BÀI GIẢNG XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ppt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA GIÁO DỤC CƠ BẢN












BÀI GIẢNG XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
(LƯU HÀNH NỘI BỘ-NĂM 2012)

BIÊN SOẠN: LÊ VĂN TRỌNG
2










Phần xác suất
Ch0: Giải tích tổ hợp
Ch1: Xác suất các biến cố ngẫu nhiên
Ch2: BNN & luật phân phối xác suất
Ch3: Một số luật phân phối thường dùng
Ch4: Các định lý giới hạn và luật số lớn

Phần thống kê
Ch1: Mẫu, và các đặc trưng mẫu
Ch2: Ước lượng tham số
Ch3: Kiểm định giả thiết thống kê


3

CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1. Quy tắc nhân
2. Chỉnh hợp chập k
3. Hoán vị bậc n
4. Chỉnh hợp lặp chập
5. Tổ hợp chập k
6. Nhị thức newton
Bài tập chương 0

1. Công thức nhân
Công việc A được chia thành k giai đoạn, giai đoạn thứ i có n
i
cách hoàn thành i=1 k.
Vậy số cách để hoàn thành cả công việc A là:
n=n
1
n
2
 n
k
(1)
TD1: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo?
Giải: Công việc xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo được chia thành 5 giai đoạn.
Gđ1: Xếp cuốn thứ nhất, có 3 cách
Gđ2: Xếp cuốn thứ hai, có 3 cách

Gđ5: Xếp cuốn thứ năm, có 3 cách
Vậy số cách để xếp 5 cuốn sách là: n = 3
5

2. Hoán vị bậc n

Một cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự xác định gọi là một hoán vị bậc n.
Số hoán vị bậc n là: P
n
=n! (2)
Qui ước: n! = n(n-1)(n-2) 2.1; 0! = 1 ; 1 !=1
3. Chỉnh hợp chập k
Một cách lấy k phần tử theo một thứ tự xác định trong một tập hợp gồm n phần tử, gọi
là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số chỉnh hợp chập k của là:

k
n
n!
A n(n 1)(n 2) (n k 1)
(n k)!
     

(3)
Chú ý: Một hoán vị bậc n là một chỉnh hợp chập n của n phần tử.
TD2: Có 5 quả cầu, trên mỗi quả cầu ghi một số từ 1 5. Lầy ngẫu nhiên lần lượt 2
quả cầu. Hỏi có bao nhiêu số có 2 chữ số được hình thành từ 2 số trên hai quả cầu
được lấy ra?
4

Giải: Một cách lấy hai quả cầu có thứ tự cho ta một số có 2 chữ số. Vậy số có 2 chữ
số là: n=A
2
5
=20
TD3: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 8 tốt và 2 xấu. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2

sản phẩm để kiểm tra.
a- Có bao nhiêu cách lấy như thế?
b- Có bao nhiêu cách lấy để có đúng một sản phẩm tốt ?
c- Có bao cách lấy có ít nhất một xấu ?
d- Có không quá 1 tốt ?
Giải: a) n
1
=A
2
10
=90; b) n
2
=32; c) n
3
=A
2
10
–A
2
8
=34; d) n
4
= A
2
10
–A
2
8
=34
4. Chỉnh hợp lặp chập k

Một cách lấy k phần tử theo một thứ tự xác định có hòan lại trong một tập hợp gồm n
phần tử là một chỉnh hợp lặp chập k của n phân tử.
Số chỉnh hợp lặp chập k là: P
k
n
=n
k
(4)
TD3: Cho các chữ số số 0,1,2, ,6.
a- Có bao nhiêu số có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho?
b- Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho?
c- Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho?
5. Tổ hợp chập k
Một cách lấy k phần tử không phân biệt thứ tự trong một tập hợp gồm n phần tử, gọi
là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số tổ hợp chập k của n phần tử là:

)!kn(!k
!n
!k
A
C
k
n
k
n


(5)
Hệ quả: Ta chứng minh được:

kn
n
k
n
CC


;
k
1
n
1k
1
n
k
n
CCC




(6)
6. Nhị thức Newton

0


 

n

n k n n k
n
k
(a b) C a b

(7)

Hệ quả: Số các tập con của một tập hợp gồm n phần tử là:

0
2



n
k n
n
k
C

(8)

TD4: Một số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5.
a) Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số 1 liền nhau
b) Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số 1 bất kỳ
5

Giải: a) n
1
=5 !=120 ; b) n

2
=C
5
9
P
4
!=3024
TD5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy
ngẫu nhiên 3 sản phẩm, hỏi:
a) Có bao nhiêu cách lấy?
b) Có bao nhiêu cách lấy được 1 tốt?
c) Có bao nhiêu cách lấy được ít nhất 1 xấu?
d) Có bao nhiêu cách lấy để có không quá 2 xấu?
Giải: a) n
a
=C
3
10
=120; b) n
b
=C
1
7
C
2
3
=21; c) n
c
=C
3

10
-C
3
7
=85; d) n
d
=C
3
10
-C
3
3
=119
TD6: Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách xếp?
b) Có bao cách xếp để ngăn kéo nào cũng có sách?
c) Có bao cách xếp để 2 ngăn có số sách bằng nhau?
Giải: a) n
1
=3
5
=243
b) n
2
=n
1
-[C
1
3
+C

2
3
(2
5
– C
1
2
)]=93
c) n
3
=3
5
-(C
1
5
*3 !+C
2
5
*3 !) = 153 (tất cả trừ 2 ngăn có sách)
Bài tập chương 0:
1) Có 5 đội bóng thi đấu, các đội thi đấu vòng tròn một lượt. Hỏi phải tổ chức bao
nhiêu trận đấu? ĐS: n=A
2
5

2) Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ và 20 nam, giáo viên chủ nhiệm muốn
chọn ngẫu nhiên 4 em vào ban tự quản. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để được:
a) 4 sinh viên bất kỳ
b) Có 1 nam và 3 nữ
c) Có 2 nam và 2 nữ

d) Phải có ít nhất 1 nam
ĐS: n
a
=C
4
5
; n
b
=C
1
20
C
3
30
; n
c
= C
2
20
C
2
30
; n
d
=C
4
5
-C
4
30

3) Một hộp có 10 sản phảm, trong đó có 7 tốt và 3 xấu. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Hỏi có bao nhiêu cách lấy để được:
a) Hai sản phẩm bất kỳ?
b) Một tốt và một xấu?
c) Có ít nhất 1 tốt?
d) Có không quá một tốt?
ĐS: n
a
=C
2
10
=45; n
b
=C
1
7
C
1
3
=21; n
c
=C
2
10
-C
2
3
=42; n
d
=C

2
10
-C
2
7
=24
4) Biết 3 tháng cuối năm có 3 trận mưa lớn.
a) Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra?
b) Hỏi có bao nhiêu khả năng để mỗi ngày có không quá một trận mưa lớn?
ĐS: n
a
=C
1
92
+C
2
92
*2+C
3
92
=134044; n
b
=C
3
92
=125580
5) Một người sáng nào cũng gieo 5 xúc xắc để cầu may. Nếu có ít nhất một con 6 xuất
hiện, thì ngày đó là ngày may mắn.
a) Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra trong một tuần?
b) Biết trong tuần qua có 3 ngày may mắn. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy

ra?
6

c) Trong tuần qua có 3 ngày may mắn. Hỏi có bao khả năng để những ngày may
mắn có không quá một con 6 xuất hiện?
ĐS: n
a
=(6
5
)
7
; n
b
=C
3
7
(6
5
-5
5
)
7
; n
c
=C
3
7
(C
1
5

