phương pháp tính thể tích khối đa diện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.34 MB, 33 trang )
- 1 -
CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
Trong trường phổ thông, Hình học Không gian là một bài toán rất khó đối với học sinh, do đó
học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài
toán.
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. Các Tính Chất :
a. Tam giác :
Diện tích của tam giác
*
1
. . .sin
2
ABC
S AB AC A
*
1
2
ABC
S BC AH
Các tam giác đặc biệt :
Tam giác vuông :
+ Định lý pitago:
2 2 2
BC AB AC
+ Diện tích tam giác vuông:
1
2
ABC
S AB AC
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông
Ñoái
sin
Huyeàn
b
B
a
;
Keà
cos
Huyeàn
c
B
a
;
Ñoái
tan
Keà
b
B
c
Tam giác cân:
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích
.tanAH BH B
1
2
ABC
S BC AH
Tam giác đều
+ Đường cao của tam giác đều
3
.
2
h AM AB
( đường cao h = cạnh x
3
2
)
+ Diện tích :
2
3
.
4
ABC
S AB
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
h
H
A
B
C
c
a
b
C
B
A
A
B
C
H
B
A
G
C
M
- 2 -
B. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
+ Thể tích khối chóp
1
3
V B h
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy
h : là đường cao của hình chóp
Các khối chóp đặc biệt :
Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy
Và AO
(BCD)
B
Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O
+ SO
(ABCD)
C. GÓC:
Cách xác định góc
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Tìm hình chiếu d’ của d lên mặt phẳng (P)
Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d’
D. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
+ Thể tích khối lăng trụ
.V B h
B: diện tích đáy
h : đường cao
h
S
B
A
C
H
A
C
D
M
O
O
C
D
B
A
S
H
A1
B
C
A
B1
C1
G
- 3 -
DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN
bằng cách sử dụng trực tiếp các công thức toán
Phương pháp:
+ Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
+ Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Ví dụ mẫu:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B,
2AB a
,
3AC a
, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
3SB a
. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải:
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
(ABC) và vẽ thẳng đứng
Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
Lời giải:
Ta có : AB = a
2
,
AC = a
3
SB =
3a
.
*
ABC vuông tại B nên
22
BC AC AB a
2
ABC
1 1 . 2
S . . 2.
2 2 2
a
BA BC a a
*
SAB vuông tại A có
22
SA SB AB a
* Thể tích khối chóp S.ABC
23
.
1 1 . 2 . 2
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
aa
V S SA a
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Câu 1: (TNBT-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) và SB = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Câu 2: (TNBT-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O; SA = SB = SC
= SD. Biết AB = 3a, BC = 4a và
0
45SAO
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu 3: (TNBT-2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
;3AB a AC a
; cạnh bên vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
2SA a
. Tính thể tích của khối
chóp S.ABC theo a.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a
2
, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SB =
3a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và
5SB a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a
3
,
0
AC 120B
,cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
2
, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SC =
5a
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A
C
B
S
- 4 -
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA = AC = a
2
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Câu 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
3
, cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích
khối chóp S.ABC
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3a
.Tính thể tích
khối chóp S.ABCD
Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a
3
,
cạnh A
/
B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 12: TNPT-2009 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
0
120BAC
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Câu 13: TNPT-2008 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB=a; BC=
3a
và SA=3a
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Câu 14: TNPT-2008(2) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
Các bài toán liên quan đến Khối chóp đều
Câu1: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60
0
. Tính thể tích
hình chóp S.ABC theo a.
Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45
0
.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
2) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60
0
. Tính
thể tích hình chóp S.ABC theo a.
Câu 4: Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
Tính thể tích hình chóp.
Câu 5: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
0
45SAC
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
- 5 -
Dạng 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - KHỐI LĂNG TRỤ
LIÊN QUAN ĐẾN GÓC
Trong chương trình Toán phổ thông, Hình học Không gian được phân phối học ở cuối năm lớp
11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ; góc giữa hai mặt
phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12 sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể
tích của khối chóp, khối lăng trụ. Đó là một vấn đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa
số học sinh quên và không biết cách vận dụng, từ đó đa số học sinh đều bỏ hoặc làm sai bài toán tính
thể tích của khối chóp, khối lăng trụ trong các kỳ thi học kỳ, thi Tốt nghiệp THPT
Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán tính thể tích
liên quan đến giả thuyết về góc
Ví dụ mẫu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
(ABC) và vẽ thẳng đứng
Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên
(ABCD)
Lời giải:
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a ,
()
SC
ABCD
AC hc
,( ) , 60
o
SC ABCD SC AC SCA
* Diện tích hình vuông
2
ABCD
S a
*
SAC vuông tại A có AC=
2a
,
0
60C
.tan60 6
o
SA AC a
* Thể tích khối chóp S.ABCD
3
2
.
1 1 . 6
. . . . 6
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a
Ví dụ mẫu 2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B,
3AB a
, BC = a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 60
0
. Tính thể tích khối
chóp S.ABC
Giải
Sai lầm của học sinh:
Gọi M là trung điểm BC
Ta có AM
BC
SM
BC
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SM AM SMA
(Hình vẽ sai)
60
A
B
D
C
S
60
M
S
B
C
A
- 6 -
Lời giải đúng:
* Ta có : AB =
3a
,
(SBC)
(ABC) = BC
AB
BC ( vì
ABC vuông tại B)
SB
BC ( vì
()
SB
ABC
AB hc
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SB AB SBA
*
ABC vuông tại B có AB =
3a
,BC =a
2
ABC
1 1 . 3
S . . 3.
