Bài giảng: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

Đ5 đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. đờng tiệm cận đứng và đờng tiệm cận ngang

Định nghĩa 1: Đờng thẳng y = y0 đợc gọi là đờng tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận
ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nÕu:
lim f(x) = y0 hc lim f(x) = y0.
x →−∞

x +


Chú ý: Từ định nghĩa trên, để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang điều kiện cần là
tập xác định của hàm số phải chứa + hoặc .
Thí dụ hàm số y = 1 x 2 không thể có tiệm cận ngang.
Định nghĩa 2: Đờng thẳng x = x0 đợc gọi là đờng tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận
đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nÕu:
lim f(x) = ±∞ hc lim f(x) = ±∞.
x→x+
0

ThÝ dụ 1:

Tìm đờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:
y=



Miền xác định D = Ă \ { 2} .

Từ đó, ta lần lợt có:
x2
lim y = lim
= Đờng thẳng x = 2 là tiƯm cËn ®øng.
x →−2
x →−2 x + 2
2
1−
x−2
x = 1 Đờng thẳng y =1 là tiệm cận ngang.
lim y = lim
= lim
x →∞
x →∞ x + 2
x →∞
2
1+
x

ThÝ dô 2:

Tìm đờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:
2x 2
y=
.
x+3

Tìm đờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:
y=

4

x2
.
x+2

Giải

Hoạt động



xx
0

Giải

4x 2 + 1
.
x


Miền xác định D = Ă \ { 0} .
Từ đó, ta lần lợt có:
4x 2 + 1
= Đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng.
x

lim y = lim
x→0

x→0

4x 2 + 1
1
= lim 4 + 2 = 2
x +
x +
x +
x
x
Đờng thẳng y = 2 là mét tiÖm cËn ngang.
lim y = lim

4x 2 + 1
1
= − lim 4 + 2 = −2
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x
x
⇒ Đờng thẳng y = 2 là một tiệm cận ngang.
lim y = lim

Hoạt động

Tìm đờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

y=

x2 + 1
.
x 1

2. đờng tiệm cận xiên

Định nghĩa 3: Đờng thẳng y = ax + b đợc gọi là đờng tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm
cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nÕu:
lim [f(x) − (ax + b)] = 0 hc lim [f(x) − (ax + b)] = 0.
x +

Thí dụ 3:

x

Chứng minh rằng đờng thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị

hàm sè:
y=



x2 − x − 7
.
x−3

Gi¶i
Ta cã:

 x2 − x − 7

−1
lim [ y − (x + 2)] = lim 
− (x + 2)  = lim
=0
x →∞
x →∞
x →∞ x 3
x3

do đó, đờng thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Hoạt ®éng



Chøng minh r»ng ®êng th¼ng y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ
thị hàm số:
2x 2 + 3x
y=
.
x +1

Chú ý: Để tìm các hệ số a, b trong phơng trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp
dụng công thức sau:
f (x)
a = xlim
và b = xlim [f(x) − ax].
→+∞
→+∞

x

5


f (x)
hoặc a = xlim
và b = xlim [f(x) ax].


x
Thí dụ 4: Tìm đờng tiệm xiên của đồ thị hàm số:
x 2 2x + 4
y=
.
x +1





Giải
Giả sử đờng thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, ta có:
2 4
1 + 2
x 2 − 2x + 4
f(x)
x 2 − 2x + 4
x x = 1.
= lim

= lim
a = lim
= lim
2
x →∞
x →∞
x →∞ x
1
x →∞
x(x + 1)
x +x
1+
x
4
−3 +
 x 2 − 2x + 4

−3x + 4
x
b = lim [ f(x) − ax ] = lim 
− x  = lim
= lim
x →∞
x →∞
x →∞
1
 x +1
 x →∞ x + 1
1+
x

= 3.
Vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là ®êng th¼ng y = x − 3.