5
4
)
7

6) a) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người?
b) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho người
thứ nhất có đúng 3 tặng phẩm?
c) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho mỗi
người có 5 tặng phẩm?
ĐS: a) n
1
= 4
20
; b) n
2
= C
3
20
x3
17
; c) n
3
=C
5
20
xC
5
15
xC

5
10
xC
5
5

7) 7.1. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu?
7.2. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu sao cho toa thứ
nhất có đúng 4 khách?
7.3. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu để mỗi toa có 4
khách?
ĐS: 7.1. n
1
=3
12
; 7.2. n
2
=C
4
12
x2
8
; 7.3. n
3
=C
4
12
xC
4
8

xC
4
4


7

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CÁC BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên
2. Quan hệ giữa các BCNN
3. Định nghĩa xác xuất
4. Các công thức tính xác suất

1. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên
Phép thử: Phép thử là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa mà chỉ mô tả
như một quan sát, một thí nghiệm nhằm trắc nghiệm một tính chất X nào đó trên một
lớp các đối tượng đồng nhất, gọi là một phép thử T.
Phép thử T có nhiều hơn một kết cục liên quan đến tính chất X, khi chưa thử thì không
thể biết trước kết cụ nào sẽ xẩy ra, gọi là phép thử ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất chỉ
quan tâm đến phép thử ngẫu nhiên.
Biến cố ngẫu nhiên (BCNN): Một kết cục liên quan đến tính chất X của phép thử T
gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Ký hiệu A, B, C
TD1: Quan sát một người bắn một viên đạn vào một mục tiêu, tính chất X ta quan tâm
là viên đạn trúng mục tiêu hay không? Là một phép thử ngẫu nhiên.
Gọi A là biến cố viên đạn trúng mục tiêu, B là biến cố viên đạn không trúng mục tiêu
là các biến cố ngẫu nhiên.
TD2: Gieo một xúc xắc, tính chất X ta quan tâm là số chấm xuất hiện của xúc xắc.
Gọi A
i

là biến cố mặt i chấm xuất hiện i=1 6; A là biến cố mặt chẵn chấm, B là biến
cố có số chấm lớn hơn 3 là các biến cố ngẫu nhiên…
Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thử T, ký hiệu là .
Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xẩy ra khi thử T, ký hiệu là .
TD3: Một hộp có 5 sản phẩm, trong đó có 4 tốt và 1 xấu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2
sản phẩm.
Biến cố “trong hai sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 tốt” là biến cố chắc chắn.
Biến cố “trong 2 sản phẩm lấy ra cả hai đều xấu” là biến cố không thể.
Biến cố sơ cấp: Là một kết cục cụ thể có thể xẩy ra khi thử T. Tập hợp các biến cố sơ
cấp ký hiệu .
TD4: Phép thử gieo đồng thời một xu và một xúc xắc. Gọi S, N là biến cố xu xuất
hiện mặt sấp/ngửa, A
i
là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt i chấm.
a) Hãy liệt kê tất cả các biến cố sơ cấp theo S, N, A
i

b) Hãy mô tả một biến cố , 
Giải: a) SA
1
,SA
2
SA
6
; NA
1
,NA
2
NA
6

(12 biến cố sơ cấp)
b) “Xúc xắc có số chấm lớn hơn 0” là biến cố chắc chắn; “Xúc xắc có số chấm
lớn hơn 6” là biến cố không thể
8

2. Quan hệ giữa các BCNN
Biến cố kéo theo: Nếu biến cố A xẩy ra thì B cũng xẩy ra, Khi đó ta nói A kéo theo
B, Ghi AB, đọc A kéo theo B hoặc A thuận lợi cho B.



Hai biến cố bằng nhau: Nếu biến cố A xẩy ra thì B cũng xẩy ra và ngược lại, thì ta
nói biến cố A bằng biến cố B, Ghi A=B.
Hai biến cố đối lập: Ta nói biến cố đối lập của biến cố A là biến cố A không xẩy ra,
ký hiệu là
A
.
Hai biến cố xung khắc: A,B xung khắc nếu A xẩy ra thì B không xẩy ra và ngược lại.


Họ biến cố xung khắc từng đôi: Họ biến cố {A
1
, A
2
, A
n
} gọi là xung khắc từng đôi
nếu hai biến cố bất kì trong họ đều xung khắc với nhau.
Chú ý: Tập các biến cố sơ cấp thì xung khắc từng đôi
Tổng hai biến cố A, B: Là biến cố A xẩy ra hoặc B xẩy ra, ghi A+B.

Tích hai biến cố A, B: Là biến cố đồng thời A và B cùng xẩy ra, ghi A.B



Biến cố A hiệu B: Là biến cố A xẩy ra và B không xẩy ra; ghi A-B.
Các tính chất:
a) A+B = B+A
b) (A+B)+C = A+(B+C)
c) A.B = B.A
d) (A.B).C = A(BC)
e) A(B+C) = A.B+A.C
f) AB  A+B = B; A.B = A
g)
  
A A
;
 
A.A
h) A, B xung khắc  A.B = 
B

A

B

A

A

A + B
A.B
B
9

i) Họ {A
i
} xung khắc từng đơi khi và chỉ khi A
i
A
j
= ij
j) 1/
A B A.B
 
; 2/
A.B A B
 

Chú ý: Tập hợp các biến cố sơ cấp cùng với hai phép tốn cộng và nhân hai biến cố
tạo thành khơng gian các biến cố sơ cấp.

TD5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một viên. Gọi A
i
là biến
cố người thứ i bắn trúng mục tiêu, i =1,2 hãy viết các biến cố sau theo A
1
, A

2
.
a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng: A=
2
1
A A

b) Có đúng một người bắn trúng :
 
2 1
1 2
B A A A A

c) Có ít nhất một người bắn trúng: C= A
1
+A
2

d) Cả hai người đều bắn trúng: D=A
1
A
2
e) Cả hai Khơng trúng :
1 2
A A
hoặc
1
2
A A


TD6: Một lơ hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản
phẩm để kiểm tra. Gọi A
i
là biến cố có i phế phẩm trong 4 sản phẩm được kiểm tra,
Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố A
i
i=0,1,2,3
a) Cả 3 sản phẩm đều tốt
b) Có đúng một phế phẩm
c) Có ít nhất 1 tốt
d) Có số phế phẩm chẵn
e) Có khơng q 1 phế phẩm
TD7: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập, mỗi người bắn 1 viên.
Gọi A
i
là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu i=1 3. Hãy biểu diễn các biến cố sau
theo các biến cố A
i
i=1 3.
a) Mục tiêu có 1 viên trúng.
b) Mục tiêu có ít nhất 1 viên trúng.
c) Mục tiêu có khơng q 1 viên trúng.
d) , 
e) Bọi B
i
là biến cố mục tiêu có i viên trúng, i=0,.,3. Chứng tỏ {B
i
} là họ biến cố
xung khắc từng đơi và B

0
+B
1
+B
2
+B
3
=
3. Định nghĩa xác suất các biến cố ngẫu nhiên
3.1. Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển
Giả sử T là phép thử có n biến cố sơ cấp có cùng một khả năng xuất hiện như nhau. A
là biến cố ngẫu nhiên liên quan đến T có m biến cố sơ cấp kéo theo A. Ta gọi tỷ số
m/n là xác suất của biến cố A.
Ký hiệu:  
m Sốbiếncố sơcấpkéotheoA
P(A)
n Sốtấtcả cácbiếncốsơcấp

