CHUN ĐỀ VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC
Mục tiêu
Kiến thức
+ Trình bày được các tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ.
+ Phát biểu được tích vơ hướng của hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng.
Kĩ năng
+
Chứng minh được các đẳng thức vectơ, biểu diễn được vectơ theo các vectơ khơng trùng
phương với nó.
+ Nắm được phương pháp chứng minh sự cùng phương của hai vectơ, tìm được điều kiện của ba
vectơ đồng phẳng.
+ Tính được góc giữa hai đường thẳng. Vận dụng được tích vơ hướng của hai vectơ để giải các
bài toán.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
A. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Các định nghĩa
a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt
điểm đầu và điểm cuối).
+) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay
a, x, y,...
+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.
+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.
Sự cùng phương của hai vectơ
a
và
cùng
phương
b0
trùng nhau.
k : a k .b
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của
chúng song song hoặc trùng nhau.
a
và
cùng
hướng
b0
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược
k : a k .b
hướng.
a
và
b0
ngược
hướng
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có
k : a k .b
cùng độ dài.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng
k : AB k . AC
nhưng có cùng độ dài.
b) Vectơ – khơng là vectơ có điểm đầu và điểm cuối
c)
d)
e)
f)
Các quy tắc tính tốn với vectơ
g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng)
AB BC AC
Quy tắc ba điểm (mở rộng).
AX 1 X 1 X 2 X 2 X 3 ... X n 1 X n X n B AB .
h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ)
OB OA AB
i) Quy tắc hình bình hành
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB AD AC .
j) Quy tắc hình hộp. Nếu ABCD. ABC D là hình
hộp thì
AC AB AD AA
k) Phép nhân một số k với một vectơ a .
Ta có k a là một vectơ được xác định như sau.
+ cùng hướng với a nếu k 0 .
TOANMATH.com
Trang 2
+ ngược hướng với a nếu k 0 .
+ có độ dài k a k . a
Một số hệ thức vectơ hay dùng
l) Hệ thức về trung điểm của đoạn thẳng
I là trung điểm của đoạn thẳng AB IA IB 0
OA OB 2OI (với O là một điểm bất kỳ).
m) Hệ thức về trọng tâm của tam giác
G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC 0
OA OB OC 3OG (với O là một điểm bất kỳ)
2
AG AM (với M là trung điểm cạnh BC).
3
n) Hệ thức về trọng tâm của tứ diện
G là trọng tâm của tứ diện ABCD
GA GB GC GD 0
OA OB OC OD 4OG (với điểm O bất kỳ)
3
AG AA (với A là trọng tâm của BCD )
4
GM GN 0 (với M, N là trung điểm một cặp cạnh
đối diện).
Sự đồng phẳng của ba vectơ
o) Định nghĩa
Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu
giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.
Hệ quả
Nếu có một mặt phẳng chứa vectơ này đồng
thời song song với giá của hai vectơ kia thì
ba vectơ đó đồng phẳng.
Ứng dụng:
p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng
Trong không gian cho hai vectơ a, b không cùng phương
AB, AC , AD
và vectơ c .
đồng phẳng AB m. AC n. AD
Khi đó, a, b và c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số
m; n sao cho c ma nb (cặp số m; n nêu trên là duy
nhất)
q) Phân tích một vectơ theo ba vectơ khơng đồng
phẳng
Cho ba vectơ a, b và c không đồng phẳng.
Với mọi vectơ x , ta đều tìm được duy nhất một bộ số
TOANMATH.com
Chú ý:
Trang 3
m; n; p sao cho
x m.a n.b p.c
Tích vơ hướng của hai vectơ
a) Nếu a 0 và b 0 thì a.b a . b .cos(a, b)
Bình phương vô hướng của một vectơ:
2 2
a a
b) Nếu a 0 và b 0 thì a.b 0
Một số ứng dụng của tích vơ hướng
a) Nếu a 0 và b 0 ta có a b a.b 0
b) Cơng thức tính cơsin của góc hợp bởi hai
vectơ khác 0 .
a.b
cos a, b
a.b
c) Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng
2
AB AB AB
B. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Nhận xét:
Góc giữa hai vectơ trong không gian
a)
Nếu
a
là vectơ chỉ phương của đường
Định nghĩa: Trong không gian, cho u và v là hai vectơ
thẳng d thì vectơ k a với k 0 cũng là
khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao
vectơ chỉ phương của d.
AB u, AC v .