Chó ý: Trong thùc tế để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức dạng trên chúng ta
thực hiện nh sau:
Viết lại hàm số díi d¹ng:
y = x −3+

NhËn xÐt r»ng

7
.
x +1

lim [ f(x) − (x − 3)] = lim 7 = 0
x →∞
x x + 1
suy ra, đờng thẳng y = x 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Hoạt động

Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm sè y =

x3 + x + 1
.
x2 − 1

bµi tËp lần 1
Bài tập 1: Cho hàm số (C): y =

2x 2

.
x+3

a. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cân ngang của đồ thị (C).
b. Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ toạ
uu
r
độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI . Viết phơng trình của đờng cong (C)
đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, suy ra rằng đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm
đối xứng.

6


Bµi tËp 2: Cho hµm sè (C): y =

x2 + x 4
.
x+2

a. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cân ngang của đồ thị (C).
b. Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ toạ
uu
r
độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI . Viết phơng trình của đờng cong (C)
đối với hệ toạ ®é IXY. Tõ ®ã, suy ra r»ng ®å thÞ (C) nhận điểm I làm tâm
đối xứng.
Bài tập 3: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:
x+2
x2 + x + 1

a. y = 2
.
b. y =
.
x −1
−5x 2 2x + 3
Bài tập 4: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:
x
x3 + 2
a. y = 3
.
b. y = 2
.
x +1
x − 2x
mx + 1
.
Bµi tËp 5: Cho hµm sè y =
x +1− m
a. Chøng tỏ rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn có hai tiệm cận.
b. Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đến gốc toạ độ
bằng 5 .
c. Tìm m để hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một
hình chữ nhật có diện tích bằng 2.
2 x 2 + ( m − 2)x − 2
Bµi tËp 6: Cho hàm số (Cm): y =
.
x 1
1. Tìm m để đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
2. Tìm m để:

a. Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đến gốc toạ độ bằng 5 .
b. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên bằng 5 .
c. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích bằng 4.
Bài tập 7: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:
a. y = x 2 + x + 1.
b. y = x + x 2 + 1.
Bài tập 8: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:
a. y = 4 − x 2 .

b. y =

x 2 + x + 1 x.

Bài tập 9: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:
x
(C) : y =
.
x2 1

Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao.
7


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 800.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ

3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
Bài toán 1: Tiệm cận của đồ thị hàm phân thức hữu tỉ.
Phơng pháp áp dụng
Cho hàm số:

y=

8

u(x)
,
v(x)


trong đó u(x), v(x) là các hàm đa thức không có nghiệm chung. Tìm các đờng tiệm cận
của đồ thị hàm số.
Khi đó:
Nếu phơng trình v(x) = 0 có nghiệm x = x0, thì đờng thẳng x = x0 là tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số. Số nghiệm phân biệt của phơng trình v(x) = 0 là số tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số.
Nếu bậc u(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc v(x) thì đồ thị hàm số còn có tiệm cận
ngang, có phơng trình y = a, đợc xác định bởi:
a = lim y.
x

Nếu bậc u(x) lớn hơn bậc v(x) (giả sử u(x) = g(x)v(x) + h(x)), thì:

lim [y g(x)] = 0 Đờng y = g(x) là tiệm cận của đồ thị hàm số.
x

Khi đó:
ã Nếu bậc g(x) bằng 1 thì y = g(x) là phơng trình tiệm cận xiên của đồ thị
hàm số.
ã Nếu bậc g(x) lớn hơn 1 thì y = g(x) là phơng trình tiệm cận cong của đồ thị
hàm số.
Ví dụ 1:

Cho hàm số (C): y =

2x 2
.
x+3

a. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cân ngang của đồ thị (C).
b. Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ toạ
uu
r
độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI . Viết phơng trình của đờng cong (C)
đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, suy ra rằng đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm
đối xứng.

Hớng dẫn: Sử dụng kiến trong phần phơng pháp giải toán,
Giải
a. Miền xác định D = Ă \ {3}.

Từ đó, ta nhận đợc kết luận:
lim
Đờng thẳng x = 3 là tiệm cận đứng vì x 3 y = .
Đờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang vì lim y = 2.
x

b. Ta lần lợt có:
Giao điểm I(3; 2).
uu
r
Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI lµ:
X = x + 3
x = X − 3
⇔
.

