Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2): Phần 1

˜
’ THANH
ˆ N THUY
NGUYE

` TA
ˆ. P
BAI
´ CAO CA
ˆ´P
TOAN
Tˆa.p 2
Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am

’ N DAI HOC QUO
` XUA
ˆ´T BA
ˆ´C GIA HA
` NO
ˆI
NHA
.
.
.




Mu.c lu.c
a liˆ
en tu.c cu’a h`

am sˆ
o´
7 Gi´
o.i ha.n v`
7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n .
7.1.2 Ch´
u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen c´ac
`e gi´o.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . .
di.nh l´
y vˆ
`eu
7.1.3 Ch´
u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen diˆ
kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´
y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . .
`eu
7.1.4 Ch´
u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen diˆ
`an v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´
kiˆe.n cˆ
y hˆo.i tu.
7.2
7.3
7.4

Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . .
.
Gi´o i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . .

`e gi´o.i ha.n
y co. ba’n vˆ
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´
H`am liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`eu biˆe´n . . . . . .
Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆ

3
4
5
11

17

. .

25

. .

27

. .

27

. .

41

. .

51

8 Ph´
ep t´ınh vi phˆ
an h`
am mˆ
o.t biˆ
e´n
60
- a.o h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1 D
- a.o h`am cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1.1 D
- a.o h`am cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.1.2 D
8.2

Vi phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75
75




2

MU
. C LU
.C

8.3

8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`e h`am kha’ vi. Quy t˘´ac l’Hospital.
C´ac di.nh l´
y co. ba’n vˆ
Cˆong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`e h`am kha’ vi . . . . . . . .
8.3.1 C´ac d i.nh l´
y co. ba’n vˆ
.
8.3.2 Khu’ c´ac da.ng vˆo di.nh. Quy t˘´ac Lˆopitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Cˆong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .

`eu biˆ
9 Ph´
ep t´ınh vi phˆ
an h`
am nhiˆ
e´n
- a.o h`am riˆeng . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 D
- a.o h`am riˆeng cˆa´p 1 . . . . . . . .

9.1.1 D
- a.o h`am cu’a h`am ho..p . . . . . . .
9.1.2 D
9.1.3 H`am kha’ vi . . . . . . . . . . . . .
- a.o h`am theo hu.´o.ng . . . . . . . .
9.1.4 D
- a.o h`am riˆeng cˆa´p cao . . . . . . .
9.1.5 D
`eu biˆe´n . . . . . . . .
9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ
9.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . .
´ du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆ
`an d´
9.2.2 Ap
ung
9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan . . . . .
9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . .
9.2.5 Cˆong th´
u.c Taylor . . . . . . . . . .
9.3

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n . . . . . . . . .
`eu biˆe´n . . . . . . . . .
Cu..c tri. cu’a h`am nhiˆ
.
9.3.1 Cu. c tri. . . . . . . . . . . . . . . . . .
`eu kiˆe.n . . . . . . . . . .
9.3.2 Cu..c tri. c´o diˆ
9.3.3 Gi´a tri. l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am .

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

77

84
84
88
96
109
110
110
111
111
112
113
125
126
126
127
127
129
130
145
145
146
147




Chu.o.ng 7
Gi´
o.i ha.n v`
a liˆ

en tu.c cu’a
h`
am sˆ
o´

7.1

Gi´
o.i ha.n cu’a d˜
ay sˆ
o´ . . . . . . . . . . . . . .
o.i
7.1.1 C´
ac b`
ai to´
an liˆen quan t´
o.i di.nh ngh˜ıa gi´
ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ
o´ du..a trˆen
7.1.2 Ch´
u.ng minh su.. hˆ
`e gi´
y vˆ
o.i ha.n . . . . . . . . . . . .
c´
ac di.nh l´
o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ

o´ du..a
7.1.3 Ch´
u.ng minh su.. hˆ
`eu kiˆe.n du’ dˆe’ d˜
ay hˆ
o.i tu. (nguyˆen
trˆen diˆ
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . .
7.1.4

4

5

11

l´
y
17

o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ
o´ du..a trˆen
Ch´
u.ng minh su.. hˆ
`an v`
`eu kiˆe.n cˆ
a du’ dˆe’ d˜
ay hˆ
o.i tu. (nguyˆen

diˆ
l´
y hˆ
o.i tu. Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25

7.2

am mˆ
o.t biˆ
e´n . . . . . . . . . . . . 27
Gi´
o.i ha.n h`
`e gi´
y co. ba’n vˆ
o.i ha.n 27
7.2.1 C´
ac kh´
ai niˆe.m v`
a di.nh l´

7.3

H`
am liˆ
en tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
`eu biˆ
a liˆ
en tu.c cu’a h`
am nhiˆ
e´n . 51

Gi´
o.i ha.n v`

7.4




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

4

7.1

Gi´
o.i ha.n cu’a d˜
ay sˆ
o´

H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho..p N du.o..c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n. D˜ay sˆo´
thu.`o.ng du.o..c viˆe´t du.´o.i da.ng:
a1, a2, . . . , an , . . .

(7.1)

ho˘a.c {an }, trong d´o an = f (n), n ∈ N du.o..c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at
cu’a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay.
`an lu.u y
Ta cˆ
´ c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay:

i) D˜ay (7.1) du.o..c go.i l`a bi. ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an |
M ; v`a go.i l`a khˆong bi. ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M.
ii) Sˆo´ a du.o..c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n

N ⇒ |an − a| < ε.

(7.2)

iii) Sˆo´ a khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n

N ⇒ |an − a|

ε.

