Chuyên Đề 03 khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95






I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số

Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính
'
y
và giả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=

để
tìm các nghi
ệ
m.
+ L
ậ

p b
ả
ng bi
ế
n thiên (ho
ặ
c ch
ỉ
c
ầ
n b
ả
ng xét d
ấ
u
'
y
) và k
ế
t lu
ậ
n trên c
ơ
s
ở
các
đ
i
ể
m t

ớ
i h
ạ
n.

Chú ý:
Quy t
ắ
c xét d
ấ
u c
ủ
a hàm
đ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c.

Các ví d
ụ

đ
i
ể
n hình:
Ví dụ 1:
Xét s
ự

bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
sau
đ
ây:
a)
3 2
2 3 1.
y x x
= − + +
b)
3 2
3 3 1.
y x x x
= − + +

c)
4 2
2 1.
y x x
= − −
d)
2
5 4 3
1 1
2 1.

5 4 2
x
y x x x x
= − − + + −

Lời giải:
a)
3 2
2 3 1.
y x x
= − + +


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
( ) ( )
2
0
6 6 6 1 0 6 1 0
1
x
y x x x x y x x
x

=

′ ′
= − + = − − → = ⇔ − − = ⇔

=


 Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞ 0 1 +∞
'
y


− 0 + 0 −

V
ậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞).
b)
3 2
3 3 1.
y x x x
= − + +

 Tập xác định: D = R.
 Đạo hàm:
( )
2
2

3 6 3 3 1 0 0, .
y x x x y x D
′ ′
= − + = − ≥ → ≥ ∀ ∈

V
ậ
y hàm s
ố

đ
ã cho luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
c)
4 2
2 1
y x x
= − −


T
ậ
p xác

đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
( ) ( )
3 2 2
0
4 4 4 1 0 4 1 0
1
x
y x x x x y x x
x
=

′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔

= ±



B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a

đạ
o hàm:
x
−∞ −1 0 1 +∞
'
y

− 0 + 0 − 0 +

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−∞; −1) và (0; 1).
d)
2
5 4 3
1 1
2 1.
5 4 2
x
y x x x x

= − − + + −


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
( ) ( )( )
2
4 3 2
1
3 2 1 1 2 0 1
2
x
y x x x x x x x y x
x
= −


′ ′
= − − + + = + − − → = ⇔ =


=


Do
( )
2
1 0,
x x
+ ≥ ∀
nên d
ấ
u c
ủ
a
'
y
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ể
u th
ứ
c (x − 1)(x − 2).
Tài liệu bài giảng:

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞ −1 1 2 +∞
'
y

+ 0 + 0
−
0 +

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (
−∞
; 1) và (2; +
∞
); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (1; 2).
Ví dụ 2:

Xét s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
cho d
ướ
i
đ
ây:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−
b)
2
3 3
.
1
x x
y

x
+ +
=
+

c)
2
1 .
1
y x
x
= − +
+
d)
2
2 2.
y x x
= − +

e)
2
2 .
y x x
= −
f)
2 1
.
3 2
x
y

x
+
=
−

Lời giải:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−


T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R=



Đạ
o hàm:
( )
2
4
0,
2 2
y x D
x
−
′
= > ∀ ∈ →
−
hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
b)
2
3 3
.
1
x x

y
x
+ +
=
+


T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R
= −



Đạ
o hàm:
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
2

2 2
0
2 3 1 3 3
2
0 2 0
2
1 1
x
x x x x
x x
y y x x
x
x x
=
+ + − − −

+
′ ′
= = → = ⇔ + = ⇔

= −
+ +



B
ả
ng xét d
ấ
u c

ủ
a
đạ
o hàm:
x
−∞ −2 −1 0 +∞
'
y

+ 0 − || − 0 +
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−2; −1) và (−1; 0).
c)
2
1 .
1
y x
x
= − +

+


T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R
= −



Đạ
o hàm:
( )
2
2
1 0,
1
y x D
x
′
= − − < ∀ ∈ →
+
hàm s
ố

luôn ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.
d)
2
2 2.
y x x
= − +


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
( )
2
2
2 2 0 1 1 0, .
x x x x D R
− + ≥ ⇔ − + > ∀ → =



Đạ
o hàm:
( )
2
2 2
2 2
1
0 1.
2 2 2 2 2
x x
x
y y x
x x x x
′
− +
−
′ ′
= = → = ⇔ =
− + − +


B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a

đạ
o hàm:
x
−∞ 1 +∞
'
y

− 0 +
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (1; +∞) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−∞; 1).
e)
2
2 .
y x x
= −


Hàm s
ố
xác
đị

nh khi
(
)
[
]
2
2 0 2 0 0 2 0; 2 .
x x x x x D− ≥ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ → =


Đạ
o hàm:
( )
2
2 2
2
1
0 1.
2 2 2
x x
x
y y x
x x x x
′
−
−
′ ′
= = → = ⇔ =
− −

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Bảng xét dấu của đạo hàm:
x 0 1 2
'
y

+ 0
−

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (0; 1) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (1; 2).
f)
2 1
.
3 2
x
y
x
+

=
−


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
1
2 1 0
1 2
2
; \ .
2
2
2 3
3
3
x
x
D
x
x

+ ≥
≥ −


 

   
⇔ → = − + ∞
   
 
≠
   
 
≠






Đạ
o hàm:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
3 2 3 2 1
3 2 3 2 1
3 5 5 1
2 2 1
0
3 2
3 2 3 2 . 2 1 3 2 . 2 1

x x
x x
x
x
y y x
x x x x x
− − +
− − +
− −
+
′ ′
= = = → = ⇔ = − < −
− − + − +


B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a
đạ
o hàm:
x
1
2
−

2

3
+∞
y’
− || −
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên
1 2
;
2 3
 
−
 
 
và
2
; .
3
 
+∞
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
1)
2 5.
y x
= − +
2)
3
3 2.

y x x
= − +

3)
3 2
2 3 2.
y x x
= − + +
4)
3 2
3 3 12.
y x x x= − + −

5)
4 2
2 5.
y x x
= − +
6)
4 2
4 1.
y x x
= − + −

7)
3 2
2 2.
y x x x
= + + −
8)

2
2 3 1.
y x x
= + +

9)
1
.
2
x
y
x
+
=
−
10)
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+

11)
1
.
3 2

x
y
x
−
=
−
12)
2
3 3
.
1
x x
y
x
+ +
=
+

13)
1
.
y x
x
= +
14)
1
2 3 .
1
y x
x

= − −
+

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam th
ức bậc hai:
(
)
2
,
f x ax bx c
= + +
g
ọ
i x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình f(x) = 0, v
ớ
i x
1

< x
2
+ N
ế
u a > 0:
( )
( )
2
1
1 2
0
0
x x
f x
x x
f x x x x
>

> ⇔

<

< ⇔ < <
+ N
ế
u a < 0:
(
)
( )
1 2

2
1
0
0
f x x x x
x x
f x
x x
> ⇔ < <
>

< ⇔

<


+
( )
0
0,
0
a
f x x R
>

> ∀ ∈ ⇔

∆ <

+

( )
0
0,
0
a
f x x R
<

< ∀ ∈ ⇔

∆ <


+
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
α β
0
α β
0,
α
;
β
:
0
α β
x x
a

x x
f x x
a x x
< < <

> →

< < <
> ∀ ∈

< → < < <
+
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
0
α β
0,
α
;
β
:
α β
0
α β
a x x
f x x
x x
a

x x
> → < < <
< ∀ ∈
< < <

< →

< < <



Các ví dụ điển hình:
Ví dụ: Tìm m
để
hàm s
ố

a)
( )
3
2
1
3
x
y x m x m
= − + − +

đồ
ng bi
ế

n trên R.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
b)
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
nghịch biến trên R.
c)
(
)
( )
3
2
1
3 2 2
3
m x
y mx m x
−
= + + − +

đồ
ng bi
ế

n trên R.