2 2 2
a
BA BC a a
*
SAB vuông tại A có AB= a,
0
60B
.tan60 3
o
SA AB a
* Thể tích khối chóp S.ABC
23
.
1 1 . 3 . 3
. . . .3
3 3 2 2
S ABC AB C
aa
V S SA a
Nhận xét:
Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng
0
60
, do đó mất 0.25 điểm
Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác
định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC
o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc
giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của
cạnh giao tuyến
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì
góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến.
BÀI TẬP VẬN DỤNG :
CÂU 1: (TNPT-2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD
= CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc
0
45
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
CÂU 2: (TNPT-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng
0
60
. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.
CÂU 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC =
2a
, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45
0
. Tính
thể tích khối chóp S.ABC
CÂU 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC =
2a
,
mặt bên (A
/
BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
CÂU 5 : Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
với
AC a
, biết
()SA ABC
và
SB
hợp với đáy một góc
0
60
. Tính thể tích của khối chóp.
60
S
B
C
A
- 7 -
Phương pháp tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định
diện tích đáy và đường cao của khối chóp
I. Kiến thức cơ bản:
1. Cho
ABC
vuông ở A ta có :
Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
22
. ; .BA BH BC CA CH CB
AB. AC = BC. AH
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
sin , cos , tan
AC CB AC
B B B
AB AB CB
2. Công thức tính diện tích tam giác :
Đặc biệt :
ABC
vuông ở A :
1
.
2
S AB AC
,
ABC
đều cạnh a:
2
3
4
a
S
3. Định lý đường trung bình, Talet.
4. Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:
;
,;
d a d b
d
a b a b
5. Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:
d
da
a
6. Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a
Lưu ý về công thức tỉ số thể tích
Cho hình chóp SABC,
' , ' , 'A SA B SB C SC
, ta có:
' ' '
' ' '
SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
II. Nội dung chính:
Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm từ dễ đến
khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Đối với thể tích khối chóp
ta có thể phân chia ra nhiều loại khác nhau. Sau đây tôi xin trình bày dạng tính thể tích của
khối chóp bằng cách xác định “chiều cao và diện tích đáy” của khối chóp.
Đối với dạng này ta có thể chia ra làm 5 loại sau:
Loại 1. Khối chóp đều
a. Phương pháp
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Đường cao của hình chóp là SO (O là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) do đó ta cần
xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp đa gác đáy của hình chóp đó.
Diện tích đáy là diện tích của đa giác đều
b. Cho hình chóp đều S.ABC. Tính thể tích khối chóp khi biết:
1. Cạnh bên bằng
2a
, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45
0
.
2. Cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và đáy là
0
60
.
S
C
/
B
/
A
/
C
B
A
A
C
B
H
- 8 -
3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng
.
Giải:
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiết tam giác ABC ta có
SO ABC
SO h
(đường cao của hình chóp).B =
ABC
SB
1
.
3
V B h
1. Xét tam giác SOA vuông tại O và SA =
2a
góc
0
45SAO
0
0
2
2.
.cos45
2
.sin 45
2
2.
2
AO a
AO a
AO SA
SO a
SO SA
SO a
.
Mặt khác H trung điểm BC ta có
33
1
22
AH AO AH a
.
Giọ
0x
là cạnh của tam giác đều ABC
3 3 3
32
2 2 2
HA x a x x a
Bài tập. Cho hình chóp đều S.ABCD. Tính thể tích khối chóp khi biết:
1. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 45
0
2. Cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng
.
Loại 2. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
a. Phương pháp
- Cho hình chóp S.A
1
A
2
An có
1 1 2
n
SA A A A
khi đó ta có SA
1
= h là đường cao của
hình chóp.
- Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác
12
n
A A A
.
b. Ví dụ.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy
bằng
60
.
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Giải
Yêu cầu:
Học sinh xác định được góc.
Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA.
Xác định được đường cao trong trường hợp chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy của
khối.
Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông
Lời giải:
1. Ta có
1
.
3
ABCD
V S SA
.
22
(2 ) 4
ABCD
S a a
Xét
có : tan 2 6SAC SA AC C a
3
2
1 8 6
4 .2 6
33
a
V a a
S
H
C
B
A
K
O
S
A
D
C
M
B
H
- 9 -
2. Kẻ
MH SA MH DBC
Ta có:
1
2
MH SA
,
1
2
BCD ABCD
SS
3
D
1 2 6
43
MBC
a
VV
Nhận xét:
Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông.
c. Bài tập.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA
ABCD
.Hãy tính thể tích của khối
chóp S.ABCD khi biết:
a) Cạnh đáy AB =
3a
, AD = a, SA =
3a
.
b) Cạnh đáy AB =
3a
, AD = a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 30
0
.
c) Cạnh đáy AB =
3a
, AD = a, góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
.
d) SA = a
3
, khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) bằng a, đường chéo BD = 2a.
Loại 3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
a. Phương pháp
Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là đường cao
của tam giác mặt bên đó (phát xuất từ đỉnh khối chóp)
Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giả thiết của bài toán khi cho đa giác
12
n
A A A
.
b. Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AB = 2a, AD = CD = a và hai mặt
phẳng
SAB ABCD
.Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi biết. Tam giác SAB đều.
Giải
Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được đường cao SH.
+ Tính độ dài đường cao SH
+ Xác định được đường cao hình thang đáy.
+ Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Xác định được công thức thể tích của khối.
Lời giải:
- Gọi H là trung điểm AB
3SH ABD SH a
là đường
Cao của khối chóp.
