Bài giảng Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y

y

(x)
f
=

O

x


Định nghĩa tiệm cận
Cho đồ thị (C) có nhánh vô tận.

 x  
M  (C ), M ( x; y )     y  
 x    y  

(d) là 1 đường thẳng

đ /n
M  (C ), lim d ( M , d )  0 
(d ) là tiệm cận thẳng của (C)

y

M  

M

(C)

O

d
x


I. Đường tiệm cận ngang:
Định nghĩa 1:
Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận
ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu lim y  y 0 hoặc lim y  y 0
x 
x 
y

y0

O

y

y=

y = y0
y = f(x)
x

y0

O
Đường thẳng y=y0 là tiệm cận
ngang của đồ thị ( khi x   )

y = y0

f(x)

x

Đường thẳng y=y0 là tiệm cận
ngang của đồ thị ( khi x   )


II. Đường tiệm cận đứng:
Định nghĩa 2:
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận
đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn:
lim y  

lim y  

x  x 0

x  x 0

lim y  

lim y  

x  x 0

x  x 0


y
y = f(x

y = f(x)

)

y

O

x0

x

y

O

O

x0

x

x0

x

y

x0

x

y = f(x)

Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng
của đồ thị (khi x  x o )

O

y=

f(x)

Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng
của đồ thị (khi x  xo )


 2x  2

y 
x3

Giải

 2x  2
Xét hàm số: y 
x3

lim
x  3

y  



TXĐ: D = R\{-3}

lim y  
x  3

=> Đg thẳng x= - 3 là TCĐ của đồ thị khi x  3 và khi x  3 

lim y  2
x  

lim y  2
x  

=> Đg thẳng y= - 2 là TCN của đồ thị khi x   và khi x  

x2  x 1
y
3  2 x  5x 2

3
TX Đ : D  R \ {  1; }
5
 x2  x 1 

  
lim
2 
x   1  3  2 x  5 x 

lim
3
x
5



 x2  x 1

2
3

2
x


5
x



  


lim

x   1

lim

3
x
5

 x2  x 1

2
3

2
x

5
x


 x2  x 1

2
3

2
x

5
x



  


  


Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = -1 khi x  1 và x  1
Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = 3/5 khi x  3 / 5 và x  3 / 5
 x2  x 1

lim
2
x    3  2 x  5 x
( x   )


1

  
5


Vậy ĐTHS có TCN là y = -1/5


III. Đường tiệm cận xiên:

Định nghĩa 3:
Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm
cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu
lim  f  x    ax  b   0
x 
hoặc

lim  f ( x )  ax  b   0
x  


y

y
y = f(x)

y
y=

+

ax

b

O
Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi x   )

=

ax

+

b

y = f(x)

x

O

x

Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi x   )


3x 2  x  1
y

x2
TXĐ: D = R\{2}

3x 2  x  1
13
 3x  7 
Ta có: y 
x2
x2
13
 f x   3x  7   lim
0
lim
x  
x   x  2
13
 f x   3x  7   lim
0
lim
x  
x   x  2

=> Đg thẳng y= 3x+7 là TCX của đồ thị khix   và khix  


Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) y  f ( x )  3 x 3  3 x 2  2

cos 2 x
b) y  f ( x )  x 

x
c) y  f ( x)  2x 1  4x  5x  1
2


Chú ý:

a n x n  ...  a1 x  a 0
*
(
m
,
n

N
)
Với hàm số có dạng: y  f ( x) 
m
bm x  ...  b1 x  b0

TCN

TCX

n
y=0

Không có

n=m

an
y
bm

Không có

n = m+1 Không có Có ( viết dạng y = ax+b+  (x)
 ( x)  0
với lim
x


y  f ( x)  3 x 3  3x 2  2



TXĐ: D=R



 3 x3  3x2  2  (x 1)  (x 1)


 3x  3
3

(x3  3x2  2)2  (x 1)3 x3  3x2  2  (x 1)2

lim f (x)  (x 1)  lim (x
x

x 3

lim f (x)  (x 1)  lim
x

x 3

3

 (x 1)

 3x  3
 3x  2)  (x 1) x  3x  2  (x 1)
2

2

3

3

2

2

 3x  3
(x3  3x2  2)2  (x 1)3 x3  3x2  2  (x 1)2

0
0

=> Đg thẳng y = x-1 là TCX của (C) khi x   và x  


cos 2 x
y  f ( x)  x 
x
TXĐ: D = R\{0}

lim f  x   
x 0

lim f x   
x 0 

=> Đg thẳng x = 0 là TCĐ của (C) khi x  0

lim  f ( x )  x   lim
x  

x  

lim  f ( x )  x   lim
x  

x  

và

x  0

cos 2 x
 0
x
cos 2 x
 0
x

=> Đg thẳng y = x là TCX của (C) khi x   và x  


y  f (x)  2x 1  4x 2  5x  1
1

TX Đ : D     ;   1;  
4


=> Không có TCĐ

lim2x 1

4 x 2  5x  1

x



4 x 2  4 x  1  4 x 2  5x  1

x

1
 lim
 lim

2
2
4
x
x 2 x  1  4 x  5x  1
2 x  1  4 x  5x  1
=> ĐTHS có TCN: y = 1/4 khi x  
2 x  1  4 x 2  5x  1
4a
lim
x
x  

lim 
x  



9
2 x  1  4 x  5x  1  4 x 
b

4
2

=> ĐTHS có TCX: y=4x-9/4 khi x  


y

y

(x)
f
=

O

x