Giáo án hình học lớp 11 vectơ trong không gian, hai đường thẳng vuông góc

CHUN ĐỀ VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được các tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ.
+ Phát biểu được tích vơ hướng của hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng.
 Kĩ năng
+

Chứng minh được các đẳng thức vectơ, biểu diễn được vectơ theo các vectơ khơng trùng
phương với nó.

+ Nắm được phương pháp chứng minh sự cùng phương của hai vectơ, tìm được điều kiện của ba
vectơ đồng phẳng.
+ Tính được góc giữa hai đường thẳng. Vận dụng được tích vơ hướng của hai vectơ để giải các
bài toán.

 

Trang 1


 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
A. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Các định nghĩa
a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt
điểm đầu và điểm cuối).


+) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay
  
a, x, y,...
+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.
+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.

Sự cùng phương của hai vectơ

 
 a
và
cùng
phương
b0
trùng nhau.


 k   : a  k .b
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của

 
chúng song song hoặc trùng nhau.
 a
và
cùng
hướng
b0



Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược
 k    : a  k .b

 
hướng.
 a
và
b0
ngược
hướng
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có


 k    : a  k .b
cùng độ dài.
 Ba điểm A, B, C thẳng hàng
Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng


 k   : AB  k . AC
nhưng có cùng độ dài.

b) Vectơ – khơng là vectơ có điểm đầu và điểm cuối
c)
d)
e)
f)

Các quy tắc tính tốn với vectơ

g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng)
  
AB  BC  AC

Quy tắc ba điểm (mở rộng).
  
  
AX 1  X 1 X 2  X 2 X 3 ...  X n 1 X n  X n B  AB .

h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ)
  
OB  OA  AB
i) Quy tắc hình bình hành

  
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC .

j) Quy tắc hình hộp. Nếu ABCD. ABC D là hình
hộp thì

   
AC   AB  AD  AA


k) Phép nhân một số k với một vectơ a .

Ta có k a là một vectơ được xác định như sau.

+ cùng hướng với a nếu k  0 .

TOANMATH.com

Trang 2


 

+ ngược hướng với a nếu k  0 .


+ có độ dài k a  k . a

Một số hệ thức vectơ hay dùng
l) Hệ thức về trung điểm của đoạn thẳng
  
I là trung điểm của đoạn thẳng AB  IA  IB  0
 

OA  OB  2OI (với O là một điểm bất kỳ).
m) Hệ thức về trọng tâm của tam giác
   
G là trọng tâm của tam giác ABC  GA  GB  GC  0
  

 OA  OB  OC  3OG (với O là một điểm bất kỳ)

 2 
 AG  AM (với M là trung điểm cạnh BC).
3

n) Hệ thức về trọng tâm của tứ diện
G là trọng tâm của tứ diện ABCD
    
 GA  GB  GC  GD  0
   

 OA  OB  OC  OD  4OG (với điểm O bất kỳ)

 3 
 AG  AA (với A là trọng tâm của BCD )
4
  
 GM  GN  0 (với M, N là trung điểm một cặp cạnh
đối diện).
Sự đồng phẳng của ba vectơ

o) Định nghĩa
Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu
giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Hệ quả

Nếu có một mặt phẳng chứa vectơ này đồng
thời song song với giá của hai vectơ kia thì
ba vectơ đó đồng phẳng.

Ứng dụng:
p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng
 

Trong không gian cho hai vectơ a, b không cùng phương
  
 AB, AC , AD

và vectơ c .



đồng phẳng  AB  m. AC  n. AD
 

Khi đó, a, b và c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số



 m; n  sao cho c  ma  nb (cặp số  m; n  nêu trên là duy

nhất)
q) Phân tích một vectơ theo ba vectơ khơng đồng
phẳng

 

Cho ba vectơ a, b và c không đồng phẳng.

Với mọi vectơ x , ta đều tìm được duy nhất một bộ số
TOANMATH.com

Chú ý:

Trang 3


 

 m; n; p  sao cho





x  m.a  n.b  p.c

Tích vơ hướng của hai vectơ
 
 
  
 
a) Nếu a  0 và b  0 thì a.b  a . b .cos(a, b)

Bình phương vô hướng của một vectơ:
2  2
a a

 
 

b) Nếu a  0 và b  0 thì a.b  0

Một số ứng dụng của tích vơ hướng

 
 
 

a) Nếu a  0 và b  0 ta có a  b  a.b  0

b) Cơng thức tính cơsin của góc hợp bởi hai

vectơ khác 0 .

 
a.b
cos a, b   
a.b

 

c) Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng

 2
AB  AB  AB
B. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Nhận xét:

Góc giữa hai vectơ trong không gian
a)
Nếu
a
là vectơ chỉ phương của đường




Định nghĩa: Trong không gian, cho u và v là hai vectơ
thẳng d thì vectơ k a với k  0 cũng là

khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao
vectơ chỉ phương của d.
   
