Trắc nghiệm Toán 10 CHUYÊN đề CHƯƠNG IV kết nối tri thức

CHƯƠNG IV. VECTƠ
BÀI 7. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
NHẬN BIẾT:
Câu 1.
Cho hình
bình hành ABCD. Mệnh đề nào đúng?
uuur uuur
AB, BC cùng phương.
A. Hai vectơ u
uu
r uuur
AB
, CD cùng hướng.
C. Hai vectơ

uuu
r uuur
AB
B. Hai vectơ uuur, CD
cùng phương.
uuur
D. Hai vectơ AB, DC ngược hướng.

Vectơ có điểm đầu D điểm cuối C được kí hiệu như thế nào là đúng?

Câu 2.

A. DC.

B. CD.

C.

uuur
DC .

r

uuur
D. DC.

uuur

Cho hình bình hành ABCD, tâm I . Số các vectơ khác 0 cùng hướng với vectơ AC từ các
điểm đã cho là
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
Câu 4.
Chọn khẳng định đúng.
A. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.
B. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.
C. Hai vectơ cùng phương thì có giá song song với nhau.
D. Hai vectơ cùng hướng thì có giá song song nhau.
Câu 5.
Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu (khác vectơ - khơng) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
A. 2.
B. 3.
C. 4.

D. 6.
Câu 6.
Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng; P nằm giữa M và N. Cặp vectơ nào sau đây ngược hướng
với nhau?
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuur uuur
uuuur uuur
Câu 3.

A. MN , NP.

Câu 7.

uuu
r
OA
.
A.

B. MN , MP.

, PN .
C. MP
uuur

D. NM , NP.

Cho hình vng ABCD
tâm O. Vectơ bằng uDO
bằng vectơ nào sau uđây?
uuur
uur
uur
B. OC.

C. BO.

D. OB. uuur
r
OB là
Câu 8.
Cho hình bình hành
ABCD tâm O. Các vectơ
khác 0 ngược hướng với
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. BD, OD.
B. BD, OD, BO.
C. DB, DO.
D. BD, BO.
Chọn khẳng định đúng.
A. Hai vectơ cùng phương thì bằng nhau.
B. Hai vectơ ngược hướng thì có độ dài khơng bằng nhau.
C. Hai vectơ cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau.
D. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau.

Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai vectơ cùng phương với vectơ thứ ba thì cùng phương.
B. Mọi vectơ đều có độ dài lớn hơn 0.
C. Một vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ - không.
D. Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
THÔNG HIỂU
Câu 11. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Đẳng thức nào
sau đây đúng?
Câu 9.

uuur uuur
A. MA = MB.

Câu 12.

uuu
r uuur
B. AB = AC.

uuuu
r uuur
C. MN = BC.

uuur
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các

đỉnh của lục giác là
A. 2.
B. 3.
C. 4.

a
ABC
Câu 13. Cho tam giác đều
cạnh , mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

D.

uuur
uuuu
r
BC = 2 MN .

uuur uuur
AC = BC

.

uuur
B. AC = a .

uuu
r uuur
AB
= AC .
C.

1

D. 6.

D.

uuu
r
AB = a

.


Cho hình bình hành
ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, có bao nhiêu
uuuur
vectơ bằng với DM từ các điểm đã cho?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
uuur
Câu 15. Cho ABCD là hình vng cạnh bằng 1. Khi đó độ dài của AC bằng
Câu 14.

B. 2.
C. 2.
D. 3.
Câu 16. Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuur
uuu
r
uuu

r
A. 1.

A. AB = BCuuur

B. CA và CB
cùng hướng
uuur
uuu
r
D. BA và BC cùng phương
Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chọn khẳng
định đúng trong các
khẳng
định sau.
uuuu
r uuur
uuuu
r uuu
r

uuur
C. AB và AC ngược hướng
Câu 17.

uuur

uuur

uuu

r uuur

A. AD = BC.
B. MQ = PN .
C. MN = QP.
D. AB = DC.
Câu 18. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O . Đẳng thức nào sau đây là sai?
uuur uuur
A. AB = ED.

B.

uuu
r uuur
AB = AF .

uuur

uuur

C. OD = BC.

uuur uuur

= OE.
D. uOB
uu
r uuur

Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và

chỉ khi:
A. Điểm B thuộc đoạn AC
B. Điểm A thuộc đoạn BC
C. Điểm C thuộc đoạn AB
D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC
uuu
r
Câu 20. Cho tam giác ABC vuông tại C có cạnh AC = 4cm, BC = 3cm. Độ dài của vectơ AB là
A. 7 cm.
B. 6 cm.
C. 5 cm.
D. 4 cm.
VẬN DỤNG
Câu 19.

Câu 21.

uuur
·
BAD
=
60
°
.
Cho hình thoi ABCD cạnh a,
Tính độ dài AC ?

A. a.

a 3

B. 2 .

D. a 3.

C. 2a.
Lời giải

Chọn D.
O

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo của hình thoi.
uuur
a 3
AC = AC = 2 AO = 2
= a 3.
·
2
Vì AD = AB mà BAD = 60° nên ∆ABD đều. Suy ra
Câu 22. Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG .Độ dài của
uuv
vectơ BI là

A.

a

21
6 .

B.

a

21
3 .

C.
Lời giải

Chọn A

2

a

3
6 .

D.

a

3
2 .


uuu
r
AB = AB = a

Ta có
Gọi M là trung điểm của BC
2
uuur
2 2 a
2
2
2
2
a −
=
AG = AG = AM =
AB − BM =
3
4
3
3
Ta có
uur
a 2 a 2 a 21
BI = BI = BM 2 + MI 2 =
+
=
4 3
6
Câu 23. Cho đoạn thẳng AB = 10 cm , điểm C thỏa mãn

A. 10 cm.

a 3

3

uuur uuu
r
uuur
AC = CB . Độ dài vectơ AC là
C. 20 cm.
D. 15 cm.

B. 5 cm.

Lời giải:
Chọn B.
uuur

uuu
r

Vì AC = CB nên C nằm giữa A và B; C là trung điểm AB.
uuur
1
AC = AC = AB = 5 ( cm ) .
2
Suy ra

uuur
Câu 24. Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm. Độ dài vectơ AG là
a 3
a 3
.

.
A. 3
B. a 3.
C. a.
D. 2

Lời giải:
Chọn D.
uuur 2 uuuu
r 2 AB 3 a 3
AG = AM = .
=
.
3
3
2
3
Ta có

uuur

Cho hình thang vng ABCD tại A và D có AB = 4a, DC = 8a, AD = 3a. Độ dài vectơ BC là

Câu 25.

A. 4a.

B.

73a.

C. 4 5a.
Lời giải:

Chọn D.
Kẻ BE ⊥ CD . Ta có BE = AD = 3a , EC = CD − AB = 8a − 4a = 4a.
Khi đó

uuur
BC = BC = BE 2 + CE 2 =

( 3a )

2

+ ( 4a ) = 5a.
2

VẬN DỤNG CAO
3

D. 5a.


Câu 26.

Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm AB , N là điểm đối xứng với C
uuuu
v uuuu
v

MD
,
MN
qua D . Độ dài của
lần lượt là:

a 5 a 13
;
2 .
A. 2

5a 2 13a 2
;
4 .
C. 4

a 13 a 5
;
2 .
B. 2

13a 2 5a 2
;
4 .
D. 4

Lời giải
Chọn A

MD 2 = AD 2 + AM 2 =

5a 2
a 5
⇒ MD =
4
2 .

Xét tam giác vuông MAD ta có:
uuuv
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P . Khi đó tứ giác ADNP là hình vng và
PM = PA + AM =

3a
2 .
MN 2 = PM 2 + PN 2 =

13a 2
a 13
⇒ MN =
4
2 .

Xét tam giác NPM ta có:
Câu 27. Cho tam giác ABC với trực tâm H, D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại
tiếp tam giác
ABC. Khẳng định nào sau đâyuulà
đúng? uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
ur uuur

HA = CD và AD = CH .
A. u
uur uuur
uuur uuur
C. HA = CD và AD = HC.