TD8: Phép thử gieo một xúc xắc, A là biến cố mặt 2 chấm xuất hiện, B là biến cố mặt
chẵn chấm xuất hiện. Tính P(A)=?, P(B)=?
Giải: Số các biến cố sơ cấp của phép thử T là n=6
Số các biến cố sơ cấp kéo theo A là m=1
Số các biến cố sơ cấp kéo theo B là m=3
Vậy P(A)=1/6=0.1666, P(B)=3/6=0.5
TD9: Một hộp có 3 bi xanh và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất để:
10

a) Hai bi lấy ra cùng màu xanh?
b) Hai bi khác màu?
Giải: Phép thử T có số các biến cố sơ cấp n=C

2
5
=10
a) A là biến cố 2 bi màu xanh  m=C
2
3
=3  P(A)=3/10=0.333
b) B là biến cố 2 bi khác màu  m=C
1
3
C
1
2
=6  P(B)=6/10=0.6
TD10: Bỏ ngẫu nhiên 5 viên bi vào 3 hộp. Tính xác suất để:
a/ Chỉ có một hộp có bi (A)
b/ Một hộp có 3 bi (C)
c/ Hộp nào cũng có bi (B)
Giải: a/ P(A)=3/3
5
=1/3
4
=1/81=0.0123
b/ P(B)=C
3
5
C
1
3
(2

2
-C
1
2
)/3
5
=60/243=0.2469
c/ P(C)=[3
5
–C
1
3
–(C
2
3
*2
5
-C
1
2
)]/3
5
=146/243=0.6
Nhận xét:
1) Xác suất của biến cố A cho biết khả năng có thể xẩy ra biến cố A khi thử T ở mức
bao nhiêu %. P(A)=p nghĩa là tiến hành phép thử T vô hạn lần thì tỷ lệ số lần xuât
hiện A bằng p.
2) Xác suất của mỗi biến cố sơ cấp đều bằng nhau và bằng 1/n
3) Phép thử T có số biến cố sơ cấp là vô hạn, hoặc các biến cố sơ cấp có khả năng xẩy
ra ở các mức độ khác nhau thì định nghĩa này không tồn tại. Để khắc phục thiếu sót

này người ta xây dựng khái niệm xác suất theo lối thống kê như sau:
3.2. Định nghĩa theo lối thông kê
Tần suất: Tiến hành phép thử T- n lần độc lập và giả sử có m lần xuất hiện A. Ta gọi
số f
A
n
= m/n là tần suất của biến cố A trong n lần thử T.
Xác suất: Người ta chứng minh được, khi số lần thử tăng lên vô hạn, thì tần suất f
A
n

biến thiên xoay quanh một số p. (limf
A
n
=p khi n). Ta gọi số p là xác suất của biến
cố A ký hiệu P(A)=p. Trong thực tế khi n đủ lớn ta ta có thể coi P(A)=f
A
n

TD11: Hai nhà bác học Buffon và Pearson tiến hành thí nghiệm gieo một xu và có kết
quả như sau:
Người thực hiện Số lần gieo (n) Số lần sấp (m) Tần suất f
n
S

Buffon 4040 2048 0.5069
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005
Từ 3 thí nghiệm trên ta thấy f
S

n
 0,5 khi n  P(S) = 0.5
TD12: Để tính tỷ lệ suy dinh dưỡng bé sơ sinh tại thành phố HCM, người ta tiến hành
kiểm tra lần lượt 1000 bé (n=1000), trong 1000 lượt kiểm tra thấy có 200 (m=200) bé
suy dinh dưỡng.Ta có tần suất bé suy dinh dưỡng tại TP HCM là f
1000
=20%.
Do vậy người ta nói tỷ lệ bé suy dinh dưỡng tại TPHCM là 20%
3.3. Định nghĩa theo lối hình học
11

T là phép thử có không gian các bién cố sơ cấp , và giả sử tập hợp  có diện tích
tương ứng là S

, A là biến cố ngẫu nhiên liên quan có diện tích tương ứng là S
A
. Xác
suất của bién cố A là:

A
S
P(A)
S



TD13: Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điẻm xác định và khoảng 8 đén 9 giờ sáng,
và quy ước: Người đến trước sẽ đợi người kia 10 phút, sau đó nếu không gặp thì sẽ đi
khỏi điểm hẹn. Tính xác suất để hai người gặp nhau, nếu biết rằng mỗi người có thể
đến chỗ hẹn trong khoảng thời gian quy định một cách ngẫu nhiên và không phụ

thuôic vào người kia đến lúc nào.
Giải: gọi x là thời điểm ngươiì thứ nhất đến điểm hẹn, y là thời điểm người thứ hai
đến điểm hẹn (đơn vị là phút)  hai người gặp nhau khi và chỉ khi |x-y|≤10.
Ta biể diễn x,y trên mặt phẳng tọa độ vuông góc
Khi đó diện tích của  là hình vuông
60
có cạnh là 60. Diện tích của biến cố
A (hai người gặp nhau là hình chữ nhật S


bị gạch.


  
2 2
2
60 50 11
P(A)
36
60


3.4. Các tính chất cơ bản của xác suất
1. P()=0, P(O)=1
2. 0P(A) 1
3. AB thì P(A)=P(B)
4. Nếu A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B)
5. Nếu họ {A
i
} với i=1,2, ,n xung khắc từng đôi thì:

1 1 
 

 
 
 
n n
i i
i i
P A P(A )

(Bao gồm cả khi n=∞)
6. P(
A
) = 1–P(A)
3.5. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn:
Những biến cố có xác suất rất nhỏ p0, thì có rất ít khả năng xẩy ra khi thử T. Khi đó
người ta cho rằng biến cố này không xẩy ra (nguyên lý xác suất nhỏ).
Ngược lại một biến cố có xác suất lớn p1, thì có rất nhiều khả năng xẩy ra khi thử T.
Khi đó người ta cho rằng biến cố này sẽ xẩy ra khi thử T (nguyên lý xác suất lớn).
Thường P(A)<0,0027 được coi là có xác suất nhỏ và P(A)> 0,9973 được coi là xác
suất lớn.
BT1: Một hộp có 10 bi trong đó có 5 đỏ, 3 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính
xác suất để:
a) Hai bi cùng màu.
b) Một đỏ hoăc một vàng.
c) Ba bi khác màu.
S
A

S


S
A

S


12

d) Có ít nhất một đỏ.
ĐS: P(A)=79/120; P(B)=106/120; P(C)=30/120; P(D)=11/12
BT2: Gieo đồng thời hai xúc xắc (một xanh và một đỏ). Tính xác suất các biến cố:
a) Tổng số chấm trên hai xúc xắc là 7
b) Số chấm của xúc xắc đỏ lớn hơn xúc xắc trắng
c) Tích số chấm trên hai xúc xắc là một số lẻ
ĐS: P(A)=1/6; P(B)=15/6; P(C)=9/36
BT3: Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo. Tính xác suất để:
a) Ngăn kéo nào cũng có sách
b) Có 2 ngăn kéo có số sách bằng nhau
ĐS: a) P(A)=150/243; b) P(B)=153/243
BT4/ Ba công nhân A, B, C cùng kỹ năng cùng tay nghề thay nhau sản xuất một loại
sản phẩm. Trong số sản phẩm họ làm ra trong một tháng có 4 phế phẩm. Tính xác suất
để :
a/ Số phế phẩm do một người làm
b/ Công nhân nào cũng có phế phẩm
ĐS: a/ P(A)=1/3
3
; b/ P(B)=C