(7.3)

iv) D˜ay c´o gi´o.i ha.n du.o..c go.i l`a d˜ay hˆo.i tu., trong tru.`o.ng ho..p ngu.o..c
la.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k`
y.
v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c`
ung b´e nˆe´u lim an = 0 v`a go.i l`a d˜ay
n→∞
vˆo c`
ung l´o.n nˆe´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v`a viˆe´t
lim an = ∞.
`eu kiˆe.n cˆ
`an dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. l`a d˜ay d´o pha’i bi. ch˘a.n.
vi) Diˆ

Ch´
u ´y: i) Hˆe. th´
u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i:
−ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε.

(7.4)




7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

5

u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay
Hˆe. th´
u.c (7.4) ch´
`eu n˘a`m trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan
hˆo.i tu. dˆ
cˆa.n cu’a diˆe’m a.
Nhu. vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu. dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr`
u.
`eu n˘`am trong ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k`
y b´e bao
ra mˆo.t sˆo´ h˜
u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆ
nhiˆeu t`
uy y
´ cu’a diˆe’m a.
ii) Ta lu.u y

´ r˘`ang d˜ay sˆo´ vˆo c`
ung l´o.n khˆong hˆo.i tu. v`a k´
y hiˆe.u
.
lim an = ∞ (−∞) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an l`a vˆo c`
y hiˆe.u d´o
ung l´o n v`a k´
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n.

7.1.1

C´
ac b`
ai to´
an liˆ
en quan t´
o.i di.nh ngh˜ıa gi´
o.i
ha.n

`an tiˆe´n
Dˆe’ ch´
u.ng minh lim an = a b˘a`ng c´ach su’. du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆ
.
.
h`anh theo c´ac bu ´o c sau dˆay:
i) Lˆa.p biˆe’u th´
u.c |an − a|
`eu d´o c´o lo..i) sao cho |an − a| bn ∀ n v`a
ii) Cho.n d˜ay bn (nˆe´u diˆ

v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k`
y bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n:
bn < ε

(7.5)

˜e d`ang. Gia’ su’. (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f(ε),
c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆ
`an
f (ε) > 0. Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l`a [f (ε)], trong d´o [f (ε)] l`a phˆ
nguyˆen cu’a f(ε).
´ V´I DU
CAC
.
n
V´ı du. 1. Gia’ su’. an = n(−1) . Ch´
u.ng minh r˘`ang:
i) D˜ay an khˆong bi. ch˘a.n.
ii) D˜ay an khˆong pha’i l`a vˆo c`
ung l´o.n.
Gia’i. i) Ta ch´
u.ng minh r˘a`ng an tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi. ch˘a.n. Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > 0 sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng
`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi. ch˘a.n.
n v`a l´o.n ho.n M . Diˆ




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

6

ii) Ta ch´
u.ng minh r˘a`ng an khˆong pha’i l`a vˆo c`
ung l´o.n. Thˆa.t vˆa.y,
ta x´et khoa’ng (−2, 2). Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’
`eu thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı khi n le’ th`ı ta c´o:
dˆ
n

n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).
u. d´o,
Nhu. vˆa.y trong kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay. T`
theo di.nh ngh˜ıa suy ra an khˆong pha’i l`a vˆo c`
ung l´o.n.
V´ı du. 2. D`
ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´
u.ng minh r˘`ang:
1)

lim

n→∞

(−1)n−1
= 0.
n

2)

lim

n→∞

n
= 1.
n+1

`an ch´
Gia’i. Dˆe’ ch´
u.ng minh
u.ng minh d˜ay an c´o gi´o.i ha.n l`a a, ta cˆ
r˘a`ng dˆo´i v´o.i mˆ˜o i sˆo´ ε > 0 cho tru.´o.c c´o thˆe’ t`ım du.o..c sˆo´ N (N phu.
thuˆo.c ε) sao cho khi n > N th`ı suy ra |an − a| < ε. Thˆong thu.`o.ng ta
˜e n N qua ε.
c´o thˆe’ chı’ ra cˆong th´
u.c tu.`o.ng minh biˆe’u diˆ
1) Ta c´o:
|an − 0| =

1
(−1)n−1
= ·
n
n

Gia’ su’. ε l`a sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c t`
uy y
´. Khi d´o:

1
1
<ε⇔n> ·
n
ε
`eu kiˆe.n:
V`ı thˆe´ ta c´o thˆe’ lˆa´y N l`a sˆo´ tu.. nhiˆen n`ao d´o tho’a m˜an diˆ
N>

1
1
⇒
< ε.
ε
N

`an nguyˆen
(Ch˘a’ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/ε], trong d´o [1/ε] l`a phˆ
cu’a 1/ε).
Khi d´o ∀ n N th`ı:
|an − 0| =

1
n

1
< ε.
N

7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

7

(−1)n
`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a lim
= 0.
Diˆ
n→∞
n
2) Ta lˆa´y sˆo´ ε > 0 bˆa´t k`
y v`a t`ım sˆo´ tu.. nhiˆen N (ε) sao cho ∀ n >
N (ε) th`ı:
n
− 1 < ε.
n+1
Bˆa´t d˘a’ng th´
u.c
|an − 1| < ε ⇔

1
1
< ε ⇔ − 1.
n+1
ε

`an nguyˆen cu’a
Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y sˆo´ N (ε) l`a phˆ

1
− 1, t´
u.c l`a:
ε

N(ε) = E((1/ε) − 1).
Khi d´o v´o.i mo.i n N ta c´o:
n
n
1
1
−1 =
< ε ⇒ lim
= 1.
n→∞ n + 1
n+1
n+1
N +1
V´ı du. 3. Ch´
u.ng minh r˘`ang c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`
y:
n∈N

1)

an = n,

2)

an = (−1)n ,

3)

n∈N
1
an = (−1)n + ·
n

(7.6)
(7.7)
(7.8)

Gia’i. 1) Gia’ su’. d˜ay (7.6) hˆo.i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa´y ε = 1.
`on ta.i sˆo´ hiˆe.u N sao cho ∀ n > N th`ı
Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆ
ta c´o |an − a| < 1 ngh˜ıa l`a |n − a| < 1 ∀ n > N . T`
u. d´o −1 < n − a < 1
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
Nhu.ng bˆa´t d˘a’ng th´
y v`ı tˆa.p ho..p c´ac
u.c n < a + 1, ∀ n > N l`a vˆo l´
sˆo´ tu.. nhiˆen khˆong bi. ch˘a.n.
2) C´
ach 1. Gia’ su’. d˜ay an hˆo.i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa´y lˆan
1
1
cu’a diˆe’m a. Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da.ng:
cˆa.n a − , a +
2

2
{an } = −1, 1, −1, 1, . . . .

