Đề dự bị 3 - Môn Toán cho sỹ tử năm nay

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2006 (ĐỀ DỰ TRỮ)
Đề DỰ BỊ 1 – khối A – 2006

Phần Chung Cho Tất Cả Các Thí Sinh

Câu I
(2 đ)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
y =
xx
x
++
+
2
25
1
(C)
2) Dựa vào đồ thò (C), tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm
dương phân biệt
x
2
+ 2x + 5 = (m
2
+ 2m + 5)(x + 1)
Câu II
(2 đ)

1) Giải phương trình: cos3x cos
3
x – sin3x sin
3
x =
+232
8

2) Giải hệ phương trình:
()()
(, )
()( )
xyyxy
x
yR
xyx y
⎧
++ + =
⎪
∈
⎨
++−=
⎪
⎩
2
2
14
12

Câu III

(2 đ)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hình lăng trụ
đứng ABC
A
BC
′
′′
có A(0, 0, 0) ; B(2, 0, 0) ; C(0, 2, 0) ;
A
′
(0, 0, 2)
1) Chứng minh
A
′
C vuông góc với BC. Viết phương trình mp (AB
C
′
)
2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
B
C
′
′
trên
mp (AB
C
)
′
Câu IV (2 đ)
1) Tính tích phân: I =

dx
x
x++ +
∫
6
2
21 41

2) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x
2
+ xy + y
2

≤
3.
Chứng minh rằng:
xxyy
−
−≤ − − ≤ −
22
43 3 3 43 3

Phần tự chọn:
Thí sinh chọn câu Va hoặc câu Vb
Câu Va (2đ)


) 1 Trong mp với hệ trục Oxy, cho elíp (E):
xy
+

=
22
1
12 2

Viết phương trình hypebol (H) có hai đường tiệm cận là y =
±
2x
và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elíp (E)
2)Áp dụng khai triển nhò thức Newton của (x
2
+ x)
100
, chứng minh rằng:
CC C
⎞ ⎛⎞ ⎛
−+−
⎜⎟ ⎜⎟
99 100
0 1 99
11 1
100 101 199 C
⎛ ⎞ ⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
198 199
100
100 100 100
1

200 0
2 2 2
ập k
1) ải phươ
2) o h hộp
⎜⎟
⎝⎠
100
2
(
k
n
C là số tổ hợp ch của n phần tử )
Câu Vb (2 đ)
Gi bất ng trình: log
x + 1
(-2x) > 2
Ch hìn đứng ABCD.
A
BCD
′
′′′
có các cạnh AB = AD = a,
A
A
′
=
a 3
2
và góc BAD = 60

0
. Gọi M và N ần lượt là trung điểm l
ùc cạnh
A
D
′
′
và
A
B
′
′
. Chứng của ca minh A
C
′
vuông góc với mp
ùp A.BDMN (BDMN). Tính thể tích khối cho
Bài giải

1/ KS y=
x
x
+
+
2
25x+
1
, MXĐ: D=R/
{
}

−
1

y’=
()
xx+−
2
23
, y
x +
2
’=0
⇔
1
x=1 hay x=-3
TC: x=1, y=x+1
-3 -1

x -
∞ 1 +∞
y’ + 0 - - 0 +
y -4 +
∞
+∞

-∞ -
∞
4

2/ Tìm m để pt có 2 nghiệm d ơng phân biệt. Vì x >0, pt đã cho ư
⇔

xx++
+
2
2
25
25

mm
x
=+
+1




Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thò hàm
xx
x
++
+
25
1
, x > 0, với đường thẳng y=
2
mm
+
+

2
25
. Từ BBT
và y(0) ta suy ra
⎪
⎩
≠−
số y =
của (C)
ycbt
⇔

mm
⎧
⎪
< + + < <=>
⎨
m
m
−
<<
1
20
II
2
4255

Câu

+232

1/Giải pt: cos3x.cos
3
x-sin3x.sin
3
x=
8
(1)
(1) 3x(c 3cos in3x(3sinx sin3x)=
+232
2