Y = y + 2
y = Y − 2
Khi ®ã, trong hệ tọa độ IXY (C) có phơng trình:
2(X 3) − 2
4
(C) : Y − 2 =
⇔ (C) : Y = .
(X − 3) + 3
X

9


Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y =

4
là hàm số lẻ dó đó nó nhận gốc
X

I làm tâm đối xứng.


Chú ý: Mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất y =
0 và TS, MS không có nghiệm chung) đều có hai tiệm cận lµ:

ax + b
(víi a ≠ 0, b ≠
cx + d

d
lim y = ∞
v× x →− d
.
c
c
a
a
TiƯm cËn ngang y = vì lim y = .
x
c
c

ã Tiệm cận đứng x =
ã

ã Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2:

Cho hàm số (C): y =

x2 + x 4
.
x+2

a. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cân ngang của đồ thị (C).
b. Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ toạ
uu
r
độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI . Viết phơng trình của ®êng cong (C)
®èi víi hƯ to¹ ®é IXY. Tõ ®ã, suy ra rằng đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm
đối xứng.



Giải
a. Miền xác định D = Ă \ {2}.
Viết lại hàm số dới dạng:
2
y=x1
.
x+2
Từ đó, ta nhận đợc kết luận:

Đờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng vì lim y = .
x 2

Đờng thẳng y = x 1 là tiệm cận xiên vì lim [ f(x) (x 1)] = 0.
x

b. Ta lần lợt có:
Giao điểm I(2; 3).
uu
r
Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x + 2
x = X − 2
⇔

Y = y + 3
y = Y − 3
Khi ®ã, trong hƯ täa ®é IXY (C) có phơng trình:
2
2
(C): Y 3 = (X 2) − 1 −
⇔ (C): Y = X − .
(X − 2) + 2
X

10


Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X

2
là hàm số lẻ do đó nó nhận
X

gốc I làm tâm đối xứng.


ax 2 + bx + c
Chú ý: Mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trªn bËc nhÊt y =
dx + e

(a ≠ 0, d

0 và TS, MS không có nghiệm chung) đều có hai tiệm cận là:
ã Tiệm cận đứng x =

e
lim y =
vì x e
.
d
d

ã Tiệm cận xiên đợc xác định bằng cách chia TS cho MS, giả sử:
y = y = kx + m +

A
dx + e

thì đờng thẳng y = kx + m là tiệm cận xiên v×:
lim y − (kx + m) = 0 .

x →∞
ã Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng.
Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

Ví dụ 3:



x+2
a. y = 2
.
x −1

b. y =

x2 + x + 1
.
−5x 2 2x + 3

Giải
a. Miền xác định D = Ă \ {1}.
Từ đó, ta nhận đợc kết luận:
lim
Các đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng vì x 1 y = .
Đờng thẳng y = 0 là tiƯm cËn ngang v× lim y = 0.
x →∞

3

b. MiỊn xác định D = Ă \ 1, .
5

Từ đó, ta nhận đợc kết luận:
lim
Đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng vì x 1 y = .
3
Đờng thẳng x =
là tiệm cận đứng vì xlim5 y = .
3 /
5
1
1
Đờng thẳng y = là tiƯm cËn ngang v× lim y = − .
x →∞
5
5
VÝ dụ 4:
Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hµm sè:
x
x3 + 2
a. y = 3
.
b. y = 2
.
x +1
x − 2x



Gi¶i

11


a. Miền xác định D = Ă \ {1}.
Từ đó, ta nhận đợc kết luận:
lim
Đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng vì x 1 y = .
Đờng thẳng y = 0 là tiệm cận ngang vì lim y = 0.
x

b. Miền xác định D = Ă \ {0, 2}.
Viết lại hàm số dới dạng:
4x + 2
y=x+2+ 2
.
x 2x
Từ đó, ta nhận đợc kết luận:
Đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng vì lim y = .
x0
Đờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng vì lim y = .
x 2



Đờng thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên vì lim [y − (x + 2)] = 0.
x →∞


Chó ý: TiÕp theo chóng ta sÏ quan t©m tíi tiƯm cËn của các hàm phân thức hữu tỉ có
chứa tham số.
Ví dơ 5:

Cho hµm sè y =

mx + 1
.
x +1− m

a. Chứng tỏ rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn có hai tiệm cận.
b. Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đến gốc toạ độ
bằng 5 .
c. Tìm m để hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một
hình chữ nhật có diện tích bằng 2.