= CD và DA = HC.
B. HA
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
D. HA = CD và AD = HC và OB = OD.
Lời giải:

Chọn C.

Ta có AH // CD (cùng vng góc với BC) và CH // AD (cùng vng góc với AB) nên AHCD là hình
bình hành.
uuur uuur
uuur uuur
Suy ra HA = CD và AD = HC.
uuuur
Câu 28. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Độ dài vectơ AM với M là điểm thuộc đoạn BC sao cho
BM = 4MC là
21
a.
A. 25

B.

13
a.
4

13
a.
C. 16

Lời giải:
Chọn D.
4

D.

21
a.
5


2

a 3
a
AH = AB 2 − BH 2 = a 2 −  ÷ =
.
2
2



Gọi H là trung điểm BC nên
4
4a
4a a 3a
BM = BC =
⇒ HM = BM − BH =
− = .
5
5
5 2 10
Vì BM = 4MC nên
2

uuuu
r
 3   3 2
21
AM = AM = AH 2 + HM 2 = 
+ ÷ a =
a.
÷
÷
2
10
5




Câu 29.

Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15 km h . Ca nơ A
chạy xi dịng cịn ca nơ B chạy ngược dịng. Vận tốc của dịng unước
trên sơng là 3km h .
u
r uu
r
r

Gọi vectơ vận tốc của dòng nước là v và các vectơ vận tốc thực tế va , vb của ca nơ A, B .
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các
khẳnguurđịnh
sau:uu
uu
r
uu
r
r
r

r

(1) Các cặp vectơ
cùng phương: v và va ; v và vb ; va và vb .
uu
r
r

(2) Vectơ v và va cùng hướng.

uu
r uu
r
uu
r
r
v
v
v
v
b
a
(3) Các cặp vectơ
cùng hướng: và ;
và b .
uu
r
r
v và va ngược hướng.
(4) Vectơuu
r
r
(5) v và va bằng nhau.

A. 2.

B. 3.

C. 5.
Lời giải

D. 1.

Chọn A

uu
r r
uu
r uu
r
uu
r
r
va v
vb va
vb
v
+) Các cặp vectơ cùng phương: vàuu
; và ;
và .
r
r
va
v

+) Các cặp vectơ cùng hướng: và .
Câu 30. Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy các điểm M , N sao
cho DM = BN . Gọi P là giao điểm của AM , DB và Q là giao điểm của CN , DB . Khẳng
định nào đúng?
uuur uuu

r
DP
=
QB
A.
.

uuuu
r uuur
MQ
= NP .
B.

C.
5

uuur uuuu
r
PQ = MN

.

D.

uuuu
r uuur
MN = AC

.

Lời giải
Chọn A

⇒ AN = MC , mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác ANCM là hình bình
Ta có DM = BN
uuuu
r uuur
hành. Suy ra AM = NC .
·
·
Xét tam giác ∆ DMP và ∆BNQ ta có DM = NB (giả thiết), PDM = QBN (so le trong)

·
·
·
·
·
= ·APB (đối đỉnh) và APQ = NQB (hai góc đồng vị) suy ra DMP = BNQ .
Mặt khác DMP
= ∆BNQ (c.g.c) suy ra DB = QB .
Do đó ∆DMP
uuur uuu
r
uuur uuu
r
Dễ thấy DB, QB cùng hướng vì vậy DB = QB .
BÀI 8. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
I. NHẬN BIẾT
Câu 31. Cho 3 điểm phân biệt A, B, C khẳng định nào sau đây đúng?

uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
A. AB + AC = BC .
B. AB + BC = AC .
Câu 32. Chọn khẳng định sai.
uu
r uur r
+ BI = 0 .
A. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì uIA
ur uur uuu
r
AI
+
IB
=
AB
I
AB
B. Nếu là trung điểm đoạn
thì uur uur r .
C. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI + BI = 0 .
uu
r uur

uuur uuu
r uuur

C. AB + AC = AC .

D. AB + CB = AC .

r

D. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA + IB = 0 .
Câu 33. Chọn khẳng định đúng.
A. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì.uuur uuur uuur r
+ GB + GC = 0.
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thìuGA
uu
r uuur uuur r

+ AG + GC = 0 .
C. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA
uuu
r uuu
r uuur

D. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0 .
Câu 34. Chọn khẳng định sai.
uuu
r uuur r
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur uuu

r
BA
+
AB
=0.
CA
+
AC = AB .
CA
+ BC = BA .
B.
C.
A.

uuuu
r uuur

r r r
a
Câu 35. Cho ba vectơ , b, c khác vectơ-không. Khẳng định nào sau đây là sai?
r r r r r r
r r r r
r r r
a+b +c = a+ b+c
a+b =b+a
a+0 = a

(

)

(

).

uuuu
r

D. MN + NX = MX .
r

r

r

.
C.
.
D. 0 + a = 0 .
Câu 36. Cho 3 điểm phân biệt A, B, C . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r
uuur uuur uuur
A. AB − AC = BC .
B. BC − BA = AC .
C. BA − BC = CA .

D. CB − CA = AB .
Câu 37. Cho hình bình hành ABCD . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A.

B.

uuu
r uuur

uuur

A. AB + AD = AC .
B. AB − AD = BD .uuur
C. AB + AC = AD .
Câu 38. Cho 4 điểm A, B, C , O bất kì. Vectơ AB bằng ?
uuur
uuur uuur
uuur uuur
OA
+
OC
OA
−
OB
A.
.
B.

.
C. B A .
Câu 39. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai ?
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur r
AB
=
CD
CA
=
CB
+
CD
.
B.
.
C. AB + CD = 0 .
A.
Câu 40.

uuur uuur uuu
r uuur
MP
+
PQ
+

QR
+ RN trong các vectơsau:
Chỉ ra vectơ tổng

6

D. BA − BC = BD .

uuur uuur
D. AO + OB .
uuur uuur
D. BC = AD .


uuuu
r
MQ
B.
.

uuur
A. MR .

uuur
C. MP .

uuuu
r
MN
D.

.

II. Thơng hiểu:
Câu 41. Cho hình bình hành ABCD ,với giao điểm hai đường chéo là I . Khi đó:
uur uur r
uuu
r uuur r
uuu
r uu
r uur
uuu
r uuur uuur
AI
+
CI
=
0
AB
+ BD = 0 .
AB
+
IA
=
BI
AB
+
AD
=
BD
.

B.
. C.
.
D.
A.
Câu 42.

Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

uur uu
r r
uur uu
r r
uur uu
r
IA
+
IB
=
0
IA
IB
=0
A. IA = IB
B.
C.
D. IA = IB
Câu 43. Cho tam giác ABC , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng?
uuu
r uuur uuur

uuu
r uuu
r uuur
AB + BC = AC
GA + GB + GC = 0
A.
.
B.
.
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur
AB + BC = AC
GA + GB + GC = 0

C.

.

D.

.

uuur uuur
Cho tam giác ABC. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC , BC . Hỏi MP + NP
bằng vectơ nào?
uuuu
r

uuuu
r
uuu
r
uuu
r
MN .
AM
PB
AP
.
B.
.
C.
.
D.
A.
Câu 45. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây là đúng:
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur r
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
OA = CA + CO .
BC
+

CA
+
AB
=
0
BA
=
OB
+
AO
OA
= OB + AB .
B.
. C.
.
D.
A.
uuur uuur uuur
Câu 46. Cho 6 điểm A, B, C , D, E , F . Tổng véc tơ: AB + CD + EF bằng
uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur
AF
+
CE
+
DB
AE
+
CB

A. uuur uuur uuur .
B. uuur uuur+ DF
.
uuur
C. AD + CF + EB .
D. AE + BC + DF .
Câu 47. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
Câu 44.

AO + BO − CO + DO = 0 .
A. u
uur uuu
r uuur uuur r

+ BO + CO + DO = 0 .
B. AO
uuu
r uuu
r uuur uuur r

=0.
C. AO + OB + CO − ODuu
D. OA − OB + CO + DO = 0 .
uu
r uuur uuur uuur uuu
r
Câu 48. Vectơ tổng MN + PQ + RN + NP + QR bằng:
uuuu

r
uuur
uuur
uuur
MN
PN
MR
A.
.
B.
.
C.
.
D. NP .
uuur uuu
r
AC
−
AB
Câu 49. Cho hình vng ABCD cạnh a. Độ dài vectơ
bằng ?
a 3
a 2 . B. 2 .
C. 2a .
D. a .

