BÁO cáo bài tập lớn đại số TUYẾN TÍNH đề tài 01 ỨNG DỤNG MA TRẬN và ĐỊNH THỨC của MA TRẬN vào HÌNH học GIẢI TÍCH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KỸ THUẬT GIAO THÔNG
NĂM HỌC 2020 – 2021

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỀ TÀI 01 - ỨNG DỤNG MA TRẬN
VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

GVHD :
NHĨM :
LỚP :

Đặng Thu Huyền
L07_ĐSTT_01
L07
0|Page


DANH SÁCH THÀNH VIÊN
01

Cao Hoàng

02

Chung Ngu

03

Dương Tuấ

04

Cao Khả Qu

05

Hồ Mậu Qu

06

Hà Hoàng

07

Đoàn Tấn T

08

Dương Gia

09

Hồ Minh Th

10

Dương Thị

11

Châu Nhật

1|Page


MỤC LỤC
Phần 1 – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU....................................................................... 3
Phần 2 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT................................................................................................... 4
1. Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp......................................................................... 4
a) Khối tứ diện.................................................................................................................... 4
b) Khối hộp......................................................................................................................... 4
2. Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng..................................................................... 5
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước............................... 5
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước.....................5
3. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse........6
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng....................................... 6
b) Viết phương trình ellipsoid............................................................................................. 6
Phần 3 – VÍ DỤ CỤ THỂ......................................................................................................... 8
1. Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp......................................................................... 8
a) Khối tứ diện.................................................................................................................... 8
b) Khối hộp......................................................................................................................... 8
2. Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng..................................................................... 9
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước............................... 9
b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước.....................9
3. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse......10
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng..................................... 10
b) Viết phương trình ellipsoid........................................................................................... 11

2|Page


Phần 1 – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU
ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
– Nêu được các ứng dụng của định thức trong
•
Tính thể tích của khối tứ diện, khối hộp;
•
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước, phương trình
mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước;
•
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình
ellipse.

– Viết chương trình MATLAB sử dụng cho một trong các ứng dụng trên.

3|Page


Phần 2 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.

Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp
a) Khối tứ diện
Bài toán đặt ra
AB = (x AB ; y AB ; zAB

)

Cho hình tứ diện ABCD dựng trên 3 vector AC = (x AC ; y AC ; zAC

) . AD = (x AD ; y AD ; zAD )
Tính thể tích khối tứ diện trên
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thơng: Tính theo tích hỗn tạp của các
vector:

(1
)

V
ABCD

Nếu biến đổi cơng thức (1) theo trình tự: Khai triển cơng thức tích có hướng, sau đó
nhân vơ hướng, ta thu được kết quả như sau:
z
A
AB
B
V
z
A
C

AB

AB

AC

AC

AC

(2
)

Nhận xét : Công thức (2) chính là cơng thức tính định thức ma trận khai triển theo hàng 3.
Vì vậy ta có thể đưa cơng thức (1.2) về dạng định thức của ma trận vuông cấp 3.
A
B
A
C

V

z AB

z AC

(3
)

z AD

A
D

b) Khối hộp

Bài toán đặt ra
Từ hình tứ diện ABCD nêu trên,

AB = (x

Hãy dựng nên một hình hộp ABEC.DHGF dựa trên 3 vector

Tính thể tích khối hộp trên.
Hướng giải quyết : Từ đề bài nhận
thấy :

.

V
ABEC .DHGF


Do đó, ta có thể đưa ra cơng thức tính thể tích của khối hộp theo dạng định thức của ma
trận vng cấp 3.

x

y

AB

V

ABEC .DHGF

= x

x

y

AC

AC

y
AD

AB

z

AB

(4
)

z

AC

z
AD

AD

4|Page

2.

Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho
trước Bài toán đặt ra
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm phân biệt có tọa độ gồm A (x A ; yA

) và

B (x B ; y B

).

Viết phương trình đường thẳng AB.
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thơng, phương trình đường thẳng AB có dạng:
u

(5
)

Trong đó, vector chỉ phương u = ( u1
Như vậy, kết hợp (5) và (6) ta được :

( yA − yB
(7
)

Hay là

Nhận xét : Cơng thức (7) chính là khai triển theo hàng 1 của định thức vuông cấp 3.
x
(8
)

b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho
trước Bài toán đặt ra

a dạ
ng
y
:

Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm khơng thẳng hàng có tọa độ gồm B (x B

A

; y B ; zB

) và C (xC ; yC ; zC ).

Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thơng, phương trình mặt phẳng
(ABC)

c
ó

z

A

),

(9
)

y

Như vậy, kết hợp (9) và (10) ta thu được định thức của ma trận vuông cấp 3.
x−xA

x

AB

x
AC

5|Page


Nhận xét : Cơng thức (11) chính là cơng thức khai triển tính định thức theo cột 4 của ma
trận vuông cấp 4 sau:
x
x−x

(12
)

x
AB

x
AC

Dùng các phép biến đổi sơ cấp cho hàng và cột của ma trận công thức (12) ta thu được
kết quả cuối cùng như sau:

(13
)

(ABC):

3.
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình
ellipse
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng
phẳng Bài toán đặt ra
Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm khơng đồng phẳng có tọa độ gồm
B (x B ; y B ; zB ), C (xC ; yC ; zC

A (x

),

y

) và D (x D ; y D ; zD ) .

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm
trên. Hướng giải quyết : Phương trình mặt cầu (S), I (a;b;c) làm tâm, tổng quát dạng:
nhận
a
2
2
2
x +y +z

= 2 ax + 2by + 2cz − d với

2 ax
(14
)

Do bốn điểm A, B,C và D nằm trên (S)
nên
2 ax

2 ax
2 ax

C

Đưa công thức (15) về dạng ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính, thu được kết quả:

Từ cơng thức (15) có thể tìm được tọa độ tâm I (a;b;c)
b) Viết phương trình
ellipsoid Bài tốn đặt ra
Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm khơng thẳng hàng có tọa độ gồm A (x A ; y A ; zA ),
B (x B ; y B ; z B

) và C (xC ; yC ; zC ).

Viết phương trình ellipsoid (E) qua ba điểm trên.
6|Page


Hướng giải quyết : Phương trình ellipsoid (E), với a và b là bán kính xích đạo và c là bán
kính cực, tổng quát dạng:
x + y + z =1
a

b

c

+

+

Do A, B và C nằm trên (E) nên

+

+

+

+

z

=

1

c

=

1

=

1

z

(16
)

c
z

C

C

c
Đưa công thức (16) về dạng ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính, thu được kết quả:

a

(17
)

b

c
Từ cơng thức (17) có thể tìm được giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực của ellipsoid (E).
Nhận xét : Khi các giá trị cao độ z không tồn tại hoặc bằng 0, ellipsoid trở thành ellipse.


7|Page


Phần 3 – VÍ DỤ CỤ THỂ

1.

Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp
a) Khối tứ diện

(
0;3;6)

C

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm

và

D (4; −1; 5) . Hãy tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Bài giải chi tiết :

Bước 1: Lập ba vector dựng nên hình tứ diện ABCD.

Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ các vector trên.
A=

Bước 3: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo công thức (3).
=1

V
ABCD

6

Bước 4: Kết luận.
4
Thể tích của khối tứ diện ABCD là VABCD = 3 .
6
b) Khối hộp

x
AB

V
x

ABEC .DHGF

=x
AC

AD

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A (1;1;1) ,
D (4; −1; 5) . Hãy tính thể tích khối hộp ABEC.DHGF.

Bài giải chi tiết :

Ba vector
ưdựng nên
ớhình hộp
c ABEC.DH
1:GF.
L
B
( ,
ậ
p 3;2;4)
b


(

0;3;6)
C

và

8|Page


AB = (2;1;3)
AC = (−1;2;5)
AD = (3;−2;4)
Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ các vector trên.
A=

Bước 3: Tính thể tích của khối hộp ABEC.DHGF theo cơng thức (4).
V

=

ABCD

Bước 4: Kết luận.
Thể tích của khối hộp ABEC.DHGF làVABEC .DHGF = 43 .

2.

Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước
x

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm
đường thẳng AB.
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận vuông cấp 3 theo cơng thức
(8).

v
à

B

( . Hãy viết phương trình

6;−1)

A=

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng AB bằng cách khai triển định thức ma trận A theo
hàng 1.
AB : x
Bước 3: Rút gọn các định thức con ở bước 2.
AB : x. 10 − y.(−6 )+ ( −54

)=0

Bước 4: Kết luận.
Phương trình đường thẳng AB là 5x + 3y − 27 = 0 .


b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước

9|Page


Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm A
phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận vuông cấp 4 theo công thức (13).

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) bằng cách khai triển định thức ma trận A theo
hàng 1.

Bước 3: Rút gọn các định thức con ở bước 2.
( ABC ) : x. (−17 ) − y.47 + z.(−9 )−

( −316 ) = 0

Bước 4: Kết luận.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là 17x + 47 y + 9z − 316 = 0 .

3.
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình
ellipse
a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng
a
b

c
d

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A (2; −3;5) , B (2;1; 0) , C (3; 2;1)
và
D (2; −3; 4) . Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm trên.

Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập hai ma trận (bên phải dấu “=” công thức (15)) theo các tọa độ đã cho.
4


A=

Bước 2: Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S) theo công thức (15).
10 | P a g e
a
b
c

=

Bước 3: Kết luận.

Phương trình mặt cầu (S) là x 2 + y 2 + z 2 + 3 x − 3 y − 9 z − 8 = 0 .
b) Viết phương trình ellipsoid

a

b

c
Từ cơng thức (17) có thể tìm được giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực của ellipsoid (E).

Nhận xét : Khi các giá trị cao độ z không tồn tại hoặc bằng 0, ellipsoid trở thành ellipse.
Đề bài 1 : Trong mặt phẳng Oxyz, cho hai

điể
m

phương trình ellipse (E) đi qua hai điểm trên.
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo các tọa độ đã cho.


Bước 2: Tìm giá trị chiều dài và chiều rộng của ellipse theo cơng thức (17).

36
7

Bước 3: Kết luận.

7

b
Phương trình ellipse (E) là

x2
7

+
6

y2

=1.

11 | P a g e


Đề bài 2 : Tính thể tích quả bóng bầu dục có hình ellipsoid được đưa vào tọa độ Descartes
A(0;−1,37;0,53),

như sau:

tích là dm
Bài giải chi tiết :
Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo các tọa độ đã cho.

3

A=

Bước 2: Tìm giá trị bán kính xích đạo và bán kính cực của ellipsoid theo cơng thức (17).
a
a

0,9
b 2 ,1

c 0,7

Bước 3: Tính thể tích của ellipsoid theo cơng
thức

4
abc

Vellipsoid =

(dm )

3

3

V
b

Bước 4: Kết luận.
Thể tích của quả bóng bầu dục đó là Vb

(dm3 ) .

.


-HẾT–
(Thuật toán MATLAB trong file kèm theo)
12 | P a g e