dụng đến tính từng phần lần thứ hai trở lên. Bài
tốn này đang khá khó đối với học sinh mà đây lại là dạng tốn khơng ít gặp trong các
kì thi. Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy học cũng như góp phần đem lại niềm hứng
thú học tập cho các em học sinh về dạng tốn này tơi đã chọn đề tài “Sử dụng phương
pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt
nghiệp THPT” cho sáng kiến kinh nghiệm của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm các
bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần. Hơn thế nữa, tôi muốn giới thiệu phương pháp
để học sinh làm tốt phần này trong các đề thi. Cuối cùng nhưng cũng không kém phần
quan trọng, thơng qua thu thập và phân tích các dữ liệu cũng như áp dụng các phương
pháp đó vào một số lớp học tại trường, tôi sẽ đưa ra một số gợi ý để giáo viên Tốn có thể
áp dụng hiệu quả các giải pháp đó.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài này là 2 lớp 12 tại trường tôi.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về các phương pháp giúp học sinh làm tốt phần nguyên hàm
từng phần trong đề thi THPT quốc gia.
Các số liệu nghiên cứu được thu thập trong năm học 2019 – 2020.

5

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm nguyên hàm từng phần.
- Giới thiệu phương pháp để học sinh làm nhanh nguyên hàm từng phần trong các đề
thi.
- Áp dụng những phương pháp trên vào lớp 12 tại trường để tìm ra tính hiệu quả của
sáng kiến.
6. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp trưng cầu ý kiến bằng bảng hỏi.
- Biên soạn các bài tập và áp dụng chúng vào việc dạy học.
- Phương pháp quan sát, trao đổi với đồng nghiệp.
- Phương pháp xử lý dữ liệu: phương pháp xử lý dữ liệu định lượng và định tính.
7. Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài tìm ra những phương pháp để giúp đối tượng học sinh khá giỏi có thể làm
nhanh bài tốn sử dụng nguyên hàm từng phần; giúp đối tượng học sinh trung bình và
yếu khơng cịn “e ngại” khi gặp dạng tốn này . Thơng qua đề tài, các giáo viên Tốn
có thể giúp học sinh rút ngắn thời gian làm bài và cải thiện điểm số. Học sinh có thể sử
dụng đề tài để tự học và phát triển kỹ năng tư duy làm toán.
8. Bố cục của đề tài
Đề tài gồm 3 phần: Phần mở đầu, phần giải quyết vấn đề và phần kết luận kiến
nghị. Phần mở đầu nêu lý do chọn đề tài, tính cấp thiết, mục tiêu, đối tượng, phạm vi,
nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu cũng như dự báo những đóng góp mới của đề
tài. Phần giải quyết vấn đề nêu cơ sở khoa học của vấn đề, trình bày khảo sát tình hình
thực tế, đưa ra một số phương pháp gồm cả lý thuyết và bài tập thực hành để học sinh
có thể làm tốt các bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần, nêu những nhận định về
tính hiệu quả của đề tài thông qua đối chiếu các số liệu liên quan. Phần kết luận và
kiến nghị nêu quy trình nghiên cứu, ý nghĩa của đề tài và những đề xuất.

6

II. PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở khoa học
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K . Hàm số F ( x ) là nguyên hàm của hàm số
f ( x ) trên K nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .

Định lí 1: Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số
C , hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .

Định lí 2: Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm
của f ( x ) trên K đều có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số.
Do đó: Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì F ( x ) + C , C ∈ R
là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x ) trên K . Kí hiệu: ∫ f ( x)dx = F ( x ) + C .
1.1.2. Tính chất của nguyên hàm

∫ f '( x)dx = f ( x) + C

-

Tính chất 1:

-

Tính chất 2: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x )dx ( k là hằng số khác 0)

-

Tính chất 3:

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

1.1.3. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫ u( x)v '( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ u '( x)v( x)dx.
Chú ý: Vì v '( x)dx = dv , u '( x)dx = du , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

∫ udv = uv − ∫ vdu.
Lưu ý:
+ Đối với phương pháp nguyên hàm từng phần thì cách chọn đặt u và dv là rất quan
trọng. Khi tìm nguyên hàm theo phương pháp từng phần cần ưu tiên đặt u theo thứ tự
“Nhất loga – Nhì đa thức – Tam lượng – Tứ mũ” ( Ưu tiên: Thứ nhất là hàm số
lôgarit; Thứ hai là hàm số đa thức; Thứ ba là hàm số lượng giác; Thứ tư là hàm số mũ)
phần còn lại đặt là dv.