A.

Cho 4 điểm A, B , C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng.
uuu

r uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur
AB
+
CD
=
AC
+
BD
AB
= AD + BC .
A. uuur uuur uuur uuur .
B. uuur + CD
uuur uuur uuur
C. AB + CD = AD + CB .
D. AB + CD = DA + BC .
Câu 50.

III. Vận dụng thấp:
Câu 51. Cho hình bình hành ABCD tâm O .M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Khẳng định nào
đúng
uuuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuu
r MO - MB
BA + BC + OB =
2

A.
.
uuu
r uuu
r uuu
r uuuu
r uuur
BA
+
BC
+
OB
=
MO
- MB .
C.

uuuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuu
r MO - MB
BA + BC +OB =
3
B.
.
uuuu
r uuur
uuu

r uuu
r uuu
r MO - MB
BA + BC +OB =
4
D.
.

Lời giải:
Theo quy tắc hình bình hành ta có

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
BA + BC + OB = BD + OB = OB + BD = OD
7


uuuu
r uuur uuu
r
MO
MB
=
BO

Theo quy tắc trừ ta có
uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r uuuu
r uuur
Mà OD = BO suy ra BA + BC + OB = MO - MB
Câu 52.

uuu
r uuur

Cho hình chữ nhật ABCD biết AB = 4a và AD = 3a . Tính độ dài của vectơ AB + AD .

A. 7a .

B. 6a .

C. 2a 3 .
Lời giải:

uuuu
r uuur uuuur
| AB + AD |= | AC |= AB 2 + AD 2 = 5a.

D. 5a .

uuu

r uuur

Câu 53. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính độ dài của vectơ AB + AC .
a 3
A. a 3 .
B. 2 .
C. 2a .
D. a .

Lời giải:

Gọi A ' là đỉnh của hình bình hành ABA 'C và O là tâm hình nình hành đó. Khi đó ta có
uuu
r uuur uuuu
r
AB + AC = AA ' .

a2 a 3
AO = AB - OB = a =
4
2
Ta có
uuu
r uuur
AB + AC = AA ' = 2AO = a 3
2

2

2

Suy ra

Câu 54.

Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O và M là trung điểm AB. Tính độ dài của các vectơ
uuur uuu
r
OA + OB .

B. 3a.

A. a.

a
C. 2 . D. 2a .

Lời giải:

uuu
r
AB = AB = a uuur
2
2
Ta có
; AC = AC = AB + BC = a 2
uuur
1
a 2 uuur
a

OA = OA = AC =
, OM = OM =
2
2
2
OBEA
Gọi E là điểm sao cho tứ giác
là hình bình hành khi đó nó cũng là hình

vng
Ta có

uuur uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
OA + OB = OE Þ OA + OB = OE = AB = a

Câu 55.

A.
C.

0
·
Cho hình thoi ABCD cạnh a và BCD = 60 . Gọi O là tâm hình thoi. Tính

uuu
r uuur

OB- DC = a 3,
uuu
r uuur
OB- DC = a

uuu
r uuur
a 3
OB- DC =
2
B.
uuu
r uuur
OB- DC = 2a

D.
Lời giải:
8

uuu
r uuur
OB- DC

.


uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu

r uuu
r uuur
a 3
OB- DC = OB- AB = OB + BA = OA = acos600 =
2
BC , CA , AB
Câu 56. Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
.Khẳng định nào sau

đây là đúng nhất?

uuur uuur uuu
r 1 uuu
r
BM + CN + AP = AB
2
B.
uuur uuur uuu
r uuuur
D. BM +CN + AP = 2AB

uuur uuur uuu
r uuu
r
A. BM + CN + AP = AB
uuur uuur uuu
r r
BM
+
CN

+
AP
=0
C.

Vì

PN , MN

Lời giải:
là đường trung bình của tam giác ABC nên

PN / / BM , MN / / BP
suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành
uuur uuur
Þ BM = PN
uuur uuur
N là trung điểm của AC Þ CN = NA

Do đó theo quy tắc ba điểm ta có

uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuu
r
BM +CN + AP = PN + NA + AP
uuu
r uuu
r r
= PA + AP = 0

(

)

III. Vận dụng cao:

uuur uuu
r uuur
OA
,
OB
, OC cùng bằng a và
Câu 57. Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ
uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuu
r r
OB + AC - OA
OA + OB + OC = 0 . Tính
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
OB + AC - OA = a 3
OB + AC - OA = 2a 3

A.
C.

uuu
r uuur uuur
OB + AC - OA = 3a 3

B.

uuu
r uuur uuur
OB + AC - OA = a

D.
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều nhận O làm trọng tâm do đó

·
·
·
AOB
= BOC
=COA
= 1200

Gọi I là trung điểm BC.
D ABC đều nên

AI =

uuu
r uuur uuur

OB + AC - OA = a 3

3
a
2

Cho hình vng ABCD có tâm là O và cạnh a. M là một điểm bất kỳ.
r uuur uuur uuur uuuu
r
r
u
=
MA
+
MB
MC
MD
u
Biết
. Tính độ dài vectơ
a
.
2
a
A.
B. . .
C. 3a.
D. 4a.
Câu 58.

Lời giải:

9


Hình 1.11

Theo quy tắc phép trừ ta có

r
uuur uuur
uuur uuuu
r
uuu
r uuu
r
u = MA - MC + MB- MD = CA + DB

(

) (

)

Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ' .
Khi đó tứ giác ADBC ' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song)
uuu
r

uuuu

r

suy ra DB = AC '

r uuu
r uuuu
r uuur
u
=
CA
+
AC
' = CC '
Do đó
r
uuur
u = CC ' = BC + BC ' = a+ a= 2a

Vì vậy
Cho hai tam giác ABC và A1B1C 1 ; A2.B2,C 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác

Câu 59.

BCA1, CAB1, ABC 1 . Gọi G,G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , A1B1C 1 , A2B2C 2 .
uuuu
r
GG1
uuuu
r
GG

2 bằng bao nhiêu ?
Tỉ số
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
GG1 1
GG1 2
GG1 4
GG1 5
uuuu
r= .
uuuu
r= .
uuuu
r= .
uuuu
r= .
GG2 3
GG2 3
GG2 3
GG2 3

A.

B.

C.
Lời giải:

D.

uuuu
r uuur uuur uuuu
r
ABC , A1B1C 1
suy ra 3GG1 = GA1 +GB1 +GC 1
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
Û 3GG1 = GA +GB +GC + AA1 + BB1 +CC 1
uuuu
r uuur uuur uuur
Û 3GG1 = AA1 + BB1 +CC 1
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
ABC , A2B2C 2
G
,
G
3
GG
=
GA

+
GB
+
GC
2 là trọng tâm tam giác
1
1
1
1
Tương tự
suy ra
uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
Û 3GG2 = AA2 + BB2 +CC 2
uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r uuuur uuuur
AA
+
BB
+
CC
=
AA
+
BB
+

CC
+
A
A
2
2
2
1
1
1
1
2 + B1B2 +C 1C 2
Mặt khác

Vì G , G1 là trọng tâm tam giác

Mà A2.B2,C 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC 1

uuuu
r uuuur uuuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
3 A1A2 + B1B2 +C 1C 2 = 3 A1B + A1C + B1C + B1A +C 1A +C 1B
Suy ra
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uur uuur uuu
r
= 3 A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA +C 1C +CA +C 1C +CB
uuur uuur uuur
= 6 AA1 + BB1 +CC 1

(

(
(

)

(

)

10

)

)


uuur uuuu
r uuuu
r
uuur uuur uuur
AA2 + BB2 +CC 2 = 3( AA1 + BB1 +CC 1 )
Do đó
uuuu
r uuur uuur uuur
Þ GG2 = AA1 + BB1 +CC 1
uuuu
r
GG1 1

r=
uuuu
r
uuuu
r Þ uuuu
3
GG
=
3
GG
GG
2
1
2
Vậy
uu
r uuur uur uuur
uu
r
F1 = MA F2 = MB
F1
Câu 60. Cho hai lực
,
cùng tác động vào một vật tại điểm M. Cường độ hai lực ,
uur
F2 lần lượt là 300N và 400N, ·AMB = 900 . Tìm cường độ của lực tác động lên vật.

