Formulae involving ∇ Vector Identities with Proofs: Nabla Formulae for Vector Analysis李国华 doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (86.93 KB, 8 trang )
1
Formulae involving ∇
Vector Identities with Proofs: Nabla Formulae for Vector Analysis
李国华 （Kok-Wah LEE） @ 08 May 2009 (Version 1.0)
No. 4, Jalan Bukit Beruang 5, Taman Bukit Beruang, 75450 Bukit Beruang, Melaka, Malaysia.
Email: ;
Tel.: +6013-6134998; +606-2312594; +605-4664998
www.xpreeli.com
All rights reserved.
Vector: A = A
1
i + A
2
j + A
3
k B = B
1
i + B
2
j + B
3
k C = C
1
i + C
2
j + C
3
k
Scalar:
φ
=
φ
(x,y,z)
ψ
=
ψ
(x,y,z)
Nabla:
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
(1) (A x B).C ≡ (B x C).A ≡ (C x A).B
(2) A x (B x C) ≡ (A.C)B - (A.B)C
(3) Prove ∇(
φ
+
ψ
) = ∇
φ
+ ∇
ψ
( )
(
)
(
)
(
)
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x ∂
+∂
+
∂
+∂
+
∂
+∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ψφψφψφ
ψφ
=
k
z
k
z
j
y
j
y
i
x
i
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ψ
φ
ψ
φ
ψ
φ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x
ψψψφφφ
=
ψφ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x
∴ ∇(
φ
+
ψ
) = ∇
φ
+ ∇
ψ
(4) Prove ∇(
φ
ψ
) =
φ
∇
ψ
+
ψ
∇
φ
( )
(
)
(
)
(
)
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
φψφψφψ
φψ
2
= k
x
k
x
j
x
j
x
i
x
i
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
φ
ψ
ψ
φ
φ
ψ
ψ
φ
φ
ψ
ψ
φ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x
φφφ
ψ
ψψψ
φ
=
φψψφ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x
∴ ∇(
φ
ψ
) =
φ
∇
ψ
+
ψ
∇
φ
(5) Prove ∇.(A + B) = ∇.A + ∇.B
( ) ( ) ( )
[ ]
kBAjBAiBAk
z
j
y
i
x
BA
332211
).( +++++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=+∇
=
(
)
(
)
(
)
z
BA
y
BA
x
BA
∂
+
∂
+
∂
+
∂
+
∂
+
∂
332211
= LHS
( ) ( )
kBjBiBk
z
j
y
i
x
kAjAiAk
z
j
y
i
x
BA
321321
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇+∇
=
z
B
y
B
x
B
z
A
y
A
x
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
321321
=
(
)
(
)
(
)
z
BA
y
BA
x
BA
∂
+
∂
+
∂
+
∂
+
∂
+
∂
332211
= RHS
LHS = RHS
∴ ∇.(A + B) = ∇.A + ∇.B
(6) Prove ∇x(A + B) = ∇xA + ∇xB
( ) ( ) ( )
[ ]
kBAjBAiBAxk
z
j
y
i
x
BAx
332211
)( +++++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=+∇
=
332211
BABABA
zyx
kji
+++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
y
BA
x
BA
j
z
BA
x
BA
i
z
BA
y
BA
∂
+∂
−
∂
+∂
+
∂
+∂
−
∂
+∂
−
∂
+∂
−
∂
+∂
112211
33
22
33
3
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
k
y
B
x
B
j
z
B
x
B
i
z
B
y
B
k
y
A
x
A
j
z
A
x
A
i
z
A
y
A
121323121323
=
321
AAA
zyx
kji
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
321
BBB
zyx
kji
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∴ ∇x(A + B) = ∇xA + ∇xB
(7) Prove ∇.(
φ
A) = (∇
φ
).A +
φ
(∇.A)
( )
kAjAiAk
z
j
y
i
x
A
321
.).(
φφφφ
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
=
(
)
(
)
(
)
z
A
y
A
x
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
321
φ
φ
φ
= LHS
( ) ( ) ( )
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇+∇ kAjAiAk
z
j
y
i
x
kAjAiAk
z
j
y
i
x
AA
321321
).(
φ
φφφ
φφ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
A
y
A
x
A
z
A
y
A
x
A
321
321
φ
φφφ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
A
z
A
y
A
y
A
x
A
x
A
3
3
2
2
1
1
φ
φ
φ
φ
φ
φ
=
(
)
(
)
(
)
z
A
y
A
x
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
321
φφφ
= RHS
LHS = RHS
∴ ∇.(
φ
A) = (∇
φ
).A +
φ
(∇.A)
(8) Prove ∇x(
φ
A) = (∇
φ
)xA +
φ
(∇xA)
( )
321
AAA
zyx
kji
Ax
φφφ
φ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
y
A
x
A
j
z
A
x
A
i
z
A
y
A
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
121323
φφφφφφ
=
k
y
A
y
A
x
A
x
A
j
z
A
z
A
x
A
x
A
i
y
A
y
A
y
A
y
A