Giải
a. Đồ thị hàm số không có tiệm cận khi TS vµ MS cã nghiƯm chung, tøc lµ:
m
1
⇔ m(1 − m) = 1 ⇔ m2 − m + 1 = 0, vô nghiệm.
=
1 1 m
Vậy, với mọi m đồ thị hàm số luôn có hai tiệm cận là:
Đờng thẳng (d1): x = m 1 là tiệm cận đứng vì x lim 1 y = .
m

Đờng thẳng (d2): y = m là tiệm cận ngang vì lim y = m .
x

b. Với tâm đối xứng I(m − 1; m), ta cã:
OI = 5 ⇔ OI2 = 5 ⇔ (m − 1)2 + m2 = 5 ⇔ m2 − m − 2 = 0 ⇔ m = −1 hc m =
2.
VËy, víi m = −1 hc m = 2 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
c. Ta có:
(d1) cắt Ox tại điểm A(m 1; 0).
(d2) cắt Oy tại điểm B(0; m).
Khi đó, từ giả thiết ta cã:
12


OA.OB = 2 ⇔ m − 1.m = 2 ⇔ m2 − m = 2
m2 − m = 2
m2 − m − 2 = 0
⇔ 2
⇔ 2
⇔
 m − m = −2
 m − m + 2 = 0, v« nghiƯm



 m = −1
m = 2 .


VËy, víi m = 1 hoặc m = 2 thoả mÃn điều kiện đầu bµi.

VÝ dơ 6:

Cho hµm sè (Cm): y =

2 x 2 + ( m − 2)x − 2
.
x −1

1. T×m m để đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
2. Tìm m để:
a. Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đến gốc toạ độ bằng 5 .
b. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên bằng 5 .
c. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích bằng 4.



Giải
1. Viết lại hàm số dới dạng:
y = 2x + m +

m 2
.
x 1

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên điều kiện là:
m − 2 = 0 ⇔ m = 2.
VËy, víi m = 2 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
2. Trớc tiên, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên khi m 2.
(*)

Khi đó, đồ thị hàm số có:
Tiệm cận đứng là (d1): x = 1.
Tiệm cận xiên là (d2): y = 2x + m.
a. Với tâm đối xứng I(1; m + 2), ta cã:
OI = 5 ⇔ OI2 = 5 ⇔ 1 + (m + 2)2 = 5 ⇔ m2 + 4m = 0
⇔ m = −4 hc m = 0.
VËy, víi m = −4 hc m = 0 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
b. Viết lại phơng trình tiệm cận xiên dới dạng (d2): 2x y + m = 0.
Ta cã:
m
= 3 = 5 ⇔ m = 5 ⇔ m = ±5.
d(O, (d2)) = 5 ⇔
2
2 +12
Vậy, với m = 5 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
c. Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d2) với các trục Ox, Oy, ta đợc:
m 
A  − ; 0 ÷ B ( 0; m ) .
2
Để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện
tích bằng 4 điều kiện là:
SOAB = 4 ⇔ 4 =

m
1
1
1 2
−
OA.OB =
.m =

m
2
2
2
4

13


⇔ m2 = 1 ⇔ m = ±1, tho¶ m·n ®iỊu kiƯn (*).
VËy, víi m = ±1 tho¶ m·n ®iỊu kiện đầu bài.
Bài toán 2: Tiệm cận của đồ thị hàm vô tỉ.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và quy tắc tìm tiệm cận hai phía.

