Chương III - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Kiểm tra kiến thức cũ:
1) Tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:
  
a)Vì NM  NP 0 nên N là trung điểm của đoạn MP

b)Vì I là trung điểm của đoạn AB,nên từ điểm 0

1 
bất kì ta có: 0 I  (0 A  0 B )
2


c)Từ hệ
  thức AB 2 AC  8 AD ta suy ra 3 véc tơ
sau AB, AC, AD đồng phẳng.
    
d)
d) Vì AB  BC  CD  DA 0 nên 4 điểm A,B,C,D
cùng thuộc một mặt phẳng


Kiểm tra kiến thức cũ:
2)Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tính tích



 
vơ hướng của 2 véc tơ sau: AB. AC ; AC.CB ; GA.BC

Lời giải:

 
 
a) AB. AC  AB AC COS( AB, AC)

1
a.a.cos60  a 2
2
 
 

A

0


b) AC.CB  AC CB COS( AC, CB )

G
B

Để giải bài toán trên.
1 2
0
a.hãy
a.cos120
Một em
nhắc lại
cách axác định

2 và

 Góc

  2 véc tơ
giữa
c) GA.BC  GA BC COS( GA, BC)
Cơng thức: tích vơ hướng của 2 véc tơ

2a 3
0

a.cos90 0
3 2

C


Ơn tập kiến thức: Tích vơ hướng của 2 véc tơ

1.
Góc giữa 2 véc tơ:

b



a
A
0
0
(a, b) A0 B (0 (a, b) 180 )

2. Tích vơ hướng của 2 véc tơ:
  


 0
a.b  a b cos(a, b)
(a, b  0)

 
 
Nếu:a 
0 hay b 
0
 Thì ta quy ước a.b 0

* a  b  a.b 0



2
2
* a a.a  a

 
3.Tính chất: 1) a.b b.a
  
 
2) a.( b  c ) a.b  a.c
   


3) (k.a).b a.( kb) k ( a.b)

B


*

Cho hình lập phương (hình bên)

Cặp đường thẳng
nào khơng
vng góc với
nhau?
a) AC &
b) AB &
c) AC &
d) AC’ &

BD
B’C’
B’C’.
BD

B

C

D

A

C'

B'

A'

D'

Cơ sở nào biết được?
Đó chính là nội dung bài
học hơm nay.


§2.Hai đường thẳng vng góc
I.TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

1. Góc giữa hai véc tơ trong khơng gian:



(u, v) A0 B



0
0
(0 (u, v) 180 )

0

2. Tích vô hướng của hai
véc tơ trong không gian:

  
  

u.v  u v cos(u, v) (u 0,v 0)
Nếu:

 
 
u 0 hay v 0


Thì ta quy ước u.v 0


u

A
B


v


Ví dụ1:Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm AB.
Hãy tính góc giữa các cặp véc tơ sau:
A



a) AB & BC


b) CH & AC

H

Lời giải:

B

D

Với tứ diện đều, ta có:

 
a) ( AB, BC ) 120 0
 
b) (CH , AC) 150 0

C

B’

A’


Ví dụ2:Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đơi

một vng góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M
 là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa 2 véc tơ OM & BC
Lời giải: Ta có:
 
 


OM
.BC
OM .BC


cos(OM, BC) 

OM . BC
2

C

. 2

2
 
1    
Mặt :(OM .BC)  (OA  OB ).(OC  OB )
2







2
1
 (OA.OC  OA.OB  OB.OC  OB )
2



A

O

B

M

Vì OA,
OB,
OC
đơi
một
vng
góc
và
OB
=
1
nên:

     

2
OA.OC OA.OB OB.OC 0 & OB 1
 
 
1
Do đó: COS(OM , BC) 
Vậy: (OM , BC) 120 0
2


Ví dụ 3:Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’   


a)Hãy phân tích
 tơ: AB, AD, AA '
  véc tơ AC ' & BD theo 3 véc
b)Tính: COS( AC ', BD) & từ đó suy ra AC '  BD .
B
C
Lời giải:    
a) Ta có: AC
 '   AB
  AD  AA '
và BD  AD  AB

D

A

b) Ta có:

 
 

AC'.BD
AC '.BD

COS( AC ', BD) 

AC ' . BD a 3.a 2

 
    
Mà: AC '.BD ( AB  AD  AA ')( AD  AB )
A'
  
 2   2  
 AB.AD - AB  AD  AB.AD  AA '.AD  AA '.AB
   
 
2
2
Mặt khác: AA '. AD= AA '. AB =0 & AB = AD =1
 
 
Vậy COS( AC ', BD) 0
( AC ', BD) 90 0



C'

B'

D'






AC '  BD


*


a

b


0


c

d

II.VÉC TƠ CHỈ
CỦA ĐƯỜNG THẲNG
 PHƯƠNG


Véc tơ nào là véc tơ
*ĐN:chỉ aphương
gọi
là
véc
tơ
chỉ
0 ,được
của
phương
của
đường
thẳng
đường
(d) ?thẳng (d) nếu giá

của véc tơ a song song hoặc trùng với
đường thẳng (d).