- Gọi K là hình chiếu của D lên AB
0
3
.sin 60
2
a
KD A B KD a KD
là đường cao của
hình thang ABCD.
-
2
1 3 3.
.
24
a
B AB CD DK B
-
23
1 3. 3
3
3 4 4
aa
V Bh V a
Nhận xét :
- Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diện tích đáy vì không xác định được
góc A = 60
0
.
- Không nhận ra được đường cao là SH.
c. Bài tập
S
C
D
H
K
A
B
- 10 -
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt phẳng
SAB ABCD
.Hãy tính thể
tích của khối chóp S.ABCD khi biết:
a) Cạnh đáy AB = a, AD = 2a, tam giác SAB đều.
b) Cạnh đáy AB = 2a, AD = a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng
45
0
.
c) Cạnh đáy AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 60
0
, khoảng
cách giữa đường thẳng AB tới mặt phẳng (SCD) bẳng a
3
.
Loai 4. Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau vuông góc với đáy
a. Phương pháp
Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau đi qua đỉnh vuông góc với đáy thì đường cao khối
chóp là giao tuyến của hai mặt bên đó.
Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác
12
n
A A A
.
b. Ví dụ
Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy, SA = a đáy ABCD là
hình thoi cạnh a có góc A = 120
0
. Tính thể tích khối chóp tạo bỡi hình chóp S.BCD.
Giải
Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SA.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Xác định được công thức thể tích của khối
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Tính được diện tích hình thói ABCD
Lời giải:
Ta có
1
.
3
ABCD
V S SA
.
Giả thiết SA = a.
2
ABCD ACD
SS
. Mà giả thiết góc A= 120
0
góc D bằng 60
0
nên tam giác ACD đếu ta có
22
1 3 3 3
2 2 4 2
ACD
a a a
S a B
.
23
1 1 3
3 3 2
23
aa
V Bh V a
đvtt
Nhận xét :
- Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diện tích đáy vì không xác định được
góc D = 60
0
.
- Không nhận ra được đường cao là SA.
c. Bài tập
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Loại 5 . Hình chóp bất kỳ
a. Phương pháp
- Xác định đường cao ta tìm hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng chứa đa giác
đáy và tính độ dài đường cao
- Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giả thiết của bài toán khi cho đa giác
12
n
A A A
.
b. Ví dụ
S
A
D
C
B
- 11 -
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
0
5
60 ,
2
a
BAD SA SC
, SB = SD. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SO.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Xác định được công thức thể tích của khối
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông.
+ Tính được diện tích hình thói ABCD
Lời giải:
Gọi O
AC BD
giả thiết ta có
SA SC SO AC
SO ABCD SO
SB SD SO BD
là đường cao của khối chóp.
Ta lại có tam giác ABD đều
35
à
22
2
a a a
AO v SA SO
= h
2
ABCD ACD
SS
. Mà
22
1 3 3 3
2 2 4 2
ACD
a a a
S a B
23
1 1 3 3
3 3 2
2 6 2
a a a
V Bh V
đvtt
Nhận xét :
- Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diện tích đáy vì không xác định được
tam giác ABD là tam giác đều.
- Không chứng minh được
SO ABCD SO
đường cao của khối chóp.
c. Bài tập.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC =
3
2
a
và mặt bên
SAB hợp với đáy một góc bằng 60
0
.
1. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
2. Tính góc gữa dường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)
3. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Phần A: Thể tích khối đa diện.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác ABC
cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc
và tạo với mặt (SAD) góc
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là:
1
3
ABC
V SA S
Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả thiết
,SA mp ABC SBA SB mp ABC
BD mp SAD BSD
D
S
B
A
C
O
- 12 -
Đặt BD = x suy ra:
2 2 2 2
.tanAB a x SA a x
22
22
2
22
sin sin
sin tan sin
sin
os sin
BD SA
SB
x a x
a
x
c
Do đó:
3
22
22
1 sin .sin
. . . .tan
3 cos sin
a
V a x a x
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a
cạnh SA vuông góc với
đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
0
60
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
3
a
AM
.
Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN
HDG: Theo giả thiết
0
0
, 60
.tan 60 3
SA mp ABCD SBA SB mp ABCD
SA AB a
Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD)
SD mp BCM N
Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:
.
2
.
2 2 1
3 3 3
4 4 2
.
9 9 9
SMBC
SMBC SABC S ABCD
SABC
SMNC
SMNC SADC S ABCD
SADC
V
SM
V V V
V SA
V
SM SN SM
V V V
V SA SD SA
Vậy:
3
5 5 1 10 3
. . .
9 9 3 27
S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCD
V V V V SA S a
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của hình chóp.
Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể tích hình chóp S.ABCD
HDG: Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, và G là trực
tâm ∆SCD
(1)HG CD
Mà
()
BD AD
BD SAC BD SC
BD SH
và
( ) (2)SC DG SC BDG SC HG
Vì I là trung điểm của SH nên :
;( ) 2 ;( ) 2HG d H SCD d I SCD b
2
22
2 2 2
2
2
3
22
1 1 1
4 à
4
4
4
2
3 16
a ab
G M b v h
H G HM SH
a
b
ab
V
ab
- 13 -
Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền
2AB a
. Mặt phẳng (AA
1
B) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giả sử
1
AA 3a
, góc
1
AA B
nhọn và mặt phẳng (AA
1
C) tạo với mặt phẳng (ABC) góc
0
60
. Tìm thể tích lăng trụ.
Bài 5: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
,,AB a AC b AD c
và các góc
,BAC
,CAD DAB
đều bằng
60
.