Khi
đó
ta
gọi b) Một đường thẳng trong khơng gian hồn
cho
tồn xác định nếu biết một điểm A thuộc d
0 BAC
180 là góc giữa hai vectơ u và v
BAC
và một vectơ chỉ phương a của nó.
trong khơng gian, kí hiệu là u , v
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ a khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường
thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với
đường thẳng d.
và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân
biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng
phương.
Chú ý. Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ
phương của đường thẳng a và b.
Đặt u , v .
khi 0 90
a, b
Khi đó
180 khi 90 180
+) Nếu a//b hoặc a b thì
a , b 0 .
+) 0
a, b 90 .
Góc giữa hai đường thẳng
TOANMATH.com
Trang 4
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong khơng gian là góc
giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và Nhận xét
a) Nếu hai đường thẳng a, b lần lượt có các
vectơ
chỉ
phương
u, v
thì
a b u.v 0 .
lần lượt song song với a và b.
a / / b
b)
cb
c a
Hai đường thẳng vng góc
Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vng góc với
nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .
Kí hiệu: Đường thẳng a và b vng góc với nhau kí hiệu
là a b .
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA
a, b
cùng hướng
a b
Vectơ là một đoạn
thẳng có hướng
ab
Định nghĩa
Hai vectơ được gọi là
cùng phương nếu giá
của chúng song song
hoặc trùng nhau.
a, b
ngược hướng
a b
a, b
đối nhau
Một số hệ thức vectơ
trọng tâm
Độ dài của vectơ là
khoảng cách giữa
điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó
AB AB
Vectơ – khơng là vectơ có điểm
đầu và điểm cuối trùng nhau.
VECTƠ
TRONG
KHƠNG
Các phép tốn
vectơ
GIAN
Quy
tắc 3 điểm:
AB BC AC
I là trọng tâm của hệ n điểm
A1 ; A2 ;...; An
IA1 IA2 ... IAn 0
a, b không cùng phương thì a, b và
c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại
cặp số m; n sao cho c ma nb
Phép trừ:
OB OA AB
Sự đồng đẳng
của ba vectơ
Nếu ABCD
là hình
bình
hành thì
AB AD AC
Nếu ABCD. ABC D là hình hộp thì
AC AB AD AA
TOANMATH.com
Trang 5
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Vectơ trong không gian
Bài toán 1. Xác định vectơ và chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải
Vận dụng các kiến thức sau.
Định nghĩa các khái niệm liên quan đến vectơ;
Tính chất hình học của các đa giác đã học;
Các quy tắc tính tốn với vectơ;
Một số hệ thức vectơ hay dùng;
Các tính chất của các hình hình học cụ thể.
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng
AC BD AD BC 2 MN
Hướng dẫn giải
Ta có AC BD AD BC
AC AD BC BD
DC DC (đẳng thức này đúng).
Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD
AM BM 0
nên
NC ND 0
Do đó AD BC AM MN NB BM MN ND
AM BM NB ND 2 MN 2 MN
Vậy AC BD AD BC 2 MN
Ví dụ mẫu
TOANMATH.com
Trang 6
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của
vectơ.
a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ AB, AC , AD, AA .
b) Hãy kể tên các vectơ ln có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ BC .
Hướng dẫn giải
+)
+)
+)
+)
a) Ta có
AB DC AB DC .
AC AC .
AD BC AD BC
AA BB CC DD
b) Từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra các
vectơ ln có độ dài bằng độ dài của vectơ BC là
BC , CB, AD, DA, AD, DA, BC , C B .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Chứng minh SA SC SB SD
2 2 2 2
b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA SC SB SD
Hướng dẫn giải
a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là
trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.
Do đó SA SC 2 SO và SB SD 2 SO
Vậy SA SC SB SD
2
2 2 2
b) Ta có SA SO OA SO OA 2SO.OA ,
2
SC SO OC
2
2 2
SO OC 2 SO.OC .
2 2
2 2 2
Suy ra SA SC 2 SO OA OC 2 SO OA OC
2 2
2 SO OA (vì OA và OC là hai vectơ đối nhau nên OA OC 0 )
2 SO 2 OA2
2 2
Tương tự. SB SD 2 SO 2 OB 2
Mà ABCD là hình chữ nhật nên OA OB
2 2 2 2
Suy ra SA SC SB SD
Bài toán 2. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng
TOANMATH.com
Trang 7
Phương pháp giải
Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng một trong các cách sau.