Với hàm số:
(C): y = Ax 2 + Bx + C , víi A > 0 và B2 4AC 0
để tìm các ®êng tiƯm cËn cđa (C) ta thùc hiƯn theo c¸c bớc:
Bớc 1:
Giả sử (d): y = a1x + b1 là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số, ta cã:
Ax 2 + Bx + C = −
A.
x
b = lim  Ax 2 + Bx + C + x A 
x →−∞ 

Bx + C
B
= xlim
=−

.
→−∞
2
2 A
Ax + Bx + C x A
Khi đó, ta đợc tiệm cận xiên bên phải của đồ thị (C) là:
B
(d1): y = − A x −
.
2 A
Gi¶ sư (d): y = ax + b là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số, ta có:

a = xlim


Bớc 2:

a = xlim
+

Ax 2 + Bx + C =
x

A.

b = lim  Ax 2 + Bx + C − x A 
x →+∞ 

Bx + C
B

= xlim
=
.
→+∞
2
2 A
Ax + Bx + C + x A
Khi đó, ta đợc tiệm cận xiên bên trái của đồ thị (C) là:
B
(d2): y = A x +
.
2 A
Phơng pháp đợc mở rộng cho lớp hàm số:

y = cx + d ±
VÝ dô 1:

Ax 2 + Bx + C ; y =

n

a n x n + a n 1x n 1 + ... + a 0 .

Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

a. y = x 2 + x + 1.

b. y = x + x 2 + 1.

 Híng dÉn: Sư dơng kiÕn thức trong phần phơng pháp giải toán.

Giải
a. Miền xác định D = Ă .
Giả sử (d1): y = a1x + b1 là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số, ta có:
14


x 2 + x + 1 = lim  − 1 + 1 + 1  = − 1,

÷
x →−∞ 
x x2 ÷
x


lim [y − ax] = lim [ x 2 + x + 1 + x]
b1 = x →−∞
x →−∞
y
a1 = xlim = xlim
→−∞
x →−∞

= xlim
→−∞

x +1

1
=− .
2

x + x +1 x
2

1
là tiệm cận xiên bên phải của (C).
2
Giả sử (d2): y = a2x + b2 là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số, ta cã:
2
y
1 1
a2 = xlim
= xlim x + x + 1 = xlim 1 + + 2 = 1,
→+∞
→+∞
→+∞
x
x x
x

VËy, ®êng th¼ng (d1): y = −x −



2
b2 = xlim [y − ax] = xlim  x + x + 1 − x 
→+∞
→+∞ 




x +1
1
= xlim
= .
→+∞
2
2
x + x +1 + x
1
Vậy, đờng thẳng (d2): y = x + là tiệm cận xiên bên trái của (C).
2
b. Miền xác định D = ¡ .
 Gi¶ sư (d1): y = a1x + b1 là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số, ta có:


1
x2 + 1
y
ữ = lim  1 − 1 + 2 ÷= 0
a1 = lim = xlim  1 +
x →−∞ 
→−∞ 
x →−∞ x
x ÷
x ÷




−1

2
b1 = xlim (y − ax) = xlim x + x + 1 = xlim
=0
→−∞
→−∞
→−∞
x − x2 + 1
VËy, đờng thẳng (d1): y = 0 là tiệm cận ngang bên phải của (C).
Giả sử (d2): y = a2x + b2 là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số, ta có:

1
x 2 + 1 lim 
y
÷= x →+∞  1 + 1 + 2 ÷= 2
a2 = xlim = xlim  1 +
→+∞

x ÷
x ÷
x →+∞ 




−1
2
b2 = xlim (y − ax) = xlim ( x + 1 − x = xlim
= 0.
→+∞
→+∞

→+∞
2
x +1 + x
Vậy, đờng thẳng (d2): y = 2x là tiệm cận xiên bên trái của (C).

)

(

(

)


Chú ý: Với các đồ thị hàm số vô tỉ dạng khác, để xác định các đờng tiệm cận ta
có thể thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Tìm miền xác định D và miền giá trị I (nếu có thể) của hàm số, nếu D
hoặc I có chứa thì thực hiện bớc 2 còn trái lại kết luận đồ thị hàm số
không có tiệm cận.

