Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS

SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI – ÉT
TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCS
1 - MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Tốn lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với
phương trình bậc hai, cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là
định lý Vi-ét và ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải tốn vơ cùng phong
phú, đa dạng.
Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường TH&THCS Đông Phú tôi nhận
thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa thuần
thục việc khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài tốn, trong
khi đó hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán.
Một vài năm trở lại đây, trong các đề thi vào lớp 10 THPT, các bài tốn về
phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất hiện khá phổ biến. Tuy
nhiên trong phân phối chương trình hiện hành chỉ có 2 tiết ( 59 và 60), vì thế đa
số học sinh thường lúng túng khi đứng trước bài tốn có liên quan đến định lý
Vi-ét và ứng dụng của định lý này, các em cần có tài liệu hướng dẫn cụ thể, chi
tiết, dễ học, dễ hiểu.
Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có
khả năng giải quyết được các bài tập phần này tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài:
“Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp
THCS” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định
lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học tốn và kích thích hứng thú
học tập của học sinh.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, đặc điểm của lớp
học gồm nhiều đối tượng học sinh với trình độ và năng lực tiếp thu khác nhau,
tơi thấy rất cần phân loại các dạng toán từ đơn giản để các em nắm chắc kiến

thức cơ bản, đến phức tạp và phong phú dần giúp các em nâng cao kiến thức,
phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, linh hoạt trong giải toán.
- Xuất phát từ nhu cầu của bản thân muốn trau dồi kiến thức và muốn
soạn tài liệu tham khảo phục vụ cho việc giảng dạy đạt hiệu quả hơn.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý
Vi-ét trong việc giải một số bài tốn thường gặp ở cấp THCS. Do đó chỉ đề cập
đến một số loại bài tốn đó là:
1
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài tốn thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

1- Khơng giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm.
2- Ứng dụng của định lý Vi-ét trong các bài toán giải phương trình bằng
cách nhẩm nghiệm.
3-Ứng dụng của định lý Vi-ét trong các bài tốn tìm hai số biết tổng và
tích của chúng.
4- Ứng dụng của định lý Vi-ét trong các bài tốn có biểu thức đối xứng
giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai.
5- Ứng dụng của định lý Vi-ét trong các bài tốn tìm hệ thức giữa các
nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai khơng phụ thuộc vào tham số.
6- Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải tốn tìm điều kiện của tham số
để bài tốn thoả mãn các yêu cầu đặt ra
7- Ứng dụng của định lý trong giải bài tốn lập phương trình bậc hai một
ẩn khi biết hai nghiệm của nó.

8- Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.
9- Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.
10- Định lý Vi-ét với bài tốn cực trị.
11- Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán về dấu nghiệm số của
phương trình bậc hai.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Khi tiến hành xây dựng đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết dựa trên các tài liệu
hướng dẫn và kinh nghiệm giảng dạy của bản thân.
+ Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phương trình bậc hai, định lý Viét trong chương trình đại số 9.
+ Nghiên cứu những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dưỡng học
sinh giỏi, sáng kiến kinh nghiệm của đồng nghiệp, các đề thi THPT các năm.
+ Qua thực tế giảng dạy, đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh
giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT.
+ Qua trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của bạn bè, đồng nghiệp, những
đồng chí có nhiều năm cơng tác, có bề dày kinh nghiệm.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu:
+ Thống kê, phân loại các dạng bài tập.
+ Nêu phương pháp giải cho từng dạng bài tập.
+ Đưa ra một số ví dụ điển hình và cách giải.
+ Một số bài tập vận dụng cho mỗi dạng.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
2 - néi dung
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
2
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú

SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

- Định lý là mệnh đề đúng, vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về phương
diện suy luận và ứng dụng trong chương trình tốn nói chung cũng như tốn
THCS nói riêng.[5]
- Định lý Vi-ét trong chương trình đại số lớp 9 THCS nêu rõ mối quan hệ
giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai với các hệ số của nó. Định lý
này có giá trị đặc biệt là nêu lên được nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài
tốn có liên quan đến phương trình bậc hai .
-Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trị quan trọng, mở ra
hướng giải quyết cho nhiều bài tốn có liên quan đến nghiệm của phương trình
bậc hai một cách phong phú, đa dạng.[5]
- Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chương trình
đại 9 có ý nghĩa đặc biệt là làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn các nghiệm số của
một phương trình bậc hai. [6]
- Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm giàu các
dạng bài tập về phương trình bậc hai, các bài tốn có liên quan đến nghiệm của
phương trình bậc hai, những kỹ thuật giải phương trình, hệ phương trình độc đáo
nhờ hệ thức Vi-ét. [6]
- Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây được hứng thú giải bài
tập cho học sinh, hình thành cho học sinh những ý tưởng phong phú, trau dồi tư
duy và óc sáng tạo cho các em khi giải các bài tốn có liên quan đến phương
trình bậc hai. [4]
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
- Đặc điểm: Đơn vị tôi đang công tác là trường TH&THCS Đông Phú –
Là một xã vùng nông thôn cách xa trung tâm huyện. Ở đây có nhiều gia đình
học sinh bố mẹ đi làm ăn xa, để con em tự chăm sóc nhau hoặc ở với ông bà hay
anh em họ hàng nên phong trào học tập còn nhiều hạn chế.
- Những mặt đã đạt được:

+ Giáo viên nhiệt tình, có trách nhiệm, truyền đạt đầy đủ kiến thức trong
chương trình.
+ Đa số học sinh nắm được kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa.
- Những mặt còn hạn chế:
+ Do nhiều em sống xa bố mẹ, ở nhà với ông bà hoặc anh em họ hàng nên
phong trào học tập còn nhiều hạn chế, điều kiện học tập còn nhiều thiếu thốn.
+ Số học sinh tự học thêm kiến thức, tự mua thêm tài liệu tham khảo để
nâng cao kiến thức chưa nhiều.
+ Một số em ham học thì gia đình lại khơng có điều kiện mua thêm tài
liệu tham khảo hoặc các em chưa biết cách tự hoc, tự đọc tài liệu.

3
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

Trong khi đó các đề thi vào lớp 10 THPT những năm gần đây nếu chỉ làm
các dạng toán trong sách giáo khoa thì khơng đủ để các em đạt điểm cao, các bài
tốn về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thứcVi-ét xuất hiện khá phổ biến.
Năm học 2017 – 2018, tôi tiến hành khảo sát 38 học sinh lớp 9 trường
TH&THCS Đông Phú sau khi học xong hệ thức Vi-et và ứng dụng với các câu
hỏi như sau:
Câu 1: Khơng giải phương trình hãy tính tổng và tích các nghiệm nếu có
của mỗi phương trình sau: ( Bài 29 trang 54- SGK)
a) 4x2 + 2x – 5 = 0
b) 9x2 – 12x + 4 = 0

Câu 2: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm
nghiệm mỗi phương trình sau: ( Bài 26 trang 53- SGK)
a) 35x2 - 37x + 2 = 0
b) x2 – 49x - 50 = 0
Câu 3: Cho phương trình x2 – 2mx + 2m -3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m .
b) Tìm GTNN của biểu thức A = x12 + x22, trong đó x1, x2 là hai nghiệm
của phương trình. ( Sách đề kiểm tra toán 9 – Tập 2. NXB Đại học sư phạm).

Kết quả khảo sát:
STT
1

Câu
Số học sinh làm đúng
Số học sinh làm sai
1a
28
10
1b
30
8
2
2a
27
11
2b
25
13
3

3a
5
33
3b
2
36
Qua kết quả khảo sát tôi nhận thấy rằng với kiến thức cơ bản trong sách
giáo khoa thì phần lớn các em đã nắm được. Song ở câu 3 phải vận dụng định lý
Vi-ét vào bài toán mở rộng thì hầu hết các em cịn lúng túng.
Xuất phát từ thực trạng trên, là giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn
lớp 9 ở trường, tơi nhận thấy mình cần phải có sự đầu tư, tìm tịi đổi mới phương
pháp dạy học đối với các bài học nói chung và đặc biệt là ứng dụng định lý Viét vào giải tốn nói riêng. Cần có một tài liêu tham khảo có tính hệ thống, dễ
học, dễ hiểu cho cả học sinh và giáo viên nên tôi đã lựa chọn đề tài này.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP:
*Trước hết giáo viên dạy cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản của hệ
thức Vi-et và ứng dụng trong chương trình đại s lp 9.
1. H thng kin thc c bn
Định lý ViÐt:
4
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