HDG: Không mất tính tổng quát ta giả sử
min , ,a a b c
Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C
1
, D
1
sao cho AC
1
= AD
1
= a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC
1
D
1
là tứ diện đều cạnh a nên có
11
3
2
12
ABC D
Va
Theo công thức tỉ số thể tích:
11
2
11
.
ABC D
ABCD
V
AC AD a
V AC AD bc
11
2
2
12
ABC D ABC D
bc abc
VV
a
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
0
60BAD
,
SA mp ABCD
và
SA a
.
Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của
hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
HDG: Gọi
,'O AC BD I AC SO
, suy ra
' '||B D BD
và
''BD
đi qua I
Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên
2 ' ' 2
33
SI SB SD
SO SB SD
Theo công thức tỉ số thể tích:
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
3 2 3 3 6
S AB C
S AB C S ABC S ABCD
S ABC
V
SB SC
V V V
V SB SC
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
3 2 3 3 6
S AD C
S AD C S ADC S ABCD
S ADC
V
SD SC
V V V
V SD SC
Vậy:
3
3
. ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' .
1 1 3 3
.
3 3 6 18
S A B C D S A B C S A D C S ABCD
a
V V V V a
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d)
vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI
Tìm khoảng cách từ C đến
mp(SAD).
HDG: Ta có:
3
.
1 3.
36
S ABCD ABCD
a
V SI S
Áp dụng pitago ta có:
2
2 2 2
5
4
a
DI AI AD
,
2 2 2 2
SA SI AI a
,
2 2 2 2
2SD SI DI a
2 2 2
SD SA DA SAD
vuông tại A nên
2
11
.SA
22
SAD
S AD a
Vậy khoảng cách cần tìm là:
33
3
,
22
SACD SABCD
SAD SAD
VV
a
d C SAD
SS
- 14 -
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
và
.SA mp ABC
ABC
có
2,AB BC a
0
120 .ABC
Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
HDG: Ta có:
2
02
11
. . .sin . 2 .sin120 3
22
ABC
S BA BC B a a
23
.
11
. . .3 . 3 3
33
S ABC ABC
V SA S a a a
Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:
2 2 2 2
2 . .cos 12 2 3AC AB CB BA BC B a AC a
Áp dụng pitago trong tam giác vuông:
2 2 2 2
2 2 2 2
13 13
21 21
SB SA BA a SB a
SC SA AC a SC a
Ta có:
2 2 2
15 4
os sin
2.
273 91
SB SC BC
c BSC BSC
SB SC
2
1
. .sin 2 3
2
SBC
S SB SC BSC a
Vậy khoảng cách cần tìm là:
.
3
1
,
2
S ABC
SBC
V
d A mp SBC a
S
Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm
khoảng cách giữa CK và AD’.
HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có:
''
3
, ' , ' , ' ', '
AHD
AHC D
V
CK AD CK mp AHD C mp AHD C mp AHD
S
Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được
3
' ' ' '
1
3 12
AHC D HC D
a
V AD S
Xét tam giác AHD có:
22
5
' ' ; 2
2
a
DH DC HC AD a
22
3
2
a
AH A D HD
2
'
1 3 1 3
cos ' sin ' . ' . ' .sin '
24
10 10
AD H
a
AD H AD H S D A D H AD H
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là:
''
3
, ' , '
3
AHD
AHC D
V
a
CK AD CK mp AHD
S
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện
C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
HDG: Gọi
1
V
là thể tích phần đa diện chứa điểm A, và V là thể tích lăng trụ.
Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có:
1 . ' ' ' ' '
' ' ' '.
11
. . .
33
1 1 1 3 1
. . .
3 2 2 2 2
B ACC A ACC M ACC AMC
ACC ACC ACC C ABC
V V h S h S S
h S S h S V V
- 15 -
Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng
1
2
V
nên ta có đpcm.
Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC, AB sao cho
M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn
1
3
AP
AB
. Thiết diện với hình chóp S.ABC tạo bởi mặt
phẳng (MNP) cắt SC tại Q.
1. Chứng minh
1
.
3
SQ
SC
2. Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương.
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc
0
60
.
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V
1
, V
2
. Tìm tỉ số
1
2
V
V
.
HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD):
()DoAC SBD AC SD
. Kẻ
( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P
Vậy (ACM) là thiết diện.
3. Đặt
1.D ACM
VV
Ta có:
.
.
1
2
S ACM
S DAC
V
V SM
V SD
V
. Gọi N là trung điểm của CD
0
60HN CD SN CD SNH
0
1
60 2
2
à 2; 3
1
52
5
HN CD SN CD
SNH HN SN SN DN
m H N a HD a SH a
V
SC SD a CM a SM a
V
Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian.
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a
và
SA SB SC a
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
vuông tại S.
HDG: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì
SA SB SC a
nên
SO mp ABCD
. Mà
AC BD
vì ABCD là hình thoi, nên
O BD
Có:
,SO SBD SO ABCD SBD ABCD
Bài 2: Tứ diện SABC có
.SA mp ABC
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và
SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
SAC BHK
2. Chứng minh
HK SBC
và
.SBC BHK
(Bài 2: có đính chính H, K là trực tâm)
- 16 -
HDG: 1. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC
, theo giả thiết
SA mp ABC BH SA
.