A. 0N.

B. 700N.

C. 100N.
Lời giải:

D. 500N.

ur ur uuur uuur uuuu
r
F
+
F
=
MA
+
MB
=
MC
1
2
- Ta có tổng lực tác dụng lên vật:
(Với C là điểm sao cho AMBC là hình bình
hành).
ur ur
uuuu
r
F 1 + F 2 = MC = MC
- Khi đó cường độ lực tác dụng lên vật:
uuur ur
MA = MA = F 1 = 400 N
- Ta có:

uuur ur
MB = MB = F 2 = 300 N
0
·
- Mặt khác do AMB = 90 nên AMCB là hình chữ nhật. Khi đó:

MC = MA2 + MB 2 = 4002 + 3002 = 500( N )
Câu 61.

uu
r uuur uur uuur uu
r uuuu
r
F
=
MA
F
=
MB
F
=
MC
1
2
3
Cho ba lực
,
, uur uur cùng tác động vào một ô tô tại điểm M và ô tô đứng
·AMB = 600
F1 F2

yên.uu
Cho
biết
cường
độ
hai
lực
,
đều
bằng
25N
và
góc
. Khi đó cường độ
r
lực F3 là

A. 25 3N .

B. 50 3N .

C. 50 2N .
Lời giải:

D. .100 3N

ur ur uuur uuur uuuu
r
- Ta có: F 1 + F 2 = MA + MB = MD (Với D là điểm sao cho AMBD là hình bình hành).
uuur ur

MA = MA = F 1 = 25 N
- Ta có:
uuur ur
MB = MB = F 2 = 25 N

25 3
MD = 2.
= 25 3( N )
·AMB = 600
2
- Do
nên ∆MAB là tam giác đều. Khi đó:

11


ur ur ur r
- Do ô tô đứng yên nên cường độ lực tác dụng lên ô tô bằng 0 hay F 1 + F 2 + F 3 = 0
ur
ur ur
ur
ur ur
uuuur
F 3 = −( F 1 + F 2 ) ⇒ F 3 = −( F 1 + F 2 ) = DM = MD = 25 3
Suy ra:
uu
r
F3 25 3
Vậy cường độ của là
.

BÀI 9. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ.
Nhận biết:
Câu 62.

uuur

uuur

Cho hai véc-tơ AB và CD trong hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

uuur
uuu
r
CD
=
3
AB
A.
.

uuur uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
CD

=
AB
AB
=
2
CD
CD
=
−
3
AB
B. r
.
C.
.
D.
.
r
r
r (k ≠ 0)
Câu 63. Cho véc-tơ a (khác 0 ) và véc-tơ b = ka ,
. Khẳng địnhrnào sau đây là đúng?
r
r
r
b nếu k > 0 .
A. a không phương
B. a ngược hướngrb nếu k > 0 .
r
r

r
C. a cùng hướng b nếu k < 0 .
D. a cùng hướng b nếu k > 0 .
r r
r r
k
a
+b
Câu 64. Cho hai véc-tơ a , b bất kì và số thực k . Ta có
bằng
r
r
r
r
r r
r r
A. a + kb .
B. ka + kb .
C. ka − kb .
D. ka + b .
r
1r
r
a=− b
r r
2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 65. Cho hai véc-tơ a , b khác 0 thỏa mãn
r
r
1

r
a =− b
r
a và b là hai véc-tơ đối nhau.
2 .
A.
B.
r
r
r
r
C. a cùng hướng với b .
D. a ngược hướngrvới b .
r
r
Câu 66. Cho véc-tơ a có độ dài bằng 2022 . Tính độ dài của véc-tơ b = −2a .
r
r
r
r
b = 4044
b = −2022
b = 2022
b = −4044

(

A.

Câu 67.

)

.
B.
.
C.
.
D.
.
Cho đoạn thẳng AB và điểm I thuộc đoạn thẳng AB như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây
đúng?

uur 1 uuur
AI = AB
4
A.
.

uur 1 uur
AI = IB
4 .
B.

uur 1 uuu
r
uur
1 uur
AI = BA
AI = − IB

5
4 .
C.
.
D.
1
AM = AB
3
Câu 68. Cho M là một điểm trên đoạn AB sao cho
. Khẳng định nào sau đây sai?
uuur
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u

u
2
1
1 r
uuur
uuuur
MB = − AB
AM = AB
MA = − MB
3
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D. MB = 2 AM .
Câu 69. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I sao cho AB = 4 AI . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uur 4 uuur
uur
r
3 uuu
uur
uu
r
uur
uu
r

IB = AB
IB = − AB
3
4
A. IB = −3IA .
B. IB = 3IA .
C.
.
D.
.
Câu 70. Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khẳng định nào dưới đây đúng?
uu
r uur r
uu
r uur
uu
r uur uuu
r
uu
r uur
A. IA + BI = 0 .
B. IA = IB .
C. IA + IB = ABu.ur uuurD. IA = BI .
Câu 71. Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa hình vẽ. Tìm k để IA = k AB .
12


k=−

3

5.

A.
Thông hiểu:
Câu 72.

B.

k=

3
2.
uuur

Câu 73.

2
5.

D.

k=

3
5.

uuur

Điểm P được xác định bởi hệ thức NP = 4 MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ
nào sau đây?

A.
C.

C.

k =−

.
.

B.

.

D.

.

uuur uuur r
Cho đoạn thẳng AB , hình nào sau đây biểu diễn đúng điểm M thỏa mãn MA + 4 MB = 0 .

A. Hình 1.
B. Hình 2.
C. Hình 3.
D. Hình 4.
ABC
G
BC
Câu 74. Cho tam giác

có là trọng tâm, M là trung điểm của
. Đẳng thức nào sau đây
đúng?
uuu
r uuur
uuuu
r
A. GB + GC = 2GM .

uuur uuur
uuur
B. AB + AC = 2 AG .

uuu
r
uuuu
r
C. GA = 2GM .
uuu
r uuur uuur
AB + AC + AD

uuuu
r
1 uuur
MG = − MA
3
D.
.

Câu 75.

Cho hình vng ABCD cạnh a . Giá trị của

A. A 2 .

B. 2a .
C. 2a 2 .
D. 3a .
uuuur
ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Hãy biểu thị AM theo hai
Cho hình
bình
hành
uuur
uuur
AB
véc-tơ
và AD .

Câu 76.

uuuu
r
uuur 1 uuur
AM = 2 AB + AD
2
A.
.
uuuu

r 1 uuu
r uuur
AM = AB + AD
2
C.
.

bằng

uuuu
r uuu
r 1 uuur
AM = AB + AD
2
B.
.
uuuu
r uuur 1 uuur
AM = AB + AD
3
D.
.

Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB , CD . Chọn khẳng
định sai
trong
các khẳng định sau đây.
uuur uuur
uuuu
r

uuur uuur
uuuu
r
BC
+
AD
=
2
MN
AC
+
BD
=
2
MN
A. uuur uuur uuur u.uur r
B. uuur uuur uuuur .
Câu 77.

C. AC + CB + BD + DA = 0 .
D. CA + DB = 2 MN .
Câu 78. Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Xét điểm M thỏa mãn đẳng thức
uuur uuur uuuu
r r
MA + MB + 2 MC = 0 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
uuu
r uuuu
r r
uuu
r uuuu

r r
uuu
r uuur r
uuu
r uuur r
MI
+
2
MC
=
0
MI
+
MC
=
0
2
MI
+
MA
=
0
MI
+ 2 MB = 0 .
A.
.
B.
.
C.
.