+ Chứng minh ba vectơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
+ Chứng minh hai vectơ có giá cùng song song với mặt phẳng chứa giá của vectơ còn lại.
+ Biến đổi vectơ để được đẳng thức dạng c m.a n.b
Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
k : AB k . AC
k : k .MA 1 k .MB MC
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho
AM 2 MD, BC 3 NC . Chứng minh ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
MN MA AB BN
Ta có
2
MN
2
MD DC CN
Cộng vế theo vế của hai đẳng thức này ta được 3MN MA 2 MD BN 2CN AB 2 DC
1 2
Do MA 2 MD 0, BN 2CN 0 nên MN AB CD
3
3
Vậy AB, CD, MN đồng phẳng.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC có AA a, AB b, AC c . Hãy phân tích các vectơ
BC , BC qua các vectơ a, b, c .
Hướng dẫn giải
Ta có BC BB BC AA AC AB a b c
BC BC CC AC AB AA a b c
TOANMATH.com
Trang 8
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho
MS 2 MA và NC 2 NB . Chứng minh rằng ba vectơ
AB, MN , SC đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có MS 2MA 0; CN 2 BN 0
MN MS SC CN
Lại có
2MN 2 MA AB BN
Cộng vế theo vế ta được
3MN MS 2MA CN 2 BN SC 2 AB SC 2 AB
Vậy AB, MN , SC đồng phẳng.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho
SA a.SA, SB b.SB, SC c.SC , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng
ABC
đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a b c 3 .
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta suy ra SA a.SA, S B b.SB, SC c.SC
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có SA SB SC 3SG
G ABC SG x.SA y.SB z.SC với x y z 1
3SG 3x.SA 3 y.SB 3z.SC với x y z 1
a.SA b.SB c.SC 3x.SA 3 y.SB 3 z.SC
a 3x .SA b 3 y .SB c 3 z .SC 0
a 3x b 3 y c 3z 0 (do SA, SB, SC không đồng phẳng)
+) Nếu G ABC ta có a 3x b 3 y c 3 z 0 (với x y z 1 ).
Do đó a b c 3
+) Nếu a b c 3 , ta đặt x
x yz
a
b
c
, y , z thì
3
3
3
abc
1 và a 3x b 3 y c 3z 0
3
Do đó G ABC .
TOANMATH.com
Trang 9
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho
MA 2MB, ND 2 NC ; các điểm
I, J, K
lần lượt thuộc
AD, MN , BC
sao cho
IA k .ID, JM k .JN , KB k .KC . Chứng minh rằng các điểm I , J , K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
OA 2OB
Ta có MA 2MB nên với điểm O bất kỳ thì OM
3
Tương tự, ta chỉ ra được
OD 2.OC OA k .OD OB k .OC OM k .ON
ON
, OI
, OK
, OJ
3
1 k
1 k
1 k
1 1
Ta có OJ
. OA 2OB k .OD 2k .OC
1 k 3
1 1
. 1 k OI 2 1 k OK
1 k 3
1 1 2
OI 2OK OI OK
3
3
3
1 2
1 2
Suy ra OI OJ OK OJ 0 JI JK 0 IJ 2 JK
3
3
3
3
Suy ra I , J , K thẳng hàng.
Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Gọi G, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA, CBD .
Chứng minh các điểm A, G, G, C thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Đặt AB a, AD b, AA c
Ta có AC a b c (quy tắc hình hộp).
1 1
Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG AB AD AA a b c
3
3
TOANMATH.com
Trang 10
1 1 2
AG AC AB AD a b a c b c a b c
3
3
3
3
Vậy AC 3 AG AG nên các điểm A, G, G, C thẳng hàng.
2
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho bốn vectơ a, b, c, d bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?
A. a b và c d a c b d
B. a b a b
C. a c b d a d b c
D. a b và c d a d c b
Câu 2: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c . Cho các khẳng định sau.
(1) Nếu các vectơ a, b, c đồng phẳng thì các vectơ a, b, c thuộc một mặt phẳng nào đó.
(2) Nếu các vectơ a, b, c đồng phẳng thì ba vectơ a, b, c cùng phương.
(3) Nếu tồn tại hai số thực m, n sao cho c ma nb thì các vectơ a, b, c đồng phẳng.
(4) Nếu các vectơ a, b, c đồng phẳng thì giá của chúng song song với mặt phẳng nào đó.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
Câu 3: Cho tam giác ABC có diện tích S. Giá trị nào của k thích hợp thỏa mãn
2
1 2 2
S
AB . AC 2k AB. AC ?