AB  u, AC  v .
Khi
đó
ta
gọi b) Một đường thẳng trong khơng gian hồn
cho


tồn xác định nếu biết một điểm A thuộc d
 0  BAC
  180 là góc giữa hai vectơ u và v
BAC

và một vectơ chỉ phương a của nó.
 
trong khơng gian, kí hiệu là u , v
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi





 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng


Vectơ a khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường

thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với

đường thẳng d.

và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân
biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng
phương.

 
Chú ý. Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ
phương của đường thẳng a và b.
 
Đặt u , v   .

 

khi 0    90

a, b   
Khi đó 
180   khi 90    180
+) Nếu a//b hoặc a  b thì 

a , b   0 .
+) 0  
a, b   90 .
Góc giữa hai đường thẳng

TOANMATH.com

Trang 4


 

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong khơng gian là góc
giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và Nhận xét

a) Nếu hai đường thẳng a, b lần lượt có các
 
vectơ
chỉ
phương
u, v
thì

a  b  u.v  0 .

lần lượt song song với a và b.

a / / b
b) 
cb

c  a

Hai đường thẳng vng góc
Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vng góc với

nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .
Kí hiệu: Đường thẳng a và b vng góc với nhau kí hiệu

là a  b .
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA

 
a, b
cùng hướng

 
a b

Vectơ là một đoạn
thẳng có hướng
 
ab

Định nghĩa

Hai vectơ được gọi là
cùng phương nếu giá
của chúng song song
hoặc trùng nhau.

 
a, b
ngược hướng

 
a b

 
a, b
đối nhau

Một số hệ thức vectơ
trọng tâm

Độ dài của vectơ là
khoảng cách giữa
điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó


AB  AB

Vectơ – khơng là vectơ có điểm
đầu và điểm cuối trùng nhau.

VECTƠ
TRONG
KHƠNG

Các phép tốn

vectơ

GIAN

Quy
tắc 3 điểm:
  
AB  BC  AC

I là trọng tâm của hệ n điểm
A1 ; A2 ;...; An
 
 
 IA1  IA2  ...  IAn  0
 
 
a, b không cùng phương thì a, b và

c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại



cặp số  m; n  sao cho c  ma  nb

Phép trừ:

  
OB  OA  AB

Sự đồng đẳng

của ba vectơ

Nếu ABCD
là hình
 bình
hành thì
AB  AD  AC

Nếu ABCD. ABC D là hình hộp thì
   
AC   AB  AD  AA
TOANMATH.com

Trang 5


 

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Vectơ trong không gian
Bài toán 1. Xác định vectơ và chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải

Vận dụng các kiến thức sau.



Định nghĩa các khái niệm liên quan đến vectơ;



Tính chất hình học của các đa giác đã học;



Các quy tắc tính tốn với vectơ;



Một số hệ thức vectơ hay dùng;



Các tính chất của các hình hình học cụ thể.

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng
   

AC  BD  AD  BC  2 MN
Hướng dẫn giải

   
Ta có AC  BD  AD  BC
   
 AC  AD  BC  BD
 
 DC  DC (đẳng thức này đúng).

Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD
 

 AM  BM  0
nên   
 NC  ND  0
    
  
Do đó AD  BC  AM  MN  NB  BM  MN  ND



 



 
 


 AM  BM  NB  ND  2 MN  2 MN



 



   

Vậy AC  BD  AD  BC  2 MN

Ví dụ mẫu

TOANMATH.com

Trang 6


 
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của

vectơ.

   
a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ AB, AC , AD, AA .

b) Hãy kể tên các vectơ ln có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ BC .

Hướng dẫn giải

+)
+)
+)
+)

a) Ta có
   
AB  DC  AB  DC  .
 
AC  AC  .
   
AD  BC  AD  BC 

   
AA  BB  CC   DD

b) Từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra các

vectơ ln có độ dài bằng độ dài của vectơ BC là
       
BC , CB, AD, DA, AD, DA, BC , C B .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
   
a) Chứng minh SA  SC  SB  SD
 2  2  2  2
b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA  SC  SB  SD
Hướng dẫn giải

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là
trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.
 

 

Do đó SA  SC  2 SO và SB  SD  2 SO
   
Vậy SA  SC  SB  SD
 2
  2  2  2
 
b) Ta có SA  SO  OA  SO  OA  2SO.OA ,



 2
 
SC  SO  OC





2



 2  2
 
 SO  OC  2 SO.OC .