Lời giải:
a)
( )
3
2 2
1 2 1
3
x
y x m x m y x x m
′
= − + − + → = − + −

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên R khi
(
)
0, 0 1 1 0 2.
y x R m m
′ ′
≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≥

V
ậ

y hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên R khi m
≥
2.
b)

( )
3 2 2
1
3 2 1 2 3 2.
3
y x mx m x y x mx m
′
= − + + − + → = − + + −

Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R khi
( )
2
3 17 3 17

0, 0 3 2 0 .
2 2
y x R m m m
− − − +
′ ′
≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤

V
ậ
y hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên R khi
3 17 3 17
.
2 2
m
− − − +
≤ ≤

c)
(
)
( ) ( )
3
2 2
1

3 2 2 1 2 3 2
3
m x
y mx m x y m x mx m
−
′
= + + − + → = − + + −

Để
hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên R thì
0, .
y x R
′
≥ ∀ ∈


Khi
1 0 1 2 1.
m m y x
′
− = ⇔ = → = +

Ta th
ấ

y hàm s
ố
ch
ỉ

đồ
ng biên trên
1
;
2
 
− +∞
 
 
nên không thỏa mãn yêu cầu.
 Khi
( )( )
2
2
1
1
1 0
1 0 1 0,
0
1 3 2 0
2 5 2 0
m
m
m
m m y x R

m m m
m m
>
>


− >

 
′
− ≠ ⇔ ≠ → ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔
  
′
∆ ≤
− − − ≤
− + − ≤






1
2
2.
1
2
m
m
m

m
>


 ≥

⇔ → ≥




≤




V
ậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1)
Tìm m để hàm số
( )
3
2
1
3
x
y x m x m
= − + − +
đồng biến trên R.

2) Tìm m để hàm số
(
)
3 2
3 3 2 1 1
y x mx m x
= − + − +

đồ
ng bi
ế
n trên R.
3)
Tìm m
để
hàm s
ố

( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R.

4)
Tìm m
để
hàm s
ố

( ) ( )
3
2
5
1 2 3
3 3
x
y m x m x
= + − + − +

đồ
ng bi
ế
n trên R.
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I

Ph
ươ
ng pháp:
+ Tìm t
ậ
p xác
đị

nh c
ủ
a hàm s
ố
.
+ Tính
'
y
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=

để
tìm các nghi
ệ
m.
+ L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên và d
ự
a vào b

ả
ng bi
ế
n thiên
để
k
ế
t lu
ậ
n v
ề

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.

Chú ý: V

ớ
i m
ộ
t s
ố
d
ạ
ng hàm
đặ
c bi
ệ
t (th
ườ
ng là hàm vô t
ỉ
) thì ta ph
ả
i tính gi
ớ
i h
ạ
n t
ạ
i các
đ
i
ể
m biên
để
cho b

ả
ng
bi
ế
n thiên
đượ
c ch
ặ
t ch
ẽ
h
ơ
n.

Các ví d
ụ

đ
i
ể
n hình:
Ví dụ 1:
Tìm các kho
ả
ng
đơ
n
đ
i
ệ

u và c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:

a)
3 2
2 3 36 10.
y x x x= + − −
b)
4 2
2 3.
y x x
= + −

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
c)
2 4
2 .
y x x
= −
d)
4 3

1
3.
4
y x x
= − +

Lời giải:
a)
3 2
2 3 36 10.
y x x x= + − −

 Tập xác định: D = R.
 Đạo hàm:
( )
2 2 2
3
' 6 6 36 6 6 ' 0 6 0
2
x
y x x x x y x x
x
= −

= + − = + − → = ⇔ + − = ⇔

=


 Bảng biến thiên:

x
−∞ −3 2 +∞
'
y

+ 0
−
0 +
y
71 +
∞


−∞

−
54

T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y hàm s
ố

đồ

ng bi
ế
n trên (
−∞
; 3) và (2; +
∞
); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (
−
3; 2).
Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x =
−
3; y = 71 và
đạ
t c

ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2; y =
−
54.
b)
4 2
2 3.
y x x
= + −


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
(
)
3 2
4 4 4 1 0 0.
y x x x x y x
′ ′

= + = + → = ⇔ =

 Bảng biến thiên:
x
−∞ 0 +∞
'
y

− 0 +

y
+∞ +∞

−3

T
ừ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞).
Hàm s
ố đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3.
c)
2 4
2 .
y x x
= −

 Tập xác định: D = R.
 Đạo hàm:
( ) ( )
3 2 2
0

4 4 4 1 0 1 0
1
x
y x x x x y x x
x
=

′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔

= ±


 Bảng biến thiên:

x
−∞ −1 0 1 +∞
'
y

+ 0 − 0 + 0 −
y
1 1

−∞ 0 −∞

T
ừ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm s
ố đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.

Hàm s
ố đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0.
d)
4 3
1
3.
4
y x x
= − +


Tập xác định: D = R.
 Đạo hàm:
( ) ( )
3 2 2 2
0
3 3 0 3 0
3
x
y x x x x y x x
x
=

′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔

=


 Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
x
−∞ 0 3 +∞
'
y


−
0
−
0 +
y
+
∞
+
∞



15
4
−


T
ừ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3).
Hàm s

ố đạt cực tiểu tại
15
3; .
4
x y= = −
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a)
2
1 .
y x x
= −
b)
2
2 3 1.
y x x
= + +
c)
1
.
3
x
y
x
+
=
+

Lời giải:
a)
2

1 .
y x x
= −


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
[
]
2
1 0 1 1 1;1 .
x x D− ≥ ⇔ − ≤ ≤ → = −


Đạ
o hàm:
2 2
2 2
2 2
1 2 1
1 0 1 2 0
2
1 1
x x
y x y x x
x x
−

′ ′
= − − = → = ⇔ − = ⇔ = ±
− −


B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−1
1
2
−
1
2
+1
'
y

− 0 + 0 −
y
0
1
2


1
2

− 0

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên
1 1
;
2 2
 
−
 
 
; hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
1
1;
2
 
− −
 
 

và
1
;1 .
2
 
 
 

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
1 1
;
2 2
x y= = và
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ

i
1 1
; .
2 2
x y= − = −
b)
2
2 3 1.
y x x
= + +


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
2
2 2
2 2
3 2 1 3
2 0 2 1 3 0 2 1 3
1 1
x x x
y y x x x x
x x

+ +
′ ′
= + = → = ⇔ + + = ⇔ + = −
+ +

2 2 2
0
0 0
2
2
4 4 9 5 4
5
5
x
x x
x
x
x x x
<

< <
 
  
⇔ ⇔ ⇔ → = −
  
= ±
+ = =
 
 





Gi
ớ
i h
ạ
n:
(
)
2
2 2
1 1
lim 2 3 1 lim 2 3 1 lim 2 3 1
x x x
x x x x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
   
+ + = + + = − + = +∞
   
   
   

(
)
2
2 2
1 1
lim 2 3 1 lim 2 3 1 lim 2 3 1

x x x
x x x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
   
+ + = + + = + + = +∞
   
   
   


B
ả
ng bi
ế
n thiên:


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
x
−∞
2
5
− +∞
'
y

− 0 +
0
y
+∞ +∞


5



Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên
2
;
5
 
−∞ −
 
 
; hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế

n trên
2
; .
5
 
+∞
 
 

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
2
; 5.
5
x y= − =
c)
1
.
3
x
y

x
+
=
+


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
[
]
3 0 3 3; .
x x D
+ > ⇔ > − → = − + ∞



Đạ
o hàm:
( )
( )
( )
( )
( )
1
3
2 3 1 3 2
5

2 3
0, .
3
2 3 3 2 3 3 2 3 3
x
x
x x x
x
x
y y x D
x
x x x x x x
+
+ −
+ − − + +
+
+
′ ′
= = = = → > ∀ ∈
+
+ + + + + +


B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−3 +∞

'
y
+
y
+∞

−∞

Hàm s
ố

đ
ã cho luôn
đồ
ng bi
ế
n trên mi
ề
n xác
đị
nh và không có c
ự
c tr
ị
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm c
ự
c tr
ị

c
ủ
a các hàm s
ố
sau b
ằ
ng quy t
ắ
c I:
1)
2 3
3 2
y x x
= −
2)
3 2
2 2 1.
y x x x
= − + −
3)
3 2
1
4 15 .
3
y x x x
= − + −
4)
4
2
3.