(7.9)




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

8

1
1
l`a b˘`ang 1 nˆen hai diˆe’m −1
V`ı dˆo. d`ai cu’a khoa’ng a − , a +
2
2
1
1
`ong th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.n a − , a +
cu’a diˆe’m a,
v`a +1 khˆong thˆe’ dˆ
2
2
`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a o’. ngo`ai
v`ı khoa’ng c´ach gi˜
u.a −1 v`a +1 b˘`ang 2. Diˆ
1
1

c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´
u
lˆan cˆa.n a − , a +
2
2
y
´ o’. trˆen) sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay.
1
C´
ach 2. Gia’ su’. an → a. Khi d´o ∀ ε > 0 (lˆa´y ε = ) ta c´o
2
1
∀ n N.
|an − a| <
2
V`ı an = ±1 nˆen
1
|1 − a| < ,
2

| − 1 − a| <

⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)|
⇒2 < 1,

1
2

|1 − a| + |a + 1|

1 1
+ =1
2 2

vˆo l´
y.

1
`e v´o.i n´o
. Sˆo´ ha.ng kˆ
´ r˘a`ng v´o.i n = 2m ⇒ a2m = 1 +
3) Lu.u y
2m
c´o sˆo´ hiˆe.u le’ 2m + 1 (hay 2m − 1) v`a
a2m+1 = −1 +

1
1
< 0 (hay a2m−1 = −1 +
2m + 1
2m − 1

0).

T`
u. d´o suy r˘`ang
|an − an−1 | > 1.
`au t`
Nˆe´u sˆo´ a n`ao d´o l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (an ) th`ı b˘´at dˆ
u. sˆo´ hiˆe.u n`ao

1
d´o (an ) tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ng th´
u.c |an − a| < . Khi d´o
2
1 1
|an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 1.
2 2
`e nhau bˆa´t k`
u.a hai sˆo´ ha.ng kˆ
y cu’a d˜ay d˜a cho luˆon luˆon
Nhu.ng hiˆe.u gi˜
`eu mˆau thuˆ˜a n n`ay ch´
l´o.n ho.n 1. Diˆ
u.ng to’ r˘a`ng khˆong mˆo.t sˆo´ thu..c
n`ao c´o thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay d˜a cho.




7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

9
` TA
ˆP
BAI
.

H˜ay su’. du.ng di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n dˆe’ ch´
u.ng minh r˘`ang
2n − 1

1. lim an = 1 nˆe´u an =
n→∞
2n + 2
3
3n2 + 1
´
2. lim an = nˆeu an = 2
n→∞
5
5n − 1
`au t`
u. sˆo´ hiˆe.u N n`ao th`ı:
B˘´at dˆ
|an − 3/5| < 0, 01
3. lim an = 1 nˆe´u an =
n→∞

(DS. N = 5)

3n + 1
.
3n

cos n
= 0.
n→∞
n
2n + 5 · 6n
5. lim
= 5.

n→∞ 3n + 6n
√
3
n2 sin n2
= 0.
6. lim
n→∞
n+1
7. Ch´
u.ng minh r˘a`ng sˆo´ a = 0 khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay an =
n2 − 2
.
2n2 − 9
8. Ch´
u.ng minh r˘`ang
4. lim

n2 + 2n + 1 + sin n
lim
= 1.
n→∞
n2 + n + 1
9. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay: an = (−1)n + 1/n phˆan k`
y.
10. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay; an = sin n0 phˆan k`
y.
11. T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2, . . .
˜

˜e n an du.´o.i da.ng
Chı’ dˆ
a n. Biˆe’u diˆ
an = 0, 22 . . . 2 =

22
2
2
+
+ ··· + n
10 10
10

n

(DS. lim an = 2/9)




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

10

ha.n
12.
T`ım
gi´o.i
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3, . . .

cu’a

d˜ay

sˆo´:

n

˜
˜e n an du.´o.i da.ng
Chı’ dˆ
a n. Biˆe’u diˆ
an =

2
3
3
3
+
+ 3 + ··· + n
2
10
10
10
10

(DS. 7/30)

