Bài giảng Hai đường thẳng vuông góc

Kiểm tra kiến thức cũ:
1) Tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:
uuuu
r uuur r
a)Vì NM  NP  0 nên N là trung điểm của đoạn MP

b)Vì I là trung điểm của đoạn AB,nên từ điểm 0
uur 1 uuu
r uur
bất kì ta có: 0I  (0A  0B)
uuu
r 2 uuur uuur
c)Từuu
hệ
u
r uthức
uuu
r uuurAB  2AC  8AD ta suy ra 3 véc tơ
sau AB, AC,AD đồng phẳng.
uuu
r uuu
r uuur uuur r
d)
d) Vì AB  BC  CD  DA  0 nên 4 điểm A,B,C,D
cùng thuộc một mặt phẳng.


Kiểm tra kiến thức cũ:
2)Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tính tích

r uuu

r
uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
vô hướng của 2 véc tơ sau: AB.AC ; AC.CB ; GA.BC

Lờiuugiải:
u
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur
a) AB.AC  AB AC COS(AB, AC)

1
 a.ac
. os60  a2
2
uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uuu
r
0

B
b) AC.CB  AC CB COS(AC, CB)
Để giải bài toán trên.
1 2
0

 axác định
 a.hãy
ac
. os120
Một em
nhắc lạicách
2urvà
uuu
r uuu
r
uGóc
uu
r uugiữa
u
r
uuu
r utơ
u
2 véc
c) GA.BC  GA BC COS(GA, BC)
Cơng thức: tích vơ hướng của 2 véc tơ

2a 3
0

ac
. os90  0
3 2

A

G
C


Ơn tập kiến thức: Tích vơ hướng của 2 véc tơ
r
1.
Góc giữa 2 véc tơ:
r
b
r r
r
r
a
A
0
0
(a, b)  A0B (0  (a, b)  180 )
2. Tích vơ hướng của 2 véc tơ:
rr r r
r r
r r
r
0
a.b  a b cos(a, b)
(a, b  0)
rr
r r
r r

Nếu:r a  r0 hay br r
0 Thì ta quy ước a.b 0

*u
au

b

a
.
b

0
r rr r2
2
* a  a.a  a

rr rr
3.Tính chất: 1) a.b  b.a
r r r
rr rr
2) a.(b  c)  a.b  a.c
r r r
r
rr
3) (k.a).b  a.(kb)  k(a.b)

B

*

Cho hình lập phương (hình bên)

Cặp đường thẳng
nào khơng
vng góc với
nhau?
a) AC &
b) AB &
c) AC &
d) AC’ &

BD
B’C’
B’C’.
BD

B

C

D

A

C'

B'

A'

D'

Cơ sở nào biết được?
Đó chính là nội dung bài
học hơm nay.


§2.Hai đường thẳng vng góc
I.TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

1. Góc giữa hai véc tơ trong không gian:

r r

(u, v)  A0B

r
r
0
0
(0  (u, v)  180 )

0

2. Tích vơ hướng của hai
véc tơ trong khơng gian:

r rr r

rr r r
r r
uv
.  u v cos(u, v) (u  0,v  0)

Nếu:

r r
r r
rr
. 0
u  0 hay v  0 Thì ta quy ước uv

r
u

A
B

r
v


Ví dụ1: Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm AB.
Hãy tính góc giữa các cặp véc tơ sau:
A
uuu
r uuu
r
a) AB & BC

uuur uuur
b) CH & AC

H

Lời giải:

B

D

Với tứ diện đều, ta có:

uuu
r uuu
r
a) (AB, BC)  1200
uuur uuur
b) (CH, AC)  1500

C

B’

A’


Ví dụ2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đơi
một vng góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M
uuulà

u
r trung
uuu
r
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa 2 véc tơ OM & BC
Lời giải: Ta có:
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r

uuuu
r uuu
r
OM.BC
OM.BC
cos(OM, BC)  uuuur uuur 
OM . BC
2

C

. 2

2
uuuu
r uuu
r 1 uuur uuur uuur uuur

Mặt :(OM.BC)  (OA  OB).(OC  OB)
2uuu
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
r uuu
r uuur uuu
r2
1
 (OA.OC  OA.OB  OB.OC  OB )
2



A

O

B

M

Vì OA,
OB,
OC
đơi
một
vng
góc
và
OB
=
1
nên:
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur
uuu
r2
OA.OC  OA.OB  OB.OC  0 & OB  1
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
1
Do đó: COS(OM, BC)  
Vậy: (OM, BC)  1200

2


Ví dụ 3:Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’
uuu
r uuur uuur
uuuu
r uu
ur
a)Hãy phân tích
uu
r tơ:
uuurAB, AD, AA '
uuuu
rvéc
uuur tơ AC '& BD theo 3uuvéc
b)Tính: COS(AC ', BD) & từ đó suy ra AC '  BD .
B
C
Lời giải: uuuur uuur uuur uuur
a) Ta có: AC
AB
AD
uuur'  u
uur  u
uu
r  AA '
và BD  AD  AB

D

A

b) Ta có:

uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
AC '.BD
AC '.BD
COS(AC ', BD)  uuuu
r uuur 
AC ' . BD a 3.a 2

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Mà: AC '.BD  (AB  AD  AA ')(AD  AB)
uuu
r uuur uuu
r 2 uuur 2 uuu
r uuur uuur uuurA' uuur uuu
r
 AB.AD - AB  AD  AB.AD  AA '.AD  AA '.AB
uuur uuur uuur uuu
r
uuu
r 2 uuur 2

Mặt khác: AA'.AD=AA'.AB=0 & AB =AD =1
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
Vậy COS(AC ', BD)  0
(AC ', BD)  900



C'

B'

D'



uuuu
r uuur
AC '  BD


*

r
b

r
a

r
0

r
c

d

II.VÉC TƠ CHỈ
CỦA ĐƯỜNG THẲNG
r PHƯƠNG
r

Véc tơ nào là véc tơ
*ĐN:chỉ a
,được
gọi
là
véc
tơ
chỉ

0
phương của
phương
của
đường
rthẳng
đường
(d) ?thẳng (d) nếu giá

của véc tơ a song song hoặc trùng với
đường thẳng (d).