7


+ Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào
bậc của hàm lôgarit và đa thức. Cụ thể:
n
n
* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có dạng ln f ( x ) , log a f ( x ) thì phải nguyên hàm

từng phần n lần.
* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có chứa đa thức bậc n (khơng có hàm lơgarit) thì
cũng phải nguyên hàm từng phần n lần.

+ Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng
khoảng xác định của nó.
1.1.4. Định nghĩa tích phân
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của
hàm số f ( x ) trên [ a; b ] . Hiệu số F ( b ) − F ( a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay
tích phân xác định trên

[ a; b ] )

b

của hàm số f ( x ) , kí hiệu là

∫ f ( x)dx .

Ta có

a

b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a )

a

a

Chú ý: - Ta quy ước:

∫
a

b

a

a

b

f ( x)dx = 0 ; ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx nếu (a > b)

1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Nội dung “đề cương” trong đề thi mơn Tốn
Thực tế kiến thức phần Ngun hàm – Tích phân ln có trong nội dung ơn thi.
Mà phương pháp từng phần là một phương pháp quan trọng thường được đề cấp tới.
Mặt khác theo hình thức thi trắc nghiệm 50 câu chỉ có 90 phút làm bài nên làm cách
nào để có đáp án chính xác và nhanh nhất là điều mà ta cần hướng tới.
1.2.2. Những khó khăn học sinh gặp phải khi làm phần nguyên hàm từng phần
Qua thăm dò ý kiến của 82 học sinh bằng bằng phiếu hỏi (Phụ lục – trang 28),
bảng thống kê như sau:
Đánh giá mức độ
Số lượng
Tỉ lệ

Rất dễ

Dễ

0
0%

5
6.1%

Trung
bình
40
48.8%

Khó

Rất khó

30
36.6%

7
8.5%

8


Cũng qua phiếu thăm dò thấy được để làm một bài toán sử dụng nguyên hàm từng
phần ở mức độ thông hiểu học sinh đã làm trong khoảng thời gian như sau:

Thời gian làm bài
(x phút)
Số lượng
Tỉ lệ

Không làm
3≤ x ≤5

5 < x ≤ 10

22
26.8%

10 < x ≤ 20

được trong

18
22%

20 phút
20
24.4%

22
26.8%

Một số khó khăn chủ yếu mà học sinh đã nêu trong phiếu thăm dị:
+ Khó khăn trong việc chọn đặt u và dv.
+ Việc làm theo nguyên hàm từng phần nhiều hơn một lần làm các em “rối” và muốn

bỏ qua.
+ Đặt u, dv nhiều lần cũng làm mất rất nhiều thời gian.
+ Sự “quay vịng” dẫn đến khó hiểu ở dạng nguyên hàm từng phần của hàm mũ kết
hợp với hàm lượng giác.
Nhận xét: Từ thực tế trên ta thấy rằng khi giải quyết dạng toán này học sinh cịn gặp
nhiều khó khăn đồng thời cịn mất nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết quả trong
kiểm tra và thi. Chính vì vậy việc hướng dẫn học sinh làm nguyên hàm từng phần theo
phương pháp nào nhanh và hiệu quả là thực sự rất cần thiết.
2. Phương pháp làm nguyên hàm từng phần
2.1. Các bước làm bài
Bước 1: Đọc kỹ đề bài và nhận dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng
phần. (Các dạng toán cụ thể sẽ được đề cập trong đề tài).
Bước 2: Chọn loại bảng để sử dụng cho bài toán.
Bước 3: Dựa vào bảng để tìm ra kết quả cho nguyên hàm.
Bước 4: Tìm ra phương án đúng và kiểm tra lại để chắc chắn câu trả lời của mình.
Tuy nhiên, để làm dạng bài nguyên hàm từng phần hiệu quả nhất, học sinh cần phải
nắm các tính chất của nguyên hàm và cơng thức tính ngun hàm của hàm số thường
gặp và luyện tập thường xuyên dạng bài này để đạt được kết quả tốt nhất.
2.2. Hệ thống hóa các dạng sử dụng bảng trong nguyên hàm từng phần
2.2.1. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và
hàm số lượng giác

9


Dạng:

∫ f ( x) e

ax + b

dx ; hoặc

∫ f ( x ) sin(ax + b)dx ;

hoặc

∫ f ( x ) co s(ax + b)dx

trong đó

f ( x ) là đa thức

Phương pháp tự luận thông thường
Đặt u = f ( x ) ; dv = e ax +b dx hoặc dv = sin(ax + b)dx hoặc dv = co s(ax + b)dx . Cụ thể nếu
sử dụng nguyên hàm từng phần
 du = u1dx
u = f ( x)
⇒
. Khi đó: I = ∫ udv = uv − ∫ vdu = uv − ∫ v1u1dx
 dv = g ( x)dx v = v1

Đặt 

Và nếu I1 = ∫ v1u1dx tiếp tục sử dụng nguyên hàm từng phần ta có:

(

)

I = uv1 − I1 = uv1 − u1v2 − ∫ u2 v2 dx = uv1 − u1v2 + ∫ u2v2 dx

Hoàn toàn tương tự
⇒ I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + ... + ( −1)

n −1

⇒ I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + ... + ( −1)

n −1

un −1vn + ( −1)

n

∫ ( v .0 ) dx
n

un −1vn + C

Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn)
Dựa trên cơng thức tính ngun hàm ta suy ra cách lập bảng để tính nguyên hàm từng
phần một cách đơn giản hơn mà những đối tượng học sinh năng lực Trung bình – yếu
vẫn làm được:

Từ cơng thức tính ngun hàm ta đễ thấy đối với những cặp theo mũi tên kẻ xiết thì
đan xen dấu bắt đầu từ “+”  “-” “+”…. và đối với dạng này khi đặt f ( x ) là hàm

10

đa thức bằng u ta tính đạo hàm của đa thức tới khi nào bằng 0 thì dừng quá trình. Theo
cách lấy như vậy cũng cho ta được kết quả:
I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + ... + ( −1)

n −1

un −1vn + C

Ví dụ 1: (BT4b – SGK giải tích 12 – trang 101).
2
x
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: I = ∫ ( x + 2 x − 1) e dx

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường
2
u = x + 2 x − 1 du = ( 2 x + 2 ) dx
⇒
Đặt 
x
x
 dv = e dx
v = e
2
x
x
2
x
Do đó: I = ( x + 2 x − 1) e − ∫ e ( 2 x + 2 ) dx = ( x + 2 x − 1) e − I1 (1)

x
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I1 = ∫ e ( 2 x + 2 ) dx

u1 = 2 x + 2  du1 = 2dx
⇒
x
x
 dv1 = e dx
v1 = e

Đặt 

x
x
x
x
x
Khi đó: I1 = e ( 2 x + 2 ) − ∫ 2e dx = e ( 2 x + 2 ) − 2e + C1 = 2 xe + C1 (2)
2
x
x
2
x
Thay (2) vào (1) ta được: I = ( x + 2 x − 1) e − ( 2 xe + C1 ) = ( x − 1) e + C .

Cách 2: Sử dụng bảng

2
x
x

x
2
x
Dựa vào bảng ta có kết quả I = ( x + 2 x − 1) e − ( 2 x + 2 ) e + 2e + C = ( x − 1) e + C

Nhận xét: Rõ ràng đối với phương pháp sử dụng bảng sẽ chiếm lợi thế hơn trong
cách thi trắc nghiệm như hiện nay và các học sinh đặc biệt là những học sinh học
lực Trung bình – yếu thấy dễ tiếp thu hơn nhiều.

11


2 ax
Ví dụ 2: Cho bài tốn: “Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x e với

1
a ≠ 0 sao cho F  ÷ = F ( 0 ) + 1 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
a

A. 0 < a ≤ 1 .
B. a < 0 .
C. a ≥ 3 .
D. 1 < a < 2 .”
Hãy xét xem các hướng làm sau đúng hay sai? Chỉ ra chỗ sai (nếu có)? Hãy
cho kết quả đúng?
2 ax
Hướng 1: I = ∫ x e dx
du = 2 xdx
u = x 2


x 2 ax
ex
x 2 ax
⇒
I
=
e
−
2
x
dx
=
e − I1 (1)
Đặt 
Do
đó:
1

ax
ax
∫ a
a
a
 dv = e dx v = e
a


Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I1 = ∫ 2 x

ex

dx
a

u1 = 2 x
du1 = dx
2 x ax 1
2 x ax 1 ax


ax
x
⇒
Đặt 
e
e ax . Khi đó: I1 = 2 e − 2 ∫ e dx = 2 e − 3 e + C1 (2)
a
a
a
a
 dv1 = dx v1 = 2
a
a



Thay (2) vào (1) ta được: I =
1

x 2 ax 2 x ax 1 ax
e − 2 e + 3 e +C .

a
a
a
e

2e

e

1

Mặt khác: F  ÷ = F ( 0 ) + 1 ⇒ 3 − 3 + 3 = 3 + 1 ⇒ a 3 = −1 ⇒ a = −1
a a a
a
a
Do đó chọn B.
2 ax
Hướng 2: I = ∫ x e dx

Dựa vào bảng ta có I =

x 2 ax 2 x ax 4 ax
e − 2 e + 3 e +C .
a
a
a

12

1

e

2e

4e

4

Mặt khác F  ÷ = F ( 0 ) + 1 ⇒ 3 − 3 + 3 = 3 + 1 ⇒ a 3 = 3e − 4 ⇒ a = 3 3e − 4
a a
a
a
a
Do đó chọn D.
Phân tích: Rõ ràng ta thấy rằng theo “Hướng 1” thì phát hiện được lỗi sai (khoanh
đỏ) bằng việc lần theo từng bước của bài giải là khá khó khăn đồng thời tiếp tục
chỉnh sửa sai sót và làm lại là mất nhiều thời gian.

Trong khi đó nếu theo dõi bảng của “Hướng 2” thì ta dễ dàng tìm ra lỗi sai (khoanh
đỏ) và hồn tồn có thể sửa ngay trên bảng

Từ đó có kết quả I =
1
 

x 2 ax 2 x ax 2 ax
e − 2 e + 3 e +C .
a

a
a

Mặt khác F  ÷ = F ( 0 ) + 1 ⇒
a

e 2e 2e 2
− 3 + 3 = 3 + 1 ⇒ a3 = e − 2 ⇒ a = 3 e − 2 .
3
a a
a
a

Do đó chọn A.
Nhận xét: Qua ví dụ trên cho ta thấy rằng cách sử dụng bảng dễ dàng phát hiện ra
sai sót nhanh hơn và sửa lỗi cũng hiệu quả hơn nhiều. Điều đó cũng làm cho chúng
ta thấy được một “lợi thế” không nhỏ của cách lập bảng để tính nguyên hàm từng
phần trong khâu kiểm tra lại bài làm của mình – một bước cực kì quan trọng trong
q trình làm bài.
5
Ví dụ 3: Tính ngun hàm I = ∫ x cos xdx

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường

13


u = x 5
 du = 5 x 4 dx

5
4
5
⇒
Đặt 
. Do đó: I = x sin x − 5∫ x sin xdx = x sin x − 5 I1 (1)
 dv = cos xdx v = sin x
4
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I1 = ∫ x sin xdx
4
du1 = 4 x 3dx
u1 = x
⇒
Đặt 
.
 dv1 = sin xdx v1 = − cos x

I1 = − x 4 cos x + 4∫ x3 cos xdx = − x 4 cos x + 4 I 2 (2)
3
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 2 = ∫ x cos xdx

u2 = x3
du2 = 3 x 2 dx
⇒
Đặt 
 dv2 = cos xdx v2 = sin x
I 2 = x 3 sin x − 3∫ x 2 sin xdx = x3 sin x − 3I 3 (3)
2
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 3 = ∫ x sin xdx

u3 = x 2
du3 = 2 xdx
⇒
Đặt 
.
 dv3 = sin xdx v3 = − cos x
I 3 = − x 2 cos x + 2 ∫ x cos xdx = − x 2 cos x + 2 I 4 (4)

Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 4 = ∫ x cos xdx
u4 = x
 du = dx
⇒ 4
 dv4 = cos xdx v4 = sin x

Đặt 

I 4 = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C4 (5)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) ta có:

{

}

I = x 5 sin x − 5 − x 4 cos x + 4 x 3 sin x − 12  − x 2 cos x + 2 ( x sin x + cos x + C4 ) 
⇔ I = x 5 sin x + 5 x 4 cos x − 20 x3 sin x − 60 x 2 cos x + 120sin x + 120 cos x + C

Cách 2: Sử dụng bảng

14

Dựa vào bảng ta có kết quả
I = x 5 sin x + 5 x 4 cos x − 20 x3 sin x − 60 x 2 cos x + 120sin x + 120 cos x + C

Nhận xét: Đối chiếu hai phương pháp làm ở trên ta càng thấy rõ nếu chúng ta làm
theo phương pháp tự luận thông thường với 5 lần sử dụng nguyên hàm từng phần
thì quả thực là rất dài dòng, làm cho học sinh dễ rối gây ra chán nản và dẫn đến
tình trạng các em “bỏ qua”, không kể đến việc thay các I i ,i =1;5 vào tính tốn dễ sai
đồng thời khó rà sốt lại cũng như việc mất khá nhiều thời gian để đưa ra kết quả
cuối cùng. Qua đây ta càng thấy rõ được lợi thế của cách dùng bảng vừa ngắn gọn,
dễ hiểu, dễ kiểm tra lại vừa tiết kiệm thời gian đồng thời tạo hứng thú học cho học
sinh.
2.2.2. Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng giác
ax
ax
Dạng: ∫ e sin ( bx ) dx hoặc ∫ e cos ( bx ) dx trong đó a, b ≠ 0

Phương pháp tự luận thơng thường: Đặt u = sin bx hoặc u = cos bx ; dv = e ax dx . Sau
đó sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như trong dạng 1 đã nêu ở trên đến
khi xuất hiện ∫ un vn dx giống với nguyên hàm ban đầu thì dừng lại.
Lưu ý đối với dạng tốn này có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác – mũ hoặc
ngược lại đều được nhưng phải thống nhất theo cùng thứ tự khi phải sử dụng nguyên

15


hàm từng phần của tất cả các lần sử dụng, nếu khơng sẽ xảy ra trường hợp đi vịng
I=I.

Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn): Ta cũng lập bảng hoàn toàn tương tự như
trong dạng 1 nhưng đến khi xuất hiện tích của hàng ngang giống với nguyên hàm cần
tính ban đầu (khơng kể dấu và hệ số) thì dừng lại và cách lấy kết quả dựa vào sơ đồ
sau

Khi đó I = uv1 − u1v2 + u2v3 − u3v4 + ... + ( −1)

n −1

un −1vn + ( −1)

n

∫ u v dx
n n

(Trong đó ∫ un vn dx = k .I , với k ≠ 1 ) . Từ đó chuyển vế rút ra kết quả nguyên hàm I cần
tìm.
x
Ví dụ 1: Tính ngun hàm I = ∫ e sin 3 xdx

Giải:
Sử dụng bảng

Dựa vào bảng ta có:

16


I = e x sin 3x − 3e x cos 3 x − 9 ∫ e x sin xdx ⇒ I = e x sin 3x − 3e x cos 3 x − 9 I + C1

⇒ 10 I = e x sin 3 x − 3e x cos 3 x + C1 ⇒ I =

e x sin 3x − 3e x cos 3 x
+C
10

Ví dụ 2: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = sin 2 x.e 2 x

và

π 
a2
F  ÷− F ( 0 ) = aeπ + b với a, b ∈ Q. Khi đó 2 có giá trị là
2
b

A. 9

B. 27

C. 3

D. 36

Giải:
Ta có:
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ sin 2 x.e 2 x dx = ∫

1 − cos 2 x 2 x
1
1
1
1
.e dx = ∫ e 2 x dx − ∫ cos 2 x.e 2 x dx = e 2 x − I1 (1)
2
2
2
4
2

2x
Tính I1 = ∫ cos 2 x.e dx bằng cách sử dụng bảng

Dựa vào bảng ta có
I1 =

1
1
cos 2 x.e 2 x + sin 2 x.e 2 x − ∫ cos 2 x.e 2 x dx
2
2

⇒ I1 =

1
1
1
cos 2 x.e 2 x + sin 2 x.e 2 x − I1 ⇒ I1 = cos 2 x.e 2 x + sin 2 x.e 2 x + C1 (2)

2
2
4

(

)

Thay (2) vào (1) ta được
1
1
1
F ( x ) = e 2 x − cos 2 x.e 2 x + sin 2 x.e 2 x + C = e 2 x ( 2 − cos 2 x − sin 2 x ) + C
4
8
8

(

)

3
1
π 
⇒ F  ÷− F ( 0 ) = eπ − .
8
8
2
3
1

a2
Kết hợp với giả thiết của bài tốn ta có a = ; b = − ⇒ 2 = 9 ⇒ Chọn đáp án A.
8
8
b