D.
uuu
r uuu
r
OAB
OA
=
OB
=
a
OA
+
OB
Câu 79. Cho tam giác
vng
cân,
với
. Tính
độ dài của véc-tơ
.
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu

r uuu
r
A. | OA + OB |= a 2 .
B. | OA + OB |= 2a .
C. | OA + OB |= a 3 .
D. | OA + OB |= a .
Câu 80.

O . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
Cho hình bình hành uABCD
có tâm
uur uuu
r
uuu
r
uuur uuu
r uuur
uuur uuur

uuur uuur
uuur
A. AD + AB = 2OC .

B. OD + OB = 2OA .

C. OD + OB = BD .

D. AC = BD .
uuur uuur r
Câu 81. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . Tìm điểm M thỏa mãn 3MA + MB = 0 .

A. M trùng với I .
B. M là trung điểm của BI .
C. M là trung điểm của AI .
D. M trùng với A hoặc M trùng với B .
Vận dụng:
13


Câu 82.

uu
r uuur uu
r uuur uu
r uuuu
r
F1 = MA F2 = MB F3 = MC
Cho ba lực
,
, r
cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng
uu
r uu
°
·
yên.
Cho biết cường độ của F1 , F2 đều bằng 100 N và AMB = 60 . Khi đó, cường độ lực của
uu
r
F3

bằng

A. 50 2 N.
B. 50 3 N.
C. 25 3 N.
D. 100 3 N.
Lời giải
Gọi D là đỉnh thứuurtư u
của
hình bình hànhr MADB
và O là tâm hình bình hành.
u
r uuur uuur uuuu
uuuu
r
Khi đó, hợp lực F1 + F2 = MA + MB = MD = 2MO .

MO = 100

3
2 .

Dễ thấy rằng ∆AMB
là tam giác đều nên
uu
r uu
r
Suy ra hợp lực F1 + F2 có độ lớn 100 3 . uur
Vì điểm M đứng yên nên độ lớn của lực F3 là 100 3N .

Câu 83.

D , E tương ứng là trung điểm của BC , CA . Hãy biểu thị véc-tơ
Cho
tam giác ABC . uGọi
uuur
uur
uuu
r
AB theo hai véc-tơ AD và BE .

uuur 2 uuur 2 uuu
r
AB = AD + BE
3
3
A.
.

uuur 1 uuur 2 uuu
r
AB = AD + BE
3
3
B.
.

uuur 2 uuur 2 uuu
r
AB = AD − BE

3
3
C.
.

uuur 2 uuur 1 uuu
r
AB = AD + BE
3
3
D.
.

Lời giải

Do D , E theo thứ tự là trung điểm của BC , CA nên
uuur
1 uuur
DE = − AB
.
2

(1)

Theo
quy tắc ba điểm
ta có
uuu
r uuur uuur uuu
r

AB = AD + DE + EB.

(2)

uuur uuur 1 uuu
r uuu
r uuur 2 uuur 2 uuu
r
AB = AD − AB − BE ⇒ AB = AD − BE.
2
3
3
Từ (1) và (2) suy ra

14


Câu 84.

uuur

Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC . Gọi G , G1 , G2 theo thứ tự là trọng tâm
ABC , ABM , ACM . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
các
tam ugiác
uuur
uur
uuur uuur
uuur

A. OG1 + OG 2 = 2OG .

B. OG1 + OG 2 = OG .

uuur uuur
1 uuur
OG1 + OG 2 = OG
2
D.
.

uuur uuur
uuur
C. OG1 + OG 2 = 3OG .

Lời giải
Do M là trung điểm củ ABC ; G , G1 , G 2 theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC , ABM , ACM
O ta có
nên vớiuumọi
ur uđiểm
uur
uuuu
r
OB + OC = 2OM ,
uuu
r uuur uuur
uuur
OA + OB + OC = 3OG ,
uuu
r uuur uuuu

r
uuuu
r
OA + OB + OM = 3OG1 ,
uuu
r uuur uuuu
r
uuuur
OA + OC + OM = 3OG2 .

Từ đó suy ra

uuur uuuur
3 OG1 + OG2

(

)

=
=

uuu
r uuur uuur

uuu
r

uuuu
r

( OA + OB + OC ) + ( OA + 2OM )
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur
OA
+
OB
+
OC
+
OA
+
OB
+ OC )
(
) (

uuur
= 6OG.
uuur uuur
uuur
OG
+
OG
=
2

OG
1
2
Vậy
.
′
G
G
Câu 85. Gọi
và
theo thứ tự là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A′B′C ′ . Chọn khẳng

định đúng trong các khẳng định sau đây.
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
A. AA′ + BB′ + CC ′ = 6GG′ .
uuur uuur uuuu
r 1 uuuu
r
AA′ + BB′ + CC ′ = GG′
3
C.
.

uuur uuur uuuu
r 2 uuuu
r
AA′ + BB′ + CC ′ = GG ′

3
B.
.
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
′
′
′
′.
AA
+
BB
+
CC
=
3
GG
D.

Lời giải

uuur uuur uuur r
(1)
G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ AG + BG + CG = 0.
uuuur uuuur uuuur r
(2)
G′ là trọng tâm tam giác A′B′C ′ ⇒ G′A′ + G′B′ + G′C ′ = 0.
15

Theo
quy tắc ba
điểm, ta có
uuur uuur uuuu
r uuur uuuur uuuuu
r uuur uuuur uuuuu
r uuur uuuur uuuuur

uuuur
AA′ + BB′ + CC ′ = AG + GG ' + G ' A ' + BG + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G ' C ' = 3GG '
Câu 86. Cho tam giác ABC . Gọi I , J , K theo thứ tự là trung điểm của AB , BC , CA và M là điểm
uuur uuur uuuu
r r
MA
+
MB
+
2
MC
= 0 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
thỏa mãn
A. M thuộc đoạn IC .
B. M là trung điểm AJ .
C. M là trung điểm BK .
D. M thuộc đoạn AC .

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB và H là trung điểm của IC .
Ta
có
uuur uuur uuuu
r r
uuur uuur
uuuu
r r
uuu
r uuuu
r r

uuu
r uuuu
r r
MA + MB + 2 MC = 0 ⇔ ( MA + MB ) + 2 MC = 0 ⇔ 2 MI + 2 MC = 0 ⇔ MI + MC = 0

Vậy M là trung điểm của IC.
Vận dụng cao:
Câu 87. Cho tam giác ABC . Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC , CI . Tập
uuu
r uuur
uuur
NA + 3 NC = 4 NB

hợp các điểm N thỏa mãn
A. Đường trịn tâm I bán kính IJ .
C. Đường trung trực của đoạn JB .
Lời giải
uur

uuu
r

là
B. Đường trung trực của đoạn IJ .
D. Đường trung trực của đoạn IB .

Theo đề JA = 3JC và do đó JA = −3 JC .
Từ đó suy ra

uuu
r uuur uuu
r uur
uuu
r uuu
r
uuu
r
NA + 3 NC = NJ + JA + 3 NJ + JC = 4 NJ .

(

) (

)

Do đó

uuu
r uuur

uuur
uuu
r
uuur
NA + 3 NC = 4 NB ⇔ 4 NJ = 4 NB ⇔ NJ = NB

Vậy tập hợp các điểm N cần tìm là đường trung trực của
đoạn JB .

Câu 88.

uu
r uu
r uu
r
F
F
F
1
2
A
Chất
điểm
chịu tác động của ba lực , , uur3 như
hìnhuu
vẽ và ở trạng thái cân bằng (tức
uu
r uu
r uu
r r

uu
r
r
là F1 + F2 + F3 = 0 ). Tính cường độ của các lực F2 , F3 biết F1 có độ lớn là 20 N.

16


uu
r 20 3
uu
r 40 3
F2 =
N F3 =
N
3
3
A.
,
.
uu
r 40 3
uu
r 10 3
F2 =
N F3 =
N
3
3
C.

,
.

uu
r 40 3
uu
r 20 3
F2 =
N F3 =
N
3
3
B.
,
.
uu
r 10 3
uu
r 20 3
F2 =
N F3 =
N
3
3
D.
,
.