2
4
*C
1
2
*3 !/3
4
=8/9
BT5/ Biết 3 tháng cuối năm có 3 trận mưa lớn. Tính xác suất để mỗi ngày có không
quá một trận mưa lớn.
ĐS: P(A)=125580/1340044=0.9368
BT6/ Một người sáng nào cũng gieo 5 xúc xắc để cầu may. Nếu có ít nhất một con 6
xuất hiện, thì ngày đó là ngày may mắn. Biết rằng trong tuần qua người đó có 3 ngày
may mắn. Tính xác suất trong những ngày may mắn có không qua một con 6 xuất
hiện.
ĐS: P(A)=C
3
7
(C
1
5
5
4
)
3
(5
5
)
4
/C

3
7
(6
5
-5
5
)
3
(5
5
)
4
=0.0121
4. Các công thức tính xác suất
4.1. Các công thức cộng
a) Công thức cộng thứ nhất:
Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì:
P(A+B)=P(A)+P(B) (1)
Mở rộng, nếu A
i
i=1 n là họ biến cố xung khắc từng đôi thì:

n n
i i
i 1 i 1
P A P(A )
 
 

 

 
 
(2)
(công thức vẫn đúng khi n=)
b) Công thức cộng thứ hai:
Nếu A,B là hai biến cố không xung khắc:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (3)
13

Mở rộng nếu họ {A
i
} không xung khắc từng đôi:
1 2
1 1
n n
n+1
i i i j i j k n
i i i j i<j<k
P A P(A ) P(AA )+ P(A A A ) +(-1) P(A A A )
  
 
 
 
 
   
(4)
TD14: Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 20 giỏi toán, 15 giỏi văn, 20 giỏi sinh ngữ,
10 giỏi cả 2 môn toán và sinh ngữ, 12 giỏi cả 2 môn văn và sinh ngữ, 5 giỏi cả 2 môn
toán và văn, và 3 giỏi cả 3 môn. Lấy ngẫu nhiên từ danh sách ra một em, tính xác xuất
để học sinh này giỏi ít nhất một môn.

Giải: Gọi T là biến cố lấy được học sinh giỏi toán
V là biến cố lấy được học sinh giỏi văn
S là biến cố lấy được học sinh giỏi sinh ngữ
A là biến cố lấy được học sinh giỏi ít nhất một môn
 A=T+V+S  P(A)=P(T)+P(V)+P(S)-P(TV)-P(TS)-P(VS)+P(TVS)=31/50
TD15: Một chủ khách sạn gửi ngẫu nhiên 3 chiếc mũ bị bỏ quên cho 3 vị khách vì
không biết mũ nào của ai. Tính xác suất để:
a) Không ai nhận được mũ của mình (A)
b) Chỉ có một người nhận đúng mũ của mình (B)
Giải: Gọi A
i
là biến cố người thứ i nhận đúng mũ của mình i=1,2,3
a) P(A)=1-P(
A
)=1-P(A
1
+A
2
+A
3
)
=1-[P(A
1
)+P(A
2
)+P(A
3
)-P(A
1
A

2
)-P(A
1
A
3
)-P(A
2
A
3
)+P(A
1
A
2
A
3
)]
Ta có A
1
A
2
=A
1
A
2
A
3
A
1
A
2

=A
1
A
3
=A
2
A
3
=A
1
A
2
A
3

Mặt khác P(A
i
)=2!/3!; P(A
1
A
2
A
3
)=1/3!  P(A)=1-[3*2!/3!-2/3!]=1/3
b) P(B)=P( 2 3 1 3 1 2
1 2 3
A A A A A A A A A
 
)
Ta có P(

2
1 3
A A A
)=P(A
1
)P(
2
1
A / A
)P(
2
3 1
A / A A
)=1/6  P(B)=1/2
TD16: Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng. Biết khả năng thua lỗ của A
là 10% và B là 20% và cả hai cùng thua lỗ là 5%. tính xác suất chỉ có một công ty bị
thua lỗ.
Giải: Gọi A là biến cố công ty A thua lỗ, B là biến cố công ty B thua lỗ, F là biến cố
chỉ có một công ty thua lỗ.
0 2
F AB AB P(F) P(AB) P(AB)
P(AB) P(A) P(AB); P(AB) P(B) P(AB)
P(F) ,
     
   
 

4.2. Công thức xác suất điều kiện, công thức nhân
Hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi, biến cố này xẩy ra hay
không xẩy ra không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia và ngược lại.

Họ độc lập hoàn toàn: Họ biến cố {A
i
} i=1 n gọi là độc lập hoàn toàn nếu một biến
cố bất kỳ trong họ, đều độc lập với tích của một họ con bất kỳ.
14

TD17: Một hộp có 1 bi xanh, 1 bi vàng, 1 bi đỏ, và 1 bi có 3 màu (xanh, vàng, đỏ),
lấy ngẫu nhiên 1 bi. Gọi X, V, D là biến cố lấy được bi có màu tương ứng. Khi đó họ
X,V,D độc lập từng đôi nhưng không độc lập hoàn toàn.
a) Công thức xác suất điều kiện
Xác suất của biến cố A trong điều kiện biến cố B có P(B)>0 đã xẩy ra gọi là xác suất
điều kiện. Ký hiệu là P(A/B)
P(A/B) =P(AB)/P(B) (7)
TD18: Có 5 hộp sữa trong đó có một hộp kém phẩm chất. Người ta kiểm tra từng hộp
cho đến khi phát hiện được hộp kém phẩm chất. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng
lại ở lần thứ 2.
Giải: Gọi A
i
là biến cố lần thứ i lấy được hộp kém phẩm chất i=1,2. A là biến cố việc
kiểm tra dừng lại lần thứ 2 (A
1
,A
2
không độc lập)

1 1 1 1
2 2 2
1 5
     
A A A P(A) P(A A ) P(A )P(A / A ) /

b) Công thức nhân thứ nhất
Nếu A, B là 2 biến cố độc lập thì:
P(A.B) = P(A).P(B) (5)
Mở rộng nếu {A
i
} là họ biến cố độc lập hoàn toàn thì:

1 1
n n
i i
i i
P A P(A )
 
 

 
 
 
(6)
c) Công thức nhân thứ hai:
Nếu A, B không độc lập:
P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) 8)
Mở rộng nếu {A
i
} i=1,2, n là không độc lập hoàn toàn:
P(A
1
A
2

A
n
)=P(A
1
)P(A
2
/A
1
)P(A
3
/A
1
A
2
) P(A
n
/A
1
A
2
A
n-1
) (9)
TD19: Hai người cùng bắn một cách độc lập vào một mục tiêu, mỗi người bắn một
viên. Biết xác suất bắn trúng của mỗi người tương ứng là 0.7, 0.8, tính xác suất để:
a/ Mục tiêu bị trúng đạn (A)
b/ Mục tiêu chỉ có một viên trúng (B)
Giải: Gọi A
i
là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu i=1,2 {A

1
,A
2
} độc lập
a/ P(A)= P(A
1
+A
2
)=P(A
1
)+P(A
2
)-P(A
1
A
2
)=0.94
b/ P(B)=P(
2 1
1 2
A A A A
 )=P(
2
1
A A
)+P(
1
2
A A
)=0.38