Nên
BH mp SAC SC BH
Do K là trực tâm
SBC BK SC
Từ đó suy ra
SC mp BHK mp BHK mp SAC
(đpcm)
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
SB mp CHK SB HK
Mà
SC mp BHK SC HK
. Do đó:
HK mp SBC mp SBC mp BHK
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với
(ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1. Chứng minh
.SBD SAC
2. Chứng minh
||BD mp P
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc
với (ABCD) nên
SA BD BD SAC SBD SAC
2. Từ giả thiết suy ra:
P SAC
, mà
||BD SAC BD P
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với
(P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
SA
). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử
(Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh:
' , 'AB SB AD SD
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD
HDG: Từ giả thiết suy ra:
,'SA BC AB BC BC SAB BC AB
Mà
'SC Q SC AB
. Do đó
''AB SBC AB SB
Ngoài ra ta cũng có
, ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B
nên:
. ' . '
''
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
Chứng minh tương tự ta được
'AD SD
và
. ' . 'SD SD SC SC
Vậy ta có đpcm.
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và
BAC
. Gọi M là trung điểm
của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc
.
1) Chứng minh
'.C BC
2) Chứng minh
tan cos
2
là điều kiện cần và đủ để
'BM MC
.
HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy ra:
1
2
BA AC AN BA CN B CN
vuông tại B nên
BN BC
.
Tương tự ta có
'BN BC
Dễ thấy:
'BN mp MBC mp ABC
, từ trên suy ra
' , 'C BC ABC MBC
2. Vì BM là trung tuyến của
'BC N
nên:
''BM MC NBC
cân đỉnh B
.cos
2
' cos tan
cos 2
sin sin
22
BC
BC BH
BC BN
(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h
và vuông góc với
mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
- 17 -
1. SB và CD
2. SC và BD
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên
BC CD
Lại có:
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA do SA ABCD
Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và
BC a
2. Gọi
O AC BD
AC và BD vuông góc nhau tại O, mà
SA BD
BD mp SAC
. Trong
tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông
góc chung của SC và BD
Ta có:
22
.
22
SA SC SAOC ah
SAC OIC OI
OI OC SC
ha
Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3,a
cạnh bên bằng
2.a
Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M
AG BC
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm
ABC
ABC nên
SG ABC SG BC
, từ đó suy ra
BC SAG
.
Trong
SAM
kẻ
MN SA N SA MN BC
. Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và
SA. Ta có:
2
. 3 3
4
SAM
S
SG MA a
MN
SA SA
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
7,a
cạnh bên SC vuông góc với
mp(ABC) và
7.SC a
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh
a
và
3
.
3
a
OB
Trên đường
thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho
.SB a
Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BD.
HDG: Dễ chứng minh được
BD SAC
(vì
,BD AC BD SO
)
Trong mp(SAC) kẻ
OI SA I SA
OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Ta có:
22
6 2 3
33
aa
SO OA SA SO OA
2
.3
3
SOA
S
SO OA a
OI
SA SA
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh
a
và góc
0
60BAD
. Đoạn
3
4
a
SO
và SO vuông góc với mp(ABCD).
1. Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD)
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là
.a
Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm
của AD, AB và CC’. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính
cos
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2
26
A,
22
aa
EF AE F ME MF M C CB BF
- 18 -
Gọi
I EF AC MI EF
. Mà
,MI EF AC MEF ABCD EF
nên:góc giữa hai mặt
phẳng (ABCD) và (EFM) là
MIC
Do đó:
22
3
3 11
4
os
11
IF
AC
IC
c
IM
MF
Bài 12: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A. Gọi M,
N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt
,.BM u DN v
Chứng minh rằng:
2
33a u v uv a
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc
0
30
.
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2 2
;AM a u AN a v
22
2 2 2 2
22MN a u a v a u v a u v
Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc
MAN
Do đó:
2 2 2
00
30 cos cos30
2.
AM AN MN
AM AN
2 2 2 2
2
2
22
2
3
2
.
3
33
a u v
a u a v
a uv a u v
a u v uv a
BT1. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có góc
ABC
,
AC a
,
D
là trung điểm của
BC
,
DE BC
.
Tính độ dài đoạn
BE
theo
a
và
.
BT2. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
,
G
là tâm của tam giác đều
BCD
.
a) Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt đối diện;
b) Tính góc giữa cạnh với mặt của tứ diện đều;
c) Tính góc giữa hai mặt kề;
d) Gọi
()P
là mặt phẳng trung trực của cạnh
AB
và cắt
AG
tại
O
. Tính
AO
theo
a
.
(em có nhận xét gì về các khoảng cách từ O đến các đỉnh của tứ diện đều)
BT3. Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC
,
3AB a
, góc giữa cạnh bên với mặt đáy là
,
G
là tâm của
đáy.
a) Tính khoảng cách từ đỉnh
S
tới đáy theo
a
và
;
b) Tính góc giữa mặt bên với mặt đáy theo
a
và
;
c) Tính độ dài cạnh bên của hình chóp và diện tích của mặt bên;
d) Gọi
()P
là mặt phẳng trung trực của cạnh bên
SA
và cắt
SG
tại
O
. Tính
SO
theo
a
và
.
(em có nhận xét gì về các khoảng cách từ O đến các đỉnh của hình chóp tam giác đều)
BT4. Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC
,
6AB a
, góc giữa mặt bên với mặt đáy là
,
G
là tâm của đáy.
a) Tính khoảng cách từ đỉnh S tới đáy theo
a
và
;
b) Tính góc giữa cạnh bên với mặt đáy theo
a
và
;
c) Tính độ dài cạnh bên của hình chóp theo
a
và
;
d) Tính khoảng cách từ điểm
O
đến mặt bên của hình chóp theo
a
và
.