Lời giải

uuur uu
r uuu
r uu
r
uuur uu
r
AD = F1 AB = F2
AE = F3
ABCD
Dựng hình
chữ
nhật
sao
chouur
,
và
.
uu
r uu
r uu
r r
uu
r uu
r
+ F3 = 0 ⇔ F1 + F2 = − F3
Ta cóuurF1 u+urF2 u
.
uu
r uuur uuur
1 + F2 = AB + AD = AC ( ABCD là hình bình hành).

Mà Fuu
ur
uu
r
AC = − F3
nên
.
uu
r
uuur
F3
AC
Suy ra hai véc-tơ
và
là hai véc-tơ đối nhau.

Do đó

uuur
uu
r uu
r
AC = − F3 = F3

Trong ∆ABC , ta có
AC =

°
·
và BAC = 60 .

AB =

uu
r 20 3
BC
20 3
=
⇒ F2 =
N,
°
tan 60
3
3

uu
r 40 3
BC
40 3
=
⇒
F
N.
3 =
sin 60°
3
3

20 3
40 3

uu
r uu
r
N
N
Vậy độ lớn các lực F2 , F3 lần lượt là 3
, 3
.
Câu 89. Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC . Hạ
uur uur uur a uur
a
ID + IE + IF = IO
ID, IE , IF tương ứng vng góc với BC , CA, AB . Giả sử
b
(với b là phân số
tối giản). Khi đó a + b bằng:
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7

Lời giải

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC , NR / / CA .
Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác đều.
17


Suy ra D, E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS .

uur uur uur 1 uuur uur 1 uur uur 1 uur uu
r
ID + IE + IF = IM + IN + IP + IQ + IR + IS
2
2
2
Khi đó:
uuur uu
r
uur uur
r uur uur
1 uur uur
1 uu
=  IQ + IR + IM + IS + IN + IP  = IA + IB + IC
 2
2
1 uur 3 uur
= .3IO = IO ⇒ a = 3, b = 2
2
2
. Do đó: a + b = 5 .

(

(

Câu 90.

A. Điểm
B. Điểm

C. Điểm
D. Điểm

) (

) (

) (
)

) (

(

)

)

uuu
r uuur

uuur

r

Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O làr điểm
thỏa mãn hệ
thức OA + OB + 2OC = 0 .
uuur uuur uuuu
r

Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v = MA + MB + 2MC có độ dài nhỏ nhất.
M là hình chiếu vng góc của O trên d
M là hình chiếu vng góc của A trên d
M là hình chiếu vng góc của B trên d
M là giao điểm của AB và d
Lời giải

Gọi I làuu
trung
điểm của AB . uur uuur r uur uuur r
u
r uuur uuur r
OI + OC = 0 ⇒ O là trung điểm của IC
Khi đó:r OAuu+urOBuu+ur2OCuu=uur0 ⇔uu2urOIu+uu2urOCuu=ur 0 ⇔
uuuu
r
uuur uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuuu
r
uuuu
r
v
=
MA
+
MB
+
2

MC
=
OA
−
OM
+
OB
−
OM
+
2(
OC
−
OM
)
=
OA
+
OB
+
2
OC
−
4
OM
=
−
4
OM
Ta có:

Do đó
r
v = 4OM

.

r
v
Độ dài vectơ nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuong góc của O trên d .
uuuu
r uuuu
r ur

uuur

uuur

ur

uuur

uuur

Câu 91. Cho ∆ABC . Gọi M , N là các điểm thỏa mãn: MA + MB = 0 , 2 NA + 3 NC = 0 và BC = k BP .
Tìm k để ba điểm M , N , P thẳng hàng.
1
2
3
k=
k=

k=
3.
3.
5.
A.
B. k = 3 .
C.
D.

Lời giải

uuuu
r uuur uuuur 3 uuur 1 uuur
MN = AN − AM = AC − AB ( 1)
5
2
Ta có
A
M
B

N
C

uuur uuur uuu
r 2 uuur uuu
r uuur
NP = NC + CP = AC + BP − BC
P
5

(

r
2 uuur  1  uuur uuu
AC +  − 1÷ AC − AB
5
k

u
u
u
r
r
1 2
 1  uuu
=  − ÷ AC −  − 1÷AB
k 5
k

=

(

)

uuur
uuuu
r
∃

m
∈
¡
:
NP
=
mMN
N
M
P
Để ba điểm
, , thẳng hàng thì
18

)

=

2 uuur  1  uuur
AC +  − 1÷BC
5
k 


r 3m uuur m uuu
r
 1 3  uuur  1  uuu
⇔  − ÷ AC −  − 1 ÷ AB =
AC − AB
5

2
 k 5
k


 1 3 3m
 k − 5 = 5
m = 4


−  1 − 1÷ = − m ⇔ k = 1

2
3.
Điều kiện:   k 
1
k=
3.
Vậy

BÀI 10. VEC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ.
rr

Câu 92.

3; 2
D. ( ) .
r r
r
Oxy

u
=
3
i
−
4
j
u
Câu 93. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ
cho vectơ
. Tọa độ của vectơ là
r
r
r
r
u = ( 3; −4 )
u = ( 3; 4 )
u = ( −3; −4 )
u = ( −3; 4 )

A.

( 2;3) .

uu
r uu
r
O; i, j )
(
2

i
+
3
j là:
Trong hệ trục tọa độ
, tọa độ của véc tơ

B.

A.

.

( 0;1) .

B.

C.
r

.

( 1;0 ) .

C.

.

r 1r r
r

u = i − 5 j.
2
Câu 94. Trong hệ tọa độ Oxy cho
Tọa độ của vecto u là
r 1 
r 1

r
u =  ;5 ÷.
u =  ; −5 ÷.
u
= ( −1;10 ) .
2
2




A.
B.
C.

D.

.

D.

r
u = ( 1; −10 ) .

uuur
Oxy , cho hai điểm A ( 2; − 1) , B ( 4;3) . Tọa độ của véctơ AB bằng
Trong
hệ
trục
tọa
độ
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB = ( 8; − 3)
AB = ( −2; − 4 )
AB = ( 2; 4 )
AB = ( 6; 2 )
A.
.
B.
. rC. r r
.
D.
.
Câu 95.

Trong hệ trục toạ độ Oxy , rtoạ độ của vectơ a = 8rj − 3i bằng

r
a = ( 3; − 8 )
a = ( 8;3)
a = ( 8; − 3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A ( 1;3)
B 0;6
Câu 97. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm
và ( ) . Khẳng định nào sau
uuur đây đúng?
uuur
uuur
uuu
r
AB = ( 5; −3)
AB = ( 1; −3)
AB = ( 3; −5 )
AB = ( −1;3)
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Câu 96.

r
a = ( −3;8 )

M x; y )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm (
. Tìm tọa độ của điểm M 1 đối xứng với M
qua trục hoành?

Câu 98.

A.

M 1 ( x; y )

.

.

C.

M 1 ( − x; y )

.

D.

M 1 ( − x; − y )

7 
 ;5 ÷
B.  3  .

7

.



 ;3 ÷
7;9
C. ( ) .
D.  3  .
A 2; −3) , B ( 4;7 )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (
. Tìm tọa độ trung điểm I của

7;15 )
A. (
.

A.

M 1 ( x; − y )

A 2; − 3) , B ( 4;7 ) , C ( 1;5 )

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ∆ABC biết (
. Tọa độ trọng tâm G
của ∆ABC là

Câu 99.

Câu 100.
( 3; 2 )

B.

.

2;10 )
B. (
.

6; 4
C. ( ) .

8; −21)
D. (
.

A ( 4; 2 ) , B ( 1; −5 ) .
Câu 101. Trong mặt phẳng Oxy cho
Tìm trọng tâm G của tam giác OAB .
5

G  ; −1 ÷

A.  3  .

5 
G  ;2÷
B.  3  .

C.

Thơng hiểu:

G ( 1;3)

.

5 1
G ; ÷
D.  3 3  .

uuur
B ( −1;3)
C ( 3;1)
Oxy
Câu 102. Trong mặt phẳng
, cho hai điểm
và
. Độ dài vectơ BC bằng

19

AB .