15


Bớc 2:
Ví dụ 2:

Dựa vào D và I tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số. Nếu hàm số chứa căn
bậc chẵn, nói chung ta thờng phải tìm các tiệm cận bên trái và bên phải.
Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:

a. y = 4 − x 2 .

b. y =

x 2 + x + 1 x.



Giải
a. Điều kiện:
4 x2 0 x ≤ 4 ⇒ D = [−2; 2] ⇒ D không chứa .
Miền giá trị I của hàm số đợc xác định nh sau:
4 x2 4 0 ≤ 4 − x 2 ≤ 2 ⇔ I = [0; 2] I không chứa .
Vậy, đồ thị hàm số không có tiệm cận.
b. Ta có điều kiện:
x2 + x + 1 − x ≥ 0 ⇔

x2 + x + 1 ≥ x

x ≤ 0
 2
x ≤ 0
x + x + 1 ≥ 0
⇔
⇔
⇔ ∀x ⇒ D = ¡ .
x ≥ 0
x ≥ 0


x 2 + x + 1 ≥ x 2


Ta cã:
lim y = lim

x →+∞

x →+∞

x 2 + x + 1 − x = xlim
→+∞

x +1
x + x +1 + x
2

Vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bên trái là y =

=

2
.
2

2
.
2

Chú ý: Với các đồ thị hàm số vô tỉ dạng phân thức hữu tỉ, chúng ta có thể đánh
giá đợc sự tồn tại của tiệm cận xiên hoặc tiệm cận ngang dựa trên việc đánh giá
bậc của tử số và mẫu số.
Ví dụ 3:
Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị các hàm số:
(C) : y =



x
x2 1

.

Giải
Điều kiện:
x2 1 > 0 ⇔ x > 1 ⇒ D = (−∞; −1) ∪ (1; +).
Ta lần lợt:
Vì xlim y = nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên phải là x = 1.
1




16

lim
Vì x 1 y = nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên trái là x = 1.
Tiệm cận ngang bên phải, ta có:
+

lim y = lim
x →−∞
x →−∞

x
x2 −1

x

lim

= x →−∞

x 1−

1
x2

=

x

lim

x

x 1

1 = 1.
x2

Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên phải là y = 1.


Tiệm cận ngang bên trái, ta có:
lim y = lim
x +
x +

x

lim

x

1 =
1 = 1.
x 1 2
2
x
x
Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên trái là y = 1.
x2 1

=

x

lim

x +

x 1

x +


Nhận xét: Trong ví dụ trên bằng việc đánh giá ®ỵc r»ng bËc cđa tư sè b»ng bËc
cđa mÉu sè và bằng 1 nên chúng ta có thể khẳng định đợc rằng đồ thị hàm số có
hai tiệm cận ngang.


Chú ý: Với yêu cầu "Biện luận theo tham số số tiệm cận của đồ thị hàm số:
y = Ax 2 + Bx + C , với A 0".
bài toán đợc chuyển về biện luận phơng trình Ax2 + Bx + C = 0, cụ thể ta xét các trờng
hợp sau:
Trờng hợp 1: Nếu A < 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận bởi vì khi đó cả miền
xác định và miền giá trị của hàm số đều không chứa .
Trờng hợp 2: Nếu A > 0 thì ta xét hai khả năng:
Khả năng 1: Nếu = B2 4AC = 0 khi đó hàm số có dạng:
B
2A
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Khả năng 2: Nếu = B2 4AC 0 thì đồ thị hàm số có hai tiệm
cận xiên, đợc xác định bằng phơng pháp đà biết.

y=

A x

C. bài tập rÌn lun
x−2
Bµi tËp 1: Cho hµm sè (C): y =
.
3x + 2
a. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cân ngang của đồ thị (C).
b. Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ toạ độ
uu
r
trong phép tịnh tiến theo vectơ OI .
c. Viết phơng trình của đờng cong (C) đối với hệ toạ ®é IXY. Tõ ®ã, suy ra r»ng
®å thÞ (C) nhËn điểm I làm tâm đối xứng.
Bài tập 2:

