Bài giảng Tinh thể - Khoáng vật - Chương 2: Sự đối xứng của tinh thể

Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM
Khoa Kỹ thuật Địa chất & Dầu khí
Bộ mơn Tài ngun Trái đất và Mơi trường

Chương 2

SỰ ĐỐI XỨNG CỦA TINH THỂ
 Các yếu tố đối xứng
 Phương đơn và phương cân đối
 Phép cộng các yếu tố đối xứng
 Các hệ tinh thể


Các yếu tố đối xứng
Tinh thể lặp lại vị trí trong không gian giống
ban đầu bằng các phép chiếu, phản chiếu,
phép quay hoặc kết hợp đồng thời hai
trong ba phép trên.
→ Tinh thể có tính đối xứng.

2


Các yếu tố đối xứng
Là một điểm, một đường, một mặt phẳng
tưởng tượng mà qua nó hoặc quanh nó
hình sẽ trở về vị trí giống như ban đầu.

3

Tâm đối xứng (C)
Một điểm bất kỳ → tìm một
điểm khác tương ứng và
ngược lại → hình có tâm
đối xứng.
Mọi đường thẳng qua tâm
đối xứng đều cắt hình tại
hai điểm và nhận tâm đối
xứng làm trung điểm.
Tâm nghịch đảo.
4


Mặt đối xứng (P)
Một mặt phẳng chia hình
thành hai phần bằng
nhau, phần này là ảnh
của phần kia qua gương
và ngược lại.

B

A
P1

D1

P2

P3

D

C

Mặt gương.

5


Trục đối xứng (Ln)
Khi quay hình quanh
trục với một góc nào
đó, hình lặp lại vị trí
giống ban đầu.
Trục quay.

6


Bậc của trục và góc quay ngun tố
Khi quay hình quanh trục đối xứng 360o →
hình lặp lại vị trí giống ban đầu n lần → n là
bậc của trục.
Góc quay α nhỏ nhất để hình lặp lại vị trí
giống ban đầu → α là góc quay nguyên tố
(cơ sở).

7

Các định lý về Ln và α
Định lý 1: Góc α bao giờ cũng nghiệm đúng
đẳng thức: n.α=360o
Định lý 2: Khơng có trục bậc 5 (L5) và trục
bậc lớn hơn 6. Nghĩa là n=1; 2; 3; 4; 6.

Các vị trí của Ln trong tinh thể?

8


Trục nghịch đảo (Lin)
B1

A
A1

Một phương được
thành lập bởi tác dụng
đồng thời một trục
đối xứng và một tâm
A
đối xứng.

B
C1

C
E1

E

D
D1
B

F1

F

* Tâm đối xứng không
là một yếu tố đối xứng
độc lập.
D

C

9


Trục nghịch đảo (Lin)

Li1

Li2

Li3
10

Trục nghịch đảo (Lin)

Li4

Li6
11


Ký hiệu các yếu tố đối xứng
Yếu tố đối xứng

Ký hiệu

Tâm đối xứng.

C

Mặt đối xứng.

P

Trục đối xứng bậc 1.

L1

Trục đối xứng bậc 2.

L2

Trục đối xứng bậc 3.

L3

Trục đối xứng bậc 4.

L4

Trục đối xứng bậc 6.

L6

Trục nghịch đảo bậc 4.

Li4

Hình chiếu nổi

12


Trình tự xác định các yếu tố đối xứng
Xác định: Tâm → mặt → trục.
Biểu diễn lớp đối xứng: trục → mặt → tâm.

3L44L36L29PC

13


Phương đơn – Phương cân đối

Phương đơn (D)
Một phương đặc biệt, qua tác
dụng của các yếu tố đối xứng, nó
khơng thay đổi vị trí.
Phương duy nhất, khơng lặp lại,
khơng có phương tương ứng
(khi thỏa đúng vị trí của D).