B. 2 5 .

A. 6 .

C. 2 . r
r
r r r
a = ( 2; −1) , b = ( 3; 4 )
Câu 103. Xác định tọa độ của vectơ c = a + 3b biết
r
r
r

D.

A.

D.

5.

r
c = ( 11;13)
c = ( 7;13)
A.
B.
C. r
D.

r
r
r r
a = ( 3; −2 ) , b = ( 1; 4 )
Câu 104. Xác định tọa độ vectơ c = 5a − 2b biết
r
r
r
r
c = ( 2; −11)
c = ( −2;11)
c = ( 2;11)
c = ( 11; 2 )
A.
B.r
C.
D.
r
r
r
r r
r r r
a = ( 3; −1) , b = ( 0; 4 ) , c = ( 5;3 )
Câu 105. Cho
. Tìm vectơ x sao cho x − a + 2b − 3c = 0 .
18; 0 )
−8;18 )
8;18 )
8; −18 )
A. (

B. (
C. (
D. (
r
r
r
r
a = ( 4; −m ) , v = ( 2m + 6;1)
Câu 106. Cho
. Tập giá trị của m để hai vectơ a và b cùng phương là:
{ −1;1}
{ −1; 2}
{ −2; −1}
{ −2;1}
c = ( 11;11)

c = ( 11; −13)

B.

C.

Câu 107. Trong hệ tọa độ Oxy, cho

A.

tâm ∆ABD
D ( 8;11)

B.

A ( −4;1) ; B ( 2; 4 ) ; C ( 2; −2 )

D ( 12;11)

C.

. Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng

D ( 8; −11)

Câu 108. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm

)
D. (
A ( 3;-5 ) ,B ( -3;3 ) ,C ( -1;-2 ) ,D ( 5;-10 ) .

1 
G  ; -3 ÷
 3  là trọng tâm của tam giác nào dưới đây?
A. ABC .
B. BCD .
C. ACD .
A ( −1;1) ,B ( 1; 3) ,C ( 5; 2 )
Oxy
Câu 109. Trong mặt phẳng tọa độ

A.

( 3; 0 ) .

ABCD là hình bình hành.

B.

, cho

( 5; 0 ) .

Câu 110. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
giác OBMA là một hình bình hành.

A. M (−3; −3) .

D −8; −11

Hỏi

D. ABD .
. Tìm tọa độ điểm D sao cho

5;−2 )
( 7; 0 ) .
D. (
.
A 1;1 , B 2; 4 )
cho hai điểm ( ) (
. Tìm tọa độ điểm

C.

M để tứ

B. M (3; −3) .

C. M (3;3) .
D. M (−3;3) .
A ( 2;1) , B ( −1;2 ) , C ( 3;0 )
Câu 111. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có
. Tứ giác ABCE là
hình bình hành khi tọa độ E là cặp số nào sau đây?
6; −1)
0;1
1; 6
6;1
A. (
B. ( )
C. ( )
D. ( )
Vận dụng:
r
r
r
a = ( 2; −1) b = ( 0; 4 )
c = ( 3;3)
Câu 112. Trong mặt phẳng Oxy ;cho các véc tơ
;
và
. Gọi m và n là hai số

r

r

r

2
2
thực sao cho c = ma − nb . Tính giá trị biểu thức P = m + n .

A.

P=

225
64 .

B.

P=

100
81 .

C.
Lời giải

Chọn Ar
Ta có

r
ma − nb = ( 2m; −m − 4n )

.

3

m=
r
r r

2
m
=
3


2
c = ma − nb ⇔ 
⇔
−m − 4n = 3 n = −9

8 .
Khi đó

20

P=

97

64 .

D.

P=

193
64 .


Vậy

P = m2 + n2 =

225
64 .

Câu 113. Cho tam giác ABC . Biết trung điểm của các cạnh BC , CA , AB có tọa độ lần lượt là

M ( 1; −1)

A.

,

N ( 3; 2 )

,

( 2; −2 ) .

P ( 0; −5 )

B.

. Khi đó tọa độ của điểm A là:

( 5;1) .

C.
Lời giải

(

5;0

).

D.

( 2; 2 ) .

Chọn A
Có tam giác ∆ABC và ∆MNP có cùng trọng tâm G .

r  1 1
 4 4  uuuu
G  ; − ÷ GM =  − , ÷
 3 3  , gọi A ( x; y ) .
Có  3 3  ,

2
4
 3 − x = − 3
x = 2
⇔
⇔
 y = −2
− 4 − y = 2
uuur
uuuu
r
A 2; −2 )
 3
3
Có AG = 2GM
. Vậy (
.

M ( 1; −1) ; N ( 5; −3)
Câu 114. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆MNP có
và P thuộc trục Oy. Trọng

tâm G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là:

A.

P ( 0; 4 )

B.

Đáp án C
Ta có P thuộc

Oy ⇒ ( 0; y )

P ( 2; 0 )

, G thuộc trục

C.
Lời giải

P ( 2; 4 )

Câu 115. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm

uuur
uuu
r uuur
mãn AE = 3 AB − 2 AC . Tọa độ của E là
( −3; −3)
( −3;3)

.

B.

Chọn B
Ta có

uuu
r
AB ( −1; −4 )

;

uuur
AC ( 1; −2 )

. Gọi

P ( 0; 2 )

Ox ⇒ G ( x;0 )

 1+ 5 + 0
 x =
x = 2
3
⇒
⇔
y = 4
0 = −1 − 3 + y
3
Vì G là trọng tâm ∆MNP 

A.

D.

E ( x; y )

.

C.
Lời giải

.

A ( 2;5) , B ( 1;1) , C ( 3;3 )

( 3; −3) .

 x − 2 = 3 ( −1) − 2.1
 x = −3
uuur
uuu
r uuur ⇔  y − 5 = 3 −4 − 2 −2 ⇔ 
( ) ( )

AE = 3 AB − 2 AC
 y = −3 ⇒ E ( −3; −3)
⇒ D ( 1; 0 )

21

D.

, một điểm E thỏa

( −2; −3) .


2 
G  ; 0÷
 , biết M ( 1; −1)
Câu 116. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm  3
là trung điểm của cạnh BC . Tọa độ đỉnh A là

A.

( 2; 0) .

B.

( −2; 0 ) .

C.
Lời giải

( 0; −2 ) .

D.

( 0; 2 ) .

Chọn B

Gọi

A ( xA ; y A )

. Ta tính được

uuuu
r
AM = ( 1 − x A ; −1 − y A )

uuuu
r 1

GM =  ; −1÷
3
.
,

uuuu
r uuuu
r
1 − x A = 1
x = 0
AM = 3GM ⇔ 
⇔ A
−1 − y A = −3  y A = 2 . Vậy A ( 0; 2 ) .
Ta có:

Vận dụng cao:

A ( 1;0 ) , B ( 0;3)
C −3; −5 ) .

Câu 117. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
và (
Tìm điểm M thuộc trục

hoành sao cho biểu thức

A.

M ( 4; 0 ) .

uuur uuur uuuu
r
P = 2MA − 3MB + 2MC

B.

M ( −4;0 ) .

C.
Lời giải

đạt giá trị nhỏ nhất.

M ( 16;0 ) .

D.

M ( −16;0 ) .

uuur uuur uuuu

r
uuu
r uu
r
uuu
r uur
uuu
r uur
2 MA − 3MB + 2 MC = 2 MI + IA − 3 MI + IB + 2 MI + IC , ∀I
Ta có
uuu
r
uu
r uur uur
= MI + 2 IA − 3IB + 2 IC , ∀I .
uur uur uur r
*
Chọn điểm I sao cho 2 IA − 3IB + 2 IC = 0. ( )

(

) (

) (

)

( *) ta có
2 ( 1 − x ) − 3 ( 0 − x ) + 2 ( −3 − x ) = 0
 x = −4

⇔
⇒ I ( −4; −19 ) .

2 ( 0 − y ) − 3 ( 2 − y ) + 2 ( −5 − y ) = 0
 y = −19

Gọi

I ( x; y )

)

(

, từ

uuur uuur uuuu
r uuu
r
P = 2MA − 3MB + 2MC = MI = MI .