NÕu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c =
0 (a  0) th×:
b


 x1  x 2  a

 x .x  c
 1 2 a

* Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt)
a) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) cã a + b + c
= 0 thì phơng
trình có một nghiệm là: x1 = 1 còn
là: x2 =

c
a

nghiệm

kia

b) Nếu phơng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a  0 )có a - b +
c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm là: x1 = - 1 còn



c
a

nghiệm

kia

là: x2 =
c) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) cã 2
nghiệm x1, x2 mà
b

 x1  x2  a m  n


 x .x  c m.n
1
2

a


Thì x1 = m; x2 = n hoặc x1 = n; x2 = m
 u  v S
 u.v P

* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện: 

thì u, v là hai nghiệm của phương trình: x2- Sx + P = 0.
điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P  0.
*Sau đó giáo viên soạn ra các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-et để giải.
Trong đề tài này tơi trình bày 11 dạng tốn sau:
DẠNG 1: KHƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH TỔNG VÀ TÍCH
CÁC NGHIỆM SỐ.
1) Phương pháp giải:

- Tính  và chứng tỏ  0 để phương trình có nghiệm.
5
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

- Áp dụng định lí Vi-et:
b
a

S = x 1 + x2 = - ;

P = x1x2 =

c
a

2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Khơng giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm
( nếu có) của các phương trình sau:
a) 4x2 + 2x – 5 = 0
b) 9x2 – 12x + 4 = 0
c) 5x2 + x + 2 = 0
d) 159x2 – 2x – 1 = 0
Bài giải:
a) Phương trình 4x2 + 2x – 5 = 0 có a,c trái dấu nên  > 0 suy ra phương

trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng định lí Vi-et ta có:
x1 + x2 =

b 1
=
a
2

;

x1x2 =

c 5
=
a
4

b)  , = 62 – 9.4 = 0. Suy ra phương trình có nghiệm kép. Áp dụng định lí
Vi-et Ta có:
x1 + x2 =

12 4

9 3

;

x1x2 =

4

9

c)  = 1 – 4.5.2 = -39 < 0: Phương trình vơ nghiệm.
d) Phương trình 4x2 + 2x – 5 = 0 có a,c trái dấu nên  ,>0 suy ra phương
trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng định lí Vi-et ta có:
x1 + x2 =

2
159

;

x1x2 =

1
159

Ví dụ 2:Tìm m để phương trình x2 – 2(m-1)x + m + 5 = 0 có nghiệm rồi
tính tổng và tích các nghiệm theo m.
Bài giải:
Ta có: ' = (m - 1)2 - (m+ 5) = m2 - 2m + 1 - m - 5 = m2 -3m - 4
= (m+1)(m- 4).
Để phương trình có nghiệm thì ' ≥ 0  (m+1)(m- 4) 0
 m  4 hoặc m  -1.

Áp dụng định lí Vi-et ta có:
x1 + x2 = 2(m-1)
;
x1x2 = m + 5
3. Bài tập:

Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0
(1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm rồi tính tổng
và tích các nghiệm theo m.
Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
6
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài tốn thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm rồi tính tổng
và tích các nghiệm theo m.
DẠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG CÁC BÀI
TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHẨM NGHIỆM .
1) Phương pháp giải:
-Áp dụng định lí Vi-et ta có:

b
a

x 1 + x2 = - ;

x1x2 =

c
a

- Nhẩm x1 + x2 = m + n; x1x2 = m.n thì phương trình có nghiệm
x1 = m; x2 = n
Hoặc
x1 = n; x2 = m
c
a

- Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1;

x2 =

- Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1;

x2 = -

c
a

2) Các ví dụ:
VÝ dô 1: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 để tính nhẩm
nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) – 5x2 + 3x + 2 = 0
b) 2004x2 + 2005x + 1 = 0
c) (m+1)x2 + 3mx +2m – 1 = 0
d) (2m – 1)x2 – mx – m + 1 = 0
Bài giải:
a) Ta có: a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0 nên phương trình có nghiệm:
x1 = 1;

x2 = -

2
5

b) Ta có: a - b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0 nên phương trình có nghiệm:
x1 = -1;

x2 = -

1
.
2004

c)Ta có: a - b + c = m + 1 – 3m + 2m - 1 = 0 nên phương trình có nghiệm
x1 = -1;

x2 =

1  2m
2m  1

d) Ta có: a + b + c = 2m - 1 - m – m + 1 = 0 nên phương trình có nghiệm
x1 = 1;

x2 =

1 m
2m  1

Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình:
a) x2 – 10x + 16 = 0
b) x2 – 3x - 4 = 0
Bài giải:
a) Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = 10 = 2 + 8 ; x1x2 = 16 = 2.8
Nên phương trình có nghiệm x1 = 2; x2 = 8
b) Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = 3 = -1 + 4 ; x1x2 = -4 = -1.4
7
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

Nên phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = 4
Ví dụ 3:
Phương trình 3 x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác
định số m và tìm nghiệm cịn lại.
Bài giải:
Vì phương trình 3 x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm x1 = 1
Nên 3 + 7 + m = 0  m = - 10
Áp dụng định lí Vi-et ta có:

x1x2 =

m
 10
 10

 1. x2 =
 x2 =
.
3
3
3

3. Bài tập:
Bài 1: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 để tính nhẩm
nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) – 35x2 + 37x - 2 = 0
b) 9x2 + 200x + 191 = 0
c) (2m+3)x2 + 3mx - 5m – 3 = 0
d) (3m – 1)x2 – mx – 2m + 1 = 0
Bài 2: Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình:
a) x2 – 15x + 50 = 0
b) x2 – x - 20 = 0
Bài 3: Phương trình 0,1x2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1.
Xác định số k và tìm nghiệm cịn lại.
DẠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐn
TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG.
1) Phương pháp giải:
- Từ hệ thức cho trước của x, y tìm tổng S = x + y, tích P = xy.
- x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0.
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 32, uv = 231
b) u + v = -8, uv = -105
c) u + v = 1 , uv = 9
d) u + v = 42 , uv = 441

Bài giải:
a) u, v là nghiệm của phương trình X2 – 32X + 231 = 0.
Ta có:
' = 162 – 231 = 25>0; X1 = 16 + 5 = 21; X2 = 16 – 5 = 11
Vây u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21
b) u, v là nghiệm của phương trình X2 + 8X - 105 = 0.
Ta có:
' = 16+105 = 121 >0; X1 = -4 + 11 = 7; X2 = - 4 – 11 = -15
Vây u = 7; v = -15 hoặc u = -15; v = 7
c) u, v là nghiệm của phương trình X2 – X +9 = 0.
8
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài tốn thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

Ta có:
 = 1 – 36 = - 35 < 0 nên khơng có giá trị nào của u và v thoả
mãn điều kiện đã cho.
d) u, v là nghiệm của phương trình X2 – 42X + 441 = 0.
Ta có:
' = (-21)2 – 441 = 0 ; X1 = X2 = 21
Vậy u = v = 21
3) Bài tập:
Tìm hai số a và b trong mỗi trường hợp sau:
a) a + b = -42, ab = -400
b) a – b = 5 , ab = 24

c) a+ b = 3 , ab = 15
d) a + b = 14 , ab = 49
DẠNG 4: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐN
CĨ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM X 1,X2 CỦA PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI.
1) Phương pháp giải:
* Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1bởi x2 và x2 bởi x1 thì
biểu thức khơng đổi.
* Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P (Tổng và tích các nghiệm số)
Chẳng hạn:
x12 + x22 = ( x1 + x2)2 - 2x1 x2 = S2 – 2P
x13 + x23 = ( x1 + x2)3 - 3x1 x2 ( x1 + x2) = S3 – 3PS
1 1 x1  x 2 S



x1 x 2
x1 x 2
P
2

2

x1 x 2 x1  x 2
S 2  2P
 

x2 x1
x1 x2
P

* Từ hệ thức Vi-et tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng.
2) Ví dụ:
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình : x2 +mx +1 = 0 . Tính giá trị
các biểu thức sau:
2