 2  2
 2  2  2
  
Suy ra SA  SC  2 SO  OA  OC  2 SO OA  OC









 2  2


  
 2 SO  OA (vì OA và OC là hai vectơ đối nhau nên OA  OC  0 )
 2  SO 2  OA2 

 2  2
Tương tự. SB  SD  2  SO 2  OB 2 
Mà ABCD là hình chữ nhật nên OA  OB
 2  2  2  2
Suy ra SA  SC  SB  SD
Bài toán 2. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng

TOANMATH.com

Trang 7


 
Phương pháp giải



Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng một trong các cách sau.

+ Chứng minh ba vectơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
+ Chứng minh hai vectơ có giá cùng song song với mặt phẳng chứa giá của vectơ còn lại.




+ Biến đổi vectơ để được đẳng thức dạng c  m.a  n.b


Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng


 k   : AB  k . AC

 
 k   : k .MA  1  k  .MB  MC
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho
  
AM  2 MD, BC  3 NC . Chứng minh ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng.
Hướng dẫn giải

   
 MN  MA  AB  BN
  
Ta có  
2
MN

2
MD  DC  CN






  
 
 
Cộng vế theo vế của hai đẳng thức này ta được 3MN  MA  2 MD  BN  2CN  AB  2 DC



 

 



 1  2 
     
Do MA  2 MD  0, BN  2CN  0 nên MN  AB  CD
3
3
  
Vậy AB, CD, MN đồng phẳng.
Ví dụ mẫu

     
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có AA  a, AB  b, AC  c . Hãy phân tích các vectơ
  
 
BC , BC  qua các vectơ a, b, c .
Hướng dẫn giải
  

  
  
Ta có BC  BB  BC   AA  AC  AB   a  b  c
        
BC   BC  CC   AC  AB  AA  a  b  c

TOANMATH.com

Trang 8


 

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho




MS  2 MA và NC  2 NB . Chứng minh rằng ba vectơ
  
AB, MN , SC đồng phẳng.
Hướng dẫn giải

     
Từ giả thiết ta có MS  2MA  0; CN  2 BN  0
   
 MN  MS  SC  CN
  
Lại có  
2MN  2 MA  AB  BN





Cộng vế theo vế ta được
  
     
3MN  MS  2MA  CN  2 BN  SC  2 AB  SC  2 AB



 



  
Vậy AB, MN , SC đồng phẳng.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A, B, C  lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho

SA  a.SA, SB  b.SB, SC  c.SC  , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng

 ABC 

đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a  b  c  3 .

Hướng dẫn giải


 

 

Từ giả thiết ta suy ra SA  a.SA, S B  b.SB, SC  c.SC 
  

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có SA  SB  SC  3SG




G   ABC    SG  x.SA  y.SB  z.SC  với x  y  z  1




 3SG  3x.SA  3 y.SB  3z.SC  với x  y  z  1






 a.SA  b.SB  c.SC   3x.SA  3 y.SB  3 z.SC 


 
  a  3x  .SA   b  3 y  .SB   c  3 z  .SC   0
  
 a  3x  b  3 y  c  3z  0 (do SA, SB, SC  không đồng phẳng)
+) Nếu G   ABC   ta có a  3x  b  3 y  c  3 z  0 (với x  y  z  1 ).

Do đó a  b  c  3
+) Nếu a  b  c  3 , ta đặt x 
x yz 

a
b
c
, y  , z  thì
3
3
3

abc
 1 và a  3x  b  3 y  c  3z  0
3

Do đó G   ABC   .

TOANMATH.com

Trang 9


 
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho

 

MA  2MB, ND  2 NC ; các điểm
I, J, K

lần lượt thuộc
AD, MN , BC
sao cho

 
 

IA  k .ID, JM  k .JN , KB  k .KC . Chứng minh rằng các điểm I , J , K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

 
 OA  2OB


Ta có MA  2MB nên với điểm O bất kỳ thì OM 
3
Tương tự, ta chỉ ra được








 OD  2.OC  OA  k .OD  OB  k .OC  OM  k .ON
ON 
, OI 
, OK 
, OJ 

3
1 k
1 k
1 k



1 1  
Ta có OJ 
. OA  2OB  k .OD  2k .OC
1 k 3


1 1

. 1  k  OI  2 1  k  OK 
1 k 3





1   1  2 
OI  2OK  OI  OK
3
3
3


1   2  

1  2 
Suy ra OI  OJ  OK  OJ  0  JI  JK  0  IJ  2 JK
3
3
3
3








 



Suy ra I , J , K thẳng hàng.

Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Gọi G, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA, CBD .
Chứng minh các điểm A, G, G, C  thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

     
Đặt AB  a, AD  b, AA  c
   
Ta có AC   a  b  c (quy tắc hình hộp).
 1    1   

Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG  AB  AD  AA  a  b  c
3
3



TOANMATH.com

 


Trang 10