Bài giảng Nguyên hàm Toán 12

Bài tốn vật lý
• Ta đã biết bài tốn chất điểm chuyển động thẳng có
phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm.
• Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)
• Trong thực tế có khi ta gặp bài tốn ngược là biết
vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t).

Từ đó ta có bài tốn: Cho hàm số f(x) xác định
trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên
khoảng đó: F’(x)=f(x).


&1. NGUYÊN HÀM
I.

Nguyên hàm và tính chất :

II.

1. Nguyên hàm :

a. Định nghĩa:

Hàm số y = f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K.


Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những

hàm số nào?
a. F(x) = x2

b. F(x) = x2 + 3
c. F(x) = x2 - 4
d. Tất cả các hàm số trên

Hãy chọn phương án đúng


Nhận xét
• Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều
là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R.
• Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là
nguyên hàm của hàm số
trªn các khoảng xác định.

1
g(x) = 2
cos x
Tng quỏt ta cú nh lý:


b.Định lý:
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng K thì:
*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm
của hàm số f(x) trên khoảng đó.
*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C

là một hằng số.
F(x) + C (C thuéc R) gäi là họ các nguyên
hàm của f(x)
f ( x).dx = F ( x) + C
kí hiệu :

∫


2.Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1 :

∫

Tính chất 2 :

kf
(
x
)
dx
=
k
f
(
x
)
+
C
..(

k
≠
0)
∫
∫

Tính chất 3 :

f ( x)dx = f ( x) + C
/

[
f
(
x
)
±
g
(
x
)]
dx
=
f
(
x
)
dx
±
g

(
x
)
dx
∫
∫
∫


3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có
nguyên hàm trên K.
4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
x
1. 0 dx = C
a
x

∫
+C
5.∫ a dx =
ln a
2.∫ dx = X + C
6.∫ cos x.dx = Sinx + C
1 α +1
α
3.∫ x dx = x + C 7. sin x.dx = - Cosx + C
∫
α +1

4.∫

1
1
dx = Tanx + C
dx =ln x + C 8.∫
2
cos x
x

5.∫ e dx = e + C
x

x

1
9.∫
dx =- cotx + C
2
sin x


VD: Tính nguyên hàm
1
−
2

1
3
1.∫ (3 x +

)dx = 3∫ x dx + ∫ x dx
1
x
3 4
= x + 2x 2 + C
4
3

2, ∫ (2sin x −2 )dx = 2 ∫ sin xdx − 2 ∫ 2 dx
x +1

x

x

2
= −2 cos x − 2
+C
ln 2
1
3, ∫ 2sin 2 x.cos xdx = .2( ∫ sin xdx + ∫ sin 3 xdx)
2

1
= − cos x − cos 3 x + C
3


Qua bài học ta đã biết
- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh

1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước.
- Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên
hàm rồi cộng thêm hằng số C.


VD 2:
Chứng minh rằng:

ta
n
x
−
x
+
C
tan
xdx
.
=
∫
2

Ta có :

tan
xdx
.
=
∫
2

(1
+
tan
x
−
1)
dx
∫
2

1
= ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C
cos x


1
π


Hàm số F (x) = cos − 2x÷là nguyên
2 3


hàm của hàm số nào sau đây?

a.

b.

π

f1 ( x) = sin 2x − ÷
3


1 π

f2 ( x) = − sin − 2x÷
2 3 

c.

d.

1 π

f3 ( x) = sin − 2x÷
2 3


π

f4 ( x) = sin − 2x÷
3



2. Xác định a để hàm số

ax + 1
F ( x) =
x−1
f ( x) =

 a số 1 
một nguyên hàm của hàm
R \ { 1}

÷
Ta có

trên

1

( x − 1)

là

2

1
−
1
−a − 1


/
F ( x) =

=
2
2
( x − 1)
( x − 1)

Suy ra : - a – 1 = 1

Vậy a = - 2


3. Cho f ( x) =

x+ 1
2x + 1

và F ( x) = ( ax + b) 2. x + 1

Xác định a, b để F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên  − 1 ; +∞ 

 2

GIẢI:

÷


1
F ( x) = a. 2 x + 1 + (ax + b).

2
x
+
1
a(2 x + 1) + ax + b 3ax + a + b
=
=
1

2x +1
2x +1
a=
/

Suy ra :

3a = 1

a + b = 1


3
⇒
b = 2

3


4. Xác định a, b, c sao cho hàm số

F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm
của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R.


1

Hàm số F (x) = 2 x là một nguyên
hàm của hàm số nào sau đây?
a. f1 ( x) = x
b.

f2 ( x) =

1
2x x

c.
d.

f3 ( x) = −

f4 ( x) =

1
4x x

1
4x x

Bài tập:
Tìm F(x) biết

F (x) =

và F(1)=3.
∫ 2xdx

Hướng dẫn:
F(x)=x2+C
Mà F(1)=3 ⇒ 1+C=3⇒C=2
Vậy F(x)=x2+2


II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến
số:
a. Định lý 1: Nếu
và u = u(x) là hàm số có
đạo hàm liên tục thì:
b.Phương pháp:
B1: đặt u = u(x)
B2: tính du = u’(x)dx
B3: tính

∫

∫

∫ f (u )dx = F (u ) + C

f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C
/

f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C
/


VD: Tính các nguyên hàm sau:
1.

(2
x
+
1)
dx
∫
5

B1: Đặt u = 2x+1
B2: du = 2dx
B3:

du
(2
x
+
1)
dx
=
u

.
∫
∫ 2
1
1 6
1
6
5
= ∫ u du = u + C = (2 x + 1) + C
12
2
12
5

5


VD: tính các nguyên hàm sau
2.

x
∫

B1: Đặt
B2:
B3:

x + 5.dx

2

3

u = x +5
3

du = 3x dx
2

du
⇒ x dx =
3
2

du
x
x
+
5.
dx
=
u
.
∫
∫
3
3
1
3
2 3

2
2 2
2
= ∫ u .du = u + C = ( x + 5) 2 + C
9
9
9
2

3


Cách 2 VD: tính các nguyên hàm sau
2.

x
∫

B1: đặt
B2:
B3:

x + 5.dx

2

3

u = x +5
3

⇒u = x +5
2

3

2u.du
2u.du = 3 x dx ⇒ x dx =
3
2

2

2u.du
∫ x x + 5.dx = ∫ u. 3
3
2
2 3
2 3
2
= ∫ u .du = u + C = ( x + 5) 2 + C
3
9
9
2

3


VD: Tính các nguyên hàm sau

sin
x
.cos
x
.
dx
∫
2

3.
B1: đặt
B2:

3

u = sin x
du = cos x.dx

B3:

∫ sin

2

x.(1 − sin x) cos x.dx
2

= ∫ u (1 − u ).du = ∫ (u − u )du
2

3

2

5

2

4

u
u
sin x sin x
=
−
+C =
−
+C
3
5
3
5
3

5