2
A. k
1
4
B. k
1
2
C. k
1
2
D. k 1
Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng?
A. AB CD AC DB
B. AC BD AB CD
C. AD BC AB DC
D. BA CD BD CA
Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Từ AB 3 AC ta suy ra BA 3CA .
B. Từ AB 3 AC ta suy ra CB 2 AC .
C. Nếu AB 2 AC 5 AD thì bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
1
D. Nếu AB BC thì B là trung điểm của đoạn AC.
2
Câu 6: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
A. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD .
C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA 0 .
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD .
Câu 7: Cho a 3, b 5 , góc giữa a và b bằng 120 . Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
TOANMATH.com
Trang 11
A. a b 7
B. a b 19
C. a 2b 9
D. a 2b 139
Câu 8: Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới
đây đúng?
1 1 1
2 1 1
A. OM AB AC AD
B. OM AB AC AD
3
3
6
3
3
6
1 1 1
1 1 1
C. OM AB AC AD
D. OM AB AC AD
3
3
6
3
3
6
Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Cho hai vectơ khơng cùng phương a và b . Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có
cặp số m, n là duy nhất.
B. Nếu có ma nb pc 0 và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba vectơ a, b, c đồng phẳng.
C. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.
D. Ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với nhau từng đơi một thì ba tia đó khơng đồng phẳng.
Câu 10: Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OB k BA .
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OB k OB OA .
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM kOA 1 k OB .
D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OA OB .
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Giá trị AB.C A bằng
A. a 2
B. a 2 2
D. a 2
C. a 2 2
Câu 12: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ cùng nằm trong một mặt phẳng.
B. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng thì có c ma nb với m, n là các số duy nhất.
C. Ba vectơ a, b, c không đồng phẳng khi có d ma nb pc với d là vectơ bất kì.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Câu 13: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Vì NM NP 0 nên N là trung điểm của đoạn MP.
B. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI
1
OA OB .
2
C. Từ hệ thức AB 2 AC 8 AD ta suy ra ba vectơ AB, AC , AD đồng phẳng.
D. Vì AB BC CD DA 0 nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 14: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. BA.BC BA2 BC 2 2 AC 2
2
C. BA.BC BA2 BC 2 AC 2
TOANMATH.com
1
B. BA.BC BA2 BC 2 AC 2
2
D. BA.BC BA2 BC 2 2 AC 2
Trang 12
Câu 15: Cho tứ diện SABC. Đặt SA a, SB b, SC c . Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh
BC sao cho NC 3 NB . Phân tích vectơ MN theo ba vectơ a, b và c ta được
1 3 1
A. MN a b c .
2
4
4
1 3 1
C. MN a b c
2
4
4
1 3 1
B. MN a b c
2
4
4
1 3 1
D. MN a b c
2
4
4
Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB a, AC b, AD c . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên
cạnh CD sao cho ND 2 NC . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ AO theo ba
vectơ a, b và c ta có
1 1 1
A. AO a b c
4
3
3
1 1 1
C. AO a b c
4
4
4
1 1 1
B. AO a b c
4
3
6
1 1 1
D. AO a b c
4
6
3
Câu 17: Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức
P MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M là trọng tâm tam giác ABC.
B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. M là trực tâm tam giác ABC.
D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 18: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?
A. AB 2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2 3 GA2 GB 2 GC 2 GD 2
B. AB 2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2 4 GA2 GB 2 GC 2 GD 2
C. AB 2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2 6 GA2 GB 2 GC 2 GD 2
D. AB 2 AC 2 AD 2 BC 2 BD 2 CD 2 2 GA2 GB 2 GC 2 GD 2
Câu 19: Cho lăng trụ ABC. ABC . Đặt a AA, b AB, c AC .
Xét hai mệnh đề
(I) BC a b c
(II) BC a b c
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Khơng có.
D. Cả (I) và (II).
Câu 20: Cho lăng trụ ABC. ABC . Đặt a AA, b AB, c AC . Gọi G là trọng tâm của tam giác
ABC . Vectơ AG bằng
1
1
1
1
A. a 3b c
B. 3a b c
C. a b 3c
D. a b c
3
3
3
3
Câu 21: Cho hình hộp ABCD. ABC D . Biết MA k .MC , NC l.ND . Khi MN song song với BD thì
khẳng định nào sau đây đúng?