III.Góc giữa hai đường thẳng
a

b’

b

0
a’

Vậy góc giữa
2 đường
ĐN: Góc
giữa 2 đường thẳng a & b trong k0 gian
là góc
giữa trong
2 đường thẳng a’ & b’ cùng đi qua 1
thẳng
điểmkhông
và lần lượt
giansong song với a & b.
r xác
r
đượcu
Chú ý: Nếu , v là các véc tơ chỉ phương

định
thế thẳng a, b
củanhư
các rđường
r
r
r
0
0
nào?
(u, v)
khi 0  (u, v)  90

Thì: (a, b)  

r r
r r
0
0
180  (u, v); khi 90  (u, v)  180
0


Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AB và B’C’ ; b) AC và B’C’ ; c) A’C’ và B’C.
Lời giải:
a) Góc giữa 2 đường thẳng:
AB và B’C’ là: 900
b) Góc giữa 2 đường thẳng:

AC và B’C’ là: 450
c) Góc giữa 2 đường thẳng:
A’C’ và B’C là: 600

B

C

D

A

C'

B'

A'

D'


Ví dụ5:Cho h.chóp S.ABC có SA =SB =SC =AB =AC =a
& BC = a 2.Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và SC
S
uur uuur uuu
r
uur uuu
r
Lời giải: uur uuur
(SA  AC).AB

SC.AB
Ta có: cos(SC, AB)  uur uuur 
a.a
SC . AB
uur uuu
r uuur uuu
r
uur uuu
r SA.AB  AC.AB
cos(SC, AB) 
a2
2
2
2
2
2
auu
2)

a

a
Vì: BC2uuur(u
 AC  AB
r

B

A

*Nên AC.AB  0
uur uuu
r
0
(S
A
,
AB
)

120
Tam giác SAB đều nên
2

a 2
C

uur uuu
r
a
0
. . os120  
*và do đó SA.AB  aac
2
2
a
uur uuu
r
uur uuu
r 

1
0
2
(
SC
,
AB
)

120
Do
đó:
Vậy: cos(SC, AB)  2  
a
2
Ta suy ra góc giữa 2 đường thẳng AB & SC =1800 -1200 =600.


*
*

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

0
1.ĐN: a  b  (a, b)r 90
r

2. Nhận xét: * Nếu u, v lần lượt là véc tơ chỉ phương
rr
. 0

của 2 đường thẳng a, b thì:a  b  uv
* a // b , nếu c  a thì c  b.
*a  b  Có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Nếu góc giữa 2 đường thẳng bằng 900
thì 2 đường thẳng đó
như thế nào?


Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB BD.
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và CD.
CMR: AB và PQ là 2 đường thẳng vng góc với nhau.
uuur uuu
r uuur uuur
A
Lời giải: Ta có: PQ  PA  AC  CQ
uuur uuu
r uuur uuur
Muốn
CM
2 BD  DQ
và: PQ
 PB
uuur uuur uuur
đường
thẳng
 2PQ
 AC  BD
P
uuur uuu

r uuur uuur uuu
r
góc
ta
2PQ.AB
 (AC
 BD).AB
Vậy:vng
uuur uuu
r uuur uuu
r
B
c

AC
.
AB

BD
.
AB
làm
ntn
u
uur uu
u
r ?

hay : PQ.AB  0
Tức là: AB  PQ

Q

D


Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy nêu
các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương
đã cho và vng góc với:
D
A
a)Đường thẳng AB
b) Đường thẳng AC
B
C
Lời giải:
a) Các đường thẳng đi qua 2
đình hlp và vng với AB là:
BC, AD, B’C’, A’D’, AA’,BB’
CC’, DD’, AD’,A’D, BC’, B’C

D'

A'

b) Các đường thẳng đi qua 2
đình hlp và vng với AC là:
AA’,BB’ CC’, DD’, BD, B’D’, B’D, BD’.

C'

B'


Củng cố:
1) Cách xác định & tính góc giữa 2 véc tơ và góc giữa 2
đường thẳng trong khơng gian.
2) Biết dùng tích vơ hướng để giải tốn:
rr

rr r r
r r
*uv
.  u v cos(u, v)

r r
rr
*u  v  uv
. 0

rr
uv
.
*cos(u, v)  r r
u. v

3) Góc giữa 2 đường thẳng (a, b) = (a’, b’)

r r
r
r

(u, v)
khi 00  (u, v)  900
(a, b)  
r r
r r
0
0
0
180  (u, v); khi 90  (u, v)  180
4)

a  b  (a, b)  90

0

hay

rr
a  b  uv
. 0

Bài tập về nhà: 1, 2,3,4,5,6,7,8,trang 97 SGK