`an dˆe´n
13. Ch´

u.ng minh r˘a`ng nˆe´u d˜ay an hˆo.i tu. dˆe´n a, c`on d˜ay bn dˆ
`an dˆe´n 0.
∞ th`ı d˜ay an /bn dˆ
14. Ch´
u.ng minh r˘a`ng
n
i) lim n = 0.
n→∞ 2
n
ii) lim n = 0 (a > 1).
n→∞ a
˜ n. i) Su’. du.ng hˆe. th´
u.c:
Chı’ dˆ
a
2n = (1 + 1)n = 1 + n +

n(n − 1)
n2
n(n − 1)
+ ··· + 1 > n +
>
·
2
2
2

v`a u.´o.c lu.o..ng |an − 0|.
ii) Tu.o.ng tu.. nhu. i). Su’. du.ng hˆe. th´
u.c:

an = [1 + (a − 1)]n >

n(n − 1)
(a − 1).
2

15. Ch´
u.ng minh r˘a`ng
lim an = 2 nˆe´u an = 1 +

1
1
+ ··· + n
2
2

´ du.ng cˆong th´
˜ n. Ap
`oi
Chı’ dˆ
a
u.c t´ınh tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan dˆe’ t´ınh an rˆ
u.´o.c lu.o..ng |an − 2|.
16. Biˆe´t r˘a`ng d˜ay an c´o gi´o.i ha.n, c`on d˜ay bn khˆong c´o gi´o.i ha.n. C´o
`e gi´o.i ha.n cu’a d˜ay:
thˆe’ n´oi g`ı vˆ
i) {an + bn }.
ii) {an bn }.
`on ta.i. H˜ay ch´
(DS. i) lim{an + bn } khˆong tˆ

u.ng minh.




7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

11

ii) C´o thˆe’ g˘a.p ca’ hai tru.`o.ng ho..p c´o gi´o.i ha.n v`a khˆong c´o gi´o.i ha.n,
v´ı du.:
an =

7.1.2

n−1
, bn = (−1)n ;
n

an =

1
, bn = (−1)n .
n

Ch´
u.ng minh su.. hˆ
o.i tu. cu’a d˜
ay sˆ
o´ du..a trˆ

en
`e gi´
y vˆ
o.i ha.n
c´
ac di.nh l´

Dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng su’. du.ng c´ac di.nh l´
y v`a
kh´ai niˆe.m sau dˆay:
Gia’ su’. lim an = a, lim bn = b.
i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b.
`au t`
iii) Nˆe´u b = 0 th`ı b˘´at dˆ
u. mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o d˜ay an /bn x´ac
di.nh (ngh˜ıa l`a ∃ N : ∀ n N ⇒ bn = 0) v`a:
lim

lim an
a
an
=
= ·
bn
lim bn
b

`au t`
iv) Nˆe´u lim an = a, lim bn = a v`a b˘a´t dˆ

u. mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o
an zn bn th`ı lim zn = a (Nguyˆen l´
y bi. ch˘a.n hai phi´a).
v) T´ıch cu’a d˜ay vˆo c`
ung b´e v´o.i d˜ay bi. ch˘a.n l`a d˜ay vˆo c`
ung b´e.
1
vi) Nˆe´u (an ) l`a d˜ay vˆo c`
l`a d˜ay vˆo
ung l´o.n v`a an = 0 th`ı d˜ay
an
1
c`
ung b´e; ngu.o..c la.i, nˆe´u αn l`a d˜ay vˆo c`
ung b´e v`a αn = 0 th`ı d˜ay
αn
l`a vˆo c`
ung l´o.n.
`an lu.u y
Nhˆ
a.n x´et. Dˆe’ ´ap du.ng d´
´ mˆo.t
ung d˘´an c´ac di.nh l´
y trˆen ta cˆ
sˆo´ nhˆa.n x´et sau dˆay:
`e gi´o.i ha.n cu’a thu.o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o..c nˆe´u
i) Di.nh l´
y (iii) vˆ
tu’. sˆo´ v`a mˆ˜a u sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha.n h˜
u.u ha.n ho˘a.c mˆa˜ u sˆo´ c´o gi´o.i ha.n

b˘a`ng 0. Trong nh˜
u.ng tru.`o.ng ho..p d´o nˆen biˆe´n dˆo’i so. bˆo. d˜ay thu.o.ng,
ch˘a’ng ha.n b˘a`ng c´ach chia ho˘a.c nhˆan tu’. sˆo´ v`a mˆa˜ u sˆo´ v´o.i c`
ung mˆo.t
biˆe’u th´
u.c.




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

12

`an pha’i thˆa.n tro.ng khi ´ap du.ng.
ii) Dˆo´i v´o.i di.nh l´
y (i) v`a (ii) c˜
ung cˆ
.
.
.
`an pha’i biˆe´n dˆo’i c´ac biˆe’u th´
Trong tru `o ng ho. p n`ay ta cˆ
u.c an ± bn v`a
an · bn tru.´o.c khi t´ınh gi´o.i ha.n (xem v´ı du. 1, iii).
iii) Nˆe´u an = a ≡ const ∀ n th`ı lim an = a.
n→∞

´ V´I DU
CAC

.
V´ı du. 1. T`ım lim an nˆe´u:
1) an = (1 + 7n+2 )/(3 − 7n )
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2)
ung l´
y thuyˆe´t cˆa´p sˆo´
Gia’i. Dˆe’ gia’i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`
u.c v´o.i 7−n ta c´o:
1) Nhˆan tu’. sˆo´ v`a mˆa˜ u sˆo´ phˆan th´
1 + 7n+2
7−n + 72
=
an =
3 − 7n
3 · 7−n − 1
Do d´o
lim an = lim

7−n + 72
= −49 v`ı lim 7−n = 0, n → ∞.
3 · 7−n − 1

`eu l`a cˆa´p sˆo´ cˆo.ng nˆen ta c´o:
2) Tu’. sˆo´ v`a mˆ˜a u sˆo´ dˆ
2 + 2n
· n;
2
1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) =

(n + 1).
2
2 + 4 + 6 + · · · + 2n =

Do d´o
an =

n
⇒ lim an = 1.
n+1

3) Nhu. ta biˆe´t:
12 + 22 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6




7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

13

v`a do d´o:
6n3
n(n + 1)(2n + 1)
6
= 3.
= lim

(1 + 1/n)(2 + 1/n)

lim an = lim

V´ı du. 2. T`ım gi´o.i ha.n
1
1 1
+ + ··· + n
2 4
2
lim
1
1 1
1 + + + ··· + n
3 9
3
`eu l`a cˆa´p sˆo´ nhˆan nˆen
Gia’i. Tu’. sˆo´ v`a mˆa˜ u sˆo´ dˆ
1+