17


x 2 2x + 2
.
x 3
b. Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ toạ độ
uu
r
trong phép tịnh tiến theo vectơ OI .
c. Viết phơng trình của đờng cong (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, suy ra rằng
đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng.
Bài tập 3: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm sè:
x3 + x + 1

x 2 − 3x + 2
a. y =
.
b. y =
.
x2 − 1
2x 2 + x − 1
ax 2 + (2a + 1)x + a + 3
Bµi tËp 4: Cho hµm sè (C): y =
, víi a ≠ − 1 vµ a ≠ 0.
x+2
Chøng minh r»ng tiƯm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.
x 2 sin + 2x cos α + 1
Bµi tËp 5: Cho hµm sè (C): y =
.
x+2
a. Xác định phơng trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên.
c. HÃy xác định giá trị của để khoảng cách trên là lớn nhất.
Bài tập 6: Tìm m để đồ thị hàm số:
x 2 + 4mx + 5
y=
.
mx − 2
a. Kh«ng cã tiƯm cËn.
b. Cã tiƯm cận xiên.
Bài tập 7: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số:
a. y = x 2 1 .
b. y = x + x 2 + x + 1 .
Bµi tËp 8: BiƯn ln theo m sè tiƯm cận của đồ thị hàm số:

(C): y = mx 2 4mx + 4 .
Bài tập 9: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số:
x
a. y = x + x 2 − x + 1 .
b. y =
.
2
x + x +1
Bài tập 10:Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số:
x + sin x
x +1
a. y = x
.
b. y =
.
x − sin x
x −1

a. T×m tiƯm cËn đứng và tiệm cân xiên của đồ thị (C): y =

Bài tập 1:

D. hớng dẫn đáp số

2
a. Miền xác định D = Ă \ .
3
Từ đó, ta nhận đợc kết luận:
2
lim

Đờng thẳng x = là tiệm cận đứng vì x 2 y = ∞.
3
3

18




Đờng thẳng y =

1
1
là tiệm cận ngang vì lim y = .
x
3
3

b. Ta lần lợt có:
2 1
Giao điểm I ; ữ.
3 3
uu
r
Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI lµ:
2
2


X = x + 3

x = X − 3


⇔
.

1
Y = y −
y = Y + 1


3
3


c. Khi ®ã trong hƯ tọa độ IXY (C) có phơng trình:
2
X 2
1
8
3
(C): Y + =
⇔ (C): Y = −
.
2

3
9X
3  X − ÷+ 2
3


8
NhËn xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y =
là hàm số lẻ dó đó nó nhận
9X
gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
Bài tập 2:
a. Viết lại hàm số dới dạng:
5
y=x+1+
.
x3
Miền xác định D = Ă \ {3}.
Từ đó, ta nhận đợc kết luận:
Đờng thẳng x = 3 là tiệm cận đứng vì lim y = .
x 3
Đờng thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên vì lim [y (x + 1)] = 0.


x

b. Ta lần lợt có:
Giao điểm I(3; 4).
uu
r
Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x 3
x = X + 3
⇔
.


Y = y − 4
y = Y + 4
c. Khi ®ã trong hƯ täa ®é IXY (C) cã phơng trình:
5
5
(C): Y + 4 = (X + 3) + 1 +
⇔ (H): Y = X + .
(X + 3) 3
X
5
Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X +
là hàm số lẻ dó đó nó nhận
X
gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
1
1
Bài tập 3: a. y = x vµ x = ±1.
b. y = , x = −1 vµ x = .
2
2
19


Bµi tËp 4: M(0; 1).
Bµi tËp 5:
a. y = xsinα + 2(cosα − sinα) bëi:
2(cos α − sin α)
1
b. h =