A. k l
3
2
TOANMATH.com
B. k l 3
C. k l 4
D. k l 2
Trang 13
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vng. Gọi M
là trung điểm của CD. Giá trị MS .CB bằng
a2
2a 2
D.
3
2
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có SA a, SB b, SC c và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ / / CM . Biểu diễn vectơ PQ theo
ba vectơ a, b, c được kết quả
A.
a2
2
B.
a2
2
2 2 4
A. PQ a b c
3
3
3
2 2 4
C. PQ a b c
3
3
3
C.
1 1 2
B. PQ a b c
3
3
3
1 1 2
D. PQ a b c
3
3
3
Câu 24: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Ba vectơ AB, AC , AD đồng phẳng bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trong một mặt phẳng.
B. ABCD là một tứ diện BC , CD, AC không đồng phẳng.
C. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng chỉ khi giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
D. Ba vectơ a, b, c không đồng phẳng khi và chỉ khi trong ba vectơ đó, vectơ này khơng thể biểu diễn
được theo hai vectơ kia.
Câu 25: Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Giá trị
AG 2 bằng
A. a 2
B.
2a 2
3
C. 3a 2
D.
a2
3
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề
(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SD 4 SO .
(II). Nếu SA SB SC SD 4 SO thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Khơng có.
D. Cả (I) và (II).
C. a 2
D. a 2
Câu 27: Cho tứ diện S.ABC có SA SB SC AB AC a, BC a 2 . Tích vơ hướng giữa SC. AB
bằng
A.
a2
2
B.
a2
2
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề
(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SC SB SD .
(II) Nếu SA SC SB SD thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Khơng có.
D. Cả (I) và (II).
Câu 29: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. xét các vectơ x 2a b, y a b c, z 3b 2c .
Chọn khẳng định đúng?
TOANMATH.com
Trang 14
A. Ba vectơ x, y, z đồng phẳng.
B. Hai vectơ x, a cùng phương.
C. Hai vectơ x, b cùng phương.
D. Ba vectơ x, y, z đôi một cùng phương.
Câu 30: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Các vectơ x a b 2c, y 2a 3b 6c, z a 3b 6c đồng phẳng.
B. Các vectơ x a 2b 4c, y 3a 3b 2c, z 2a 3b 3c đồng phẳng.
C. Các vectơ x a b c, y 2a 3b c, z a 4b đồng phẳng.
D. Các vectơ x a b c, y 2a b 3c, z a 2b 4c đồng phẳng.
Câu 31: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của AB.EG bằng
A. a 2
B. a 2 2
C. a 2 3
D.
a2 2
2
Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AC a 3
B. AD. AB a 2
C. AB.CD 0
D. 2 AB BC CD DA 0
Câu 33: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB, AC . Điểm M thuộc
cạnh BC sao cho MB k MC . Tìm k để bốn điểm A, I , M , K đồng phẳng.
A. k 1
B. k
3
2
C. k
1
2
D. k 3
Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số
SM
SO
sao cho biểu thức P MS 2 MA2 MB 2 MC 2 MD 2 nhỏ nhất bằng
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
4
5
Câu 35: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho
AB 2a, CD 2b, EF 2c . Với M là một điểm tùy ý, tổng MA2 MB 2 bằng
A. 2MF 2 2b 2
B. 2ME 2 2a 2
C. 2MF 2 2a 2
D. 2ME 2 2b 2
Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn MS 2 MA; NB k NC . Tìm k để ba
vectơ AB, MN , SC đồng phẳng.
A. k 2
B. k
1
2
C. k 2
D. k
1
2
Câu 37: Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho
AQ
BC 4 BM , AC 3 AP, BD 2 BN . Mặt phẳng MNP cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số
.
AD
A.
AQ 5
AD 2
TOANMATH.com
B.
AQ 3
AD 5
C.
AQ 2
AD 5
D.
AQ 5
AD 3
Trang 15
Câu 38: Trong không gian xét m, n, p, q là các vectơ có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhát của biểu thức
2 2 2 2 2 2
S m n m p m q n p n q p q là
A. 16.
B. 6.
C. 25.
D. 8.
Dạng 2. Hai đường thẳng vng góc
Bài tốn 1. Tính góc giữa hai đường thẳng (chứng minh hai đường thẳng vng góc trong hình lăng
trụ và hình hộp)
Phương pháp giải
Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng d1
Ví dụ. Cho hình lăng trụ đứng tam giác
ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân,
và d 2 ta có thể thực hiện tính thơng qua góc
120
AB AC a, BAC
và
cạnh
bên
giữa hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
AA a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và
u.v
BC.