TD20: Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng là 5%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm
(có hoàn lại) cho đến khi lấy được phế phảm thì ngừng.
15

a/ Tính xác suất phải lấy đến sản phẩm thứ 3 (A)
b/ Hỏi phải lấy bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm không nhỏ
hơn 0.9 (B)
Giải: a/ P(A)=0.95
2
*0.05=0.04513
b/ P(B)=1-P(
B
)=1-0.95
n
0.9 n45
TD21: Hai người A,B tổ chức trò chơi gieo một xu và thỏa thuận: A gieo trước, nếu
ngửa thì A đựợc 10đ. Nếu sấp thì chuyển cho B gieo, nếu B gieo sấp thì B được 10đ.
Nếu ngửa thì chuyển cho A gieo tiếp, quá trình cứ tiếp tục như vậy ván chơi kết thúc
ngay khi có một người được 10đ. Tính xác suất được 10đ của mỗi người.
Giải: Gọi A là biến cố A được 10đ, B là biến cố B đựơc 10đ
 A=N+SNN+SNSNN+SNSNSNN+
B=SS+SNSS+SNSNSS+SNSNSNSS+
 P(A)=2P(B)  P(A) = 2/3; P(B) = 1/3
TD22: Một người bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu, cho đến khi có 1 viên đạn đầu tiên
trúng mục tiêu thì ngừng bắn. Tìm xác suất để người đó phải bắn đến viên thứ tư, biết
xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là như nhau và bằng 0,7
Giải: Gọi A
i
là biến cố viên thứ i trúng mục tiêu i=1,2.3
 họ {A

i
} độc lập hoàn toàn
A là biến cố người đó phải bắn đến viên thứ tư.
3
1 2 3 1 2 3
0 3
P(A) P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) .
   

TD23: Một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên
lần lượt 3 sản phẩm, nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm được kiểm tra thì không mua
lô hàng. Tính xác suất lô hàng được mua (xét cả hia trường hợp lấy có hoàn lại và
không hoàn lại)
Giải: Gọi A
i
là biến cố lần i lấy được sản phẩm tốt
Có hoàn lại: {Ai} độc lập hoàn toàn
 P(A)=P(A
1
A
2
A
3
)=P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
)=0.729

Không hoàn lại: {Ai} không độc lập hoàn toàn
 P(A)=P(A
1
A
2
A
3
)=P(A
1
)P(A
2
/A
1
)P(A
3
/A
1
A
2
)=0.72653
4.3. Công thức xác suất đầy đủ và bayes
Họ biến cố đầy đủ: Họ {A
1
,A
2
, A
n
} là một họ biến cố đầy đủ nếu có ít nhất một
biến cố trong họ phải xẩy ra khi thử T, và họ {A
i

} xung khắc từng đôi.
a) Công thức xác suất đầy đủ:
Nếu {A
i
} là họ đầy đủ, F là biến cố bất kỳ thì:

1
n
i i
i
P(F) P(A )P(F/ A )



(10)
b) Công thức xác suất Bayes:
16


i i
i
P(A )P(F/ A )
P(A /F)
P(F)

(11)
TD24: Có hai hộp bi mỗi hộp có 5 bi, hộp I có 3 đỏ và 2 trắng, hộp II có 2 đỏ và 3
trắng. Lấy một bi từ hộp I bỏ vào hộp II, rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác
suất để:
a/ Hai bi cùng màu.

b/ Có ít nhất 1 đỏ.
c/ Biết hai bi lấy ra từ hộ II có 1 đỏ. Tính xác xuất để bi lấy ra từ hộp I là đỏ.
Giải: Gọi A
1
là biến cố lấy được bi từ hộp I có màu đỏ, A
2
là biến cố lấy được bi từ
hộp I có màu trắng; A là biến cố hai bi cùng màu từ hộp II; B là biến cố có ít nhất một
đỏ từ hộp II; C là biến cố có 1 đỏ.
P(A)=P(A
1
)P(A/A
1
)+P(A
2
)P(A/A
2
)=32/75=0.4267
P(B)= P(A
1
)P(B/A
1
)+P(A
2
)P(B/A
2
)=29/50=0.58
P(C)= P(A
1
)P(C/A

1
)+P(A
2
)P(C/A
2
)=43/50=0.86
P(A
1
/C)=P(A
1
)P(C/A
1
)/P(C)=27/43=0.6279
TD25: Một lô hạt giống được phân làm 3 loại. Loại I chiếm 2/3 số hạt cả lô. Loại II
chiếm 1/4; còn lại là loại III. Loại I có tỷ lệ nảy mầm 80%, loại II 60% và loại III
40%. Hỏi tỷ lệ nảy mầm chung của lô hạt giống là bao nhiêu?
ĐS: p=0,716
TD26: Tỷ lệ người dân nghiện thuốc lá là 30%, biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số
người nghiện thuốc lá là 60%. Còn người viêm họng trong số người không hút thuốc
lá là 40%.
a/ Lấy ngẫu nhiên một người. Biết rằng người đó viêm họng, tính xác suất để người
đó nghiện thuốc.
b/ Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc.
ĐS: P(A)=0.46; P(B)= 0,222.
TD27: Một công ty bảo hiểm chia dân cư thành 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung bình, rủi
ro cao. Theo thông kê cho thấy tỷ lệ dân cư gặp rủi ro trong một năm tương ứng với
các loại trên là 5% 15% 30% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro
trung bình; 30% rủi ro cao.
a/ Tính tỷ lệ rủi ro trong một năm (p=0.175)
b/ Nếu một người gặp rủi ro trong một năm thì xác suất người đó thuộc loại ít

rủi ro là bao nhiêu? (p=0.2303)
ĐS: a) P(A)=0.175; b) P(B)=0.2303
TD28: Một hộp có 7 sản phẩm, hoàn toàn không biết chất lượng của các sản phẩm
trong hộp này. Mọi giả thiết về số phế phẩm có trong hộp làđồng khả năng. Lấy ngẫu
nhiên từ hộp ra 3 sản phẩm để kiểm tra thì có 2 phế phẩm.
a) Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong các sản phẩm còn lại là bao nhiêu?
b) Nếu lấy thêm một sản phẩm nữa thì khả năng lấy được phế phẩm là bao nhiêu?
HD: a) Gọi A
i
là biến cố hộp có i phế phẩm i=0,1,2, 7
A là biến cố 3 sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm
 P(A/A
0
)=P(A/A
1
)=0; P(A/A
2
)=5/35; P(A/A
3
)=12/35; P(A/A
4
)=18/35;
P(A/A
5
)=20/35; P(A/A
6
)=15/35; P(A/A
7
)=0
 P(A/A

5
)=20/35 là lớn nhất  số phế phẩm còn lại trong hộp có khả năng
xẩy ra nhiều nhất là 3.
17

b) Gọi B là biến cố lấy thêm một sản phẩm nữa được phế phẩm.
P(B/A)=P(AB)/P(A)

7
0
i i
i
P(AB) P(A )P(AB / A )