3
1

a) x + x

3
2

2

x
x
b) 1 2  22
x2
x1

Bài giải:
Ta có:  m 2  4 .
2
Để phương trình có nghiệm thì  0  m  4 0  m 2

Theo hệ thức Vi - et ta có: S = x1 + x2 = -m;
P = x1x2 = 1

a) Ta có: x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1 x2(x1 + x2) = S3 – 3PS = (-m)3 +3m

9
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________
2

2

2

2
2
x1 x 2
 x 2  x2 2 
x1
x2
x
 2

x 
  2  S  2 P   2
b) 2  2 =  1  2  - 2 x . x =  1



x2
x1
P 
x1 
2
1

 x2
 x1 x2 

= m4 - 4m2 + 2
3) Bài tập:
Bài 1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - 2m x - 1 =0
Tìm m để x12  x2 2  x1 x2 7
Bài 2: Tìm m để phương trình:
x2 - (2m - 3)x + m2 - 2m + 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 và x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 3: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 +2m x +4 =0
Xác định m sao cho x14  x2 4 32
DẠNG 5: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐN
TÌM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM X1, X2 CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI KHƠNG PHỤ THUỘC THAM SỐ.
1) Phương pháp giải:
- Tính  và tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm:  0 .
- Từ hệ thức Vi-et tìm S, P theo tham số m;
- Khử tham số m từ S, P ( tức là hệ thức giữa x 1, x2 ) không phụ thuộc
tham số m.
2) Các ví dụ:
Ví dụ: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình:
x2 - 2(m - 1)x + m2 - 1 = 0

Tìm hệ thức giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
Bài giải:
2
2
Ta có: ' = [-(m - 1)] - (m - 1) = -2 m + 2
Để phương trình có nghiệm thì '  0  -2m +2 0  m  1.
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
Từ S = 2(m -1) suy ra m =

 S 2( m  1)

 P m 2  1

S 2
2

Thay vào P = m2 - 1 ta có :

2

 S 2
P= 
  1  4P = S2 + 4S
 2 

Vậy hệ thức cần tìm là:  x1  x2  2  4 x1  x2   4 x1 x2 0
3) Bài tập:
Bài 1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình:
10
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

x2 - (m - 3)x + 2m +1 = 0
Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Cho phương trình x2 - (m + 1)x + 2m - 3 = 0
(1)
a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình, sao cho hệ
thức đó khơng phụ thuộc vào m ( đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh
Thanh Hoá năm 2004 – 2005).
c) DẠNG 6: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐN
TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BÀI TOÁN THOẢ MÃN
CÁC YÊU CẦU ĐẶT RA.
1) Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:   0 ( Hoặc  , 0 )
- Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-et giải nghiệm đối với nghiệm x1, x2 rồi
thay vào phương trình thứ ba của hệ để tìm tham số m;
- Kiểm tra lại xem m có thoả mãn điều kiện có nghiệm khơng rồi kết luận.
2) Các ví dụ:
Ví dụ1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x12  x22 1
Bài giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép):
m  0 ; ' ≥ 0
' = [-(m - 2)]2 - m(m - 3) = - m + 4

'  0  m  4.
Với 0  m  4, theo định lý Viét, các nghiệm x 1 ; x 2 của phương trình
có liên hệ:
x1 + x2 =

m 3
2( m  2)
; x1.x2 =
m
m

Do đó: 1 = x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =

2(m  3)
4(m  2) 2
2
m
m

 m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m
 m2 - 10m + 16 = 0
 m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0  m  4
Vậy với m = 2 thì x12  x22 = 1
11
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú

SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài tốn thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để
1

1

x  x2

1
phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x  x  5
1
2

Bài giải:

 Δ '   (m 2)  2  (m2  2m 3)  0(1)

(2)
Ta phải có:  x1.x2 0
 1 1 x1  x2
(3)
  
5
 x1 x2

(1)  ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0  m <

7

6

(2)  m2 + 2m - 3  0  (m - 1)(m + 3)  0  m  1; m  - 3
(3) 

x1  x2 x1  x2

 ( x1  x2 )(5  x1.x2 ) 0
x1 .x2
5

 Trường hợp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2  m = 2 không thoả mãn điều
kiện (1)
 Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0  x1.x2 = 5
Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5  (m - 2)(m + 4) = 0
 m 2 (loại)

m 4 (thoảmÃnĐ K)

