BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KỸ THUẬT GIAO THÔNG
NĂM HỌC 2020 – 2021

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỀ TÀI 01 - ỨNG DỤNG MA TRẬN
VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

GVHD :
NHĨM :
LỚP :

Đặng Thu Huyền
L07_ĐSTT_01
L07
0|Page


DANH SÁCH THÀNH VIÊN
01

Cao Hoàng Đức Huy

2013276

02

Chung Nguyễn Đăng Khoa

2013490

03

Dương Tuấn Kiệt

2013561

04

Cao Khả Quốc Nhân

2011723

05

Hồ Mậu Quang

2010546

06

Hà Hoàng Thái

2014471

07

Đoàn Tấn Thành

2014489

08

Dương Gia Thịnh

2012105

09

Hồ Minh Thông

2012129

10

Dương Thị Anh Thư

2014671

11

Châu Nhật Tú

2012370

1|Page


MỤC LỤC

Phần 1 – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU .......................................................................... 3
Phần 2 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT ...................................................................................................... 4
1. Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp ....................................................................... 4
a) Khối tứ diện ................................................................................................................. 4
b) Khối hộp ....................................................................................................................... 4
2. Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng ................................................................... 5
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước .............................. 5
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước .................... 5
3. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse ....... 6
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng ...................................... 6
b) Viết phương trình ellipsoid ........................................................................................... 6
Phần 3 – VÍ DỤ CỤ THỂ ............................................................................................................. 8
1. Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp ....................................................................... 8
a) Khối tứ diện ................................................................................................................. 8
b) Khối hộp ....................................................................................................................... 8
2. Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng ................................................................... 9
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước .............................. 9
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước .................... 9
3. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse ..... 10
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng .................................... 10
b) Viết phương trình ellipsoid ......................................................................................... 11

2|Page


Phần 1 – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU

ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
–

Nêu được các ứng dụng của định thức trong
• Tính thể tích của khối tứ diện, khối hộp;
• Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước, phương trình mặt phẳng
qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước;
• Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse.

–

Viết chương trình MATLAB sử dụng cho một trong các ứng dụng trên.

3|Page


Phần 2 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp
a) Khối tứ diện
Bài toán đặt ra
 AB = ( x AB ; y AB ; z AB )

Cho hình tứ diện ABCD dựng trên 3 vector  AC = ( x AC ; y AC ; z AC ) .

 AD = ( x AD ; y AD ; z AD )
Tính thể tích khối tứ diện trên
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thơng: Tính theo tích hỗn tạp của các vector:
1
VABCD =  AB, AC  AD
6

(1)

Nếu biến đổi công thức (1) theo trình tự: Khai triển cơng thức tích có hướng, sau đó nhân
vơ hướng, ta thu được kết quả như sau:
y
z AB
x
z AB
x
y AB
1
(2)
VABCD = xAD AB
− y AD AB
+ z AD AB
y AC z AC
xAC z AC
xAC y AC
6
Nhận xét : Cơng thức (2) chính là cơng thức tính định thức ma trận khai triển theo hàng 3.
Vì vậy ta có thể đưa cơng thức (1.2) về dạng định thức của ma trận vuông cấp 3.

VABCD

x AB
1
= x AC
6
x AD

y AB

z AB

y AC

z AC

y AD

z AD

(3)

b) Khối hộp
Bài tốn đặt ra
Từ hình tứ diện ABCD nêu trên,
 AB = ( x AB ; y AB ; z AB )

Hãy dựng nên một hình hộp ABEC.DHGF dựa trên 3 vector  AC = ( x AC ; y AC ; z AC ) .

 AD = ( x AD ; y AD ; z AD )
Tính thể tích khối hộp trên.
Hướng giải quyết : Từ đề bài nhận thấy : VABEC .DHGF = 6.VABCD

Do đó, ta có thể đưa ra cơng thức tính thể tích của khối hộp theo dạng định thức của ma trận
vuông cấp 3.

x AB

y AB

z AB

VABEC .DHGF = xAC

y AC

z AC

xAD

y AD

z AD

(4)

4|Page


2. Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước
Bài toán đặt ra
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm phân biệt có tọa độ gồm A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) .
Viết phương trình đường thẳng AB.
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thơng, phương trình đường thẳng AB có dạng:
u2 ( x − x A ) − u1 ( y − y A ) = 0