1
+ ··· +
2
1
1 + + ··· +
3
1+

1
2(2n − 1)

=
,
2n
2n
1
3(3n − 1)
=
3n
2 · 3n

v`a do d´o:
2n − 1 2
3n
2(2n − 1)
2 · 3n
=
2
lim
lim
·
·
2n
3(3n − 1)
2n
3
3n − 1
1
4
2
2

= 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim
=2·1· ·1= ·
n
3
1 − (1/3)
3
3

lim an = lim

V´ı du. 3.
√
1) an = n2 + n − n
√
√
2) an = 3 n + 2 − 3 n
√
3) an = 3 n2 − n3 + n
Gia’i.
1) Ta biˆe´n dˆo’i an b˘`ang c´ach nhˆan v`a chia cho da.i lu.o..ng liˆen ho..p
√
√
n
1
( n2 + n − n)( n2 + n + n)
√
=√
=
an =
n2 + n + n

n2 + n + n
1 + 1/n + 1
Do d´o
lim an =

1
lim (

n→∞

1 + 1/n + 1)

=

1
·
2




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

14

2) Biˆe´n dˆo’i an tu.o.ng tu.. nhu. 1) ta c´o:
√
√ 3
3
3

n+2 − 3n
an = √
√
√
√
2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
2
an = √
√
√
√
2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n

2

2

Biˆe’u th´
u.c mˆa˜ u sˆo´ b˘a`ng:
n2/3

3

1 + 2/n

2

+

3

1 + 2/n + 1 → ∞

khi n → ∞ v`a do d´o lim an = 0.
√
3
3) Ta c´o thˆe’ viˆe´t n = n3 v`a ´ap du.ng cˆong th´
u.c:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
suy ra
√
√
√
2
3
3
n2 − n3 + n
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
an =
√
√
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
n2
= √

√
2
3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
1
=
2/3
[1/n − 1] − [1/n − 1]1/3 + 1
1
·
3
V´ı du. 4. T`ım gi´o.i ha.n cu’a c´ac d˜ay sau
n
n
an = √
, bn = √
,
2
2
n +n
n +1
1
1
1
+√
+ ··· + √
·
cn = √
n+1
n2 + 2

n2 + n
`au tiˆen ta ch´
u.ng minh lim an = 1. Thˆa.t vˆa.y:
Gia’i. Dˆ

suy ra lim an =

lim an = lim

n
n

1 + 1/n

= lim

1
1 + 1/n

= 1.




7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

15

Tu.o.ng tu.. lim bn = 1.
Dˆe’ t`ım gi´o.i ha.n cu’a cn ta s˜e ´ap du.ng Nguyˆen l´

y bi. ch˘a.n hai ph´ıa.
Mˆo.t m˘a.t ta c´o:
cn < √

1
n2

+1

+√

1
n2

+1

+ ··· + √

1
n2

n
=√
= bn
2
+1
n +1

nhu.ng m˘a.t kh´ac:
cn > √

1
1
1
+√
+ ··· + √
= an .
n2 + n
n2 + n
n2 + n

Nhu. vˆa.y an < cn < bn v`a lim an = lim bn = 1. T`
u. d´o suy ra
n→∞
n→∞
lim cn = 1.
n→∞

V´ı du. 5. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay (q n ) l`a: 1) d˜ay vˆo c`
ung l´o.n nˆe´u
|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`
ung b´e khi |q| < 1.
y. T`
u. d˘a’ng th´
Gia’i. 1) Gia’ su’. |q| > 1. Ta lˆa´y sˆo´ A > 0 bˆa´t k`
u.c
|q|n > A ta thu du.o..c n > log|q| A. Nˆe´u ta lˆa´y N = [log|q|A] th`ı ∀ n > N
ta c´o |q|n > A. Do d´o d˜ay (q n ) l`a d˜ay vˆo c`
ung l´o.n.

1
1 n −1
2) Gia’ su’. |q| < 1, q = 0. Khi d´o q n =
> 1 nˆen
. V`ı
q
q
1 n −1
1 n
l`a d˜ay vˆo c`
ung l´o.n v`a do d´o d˜ay
l`a vˆo c`
ung
d˜ay
q
q
b´e, t´
u.c l`a d˜ay (q n ) l`a d˜ay vˆo c`
ung b´e khi |q| < 1.
n
ung b´e.
3) Nˆe´u q = 0 th`ı q = 0, |q|n < ε ∀ n v`a do d´o (q n ) l`a vˆo c`

` TA
ˆ. P
BAI
T`ım gi´o.i ha.n lim an nˆe´u
n→∞
n2 − n
√ .

(DS. ∞)
n− n
√
2. an = n2 (n − n2 + 1).
(DS. −∞)

1. an =




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

16

1 + 2 + 3 + ··· + n
√
.
(DS. 1/6)
9n4 + 1
√
n cos n
.
(DS. 0)
4. an =
n+1
sin n
5n
+
.