Vy vi m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1, x2 phân biệt thoả
mãn
1
1
x  x2

 1
x1 x 2
5
3. Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0

(1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.
Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm,
nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
DẠNG 7: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG BÀI TỐN
LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN KHI BIẾT HAI NGHIỆM
CỦA NÓ.
1) Phương pháp giải:
- Tính tổng hai nghiệm S = x1 + x2 và tích hai nghiệm P = x1x2 .
12
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

- Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là : X2 – SX + P = 0
2) C¸c vÝ dơ:
Ví dụ 1: Cho x1 =

3 1
2

;

x2 =

1
1 3

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2
3 1
2

Ta có: x1 =

;

x2 =

1
=
1 3

1

3

1  3 1 

3





3 1
2

1
1
3 1
.
=
1 3
2
2

Nên x1.x2 =
x1 + x2 =

1
3 1
+
=
1 3
2

3

Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x2 - 3 x+

1
=0
2

Hay 2x2 - 2 3 x + 1 = 0
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0
(1)
Khơng giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các
nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1)
Cách giải:
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức viét, ta có:
x1 + x2 = -5;
x1.x2 = - 1
Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có:
y1 + y2 = x14  x24
y1..y2 = x14 .x24
Ta có:

x14  x24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – 2 = 727
x14.x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1

Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0
Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: x 2 + px + q = 0 sao cho
 x1  x2 5

hai nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn hệ:  x3 x3 35
2
1
Các giải:
iu kin = p2 - 4q  0 (*) ta có:
x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. Từ điều kiện:
  x1  x2  2 25
 x1  x2 5


 3
3
2
2
 x1  x2 35
  x1  x2  x1  x1 x 2  x 2 35





13
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

  x1  x2  2  4x1x2 25


2
 5  x1  x2   2 x1 x2  x1 x 2 35





 p1  4 q 25
 2
 p  q 7

Giải hệ này tìm được: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6
Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)
3) Bài tập:
1
3 2

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là 3 + 2 và
Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện:
x1

x2

k2  7

Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và x  1 + x  1 = 2
k 4
1
2
DẠNG 8: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TOÁN
CHỨNG MINH.
1) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x 2 + px + 1 = 0 và b, c là
nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0
Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
Cách giải:

a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0
b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có:
 a b - p
 b  c - q

và 
 a.b1
 b.c2
Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3
Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = - 2 (1);
a2 + b2 + c2 = 2
Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn

 4 
  3 ;0 khi

(1)
(2)

(2)
biểu diễn trên

trục số:
Cách giải:
Bình phương hai vế của (1) được:
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4

Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
 bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1
Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình:
14
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đơng Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)
Để (*) có nghiệm thì ta phải có:  = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)  0
4
a0
3
4
4
Chứng minh tương tự ta được: -  b  0; -  c  0
3
3

 a(3a + 4)  0  -

2) Bài tập:
Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 + px + 1 = 0.
Gọi c, d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2
Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = () 200 dưới dạng thập phân, ta được

chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
DẠNG 9: ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VIÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
1) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:

5 x
 5 x  
x
 =6
 x
x 1 
 x 1  

Hướng dẫn:
ĐKXĐ: {xR  x  - 1}
5 x

 u  x. x  1

5 x
  x 
x 1


Đặt:

 u  ?

 u. ?

Tính: u, v, rồi từ đó tính x.
Bài giải:
ĐKXĐ: {x  R  x  - 1}
5 x

 u  x. x  1
Đặt: 
5  x (*)
  x 
x 1



5 x
 5 x 
 u   x. x  1    x  x  1 
 u  5

 




 u.  x. 5  x . x  5  x 
 u. 6

x 1 
 x 1  

u, v là nghiệm của phương trình:
 = 25 - 24 = 1,

x1 =

5 1
= 3,
2

x2 - 5x + 6 = 0
x2 =

5 1
=2
2

u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3
 u 3
thì (*) trở thành:
 2

Nếu: 

x2 - 2x + 3 = 0
' = 1 - 3 = - 2 < 0
15

Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú

SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài tốn thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

Phương trình vơ nghiệm:
 u 2
thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0, Suy ra: x1 = 1; x2 = 2