P(AB/A
i
)=0 khi i=0,1,2; P(AB/A
7
)=0
P(AB/A
3
)=3/35; P(AB/A
4
)=9/35; P(AB/A
5
)=15/35; P(AB/A
6

)=15/35;
P(AB)=3/20 P(B/A)=3/5
4.4. Công thức Bernoulli
Dãy n phép thử Bernoulli: Tiến hành một dẫy n phép thử T
1
, T
2
, T
n
, thỏa 3 điều
kiện sau, gọi là một dãy n phép thử Bernoulli.
1/ T
i
độc lập với T
j
ij
2/ Mỗi lần thử i có xuât hiện A hoặc
A

3/ P(A)=p không đổi trong mọi lần thử T
i
.
Gọi A
i
là biến cố lần thử thứ i xuất hiện A i=1,2, n; B
k
là biến cố trong n lần thử T có
k lần xuất hiện A; k=0,1,2 n
Công thức xác suất Bernuolli
P(B

k
)=C
k
n
p
k
q
n-k
(q=1–p) (12)
TD29: Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất là 5%. Lấy
ngẫu nhiên 5 sản phẩm kiểm tra (có hoàn lại). Tính xác xuất để trong 5 sản phẩm được
kiểm tra có ít nhất một phế phẩm.
Giải: Kiểm tra một sản phẩm là một phép thử, kiểm tra 5 sản phẩm ta có một dãy 5
phép thử Bernoulli, với xác suất được sản phẩm tốt là P=0,95i. Gọi A là biến cố trong
5 sản phẩm kiểm tra có ít nhất 1 phế phẩm
 P(A)=1-P() = 1- C
0
5
p
0
q
5
=1-0,95
5
= 0.2262
TD30: Xác suất bắn trúng mục tiêu bởi một viên đạn của A là 0,7. Hỏi A phải bắn ít
nhất bao nhiêu viên để xác suất mục tiêu có ít nhất một viên trúng lớn hơn hoặc bằng
0,99?
Giải: Giả sử A bắn n viên  xác suất bắn trúng ít nhất một viên là p=1–0,3
n

 1-
0,3
n
0,99  0,3
n
 0,01  n  lg
0,3
(0,01)=3.82  n=4
Bài tập chương 1:
1) Một lô có 20 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản
phẩm (xét cả hai trường hợp không hoàn lại và có hoàn lại). Tính xác suất để:
a) Cả hai sản phẩm đều là phế phẩm?
b) Trong hai sản phẩm lấy ra có 1 tốt ?
c) Lần thứ 2 lấy được sản phẩm tốt ?
ĐS: a/ Không hoàn lại và có hoàn lại kết quả giống nhau: P(A)=1/190
b/ Không hoàn lại và có hoàn lại kết quả giống nhau: P(B)=18/95
c/ Chỉ xét lấy có hoàn lại: P(C)=9/95
2) Một người gọi điện thoại nhưng quean mất 3 số cuối của máy can gọi, mà chỉ nhớ 3
số đó tạo thành moat con số có 3 chữ số khác nhau và là số chẵn. Tính xác suất để
ngừoi đó bấm ngẫu nhiên moat lần đúng số can gọi.
18

ĐS: p=1/328
3) Xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa. Tính xác suất để:
a) 8 người ở cùng moat toa.
b) 8 người ở 8 toa khác nhau.
c) A, B cùng ở toa đầu.
d) A, B cùng một toa.
e) A, B cùng ở moat toa ngoài ra không có ai khác.
ĐS: a) P(A)=1/10

7
; b) P(B)=0.018144; c) P(C)=0.01; d) P(D)=0.1; P(E)=0.0531441

3) Ba người cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi người tương
ứng là: 0.6, 0.8, 0.7. Tính xác suất:
a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng?
b) Có đúng một người bắn trúng?
c) Có ít nhất một người bắn trúng?
d) Có không quá hai người bắn trúng?
f) Có ít nhất hai người bắn trúng?
ĐS: a/ P(A)=0.096; b/ P(B)=0.188; P(C)=0.976; P(D)=0.664; P(F)=0.788
4) Một loại sản phẩm trên thị trường chỉ do 3 nhà máy sản xuất, tỷ lệ sản phẩm của
các nhà máy tương ứng là: 50%, 30%, 20%. Tỷ lệ sản phế phẩm của các nhà máy
tương ứng là : 2%, 1%, 1%. Mua ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất để:
a) Mua phải phế phẩm.
b) Mua phải phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm này do nhà máy 1 sản xuất?
ĐS: a) P(A)=0.015; b) P(B)=0.6666
5) Một xí nghiệp có 3 ô tô. Khả năng có sự cố của mỗi ô tô tương ứng là: 0.15, 0.2,
0.1. Tính xác suất để:
a) Cả 3 ô tô cùng bị hỏng ?
b) Có ít nhất một ô tô hoạt động tốt ?
c) Có không quá 2 hỏng ?
ĐS: a) P(A)=0.003; P(B)=0.997; P(C)=0.997
6) Có hai thùng sản phẩm. Thùng loại I có 60% sản phẩm loại A, thùng loại II có 40%
sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ một thùng.
a) Tính xác suất để được sản phẩm loại A
b) Giả sử sản phẩm lấy ra là loại A. Theo ý bạn bao nhiêu % khả năng thùng đã
mở thuộc loại I
ĐS: a) P(A)=0.54; P(B)=77.77%
7) Một gia đình có 6 con, biết xác suất sinh con trai là 0,52. Tính xác suất để trong 6

con có:
a) Đúng 3 con trai.
b) Có không quá 3 con trai.
ĐS: a) P(A)=0.311; P(B)=0.6209
8) Một kỳ thi xác suất, giáo viên cho 100 câu hỏi ôn tập. Sinh viên A đã làm được 80
câu, còn 20 câu không làm được. Khi vào thi giáo viên cho chọn ngẫu nhiên 3 câu để
làm bài thi, và quy ước nếu A làm được ít nhất 2 câu thì đậu. Tính xác suất để A thi
đậu.
ĐS: p=0.8989
19

9) Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Biết xác suất để người thứ nhất và
người thứ 2 làm ra chính phẩm là 0,9, người thứ 3 làm ra chính phẩm là 0,8. Một
người trong số đó làm ra 3 sản phẩm, thấy có 1 phế phẩm. Tính xác suất để người này
làm 3 sản phẩm tiếp theo có 1 chính phẩm.
ĐS: p=0.05
10) Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp là 5%.
Một sản phẩm sản xuất ra được qua 2 trạm kiểm tra độc lập.
Ở trạm 1: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 90%, và nhận biết sai một
phế phẩm là 3%.
Ở trạm 2: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 95%, và nhận biết đúng
một phế phẩm là 98%
Một sản phẩm được đưa ra thị trường nếu qua hai trạm kiểm tra coi là chính
phẩm. tính xác suất để:
a/ Một phế phẩm được đưa ra thị trường
b/ Một chính phẩm bị loại trong quá trình kiểm tra
c/ Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên trong số các sản phẩm chưa kiểm tra
được đưa ra thị trường
d/ Một sản phẩm được đưa ra thị trường là phế phẩm.
HD: Gọi A

i
Là phế phẩm được trạm i coi là chính phẩm. B
i
là chính phẩm được
trạm i coi là phế phẩm với i=1,2
a/ P(A)=P(A
1
A
2
)=0.0006
b/ P(B)=P(B
1
+
1
B
B
2
)=0.145
c/ Gọi T là biến cố lấy được chính phẩm; X là biến cố lấy được phế phẩm 
{T,X} là họ đầy đủ  P(C)=P(T)P(C/T)+P(X)PC/X)=0.8123
d/ P(D)=P(X/C)=0.00007
11) Khả năng lãi cổ phiếu của công ty A đạt mức 10% trong năm tới phụ thuộc vào tỷ
lệ lãi suất trên thị trường bất động sản như sau:
Lãi suất BĐS <1% 1%-5% >5%
Khả năng lãi cổ phiếu 10% 0.1 0.2 0.7
Dự báo năm tới lãi suất trên thị trường BĐS như sau:
Lãi suất BĐS <1% 1%-5% >5%
p 0.3 0.5 0.2
a/ Khả năng năm tới lãi suất cổ phiếu của công ty A đạt mức 10% và lãi suất thị
trường BĐS đạt mức 5% là bao nhiêu?