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
1
1
2
2
1
1
3
3
2
2
3
3
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
k
y
A
x
Aj
z
A
x
Ai
y
A
y
A
φφφφφφ
121323
4
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+ k
y
A
x
A
j
z
A
x
A
i
y
A
y
A
121323
φφφφφφ
=
321
AAA
zyx
kji
∂
∂
∂
∂
∂
∂
φφφ
+
321
AAA
zyx
kji
∂
∂
∂
∂
∂
∂
φ
∴ ∇x(
φ
A) = (∇
φ
)xA +
φ
(∇xA)
(9) Prove ∇.(AxB) = B.(∇xA) - A.(∇xB)
321
321
.).(
BBB
AAA
kji
k
z
j
y
i
x
AxB
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
=
( ) ( ) ( )
[ ]
kBABAjBABAiBABAk
z
j
y
i
x
122113312332
. −+−−−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
(
)
(
)
(
)
z
BABA
y
BABA
x
BABA
∂
−∂
+
∂
−∂
−
∂
−∂
122113312332
( )
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
++=∇ k
y
A
x
A
j
z
A
x
A
i
z
A
y
A
kBjBiBxAB
121323
321
.).(
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
y
A
x
A
B
z
A
x
A
B
z
A
y
A
B
12
3
13
2
23
1
Similarly, by interchanging the variable of A and B, we have
( )
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
++=∇ k
y
B
x
B
j
z
B
x
B
i
z
B
y
B
kAjAiAxBA
121323
321
.).(
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
y
B
x
B
A
z
B
x
B
A
z
B
y
B
A
12
3
13
2
23
1
B.(∇xA) - A.(∇xB) =
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
x
B
A
x
A
B
z
B
A
z
A
B
y
B
A
y
A
B
2
3
3
2
1
2
2
1
1
3
3
1
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
y
B
A
y
A
B
x
B
A
x
A
B
z
B
A
z
A
B
3
1
1
3
3
2
2
3
2
1
1
2
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y
BA
x
BA
z
BA
x
BA
z
BA
y
BA
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
313221231213
=
(
)
(
)
(
)
z
BABA
y
BABA
x
BABA
∂
−
∂
+
∂
−
∂
−
∂
−
∂
122113312332
∴ ∇.(AxB) = B.(∇xA) - A.(∇xB)
5
(10) Prove ∇x(AxB) = (B.∇)A - B(∇.A) - (A.∇)B + A(∇.B)
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
kBABAjBABAiBABAx
BBB
AAA
kji
xAxBx
122113312332
321
321
−+−−−∇=∇=∇
=
122131132332
BABABABABABA
zyx
kji
−−−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
y
BABA
x
BABA
j
z
BABA
x
BABA
i
z
BABA
y
BABA
∂
−∂
−
∂
−∂
+
∂
−∂
−
∂
−∂
−
∂
−∂
−
∂
−∂
233231132332122131131221
= LHS
(B.∇)A - B(∇.A) =
( ) ( )
kBjBiB
z
A
y
A
x
A
kAjAiA
z
B
y
B
x
B
321
321
321321
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
k
y
A
B
x
A
B
y
A
B
x
A
Bj
z
A
B
x
A
B
z
A
B
x
A
Bi
z
A
B
y
A
B
z
A
B
y
A
B
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
2
3
1
3
3
2
3
1
3
2
1
2
2
3
2
1
3
1
2
1
1
3
1
2
Similarly, by interchanging the variable of A and B, we have
(A.∇)B - A(∇.B) =
( ) ( )
kAjAiA
z
B
y
B
x
B
kBjBiB
z
A
y
A
x
A
321
3
21
321321
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
k
y
B
A
x
B
A
y
B
A
x
B
Aj
z
B
A
x
B
A
z
B
A
x
B
Ai
z
B
A
y
B
A
z
B
A
y
B
A
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
2
3
1
3
3
2
3
1
3
2
1
2
2
3
2
1
3
1
2
1
1
3
1
2
(B.∇)A - B(∇.A) - (A.∇)B + A(∇.B)
=
i
z
B
A
z
A
B
y
B
A
y
A
B
z
B
A
z
A
B
y
B
A
y
A
B
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
1
3
3
1
1
2
2
1
3
1
1
3
2
1
1
2
j
z
B
A
z
A
B
x
B
A
x
A
B
z
B
A
z
A
B
x
B
A
x
A
B
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
2
3
3
2
2
1
1
2
3
2
2
3
2
1
2
1
k
y
B
A
y
A
B
x
B
A
x
A
B
y
B
A
y
A
B
x
B
A
x
A
B
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
3
2
2
3
3
1
1
3
2
3
3
2
1
3
3
1
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
y
BABA
x
BABA
j
z
BABA
x
BABA
i
z
BABA
y
BABA
∂
−∂
+
∂
−∂
+
∂
−∂
+
∂
−∂
−
∂
−∂
+
∂
−∂
322331133223122113311221
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
y
BABA
x
BABA
j
z
BABA
x
BABA
i
z
BABA
y
BABA
∂
−∂
−
∂
−∂
+
∂
−∂
−
∂
−∂
−
∂
−∂
−
∂
−∂
233231132332122131131221
= RHS
RHS = LHS
6
∴ ∇x(AxB) = (B.∇)A - B(∇.A) - (A.∇)B + A(∇.B)
(11) Prove ∇(A.B) = (B.∇)A + (A.∇)B + Bx(∇xA) + Ax(∇xB)