3


Nếu: 

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình:
 x  y 11
 x  y  yx 7
a)

b)  2 2
 xy 31
 xy  x y 12
Bài giải:
a) x,y là nghiệm của phương trình:
x2 - 11x +31 = 0
=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0
Phương trình vơ nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Đặt x + y = S và xy = P
 S  P 7
Ta có hệ: 
 S.P12
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 - 7t + 12 = 0.
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
u2 - 4u + 3 = 0
 u = 1 và u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
v2 -3v + 4 = 0
Phương trình này vơ nghiệm vì  = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
2) Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0
Bài2: Giải các hệ phương trình sau:
 x  y 3
 x  y 9
a)
b)  4 4
 2
2
 x  y 4
 x  y 17
DẠNG 10: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT VỚI BÀI TỐN
CỰC TRỊ:
1) Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: Trong mọi trường hợp nếu ta ln
phân tích được C = A + m hoặc C = k – B ( Trong đó A,B là các biểu thức

khơng âm) thì ta thấy:
16
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

C m (Vỡ A 0 )  min C = m  A 0
C k (Vỡ B 0 )  max C = k  B = 0

2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình:
x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 . Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Xét:  = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2
2
 x12  x22 =  x1  x2   2 x1 x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

3 2 11
11
) +

2
4
4

3
11
3
Dấu “=” xảy ra khi m = . Vậy Min(x12 + x22) =
khi m =
4
4
4

= 4m2 – 6m + 5 = (2m -

Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Cách giải:
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  0  - 5  m  - 1 (*)
Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - 1
x1 .x2 =
Do đó: A = 

m 2  4m  3
2

m 2  8m  7

2

Ta có: m2+8m+7=(m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7) 0
9

 m 2  8m  7
9  (m  4) 2
Suy ra: A =
=

2
2
2

Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là:

9
khi m = - 4 (thoả mãn điều kiện (*)).
2

2. Bài tập:
Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 . Tìm m để

x12  x22 có giá trị nhỏ nhất?

Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0
17
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài tốn thường gặp ở cấp THCS

_________________________________________________________________________________________________________________

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2
DẠNG 11: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TOÁN
DẤU NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
1) Phương pháp giải:
Cho phương trình bâc hai: ax2 +bx + c = 0, (a 0).
* Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P<0
* Phương trình có hai nghiệm cùng dấu

  0

P 0

 ,  0

* Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt   S  0
P 0

 ,  0

* Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  S  0
P 0


2) Ví dụ:
Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số).
Định m để phương trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu;
b) Có hai nghiệm dương phân biệt;

Bài giải:
Ta có: ,  m  1 2   m  1 m 2  3m m m  3
S 2 m  1 ;

1

P m  1

a) 1 có hai nghiệm trái dấu  P < 0  m < -1
 ,  0
 m  m  3  0


b) 1 có hai nghiệm dương phân biệt   S  0   2 m  1  0  m > 3
P 0
 m 1  0



3) Bài tập:Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m2 -3m = 0 (m là tham số).
Định m để phương trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu;
b) Có đúng một nghiệm âm;
c) Có một nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm cịn lại;
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI
HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC.
Qua thực tế giảng dạy bộ mơn Tốn lớp 9 trong những năm qua, bản thân
tôi đã vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-et trong giải toán để giảng
18
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

dạy học sinh khối 9 ôn thi vào lớp 10 THPT. Đặc biệt qua nghiên cứu đi sâu vào
đề tài này tôi nhận thấy đã đạt đạt được một số kết quả:
Đối với chất lượng giảng dạy và giáo dục của bản thân, đồng nghiệp, việc
vận dụng những ứng dụng của Định lý Viet trong việc giải toán đã nâng cao hiệu
quả giáo dục cho HS lớp 9, giúp các em thi khảo sát cuối năm cũng như thi vào
lớp 10 THPT đạt kết quả tốt hơn
Đối với học sinh, Sau khi được hướng dẫn tỉ mỉ cách làm từng dạng toán,
các em đều tỏ ra hứng thú khi học mơn Tốn hơn, các em hăng hái luyện tập,tìm
hiểu cách làm từng bài tập và nghiêm túc học tập một cách có hiệu quả. Phần
lớn các em nắm vững nội dung cơ bản của bài học, có ý thức hơn trong học tập;
khắc sâu hơn kiến thức về cách giải các dạng tốn đã được giáo viên hướng dẫn,
lớp học sơi nổi học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức.
3 - KẾT KUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Ứng dụng của định lý Viét trong việc giải tốn là một vấn đề lớn, địi hỏi
người học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một
cách linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong q trình giảng dạy, người giáo viên cần
chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu
bản chất và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong
học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em. Cần thường
xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy
chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.
Đa số các em học sinh khá giỏi đều rất muốn được mở rộng, nâng cao