14


Phương đơn – Phương cân đối
Phương cân đối
Phương lặp lại (một số lần) qua tác dụng của
các yếu tố đối xứng.
L6
L4

L2

15

15


Phương đơn – Phương cân đối
Một đa diện
chỉ chứa một D.
có thể chứa nhiều D.
có khi khơng chứa D nào cả.

16

16


Vị trí của D đối với các yếu tố đối xứng
Đối với tâm đối xứng
C: D có thể qua C
Khi có D qua C thì
tác dụng của C
khơng làm thay đổi
phương của D.

D
=

C
=

D1

17


Vị trí của D đối với các yếu tố đối xứng
Đối với mặt đối xứng P:
D có thể nằm trong P.
D có thể vng góc với P.
D khơng thể xiên góc với P.

D

D

P

D1

Phép chiếu qua P,
D khơng đổi phương

P

P
D1

Phép chiếu qua P,
D không đổi phương

Phép chiếu qua P,
LL1 → L’L’1

18

18


Vị trí của D đối với các yếu tố đối xứng
Đối với trục đối xứng L:
D có thể trùng với trục đối xứng.

D có thể vng góc trục đối xứng bậc 2.
D khơng thể xiên góc với trục đối xứng.
DLn

L2

Ln

D

19

19


Phép cộng các yếu tố đối xứng
Định lý: Giao tuyến của hai mặt phẳng đối xứng bao
giờ cũng là một trục đối xứng. Tác dụng của trục bằng
tổng tác dụng của hai mặt đối xứng và có góc quay
nguyên tố bằng hai lần góc giữa hai mặt phẳng đối
xứng đó.
M1

M2

M1 → M2 → M3
(P2)

(P1)

M3

(P2)

(P1)

L2

20


Phép cộng các yếu tố đối xứng
Định lý: Qua giao điểm của hai trục đối xứng
bao giờ ta cũng tìm được một trục đối xứng thứ
ba đi qua giao điểm đó (Nếu đã có hai trục đối
xứng cắt nhau bao giờ cũng có trục đối xứng
thứ ba qua giao điểm của hai trục trên).

21

21


Phép cộng các yếu tố đối xứng
Định lý: Nếu đã có hai trong ba yếu tố đối xứng
sau: tâm đối xứng C; trục đối xứng bậc chẵn L2n
và mặt đối xứng P  L2n thì bao giờ cũng có yếu
tố đối xứng thứ ba.
Hệ quả: Trong một đa diện có tâm đối xứng
thì tổng số mặt đối xứng bằng tổng số trục

bậc chẵn.
22

22


Phép cộng các yếu tố đối xứng
Định lý: Nếu có trục đối xứng bậc 2 vng góc
với 1 trục đối xứng bậc n thì phải có tất cả n trục
bậc 2 cũng vng góc với trục đối xứng bậc n
đó.
Định lý: Nếu có một mặt đối xứng chứa một
trục đối xứng bậc Ln thì phải có n (tất cả) mặt
đối xứng cùng chứa trục bậc n đó. P chứa Ln 
nP chứa Ln.
23

23


Các hệ tinh thể
Trong tinh thể chỉ có 32 lớp đối xứng mặc dù
hình dạng các tinh thể rất đa dạng.
Phép suy đoán lớp đối xứng.
32 lớp đối xứng được chia thành 7 tinh hệ.
7 tinh hệ được xếp vào 3 hạng.

24

Các hệ tinh thể
Hạng tinh thể

Hệ tinh thể
Tinh hệ 3 xiên

Thấp

Tinh hệ 1 xiên
Tinh hệ thoi
Tinh hệ 3 phương

Trung

Tinh hệ 4 phương
Tinh hệ 6 phương

Cao

Tinh hệ lập phương

Lớp đối xứng
L1 C
L2PC
3L23PC
L33L23PC
L44L25PC
L66L27PC
3L44L36L29PC
25