Chuyên đề đối xứng tâm đối xứng trục đối xứng đồ thị đối xứng và công thức chuyển trục

Trang 1
CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG
TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC
CHUYỂN TRỤC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)
1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy
là trục đối xứng của nó .
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
3. Cho hai điểm
   
1 1 2 2
; ; ;
A
x y B x y và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng
nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :
2 1
AB
2 1
. 1
; i:k
êm I d
AB d
k k
y
y
vo
Trungdi x x









4. Cho điểm I(
0 0
; )
x
y . Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công
thức chuyển trục là :
0
0
x
x X
y
y y
 


 


Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y
0
;x
0
)
B. GHI NHỚ :

- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng
- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng
- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số .
C. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG
CÁCH GIẢI
Có hai cách
* Cách 1.
- Giả sử trục đối xứng có phương trình :
0
x
x

. Gọi điểm


0
;0I x
- Chuyển
   
0
Oxy IXY
OI
x
x X
y Y
 

 





- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x
0
;y
0
) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )
- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .
* Cách 2. Nếu với
0
x
x là trục đối xứng thì : f(


0 0
)
x
x f x x

  đúng với mọi x , thì ta
cũng thu được kết quả .
Ví dụ 1. Cho hàm số


4 3 2
4 7 6 4y x x x x C     . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là
trục đối xứng của đồ thị (C)
( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối

xứng đó ? )
GIẢI
Trang 2
- Giả sử đường thẳng x=
0
x
là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I(
0
;0)x
- Chuyển :
   
0
Oxy IXY
OI
x
x X
y Y
 

 




- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
     


 
     

4 3 2
0 0 0 0
4 3 2 2 3 2 4 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 7 6 4
4 4 6 5 4 5 7 6 4 7 6 4
Y x x x x x x x x
Y X x X x x X x x x X x x x x
        
              

- Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không :
0
3 2
0 0 0 0
4 3 2
0 0 0 0
4 4 0
4 5 7 6 0 1
4 7 6 4 0
x
x x x x
x x x x
 


      


    


Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1.
Ví dụ 2. Tìm tham số m để đồ thị hàm số :


4 3 2
4
m
y x x mx C   có trục đối xứng song
song với trục Oy.
GIẢI
- Giả sử đường thẳng x=
0
x
là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I(
0
;0)x
- Chuyển :
   
0
Oxy IXY
OI
x
x X
y Y
 

 





- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
 
 


4 3 2 2 3 2 4 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 4 6 3 4 12 2 4Y X x X x x m X x x mx X x x mx           
- Để là hàm số chẵn thì :
 
0
0
3 2
0 0 0
4 1 0
1
4
4 12 2 0
x
x
m
x mx
  






 

  



II. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
Ta cũng có hai cách giải
Cách 1.
- Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là


0 0
;
I
x y
- Chuyển :
   
0
0
Oxy IXY
OI
x
x X
y y Y
 

 


 


- Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )
- Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả .
Cách 2.
Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :
0 0 0
( ) ( ) 2
f
x x f x x y    với mọi x
Trang 3
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( ĐH-QG-98). Cho (C) :
2
1
x
y
x


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Giả sử (C) có tâm đối xứng là I


0 0

;
I
x y
- Phương trình (C) viết lại thành dạng :
1
1
1
y x
x
  

- Chuyển :
   
0
0
Oxy IXY
OI
x
x X
y y Y



 





- Phương trình (C) trong hệ mới là :

 
 
 
 
0 0
0
0 0
0
1
1
1
1
1
1
Y y x X
x X
Y X x y
X x
    
 
     


- Để hàm số là lẻ :
 
0 0 0
0 0
1 0 1
1; 2
1 0 2

x y x
I
x y
   
 
 
 
  
 
Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2).
Ví dụ 2. (ĐH-NNI-99). Cho hàm số
 
1
x
y C
x



a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Hàm số viết lại :
1
1
1
y
x
 



- Giả sử (C) có tâm đối xứng là
 
0 0
;
I
x y
- Chuyển :
   
0
0
Oxy IXY
OI
x
x X
y y Y
 

 

 


- Phương trình (C) trong hệ mới là :
 
 
0
0
0

0
1
1
1
1
1
1
Y y
x X
Y y
X x
  
 
    


Trang 4
- Để hàm số là lẻ :
 
0 0
0 0
1 0 1
1;1
1 0 1
y x
I
x y
   
 
  

 
  
