Tài liệu (Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề hình học không gian_Bài tập và hướng dẫn giải ppt

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (04) 2221-0328
Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2010
BÀI TẬP VỀ NHÀ
(Hình học không gian)
Thể tích khối đa diện.
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam
giác
ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy
một góc
α
và tạo với mặt (SAD) góc
β
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a
= =
cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
. Trên cạnh SA lấy điểm
M sao cho
3
3
a
AM
=

. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp
S.BCMN
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể tích hình
chóp S.ABCD
Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
, ,AB a AC b AD c
= = =
và các góc
,BAC
∠

,CAD DAB∠ ∠
đều bằng
60
o
.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
60BAD
∠ =
o
,
( )
SA mp ABCD⊥
và

SA a
=
. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt
các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường
thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI =
Tìm khoảng
cách từ C đến mp(SAD).
Bài7: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
=
và
( )
.SA mp ABC
⊥
ABC
∆
có
2 ,AB BC a
= =

120 .ABC
∠ =

o
Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm của
DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (04) 2221-0328
Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2010
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng
thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc
60
o
.
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V
1
, V
2
. Tìm tỉ số
1
2
V
V
.
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 8
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BTVN
Thể tích khối đa diện.
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác
ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc
α
và tạo
với mặt (SAD) góc
β
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
HDG : Thể tích hình chóp S.ABC là:
1
. .
3
ABC
V SA S
∆
=
Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả
thiết:

( ) ( )
( )
,SA mp ABC SBA SB mp ABC
α
⊥ ⇒ ∠ = =

( )
BD mp SAD BSD
β
⊥ ⇒ ∠ =
Đặt BD = x suy ra:
2 2 2 2
.tanAB a x SA a x
α
= + ⇒ = +

2 2
2 2
2
2 2
sin sin
sin tan sin
sin
os sin
BD SA
SB
x a x
a
x
c

β α
α α β
β
α β
= =
⇒ = +
⇒ =
+
Do đó:
3
2 2
1 sin .sin
. .tan . .
3 3 os( ) os( )
a
V a x a x
c c
α β
α
α β α β
= + =
+ −
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a= =
cạnh SA vuông
góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao
cho

3
3
a
AM
=
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN
HDG :
Theo giả thiết :

( ) ( )
( )
, 60
.tan 60 3
SA mp ABCD SBA SB mp ABCD
SA AB a
⊥ ⇒ ∠ = =
⇒ = =
o
o
Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD)
( )
SD mp BCM N⇒ ∩ =
Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 3 of 8
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (04) 2221-0328
Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2010

.

2
.
2 2 1
3 3 3
4 4 2
.
9 9 9
SMBC
SMBC SABC S ABCD
SABC
SMNC
SMNC SADC S ABCD
SADC
V
SM
V V V
V SA
V
SM SN SM
V V V
V SA SD SA
= = ⇒ = =
 
= = = ⇒ = =
 ÷
 
Vậy:
3
. .
5 5 1 10 3

. . .
9 9 3 27
S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCD
V V V V SA S a
= + = = =
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể tích hình
chóp S.ABCD
HDG : Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, và
G là trực tâm ∆SCD
(1)HG CD⇒ ⊥
Mà

( )
BD AD
BD SAC BD SC
BD SH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

và
( ) (2)SC DG SC BDG SC HG
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Vì I là trung điểm của SH nên :
( ) ( )
;( ) 2 ;( ) 2HG d H SCD d I SCD b= = =

2
2 2
2 2 2
2
2
3
2 2
1 1 1
4 à
4
4
4
2
3 16
b
a ab
GM b v h
HG HM SH
a
b
a
V
a b
⇒ = − = + ⇒ =
−
⇒ =

−
Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
, ,AB a AC b AD c
= = =
và các góc
,BAC∠

,CAD DAB∠ ∠
đều bằng
60
o
.
HDG : Không mất tính tổng quát ta giả sử
{ }
min , ,a a b c
=
Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C
1
, D
1
sao cho AC
1
= AD
1
= a, từ giả thiết suy ra tứ diện
ABC
1
D
1
là tứ diện đều cạnh a nên có

1 1
3
2
12
ABC D
V a
=
Theo công thức tỉ số thể tích:
1 1
2
1 1
.
ABC D
ABCD
V
AC AD a
V AC AD bc
= =
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 4 of 8
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..

1 1
2
2
12
ABCD ABC D
bc abc

V V
a
⇒ = =
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
60BAD∠ =
o
,
( )
SA mp ABCD⊥
và
SA a=
. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các
cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
HDG: Gọi
, 'O AC BD I AC SO= ∩ = ∩
, suy ra
' '||B D BD
và
' 'B D
đi qua I
Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên
2 ' ' 2
3 3
SI SB SD
SO SB SD
= ⇒ = =
Theo công thức tỉ số thể tích:

. ' '

. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AB C
S AB C S ABC S ABCD
S ABC
V
SB SC
V V V
V SB SC
= = = ⇒ = =
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AD C
S AD C S ADC S ABCD
S ADC
V
SD SC
V V V
V SD SC
= = = ⇒ = =
Vậy:
3
3

. ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' .
1 1 3 3
.
3 3 6 18
S A B C D S A B C S A D C S ABCD
a
V V V V a= + = = =
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường
thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI
=
Tìm khoảng
cách từ C đến mp(SAD).
HDG: Ta có:
3
.
1 3
. .
3 6
S ABCD ABCD
a
V SI S
= =
Áp dụng pitago ta có:

2
2 2 2
5
4
a
DI AI AD= + =
,
2 2 2 2
SA SI AI a= + =
,
2 2 2 2
2SD SI DI a= + =
2 2 2
SD SA DA SAD= + ⇒ ∆ vuông tại A nên
2
1 1
.SA
2 2
SAD
S AD a
∆
= =
Vậy khoảng cách cần tìm là:
( )
( )
3 3
3
,
2 2
SACD SABCD

SAD SAD
V V
a
d C SAD
S S
∆ ∆
= = =
Bài7: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
=
và
( )
.SA mp ABC
⊥
ABC∆
có
2 ,AB BC a
= =

120 .ABC
∠ =
o
Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
HDG: Ta có:
( )
2
2
1 1
. . .sin . 2 .sin120 3
2 2

ABC
S BA BC B a a
∆
= = =
o
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 5 of 8