y
y
(x)
f
=
O
x
Định nghĩa tiệm cận
Cho đồ thị (C) có nhánh vơ tận.
x → ± ∞
∀M ∈ (C ), M ( x; y ) → ± ∞⇔ y → ± ∞
x → ± ∞∧ y → ± ∞
(d) là 1 đường thẳng
đ /n
∀M ∈ (C ), lim d ( M , d ) = 0 ←
→(d ) là tiệm cận thẳng của (C)
y
M →± ∞
M
(C)
O
d
x
I. Đường tiệm cận ngang:
Định nghĩa 1:
Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận
ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
y = y0 hoặc lim y = y0
y = f(x) nếu xlim
→+∞
x→−∞
y
y0
O
y
y=
y = y0
y = f(x)
x
y0
O
Đường thẳng y=y0 là tiệm cận
ngang của đồ thị ( khi x → +∞
)
y = y0
f( x )
x
Đường thẳng y=y0 là tiệm cận
ngang của đồ thị ( khi x → −∞)
II. Đường tiệm cận đứng:
Định nghĩa 2:
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận
đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn:
lim y = +∞
lim y = +∞
x→ x0−
x→ x0+
lim y = −∞
lim y = −∞
x→ x0−
x→ x0+
y
O
x0
y = f(x)
y = f(x
)
y
x
y
O
O
x0
x
x0
x
y
x0
x
y = f(x)
Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng
−
của đồ thị (khi x = x o )
O
y=
f( x )
Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng
+
của đồ thị (khi x = xo )
− 2x − 2
y=
x+3
Giải
− 2x − 2
Xét hàm số: y =
x+3
lim y = +∞
x → −3+
TXĐ: D = R\{-3}
lim y = −∞
x → −3−
=> Đg thẳng x= - 3 là TCĐ của đồ thị khi x → −3 + và khi x → −3 −
lim y = −2
x → +∞
lim y = −2
x → −∞
=> Đg thẳng y= - 2 là TCN của đồ thị khi x → +∞ và khi x → −∞
x2 + x +1
y=
3 − 2 x − 5x 2
3
TXĐ : D = R \ {−1; }
5
x2 + x +1
x2 + x +1
= +∞ lim
lim
2
2
+
−
3
−
2
x
−
5
x
3
−
2
x
−
5
x
x → −1
x → −1
= −∞
x2 + x +1
x2 + x +1
= −∞ lim
= +∞
lim
2
2
3+ 3 − 2x − 5x
3− 3 − 2x − 5x
x→
x→
5
5
Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = -1 khi x → −1+ và x → −1−
Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = 3/5 khi x → 3 / 5+ và x → 3 / 5−
x2 + x +1
lim
2
3
−
2
x
−
5
x
x → +∞
( x → −∞ )
1
= −
5
Vậy ĐTHS có TCN là y = -1/5
III. Đường tiệm cận xiên:
Định nghĩa 3:
Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm
cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu
lim [ f ( x) − ( ax + b) ] = 0
x→+∞
hoặc
lim [ f ( x) − ( ax + b ) ] = 0
x → −∞
y
y
y=
y = f(x)
y
x+
a
=
ax
+
b
b
O
Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi x → +∞)
y = f(x)
x
O
x
Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi x → −∞ )
3x 2 + x − 1
y=
x−2
TXĐ: D = R\{2}
3x 2 + x − 1
13
Ta có: y = x − 2 = 3x + 7 + x − 2
13
[ f ( x ) − ( 3x + 7 ) ] = lim
=0
lim
x → +∞
x → +∞ x − 2
13
[ f ( x ) − ( 3x + 7 ) ] = lim
=0
lim
x → −∞
x → −∞ x − 2
=> Đg thẳng y= 3x+7 là TCX của đồ thị khix → +∞ và khi x → −∞
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) y = f ( x ) = 3 x 3 − 3 x 2 + 2
cos 2 x
b) y = f ( x ) = x +
x
2
y
=
f
(
x
)
=
2
x
−
1
+
4
x
− 5x + 1
c)
Chú ý:
a n x n + ... + a1 x + a 0
*
y
=
f
(
x
)
=
(
m
,
n
∈
N
)
Với hàm số có dạng:
m
bm x + ... + b1 x + b0
TCN
TCX
n
y=0
Khơng có
n=m
an
y=
bm
Khơng có
n = m+1 Khơng có Có ( viết dạng y = ax+b+ ε (x)
với lim ε ( x) = 0
x→± ∞
y = f ( x) =
[
3
x − 3x + 2
3
2
TXĐ: D=R
]
= x − 3x + 2 − ( x − 1) + ( x − 1)
− 3x + 3
=
+ ( x − 1)
3
( x 3 − 3x 2 + 2) 2 + ( x − 1)3 x 3 − 3x 2 + 2 + ( x − 1) 2
3
3
2
lim [ f ( x) − ( x − 1)] = lim
x → +∞
x → +∞ 3
lim [ f ( x) − ( x − 1)] = lim
x → −∞
x → −∞ 3
− 3x + 3
( x − 3x + 2) + ( x − 1) x − 3x + 2 + ( x − 1)
3
2
2
3
3
2
2
− 3x + 3
( x − 3x + 2) + ( x − 1) x − 3x + 2 + ( x − 1)
3
2
2
3
3
2
2
=0
=0
=> Đg thẳng y = x-1 là TCX của (C) khi x → +∞ và x → −∞
cos 2 x
y = f ( x) = x +
x
TXĐ: D = R\{0}
lim f ( x ) = +∞
x →0 +
lim f ( x ) = −∞
x →0 −
=> Đg thẳng x = 0 là TCĐ của (C) khi x → 0+
lim [
x → +∞
lim [
x → −∞
và
x → 0−
cos 2 x
f ( x) − x ] = lim
=0
x
x → +∞
cos 2 x
f ( x) − x ] = lim
=0
x
x → −∞
=> Đg thẳng y = x là TCX của (C) khi x → +∞ và x → −∞
y = f ( x) = 2 x − 1 + 4 x − 5 x + 1
2
1
TXĐ : D = − ∞; ∪ [1;+∞)
4
=> Khơng có TCĐ
lim (2 x − 1 +
x → −∞
4 x 2 − 5x + 1
)
4x 2 − 4 x + 1 − 4x 2 + 5x −1
x
1
= lim
= lim
=
2
2
4
x → −∞
x → −∞ 2 x − 1 − 4 x − 5 x + 1
2 x −1 − 4x − 5x + 1
=> ĐTHS có TCN: y = 1/4 khi x → −∞
2 x − 1 + 4x 2 − 5x + 1
=4=a
lim
x
x → +∞
lim (2 x − 1 +
x → +∞
)
4 x 2 − 5x + 1 − 4 x =
−9
=b
4
=> ĐTHS có TCX: y=4x-9/4 khi x → +∞
y
y
(x)
f
=
O
x