+) cos d1 , d 2 cos u , v
u.v
Hướng dẫn giải
+) Định lí cơsin trong tam giác
Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vng
góc với nhau, ta thường chứng minh AB.CD 0 .
Bước 1. Sử dụng tính chất sau:
d1 , d 2
d1 , d 2 d1 , d3
d 2 / / d3
Bước 2. Áp dụng định lí cơsin trong tam giác để
Ta có BC / / BC
AB, BC
AB, BC
xác định góc.
Xét ABC có AB AC AB 2 BB2 a 3
Áp dụng định lý cosin cho ABC , ta có
BC 2 AB 2 AC 2 2. AB. AC.cos BAC
a 2 a 2 2.a.a.cos120 3a 2
BC BC a 3
Suy ra ABC đều, do đó
AB, BC
AB, BC
ABC 60
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính góc giữa 2 đường thẳng
a) AB và BC
b) AC và BC
c) AC và BC
TOANMATH.com
Trang 16
Hướng dẫn giải
a) Ta có AB / / AB mà
AB, BC 90 nên
AB, BC 90
b) Vì tứ giác ABCD là hình vng nên
AC , BC 45 .
Ta có BC / / BC nên
AC , BC 45
c) Ta có AC / / AC và ACB là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình
vng bằng nhau. Do đó
AC , BC
AC , BC 60 .
BA B
BC 60 .
Ví dụ 2. Cho hình hộp thoi ABCD. ABC D có tất cả các cạnh bằng a và
ABC B
Chứng minh tứ giác ABCD là hình vng.
Hướng dẫn giải
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành (tính chất hình hộp).
BC 60 nên BBC đều. Suy ra BC a .
Do B
Do đó CD BC a nên ABCD là hình thoi.
a2 a2
0.
Ta có CB.CD CB BB .BA CB.BA BB.BA
2 2
Suy ra CB CD . Vậy tứ giác ABCD là hình vng.
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD. ABC D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, DAA, AAB
đều bằng 60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA, CD . Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng MN
và BC , tính giá trị của cos .
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 17
AD / / BC
với P là trung điểm của DC .
Ta có
MN / / AP
P
Suy ra
MN , BC
AP, AD DA
Vì BA
D DAA
AAB 60 và các cạnh của hình hộp bằng a.
Do đó AD a, C D C A a 3 .
Suy ra AP
AD 2 AC 2 DC 2
5a
AP
.
2
4
2
Áp dụng định lý cosin cho tam giác ADP , ta có
cos
AD 2 AP 2 DP 2 3 5
2 AD. AP
10
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Trên các cạnh CD và BB ta lần lượt lấy
các điểm M và N sao cho DM BN x với 0 x a . Chứng minh rằng AC MN .
Hướng dẫn giải
Ta đặt AA a, AB b, AD c . Ta có a b c a
AC AA AB AD hay AC a b c
Mặt khác
x
x
MN AN AM AB BN AD DM với BN .a và DM .b
a
a
x x x
x
Do đó MN b a c b a a b c
a
a a
a
x
x
Ta có AC .MN a b c a a b c
a
a
Vì a.b 0, a.c 0, b.c 0 nên ta có
TOANMATH.com
Trang 18
x 2 x 2 2
x
AC .MN a 1 b c x.a 1 a 2 a 2 0
a
a
a
Vậy AC MN .
Bài tốn 2. Tính góc giữa hai đường thẳng (hai đường thẳng vng góc) trong hình chóp
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a và BC a 2 .
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Hướng dẫn giải
SC. AB
Ta có cos SC ; AB
SC . AB
SA AC . AB SA. AB AC. AB
a.a
SC . AB
Vì BC 2 2a 2 a 2 a 2 AC 2 AB 2
Nên ABC vng tại A.
Do đó AB. AC 0
Mặt khác tam giác SAB đều nên SA; AB 120 .
a2
Do đó ta có SA. AB SA. AB.cos120 .
2
a2
1
Vậy cos SC ; AB 22 .
a
2
Do đó SC ; AB 120
SC ; AB 180 120 60
Suy ra góc
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải
Đặt AB a, AC b, AD c .
Ta có CD AD AC c b
a. c b
AB.CD
cos AB, CD
AB . CD
a . c b
a.a. 1 a.a. 1
a.c a.b
2
2 0
2
a.a
a
Vậy AB, CD 90
TOANMATH.com
Trang 19
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB AC và AB BD . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và
CD. Chứng minh rằng AB PQ .