2
x
y x
= − +
5)
4 2
4 5.
y x x
= − +
6)
4
2
3
.
2 2
x
y x
= − + +

DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II

Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính
'
y
và giải phương trình
' 0
y
=

để tìm các nghiệm.
+ Tính
''
y
tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận.



Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,
hàm siêu vi
ệt, hàm vô tỉ

Các ví dụ điển hình:
Ví dụ mẫu: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a)
sin 2 .
y x x
= −
b)
1
cos cos2 .
2
y x x
= +
c)
2
2 .
y x x x
= + −

Lời giải:
a)
sin 2 .
y x x
= −


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
1
π π
2cos 2 1 0 cos 2 2 2
π π
2 3 6
y x y x x k x k
′ ′
= − → = ⇔ = ⇔ = ± + → = ± +

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Đạo hàm bậc hai:
π π

π 4sin 2π 2 3 0
6 3
4sin 2
π π
π 4sin 2π 2 3 0
6 3
y k k
y x
y k k
   
′′
+ = − + = − <
   
   
′′
= − →
   
′′
− + = − − + = >
   
   

Vậy hàm số đạt cực đại tại
π π π 3 π
π; sin 2π π π.
6 3 6 2 6
x k y k k k
 
= + = + − − = − −
 

 

Hàm số đạt cực tiểu tại
π π π 3 π
π; sin 2π π π.
6 3 6 2 6
x k y k k k
 
= − + = − + + − = − + −
 
 

b)
1
cos cos2 .
2
y x x
= +


Tập xác định: D = R.

Đạo hàm:
( )
2π1
2
π
cos
sin sin 2 sin 1 2cos 0
32

sin 0
π
x k
x
y x x x x y
x
x k


= ± += −


′ ′
= − − = − + → = ⇔ ⇔


=
=





Đạo hàm bậc hai:
cos 2cos2
y x x
′′
= − −
+ N
ế

u
( ) ( ) ( )
2π 2π 4π 3
4
π cos 4 π 2cos 8 π 0
3 3 3 2
2
2 π cos 2 π 2cos 4 π 3 0
y n n n
k n
y n n n
     
′′
± + = − ± + − ± + = >
     
= →
     
′′
= − − = − <

+ Nếu
( ) ( ) ( )
2π 2π 4π 3
4
π 2π cos 4 π 2π 2cos 8 π 4π 0
3 3 3 2
2 1
π 2 π cos π 2 π 2cos 2π 4 π 1 0
y n n n
k n

y n n n
     
′′
± + + = − ± + + − ± + + = >
     
= + →
     
′′
+ = − + − + = − <

Vậy hàm số đạt cực đại tại
( ) ( )
3
; 2
1
2
π; cos π cos 2π
1
2
; 2 1
2
k n
x k y k k
k n

=

= = + =



− = +



Hàm số đạt cực tiểu tại
3
; 2
2π 2π 1 4π
4
π; cos π cos 2π
1
3 3 2 3
; 2 1
4
k n
x k y k k
k n

− =

   
= ± + = ± + + ± + =

   
   

= +



c)
2
2 .
y x x x
= + −


Hàm số xác định khi
[
]
2
2 0 0 2 0; 2 .
x x x D− ≥ ⇔ ≤ ≤ → =

Đạo hàm:
2
2 2
2 2
2 2
1
2 2 2 1
1 0 2 1 2 1
2 2 1
2 2 2
x
x x x x
y y x x x x x x
x x x x
x x x x
≥


− − + −

′ ′
= + = → = ⇔ − + − ⇔ − = − ⇔

− = − +

− −


2
1
2 2 1
1
1
2 2
.
2
2
2
2 4 1 0
2 2 1
1
2
2
x
x
x
x

x x
x
≥



+

≥

= = +
+
 

⇔ ⇔ → =
 

− + =




−


= = −







Đạ
o hàm b
ậ
c hai:
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
1
2
1 2 2 1 1
2
0
2
2 2 2 2 2
x
x x
x x x x x
x x
y
x x
x x x x x x x x x x
−

− − −
′
 
− − − + −
−
′′
= = = = − <
 
 
−
− − − − −
 

V
ậy hàm số đạt cực đại tại
2 2
; 1 2.
2
x y
+
= = +
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
1)
2
4.
y x x

= −
2)
2
2 5.
y x x
= − +
3)
2
4sin .
y x x
= −

4)
2
cos 3 .
y x
=
5)
sin cos .
2 2
x x
y = − 6)
2
4
.
3 2
x
y
x
−

=
−

DẠNG 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Ph
ươ
ng pháp:

+ Hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
khi
' 0
y
=
có nghi
ệ
m và
đổ
i d
ấ
u qua các nghi
ệ
m.
+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
;
x
2
thì khi
đ
ó x
1
;
x
2

là hai nghi
ệ
m c
ủ
a
' 0.
y
=

+ Hàm s
ố

đạ
t
cực đại
t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
0
khi
(
)
( )
0

0
0
0
y x
y x
′

=


′′
<



+ Hàm s
ố

đạ
t
cực tiểu
t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x

0
khi
(
)
( )
0
0
0
0
y x
y x
′

=


′′
>




Các ví d
ụ

đ
i
ể
n hình:
Ví dụ mẫu: Cho hàm số

3 2
3 2 3 1
y x mx x m
= − + − +
. Tìm giá tr
ị
c
ủ
a m
để

a)
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
.
b)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự

c ti
ể
u t
ạ
i x
1
, x
2
th
ỏ
a mãn x
1
+ 2x
2
= 3.
c)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể

m có hoành
độ
x = 2.
d)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = –1.
Lời giải:
a)
Ta có
2
3 6 2
y x mx
′
= − +

Hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự
c tr
ị
khi
' 0
y
=
có nghi
ệ
m và
đổ
i d
ấ
u khi qua các nghi
ệ
m.
⇔
y’ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2 2
6
2

3
0 9 6 0
3
6
3
m
m m
m

>


′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ > ⇔

< −



V
ậy với
6 6
;
3 3
m m> < − thì hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự

c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
G
ọ
i x
1
; x
2
là hoành
độ
các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ

ó x
1
; x
2
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
' 0
y
=
.
Theo
đị
nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
2
2
3
x x m
x x
+ =



=




Theo gi
ả
i thi
ế
t ta có x
1
+ 2x
2
= 3
( )( )
1 2 1
1 2 2
1 2
2 3 4 3
2 3 2
2 2
4 3 3 2
3 3
x x x m
x x m x m
x x m m
 
 
+ = = −
 
→ + = ⇔ = −
 

 
 