III.Góc giữa hai đường thẳng
a

b’

b

0
a’

Vậy góc giữa
2 đường
ĐN: Góc
giữa 2 đường thẳng a & b trong k0 gian
là góc
giữa trong
2 đường thẳng a’ & b’ cùng đi qua 1
thẳng
điểmkhông
và lần lượt
giansong song với a & b.

đượcuxác
Chú ý: Nếu , v là các véc tơ chỉ phương
định
thế thẳng a, b
củanhư
các đường



0
0

nào?
 (u, v)
khi 0 (u, v) 90

Thì: (a, b) 



0
0
 180  (u, v); khi 90  (u, v) 180
0


Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AB và B’C’ ; b) AC và B’C’ ; c) A’C’ và B’C.
Lời giải:
a) Góc giữa 2 đường thẳng:
AB và B’C’ là: 900
b) Góc giữa 2 đường thẳng:
AC và B’C’ là: 450
c) Góc giữa 2 đường thẳng:
A’C’ và B’C là: 600

B

C

D

A

C'

B'

A'

D'


Ví dụ5:Cho h.chóp S.ABC có SA =SB =SC =AB =AC =a
& BC = a 2.Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và SC
S
  
 
Lời giải:  
( SA  AC ).AB
SC
.
AB

Ta có: cos( SC, AB )   
a.a
SC . AB
   

SA. AB  AC.AB
cos( SC, AB ) 

a2
2
2
2
2
2
(
a
2)

a

a
Vì: BC 2 
 AC  AB


B

A

*Nên AC.AB 0
 
0
(S
A
,
AB
)


120
Tam giác SAB đều nên
2

a 2
C

 
a
0
*và do đó SA. AB a.a.cos120 
2
2
a

 
 
1
0
2
(
SC
,
AB
)

120
Do
đó:
Vậy: cos( SC, AB )  2 

a
2

Ta suy ra góc giữa 2 đường thẳng AB & SC =1800 -1200 =600.


*
*

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

0
1.ĐN: a  b  (a, b)90


2. Nhận xét: * Nếu u, v lần lượt là véc tơ chỉ phương

của 2 đường thẳng a, b thì:a  b  u.v 0
* a // b , nếu c  a thì c  b.
*a  b  Có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Nếu góc giữa 2 đường thẳng bằng 900
thì 2 đường thẳng đó
như thế nào?


Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD.
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và CD.
CMR: AB và PQ là 2 đường thẳng vng góc với nhau.
   

A
Lời giải: Ta có: PQ PA  AC  CQ
   
Muốn
CM
2
và : PQ

PB
    BD  DQ
đường
thẳng
 2PQ
 AC  BD
P
   
góc
2 PQ. AB

( AC
Vậy:vng
ta  BD
 ). AB
B
c

AC
.
AB


BD
.
AB
làm
 ntn?

hay : PQ.AB 0
Tức là: AB  PQ

Q

D


Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy nêu
các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương
đã cho và vng góc với:
D
A
a)Đường thẳng AB
b) Đường thẳng AC
B
C
Lời giải:
a) Các đường thẳng đi qua 2
đình hlp và vng với AB là:
BC, AD, B’C’, A’D’, AA’,BB’
CC’, DD’, AD’,A’D, BC’, B’C

D'

A'

b) Các đường thẳng đi qua 2
đình hlp và vng với AC là:
AA’,BB’ CC’, DD’, BD, B’D’, B’D, BD’.

C'
B'


Củng cố:
1) Cách xác định & tính góc giữa 2 véc tơ và góc giữa 2
đường thẳng trong khơng gian.
2) Biết dùng tích vơ hướng để giải tốn:


  

*u.v  u v cos(u, v)

  
*u  v  u.v 0


u.v
*cos(u, v)   
u.v

3) Góc giữa 2 đường thẳng (a, b) = (a’, b’)




 (u, v)
khi 0 0 (u, v) 90 0
(a, b) 


0
0
0
 180  (u, v); khi 90  (u, v) 180
4)

a  b  (a, b) 90

0

hay


a  b  u.v 0

Bài tập về nhà: 1, 2,3,4,5,6,7,8,trang 97 SGK