Hướng dẫn giải
Vì AB AC và AB BD nên AC. AB 0; BD. AB 0 .
Ta có PQ PA AC CQ và PQ PB BD DQ
Do đó 2 PQ AC BD 2 PQ. AB AC BD . AB AC. AB BD. AB 0
Hay PQ. AB 0 .
Vậy AB PQ .
Ví dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB
và DM.
Hướng dẫn giải
Gọi N là trung điểm AC thì MN / / AB .
Suy ra
AB, DM
MN , DM .
Ta có cos DMN
MN 2 DM 2 DN 2
2.MN .DM
2
2
2
a a 3 a 3
2 2 2
3
6
a a 3
2. .
2 2
arccos 3 .
Suy ra DMN
6
3
.
Vậy
AB, DM arccos
6
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau từng đôi một,
AC BD a, AB CD 2a, AD BC a 6 .
Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 20
AD. AB.cos BAD
AD.BC AD. AC AB AD. AC AD. AB AD. AC.cos CAD
AC 2 AD 2 CD 2
AB 2 AD 2 BD 2
AD. AC.
AD. AB.
2. AC. AD
2. AB. AD
a 6.a.
a2 a 6
2
2a
2
2.a.a 6
a 6.2a.
2a
2
a 6
2
a2
2.2a.a 6
3a 2
AD.BC
3a 2
1
AD, BC 120
Suy ra cos AD, BC
AD.BC a 6.a 6
2
AD; BC 60 .
Vậy
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, cạnh
AB 2a, AD DC a; SA AB, SA AD và SA
2a 3
.
3
a) Tính góc giữa đường thẳng SB và DC.
b) Gọi là góc giữa SD và BC. Tính cos .
Hướng dẫn giải
a) Vì DC / / AB
SB, DC
SB, AB SBA
90 ).
(vì SAB vng tại A nên SBA
2a 3
SA
3
30
Xét SAB vuông tại A, ta có tan SBA
3
SBA
AB
2a
3
30 .
SB, DC SBA
Vậy
b) Gọi E là trung điểm của AB.
Khi đó, BCDE là hình bình hành nên DE / / BC
SD, BC
SD, DE
7
2
4a 2
7a 2
2
2
2
a2
SE SD a
SE SD SA AD
Ta có
3
3
3
DE 2 2a 2
DE a 2
Áp dụng định lí cosin trong tam giác SDE, ta được
TOANMATH.com
Trang 21
cos SDE
SD 2 DE 2 SE 2
2 SD.DE
2a 2
42
90
0 SDE
14
7
2.a
.a 2
3
cos cos SDE
42 .
Vậy
SD, BC
SD, DE SDE
14
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có CD
EF
4
AB . Gọi G, E , F lần lượt là trung điểm của BC , AC , DB , biết
3
5
AB . Tính góc giữa CD và AB.
6
Hướng dẫn giải
Gọi G là trung điểm của BC.
Đặt AB a . Ta có GE
GF
AB a
.
2
2
CD 2
2a
5
5a
.
; EF AB
AB
2
3
3
6
6
Từ đó GE 2 GF 2
a 2 4a 2 25a 2
EF 2
4
9
36
GEF vng tại G.
90 .
Vì GE / / AB, GF / /CD nên
AB, CD
GE , GF EGF
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a; SA vng góc với đáy
và SA a 3 . Tính cơsin góc giữa SB và AC.
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của SD
OI là đường trung bình của SBD . Suy ra
OI / / SB
SB
OI
2
SA2 AB 2
3a 2 a 2
a
2
2
Vì OI / / SB
SB, AC
OI , AC
AOI
Ta có AI
SD
2
SA2 AD 2
3a 2 a 2
a
2
2
AI OI AOI cân tại I.
Gọi H là trung điểm của OA IH OA và OH
OH
Xét OHI có cos HOI
OI
OA AC a 2
2
4
4
a 2
4 2
a
4
2.
Vậy cos
SB, AC cos HOI
4
TOANMATH.com
Trang 22
Ví dụ 9. Cho hình chóp tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc và OA OB a, OC 2a . Gọi
M là trung điểm của BC. Tính cơsin góc giữa hai đường thẳng AB và OM.
Hướng dẫn giải
AB a 2, BC a 5
Ta có
BC a 5
OM
2
2
1 1
AB.OM OB OA . OB OC OB 2 OB.OC OA.OB OA.OC
2
2
1 2
a2
a
0
0
0
2.