= − − =
 

2 2
29
8 18 0 24 54 29 0
3
m m m m
→ − + = ⇔ − + = →
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y không có giá tr
ị
nào c
ủ
a m th
ỏ
a mãn
đề
bài.
c)
Ta có
6 6

y x m
′′
= −

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2 khi
( )
( )
7
2 0
3.4 12 2 0
7
.
6
12 6 0
6
2 0
2
y
m
m

m
m
y
m

′
 =
− + =
=

 
⇔ ⇔ → =
  
− >
′′
>




<


Giá tr
ị

7
6
m
=

th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
nên là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
d)
Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ

i t
ạ
i x = –1 khi
( )
( )
5
1 0
3 6 2 0
5
.
6
6 6 0
6
1 0
1
y
m
m
m
m
y
m

′
 − =
+ + =
= −

 
⇔ ⇔ → = −

  
− − <
′′
− <




> −


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Giá trị
5
6
m
= −
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
Cho hàm số
( )
3 2
1
2 3 2.
3
y x mx m x
= + + + +

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= –2.
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2.
Bài 2. Cho hàm số
( )
3 2
1
6 1
3
y x mx m x
= + + + −
. Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn
1 1
1 2

1 1
.
3
x x
x x
+
+ =

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?
a) y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 4.
b) y = mx
3
+ 3mx
2
– (m – 1)x – 1.
Bài 4. Tìm a, b để hàm số
a) y = ax
4

+ bx
2
đạt cực trị bằng –9 tại điểm
3.
x =

b)

2
ax
bx ab
y
bx a
+ +
=
+

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i x = 0 và x = 4.
c)

2
2
ax 2
1
x b
y
x
+ +
=

+

đạ
t c
ự
c
đạ
i b
ằ
ng 5 t
ạ
i
đ
i
ể
m x = 1.
Bài 5.
Tìm m
để
hàm s
ố

a)

( )
(
)
(
)
3 2 2 2

2 1 4 1 2 1
y x m x m m x m
= + − + − + − +

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m x
1
, x
2
sao cho
( )
1 2
1 2
1 1 1
.
2
x x
x x
+ = +

b)

3 2
1
1
3
y x mx mx
= − + −

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m x
1
, x
2
sao cho
1 2
8.
x x
− ≥

c)

3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
= − − + − +

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m x
1
, x
2
sao cho x
1
+ 2x
2
= 1.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95







III. ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM
Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:

Tính đạo hàm
'
y
rồ
i tính ti
ế
p
''
y


Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
'' 0

y
=
, t
ừ

đ
ó tìm
đượ
c t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m u
ố
n.

Xét d
ấ
u c
ủ
a
''
y

để
k

ế
t lu
ậ
n:
+ n
ế
u
'' 0
y
>
thì
đồ
th
ị
hàm s
ố
lõm.
+ n
ế
u
'' 0
y
<
thì
đồ
th
ị
hàm s
ố
l

ồ
i.
Ví dụ 1:
Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m u
ố
n và các kho
ả
ng l
ồ
i, lõm c
ủ
a
đồ
th
ị
các hàm s
ố
sau:

a)
y = 2x
3

– 6x
2
+ 2x.
b)
y = x
3
+ 6x – 4.

c)
4 2
1 5
3 .
2 2
y x x
= − +
d)
4 2
2.
4 2
x x
y
= + −

Ví dụ 2:
Tìm a, b
để
hàm s
ố
y = ax
3

+ bx
2
+ x + 2 nh
ậ
n
đ
i
ể
m U(1; –1) làm
đ
i
ể
m u
ố
n.
Ví dụ 3:
Tìm m
để
hàm s
ố

2
3
3
1
x
y x
m
= + +
nh

ậ
n
đ
i
ể
m U(–1; 3) làm
đ
i
ể
m u
ố
n.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1:

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n c

ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

a)
y = x
3
+ 3x
2
– mx + 2 song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = 3x – 5.
b)
y = x
3
+ 3mx
2
– 2mx + 3 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th

ẳ
ng
∆
: y = x – 3.
Bài 2:
Tìm m, n
để

đồ
th
ị
các hàm s
ố

a)

4 3 2
2 6 2 1
y x x x mx m
= − − + + −
có hai
đ
i
ể
m u
ố
n th
ẳ
ng hàng v
ớ

i
đ
i
ể
m A(1; –2).
b)

3
2
2
3 3
x
y x mx
= − − + +
có
đ
i
ể
m u
ố
n n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng d : y = x + 2.
Bài 3:
Tìm m, n
để

đồ
th
ị
các hàm s
ố

a)
y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 1 có
đ
i
ể
m u
ố
n thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = x + 1.
b)
y = 3x
3
– 9x
2

+ 6x + m – 2 có
đ
i
ể
m u
ố
n n
ằ
m trên tr
ụ
c hoành.
c)
y = x
3

– 3mx
2
+ (3 + 2m
2
)x + m
2
+ 3 có
đ
i
ể
m u
ố
n cách
đề
u hai tr

ụ
c t
ọ
a
độ
Ox, Oy.
IV. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng


( )
1 2
2
0
lim lim
0
− −
→∞ →∞
+∞ >

 
 
+ + = + + + =

 
 
−∞ <
 
 


n n n n
x x
khi a
b c
ax bx cx x a
khi a
x x


0
0
0
1 1
lim 0 lim 0
1
lim
1
lim
1
lim
+
−
→∞ → ∞
→
→
→

= → =





= +∞



= ∞ →



= −∞




n
x x
x
x
x
x x
x
x
x

Tài liệu bài giảng:

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  P2
Thầy Đặng Việt Hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

1
1 1 0
1
1 1 0
0;
a x
lim ;
x
;
−
−
−
→∞
−


>

+ + + +

= ∞ <
+ + + +


=



n n
n n
m m
x
m m
n
m
khi m n
a x a x a
khi m n
b b x b x b
a
khi m n
b

2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số


Đị
nh ngh
ĩ
a:
Đườ
ng th
ẳ
ng x = a
đượ
c g
ọ

i là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng (TC
Đ
) c
ủ
a
đồ
th
ị
y = f(x) khi lim ( )
x a
f x
→
= ∞

+ n
ế
u lim ( )
x a
f x
→
= +∞
thì x = a là ti
ệ
m c

ậ
n
đứ
ng bên ph
ả
i.
+ n
ế
u lim ( )
x a
f x
→
= −∞
thì x = a là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng bên trái.

Cách tìm ti
ệ
m cân
đứ
ng:
Đồ
th
ị
hàm phân th

ứ
c th
ườ
ng có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng, và giá tr
ị
x = a th
ườ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a m
ẫ
u s
ố
, ho
ặ
c t
ạ
i x = a thì hàm
s
ố

đ

ã cho không xác
đị
nh.
Ví dụ 1:
Tìm ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau
a)
2
9
x
y
x
=
−
b)
2
2

4 5
x
y
x x
+
=
+ −

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
2
3
lim 3
9
→±
 
= ∞ → = ±
 
 
−
 
x
x

x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
b)
Xét ph
ươ
ng trình
2
1
4 5 0
5
=

+ − = ⇔

= −


x
x x
x

Ta có
2
1
2
5
2
lim
4 5
1; 5
2
lim
4 5
→
→−
 +
 
= ∞
 

+ −
  
→ = =

+
 


= ∞
 

+ −
 

x
x
x
x x
x x
x
x x
là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Biện luận theo m số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
.
3
−
=
+ +
x
y
x x m

Hướng dẫn giải :
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x
2

+ 3x + m = 0.
 Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x
2
+ 3x + m = 0 vô nghi
ệm
9
0 9 4 0 .
4
⇔ ∆ < ⇔ − < ⇔ >
m m
 Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x
2
+ 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân
biệt, trong đó một nghiệm x = 2.
Điều đó xảy ra khi
2
9
0 9 4 0
9
4
3
4
2 2
2 2
9
0 9 4 0
10
4
2 6 0 10



∆ = ⇔ − = ⇔ =




→ =



= − ≠ ⇔ − ≠






∆ > ⇔ − > ⇔ <


→ = −



+ + = ⇔ = −



m m
m

b
x
a
m m
m
m m

 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x
2
+ 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2.
Khi
đó ta có
2
9
9
0 9 4 0
4
4
10
2 6 0 10


∆ > ⇔ − > ⇔ <
<
 
→
 
 
≠ −
+ + ≠ ⇔ ≠ −



m m
m
m
m m

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số


Đị
nh ngh
ĩ
a:
Đườ
ng th
ẳ
ng y = b
đượ
c g
ọ
i là ti
ệ
m c
ậ
n ngang (TCN) c
ủ
a
đồ
th

ị
y = f(x) khi lim ( )
x
f x b
→∞
=


Cách tìm ti
ệ
m cân ngang:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số. Thông thường, với
hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang.
Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:
2
2 2
2 2
2
+ + →+∞
 
+ + = + + = + + =
 
 
− + + → −∞
B C
x A khi x
B C B C

x x
Ax Bx C x A x A
x x x x
B C
x A khi x
x x


Ví dụ mẫu: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a)
1
.
2 3
+
=
−
x
y
x
b)
3 2
.
1
−
=
+
x
y
x

c)
2
1
.
2 1
+
=
− +
x
y
x x

d)
2
2
.
3
+
=
−
x
y
x
e)
2
1
.
2 3
+
=

+
x
y
x



H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
3
2
1 3
lim
2 3 2
→
+
= +∞ → =
−
x
x
x
x
là ti

ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
1
1
1 1 1
lim lim
3
2 3 2 2
2
→∞ →∞
+
+
= = → =
−
−

x x
x
x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
b)
Ta có
1
3 2
lim 1
1
→−
−
= +∞ → = −
+
x

x
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
3
2
3 2
lim lim 2 2
1
1
1
→∞ →∞
−

−
= = − → = −
+
+
x x
x
x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
c)
Ta có
2
1
1
lim 1
2 1

→
+
= +∞ → =
− +
x
x
x
x x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
2
2
2
1 1

1
lim lim 0 0
2 1
2 1
1
→∞ →∞
+
+
= = → =
− +
− +
x x
x
x
x
y
x x
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s

ố
.
d)
Ta có
2
3
2
lim 3
3
→
+
= +∞ → =
−
x
x
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s

ố
.
Xét
2
2
2
2
2
2
1
1
2
lim lim lim
3 3 3
→∞ →∞ →∞
 
+
+
 
+
 
= =
− − −
x x x
x
x
x
x
x
x x x


Khi
→+∞
x thì |x| = x nên ta
đượ
c
2 2
2 2
1 1
lim lim 1 1
3
3
1
→+∞ →+∞
+ +
= = → =
−
−
x x
x
x x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.


Khi
→−∞
x thì |x| =
−
x nên ta
đượ
c
2 2
2 2
1 1
lim lim 1 1
3
3
1
→−∞ →−∞
− + − +
= = − → = −
−
−
x x
x
x x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ

n ngang.
e)
Xét
2
2
2
2
1 1 1
lim lim lim
3
3
2 3
2
2
→∞ →∞ →∞
+ + +
= =
 
+
+
+
 
 
x x x
x x x
x
x
x
x
x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Khi
→+∞
x
thì |
x
| =
x
nên ta được
2 2 2
1
1
1 1 1
lim lim lim
3 3 3 2
2 2 2
→+∞ →+∞ →+∞
+
+ +
= = =
+ + +
x x x
x x
x
x x
x x x

1
2
y⇒ = là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.

Khi
→−∞
x thì |x| =
−
x nên ta
đượ
c
2 2 2
1
1
1 1 1
lim lim lim
3 3 3 2
2 2 2
→−∞ →−∞ →−∞
+
+ + −
= = =
+ − + − +
x x x
x x
x

x x
x x x

⇒

1
2
−
=
y là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.
4) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.


Đị
nh ngh
ĩ
a:
Đườ
ng th
ẳ
ng y = ax +b
đượ
c g
ọ
i là ti
ệ

m c
ậ
n xiên (TCX) c
ủ
a
đồ
th
ị
y = f(x) khi
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→ ∞
− + =


Cách tìm tiệm cân xiên:
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc.
Cách 1:
+ Tìm hệ số
( )
lim
x
f x
a
x
→ ∞
=

+ Tìm
[
]
lim ( )
x
b f x ax
→ ∞
= − . Từ đó suy ra đường tiệm cận xiên là y = ax + b.
Cách 2:
Thực hiện phép chia đa thức
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
g x r x r x
f x ax b f x ax b
h x h x h x
= = + + ⇒ − + =

Suy ra
[ ]
( )
lim ( ) ( ) lim 0
( )
x x
r x
f x ax b
h x
→ ∞ → ∞
− + = =
do r(x) có bậc nhỏ hơn h(x).

Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
a)
2
1
.
2
x x
y
x
+ +
=
−
b)
2
2 3
.
2 1
x x
y
x
− + +
=
+

c)
2
3 3
.
2
x x

y
x
+ +
=
+

Hướng dẫn giải :
a)
2
1
.
2
x x
y
x
+ +
=
−

+ Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.
+ Ta có
2
1 7 7
( ) 3 ( ) ( 3)
2 2 2
x x
y f x x f x x
x x x
+ +
= = = − + ⇒ − − =

− − −

Suy ra
[ ]
7
lim ( ) ( 3) lim 0 3
2
x x
f x x y x
x
→∞ →∞
− − = = ⇒ = −
−
là ti
ệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b)
2
2 3
.
2 1
x x
y
x
− + +
=
+

+ Ta d
ễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là
1

.
2
x
= −

+ Ta có
2
2 3 2 2
( ) 1 ( ) ( 1)
2 1 2 1 2 1
x x
y f x x f x x
x x x
− + +
= = = + + ⇒ − + =
+ + +

Suy ra
[ ]
2
lim ( ) ( 1) lim 0 1
2 1
x x
f x x y x
x
→∞ →∞
− + = = ⇒ = +
+
là ti
ệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c)
2
3 3
.
2
x x
y
x
+ +
=
+

+ Ta d
ễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là
2.
x
= −

+ Ta có
2
3 3 13 13
( ) 3 5 ( ) (3 5)
2 2 2
x x
y f x x f x x
x x x
+ +
= = = − +
⇒
− − =

+ + +

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Suy ra
[ ]
13
lim ( ) (3 5) lim 0 3 5
2
x x
f x x y x
x
→∞ → ∞
− − = = ⇒ = −
+
là ti
ệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số
2
2 2
1
x mx
y
x
+ −
=
+
có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích
bằng 4.

Hướng dẫn giải :
+ Ta có
2
2 2
2 2
1 1
x mx m
y x m
x x
+ −
= = + − −
+ +

Đồ thị có tiệm cận xiên khi
0.
m
≠

V
ớ
i
0
m
≠
thì ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ

a
đồ
th
ị
hàm s
ố
là y = 2x + m – 2, (d).
+ Gi
ả
s
ử
A = d
∩
Ox, B = d
∩
Oy uy ra
2
;0 , (0; 2)
2
m
A B m
−
 
−
 
 

Ta d
ẽ dàng tính được
2

; 2
2
m
OA OB m
−
= = −
. Tam giác OAB vuông t
ạ
i O nên
1
. . 8
2
OAB
S OA OB OA OB
=
⇒
=

2
6
2
. 2 8 (2 ) 16
2
2
m
m
m m
m
=
−


⇔ − = ⇔ − = ⇔

= −


V
ậy m = 6 và m = –2 là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
1
2 2
1
m
y mx m
x
+
= + + −
+
. Tìm m biết rằng
a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5.
b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng
1
.
17

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau :
a).