Khi đó
Để P nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất. Mà M thuộc trục hoành nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu
⇒ M ( −4;0 ) .
vng góc của I lên trục hồnh

A ( 3; 4 ) , B ( 2;1) , C ( −1; −2 )
Câu 118. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có
. Tìm điểm M có tung độ dương

trên đường thẳng BC sao cho S ABC = 3S ABM .

A.

M ( 2; 2 )

Gọi
uuuu
r

M ( x; y )

B.

M ( 3; 2 )

C. (
Lờiuugiải
ur
uuuu
r

M −3; 2 )

S ABC = 3S ABM ⇔ BC = 3BM ⇒ BC = ±3BM
. Ta có:
uuur

BM = ( x − 2; y − 1) ; BC = ( −3;3 )

22

D.

M ( 3;3)


uuur uuuu
r x = 1
BC = 3BM ⇒ 
 y = 0 (loại)
- TH1:
uuur
uuuu
r x = 3
BC = −3BM ⇒ 
 y = 2 (nhận) ⇒ M ( 3; 2 )
- TH2:

Đáp án B

A ( −1; −1) , B ( 0;1) , C ( 3;0 )
Câu 119. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm
. Xác định tọa độ giao điểm I của
AD và BG với D thuộc BC và 2 BD = 5DC , G là trọng tâm ∆ABC

5 
I  ;1÷
A.  9 

1 
I  ;1÷
B.  9 

 35 
I  ;2÷
C.  9 

 35 
I  ;1 ÷
D.  9 

Lời giải

Ta có

uuu
r
uuur
uuu
r uuur
AB = ( 1; 2 ) , AC = ( 4;1) ⇒ AB, AC

không cùng phương.

uuur
uuur
2 xD = 5 ( 3 − xD )
2 BD = 5 DC ⇔ 
2 ( yD − 1) = 5 ( − yD )

Ta có

15

x
=
D

 15 2 
7
⇒
⇒ D ; ÷
 7 7
y = 2
 D 7

2 
G  ;0÷
I x; y )
Trọng tâm  3  . Gọi (
là giao điểm của AD và BG
uur
uuur  22 9 
7 ( x + 1) 7 ( y + 1)
AI = ( x + 1; y + 1) , AD =  ; ÷
⇒
=
⇔ 9 x − 22 y − 13 = 0
 7 7  cùng phương

22
9
Ta có
uur
uuur  1 
BI = ( x; y − 1) , BG =  − ; 0 ÷
 3  cùng phương ⇒ tồn tại số k ∈ ¡
Ta lại có
uur
uuur
 35 
BI = k BG ⇒ y = 1 ⇒ I  ;1÷
 9 

Đáp án D

A ( −1;2 ) B ( 2; 0 )
Câu 120. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh
,
,
C ( −3;1) .

 11 13 
I ; ÷
A.  14 14  .

Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC là
 11 13 
I  ;− ÷
B.  14 14  .

 11 13 
I − ; ÷
C.  14 14  .

Lời giải
Chọn D

23

 11 13 
I − ;− ÷
D.  14 14  .


Giả sử

I ( a; b )

khi đó:

uuur uuur
 IM . AB = 0
 uur uuur
 IN . AC = 0 ( *)

3
1 

M  ;1÷ N  −2; ÷

2  lần lượt là trung điểm AB , AC .
 2 , 
uuur  1
3
 uur 

uuu
r
uuur
IM =  − a;1 − b ÷ IN =  −2 − a; − b ÷
AB = ( 3; − 2 ) AC = ( −2; − 1)
2
2
,

.
Ta có:
,
,

 1

11

a=−
3  2 − a ÷− 2 ( 1 − b ) = 0

 



14 .
⇔

−2 ( −2 − a ) − 1 3 − b  = 0
b = − 13

÷


14
2

Do đó: 
 11 13 
I − ;− ÷
Suy ra:  14 14  .

A −1;2 )
Câu 121. Tam giác ABC có đỉnh (
, trực tâm H ( 3;0 ) , trung điểm của BC là M ( 6;1) . Bán kính

đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là
B. 5

A. 5 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn A

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Kẻ đường kính AA ' của đường trịn khi đó ta có
·ABA ' = ·ACA ' = 90°
hay A ' B ⊥ AB và A ' C ⊥ AC .
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ AC và CH ⊥ AB ⇒ BH P A ' C và CH P A ' B , do đó A ' BHC
là hình bình hành. Mà điểm M là trung điểm của đường chéo BC nên nó cũng là trung điểm của A ' H .

uuur
uuuur
 4 = 2 ( 6 − xO )
 xO = 4
AH = 2OM ⇔ 
⇔
 yO = 2
 −2 = 2 ( 1 − yO )
Từ đó suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHA ' nên:
⇔ O ( 4;2 )

.

24


2
2
OA = ( −1 − 4 ) + ( 2 − 2 ) = 5
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có độ dài bằng
.

uuuu
r uuur uuu
r
EM
+
EN
+
EP
M ( −1; − 2 ) N ( 3; 2 ) P ( 4; − 1)
Câu 122. [0H1-5.8-3] Cho
,
,
. Tìm E trên Ox sao cho
nhỏ nhất.
E 4;0 )
E 3;0
E 1;0
E 2;0 )
A. (
.
B. ( ) .
C. ( ) .
D. (
.
Lời giải
Chọn D.
⇒ E ( a;0 )
Do E ∈uOx
.
uuur

uuuu
r
uuur

(
);
(
);
(
)
Ta có: uuuur u
uur uuu
r
EM + EN + EP = ( 6 − 3a; − 1)
Suy ra
.
uuuu
r uuur uuu
r
2
2
EM + EN + EP = ( 6 − 3a ) + ( −1) = ( 6 − 3a ) 2 + 1 ≥ 1
Do đó:
.
uuuu
r uuur uuu
r
EM + EN + EP
Giá trị nhỏ nhất của
bằng 1 .

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 6 − 3a = 0 ⇔ a = 2 .
E 2;0 )
Vậy (
.
EM = −1 − a; − 2

EN = 3 − a; 2

EP = 4 − a; − 1

Bài 11. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ.
I. Nhận biết:

r

r

r

Câu 123. Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?

rr
a.b =
A.
rr
a.b =

r r
rr r r
r r

a .b
a.b = a . b .cos a, b
.
B.
.
rr
r r
rr r r
r r
a.b .cos a, b
a.b = a . b .sin a, b
C.
.
D.
r
r
r
Câu 124. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
rr r r
rr
r r
rr
rr
a.b = a . b
a
.
b
=
−
a

.b
A.
.
B. a.b = 0 .
C. a.b = −1 .
D.
r
r
r
r
r
rr
b
=2
a
=
3,
b
a
.b = −3. Xác định góc α giữa hai vectơ a
a
Câu 125. Cho hai vectơ
và
thỏa
mãn
và
r
và b .

( )

( )

( )

o
A. α = 30 .

o
B. α = 45 .

o
C. α = 60 .

o
D. α = 120 .

rr
r r
r
r
r
r
r
a
.
b
=
−
a
.b.

Câu 126. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc α giữa hai vectơ a và b khi
o
o
o
o
A. α = 180 .
B. αr= 0 . r
C. α = 90 .
D. α = 45 .
rr
a = ( 1;3) , b = ( −2;1)
Oxy
a.b
Câu 127. Trong mặt phẳng

cho
. Tích vơ hướng của 2 vectơ
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 128. Cặp vectơ nào sau đây vng góc?
r
r
r
r
a = ( 2; −1)
b = ( −3; 4 )
a = ( 3; −4 )
b = ( −3; 4 )
A. r

và r
.
B. r
và r
.
a = ( −2; −3)
b = ( −6; 4 )
a = ( 7; −3)
b = ( 3; −7 )
C.
và
. D.
và
.
uuu
r uuur
Câu 129. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vơ hướng AB. AC.
A. 1.

uuu
r uuur
AB
. AC = 2a 2 .
A.

uuu
r uuur
a2 3
AB. AC = −
2

B.

uuu
r uuur
a2
AB. AC = −
2
C.
25

uuur uuur a 2
AB. AC =
2 .
D.

là: