Bài giảng Xác suất thống kê CĐ kỹ thuật Cao Thắng

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG
Bài gi ảng:XÁC SUẤT và THỐNG KÊ
(Lưu hành nội bộ)
TP. HỒ CHÍ MINH 20 10
Mục lục
Chương 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1
1.1. Tập Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Các phép toán tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Giải Tích Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.5. Hoán vị lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.6. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.7. Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA B IẾN C Ố 6
2.1. Khái Niệm Biến Cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1. Phép thử, không gian mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
i
MỤC LỤC
2.1.2. Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3. Các phép toán của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4. Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.5. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Định Nghĩa Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1. Định nghĩa (cổ điển) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3. Định nghĩa theo hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.4. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Công Thức Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1. Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3. Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4. Công Thức Xác Suất Đầy Đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1. Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2. Công thức Bayès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.3. Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHI ÊN 13
3.1. Khái Niệm Đại Lượng Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Hàm Phân Phối Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.1. Định nghĩa và tính chất của hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.2. Bảng phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Khoa Giáo Dục Đại Cương ii Xác Suất Và Thống Kê
MỤC LỤC
3.2.3. Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . 16
3.3. Các Đặc Trưng Của Đại Lượng Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1. Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2. Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.3. Mode và trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4. Các Quy Luật Phân phối Xác Suất Thông Dụng . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . 20
3.4.2. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . 23
3.5. Định Lí Giới Hạn Trung Tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6. Véctơ Ngẫu Nhiên - Đại Lượng Ngẫu Nhiên 2 Chiều . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.1. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều . . . . . 31
3.6.2. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều . . . . . . . . 32
3.6.3. Hệ Số Tương Quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 4. LÝ THUYẾT MẪU 36

4.1. Mẫu Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.1. Khái niệm tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.2. Các phương pháp chọn mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3. Mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.4. Các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. Phương pháp tính tham số mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Khoa Giáo Dục Đại Cương iii Xác Suất Và Thống Kê
MỤC LỤC
Chương 5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 40
5.1. Ước Lượng Điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.1. Bài toán ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2. Ước lượng không chệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2. Ước Lượng Khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.1. Khái niệm ướ c lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.2. Phương pháp ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chương 6. LÝ THYẾT KIỂM ĐỊNH 46
6.1. Khái Niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.1. Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.2. Các bước kiểm định giả thiết: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2. Kiểm Định Giả Thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.1. Kiểm định giả thiết về tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.2. Kiểm định giả thiết về trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.3. Kiểm định giả thiết về phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3. Kiểm Định So Sánh Các Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3.1. So sánh hai tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3.2. So sánh hai giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3.3. So sánh hai phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Khoa Giáo Dục Đại Cương iv Xác Suất Và Thống Kê
Chương 1
GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1 Tập Hợp
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, không được định nghĩa. Ví dụ như khái
niệm tập hợ p sinh viên của một trường Đại học, tập hợp các nghiệm của phương trình
x
3
− x + 6 = 0, tập hợp N các số tự nhiên,
Nếu a là một phần tử thuộc tập hợp A ta viết a ∈ A, ngược lại ta viết a /∈ A.
Tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅.
Để xác định một tập hợp ta có thể dùng một trong hai cách thông dụng sau:
∗ C ách 1: Xác định tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó như A = {0, 1, 2, , 9},
B = {a
1
, a
2
, a
3
},
∗ Cách 2:
Xác định tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của phần tử thuộc nó.
Chẳng hạn, S = {x ∈ R : x
3
− 5x + 1 = 0}, T = {n ∈ N : n là ước của 26},
Tập hợp A gọi là con của B, nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B, ký
hiệu A ⊂ B.
A ⊂ B ⇔ {∀x ∈ A ⇒ x ∈ B}
Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói A, B là hai tập bằng nhau và viết A = B.
A = B ⇔ {x ∈ A ⇔ x ∈ B}
1
CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1.2 Các phép toán tập hợp
Cho A và B là hai tập hợp tùy ý.
a. Phép hợp: Hợp của của A và B là tập gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B,
ký hiệu là A ∪B.
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
b. Phép giao: Giao của A và B là tập g ồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B,
ký hiệu A ∩ B.
A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
c. Phép hiệu: Hiệu của tập X đối với tập A là tập hợp gồm các phần tử thuộc X
nhưng không thuộc A. Ký hiệu: X \A.
X \A = {x/x ∈ X ∧x /∈ A}
Đặc biệt, nếu A ⊂ X thì X \A gọi là phần bù của A trong X và ký hiệu A. Vậy X \A = A.
1.2 Giải Tích Tổ Hợ p
1.2.1 Quy tắc nhân
Một công việc có thể được thực hiện qua 2 giai đoạn I và II. Trong đó:
 Giai đoạn I có n cách thực hiện,
 Giai đoạn II có m cách thực hiện.
Khi đó, để hoàn thành công việc có n ×m cách thực hiện.
Ví Dụ 1.1. Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: ôtô, tàu cao tốc hoặc máy bay.
Đi từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng: ôtô, tàu cao tốc, tàu hỏa hoặc máy bay. Hỏi có
bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C, bắt buộc phải ghé qua tỉnh B?
Khoa Giáo Dục Đại Cương 2 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
A
ôtô
tàu cao tốc
máy bay
B
ôtô
tàu cao tốc

máy bay
tàu hỏa
C
Tổng quát: Một công việc được thực hiện qua k giai đoạn 1, 2, 3, , k. Trong đó:
 Giai đoạn 1 có n
1
cách thực hiện,
 Giai đoạn 2 có n
2
cách thực hiện,
 Giai đoạn 3 có n
3
cách thực hiện,

 Giai đoạn k có n
k
cách thực hiện.
Khi đó, để hoàn thành công việc có n
1
× n
2
× n
3
× × n
k
=

k
i=1
n

i
cách thực hiện.
Ví Dụ 1.2. Một người có 5 cái quần 3 cái áo 4 đôi giày. Mỗi lần đi chơi người đó chọn
một quần, một áo và một đôi giày. Hỏi có bao nhiêu cách để lựa chọn?
1.2.2 Chỉnh hợp
Định Nghĩa 1.1. Một cách chọn lần lượt không hoàn lại (không lặp, có thứ tự) k phần
tử từ một tập hợp có n phần tử, được gọi là một chập hợp chập k của n phần tử.
Định Lí 1.1. Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, ký hiệu là A
k
n
và
được tính bởi công thức sau:
A
k
n
= n(n − 1)(n −2) [n −(k −1)] (Quy ước 0! = 1)
Ta có thể viết gọn lại là
A
k
n
=
n(n − 1)(n − 2) [n −(k − 1)](n − k)[n − (k + 1)] 3.2.1
(n − k)[n − (k + 1)] 3 .2.1
=
n!
(n − k)!
Ví Dụ 1.3. Có 20 đội bóng tham dự một giải bóng đá. Biết rằng, các đội sẽ thi đấu vòng
tròn 2 lượt (lượt đi và lượt về). Hỏi để chọn được đội vô địch thì phải tổ chức tất cả bao
nhiêu trận đấu?
1.2.3 Hoán vị

Định Nghĩa 1.2. Một phép hoán vị của n (n ≥ 1) phần tử phân biệt là một cách sắp
thứ tự của n phần tử đó.
Khoa Giáo Dục Đại Cương 3 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Ví Dụ 1.4. Một kệ sách có thể sắp được 5 quyển sách. Hỏi có thể có bao nhiêu cách sắp
xếp 5 quyển sách lên kệ.
1.2.4 Tổ hợp
Định N ghĩa 1.3. Một cách chọn k (0 < k ≤ n) phần tử không để ý thứ tự, không lặp từ
một tập có n phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Định Lí 1.2. Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hi ệ u là C
k
n
và được cho bởi biểu
thức:
C
k
n
=
A
k
n
k!
=
n!
k!(n − k)!
Ví Dụ 1.5. Một lớp có 30 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên để làm
ban cán sự lớp.
Tính Chất 1.1. Cho n, k ∈ N. khi đó:
i) C
k

n
= C
n−k
n
với 0 ≤ k ≤ n;
ii) C
k
n
+ C
k−1
n
= C
k
n+1
với 1 ≤ k ≤ n.
1.2.5 Hoán vị lặp
Định Nghĩa 1.4. Một cách sắp thứ tự của n phần tử mà trong đó có k (k = n) phần tử
giống nhau được gọi là một hoán vị lặp. Ký hiệu là P
n
(k) và được xác định bởi biểu thức:
P
n
(k) =
n!
k!
Ví Dụ 1.6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số, biết rằng
trong số đó chữ số 3 xuất hiện 3 lần và các chữ số còn lại đều khác nhau.
1.2.6 Chỉnh hợp lặp
Định Nghĩa 1.5. Một cách chọn có lặp k phần tử có thứ tự từ một tập có n phần tử
được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.

Định Lí 1.3. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được tính theo công thức:

A
k
n
= n
k
Ví Dụ 1.7. Có 6 quyển sách xếp tùy ý vào 3 ngăn trên kệ, hỏi rằng có tất cả bao nhiêu
cách sắp xếp?
Khoa Giáo Dục Đại Cương 4 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1.2.7 Nhị thức Newton
(a + b)
n
=C
0
n
a
n
b
0
+ C
1
n
a
n−1
b
1
+ C
2

n
a
n−2
b
2
+ + C
k
n
a
n−k
b
k
+ + C
n
n
a
0
b
n
=
n

i=0
C
i
n
a
n−i
b
i

=
n

i=0
C
i
n
a
i
b
n−i
,
khai triển trên gọi là nhị thức Newton.
Khoa Giáo Dục Đại Cương 5 Xác Suất Và Thống Kê
Chương 2
BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA
BIẾN CỐ
2.1 Khái Niệm Biế n Cố
2.1.1 Phép thử, không gian mẫu
 Phép thử: Khi ta làm một thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng mà có chú ý đến
kết quả thì gọi là phép thử. Ký hiệu phép thử là: T.
 Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của một phép thử được gọi
là không gian mẫu. Ký hiệu: Ω.
2.1.2 Biến cố
 Biến cố: Tập con A của Ω, được gọi là biến cố.
Ví Dụ 2.1. Xét một số ví dụ về biến cố sau đây:
 Gieo một con xúc xắc thì việc xuất hiện số chấm lẻ là một biến cố;
 Tung một đồng xu là một phép thử, biến cố là mặt xấp xuất hiện hay mặt ngữa xuất
hiện.
a. Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử ω của Ω được gọi là biến cố sơ cấp.

6
CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
b. Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: Ω
c. Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký
hiệu: ∅
Ví Dụ 2.2. Tung một con xúc xắc. Ta có:
Không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Các biến cố sơ cấp là: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
Biến cố chẵn: A = {2, 4, 6}. Biến cố chắc chắn: B = Ω. Biến cố không thê: C = {7}.
d. Biến cố đồng khả năng: Là những biến cố có khả năng xuất hiện như nhau khi
thực hiện phép thử. Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều có khả năng
xảy ra như nhau thì số phần tử của không gian mẫu được gọi là số trường hợp dồng
khả năng.
2.1.3 Các phép toán của biến cố
a. Phép tổng: Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và
chỉ khi hoặc A hoặc B xảy ra. Ký hiệu C = A + B = A ∪ B.
Ví Dụ 2.3. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. A là biến cố người thứ nhất bắn trúng
bia, B là biến cố người thứ hai bắn trúng bia. Nếu gọi C là biến cố bia bị trúng đạn thì
khi đó C = A + B.
b. Phép tích: Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi
cả A và B cùng xảy ra. Ký hiệu C = A.B = A ∩ B.
Ví Dụ 2.4. Một sinh viên dự thi hai môn văn và toán. Gọi A là biến cố sinh viên thi
đậu môn văn, B là biến cố sinh viên thi đậu môn toán và C la biến cố sinh viên thi đậu
cả hai môn. Khi đó C = A.B
2.1.4 Quan hệ giữa các biến cố
a. Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng
xảy ra trong một phép thử. Ký hiệu A ∩B = ∅.
Ví Dụ 2.5. Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện số nút chẵn, B là biến cố
xuất hiện số nút lẽ. Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc.
b. Họ các biến cố xung khắc: Họ các biến cố A
1

, A
2
, , A
n
được gọi là họ xung khắc
nếu một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra. Nghĩa
là:
A
i
.A
j
= ∅, ∀i, j(i = j)
Khoa Giáo Dục Đại Cương 7 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
c. Biến cố đối lập: Hai biến cố A và B được gọi là đối lập, nếu:
i) A và B xung khắc.
ii) A + B = Ω Hai biến cố A và B trong ví dụ trên là đối lập.
d. Họ đầy đủ Họ các biến cố A
1
, A
2
, , A
n
được gọi là một họ đầy đủ nếu chúng thỏa:
i) Họ xung khắc: A
i
.A
j
= ∅, ∀i, j(i = j)
ii) A

1
+ A
2
+ + A
n
= Ω
e. Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu biến cố này xảy ra hay không
thì không phụ thuộc vào biến cố kia.
Ví Dụ 2.6. Bắn hai phất đạn vào bia. Gọi A là biến cố phát thứ nhất trúng bia, B là
biến cố phát thứ hai trúng bia. Khi đó A và B là hai biến cố độc lập.
2.1.5 Tính chất
Cho A, B, C ⊂ Ω. Khi đó:
a. A+A = A; A.A = A; AΩ = A; A+B = B+A; A.B = B.A; A+(B+C) = (A+B)+C
b. A ⊂ B ⇒ B ⊂ A; A ⊂ A + B; A.B ⊂ B
c. A.(B + C) = AB + AC;
A.B = A + B; A + B = A.B
Ví Dụ 2.7. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi A
k
là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày
các cách biểu diễn qua A
k
các biến cố sau:
a. A: tất cả các sản phẩm đều xấu.
b. B : có ít nhất một sản phẩm xấu.
c. C: có ít nhất một sản phẩm tốt.
d. D: không phải tất cả sản phẩm đều tốt.
e. E: có đúng một sản phẩm xấu.
f. F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt.
Khoa Giáo Dục Đại Cương 8 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.2 Định Nghĩa Xác Suất
2.2.1 Định nghĩa (cổ điển)
Định Nghĩa 2.1. Gia sử một phép thử có n trường hợp đồng khả năng. Trong đó có m
trường hợp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó, xác suất của biến cố A. Ký hiệu P(A) và xác
đinh bởi công thức.
P (A) =
m
n
=
Số trương hợp thuận lợi
Số trường hợp đông khả năng
Ví Dụ 2.8. Một hộp chứa 10 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Tính xác suất hai sản phẩm được chọn là sản phẩm tốt.
2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê
Định Nghĩa 2.2. Giả sử phép thử được thực hiện n lần độc lập trong đó biến cố A xuất
hiện m
A
lần. Khi đó, m
A
được gọi là tần số xuất hiện của biến cố A và tỉ số
m
A
n
= f
n
(A)
được gọi là tần suất (tần số tương đối) của biến cố A.
Ví Dụ 2.9. Q ua thống kê dân số, người ta tổng kết được xác suất để một em bé ra đời
là trai hay gái xấp xỉ
1

2
.
2.2.3 Định nghĩa theo hình học
Định Nghĩa 2.3. Cho miền Ω. Khi đó độ đo của miền Ω có thể là độ dài, điện tích hoặc
thể tích. Gọi A là biến cố điểm M ∈ S ⊂ Ω.
P (A) =
độ đoS
độ đoΩ
.
Ví Dụ 2.10. Tìm xác suất của điểm M rơi vào tam giác đều nội tiếp đường tròn bán
kính là 1.
2.2.4 Tính chất
i) ∀A ⊂ Ω, 0 ≤ P(A) ≤ 1,
ii) Nếu A ⇒ B thì P (A) ≤ P (B). Do đó, nếu A ⇔ B (A = B) thì P (A) = P (B)
iii) Nếu A = Ω thì P (A) = 1 và nếu A = ∅ thì P (A) = 0.
Khoa Giáo Dục Đại Cương 9 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
2.3 Công Thức Xác Suất
2.3.1 Công thức cộng
 Cho {A
1
, A
2
, A
3
, , A
n
} là hệ các biến cố tùy ý. Khi đó ta có công thức sau
P (
n


i=1
A
i
) =
n

i=1
P (A
i
)−

1≤i<j≤n
P (A
i
A
j
)+

1≤i<j<k≤n
P (A
i
A
j
A
k
)+···+(−1)
n−1
P (A
1

A
n
)
gọi là công thức cộng xác suất.
∗ Đặc biệt, nếu họ {A
1
, A
2
, A
3
, , A
n
} xung khắc từng đôi thì
P (
n

i=1
A
i
) =
n

i=1
P (A
i
)
 Cho A và B là hai biến cố tùy ý: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)
∗ Đặc biệt, nếu A và B xung khắc thì
P (A + B) = P (A) + P (B)
 Cho A, B và C là 3 biến cố tùy ý, có:

P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (BC) − P (CA) + P (ABC).
∗ Đặc biệt, nếu A, B và C xung khắc từng đôi thì: P(A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C)
Ví Dụ 2.11. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc, hãy tính xác suất để:
a. Có ít nhất 1 con xuất hiện mặt 4 chấm,
b. Có đúng 1 con xuất hiện mặt 4 chấm.
2.3.2 Xác suất có điều kiện
Định Nghĩa 2.4. Cho A, B ⊂ Ω vớ i P (B) > 0. Xác suất của biến cố A được tính với
điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọ i là xác suất có điều kiện của biến cố A đối với biến
cố B. Ký hiệu: P (A/B). Khi đó:
P (A/B) =
P (AB)
P (B)
, (P (B) = 0)
Ví Dụ 2.12. Gieo một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt hai chấm, B là biến
cố xuất hiện mặt một chấm. Tính P (A/B) và P(B/A)
Khoa Giáo Dục Đại Cương 10 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
2.3.3 Công thức nhân
 Cho 2 biến cố A và B . Ta có: P (A.B) = P (A).P (A/B) = P (B).P (B/A).
 Cho {A
1
, A
2
, A
3
, , A
n
} là hệ các biến cố tùy ý. Khi đó ta có công thức sau
P (A
1

.A
2
.A
3
A
n
) = P (A
1
)P (A
2
/A
1
)P (A
3
/A
1
A
2
) P (A
n
/A
1
A
2
A
n−1
),
gọi là công thức nhân xác suất.
Ví Dụ 2.13. Trong 1 hộp có 100 phiếu, trong đó có 10 phiếu trúng thưởng. Tính xác
suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba đều rút được phiếu trúng thưởng?

2.4 Công Thức Xác Suất Đầy Đủ
2.4.1 Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử, hệ các biến cố {A
1
, A
2
, A
3
, , A
n
} là đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ. Khi đó:
P (B) = P (A
1
)P (B/A
1
) + P (A
2
)P (B/A
2
) + P (A
3
)P (B/A
3
) + ··· + P (A
n
)P (B/A
n
)
=


n
i=1
P (A
i
)P (B/A
i
),
gọi là công thức xác suất đầy đủ.
Ví Dụ 2.14. Giả sử có 3 hãng H
1
, H
2
và H
3
sản xuất cùng một loại sản phẩm. Trong đó
tỉ lệ phần trăm sản phẩm của mỗi hãng trên thị trường lần lượt là 60%, 10% và 30% với
tỉ lệ sản phẩm bị khuyết tật tương ứng là 1%, 5% và 3 %. Mua ngẫu nhiên một sản phẩm,
tính xác suất sản phẩm được mua bị khuyết tật?
2.4.2 Công thức Bayès
Cũng với giả thiết như ở trên, ta có công thức sau gọi là công thức xác suất Bayès
P (A
k
/B) =
P (A
k
)P (B/A
k
)

n

i=1
P (A
i
)P (B/A
i
)
, với k =
1, n.
Ví Dụ 2.15. Từ Ví dụ ở trên, giả sử sản phẩm đã mua bị khuyết tật. Hãy tính xác suất
để sản phẩm đó thuộc hãng H
3
?
2.4.3 Công thức Bernoulli
a. Dãy phép thử Bernoulli
Khoa Giáo Dục Đại Cương 11 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Định Nghĩa 2.5. Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau:
i) Các phép thử của dãy độc lập với nhau. Nghĩa là, kết quả của phép thử sau không
phụ thuộc vào các phép thử trước đó;
ii) Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc
A xảy ra;
iii) Xác suất để biến cố A xảy ra là cố định: P (A) = p với 0 < p < 1 nên P (
A) =
1 − p = q.
Ví Dụ 2.16. Một hộp có 12 viên bi, trong đó có 4 bi màu xanh còn lại là bi trắng. L ầ n
lượt rút có hoàn lại 7 bi. Gọi A là biến cố lấy được bi xanh trong mỗi lần rút. Lúc đó ta
được một dãy thử Bernoulli với n = 7, p = P (A) =
4
12
=

1
3
và q = 1 − p =
2
3
.
b. Công thức Xác suất Bernoulli để trong n phép thử, biến cố A xảy ra k lần với
xác suất mỗi lần A xảy ra là p. Được ký hiệu là B(k, n, p) và cho bởi công thức sau
đây:
B(k, n, p) = C
k
n
p
k
q
n−k
gọi là công thức Bernoulli.
Ví Dụ 2.17. Với giả thiết như ở Ví dụ trên. Ta tính được xác suất để trong 7 lần rút bi
có 3 bi xanh là: B(3, 7,
1
3
) = C
3
7
(
1
3
)
3
(

2
3
)
4
= 0, 256
Khoa Giáo Dục Đại Cương 12 Xác Suất Và Thống Kê
Chương 3
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
3.1 Khái Niệm Đại Lượng Ngẫu Nhi ên
Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) là đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên. Đại lượng
ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng những chữ in hoa như X, Y, Z, và dùng chữ in
thường như x
1
, x
2
, x
3
, để ký hiệu cho những giá trị cụ thể của nó. Đại lượng ngẫu nhiên
được chia thành 2 loại:
 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là đại lượng chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
các giá trị.
Ví Dụ 3.1. Gieo n hạt lúa. Gọi X là số hạt nảy mầm. Khi đó X là một đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc và X có thể nhận một trong các gia trị sau X = {0, 1, 2, , n}.
 Đại lượng n g ẫu nhiên liên tục: là đại lượng mà giá trị của nó lấp kín cả 1 đoạn; 1
khoảng hay toàn bộ trục số.
Ví Dụ 3.2. Bắn một viên đạn vào bia. Gọi X là khoảng cách từ điểm chạm của viên
đạn đến bia. Khi đó X là một đlnn liên tục
3.2 Hàm Phân Phối Xác Suất
3.2.1 Định nghĩa và tính chất của hàm phân p hối
Định Nghĩa 3.1. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x),

là hàm số thực được xác định như sau: F (x) = P [X < x], ∀x ∈ R.
13
CHƯƠNG 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Tính Chất 3.1. Tính chất:
i) 0  F (x)  1, ∀x ∈ R;
ii) F(x) không giảm. Nghĩa là nếu x
1
 x
2
thì F(x
1
)  F (x
2
).
iii) F(−∞) = lim
x→−∞
F (x) = 0, F (+∞) = lim
x→+∞
F (x) = 1;
iv) P[a  X  b] = F ( b) − F (a).
3.2.2 Bảng phân phối xác suất
Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị là x
1
, x
2
, , x
n
với xác suất tương ứng
là P [X = x
1

] = p
1
, P [X = x
2
] = p
2
, , P [X = x
n
] = p
n
. Khi đó, luật phân phối xác suất
của X gọi là bảng phân phối xác suất và được cho như sau:
X x
1
x
2
x
n
P p
1
p
2
p
n
Với p
i
 0 và

n
i=1

p
i
= 1. Ở đây n có thể hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
Xác suất để X nhận giá trị trong cả đoạn:
P [x
i
 X  x
j
] =

x
i
x
k
x
j
p
k
.
Nếu n hữu hạn thì hàm phân phối F (x) có dạng:
F (x) =



0 nếu x  x
1
p
1
+ p
2

+ + p
k−1
nếu x
k−1
< x  x
k
, ∀k > 1
1 nếu x > x
n
Nếu n vô hạn thì hàm phân phối F (x) có dạng:
F (x) =

0 nếu x  x
1
p
1
+ p
2
+ + p
k−1
nếu x
k−1
< x  x
k
, ∀k > 1
Ví Dụ 3.3. Một hộp có 12 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm từ hộp để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. Lập bảng phân phối xác suất
của X và tính P [−1  X  1]?
Ví Dụ 3.4. Cũng giá t rị như ở Ví dụ trên nhưng ta lần lượt lấy có hoàn lại 2 sản phẩm.
Gọi Y là số phế phẩm lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của Y.

Giải:
Khoa Giáo Dục Đại Cương 14 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Do lấy lần lượt có hoàn lại các sản phẩm nên ta có dãy phép thử Bernoulli với n = 2
và p =
3
12
=
1
4
, các xác suất được t ính theo công thức Bernoulli:
P [Y = 0] = C
0
2
.(
1
4
)
0
.(
3
4
)
2
=
9
16
; P [Y = 1] = C
1
2

.(
1
4
)
1
.(
3
4
)
1
=
3
8
;
P [Y = 2] = C
2
2
.(
1
4
)
2
.(
3
4
)
0
=
1
16

Do đó, ta có bảng phân phối xác suất như sau:
Y 0 1 2
P
9
16
3
8
1
16
Ví Dụ 3.5. Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong 1 ngày làm
việc các máy đó hỏng tương ứng là 0,2 và 0,3. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày là m
việc. Lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của nó.
Giải:
◦ Lập hàm phân phối xác suất của X.
Gọi A
i
là biến cố máy thứ i (i = 1, 2) bị hỏng. Đại lượng ngẫu nhiên X chỉ có thể nhận
các giá trị là 0; 1; 2. Do đó:
P [X = 0] = P [A
1
A
2
]
ĐL
= P [A
1
]P [A
2
] = 0, 7.0 , 8 = 0, 56
P [X = 1] = P [A

1
A
2
+ A
1
A
2
]
XK
= P [A
1
A
2
] + P [A
1
A
2
]
ĐL
= P [A
1
]P [A
2
] + P [A
1
]P [A
2
]
= 0, 2.0, 7 + 0, 8.0, 3 = 0, 38
P [X = 2] = P [A

1
A
2
]
ĐL
= P [A
1
]P [A
2
] = 0, 2.0 , 3 = 0, 06
Bảng phân phối xác suất của X:
X 0 1 2
P 0,56 0,38 0,06
Qua đó ta có hàm phân phối xác suất của X: F (x) =







0 nếu x  0
0, 56 nếu 0 < x  1
0, 94 nếu 1 < x  2
1 nếu x > 2
◦ Đồ thị:
1
1 2
0
0.56

0.94
Khoa Giáo Dục Đại Cương 15 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
3.2.3 Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Định Nghĩa 3.2. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác
suất F (x), x ∈ R. Hàm số:
f(x) = F

(x)
được gọi là hàm mật độ xác suất của X.
Tính Chất 3.2. i) f(x)  0, ∀x ∈ R;
ii)

+∞
−∞
f(x)dx = 1;
iii) P[a < X < b] =

b
a
f(x)dx.
Nhận Xét 3.1. Từ đ ịnh nghĩa ở trên ta có các nhận xét sau đây:
i) P[a < X < b] = P[a  X < b] = P [a < X  b] = P [a  X  b] =

b
a
f(x)dx,
ii) P [X = a] =

a

a
f(x)dx = 0.
Khi X là đại lượng ng ẫu nhiên liên tục thì ta chỉ quan tâm tới xác suất để X nằm trong
1 khoảng nào đó chứ không quan tâm tới xác suất để X nhận 1 giá trị cụ thể.
iii) Nếu có h àm f(x) thỏa điều kiện f(x)  0, ∀x ∈ R và

+∞
−∞
f(x)dx = 1 thì nó là hàm
mật độ của 1 đại lượng ngẫu nhiên liên tục nào đó.
Ví Dụ 3.6. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
f(x) =



0 nếu x < 0 hoặc x >
π
2
a sin 2x nếu 0 ≤ x ≤
π
2
Xác định a và tính P [−
π
4
≤ X ≤
π
4
].
3.3 Các Đặc Trưng Của Đại Lượng Ngẫu Nhiên
3.3.1 Kỳ vọng

Định Nghĩa 3.3. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X ký hiệu là E(X) và được tính
như sau:
- Nếu X là đlnn rời rạc có bảng phân phối xác suất
X x
1
x
2
x
n
P p
1
p
2
p
n
Khoa Giáo Dục Đại Cương 16 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
thì E(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ x
3
p
3
+ + x

n
p
n
=

n
i=1
x
i
p
i
(n có thể vô hạn).
- Nếu X là đlnn liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì E(X) =

+∞
−∞
xf(x)dx.
Nhận Xét 3.2. Nếu lấy trung bình k giá trị quan sát độc lập của X thì:
X =
n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ + n
k
x

k
n
,

k
i=1
n
i
= n
= x
1
n
1
n
+ x
2
n
2
n
+ + x
k
n
k
n
= x
1
f
1
+ x
2

f
2
+ + x
k
f
k
, f
i
=
n
i
n
, i =
1, k
Khi n đủ lớn: X ≈ x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ + x
k
p
k
= E(X) (Đ i nh nghĩa xác suất theo thống kê)
Ý Nghĩa 3.1. Từ định nghĩa và q ua nhận xét trên ta rút ra ý nghĩa của kỳ vọng như
sau: Kỳ vọng là g i á trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đó.
Tính Chất 3.3. i) E(C) = C (C là hằng số)

ii) E(CX) = CE(X)
iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
iv) Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập (2 biến cố {X < x}, {Y < y} độc
lập ∀x, y) thì E(XY ) = E(X)E(Y ).
v) Nếu Y = ϕ(X) thì E(Y ) =


i
ϕ(x
i
)p
i
với X rời rạc

+∞
−∞
ϕ(x)f(x)dx với X liên tục
Ví Dụ 3.7. Cho bảng phân phối xác suất của X là:
X 0 1 2
P 0,56 0,38 0,06
a. Tính E(X);
b. Tính E(Y ) với Y = 500X.
Ví Dụ 3.8. Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) =

1
x
2
với x ∈ (1; 2),
0 vix ∈ (1; 2).
a. Tính E(X); b. Tính E(Y ) với Y = X

3
−
1
X
.
Khoa Giáo Dục Đại Cương 17 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
3.3.2 Phương sai
Định Nghĩa 3.4. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là D(X) hoặc V(X)
và được xác định như sau:
D(X) = E[(X −E(X))
2
] =


i
(x
i
− µ)
2
p
i
với X rời rạc

+∞
−∞
(x − µ)
2
f(x)dx với X liên tục,
ở đây µ = E(X).

Nhận Xét 3.3. Trong thực tế người ta hay dùng công thức sau để tính phương sai của
đại lượn g ngẫu nhiên X.
D(X) = E(X
2
) − [E(X)]
2
, với E(X
2
) =


i
x
2
i
p
i

+∞
−∞
x
2
f(x)dx
Công thức trên được suy ra từ định nghĩa phương sai. Thật vậy:
D(X) = E[(X −E(X))
2
]
= E(X
2
− 2XE(X) + [E(X)]

2
)
= E(X
2
) −2E[XE(X)] + E[E(X)]
2
= E(X
2
) −2E(X)E(X) + [E(X) ]
2
= E(X
2
) −[E(X) ]
2
Ý Nghĩa 3.2. Ta thấy, X −E(X) là sai số của X so với trung bình nó, do đó phương sai
E[(X −E(X))
2
] chín h là trung bình của bình phương sai số đó và được gọi tắt là ph ươn g
sai. Nó đo mức độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình. Nghĩa là
phương sai n hỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn và ngược lại.
Trong kỹ thuật phươn g sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị, trong kinh doanh nó đặc
trưng cho độ rủi ro của các quyết định, còn trong trồng trọt nó biểu thị cho mức độ ổn
định của năng suất,
Tính Chất 3.4. Phương sai có những tính chất sau
i) D(C) = 0 (C là hằng số)
ii) D( CX) = C
2
D(X)
iii) Nếu X và Y độc lập thì D(X ±Y ) = D(X) + D(Y ). Do đó D(X ±C) = D(X).
Ví Dụ 3.9. Năng suất của 2 máy tương ứng là các đại lượng ngẫu nhiên X, Y (đơn vị:

sản phẩm/phút) và có bảng phân phối xác suất:
X 1 2 3 4
P 0,3 0,1 0,5 0,1
Y 2 3 4 5
P 0,1 0,4 0,4 0,1
Nếu phải chọn mua một trong 2 máy trên thì ta nên chọn mua máy nào?
Khoa Giáo Dục Đại Cương 18 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Định Nghĩa 3.5. Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là σ(X) và được
xác định như sau: σ(X) =

D(X)
Ví Dụ 3.10. Trọng lượng của 1 loại sản phẩm là X (đơn vị kg), có hàm mật độ xác suất
như sau:
f(x) =

3
16
(x
2
− 1) với x ∈ [2; 4],
0 vớix ∈ [2; 4].
Tính trọng lượng trung bình và độ lệch chuẩn của X.
3.3.3 Mode và trung vị
a. Mode của X:
Định Nghĩa 3.6. Mode của ĐLNN X ký hiệu là ModX.
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì Mod(X) là giá trị của X ứng với xác suất
lớn nhất.
Hay: Mod(X)= x
i

⇔ p
i
=max{p
1
, p
2
, p
3
}
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì Mod(X) là giá trị làm cho hàm mật độ xác
suất đạt giá trị lớn nhất.
Hay: Mod(X)= c ⇔ f(c) =max{f( x), x ∈ R}
Ví Dụ 3.11. Cho đlnn X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như sau:
X 0 1 3 4 6
P 0, 35 0, 15 0, 2 0, 14 0, 16
thì Mod(X)= 0.
Ví Dụ 3.12. Cho đlnn X liên tục và có đồ thị của hàm mật độ xác suất f(x) như sau:
O
x
f(x)
a
thì lúc đó Mod(X)= a.
b. Trung vị (Median): Là điểm m, ký hiệu là Med(X) thỏa:
Khoa Giáo Dục Đại Cương 19 Xác Suất Và Thống Kê
CHƯƠNG 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
P [X > m] ≤
1
2
và P[X < m] ≤
1

2
.
Ví Dụ 3.13. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối xác suất như bảng sau:
X -1 0 1 2
P 0,15 0,2 0,3 0,35
Tìm Med(X) và tính P [|X − E(X)| < 1].
Giải:
Ta có hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X:
F (x) =











0 , x ≤ −1
0, 15 , −1 < x ≤ 0
0, 35 , 0 < x ≤ 1
0, 65 , 1 < x ≤ 2
1 , x > 2
Nên F (1) = 0, 35 ≤ 0, 5 và F (2) = 0, 65 ≥ 0, 5 do đó Med(X)= 1
Ta có:
|X −E(X)| < 1 ⇔ −1 < |X −E(X)| < 1
⇔ E(X) − 1 < X < E(X) + 1
Với E(X) = −1.0, 15 + 0.0, 2 + 1.0, 1 + 2.0, 35 = 0, 65

⇒ |X −E(X)| < 1 ⇔ 0, 65 −1 < X < 0, 65 + 1 ⇔ −0, 35 < X < 1, 65
Do đó: P [|X −E(X)| < 1] = P [0, 35 < X < 1, 65] = 0, 2 + 0, 3 = 0, 5
3.4 Các Quy Luật Phân phối Xác Suất Thông Dụng
3.4.1 Phân phối xác suất củ a đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
A. Phân phối nhị thức
Bài toán: Giả sử X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli với
P (A) = p. Lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải:
Ta thấy, X nhận các giá trị: 0, 1, 2, , n và P [X = k] = P
n
(k) = C
k
n
p
k
q
(n−k)
.
Từ nhị thức Newton:
(p+q)
n
=

∞
k=0
C
k
n
p
k

q
(n−k)
cho p+q = 1 thì

∞
k=0
C
k
n
p
k
q
(n−k)
= 1 ⇔

∞
k=0
P [X = k] = 1.
Khoa Giáo Dục Đại Cương 20 Xác Suất Và Thống Kê