(DS. 5)
5. an =
n+1
n
3n2
n3
−
.
(DS. 1/3)
6. an = 2
n + 1 3n + 1
cos n
n
−
.
(DS. 1)
7. an =
n + 11
10n
n3 + 1
(DS. ∞)
8. an = 2
n −1
3n
cos n3
1
−
.
(DS. − )
9. an =

n
6n + 1
2
n
(−1)
10. an = √
.
(DS. 0)
5 n+1
√
√
n2 + 1 + n
11. an = √
(DS. +∞)
√ .
3
n3 + n − n
√
12. an = 3 1 − n3 + n.
(DS. 0)
√
n2 + 4n
.
(DS. 1)
13. an = √
3
n3 − 3n2
(n + 3)!
.
(DS. −∞)

14. an =
2(n + 1)! − (n + 2)!
2 + 4 + · · · + 2n
− 2.
(DS. −1)
15. an =
n+2
√
1
(DS. )
16. an = n − 3 n3 − n2 .
3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n
1
√
√
.
(DS. − )
17. an =
3
n2 + 1 + 4n2 + 1
1
1
1
18. an =
+
+ ··· +
.
1·2 2·3
n(n + 1)

1
1
1
´ du.ng
˜ n. Ap
Chı’ dˆ
a
= −
(DS. 1)
n(n + 1)
n n+1
3. an =




7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

17

1
(−1)n−1
1 1
3
+ ··· +
)
19. an = 1 − + −
.
(DS.
3 9 27

3n−1
4
2n+1 + 3n+1
20. an =
.
(DS. 3)
2n + 3n
n + (−1)n
21. an =
.
(DS. 1)
n − (−1)n
1
1
1
1
√
√
√ +√
√ + ··· + √
22. an = √
n
2n − 1 + 2n + 1
1+ 3
3+ 5
˜
Chı’ dˆ
a n. Tru.c c˘an th´
u.c o’. mˆa˜ u sˆo´ c´ac biˆe’u th´
u.c trong dˆa´u ngo˘a. c.

1
(DS. √ )
2
1
1
1
+
+ ··· +
23. an =
1·2·3 2·3·4
n(n + 1)(n + 2)
.
.
.
˜ n. Tru ´o c hˆe´t ta ch´
u ng minh r˘a`ng
Chı’ dˆ
a
1
1
1
1
1
=
−
(DS. )
n(n + 1)(n + 2)
2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
4
1

1
1
1
)
24. an =
+
+ ··· +
.
(DS.
a1a2 a2 a3
an an+1
a1 d
trong d´o {an } l`a cˆa´p sˆo´ cˆo.ng v´o.i cˆong sai d = 0, an = 0.
1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ).
(DS. )
2
n+2
˜
Chı’ dˆ
a n. B˘`ang quy na.p to´an ho.c ch´
u.ng to’ r˘`ang an =
.
2n + 2

7.1.3

Ch´
u.ng minh su.. hˆ
o.i tu. cu’a d˜

ay sˆ
o´ du..a trˆ
en
`eu kiˆ
e.n du’ dˆ
e’ d˜
ay hˆ
o.i tu. (nguyˆ
en l´
y
diˆ
Bolzano-Weierstrass)

D˜ay sˆo´ an du.o..c go.i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe´u an+1 > an ∀ n
ii) D˜ay gia’m nˆe´u an+1 < an ∀ n
C´ac d˜ay t˘ang ho˘a.c gia’m c`on du.o..c go.i l`a d˜ay do.n diˆe.u. Ta lu.u y
´
r˘a`ng d˜ay do.n diˆe.u bao gi`o. c˜
ung bi. ch˘a.n ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.t ph´ıa. Nˆe´u d˜ay




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

18

`au tiˆen cu’a n´o, d˜ay
do.n diˆe.u t˘ang th`ı n´o bi. ch˘a.n du.´o.i bo’.i sˆo´ ha.ng dˆ

.
.
`au. Ta c´o di.nh l´
do n diˆe.u gia’m th`ı bi. ch˘a.n trˆen bo’ i sˆo´ ha.ng dˆ
y sau dˆay
thu.`o.ng du.o..c su’. du.ng dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay do.n diˆe.u.
- i.nh l´
a bi. ch˘
a.n th`ı hˆ
o.i tu..
D
y Bolzano-Weierstrass. D˜
ay do.n diˆe.u v`
`on ta.i cu’a gi´o.i ha.n m`a khˆong chı’
`e su.. tˆ
Di.nh l´
y n`ay kh˘a’ng di.nh vˆ
`eu tru.`o.ng
ra du.o..c phu.o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha.n d´o. Tuy vˆa.y, trong nhiˆ
`on ta.i, c´o thˆe’ chı’ ra phu.o.ng ph´ap t´ınh
ho..p khi biˆe´t gi´o.i ha.n cu’a d˜ay tˆ
n´o. Viˆe.c t´ınh to´an thu.`o.ng du..a trˆen d˘a’ng th´
u.c d´
ung v´o.i mo.i d˜ay hˆo.i
tu.:
lim an+1 = lim an .

n→∞

n→∞

u.a nˆeu tiˆe.n lo..i ho.n ca’ l`a su’.
u.c v`
Khi t´ınh gi´o.i ha.n du..a trˆen d˘a’ng th´
`oi.
du.ng c´ach cho d˜ay b˘a`ng cˆong th´
u.c truy hˆ
´ V´I DU
CAC
.
V´ı du. 1. Ch´
u.nh minh r˘`ang d˜ay:
an =

1
1
1
+ 2
+ ··· + n
5+1 5 +1
5 +1

hˆo.i tu..

Gia’i. D˜ay d˜a cho do.n diˆe.u t˘ang. Thˆa.t vˆa.y v`ı:
an+1 = an +

1
5n+1 + 1

nˆen an+1 > an .

D˜ay d˜a cho bi. ch˘a.n trˆen. Thˆa.t vˆa.y:
1
1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 3
+ ··· + n
< + 2 + ··· + n
5+1 5 +1 5 +1
5 +1
5 5
5
1
1
− n+1
1
1
1
5
5
1− n < ·
=
=
1

4
5
4
1−
5
Nhu. vˆa.y d˜ay an d˜a cho do.n diˆe.u t˘ang v`a bi. ch˘a.n trˆen nˆen n´o hˆo.i

an =

tu..




7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

19

2n
hˆoi tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a
V´ı du. 2. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay an =
n! . .
n´o.
2n
2 22
Gia’i. D˜ay d˜a cho c´o da.ng , , . . . , , . . .
1 2
n!
D˜ay an do.n diˆe.u gia’m. Thˆa.t vˆa.y

2n
2
2n+1
an+1
:
=
< 1 ∀ n > 1.
=
an
(n + 1)! n!
n+1
`an tu’. a1 . Ngo`ai ra
Do d´o an+1 < an v`a d˜ay bi. ch˘a.n trˆen bo’.i phˆ
an > 0, ∀ n nˆen d˜ay bi. ch˘a.n du.´o.i. Do d´o d˜ay do.n diˆe.u gia’m v`a bi.
y Weierstrass. Gia’ su’. a l`a gi´o.i ha.n cu’a n´o.
ch˘a.n. N´o hˆo.i tu. theo di.nh l´
Ta c´o:
2
2
an+1
⇒ an+1 =
an .
=
an
n+1
n+1
T`
u. d´o
lim an+1 = lim

2
2an
= lim
lim an
n+1
n+1

2n
= 0.
v`a nhu. vˆa.y: a = 0 · a → a = 0. Vˆa.y: lim
n!
√
√
V´ı du. 3. Cho d˜ay an = 2, an+1 = 2an . Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay hˆo.i
tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a n´o.
Gia’i. Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng: a1 < a2 < a3 < · · · < . D´o l`a d˜ay do.n diˆe.u
√
t˘ang v`a bi. ch˘a.n du.´o.i bo’.i sˆo´ 2. Ta ch´
u.ng minh r˘`ang n´o bi. ch˘a.n trˆen
bo’.i sˆo´ 2.
Thˆa.t vˆa.y
a1 =

√
√
√
2; a2 = 2a1 < 2 · 2 = 2.

Gia’ su’. d˜a ch´

u.ng minh du.o..c r˘`ang an
Khi d´o:
√

√
an+1 =

2.

2an

2 · 2 = 2.




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

20

`e quy na.p ta c´o an 2 ∀ n.
Vˆa.y theo tiˆen dˆ
Nhu. thˆe´ d˜ay an do.n diˆe.u t˘ang v`a bi. ch˘a.n nˆen n´o c´o gi´o.i ha.n d´o
l`a a.
Ta c´o:
an+1 =

√
2an ⇒ a2n+1 = 2an .

Do d´o:
lim a2n+1 = 2 lim an
hay a2 − 2a = 0 v`a thu du.o..c a1 = 0, a2 = 2.
V`ı d˜ay do.n diˆe.u t˘ang ∀ n nˆen gi´o.i ha.n a = 2.
V´ı du. 4. Ch´
u.ng minh t´ınh hˆo.i tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay
x1 =
xn =

√
a; x2 =
a+

a+

√
a, . . . ,

a + ··· +

√
a, a > 0, n dˆa´u c˘an.

Gia’i. i) R˜o r`ang: x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < . . . ngh˜ıa l`a
d˜ay d˜a cho l`a d˜ay t˘ang.
ii) Ta ch´
u.ng minh d˜ay xn l`a d˜ay bi. ch˘a.n. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o:
√
√
a< a+1

√
√
x2 = a + a < a + a + 1 <

x1 =

√
√
a + 2 a + 1 = a + 1.

√
Gia’ su’. d˜a ch´
u.ng minh du.o..c r˘a`ng: xn < a + 1.
√
`an ch´
Ta cˆ
u.ng minh xn+1 < a + 1. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o:
xn+1 =

√

a + xn <

a+

√
a+1<

√
√

a + 2 a + 1 = a + 1.

Do d´o nh`o. ph´ep quy na.p to´an ho.c ta d˜a ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay d˜a
√
cho bi. ch˘a.n trˆen bo’.i a + 1.




7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

21

√
u.c xn = a + xn−1 hay
iii) Dˆe’ t`ım gi´o.i ha.n ta x´et hˆe. th´
x2n = a + xn−1 .
T`
u. d´o:
lim x2n = lim(a + xn−1 ) = a + lim xn−1
hay nˆe´u gia’ thiˆe´t lim xn = A th`ı: A2 = a + A → A2 − A − a = 0 v`a
√
√
1 + 1 + 4a
1 − 1 + 4a
, A2 =
·
A1 =
2

2
V`ı A2 < 0 nˆen gi´a tri. A2 bi. loa.i v`ı xn > 0.
Do d´o;
√
1 + 1 + 4a
·
lim xn =
2
V´ı du. 5. T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay an du.o..c x´ac di.nh nhu. sau: a1 l`a sˆo´
t`
uy y
´ m`a
0 < a1 < 1,

an+1 = an (2 − an ) ∀ n

1.

(7.10)

`au tiˆen ch´
Gia’i. i) Dˆ
u.ng minh r˘a`ng an bi. ch˘a.n, m`a cu. thˆe’ l`a b˘a`ng
ph´ep quy na.p to´an ho.c ta ch´
u.ng minh r˘`ang
0 < an < 1.

(7.11)

u.ng minh v´o.i n v`a ta

Ta c´o 0 < a1 < 1. Gia’ su’. (7.11) d˜a du.o..c ch´
s˜e ch´
u.ng minh (7.11) d´
ung v´o.i n + 1 .
T`
u. (7.10) ta c´o; an+1 = 1 − (1 − an )2.
T`
u. hˆe. th´
u.c n`ay suy ra 0 < (1 − an )2 < 1, v`ı 0 < an < 1.
T`
u. d´o suy ra: 0 < an+1 < 1 ∀ n.
ii) Bˆay gi`o. ta ch´
u.ng minh r˘`ang an l`a d˜ay t˘ang.
Thˆa.t vˆa.y, v`ı an < 1 nˆen 2 − an > 1. Chia (7.10) cho an ta thu
.
.
du o. c:
an+1
= 2 − an > 1.
an




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

22

T`
u. d´o an+1 > an ∀ n. Nhu. vˆa.y d˜ay an do.n diˆe.u t˘ang v`a bi. ch˘a.n.