.
c. tanα = − .
2
2
1 + sin α
Bµi tËp 6: a. m = 0.
b. m ≠ 0.
Bµi tËp 7:
a. Ta có:
(d1): y = x là tiệm cận xiên bên phải của (C).
(d2): y = x là tiệm cận xiên bên trái của (C).
b. Ta có:
1
(d1): y =
là tiệm cận ngang bên phải của (C).
2
1
(d2): y = 2x + là tiệm cận xiên bên trái của (C).
2
Bài tập 8: Ta xét các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: Nếu m = 0, ta đợc y = 2, suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Trờng hợp 2: Nếu m < 0 thì để miền xác định D thì điều kiện là:
' = 4m2 4m > 0 (luôn đúng).
Từ đó, phơng trình mx2 4mx + 4 = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt x 1 < x2, suy ra
hàm số có tập xác định D = [x1, x2] D không chứa .
Miền giá trị I đợc xác định sơ bộ nh sau:
0 y = mx 2 − 4mx + 4 = m(x − 2)2 − 4m + 4 ≤ 2 1 − m
suy ra I không chứa .
Vậy đồ thị hàm số không có tiƯm cËn.
Trêng hỵp 3: NÕu m > 0, ta xÐt hai khả năng:

m>0

Khả năng 1: Nếu ' = 4m2 4m = 0 m = 1.
Khi đó hàm số có dạng:
y = x 2 suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận.
m>0

Khả năng 2: Nếu ' = 4m2 4m0 m 1.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên đợc xác định nh sau:
Giả sử (d1): y = a1x + b1 là tiệm cận xiên bên phải của (C), ta có:
a1 = xlim
→−∞
b = xlim
→−∞

(

mx 2 − 4mx + 4 = −
m.
x

)

mx 2 − 4mx + 4 + x m = xlim
→−∞

−4mx + 4

mx − 4mx + 4 − x m
VËy, (d1): y = − m (x − 2) lµ tiƯm cËn xiên bên phải của (C).

Giả sử (d2): y = a2x + b2 là tiệm cận xiên bên trái của (C), ta cã:

20

2

= 2 m.


a2 = xlim
→+∞

mx 2 − 4mx + 4 =
x

m.

b2 = xlim [ mx 2 − 4mx + 4 − x m ]= xlim
→+∞
→+∞

−4mx + 4

mx 2 − 4mx + 4 + x m
m (x 2) là tiệm cận xiên bên trái của (C).

= 2 m .

Vậy, (d2): y =
Kết luận:

Với m 0 hoặc m = 1 đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Với 0 < m 1 đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên là (d1) và (d2).
2
Bài tập 9: a. y =
.
b. x = 1.
2
Tiệm cận ngang bên trái, ta cã:
x
lim y = lim
x →+∞
x →+∞
x2 + x + 1
x
x
lim
lim
= x →+∞
1 1 = x →+∞
1 1 = 1.
| x | 1+ + 2
x 1+ + 2
x x
x x
VËy, ®å thị (C) của hàm số đà cho có tiệm cận ngang bên trái là x = 1.
Bài tập 10:
a. Miền xác định D = (; 1)(1; + ).
Tiệm cận ®øng, ta cã:
lim x x + 1 = ∞
x →−1−

x 1
nên đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng bên phải của (C).
lim x x + 1 =
x 1+
x 1
nên đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng bên trái của (C).
Giải sử (d): y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hµm sè, ta cã:
y
x +1
a = lim = lim
= 1,
x →∞
x →∞
x
x −1
 x +1 
x
− 1÷
 x +1

 x −1 
− x ÷ = lim
b = lim (y − x) = lim  x
= 1.
x →∞
x →∞ 
÷ x
x +1
x 1

+1
x 1
Vậy, đờng thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b. Miền xác định D = Ă \{0}.
Ta có:

21


sin x
x
lim y = lim x + sin x = lim
= 0
x0
x0
x 0
sin x
x sin x
1+
x
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
sin x
1
x + sin x
x
lim y = lim
= lim
= 1
x →∞
x →∞

x →∞
sin x
x − sin x
1+
x
nên đờng thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1

22