⇔
cos os3x+ x)-s -
⇔
cos
2
3x+sin
2
3x+3(cos3x.cosx-sin3x.sinx)=
+
2
32
1

cos4x=
⇔
2
π
4
⇔

x=
k
π
π
±+
16
=cos
2
2

2/ Gỉai hệ phương trình
)( )
x
()yy x y
(
x
yx y
⎧
++
⎪
⎨
+ =
+
+− =
2
2
14
12
(I)
*Khi y=0 thì (I)

⎪
⎩
⇔
)( )( x
x
x
⎧
+
⎪
⎨
⎪
+
−=
⎩
=
2
2
1
120
0
(VN)
*Khi y 0 chia hai pt cho y
(I)
≠
⇔
()
x
yx
⎧
+

++
⎪
y
x
yx
−=
⎪
⎨
+
⎪
y
+
−=
⎪
2
2
22
1
21
⎩
1
()()
x
yx
y
yx yx
⎧
+
++−=
⎪

⎨
⎪
+
−−+−+=
⎩
2
2
1
22
22 21

⇔

0
ng và tích ) ( do pt tổ
⇔
yx
x
x
+−=
⎧
⎨
+= −
⎩
2
21
13
⇔
x
y

=
⎧
⎨
=
⎩
1
2
hay
x
y
=
−
⎧
⎨
=
⎩
2
5

Cách khác
Thay y của pt 2 vào pt 1
( I)
()( )()()( )
()( )
x x yx yx x yx
xyxy
⎧
++ + + − + = + + −
⎪
⇔

⎨
++−=
⎪
⎩
22 2
2
11 2 41 2
12

ta có


)2
( chia 2 vế của pt 1 cho 1 + x
2
)
)
12

()()(
()( )
yx yx yx
xyxy
++− += +−
⎧
⇔
⎨
++−=
⎩
2

124
12
()( )(
()( )
yx yx yx
xyxy
+ +− +−+ = +−
⎧
⇔
⎨
++−=
⎩
2
122242
⇔
yx
x
x
⎨
−
2
⇔
+
⎧
−=
+=
21
13
⎩
x

y
=
⎧
⎨
=
⎩
2
hay
y
1 x
=
−
⎧
⎨
=
⎩
5

2
Câu III.

1/CM: A’C BC’. Viết phương trình mp(ABC’)
ó
( ,,)−
⊥
Ta c
/
(,, ), 'AC BC=− =
uuuur
u

uuur
02 2

222

''. ' .( )
A
.() .() 'CBC BC=− ⊥0 2
uuuur uuuur r uuuur
. Vì A’C
AC+ − =⇔22 22 0
uuuu
⊥
BC’,
A’
)=−02 2
C
⊥ AB=> A’C ⊥ (ABC’)
⇒ 'AC
uuuur
là PVT của mp(ABC’)
(,,
⇒
pt(ABC’): 0.(x-0)+2(y-0)-2(z-0) = 0
⇔
y - z = 0
2/Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B’C’ lên mp(ABC’)
Ta có
''BC=
uuuuur uuur

( ,,)
BC=−220
. Gọi (
α
) là mp chứa B’C’ và
⊥
(ABC’).
h hiếu vuông góc của B’C’ lên mp(ABC’) l iao tuyến của K i đó hình c à g
(
α
) và (ABC’)
(
α
) có PVT
⎡⎤
==−−−=−444 4111
uur uuuuur uuuur
'',' ( , , ) (,,)nBCAC
α
⎣⎦
⇒
pt(
α
):1(x-0)+1(y-2)+1(z-2)=0
⇔
x+y+z - 4=0.
nh chiếu B’C’ lên (ABC’) là
xyz
yz
⎧

⎪
⎨
⎪
⎩
+
+−=
−
Vậy pt hì
=0
40

Câu IV

1/ Tính I=
dx
x
x++ +
2
21 41
∫
6
Đặt t=
x
+
41
⇒
t
2
=4x+ x=1
⇒

t
−
2
1
4
,
tdt
2
dx= .Đổi cận : t ( 2) = 3 ; t ( 6 ) = 5
I=
()tdt+−
5
11
() (ttt
=−
+++
∫∫∫
2
333
11
)
dt dt
55
1
=
2
ln lnt
t
⎡⎤
++ = −