2 3
1
x
y
x
+
=
−
b)
1
1
y
x
=
−
c)
2
1
4
y
x
=
−

d)
2
1
1y
x
= +

e)
2
3
3
x
y
x
−
=
+
f)
2
2
1
x
y
x
+
=
−


Bài 2:

Tìm các
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ

n các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau :
1)
2
3 4
2
x x
y
x
+ +
=
−
2)
2
1
x
y
x
=
−
3)
2
2
3 4
1

x x
y
x
+ +
=
+

4)
3
2
2
1
x
y
x
+
=
−

5)
2
2
6 11 10
x
y
x x
=
+ −
6)
2

2
5 3
1
x
y
x
−
=
−


7)
2
1
5 6
y
x x
−
=
+ +
8)
( )
2
1
2 3
y
x
=
−

9)
2
1
y x x
= + +

10)
2
1
y x x
= − +

11)
2
2
4
=
+
x
y
x
12)
2
1
x
y
x x
=
+ +

13)
2
4 1
y x x x
= − − +
14)
2
2 1 4 2 1
y x x x
= + + − +

15)
2
2 1
2 1
x
y
x
+
=
−

16)
2
2 1
2
x
y
x x
− −

=
+ +

17)
2
2 4 2
y x x x
= − − +
18*)
2
4 5 1
1
x x
y
x
− +
=
−


19)
2
2 3 4
y x x x
= − + + +
20)
2
3 2 4
y x x
= − +

Bài 3:

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo tham s
ố
m s
ố
ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau
b)
2
2 4
x mx
y

x m
+ −
=
+
c)
1
mx
y
x m
+
=
+
d)
3
2
1
3 2
mx
y
x x
−
=
− +


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Bài 4: Tim m để đồ thị hàm số
2

2 4
1
x mx m
y
x
+ + −
=
+
có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2).
Bài 5:
Cho hàm số
2
2 ( 1) 3
x m x
y
x m
+ + −
=
+

a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1).
b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P):
2
3
= +
y x .
Bài 6:
Tìm m
để
ti

ệ
m c
ậ
n xiên
đồ
th
ị
hàm s
ố

a)

2
( 2) 2
1
x m x
y
x
+ − + −
=
−
t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a

độ
m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 4.
b)

2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m

ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 8.
c)

2
2 3 2
1
x mx m
y
x
+ − +
=
−
t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m
ộ
t tam giác có di

ệ
n tích b
ằ
ng 8.
Bài 7:
Cho hàm s
ố

2
1
x m
y
mx
+
=
−
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với
hai tr
ục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
Bài 8: Cho hàm số
2
(3 1) 2
1
mx m x m
y
x
+ + − +
=
+
.

Tìm m
để

đồ
th
ị
hàm s
ố
có ti
ệ
m c
ậ
n xiên
∆
bi
ế
t
∆
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng tròn tâm I(1; 2), bán kính
2
R = .
Bài 9: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận
luôn là m
ột hằng số

a)
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
b)
2
2 5 4
3
x x
y
x
+ −
=
+
c)
2
7
3
x x
y
x
+ −
=
−

LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95






DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Công thức :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
(
)
(
)
(
)
; :
o o
M x y C y f x
∈ = là
( )
(
)
( )
(

)
(
)
o o
o o o o
x x
y y x x y y y x x f x
′ ′
= − + ⇔ = − +



Các l
ư
u ý :
+ N
ế
u cho
x
o
thì tìm
y
o

=
f
(
x
o
).

+ N
ế
u cho
y
o
thì tìm
x
o
b
ằ
ng cách gi
ả
i ph
ươ
ng trình
f
(
x
) =
y
o
.
+ Tính
y
′
=
f
′
(
x

). Suy ra
y
′
(
x
o
) =
f
′
(
x
o
).
+ Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
là:
y
=
f
′
(
x
o
).(

x
–
x
o
) +
y
o
.

D
ạ
ng toán tr
ọ
ng tâm c
ầ
n l
ư
u ý :
+ Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
M

thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm phân th
ứ
c
ax b
y
cx d
+
=
+
c
ắ
t các tr
ụ
c t
ọ
a
độ

Ox, Oy
t
ạ
i các
đ
i

ể
m
A, B
th
ỏ
a
mãn các tính ch
ấ
t
0
OAB
OA kOB
S S
∆
=


=


+ Kho
ả
ng cách t
ừ
tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ

a
đồ
th
ị
hàm s
ố

ax b
y
cx d
+
=
+

đế
n ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
M
thu
ộ
c

đồ
th
ị

đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t, ho
ặ
c b
ằ
ng m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
cho tr
ướ
c.

Ví dụ 1.
Cho hàm s
ố

3 2
2 2
y x x x
= + + +
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
a)
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ

th
ị
và
Ox
.
b)

đ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị
.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

3 2
3 1
y x x x
= + + +
. Tìm di
ể
m M thu

ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M v
ớ
i
đồ
th
ị

đ
i qua
g
ố
c t
ọ
a
độ
O.
Đ

/s:
( 1;2)
M
−

Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố

1
( )
2
x
y C
x
+
=
−
.
Tìm di
ểm
M
thuộc đồ thị hàm số (
C
) sao cho tiếp tuyến tại
M
với đồ thị cắt các trục tọa độ
Ox,

Oy

tại
A
,
B
sao cho
OA

= 3
OB
, với
O
là gốc tọa độ.
Đ/s: Một điểm
M
là
(3; 4)
M

Ví dụ 4. Cho hàm số
( )
1
x
y C
x
=
+
.
Tìm di
ểm
M

thuộc đồ thị hàm số (
C
) sao cho khoảng cách từ điểm
E
(1; 2) đến tiếp tuyến tại
M
với đồ thị bằng
1
.
2

Đ
/s: M
ộ
t
đ
i
ể
m M là
(0;0)
M

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1.
Cho hàm s
ố

3 2
2 6 3
y x x x

= − + −
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
và Ox.
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
Đ/s:
13 1
2 2
y x
 
= −
 
 

Bài 2. Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
= − +
có
đồ
th
ị
là (C)

Tìm trên (C) nh
ữ
ng
đ
i

ể
m M sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M c
ắ
t tr
ụ
c tung t
ạ
i
đ
i
ể
m có tung
độ
b
ằ
ng 8.
Đ
/s:
( 1; 4)
M
− −

Bài 3.
Cho hàm s
ố

2
1
x
y
x
+
=
−

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
bi

ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A
và B sao cho di
ệ
n tích tam giác OAB b
ằ
ng
50

3
(v
ới
O
là gốc toạ độ)
Đ/s:
(2;4)
M

Bài 4. Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
+
=
−

Vi
ết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt
A

và
B
sao cho
OB
= 5
OA
(với

O
là gốc toạ độ)
Đ/s:
5 17; 5 3
y x y x
= − + = − −

Bài 5. Cho hàm số
1
x
y
x
=
+

Tìm
điểm
M
thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm
( 1;1)
E
−
đến tiếp tuyến tại
M
với đồ thị bằng
2.

Đ/s:
(0;0), ( 2; 2).
M M

− −

Bài 6. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−

Tìm điểm
M
thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm
( 1;1)
E
−
đến tiếp tuyến tại
M
với đồ thị lớn nhất.
Đ/s:
max
2 (0;2), ( 2;0).
d M M= ⇔ −

Bài 7. Cho hàm số
3
2 1
x

y
x
−
=
+

Vi
ết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm
1 1
;
2 2
I
 
−
 
 
đến tiếp tuyến tại
M
bằng
7 2
.
10

Đ
/s:
7 11.
y x
= +

Bài 8.

Cho hàm s
ố

2 5
2
x
y
x
+
=
−
(1)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) bi
ế

t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân
bi
ệ
t A và B sao cho OA = 9OB (v
ớ
i O là g
ố
c to
ạ

độ
)
Ví dụ 9.
Cho hm s
ố

3
1
x
y
x
−
=
+
(C)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s

ố
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i A, c
ắ
t tr
ụ
c Oy t
ạ
i B sao cho OA = 4OB.
Ví dụ 10.
Cho hàm s
ố

2
2 3
x
y
x
+

=
+
(1).
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t tr

ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t
A
,
B
và tam giác
OAB
cân t
ạ
i g
ố
c t
ọ
a
độ

O
.

LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95






DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)

Công thức :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
(
)
(
)
(
)
; :
o o
M x y C y f x
∈ = là
( )
(
)

( )
(
)
(
)
o o
o o o o
x x
y y x x y y y x x f x
′ ′
= − + ⇔ = − +



Các l
ư
u ý :
+ N
ế
u cho
x
o
thì tìm
y
o

=
f
(
x

o
).
+ N
ế
u cho
y
o
thì tìm
x
o
b
ằ
ng cách gi
ả
i ph
ươ
ng trình
f
(
x
) =
y
o
.
+ Tính
y
′
=
f
′

(
x
). Suy ra
y
′
(
x
o
) =
f
′
(
x
o
).
+ Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
là:
y
=
f
′
(
x

o
).(
x
–
x
o
) +
y
o
.

D
ạ
ng toán tr
ọ
ng tâm c
ầ
n l
ư
u ý :
Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể

m
M
thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm phân th
ứ
c
ax b
y
cx d
+
=
+
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
Khi
đ
ó ta có các tính ch

ấ
t sau:
+ M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AB

+ Di
ệ
n tích tam giác
IAB
luôn không
đổ
i, v
ớ
i
I
là giao
đ
iêm c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n

+ Chu vi tam giác
IAB

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
+ Bán kính
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác
IAB
d
ạ
t gái tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.
Ví dụ 1.
Cho hàm s

ố

2
( )
1
x
y C
x
+
=
−
.
G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố

. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AB.
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng di
ệ
n tích tam giác
IAB
không
đổ
i, v
ớ
i
I
là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ

a
đồ
th
ị
(
I
là giao c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n)
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

2 3
( )
2
x
y C
x
−
=
−
.
G
ọ
i

M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c

ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
Tìm
đ
i
ể
m
M

đề

độ
dài
đ
o
ạ
n
AB
ng
ắ
n nh
ấ
t.

Đ/s:
(3;3), (1;1)
M M

Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố

2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
−
.
G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ

c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.

Tìm
đ
i
ể
m
M

đề
chu vi
tam giác
IAB
nh
ỏ
nh
ấ
t, v
ớ
i
I
là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s

ố
.
Đ/s:
1 3
M
x = ±

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1.
Cho hàm s
ố

2 3
( )
2
x
y C
x
−
=
−
.
G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ

i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ

n t
ạ
i
A, B.
Tìm
đ
i
ể
m
M

đề

đườ
ng
tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
IAB
có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t, v
ớ
i

I
là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
Đ/s:
(3;3), (1;1)
M M

Hướng dẫn:
Tam giác
IAB
vuông t
ạ
i
I
nên
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti

ế
p tam giác
IAB
có
đườ
ng kính là
A
B, suy ra di
ệ
n tích
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p là
2
2
π π
4
AB
S R= =
, t
ừ

đ
ó bài toán quy v
ề
tìm
M

để

độ
dài
AB
ng
ắ
n nh
ấ
t.
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
Bài 2. Cho hàm số
2 3
( )
mx
y C
x m
+
=
−
.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác
IAB có diện tích bằng 64.

Đ/s:
58
2
m = ±

Bài 3. Cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x
−
=
+
.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp
tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
Đ/s:
2(1 3)
y x= + ±

Bài 4. Cho hàm số
( )
1
x
y C
x
=
−

.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp
tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng
2(2 2)
+ .
Đ/s:
4
y x
y x
= −


= − +


Bài 5.
Cho hàm s
ố

3 2
3 1
y x x
= + −
.
G
ọ
i M là m
ộ
t
đ

i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i M c
ắ
t các tr
ụ
c t
ọ
a
độ

t
ạ
i A, B. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M
bi
ế
t OB = 3OA, v
ớ
i O là g
ố
c t
ọ
a
độ
.
Đ/s:
( 1;1)
M
−

Bài 6
.
Cho hàm s

ố
y =
2 1
1
−
−
x
x
. G
ọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp
tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác
IPQ.

LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95






DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
 Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox.
Kí hiệu k = tanα.
 Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.
 Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi
−
=
−

M N
d
M N
y y
k
x x

 Đường thẳng d đi qua điểm M(x
1
; y
1
) và có hệ số góc k thì có phương trình
(
)
1 1
: .
= − +
d y k x x y

Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng
d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.

 Cho hai đường thẳng
1 1 1
2 2 2
:
:
d y k x m
d y k x m
= +



= +


+ d
1
và d
2
song song v
ớ
i nhau thì có cùng h
ệ
s
ố
góc :
1 2
1 2
d d
k k
m m
=



≠



+

d
1
và
d
2

vuông góc
v
ớ
i nhau thì có tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
1 :
1 2 2
1
1
. 1 .
= − ⇔ = −
d d d
d
k k k
k

 Đạo hàm tại một điểm x
o

thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó.
T
ức là
(
)
.
′
=
tt o
k y x

Ví dụ 1:
Xác
đị
nh h
ệ
s
ố
góc k c
ủ
a các
đườ
ng cho d
ướ
i
đ
ây ?
a)
2 1 2
2 3 1 0 3 2 1 .

3 3 3
−
+ − = ←→ = − + ⇔ = + → = −
x y y x y x k
b)
1 3 1
5 3 0 5 3 .
5 5 5
− + + = ←→ = − ⇔ = − → =
x y y x y x k
c)
2 3 0 2 3 2.
+ + = ←→ = − → =
x y y x k

Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2
( 1) 2 3
y x m x mx
= + − + +

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n
a) t
ạ

i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = –3 song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d : 5x – y + 3 = 0
b) t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = 1 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d’ : x – 2y + 3 = 0
Ví dụ 3:
Cho hàm s

ố

4 2
2( 1) 8 2
y x m x m
= + − − −

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i các
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s

ố
vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví dụ 4:
Cho hàm s
ố

3
x m
y
x m
+
=
−

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ

a
đồ
th
ị
và tr
ụ
c Oy vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d : x – 2y + 1 = 0
Ví dụ 5:
Cho hàm s
ố

3 2
1
y x x x
= + − +

G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ

i qua
đ
i
ể
m A(1 ; 2) và có h
ệ
s
ố
góc k. Tìm k
để
d c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao
cho ti
ế
p tuy
ế
n v

ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i B, C vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví dụ 6:
Cho hàm s
ố

3 2
3 3.
y x x x
= − + +
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2 ; 1) và có h
ệ
s
ố

góc k.
Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d và
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
a) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Hướng dẫn giải :
Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
3 2 3 2

3 3 ( 2) 1 3 2 ( 2)
− + + = − + ⇔ − + + = −
x x x k x x x x k x

2
2
2
( 2)( 1) ( 2)
( ) 1 0, (1)
=

⇔ − − − = − ⇔

= − − − =

x
x x x k x
g x x x k

a)
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i duy nh
ấ

t m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) vô nghi
ệ
m
5
0 1 4(1 ) 0 .
4
⇔ ∆ < ⇔ + + < ⇔ < −
k k
V
ậy với
4
5
< −
k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.
Điều đó xảy ra khi
5
0 1 4(1 ) 0
4
(2) 0 (2) 1 0
1

∆ > + + >
> −

 

⇔ ⇔
  
≠ = − ≠
 

≠

k
k
g g k
k

V
ậ
y v
ớ
i
4
5
1

> −



≠

k

k
thì hai
đồ
th
ị

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
c)
Do nghi
ệ
m x = 2 > 0 nên
để
ba giao
đ
i
ể
m có hoành
đ
ô d