(5)

Trong đó, vector chỉ phương u = ( u1 ;u2 ) = ( x A − xB ; y A − yB )

(6)

Như vậy, kết hợp (5) và (6) ta được : ( y A − yB ) x − ( x A − xB ) y + ( x A yB − xB y A ) = 0
Hay là

x

yA 1
yB 1

−y

xA 1
xB 1

+

xA

xB

yA

yB

=0

(7)

Nhận xét : Cơng thức (7) chính là khai triển theo hàng 1 của định thức vuông cấp 3.
x
AB : x A
xB

y

1

yA 1 = 0

(8)

yB 1

b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước
Bài tốn đặt ra
Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng có tọa độ gồm A ( x A ; y A ; z A ) ,
B ( xB ; yB ; z B ) và C ( xC ; yC ; zC ) .

Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thơng, phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng:
a ( x − xA ) + b ( y − y A ) + c ( z − z A ) = 0

 y AB
Trong đó, vector pháp tuyến n = ( a;b;c ) = 
 y AC

z AB

z AC

;−

(9)

xAB

z AB

xAC

z AC

;

xAB
xAC

y AB 

y AC 

(10)

Như vậy, kết hợp (9) và (10) ta thu được định thức của ma trận vuông cấp 3.
x − xA

y − yA

z − zA

x AB

y AB

z AB

x AC

y AC

z AC

=0

(11)

5|Page


Nhận xét : Cơng thức (11) chính là cơng thức khai triển tính định thức theo cột 4 của ma
trận vuông cấp 4 sau:
x

y

z

1

x − xA

y − yA

z − zA

0

x AB

y AB

z AB

0

x AC

y AC

z AC

0

=0

(12)

Dùng các phép biến đổi sơ cấp cho hàng và cột của ma trận công thức (12) ta thu được kết

quả cuối cùng như sau:

( ABC ) :

x

y

z

xA

yA

zA 1

xB

yB

zB 1

xC

yC

zC 1

1
=0

(13)

3. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng
Bài toán đặt ra
Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm khơng đồng phẳng có tọa độ gồm A ( x A ; y A ; z A ) ,
B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) và D ( xD ; yD ; z D ) .

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm trên.
Hướng giải quyết : Phương trình mặt cầu (S), nhận I ( a;b;c ) làm tâm, tổng quát dạng:
x 2 + y 2 + z 2 = 2ax + 2by + 2cz − d với a 2 + b 2 + c 2 − d  0

2ax A + 2by A + 2cz A = x A2 + y A2 + z A2

2
2
2
2ax + 2byB + 2cz B = xB + yB + z B
Do bốn điểm A, B,C và D nằm trên (S) nên  B
(14)
2
2
2
2
ax
+
2
by
+

2
cz
=
x
+
y
+
z
 C
C
C
C
C
C
2ax + 2by + 2cz = x 2 + y 2 + z 2

D
D
D
D
D
D
Đưa công thức (15) về dạng ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính, thu được kết quả:

−1

−1
−1

−1

−1

 x A2 + y A2 + z A2 
 2
2
2 
2 yB 2 z B
 xB + y B + z B 
(15)
 xC2 + yC2 + zC2 
2 yC 2 zC
 2

2
2 
2 yD 2 z D
 xD + y D + z D 
Từ cơng thức (15) có thể tìm được tọa độ tâm I ( a;b;c ) của phương trình mặt cầu (S).
 a   2 xA
   2x
b = B
 c   2 xC
  
 d   2 xD

2 yA

2zA

b) Viết phương trình ellipsoid
Bài tốn đặt ra
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng có tọa độ gồm A ( x A ; y A ; z A ) ,
B ( xB ; yB ; z B ) và C ( xC ; yC ; zC ) .