 
Nhận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng với I . Chứng tỏ giao hai tiệm cận là tâm đối
xứng của (C).
III. Tìm tham số m để ( )
m
C : y=f(x;m) nhận điểm I(
0 0
; )
x
y là tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
1. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ :
- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b)
- Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ :
0
0
a x
m
b y







2. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba .
- Tìm tọa độ điểm uốn :

 
''( ; ) 0
;
( ; )
y x m x a
J a b
y f x m y b
 
 
  
 
 
 
- Tương tự như trên , đẻ I là tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy ra hệ :
0
0
a x
m
b y







Vídụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số
 
3
2

3 2 ; 0
m
x
y mx C m
m
    nhận điểm I(1;0) là tâm đối
xứng .
GIẢI
Ta có :
2
3 6
' 6 '' 6
x x
y
mx y m
m m
     . Cho y''=0
2
6
6 0;
u
x
m x m x
m

     
- Tính
 
 
6

4 5 2 5
; 3 . 2 2 2 ;2 2
u u
m
y y x m m m m U m m
m
        
- Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I :
2
5
5
1
1
1
1
2 2 0
m
m
m
m
m






   
 


 



- Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) .
Cho hàm số
 
 
2
2 4 2 1
2
m
x m x m
y
C
x
   


Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .
GIẢI
- Ta viết lại hàm số ;
1
2
2
y x m
x
  


. Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên
với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 .
- Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4)
Trang 5
- Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ :
2 2
3
4 1
m
m


  

 

- Vậy với m=-3 thì I là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000).
Cho hàm số


3 2
3 3 3 4
m
y x x mx m C    

Tìm m để
 
m
C

nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng .
GIẢI
- Tìm tọa độ điểm uốn :
Ta có :
2
' 3 6 3 ; '' 6 6 '' 0 6 6 0 ; 1
u
y x x m y x y x x x           
Tính
 


1 1 3 3 3 4 6 2; 1; 6 2
u
y y m m m U m         
- Để I là tâm đối xứng thì :
1 1
0
6 2 2
m
m


 

 

- Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị .
IV. TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ
Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua

điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )
CÁCH GIẢI
- Giả sử
   


0 0 0 0
; ( ) 1M x y C y f x  
- Tìm tọa độ điểm N theo
0 0
,
x
y sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d )
Nên ta có :
   
2
N N
y f x
- Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N .
Ví dụ 6. ( ĐH-GTVT-97)
Cho hàm số
3 2
9 4y x mx x    . Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối
xứng nhau qua gốc tọa độ O.
GIẢI
Giả sử
 


0 0 0 0

; à N -x ;
M
x y v y
là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :


 
3 2
0 0 0 0
3 2
0 0 0 0
9 4 1
9 4 2
y x mx x
y x mx x

   


     


Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có :


0
4 0 3
2
mx  

Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó :
0
4
x
m


Thay vào (1) ta tìm dược
0
y
. Vậy đáp số : m< 0 .
Trang 6
Ví dụ 7. ( ĐH GQTPHCM-97) . Cho hàm số
 
2
2
1
x x
y
C
x
 



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(0;5/2)
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị
b. Giả sử

   
1 1 2 2
; ; ;
M
x y N x y thuộc (C) và I là trung điểm của M và N. Ta có :
 
1 2 2 1
1 1
1 2 2 1
2 0
;5
2 5 5
I
I
x x x x x
N x y
y y y y y
    
 
   
 
    
 
M và N đều thuộc (C) nên ta có hệ :
 
 
2
1 1
1
1

2
1 1
1
1
2
1
1
2
5 2
1
x x
y
x
x x
y
x

 





 

 

 

; Lấy (1) cộng với (2) ta được :

2 2
1 1 1 1
1 1
2 2
5
1 1
x x x x
x x

  
 
 

 
 
 
 


2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
1
5 1 1 2 1 2
9 3
x x x x x x x
x x
         
    
- Với





   
1 1
2 2
3 2; 3; 2 , 3; 2
3 7; 3; 7 , 3; 2
x y M N
x y M N
     
    

Ví dụ 8. ( ĐH-Hàng Hải -99). Cho hàm số
 
2
1
x
y
C
x



a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm hai điểm A,B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng d : y= x-1 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có hai cách giải .