`on ta.i v`a ta k´
Do d´o theo di.nh l´
y Weierstrass, lim An tˆ
y hiˆe.u n´o l`a a.
iii) T`
u. (7.10) ta c´o:
lim an+1 = lim an · lim(2 − an )
hay a = a(2 − a).
T`
u. d´o a = 0 v`a a = 1. V`ı x1 > 0 v`a d˜ay an t˘ang nˆen
a = 1 = lim an .
n!
V´ı du. 6. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay an = n hˆo.i tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a
n
n´o.
Gia’i. i) Ta ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay an do.n diˆe.u gia’m, thˆa.t vˆa.y:
an+1 =

(n + 1)!
n!
n!
nn
nn
=
=
·
=
an

(n + 1)n+1
(n + 1)n
nn (n + 1)n
(n + 1)n

v`ı
nn
< 1 nˆen an+1 < an .
(n + 1)n
`on ta.i, k´
y hiˆe.u
V`ı an > 0 nˆen n´o bi. ch˘a.n du.´o.i v`a do d´o lim an tˆ
lim an = a v`a r˜o r`ang l`a a = lim an 0.
ii) Ta ch´
u.ng minh a = 0. Thˆa.t vˆa.y ta c´o:
(n + 1)n
n+1
=
n
n
n

n

= 1+

1
n

n

1+

n
= 2.
n

Do d´o:
1
nn
<
n
(n + 1)
2

1
v`a an+1 < an .
2

Chuyˆe’n qua gi´o.i ha.n ta du.o..c a

a
⇒ a = 0.
2

` TA
ˆ. P
BAI

7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

23

1. Cho c´ac d˜ay sˆo´:
1) an =

5n2
·
n2 + 3

2) bn = (−1)n

2n
sin n. 3) cn = n cos πn.
n+1

H˜ay chı’ ra d˜ay n`ao bi. ch˘a.n v`a d˜ay n`ao khˆong bi. ch˘a.n.
(DS. 1) v`a 2) bi. ch˘a.n; 3) khˆong bi. ch˘a.n)
2. Ch´
u.ng minh r˘`ang d˜ay:
a0
a1
a2
, a2 =
, a3 =
,...,
a + a0

a + a1
a + a2
an−1
an =
, . . . (a > 1, a0 > 0)
a + an−1
a1 =

hˆo.i tu..
3. Ch´
u.ng minh c´ac d˜ay sau dˆay hˆo.i tu.
n2 − 1
1) an =
n2
1
1
1
2) an = 2 + + + · · · +
2! 3!
n!
˜
u. n!
Chı’ dˆ
a n. T´ınh bi. ch˘a.n du.o..c suy t`

2n−1 v`a do d´o

1
1
1

1
+ 2 + · · · + n−1 = 3 − n−1 < 3.
2 2
2
2
ung
4. Ch´
u.ng minh c´ac d˜ay sau dˆay hˆo.i tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n a cu’a ch´
√
√
√
1) a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. (DS. k−1 5)
2n
2) an =
(n + 2)!
2
an+1
˜
< 1. (DS. a = 0)
=
Chı’ dˆ
a n.
an
n+3
E(nx)
`an nguyˆen cu’a nx.
trong d´o E(nx) l`a phˆ
3) an =
n
˜

u.c: nx − 1 < E(nx) nx. (DS. a = x)
Chı’ dˆ
a n. Su’. du.ng hˆe. th´
an

2+

n
5. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay: an = a1/2 hˆo.i tu. v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a n´o
(a > 1).




Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´

24

˜
(DS. a = 1. Chı’ dˆ
a n. Ch´
u.ng minh r˘`ang an l`a d˜ay do.n diˆe.u gia’m
v`ı
an+1 = a1/2

n+1

n·2)

= a1/(2

=

√

an , an > 1)

6. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay
an = 1 +

1
1
1
+
+
·
·
·
+
22 32
n2

hˆo.i tu..
˜
Chı’ dˆ
a n. Ch´
u.ng to’ r˘`ang d˜ay do.n diˆe.u t˘ang, t´ınh bi. ch˘a.n cu’a n´o
du.o..c x´ac lˆa.p b˘a`ng c´ach su’. du.ng c´ac bˆa´t d˘a’ng th´

u.c:
1
1
1
1
=
− ,
<
2
n
n(n − 1)
n−1 n

n

2.

7. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay
an =

1
1
1
+ 2
+ ··· + n
3+1 3 +2
3 +n

c´o gi´o.i ha.n h˜

u.u ha.n.
˜
Chı’ dˆ
a n. T´ınh bi. ch˘a.n cu’a an du.o..c x´ac lˆa.p b˘a`ng c´ach so s´anh an
v´o.i tˆo’ng mˆo.t cˆa´p sˆo´ nhˆan n`ao d´o.
8. Ch´
u.ng minh r˘a`ng d˜ay

1+

1
n

lim 1 +

n→∞

n+1

1
n

do.n diˆe.u gia’m v`a

n+1

= e.

9. T´ınh lim an , nˆe´u
n→∞

1) an = 1 +

1
n+k

n

, k ∈ N.

(DS. e)

n
n
1
. (DS. )
n+1
e
n
√
1
3) an = 1 +
. (DS. e)
2n
2n + 1 2n
4) an =
. (DS. e)
2n

2) an =