BT5. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
,
2AB a
, góc giữa cạnh bên với mặt đáy là
0
60
,
O
là tâm của
đáy.
a) Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
;
b) Tính góc giữa mặt bên với mặt đáy;
- 19 -
c) Tính độ dài cạnh bên của hình chóp và diện tích của mặt bên;
d) Gọi
()P
là mặt phẳng trung trực của cạnh bên
SA
và cắt
SO
tại
I
. Tính độ dài đoạn
SI
theo
a
.
(em có nhận xét gì về các khoảng cách từ điểm I đến các đỉnh của hình chóp tứ giác đều)
BT6. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
,
2AB a
, góc giữa mặt bên với mặt đáy là
0
45
,
O
là tâm của đáy.
a) Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
;
b) Tính góc giữa cạnh bên với mặt đáy;
c) Tính độ dài cạnh bên của hình chóp và diện tích của mặt bên;
d) Gọi
()P
là mặt phẳng trung trực của cạnh bên
SA
và cắt
SO
tại
I
. Tính
SI
theo
a
;
e) Tính khoảng cách từ điểm
O
đến mặt bên của hình chóp.
BT7. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
,
AB SA a
,
O
là tâm của đáy.
a) Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
;
b) Tính góc giữa cạnh bên với mặt đáy;
c) Tính góc giữa mặt bên với mặt đáy;
d) Tính độ dài cạnh bên của hình chóp và diện tích của mặt bên;
e) Gọi
()P
là mặt phẳng trung trực của cạnh bên
SA
và cắt
SO
tại
I
. Tính
SI
theo
a
;
f) Tính khoảng cách từ điểm
O
đến mặt bên của hình chóp.
BT8. Cho tứ diện
S.ABC
có cạnh
SA
vuông góc với mặt phẳng
()ABC
và tam giác
ABC
vuông tại
B
. Gọi
I
là trung điểm của cạnh SC. Em có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm I đến các đỉnh của tứ diện?.
BT9. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
,
( ) ( )SAD ABCD
,
SAD
là tam giác đều.
a) Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
;
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng
()SBC
và
()A BCD
;
c) Tính góc giữa đường thẳng
SB
và
()A BCD
.
BT10. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
; các tam giác
,SAC SBD
là tam giác
cân; góc giữa cạnh
SA
và mặt phẳng
()A BCD
bằng
0
30
.
a) Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
;
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng
()SBC
và
()ABCD
;
c) Tính góc giữa đường thẳng
SB
và
()ABCD
.
BT11. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh bằng
a
;
0
60BAD
; các tam giác
,SAC SBD
là
tam giác cân; góc giữa cạnh
SA
và mặt phẳng
()A BCD
bằng
0
30
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT12. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
,
( ) ( )SAC ABCD
,
SAC
là tam giác
đều.
Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT13. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
,
( ) ( )SBD ABCD
,
SBD
là tam giác
cân, góc giữa cạnh
SB
và mặt phẳng
()ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT14. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh bằng
a
;
0
60BAD
;
( ) ( )SAC ABCD
,
SAC
là
tam giác đều. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT15. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh bằng
a
;
0
60BAD
;
( ) ( )SBD ABCD
,
SBD
là
tam giác cân, góc giữa cạnh
SB
và mặt phẳng
()A BCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT16. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật
,2AB a AD a
;
( ) ( )SAC ABCD
,
SAC
là tam
giác đều. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT17 Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật
,2AB a AD a
,
( ) ( )SAD ABCD
, tam giác
SAD
có
,3SA a SD a
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
BT18. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật
,2AB a AD a
,
( ) ( )SAD ABCD
, tam giác
SAD
là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT19. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật
,2AB a AD a
,
( ) ( )SAD ABCD
, tam giác
SAD
là tam giác vuông cân. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
- 20 -
BT20. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
,
( ) ( )SAD ABCD
,
SAD
là tam giác
cân. Góc giữa hai mặt phẳng
()SBC
và
()ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT21. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật có
,3AB a AD a
,
( ) ( )SAD ABCD
,
SAD
là
tam giác cân. Góc giữa hai mặt phẳng
()SBC
và
()ABCD
bằng
0
45
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT22. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
, gọi M, N là trung điểm của AB, AD; H là
giao điểm của CN với DM; đường cao
3SH a
.
a) Tính thể tích khối chóp
.S CDNM
;
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM.
BT23. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
,
()SA ABCD
, góc giữa đường thẳng
SC
và
()ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT24. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
,
()SA ABCD
, góc giữa đường thẳng
SB
và
()ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT25. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
,
()SA ABCD
, góc giữa hai mặt phẳng
()SBC
và
()ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT26. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
,
()SA ABCD
, góc giữa hai mặt phẳng
()SBD
và
()A BCD
bằng
0
45
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT27. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật có
,3AB a AD a
,
()SA ABCD
, góc giữa
đường thẳng
SC
và
()ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT28. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật có
,3AB a AD a
,
()SA ABCD
, góc giữa hai
mặt phẳng
()SBD
và
()ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT29. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật có
,3AB a AD a
,
( ) ( )SAD ABCD
, tam giác
SAD
đều. Tính khoảng cách từ đỉnh
S
đến mặt phẳng
()ABCD
và tính
.
?
S ABCD
V
theo
a
BT30. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật có
,3AB a AD a
,
( ) ( )SAD ABCD
,
SAD
là
tam giác cân. Góc giữa hai mp
()SBC
và
()ABCD
bằng
0
45
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
BT31. Cho lăng trụ đứng tam giác
ABC.A'B'C'
có
ABC
vuông tại
A
,
AB a
,
2AC a
,
'3AA a
. Gọi
O
là trung điểm của
'BC
.
a) Tính độ dài đoạn
'BC
theo
a
;
b) Tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
.
c) Em có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm O đến các đỉnh của hình lăng trụ đã cho.