∇(A.B) =
( )
332211
BABABAk
z
j
y
i
x
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= LHS
(B.∇)A =
( )
kAjAiA
z
B
y
B
x
B
321321
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
( )
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
++=∇ k
y
A
x
A
j
z
A
x
A
i
z
A
y
A
xkBjBiBxABx
121323
321
)(
=
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A
BBB
k
j
i
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
123123
321
=
kB
z
A
y
A
B
x
A
z
A
jB
z
A
y
A
B
y
A
x
A
iB
x
A
z
A
B
y
A
x
A
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
2
23
1
31
3
23
1
12
3
31
2
12
Similarly, by interchanging the variable of A and B, we have
(A.∇)B =
( )
kBjBiB
z
A
y
A
x
A
321321
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
( )
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
++=∇ k
y
B
x
B
j
z
B
x
B
i
z
B
y
B
xkAjAiAxBAx
121323
321
)(
=
y
B
x
B
x
B
z
B
z
B
y
B
AAA
k
j
i
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
123123
321
=
kA
z
B
y
B
A
x
B
z
B
jA
z
B
y
B
A
y
B
x
B
iA
x
B
z
B
A
y
B
x
B
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
2
23
1
31
3
23
1
12
3
31
2
12
Hence
(B.∇)A + Bx(∇xA)
=
k
z
A
B
z
A
B
z
A
Bj
y
A
B
y
A
B
y
A
Bi
x
A
B
x
A
B
x
A
B
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
1
1
3
3
3
3
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
(A.∇)B + Ax(∇xB)
=
k
z
B
A
z
B
A
z
B
Aj
y
B
A
y
B
A
y
B
Ai
x
B
A
x
B
A
x
B
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
1
1
3
3
3
3
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
7
(B.∇)A + (A.∇)B + Bx(∇xA) + Ax(∇xB)
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
z
BA
z
BA
z
BA
j
y
BA
y
BA
y
BA
i
x
BA
x
BA
x
BA
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
221133331122332211
=
(
)
(
)
(
)
k
z
BABABA
j
y
BABABA
i
x
BABABA
∂
+
+
∂
+
∂
+
+
∂
+
∂
+
+
∂
332211332211332211
=
( )
332211
BABABAk
z
j
y
i
x
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= RHS
LHS = RHS
∴ ∇(A.B) = (B.∇)A + (A.∇)B + Bx(∇xA) + Ax(∇xB)
(12) Prove ∇.(∇
φ
) = ∇
2
φ
∇.(∇
φ
) =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
k
y
j
x
i
z
k
y
j
x
i
φφφ
.
=
φ
φφφ
2
2
2
2
2
2
2
∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zyx
∴ ∇.(∇
φ
) = ∇
2
φ
(13) Prove ∇x(∇
φ
) = 0
∇x(∇
φ
) =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
k
y
j
x
ix
z
k
y
j
x
i
φφφ
=
zyx
zyx
kji
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
φφφ
=
(
)
(
)
(
)
kji
xyyxxzzxyzzy
φφφφφφ
−+−−−
Since
φ
has continuous second order partial derivatives, we have
φ
xy
=
φ
yx
φ
yz
=
φ
zy
φ
zx
=
φ
xz
∴ ∇x(∇
φ
) = 0
8
(14) Prove ∇.(∇xA) = 0
∇.(∇xA) =
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
k
y
A
x
A
j
z
A
x
A
i
z
A
y
A
z
k
y
j
x
i
121323
.
=
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂∂
∂
zy
A
zx
A
yz
A
yx
A
xz
A
xy
A
1
2
2
2
1
2
3
2
2
2
3
2
= 0
∴ ∇.(∇xA) = 0
(15) Prove ∇x(∇xA) = ∇(∇.A) - ∇
2
A
∇x(∇xA) =
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
k
y
A
x
A
j
z
A
x
A
i
z
A
y
A
x
z
k
y
j
x
i
121323
=
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A
zyx
k
j
i
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
123123
=
k
yz
A
y
A
x
A
xz
A
j
z
A
zy
A
xy
A
x
A
i
xz
A
z
A
y
A
yx
A
∂∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
2
2
2
3
2
2
3
2
1
2
2
2
2
3
2
1
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
1
2
2
2
= LHS
∇(∇.A) - ∇
2
A
=
( )
kAjAiA
zyxz
A
y
A
x
A
z
k
y
j
x
i
321
2
2
2
2
2
2
321
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
k
y
A
x
A
zy
A
zx
A
j
z
A
x
A
yz
A
yx
A
i
z
A
y
A
xz
A
xy
A
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
3
2
2
2
= RHS
LHS = RHS
∴ ∇x(∇xA) = ∇(∇.A) - ∇
2
A