17


Lưu ý: Giả thiết của bài tốn cũng chính là

π
2

∫ sin

2

x.e 2 x dx = aeπ + b với a, b ∈ Q. Nói

0

cách khác phương pháp nguyên hàm từng phần theo bảng cũng hồn tồn sử dụng
được trong tích phân từng phần.
2.2.3. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức là hàm số lôgarit
Dạng:

∫ f ( x ) .ln ( ax + b ) dx

hoặc

∫ f ( x ) .log ( bx + c ) dx
a

trong đó f ( x ) là đa thức

Phương pháp tự luận thông thường: Đặt u = ln ( ax + b ) hoặc u = log a ( bx + c ) ;
dv = f ( x ) dx . Sau đó sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như trong dạng 1

đã nêu ở trên.
Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn): Ta cũng lập bảng hoàn toàn tương tự như
trong dạng 1 nhưng cần lưu ý ở dạng nguyên hàm này khi ta đã ưu tiên đặt
u = ln ( ax + b ) hoặc u = log a ( bx + c ) thì khi lấy đạo hàm của u sẽ không thể bằng 0 được,

do vậy cần phải điều chỉnh cột lấy đạo hàm và cột lấy nguyên hàm theo nguyên tắc

∫ u.vdx = ∫ u .v dx
1

1

với u.v = u1.v1 , trong đó ta cần chọn u1 là hàm lơgarit hoặc hàm đa

thức (nếu khơng cịn hàm lôgarit). Cách lấy kết quả dựa vào bảng sau

18


Trong đó u1.v1 = u1( 2 ) .v1( 2) ; u2 .v2 = u2( 2) .v2( 2) ; …; un −1.vn −1 = un −1( 2) .vn −1( 2) (tích các cặp số theo
hàng ngang ở trong mỗi khung hình chữ nhật nhỏ luôn bằng nhau). Và ưu tiên đưa về

các ui( 2) là hàm lôgarit hoặc hàm đa thức (nếu khơng cịn hàm lơgarit) và tiếp tục làm
cho tới khi đạo hàm về bằng 0 .
Khi đó: I = uv1 − u1( 2) v2 + u2( 2) v3 − u3( 2) v4 + ... + ( −1)

n −1

un −1( 2) vn + C .

Ví dụ 1: Tính I = ∫ x ln xdx
Giải: Đặt I = ∫ x ln xdx
Sử dụng bảng

19


Dựa vào bảng ta có I =

x2
x2
.ln x − + C .
2
4
1
1 x2
ngoài việc đưa về u1( 2) .v1( 2) = .x thì
2
x 2

Phân tích: Ở bước chuyển đổi cặp u1.v1 = .
x

2

ta cũng có thể đưa về u1( 2) .v1( 2) = 1. miễn sao ở vị trí u càng nhanh chóng đưa về 0
càng tốt (trừ trường hợp đang cịn hàm logarit thì u phải ưu tiên là hàm logarit,
trường hợp này được đề cập đến trong Ví dụ 3).
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm I = ∫ x ln

4− x
dx
4+ x

Giải:
Sử dụng bảng

20


Dựa vào bảng ta có I =

x 2 − 16 4 − x
.ln
− 4x + C .
2
4+ x

Phân tích: Ở đây khi lấy nguyên hàm lần 1 của x ta đã sử dụng định lí 1 ở cơ sở lí
2
thuyết với C là hằng số mà ta đã linh động sao cho xuất hiện ( x − 16 ) nhằm khi

nhân ngang với lượng

8
dễ cho ra kết quả “đẹp” và thuận lợi hơn trong cách
x − 16
2

giải. Nếu không thêm bớt ngay ở bước đó thì bài giải sẽ dài hơn. Cụ thể

Dựa vào bảng ta có I =

x2
4− x
4− x 
x 2 − 16 4 − x

.ln
− 4  x + 2 ln
+
C
=
.ln
− 4x + C .
÷
2
4+ x
4+ x
2
4+ x


Bài tốn tổng qt: Tính I = ∫ x ln

a−x
dx , với a ∈ R được làm như sau
a+x

21


Dựa vào bảng ta có I =
Ví dụ 3: Biết

x2 − a2
a−x
.ln
− ax + C .
2
a+x

(

)

I = ∫ x 3 ln 2 xdx = x 2 a ln 3 x + b ln 2 x + c ln x + d + C , với a, b, c, d ∈ Q .