b/ Tìm xác suất lãi suất cổ phiếu công ty A đạt mức 10% trong năm tới.
ĐS: a) P(A)=0.1; b) P(B)=0.27
12) Dân cư thành phố X các nhóm máu có phân bổ
Nhóm máu O A B AB
Tỷ lê 25% 40% 25% 10%
Dân cư thành phố Y các nhóm máu có phân bổ:
Nhó máu O A B AB
tỷ lê 45% 40% 10% 5%
Biết người có nhóm máu AB có thể nhậm máu của bất ký nhóm máu nào; các nhóm
máu còn lại có thể nhận máu cùng nhóm hay nhóm máu O. Giả sử có một bệnh nhân
là cư dân thành phố X.
a/ Nếu biết bệnh nhân có nhóm máu B. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên một
người của thành phố Y có thể cho máu được cho bệnh nhân.
20

b/ Nếu chưa biết nhóm máu của bêngj nhân. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên
một người của thành phố Y có thể truyền máu được cho bệnh nhân.
c/ Nếu chưa biết nhóm máu của bệnh nhân và một người của thành phố Y đã có
thể truyền máu được cho bệnh nhân. Tính xác suất để người cho máu này thuộc nhóm
B.
ĐS: a) P(A)=0.1375; P(B)=0.69; P(C)=0.4384
13) Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kỳ đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro;
rủi ro trung bình; rủi ro cao. Tỷ lệ dự án các lọai đó tương ứng là: 20%; 45%; 35%.
Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là: 5%; 20%; 40%.
a/ Tính tỷ lệ dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư
b/ Nếu một dự án không gặp rủi ro sau kỳ đầu tư, thì khả năng dự án đó thuộc
loại rủi ro cao là bao nhiêu?
ĐS: a) P(A)=0.24; b) P(B)=0.2763
14) Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: Trong một phiên
giao dịch xác suất giá tăng lên 1 đơn vi là p, và xác suất giảm 1 đơn vị là 1-p, sự thay

đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập.
a/ Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn
vị
b/ giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng hơn so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị.
Tính xác suất giá tăng trong phiên thứ 2.
ĐS: a) P(A)=3(1-p)p
2
; b) P(B)=2(1-p)p
2
15) Hai đấu thủ A, B chơi cờ. Xác suất A thắng là 0.6 trong mỗi ván, ai thắng được 1
điểm, thua 0 điểm. Trận đấu kết thúc khi A được 3 điểm trước và A thắng trận, hoặc B
được 5 điểm trước và B thắng trận. Giả sử các ván đấu không hòa.
a/ Tính xác suất A thắng trận
b/ Gọi X là số ván đấu trong một trận, lập bảng phân phối xác suất cho X
ĐS: a/ P(A)=0.903744.
b/ X 3 4 5 6 7
p 0.216 0.2592 0.2176 0.16896 0.13824
16) Tỷ lệ mắc bệnh B ở một vùng là 6%. Việc chẩn đoán bệnh B được tiến hành theo
hai bước: Nếu chẩn đoán lâm sàng kết luận có bệnh thì sẽ tiến hành xét nghiệm toàn
bộ. Khả năng chẩn đoán đúng là 85% đối với người mắc bệnh, và sai đối với người
không mắc bệnh là 2%. Xét nghiệm toàn bộ độc lập vớichẩn đoán lâm sàng và khả
năng kết luận đúng đối với người có bệnh là 99%, chỉ có 1% người không có bệnh bị
kết luận là có bệnh.
Kiểm tra ngẫu nhiên một người qua hai bước nêu trên, kết luận cuối cùng là người này
có bệnh. Tính xác suất kết luận bị sai.
HD: Gọi B
1
người này mắc bệnh B; B
2
người này không mắc bệnh B; A là biến cố kết

luận lâm sàng có bệnh; B là biến cố xét nghiệm toàn bộ kết luận có bệnh.
Xác suất cần tìm là: P(B
2
/AB)=P(B
2
).P(AB/B
2
):P(AB)=?
P(AB/B
1
)=P(A/B
1
)P(B/B
1
)=0.8415; P(AB/B
2
)=P(A/B
2
)P(B/B
2
)=0.0002
P(AB)=0.050678
P(B
2
/AB)=0.000371
17) Một hộp có 6 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng các sản phẩm trong hộp
này. Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp được xem là đồng khả năng. Lấy
ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 2 sản phẩm tốt. Theo bạn thì
khả năng nhiều nhất có bao nhiêu sản phẩm tốt có trong 3 sản phẩm còn lại trong hộp?
ĐS: Số sản phẩm tốt còn lại trong hộp có khả năng nhiều nhất là 2

21



22

CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN
VÀ CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1. Các khái niệm về biên ngẫu nhiên
2. Các quy luật phân phối xác suất của BNN X
3. Các số đặc trưng của BNN X

1. Các khái niệm về BNN X
1.1. Định nghĩa BNN
Giả sử T là phép thử, sinh ra tập các biến cố sơ cấp . Khi đó mỗi biến cố sơ cấp ta
đặt tương ứng với một số thực x. Ta có biến X nhận các giá trị x tương ứng với một
xác suất xác định, X được gọi là một BNN.
Như vậy BNN X là một hàm số thực, xác định trên không gian các biến cố sơ cấp ,
và thoả điều kiện mỗi tập con [X<x] của tập số thực R đều tương ứng với một biến cố
ngẫu nhiên liên quan đến phép thử T.
Cho BNN X liên quan đến phép thử T, khi đó các biến cố ngẫu nhiên liên quan đến T
có thể ghi: [X=x], [X<x], [Xx], [a<X=b]
TD1: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 8 tốt và 2 xấu. Phép thử lấy ngẫu nhiên 3
sản phẩm, gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm được lấy ra. X là BNN nhận 3
giá trị {1, 2, 3}.
Phép thử điều tra sức khỏe các bé sơ sinh tại TP HCM. Gọi X là trọng lượng của bé
(đơn vị là kg). X là BNN có thể nhận các giá trị x[1, 7].
Khảo sát lượng khách hàng giao dịch tại ngân hàng A. Gọi X là số khách hàng đến

giao dịch tại ngân hàng trong một ngày  X={0,1, 2,…, n} cũng là một BNN
Trong phép thử gieo xúc xắc, gọi A là biến cố mặt 1 chấm xuất hiện thì ta có thể ghi
A=[X=1], biến cố mặt chẵn chấm B=[X=2]+[X=4]+[X=6] …
Trong phép thử lấy 3 sản phẩm của 10 sản phẩm, các biến cố lấy được i sản phẩm tốt,
có thể ghi [X=i]. Biến cố lấy được không quá 2 tốt là [X=2]
1.2. Phân loại BNN
Dựa vào tập các giá trị có thể có của X, người ta chia các BNN thành 2 loại.
a) BNN rời rạc: Là BNN chỉ nhận một số hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được các
giá trị.
b) BNN liên tục: Là BNN nhận các giá trị liên tục trên một khoảng (a,b) nào đó (Là
BNN không rời rạc).
TD2: X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra từ hộp có 10 sản phẩm trong TD1
là BNN rời rạc.
23