ươ
ng thì (1) ph
ả
i có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t và khác 2.
G
ọ
i hai nghi
ệ
m
đ
ó là x
1
; x
2
. Khi
đ
ó ta có
1 2
1 2
0
1 0
1
0 1 0
+ >

>


⇔ ⇔ < −
 
> − − >


x x
k
x x k

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i di
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i ba giao
đ
i
ể

m
ở
câu b ta d
ượ
c
4
1
5
− < < −
k là giá tr
ị
c
ầ
n tim.
Ví dụ 7:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3 1.
y x mx mx
= − + +

a) Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n v

ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆: 4x + y + 1= 0.
b) Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ

th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m x = −2 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆′: 2x + 3y + 2= 0.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
2
3 2
6 6
2 3 1
12 6 0
2


′
= − +

= − + + →

′′ ′′
= − → = ⇔ =


y x mx m
y x mx mx
m
y x m y x

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n có h
ệ
s

ố
góc là
2 2
3
6. 6 .
2 4 2 2
 
′
= = − + = − +
 
 
u
m m m m
k y m m m

Đườ
ng th
ẳ
ng ∆ có h
ệ
s
ố
góc xác
đị
nh b
ở
i
: 4 1 0 4 1 4.
∆
∆ + + = ⇔ = − − → = −

x y y x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n song song v
ớ
i ∆ nên
2
2
2
3
4 3 2 8 0
4
2
3
∆
=


= ⇔ − + = − ⇔ − − = ⇔


= −


u
m
m
k k m m m
m

V
ậ
y, v
ớ
i
4
2;
3
= = −
m m thì ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u

ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆.
b)
Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i x = −2 có h
ệ
s
ố
góc là
(
)
2 24 12 13 24
′

= − = + + = +
tt
k y m m m
LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
Đường thẳng ∆′ có hệ số góc xác định bởi
2 2 2
: 2 3 2 0 3 2 2 .
3 3 3
′
∆
′
∆ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − → = −
x y y x y x k

Tiếp tuyến tại điểm x = −2 vuông góc với ∆′ nên
( )
2 45
. 1 13 24 1 26 48 3
3 26
′
∆
= − ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ = −
tt
k k m m m
V
ậy, với
45
26

= −m thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
Cho hàm số
3 2
( 2) 3.
= − − + +
y x m x mx

a)
Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ

x = 1 song song v
ớ
i
đườ
ng (d): y = 2x – 1.
b)
Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = 0 vuông góc v
ớ
i
đườ

ng (d): 4x – 3y = 0.
Bài 2.

đồ
th
ị
hàm s
ố
y = –x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1
Tìm m
để
các ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc v
ớ
i nhau.

Bài 3.
Cho hàm s
ố

3 2
3 2,
y x x x
= + + +
có
đồ
th
ị
là (C) và m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(−1; 3) có h
ệ
s
ố
góc k.
a)
Tìm k
để

đườ

ng th
ẳ
ng d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t cùng có hoành
độ
âm.
b)
Tìm k
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế

p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m B, C vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 4.
Cho hàm s
ố
y = x
4
+ mx
2
– m – 1.
Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i

đồ
th
ị
t
ạ
i A song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = 2x, v
ớ
i A là
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh có hoành
độ
d
ươ
ng
c
ủ
a
đồ

th
ị
hàm s
ố
.
Bài 5.
Cho hàm s
ố

(
)
3 1
.
+ −
=
+
m x m
y
x m

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i giao
đ

i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
v
ớ
i tr
ụ
c Ox song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = –x –5.


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1

DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)
Ví dụ 1:
Cho hàm số
2 1
,
1
−
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
,
2
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C).
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với

2
=
AB OA

Đ/s: d: x + y – 8 = 0
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có
đồ thị là (C
m
); (m là tham s
ố).
Xác
định m để (C
m
) c
ắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) t
ại D và
E vuông góc với nhau.
Đ/s:
9 65
8
−
=m
Ví dụ 4:
(Trích

đề
thi
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A n
ă
m 2011)

Cho hàm s
ố

1
,
2 1
− +
=
−
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = x + m luôn c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t A, B v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m. G
ọ

i k
1
; k
2
là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i A, B. Tìm k
để
t
ổ
ng
1 2
+
k k

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ
/s:
(
)
1 2
min
1; 2
= − + = −
m k k
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:

Cho hàm s
ố

1
,
2
+
=
−

x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C).
Tìm
đ
i
ể

m M trên
đồ
th
ị
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng IM.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )
2 1
, .

1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M v
ớ

i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và giao
đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n có
tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
9.
Bài 3:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(1 ; −2) và có h
ệ
s
ố
góc k.
a) Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d và
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M(1 ; −2) ; A và B.
b) Tim k
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể

m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 4:
Cho hàm s
ố

3
– 3 1
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = mx + m + 3.
Xác
đị
nh m
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i M(−2; 3), N, P sao cho các ti
ế

p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i N và P vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 5:
Cho hàm s
ố

3 2
– 3 4
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2; 0) có h
ệ
s

ố
góc k.
Xác
đị
nh k
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 6:
Cho hàm s
ố

3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −
y x m x m x có
đồ
th
ị

),(
m
C
m là tham s
ố
.
Tìm m
để
trên
)(
m
C
có hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t

1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
th
ỏ
a mãn
1 2
. 0
>
x x
và ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
)(
m
C
t
ạ
i m
ỗ
i
đ
i
ể
m
đ

ó vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 3 1 0.
− + =
d x y

Bài 7:
Cho hàm s
ố

3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
y x m x m x m
(1) v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết
1
cos
α .
26
=
Bài 8:
Cho hàm số
3
1
−
=
+
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy

ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t tr
ụ
c
hoành t
ạ
i A, c
ắ
t tr
ụ
c tung t
ạ

i B sao cho OA = 4OB.
Bài 9: Cho hàm s
ố

3 2
( ) 6 9 3
= = + + +
y f x x x x (C).
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua
các ti
ếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho
 

=
.
Đ/s:
9
; 6039.
2
= =k k
HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ
Bài 1:
Cho hàm số
1
,
2
+
=
−
x

y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Ta có
2
1 2 3 3 3
1
2 2 2
( 2)
+ − +
′
= = = + → = −
− − −
−
x x
y y
x x x
x

G
ọ
i
( )
( )
3 3
; 1 ;1 .
2 2
 
∈ ⇒ = + → +

 
− −
 
o o o o
o o
M x y C y M x
x x

Ta có
2
1
lim
2
1
lim 1
2
→
→∞
+

= ∞


−

+

=

−


x
x
x
x
x
x
, từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.
Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).

Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
( )
2
3
( 2)
′
= = −
−
tt o
o
k y x
x


Đườ
ng th
ẳ
ng IM có h
ệ
s

ố
góc
2
3
1 1
2
3
2
( 2)
 
− +
 
−
−
 
= = =
− −
−
o
I M
IM
I M o
o
x
y y
k
x x x
x

 Ti

ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i
đườ
ng IM khi
2 2
3 3
. 1 . 1
( 2) ( 2)
= − ⇔ − = −
− −
tt IM
o o
k k
x x

2
2 3 2 3
( 2) 3
2 3 2 3
 
− = = +
⇔ − = ⇔ ⇔
 
− = − = −

 
 
o o
o
o o
x x
x
x x

+ V
ớ
i
( )
3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= +
⇒
= + = + = + → + +
−
o o
o
x y M
x

+ V
ớ
i
( )

3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= −
⇒
= + = + = − → − −
−
−
o o
o
x y M
x

V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )

2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ

i M v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và giao
đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n có
tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
9.
H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
2
3
.
1
′
=
+
y
x
G
ọ
i
( )
2 1
;
1
−
 
∈
 
+
 
a

M a C
a

Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i M có h
ệ
s
ố
góc:
( )
2
3
( ) .
1
′
= =
+
tt
k y a
a
Giao
đ
i

ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n I(−1; 2).