* Cách 1.
- Viết lại phương trình (C)
1
1
1
y x
x
  

. Gọi






1 1 2 2
; , ;
A
x y B x y C
. Nên ta có
-
 
     
2 1
2 1
2 1 2 1 1 2 1 2
2 2
1 1
1 1 1 1

AB
x x
y y
k
x x x x x x x x
 


    
 
 
     
 
; 1
d
k

- Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì :
 
 
 
  
    
1 2 1 2 1 2
1 2
. 1 1
2
1 :1 1; 1 1 1; . 2 0 (*)
1 1
2

AB d
k k
x x x x x x
x x
I d


             

 



Nếu I là trung điểm của AB thì :
1 2
1 2 1 2
1 2
2
; 2
2
I
I
x x x
I d y y x x
y y y
 


     


 

Trang 7
 
  
 
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
1 1
2
4 0 4 2 0
1 1
6 (**)
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
       
 
 
       
 

  
Từ (*) và (**) ta có hệ :
1 2
0 2
1 2
1 2
6
; à 2 n : 6 4 0
. 4
x x
x x l pt X X
x x
 

   



Vậy :
1 2 1
1
3 5, 3 5 4 5
2 5
X X Y        


Chú ý : Ta còn có cách giải khác
- Gọi d' là đường thẳng vuông góc với d suy ra d': y=-x+m ( m là tham số )
- Do A,B thuuộc d' đồng thời thuộc (C) , cho nên tọa độ A,B là nghiệm của hệ :
2

1
x
x
m
x
y x m

 




  

( có hai nghiệm khác 1)
 
2
( ; ) 2 1 0 (1)g x m x m x m      ( có 2 nghiệm khác 1)
Điều kiện :
 
2
2
1 8 0
6 1 0 3 2 2 3 2 2(*)
(1; ) 2 1 1 0
m m
m m m m
g m m m

   


         

     


Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B.
- Gọi I là trung điểm của AB tọa độ I :
1 2
1 2
1 1
2 4 4
2 1 3 1
4 4
2
I I I
I II
x x
m m
x x x
x x m m m
y m y
y

 
  
  
  
 
  


   
  
  

 
 

- Để A và B đối xứng nhau qua d thì I thuộc d :
3 1 1
1 1; 2 2; 1
4 4
I I
m m
y x m m
 
           
. Với m=-1 , thỏa mãn (*)
- Khi m=-1 (1) trở thành :
1
1
2
2 2
1 1 1
1
1
1
2 2 2
1
2 2

2 1 0
1 1 1 1
1
1
2 2 2 2
1
2
y
x
x
x y

   




 




   


    


 






Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) . Cho hàm số
 
2
2 2
1
x x
y
C
x
 



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho A,B đối xứng nhau
qua đường thẳng d': y= x+3 .
GIẢI
A. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Trang 8
b. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành độ là nghiệm của phương trình :
     
2
2
2 2
1 ( ; ) 2 3 2 0 2
1

x x
x m g x m x m x m
x
 
        

( có hai nghiệm khác 1)
   
2
2
3 8 2 0
2 9 ; 1 10 1 10(*)
(1; ) 2 3 2 1 0
m m
m m o m m
g m m m

    

          

      


- Gọi I là trung diểm của AB thì :
1 2
3
2 4
3 3 3
4 4

I
I I
x x m
x
m m
y x m m
 

 





    


- Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d :
3 3 3
3 3; 2 18; 9
4 4
I I
m m
y x m m


         

- Với m=9 thì (2) trở thành :
1 1

2
2 2
6 14 6 14 12 14
9
2 2 2
2 12 11 0
6 14 6 14 12 14
9
2 2 2
x y
x x
x y

  
     


    

  
     


Ví dụ 10. ( ĐH-Huế -2001). Cho hàm số
 
3 2 3
3 1
2 2
m
y

x mx m C  
a. Tìm tham số m để đồ thị
m
C có CĐ, CT đồng thời các điểm CĐ,CT đối xứng nhau qua
đường thẳng d : y=x
b. Tìm m để
m
C cắt trục OX tại ba điểm A,B,C sao cho : AB=BC.
GIẢI
a. Ta có :
 
2
0
' 3 3 3 0
x
y x mx x x m
x
m


     




- Để tồn tại cực đại , cực tiểu : 0m  (*)
- Gọi A(0;
3
1
2

m ) và B(m; 0) là hai điểm cực trị .
- Tính :
3
2
1
0
1
2
; 1
0 2
A B
AB d
A B
m
y y
k m k
x x m


    
 
.
- Gọi I là trung điểm của AB :
3
3
0
2 2
2
1
0

1
2
2
2 4
A B
I
I
A B
I
I
m m
x x
x
x
y y
m
y
y
m



 






 



 

 




- Để A,B đối xứng nhau qua d thì :
2
2
3
1
2
. 1
.1 1
; 2
2
1
4 2
AB d
I I
m
k k
m
m
m
I d
m

y x




  

 
    
  



 



Thỏa mãn điều kiện (*).
Trang 9
b. Nếu
m
C cắt Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C thì :
 
3 2 3
3 1
0 1
2
x mx
2
 m  , có ba nghiệm.

Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là :
1 2 3
, ,
x
x x . Áp dụng vi ét cho phương trình (1).
 
 
 
1 2 3
1 3 2
2 2
2 1 3 1 3
1 2 2 3 3 1
2 2
1 3 2
3
3
2 1 3
1 2 3
2 3
1 3 2
2 1 3 2
3
3
1 1
2
2
2 2
. 0
. . . 0

1
. 2 2
4
1
1
.
. .
1 1 1
2
2
2
2 2 2
b
x x x m
x x x m
x m x m
a
c
x x x x x
x x x x x x
x x x m x
a
d
x x x m
x x x m
m m ma
x x x
x x x x



    


  
 






  
   
  
       
  
  

  
  
 
  
 
  
 
 



  


2
1 3
1
.
2
0
x
m
m











Nhưng khi m=0 ,thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại duy nhất một điểm .Cho nên ,
không tồn tại giá trị m nào để hàm số cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng .
Ví dụ 11 .((HVKTQS-2001). Cho hàm số


 
2
2 1
1

m
x m x m
y
C
x
   


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=2
b. Tìm m để trên
m
C có hai điểm A,B sao cho : 5 3 0;5 3 0
A A B B
x y x y

     . Tìm m để A,B
đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 . Có nghĩa là A,B
nằm trên đường thẳng d' : y=5x+9 .Nhưng A,B lại nằm trên
m
C , cho nên A,B là giao của d'
với
m
C .
 
   
2
2

2 1
( ; ) 4 10 2 0 1
5 3
1
5 3
5 3
x m x m
g x m x m x m
x
x
y x
y x

   

     
 
 
 
 

 



 

2
4 68 0
( 1; ) 4 10 2 2 0

m m
m R
g m m m

   
   

        

.
- Gọi I là trung điểm của AB :
1 2
10
2 8
10 5 26
5 3 5 3
8 8
I
I I
x x m
x
m m
y x
 

 






 

    
 

 

- Nếu A,B đối xứng nhau qua d : x+5y+9=0 , thì I phải thuộc d . ( Thỏa mãn tính chất d'
vuông góc với d rồi ).
 
5 5 26
10 34
9 0;
8 8 13
m
m
m


      .
Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số
 
2
2 3
2
m
x mx m
y
C

x
  


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3.
Trang 10
b. Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm
A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) một tam giác có diện tích không đổi ,không phụ thuộc
vào vị trí của M.
c. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi m . Tìm m để hai điểm cực
đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0 .
GIẢI
a. Khi m=3 . (C) :
2
3 3 1
1
2 2
x x
y x
x x
 
   
 
. ( Học sinh tự vẽ đồ thị (C) )
b. Ta có :
 
2
1
' 1
2

y
x
 

. Gọi
 
0 0 0 0
0
1
; ( ) 1 (*)
2
M x y C y x
x
    


Tiếp tuyến với (C) tại M là
 
 
0 0
2
0
0
1 1
: 1 1
2
2
y x x x
x
x

 
      
 


 
 
- Nếu
2x  
tại điểm A , thì
 
 
0
0 0
2
0 0
0
1 1
1 2 1
2 2
2
A
x
y x x
x x
x
 
        
 




 
 
0
0
2;
2
x
A
x
 
  
 

 

- Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 tại điểm B.
 
 
0 0 0 0
2
0
0
1 1
1 1 1; 2 2 1 2 3
2
2
B B B B B
x x x x x x y x x

x
x
 
               
 


 
 
 
0 0
2 2;2 3B x x 

- Nếu I là giao hai tiệm cận , thì I có tọa độ I(-2;-1).
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng : x=-2 suy ra H(-2;
0
2 3x

)
- Diện tích tam giác AIB
0
0
0
1 1 1
. . 1 2 2 2
2 2 2 2
A I B H
x
S AI BH y y x x x
x

        

 
0
0
1 2
.2 2 2 dvdt
2 2
S x
x
   

Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
c.Ta có :
  
 
   
2
2
2 2
2 2 2 3
1
4 3
' 0
3
2 2
x m x x mx m
x
x x
y

x
x x
     



 
   



 


Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị .
- Gọi hai điểm cực trị là :
 