BT32. Cho lăng trụ
ABC.A'B'C'
có
ΔABC
vuông tại
A
,
AB a
,
3AC a
. Cạnh bên tạo với đáy một góc
60
0
và hình chiếu vuông góc của điểm A trùng với trọng tâm của
A'B'C'
. Tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
.
BT33. Cho hình lăng trụ
ABC.A'B'C'
có đáy là tam giác
ΔABC
đều cạnh
a
. Cạnh bên tạo với đáy một góc
60
0
và hình chiếu vuông góc của A trùng với trọng tâm của tam giác
A'B'C'
. Tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
.
BT34. Cho hình lăng trụ
ABC.A'B'C'
có đáy là tam giác
ΔABC
vuông cân,
AB AC a
. Cạnh bên tạo với
đáy một góc 60
0
và hình chiếu vuông góc của đỉnh
A
trên
' ' 'A B C
trùng với trung điểm của cạnh
''BC
.
Tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
.
BT35. Cho hình lăng trụ
ABC.A'B'C'
có đáy là tam giác
ΔABC
đều,
'AA AB
, hình chiếu vuông góc của
đỉnh A trùng với trọng tâm của tam giác
A'B'C'
. Tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
.
BT36. Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là
0
60
. Gọi G là trọng tâm tam giác
'A BC
. Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
và tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện G.ABC theo a.
- 21 -
BT37. Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A'B'C'D'
có
'AA a
,
AB b
,
AD c
.
a) Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật theo
,,abc
;
b) Gọi O là trung điểm của của
'AC
. Em có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm O đến các đỉnh của hình
hộp?
BT38. Cho hình chóp
S.ABC
có ba cạnh
,,SA SB SC
đôi một vuông góc với nhau và
, 3, 2SA a SB a SC a
.
a) Tính khoảng cách từ đỉnh
S
đến mặt phẳng
()ABC
theo
a
;
b) Tính thể tích của khối chóp
S.ABC
theo
a
.
BT39. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
SA (ABCD)
,
,3AB a AD a
,
2SA a
. Gọi
O
là trung điểm của cạnh
SC
. Tính
AO
theo
a
và hãy nhận xét về khoảng cách từ điểm
O
đến các đỉnh của
hình chóp.
BT40. Cho hình chóp
S.ABC
có cạnh
()SA ABC
và
ABC
vuông tại
B
,
,3AB a BC a
,
2SA a
.
Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD
theo
a
.
BT41. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
,
2AB a
, góc giữa cạnh bên với đáy là
0
60
,
O
là tâm của đáy.
Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD
theo
a
.
BT42. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
,
2AB a
, góc giữa mặt bên với mặt đáy là
0
45
,
O
là tâm của
đáy. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD
theo
a
.
BT43. Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC)
bằng
0
60
. Gọi G là trọng tâm tam giác
'A BC
. Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
.
Bài 1.
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
,2AB a AC a
. Tính
BC, AD, DE, DF
theo
a
Bài 2.
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
,2AB a BC a
. Tính tỉ số
CD DE DF BF
, , ,
CB AB AC BA
.
Bài 3:
Cho hình thang
ABCD
có
0
ABC BAD 90
,
BA BC a
,
2AD a
.
a) Tính
,AC CD
theo
a
; b)
ACD
là tam giác gì?.
Bài 4:
Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc
ABCDmp
và
SA
=
a
. Gọi
E
là điểm đối xứng của
D
qua trung điểm của
SA
,
M
là trung điểm của
AE
,
N
là trung điểm của
BC
.
a) Chứng minh
MN
vuông góc với
BD
;
b) Tính diện tích tam giác
SAC
.
- 22 -
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 – 2012
A-2002.
Cho hình chóp đều
S.ABC
đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng
a
. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các
cạnh SB và SC, mặt phẳng
AMN SBC
. Tính
ΔAMN
S
theo
a
.
KQ:
2
ΔAMN
10
S
16
a
B-2002.
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng
a
.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP
và C’N.
KQ:
6
' , '
6
a
d A B B D
và
cos , ' 0MP C N
D-2002.
Cho tứ diện ABCD có cạnh
AD ABC
; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (BCD).
KQ:
6 34
,( )
17
d A BCD cm
A-2003.
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng
BA'C
và
A'CD
.
KQ:
0
1
cos BA'C , A'CD BA'C , A'CD 120
2
D-2003
Cho hai mặt phẳng
( ),( )PQ
vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
. Trên
lấy hai điểm
,AB
sao cho
AB a
. Trong mặt phẳng
()P
lấy điểm
C
, trong mặt phẳng
()Q
lấy điểm
D
sao cho
,AC BD
cùng
vuông góc đường thẳng
và
AC BD AB
.
a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
b) Tính khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
()BCD
theo
a
.
KQ:
32
, ,( )
22
aa
R d A BCD
B-2003
Cho lăng trụ đứng
ABCD.A'B'C'D'
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và góc
0
60BAD
. Gọi
M
là trung
điểm cạnh
'AA
và
N
là trung điểm cạnh
'CC
.
a) Chứng minh rằng bốn điểm
B', M, D, N
cùng thuộc một mặt phẳng
b) Hãy tính độ dài
AA'
theo
a
để tứ giác
B'MDN
là hình vuông.
KQ:
'2AA a
B-2004
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa cạnh bên và đáy bằng
,
00
(0 90 )
a) Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
theo
,a
b) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng
(SAB)
và
(ABCD)
theo
.