Tổng S = a + b + c + d bằng
A. 0 .

B.

1
.
8

C. −

11
.
8

D.

19
.
8

Giải:
Sử dụng bảng

Dựa vào bảng ta có
I=

x2 3
3x 2 2
3x 2
3x 2
3
3
3
1

ln x −
ln x +
ln x −
+ C = x 2  ln 3 x − ln 2 x + ln x − ÷+ C .
2
4
4
8
4
4
8
2
1
2

3
4

3
4

3
8

1
8

Kết hợp với giả thiết ta có a = ; b = − ; c = ; d = − ⇒ a + b + c + d = .
Vậy chọn đáp án B.

22


Lưu ý: Ở bài toán này cho ta thấy rõ rằng một khi đang có mặt hàm lơgarit thì ta
phải để hàm lôgarit ở cột “ u ” và tiếp tục lấy đạo hàm.
Ví dụ 4: (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104 câu 42) Cho F ( x ) =

nguyên hàm của hàm số

f ( x)
x

. Tìm nguyên hàm của hàm số f ′ ( x ) ln x .

1 
 ln x
+ 2 ÷+ C
2
x
2x 
 ln x 1 
f ′ ( x ) ln xdx = −  2 + 2 ÷+ C
x 
 x

ln x 1
+ +C
x2 x2
ln x
1

f ′ ( x ) ln xdx = 2 + 2 + C
x
2x

A.

∫ f ′ ( x ) ln xdx = − 

B.

∫ f ′ ( x ) ln xdx =

C.

∫

D.

∫

Giải:
Từ F ( x ) =

1
là một
2x2

f ( x)
f ( x)
1

suy ra F ' ( x ) =
hay
2 là một nguyên hàm của hàm số
2x
x
x

 1  f ( x) ⇒ f x = − 1 ⇒ f ' x = 2 .
( )
( ) 3
 2÷=
x2
x
x
 2x 
2
Bài tốn đưa về tính I = ∫ 3 ln xdx . Ta có bảng
x
'

Dựa vào bảng ta có: I = −

ln x
1
1 
 ln x
− 2 + C = −  2 + 2 ÷+ C . Do đó chọn đáp án A.
2
x
2x

2x 
 x

4. Đánh giá tính hiệu quả của đề tài
Trong năm học 2019 – 2020, để kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài, tơi đã
thực nghiệm tại lớp 12A2 và lấy lớp 12A5 làm đối chứng. Với năng lực học của 2 lớp
là tương đương nhau. Sau khi ơn tập lí thuyết và phương pháp tính nguyên hàm từng phần

23


cơ bản, với lớp thực nghiệm 12A2, tôi tiến hành hướng dẫn cụ thể từng bước làm bài,
cách lập bảng và hệ thống hóa các loại bảng thường sử dụng trong cách tính nguyên hàm
từng phần, học sinh hai lớp làm Bài kiểm tra gồm 20 câu trong 45 phút (Phụ lục – trang
22), kết quả làm bài của lớp 12A2 cao hơn lớp đối chứng 12A1 là 1.25 điểm. Riêng đối
với học sinh 12A8 (Học lực trung bình – yếu) tơi chỉ ra những ví dụ và bài tập đơn giản
(Chủ yếu là dạng 1 và dạng 2; ngoài ra sử dụng nguyên hàm từng phần không quá 2 lần)
thì đa số các em làm được và hứng thú học tập hơn nhiều.
Điểm trung bình kiểm tra phần nguyên hàm từng phần
lớp 12A2 (thực nghiệm) và 12A5 (đối chứng)
Lớp
12A2(44 HS)
12A5 (38 HS)

Điểm kiểm tra trung bình
7.5
6.25

III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Tóm tắt q trình nghiên cứu