X là cân nặng (đơn vị kg) của các bé sơ sinh VN  X nhận các giá trị x(1,7) là một
BNN liên tục.
X là năng suất lúa ở đồng bằng sông cửu long (đơn vị tấn/ha/vụ)  X nhận các giá trị
x(0,10) là BNN liên tục.
1.3. Hai BNN độc lập
Hai BNN X, Y gọi là độc lập nếu các biến cố [X<x], [Y<y] luôn độc lập với mọi
x,yR
TD3: Trong phép thử gieo đồng thời một xu và một xúc xắc. Gọi X là số chấm của xu
(xu gồm 2 mặt 1 chấm, 2 chấm), Y là số chấm của xúc xắc. Khi đó X, Y là hai BNN
độc lập.
X là chiều cao, Y là cân nặng của bé sơ sinh ở TPHCM. Khi đó X, Y là hai BNN
không độc lập.
1.4. Các phép toán trên các BNN
Mỗi BNN thực chất là một hàm số, nên có thể thực hiện các phép toán trên các biến
cố ngẫu nhiên như cộng, trừ, nhân, chia, lấy hàm hợp các BNN sẽ cho ta một BNN

mới gọi là hàm của các BNN.
Các trường hợp đơn giản của hàm các biến ngâu nhiên là các phép toán trên các biến
ngẫu nhiên: XY, X.Y, X/Y, X
2

TD4: Có 2 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm, hộp thứ i có i phế phẩm. Lấy
ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm, gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ
hộp 1, Y là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp 2.
a) Xác định các giá trị của X={0,1}, Y={0,1,2}
b) Hai BNN X,Y có độc lập với nhau hay không?
c) Xác định các giá trị nhận được của: X+Y, X.Y
2. Luật phân phối của BNN X
Để xác định một BNN X, ta phải biết BNN ấy nhận những giá trị nào, và nó nhận các
giá trị ấy với xác suất tương ứng là bao nhiêu?
Mọi hệ thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của BNN X,
với xác suất tương ứng của nó gọi quy luật phân phối của BNN X.
Luật phân phối của BNN X thường được thể hiện dưới 3 hình thức: Hàm phân phối
xác suất, Bảng phân phối xác suất cho BNN rời rạc; hàm mật độ xác suất cho BNN
liên tục.
2.1. Hàm phân phối xác suất
a) Định nghĩa: Cho BNN X, hàm số F(x)=P[X<x] xác định x(-; +) là hàm
phân phối xác suất của BNN X.
b) Các tính chất:
1) 0=F(x)= 1 x
2) Nếu mọi x
1
<x
2
thì F(x
1

)=F(x
2
) (F(x) là hàm đơn điệu tăng
3) F(x) liên tục trái tại xR
24

4) LìmF(x)=0 khi x-; LimF(x)=1 khi x+
5) P[t
1
X<t
2
] = F(t
2
)-F(t
1
) t
1
t
2
R
TD5: Phép thử gieo một xu, gọi X là đại lượng nhận giá trị 0 nếu xu sấp, nhận giá trị
1 nếu xu ngửa. X là BNN có hàm phân phối xác suất của X là:










x11
1
x021
0x0
xF /)(





2.2. Bảng phân phối xác suất của BNN rời rạc
Định nghĩa: Giả sử BNN X rời rạc, nhận các giá trị x
1
<x
2
< <x
k
< <x
n
, P[X=x
i
] = p
i
.
Ta gọi bảng sau là bảng phân phối xác suất của BNN X.
X x
1
x
2

x
i
x
n

P(X=x
i
) p
1
p
2
p
i
p
n

Chú ý: Bảng trên là bảng phân phối xác suất của một BNN nào đó khi và chỉ khi thoả
mãn hai điều kiện sau:
1/ x
1
<x
2
< <x
k
< <x
n

2/ 0=p
i
=1 i=1 n, và

p
i
i
n


1
=1.
TD6: Một hộp có 15 bóng đèn, trong đó có 9 bóng còn mới và 6 bóng đã sử dụng.
Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên 3 bóng từ 15 bóng để sử dụng, sau đó trả lại vào hộp.
Lần thứ 2 lại lấy ngẫu nhiên 3 bóng cũng từ 15 bóng đèn này. Tìm luật phân phối xác
suất cho số bóng đèn mới có trong 3 bóng được lấy ra lần thứ 2.
Giải:
X 0 1 2 3
P 0.1173 0.4147 0.3787 0.0893
TD7: Các sản phẩm của nhà máy sau khi sản xuất xong được đóng thành từng kiện,
mỗi kiện có 10 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I có trong mỗi kiện, cho biết X có
quy luật phân phối xác suất như sau:

X 7 8 9
P 0.2 0.5 0.3
a) Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một kiện. Tính xác suất để lấy được 2 sản
phẩm loại I
b) Lấy ngẫu nhiến 3 sản phẩm từ một kiện thì thấy có 5 sản phẩm loại I. Tính
xác suất để trong kiện này còn lại 5 sản phẩm loại I
c) Lấy ngẫu nhiên 7 sản phẩm thấy 5 sản phẩm loại I. Tìm quy luật phân phôi
xác suất cho số sản phẩm loại I có trong 3 sản phẩm còn lại của kiện.
Giải: a) Gọi A là biến cố lấy được 2 loại I
Gọi A
1

là biến cố lấy được hộp có 7 loại I
25

A
2
là biến cố lấy được hộp có 8 loại I
A
3
là biến cố lấy được hộp có 9 loại I
 {A
i
} là họ đầy đủ
 P(A)=P(A
1
)P(A/A
1
)+P(A
2
)P(A/A
2
)+P(A
3
)P(A/A
3
)=0.2417
b) P(A
1
/A)=0.1448
c) C là biến cố lấy 7 sản phẩm được 5 loại I; Z là số sản phẩm loại I còn lại trong hộp

Z 0 1
P 0.375 0.625
2.3. Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục
a) Định nghĩa: Giả sử X là BNN liên tục có hàm phân phối xác suất là F(x). Ta gọi
hàm số f(x)=F’(x) xR là hàm mật độ xác suất của BNN X.
b) Các tính chất:
1/ f(x)  0 x (-; +)
2 1
/ f(x)dx





2
1
1 2 1 2
3
t
t
/ P(t X t ) f(x)dx t ,t
   


4
x
/ F(x) f(t)dt




Chú ý: a) Nếu X là BNN liên tục thì P(X=x)=0 x
b) f(x) là hàm mật độ xác suất của BNN liên tục X khi và chỉ khi:
f(x) 0 và
f(xdx 1





TD8: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất
1
khix [a,b]
f(x)
b a
0 khix [a,b]










a/ Tìm hàm phân phối xác suất F(x)
b/ Tính
a b
P a X

2

 
 
 
 

Giải: a/
0 khix ( ,a]
x a
F(x) khix (a,b]
b a
1 khix (b, )
 




 



 



b/
a b a b 1
P a X F F(a)
2 2 2

 
   
    
   
   

TD9: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất
2
kx khix [0,1]
f(x)
0 khix [0,1]







a/ Tìm hệ số k