2
a2
10
2
AB, OM cos AB, OM
.
Vậy cos
AB.OM
10
a 5
a 2.
2
AB.OM
BAD
60, CAD
90 . Gọi M là trung điểm
Ví dụ 10. Cho tứ diện ABCD có AB AD a và BAC
của cạnh CD. Tính độ dài cạnh AC để cơsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng
1
.
3
Hướng dẫn giải
Gọi N là trung điểm của AD. Ta có
BM , AC
BM , MN
Đặt AC 2 x MN x 0
TOANMATH.com
Trang 23
Theo bài ra ta có tam giác ABD đều cạnh a nên BD a, BN
a 3
.
2
Tam giác ACD vuông tại A nên DC 2 AD 2 AC 2 a 2 4 x 2
Xét tam giác ABC ta có BC 2 a 2 4 x 2 2ax
Do đó BM 2
a 2 a 2 4 x 2 2ax a 2 4 x 2 3a 2 4 x 2 4ax
2
4
4
3a 2 4 x 2 4ax
3a 2
2
x
2
2
2
4
4
BM MN BN
Ta tính cos BMN
2 BM .MN
3a 2 4 x 2 4ax
2.
.x
2
8 x 2 4ax
4 x. 3a 2 4 x 2 4ax
2x a
3a 2 4 x 2 4ax
Theo giả thiết ta có
cos
2x a
3a 2 4 x 2 4ax
x 0
1
8 x 2 8ax 0
3
x a
Do x 0 nên x a AC 2 x 2a
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vng góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng vng góc với một đường thẳng thì vng góc với nhau.
C. Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng vng góc với nhau thì song song với
đường thẳng cịn lại.
D. Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì vng góc với đường
thẳng cịn lại.
Câu 2: Cho hai đường thẳng a, b lần lượt có vectơ chỉ phương u, v . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu a b thì u.v 0
B. Nếu u.v 0 thì a b
u.v
u.v
D. cos a, b
C. cos a, b
u.v
u.v
Câu 3: Cho ba đường thẳng a, b, c . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu a / / b thì
a, c
c, b
B. Nếu c / / b thì
a, b
a, c
C. Nếu a / / c thì
a , c 0
D. Nếu a b thì
a, c
c, b
Câu 4: Cho ba đường thẳng a, b, c . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu a b và b c thì a / / b
B. Nếu a b và b c thì a c
C. Nếu a c và b c thì a b
D. Nếu a / / b và c b thì c a
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vectơ AB và DH là
A. 45
TOANMATH.com
B. 90
C. 120
D. 60
Trang 24
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Chọn khẳng định sai?
A. Góc giữa AC và BD bằng 90
B. Góc giữa BD và AA bằng 60
C. Góc giữa AD và BC bằng 45
D. Góc giữa BD và AC bằng 90
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vectơ AB và EG bằng
A. 90
B. 60
C. 45
D. 120
Câu 8: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa
AO và CD bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 30
C. 90
D. 60
Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos AB, DM bằng.
A.
2
2
B.
3
6
C.
1
2
3
2
D.
Câu 10: Cho hình hộp ABCD. ABC D có tất cả các mặt là hình thoi và các góc đỉnh A bằng 60 . Góc
giữa hai đường thẳng BD và AC bằng
A. 90
B. 30
Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AC
C. 45
D. 60
3
DAB
60, CD AD . Gọi là góc giữa AB và CD.
AD, CAB
2
Chọn khẳng định đúng.
A. cos
3
4
B. 60
C. 30
D. cos
1
4
Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. SA SC
B. SA SB
C. SA SD
D. SA CD
A. 60
B. 45
C. 120
D. 90
BAD
60 . Góc giữa cặp vectơ AB và CD
Câu 13: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC
bằng
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là điểm bất kỳ trên
đường thẳng AC. Số đo góc giữa hai đường thẳng BD, SM bằng
A. 90
B. 120
C. 60
D. 45
BAD
60, CAD
90 . Gọi I và J lần lượt là
Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC
trung điểm của AB và CD. Góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng
A. 120
B. 90
C. 60
D. 45
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Số đo giữa hai đường thẳng
BC và SA bằng
A. 45
B. 120
C. 90
D. 60
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA 3a và vng góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm cạnh SB. Cơsin góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng
A.
5
16
B.
11
16
C.
5
8
3
8
D.
SAB
. Khi đó góc
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có AB AC và SAC
SA, BC bằng
TOANMATH.com
Trang 25