Căn cứ vào đề thi THPT quốc gia mơn Tốn và kết quả bài kiểm tra của học sinh, tôi
đã nghiên cứu phương pháp giúp học sinh làm tốt bài tốn tính nguyên hàm từng phần.
Các tài liệu liên quan đến đề tài được tập hợp và nghiên cứu nhằm đưa ra cơ sở khoa học.
Các thơng tin về khó khăn học sinh gặp phải khi làm loại nguyên hàm này được thu thập
thông qua bảng hỏi và trao đổi với đồng nghiệp. Các dạng bài được liệt kê theo nhóm,
kèm theo bài tập để học sinh thực hành và ghi nhớ. Tính hiệu quả của đề tài được đánh giá
bằng phương pháp quan sát sự tiến bộ của học sinh, cũng như so sánh kết quả học tập với
lớp đối chứng.
2. Ý nghĩa của đề tài
Đề tài mang lại những lợi ích cho các giáo viên Toán và cho các em học sinh.
2.1. Đối với giáo viên Toán
Đề tài đã giúp giáo viên nhìn nhận được những khó khăn học sinh gặp phải khi làm
bài tập nguyên hàm từng phần. Bên cạnh đó, giáo viên có thể sử dụng đề tài như một
tư liệu trong q trình ơn thi THPT quốc gia mơn Tốn cho học sinh.
2.2. Đối với học sinh

24


Các em học sinh được chia sẻ những khó khăn khi làm bài. Hơn nữa, với việc nắm
được các bước làm dạng bài nguyên hàm từng phần, ghi nhớ các dạng toán và loại bảng
một cách hệ thống và luyện tập các bài tập trắc nghiệm đúng định dạng đề thi THPT quốc
gia đi kèm, các em học sinh có thể làm tốt phần nguyên hàm từng phần. Qua việc củng cố
một cách hệ thống, các em cũng sẽ nắm chắc hơn các phần đã học để nâng cao điểm số
của mình.
3. Những hạn chế của đề tài
- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú.
- Nếu giáo viên chỉ dạy cho HS phương pháp bảng mà không nắm cơng thức
ngun hàm từng phần thì HS chưa nắm được tồn diện loại kiến thức này. Chính vì
thế bản thân tôi kiến nghị giải cả hai phương pháp đối với “nguyên hàm từng phần một

lần” còn ưu tiên phương pháp bảng cho những “nguyên hàm từng phần hai lần trở
lên”.
- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng khách
quan về trình bày và thời gian thực hiện.
- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết
quả đánh giá cũng đang cịn hạn chế về tính xác thực.
4. Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu
Đề tài nên được mở rộng phạm vi với nhiều giáo viên tham gia, tăng số lượng các lớp
đối chứng và thực nghiệm nhằm nâng cao tính xác thực. Cần có thêm những bài luyện tập
tổng hợp khác để học sinh luyện tập. Có thể bổ sung phần hướng dẫn giải chi tiết để học
sinh có thể tự học.

25


PHỤ LỤC
A. BÀI KIỂM TRA
Câu 1: Nguyên hàm I = ∫ x.sin xdx là
A. − x cos x − sin x + C .
C. − x sin x + cos x + C .
Câu 2:

∫( x

2

B. − x cos x + sin x + C .
D. − x sin x + sin x + C .

)

+ 1 cos xdx = F ( x ) + C , khi đó F ( 0 ) bằng

A. −1 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

x
x
Câu 3: Biết ∫ x.e dx = ( ax + b ) e + C với a, b ∈ R . Khi đó S = a + b bằng

A. −1 .
Câu 4: Biết

B. 0 .

∫( x

C. 1 .

D. 2 .

)

+ 1 e x dx = F ( x ) + C , khi đó F ( 1) bằng

2

A. 3 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

x
Câu 5: Nguyên hàm I = ∫ e .sin xdx là

A.

e x cos x + e x sin x
+C .
2

B.

e x sin x − e x cos x
+C .
C.
2

Câu 6: Biết

∫e

x

e x cos x − e x sin x
+C .
2

x
x
D. 2 ( e cos x + e sin x ) + C .

1
cos 2 xdx = e x ( a sin 2 x + b cos 2 x ) + C , với a, b ∈ R . Khi đó P = a.b
5

bằng
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

1
5

Câu 7: Biết ∫ e2 x sin xdx = e 2 x ( a sin x + b cos x ) + C , với a, b ∈ R . Khi đó
A. 2 .

B.

1

.
2

1
2

D. −2 .
a
bằng
b

C. − .

D. −2 .

C. 1 .

D. e .

Câu 8: Biết ∫ ln xdx = F ( x ) + C , khi đó F ( e ) bằng
A. e2 − e .
Câu 9:

B. 0 .

x 2 .ln x x 2
−
Cho F ( x ) =
là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x ( a, b là
a

b
hằng số). Tính a 2 − b .
1
A. 8 .
B. 0 .
C. 1 .
D. .
2

Câu 10: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số

ln x
thỏa mãn F ( 1) = 2 là
x2

26