kiến thức nhưng các em không biết bằng cách nào, đọc sách nào là tốt vì sách
tham khảo có rất nhiều loại.Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn
học sinh cách tự học ở nhà, cách chọn sách tham khảo,…
Nghiên cứu đề tài “ Ứng dụng của định lý Viét trong việc giải một số bài
toán thường gặp ở cấp THCS” khơng chỉ giúp cho học sinh u thích học bộ
mơn tốn, giúp các em có thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức Vi-et vào giải
các bài toán bậc hai, để các em thêm tự tin trong các kỳ thi, mà cịn là cơ sở giúp
cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy.
3.2. Kiến nghị:
Để đảm bảo cho việc dạy hệ thức Vi-et trong mơn Tốn lớp 9 đạt hiệu quả
cao, tơi xin có một số kiến nghị với đồng nghiệp, với Ban giám hiệu nhà trường
TH & THCS Đơng Phú, Phịng GDĐT Đơng Sơn như sau:
- Giáo viên giảng dạy mơn Tốn 9 cần đi sâu nghiên cứu tìm hiểu các ứng
dụng của định lý Vi-et trong giải tốn, trang bị cho mình kiến thức chắc chắn để
chủ động trong việc ôn tập, ôn thi cho học sinh, bồi dưỡng học sinh giỏi.
19
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

- Phân loại được các dạng toán và biết lựa chọn các dạng phù hợp với
từng đối tượng học sinh và phù hợp với từng kỳ thi để giảng dạy cho các em.
- Tổ tự nhiên ở nhà trường cũng nên đưa chuyên đề này vào sinh hoạt
chuyên môn để các giáo viên giúp đỡ lẫn nhau trong giảng dạy.
- Các giáo viên dạy Toán hướng dẫn học sinh cách chọn mua sách tham
khảo phù hơp.

- Nhà trường, Phòng GD&ĐT tạo điều kiện để giáo viên bôi dưỡng, nâng
cao kiến thức cho học sinh.
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi khi dạy hệ thức Vi-ét ở lớp 9.
Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót
về cấu trúc, ngơn ngữ và kiến thức khoa học. Vì vậy, tơi mong sự quan tâm của
các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 3 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Đỗ Thị Thắm

20
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú


SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

c
a

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.SGK Toán 9 tập 2.
2. Sách giáo viên Toán 9 tập 2.
3.Sách bài tập Toán 9 tập 2.
4.Các dạng toán và phương pháp giải Toán 9 tập 2. NXB giáo dục.
( Tác giả: Tơn thân – Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên)
5. SKKN.Org.
6. Toán học 247. com
7. Đề kiểm tra Toán 9 - Tập 2. NXB Đại học sư phạm.
( Tác giả: Trần Xuân Tiếp - Phạm Hoàng – Phan Hoàng Ngân)
8. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT mơn Tốn. Năm học 2004 – 2005.
Sở GD và ĐT Thanh Hoá.
***
Đề tài SKKN đã được Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT Cấp Sở GD&ĐT
và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên:

TT

Tên đề tài SKKN

Giải bài tốn cực trị
hình học
2 Một số ứng dụng của
định lý Vi-ét trong việc
giải toán lớp 9.

1

Cấp đánh giá
xếp loại

(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá xếp
loại (A, B,
hoặc C)

Năm học đánh
giá xếp loại

Sở GD& ĐT
Thanh Hố
Phịng GD&ĐT
Đơng
Sơn

C

2001-2002

C

2017 - 2018

21
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú

SKKN: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS
_________________________________________________________________________________________________________________

22
Giáo viên: Đỗ Thị Thắm

Trường TH & THCS Đông Phú