⎢⎥
+
⎣⎦
3
13
1
1212

5
1
2/Chứng minh:
xxy y−−≤−−≤ −
22
43 3 3 43 3
với x

2
+xy+y
2

Đặt A= x
2
+xy+y
2
, B= x
2
-xy-3y
2

*Nếu y= theo û thiết A=x0 thì gia
2

≤
3 B=x
2
. Do đó
⇒
B−−≤≤ <43 0 43≤ −3 3 3
(ĐPCM)
:
()Ax xy y t t
BA
x
xy y t t
−
−−
==
−
+
++
222
222
33
1

*Nếu y
≠

0 Đặt t=
x
y
.Ta có
+
Ta tìm tập giá trò của
()()
tt
tu
−−
uutu
tt
=
⇔− ++
2
2
3
11
()vì và b=au=−1
++=
++
2
30
1

+1
không đồng thời bằng 0 nên
miền giá trò củ la
u
ø

Δ
≥⇔0
−−343
3
≤
u
≤
−+343
3
a u .
A.u và Ta có B = 0
≤
A
≤
3
−3
⇒
−4
B
3
≤

≤
−+343

Câu Va

1/(E):
xy
22

m
là
+=1
12 2
có hai tiêu điể
( (,F−
1
10,), )F
2
10 0 0

(H) có cùng tiêu điểm với (E)
xy
22
ab
−=
22
1
vơ
⇒
(H): ùi
a
2
+b
2
=c
2
=10 (1)
(H) có hai tiệm cận
()

b
yx x
a
b
⇔==>22

ba
=± =±
=
2
2
Từ (1),(2) suy ra a
2
=2,b
2
=8
pt(H):
a
⇒
xy
−=
22
1
28
2/ Ta có
()

x
xCxCxCx Cx+= + + ++
2 100 0 100 1 101 2 102 100 200

lấy
100 100 100 100
đạo
hàm hai vế, cho x= -
1
2
và nhân hai vế cho (-1).Ta có kết quả:
( ) () ()CC C C+− =
100 100 100
100 199 00
2 2 2
) (− +
1 99 100
99 100 198 199
100
11 1 1
101 2 0
2

Vb
0
Câu

x
+
1/Giải pt:
log
x
( )
−

>
1
22
(1). Với ĐK: -1< x < 0 0 < x + 1 < 1
⇒


(1)
và -1< x <0
<
⇔
log ( ) log ( )
xx
xx
++
−>= +
2
11
22 1
⇔
x
xx++>
⎩
2
410
− <
⎧
⎨
10

⇔
-2+
3
< x < 0
2/ Gọi O là tâm hình thoi ABCD
S là điểm đối xứng của A qua A’. Khi đó S,M,D thẳng hàng
và M l SD ; S,N,B thẳng hàng và N là
trung của SB
à trung điểm của
điểm
có AB=AD= a
B
ADΔ

B
AD
=60
0
⇒
B
ADΔ đều AO=
⇒
a 3
2
,
AOAC=2 =
a 3
=SA
a 3
=AO Hai tam gi

2
a âng
ø A n
ùc vuoCC’=
SAO va CC’ bằng hau
⇒


''
A
SO CAC A>C SO==⊥ (1)
Vì D BD AC và B
⊥
⊥
AA’
C’ (
Từ (1) và (2) suy ra AC’

⇒
BD ⊥ (AC C’A’)
⇒
BD ⊥ A 2)
⊥
(BDMN)
đó: V
ABDMN
=
3
4
1

V
SABD
( vì S

S
Do
MN
=
4
S
SBD
)

.
ABD
aa
SA S a =3
4 16
=
=
2
3
31 1 3 3
43 4

Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh - Lưu Nam Phát
( Trung Tâm Luyện Thi Vónh Viễn )