KQ:
3
S.ABCD
2
.tan
6
Va
và
tan ( ),( ) 2.tanSAB ABCD
D-2006 (PB)
- 23 -
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
, SA = 2
a
và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể
tích của khối chóp
A.BCNM
.
KQ:
3
A.BCNM
33
50
a
V
B-2006 (PB)
Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với AB
a, AD
a
2
, SA
a và cạnh
SA ABCD
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh rằng
SAC SMB
b) Tính diện tích tam giác ABI và tính thể tích khối tứ diện ANIB.
KQ:
2
2
6
ABI
a
S
và
3
2
36
ANIB
a
V
D-2007 (PB)
Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang,
0
ABC BAD 90
,
BA BC a
,
2AD a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
2SA a
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
SB
.
a) Chứng minh tam giác
SCD
vuông;
b) Tính (theo
a
) khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
()SCD
KQ:
,(
3
a
d H SCD
B-2007 (PB)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
. Gọi E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.
a) Chứng minh MN vuông góc với BD;
b) Tính (theo
a
) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
KQ:
2
,
4
a
d MN AC
A-2007 (PB)
Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
a) Chứng minh AM vuông góc với BP;
b) Tính thể tích của khối tứ diện
CMNP
. (Lớp 11 chỉ làm câu a)
KQ:
3
3
96
CMNP
a
V
D-2008 (PB)
Cho lăng trụ đứng
ABC.A'B'C'
có đáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a
, cạnh bên
'2AA a
. Gọi M
là trung điểm của cạnh BC.
a) Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
;
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
KQ:
3
. ' ' '
27
, ' ,
27
ABC A B C
aa
V d B C AM
B-2008 (PB)
Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh 2
a
, SA
a
, SB
3a
và mặt phẳng
(SAB)
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
a) Tính theo
a
thể tích của khối chóp
S.BMDN
b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
- 24 -
KQ:
3
.
35
,cos ,
35
S BMDN
a
V SM DN
A-2008 (PB)
Cho lăng trụ
ABC.A'B'C'
có độ dài cạnh bên bằng 2
a
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại A, AB =
a
, AC =
3a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC.
a) Tính theo
a
thể tích khối chóp
A'.ABC
b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
AA', B'C'
.
KQ:
3
A'.ABC
2
a
V
và
1
cos AA', B'C'
4
A – 2009
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai
mặt phẳng
SBC
và (ABCD) bằng
0
60
. Gọi I là trung điểm của AD và
SI ABCD
. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a.
KQ:
3
.
3 15
5
S ABCD
a
V
B-2009
Cho hình lăng trụ tam giác
ABC.A'B'C'
có '
BB' a
, góc giữa đường thẳng
'BB
và mặt phẳng
()ABC
bằng
0
60
; tam giác
ΔABC
vuông tại C và
0
BAC 60
.Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo
a
.
KQ:
3
'
9
208
A ABC
a
V
D-2009
Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A'B'C'
có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, ' 2 , ' 3AB a AA a A C a
. Gọi
M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’ và I là giao điểm của
AM
và
'AC
.
a) Tính theo
a
thể tích khối tứ diện
IABC
;
b) Tính khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
()IBC
.
KQ:
3
4
9
IABC
a
V
và
25
,( )
5
a
d A IBC
D – 2010
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh
S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
AC
AH
4
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.
Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
KQ:
3
.
14
48
S BCM
a
V
.
B – 2010
Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng
0
60
.
Gọi G là trọng tâm tam giác
'A BC
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện G.ABC theo a.
KQ:
3
. ' ' '
3 3.
8
ABC A B C
a
V
,
7
12
a
R
.
A – 2010
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
3SH a
. Tính
thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
- 25 -
KQ:
3
.
5 3.
24
S CDNM
a
V
,
23
( , )
19
a
d DM SC
.
A – 2011
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
2AB a
,
SA ABC
. Gọi M là trung điểm
của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N.
0
( ),( ) 60SBC ABC
. Tính
.S BCMN
V
và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo
a
.
KQ:
3
.
3
S BCMN
Va
và
2 39
,
13
a
d AB SN
B – 2011
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật,
,3AB a AD a
. Hình chiếu vuông góc của
điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.
0
( ' '),( ) 60ADD A ABCD
. Tính
. ' ' ' 'ABCD A B C D
V
và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo
a
.
KQ:
3
. ' ' ' '
3
2
ABCD A B C D
a
V
và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) bằng
3
2
a
D – 2011
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
3AB a
,
4BC a
; mặt phẳng (SBC) vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
0
2 3, 30SB a SBC
. Tính
.S ABC
V
và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
(SAC) theo
a
.
KQ:
3
.
23
S ABC
Va
và
67
,( )
7
a
d B SAC
A,A
1
– 2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB.
0
,( ) 60SC ABC
. Tính
.S ABC
V
và khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BC theo a.
KQ:
3
.
17
12
S ABC
a
V
và
42
,
8
a
d SA BC
B – 2012
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC.
Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính
.S ABH
V
theo a.
KQ:
3
.
7 11
96
S ABH
a
V
D – 2012
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính
thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
KQ:
3
''
2
48
ABB C
a
V
và
6
,( ')
6
a
d A BCD
CD – 2009
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
,2AB a SA a
. Gọi M, N, P là trung điểm của SA, SB, CD.
a) Chứng minh MN vuông góc SP
b) Tính thể tích khối tứ diện AMNP
KQ:
3
6
48
AMNP
a
V
CD – 2010