Viết phương trình ellipsoid (E) qua ba điểm trên.
6|Page


Hướng giải quyết : Phương trình ellipsoid (E), với a và b là bán kính xích đạo và c là bán
kính cực, tổng quát dạng:
x2 y 2 z 2
+ + =1
a 2 b2 c 2
 x A2 y A2 z A2
 2 + 2 + 2 =1
 a2 b 2 c 2
y
z
x
Do A, B và C nằm trên (E) nên  B2 + B2 + B2 = 1
(16)
a
b
c

 xC2 yC2 zC2
 2 + 2 + 2 =1
b
c

a
Đưa công thức (16) về dạng ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính, thu được kết quả:
 1 
 a2 
2
2
2 −1
   x A y A z A   1
 1  =  x 2 y 2 z 2   1
(17)
B
B   
 b2   B
2
2
2


   xC yC zC   1
 1 
 2
c 
Từ cơng thức (17) có thể tìm được giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực của ellipsoid (E).
Nhận xét : Khi các giá trị cao độ z không tồn tại hoặc bằng 0, ellipsoid trở thành ellipse.

7|Page


Phần 3 – VÍ DỤ CỤ THỂ

1. Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp
a) Khối tứ diện

VABCD

x AB
1
= x AC
6
x AD

y AB

z AB

y AC

z AC

y AD

z AD

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A (1;1;1) , B ( 3; 2; 4 ) , C ( 0; 3; 6 ) và
D ( 4; −1; 5 ) . Hãy tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ba vector dựng nên hình tứ diện ABCD.
 AB = ( 2;1; 3)


 AC = ( −1; 2; 5 )

 AD = ( 3; −2; 4 )
Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ các vector trên.
 2 1 3


A =  −1 2 5 
 3 −2 4 


Bước 3: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo công thức (3).
1
1
43
VABCD = A =  2.2.4 + 1.5.3 + 3.( −1) .( −2 )  − 3.2.3 + ( −2 ) .5.2 + 4.( −1) .1 =
6
6
6
Bước 4: Kết luận.
43
Thể tích của khối tứ diện ABCD là VABCD = .
6
b) Khối hộp





x AB

y AB

z AB

VABEC .DHGF = xAC

y AC

z AC

xAD

y AD

z AD

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A (1;1;1) , B ( 3; 2; 4 ) , C ( 0; 3; 6 ) và
D ( 4; −1; 5 ) . Hãy tính thể tích khối hộp ABEC.DHGF.

Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ba vector dựng nên hình hộp ABEC.DHGF.

8|Page


 AB = ( 2;1; 3)

 AC = ( −1; 2; 5 )


 AD = ( 3; −2; 4 )
Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ các vector trên.
 2 1 3


A =  −1 2 5 
 3 −2 4 


Bước 3: Tính thể tích của khối hộp ABEC.DHGF theo công thức (4).
VABCD = A =  2.2.4 + 1.5.3 + 3.( −1) .( −2 )  − 3.2.3 + ( −2 ) .5.2 + 4.( −1) .1 = 43

Bước 4: Kết luận.
Thể tích của khối hộp ABEC.DHGF là VABEC .DHGF = 43 .

2. Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước
x
AB : x A
xB

y

1

yA 1 = 0
yB 1

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ( 0; 9 ) và B ( 6;−1) . Hãy viết phương trình
đường thẳng AB.

Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận vuông cấp 3 theo công thức (8).
 x y 1


A =  0 9 1
 6 −1 1


Bước 2: Viết phương trình đường thẳng AB bằng cách khai triển định thức ma trận A theo
hàng 1.
9 1
0 1 0 9
AB : x
−y
+
=0
−1 1
6 1 6 −1
Bước 3: Rút gọn các định thức con ở bước 2.
AB : x.10 − y.( −6 ) + ( −54 ) = 0
Bước 4: Kết luận.
Phương trình đường thẳng AB là 5 x + 3 y − 27 = 0 .
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước

9|Page


( ABC ) :

x

y

z

1

xA

yA

zA 1

xB

yB

zB 1

xC

yC

zC 1

=0

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm A ( 2; 6; 0 ) , B ( 9; 5;−8 ) và C ( 7; 4;1) . Hãy viết
phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận vuông cấp 4 theo công thức (13).
 x y z 1


2 6 0 1

A=
 9 5 −8 1


 7 4 1 1
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) bằng cách khai triển định thức ma trận A theo
hàng 1.
6 0 1
2 0 1
2 6 1 2 6 0
( ABC ) : x 5 −8 1 − y 9 −8 1 + z 9 5 1 − 9 5 −8 = 0
4 1 1
7 1 1
7 4 1 7 4 1
Bước 3: Rút gọn các định thức con ở bước 2.
( ABC ) : x.( −17 ) − y.47 + z.( −9 ) − ( −316 ) = 0
Bước 4: Kết luận.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là17 x + 47 y + 9 z − 316 = 0 .

3. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng
−1


−1
−1

−1

−1

 x A2 + y A2 + z A2 
 2
2
2 
2 yB 2 z B
 xB + y B + z B 
 xC2 + yC2 + zC2 
2 yC 2 zC
 2

2
2 
2 yD 2 z D
 xD + y D + z D 
Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A ( 2; −3; 5 ) , B ( 2;1; 0 ) , C ( 3; 2;1) và
 a   2 xA
   2x
b = B
 c   2 xC
  
 d   2 xD

2 yA

2zA

D ( 2; −3; 4 ) . Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm trên.

Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập hai ma trận (bên phải dấu “=” công thức (15)) theo các tọa độ đã cho.
 4 −6 10 −1
 38 


 
4 2 0 −1
5
A=
và B =  
 6 4 2 −1
 14 


 
 4 −6 8 −1
 29 
Bước 2: Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S) theo công thức (15).
10 | P a g e


a
 4 −6 10 −1
 



 b  = A−1 B =  4 2 0 −1
c
 6 4 2 −1
 


d 
 4 −6 8 −1

−1

 3
− 
 38   2 
   3 
 5 = 2 
 14  

   9 
 29   2 
 −8 



Bước 3: Kết luận.
Phương trình mặt cầu (S) là x 2 + y 2 + z 2 + 3x − 3 y − 9 z − 8 = 0 .
b) Viết phương trình ellipsoid
 1 

 a2 
2
   xA
 1  =  x2
 b2   B
   xC2
 1 
 2
c 

y A2
2
B
2
C

y
y

z A2 

z B2 
zC2 

−1

 1
 
 1
 1

 

Từ cơng thức (17) có thể tìm được giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực của ellipsoid (E).
Nhận xét : Khi các giá trị cao độ z không tồn tại hoặc bằng 0, ellipsoid trở thành ellipse.
 6 7

2 21 
Đề bài 1 : Trong mặt phẳng Oxyz, cho hai điểm A  1;
 và B  5 ;
 . Hãy viết
7
7




phương trình ellipse (E) đi qua hai điểm trên.
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo các tọa độ đã cho.
36 

1 7 
A=

 5 12 


7 

Bước 2: Tìm giá trị chiều dài và chiều rộng của ellipse theo công thức (17).

−1

36 
 1 

1
1
 a2 


1
 1  7 
7
  = A−1   = 
  = 
 1 
1  5 12  1  1 
 2


 
7 
b 

6

Bước 3: Kết luận.
Phương trình ellipse (E) là

x2 y 2

+
= 1.
7
6

11 | P a g e


Đề bài 2 : Tính thể tích quả bóng bầu dục có hình ellipsoid được đưa vào tọa độ Descartes
như sau: A ( 0; −1,37; 0,53) , B ( 0 ,74; 0 ,93; −0 , 25 ) và C ( 0,79; −0,19; 0 ,33) . Biết đơn vị thể
tích là dm3 .
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo các tọa độ đã cho.
1,8769 0 , 2809 
 0


A =  0,5476 0,8649 0, 0625 
 0 ,6241 0,0361 0 ,1089 


Bước 2: Tìm giá trị bán kính xích đạo và bán kính cực của ellipsoid theo cơng thức (17).
−1
 a −2 
1,8769 0, 2809  1  1, 23 
1  0
 a  0 ,9
 −2 



   

−1  
 b  = A 1 =  0,5476 0,8649 0, 0625  1   0, 23   b  2 ,1
1  0,6241 0, 0361 0,1089  1  2,04 
c  0 , 7
 c −2 
  
   




4
Bước 3: Tính thể tích của ellipsoid theo cơng thức Vellipsoid = abc .
3
Vb =

4
 0,9  2,1 0,7 = 1,764 ( dm3 )
3

Bước 4: Kết luận.

Thể tích của quả bóng bầu dục đó là Vb  5,54 ( dm3 ) .

- HẾT –
(Thuật toán MATLAB trong file kèm theo)
12 | P a g e