1; 2 ; 3; 6M m N m   
- Tính :
   
6 2
1
2;
3 1 2
MN d
m m
k k
  

   
 
.
Gọi J là trung điểm của MN ,
1 3
2
2
2 6
4
2
J
J
x
m m
y m
 

  



  


 


Trang 11
- Để M,N đối xứng nhau qua d thì :
 

1
2. 1
. 1
2
1
2 2 4 8 0
MN d
k k
m
J d
m

 
  



 
   
 
 



    

Vậy m=1 thì hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua d .
V. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG
CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
A. BÀI TOÁN :

Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và một điểm


0 0
;
M
x y
(cho sẵn)
1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M.
2. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua đừng thẳng d:
y=kx+m .
B.CÁCH GIẢI
1. Gọi N(x;y) thuộc (C) : y=f(x) là một điểm bất kỳ .
- Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì :
   
 
 
0
0
' 2 1
' '; ' '
' 2 2
x x x
N x y C
y y y
 

 

 



- Từ (1) và (2) ta có :
0
0
2 '
2 '
x
x x
y
y y
 


 

, Thay x,y tìm được vào : y=f(x) ,ta suy ra y'=g(x';x0;y0)
Đó chính là phương trình của đường cong (C').
2. Gọi
     


; ( ); '; ' 'A x y C y f x B x y C   
- Nếu (C) và (C') đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d :
 
 
'
1 1
. 1
'

' '
2
2 2
AB d
y y
k
k k
x x
I d
y y x x
k b
 
 
 
 




  
 
 

 
 


 
 


 

Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết . Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được
một phương trình có dạng y'=g(x') .Đó chính là phương trình của (C') cần tìm .
C. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số
 
2
3 1
1
2 2
x x
y
x C
x x
 
   
 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1).
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Trang 12
b. Gọi một điểm bất kỳ
     
1
; 1 ; '; ' '
2
A x x C B x y C

x
 
   
 

 
- Khi A chạy trên (C) qua điểm I , thì B chạy trên (C'), cho nên nếu (C') đối xứng với (C)
qua I thì A và B đối xứng nhau qua I
2 '
2 '
1 1
2 ' 2 ' 1 ; ' ' 5
2 ' 2 '
2 ' 2 '
I
I
x x x
x x
y x y x
y y y y y
x
x
 
 


              
 
   
  



Vậy (C') có phương trình :
 
1
5 'y x C
x
  

Ví dụ 2. Cho hàm số
 
4
2
5
3
2 2
x
y
x C  
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2)
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi
       
4
2
5
; 3 ; '; ' '
2 2

x
A x y C y x B x y C     
- Nếu (C') đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I
- Do đó :
 
 
4
4
2
2
2.0 '
'
5 ' 3
4 ' 3 ' ' 3 '
2.2 '
2 2 2 2
x x
x
x
y x y x
y y
 


          

 

-Kết luận : phương trình của (C') :
4

2
3
3
2 2
x
y x

   , đối xứng với (C) qua I.
Ví dụ 3. Cho hàm số
 
2
3 3 1
1
2 2
x x
y
x C
x x
 
   
 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0
GIẢI
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C')
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d
 
 

   
  
' 1
. 1
' 2 ' 1
' 2 '
. 1
' 2
1
' 2 ' 2 0
' '
' ' 2 2
2 1 0
2
2 2
AB d
y y
y y x x
y y x x
k k
x x
I d
x x y y
x x y y
y y x x
 
 
 
   


 

   



    
   
   

    
 
   
 


 

  

 

 

2 ' 2 ' 5 3 ' 4 ' 4
;
2 ' 2 ' 2 5 3 ' 4 ' 4
y x y x y y x
y x x y x x y
      

 
 
 
      
 
Từ phương trình hàm số :
10 10
5 5 5 4 ' 3 ' 4 4 ' 3 ' 4 5
5 10 4 ' 3 ' 4 10
y x x y y x
x y x
          

  


Trang 13
Ví dụ 4 . (ĐHLâm Ngiệp -2001 ). Cho hàm số
 
3 1
3
x
y
C
x




a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi
     
10
; ( ); '; ' ' ; 3
3
A x y C B x y C y
x
    

- Gọi I là trung điểm của AB
'
2
'
2
I
I
x
x
x
y
y
y











; Và
'
; 1
'
AB d
y y
k k
x x


 



- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d :
'
. 1 1
. 1
' ' ' '
'
;
' ' 6 ' ' 6
' '
3 0
2 2

AB d
y y
k k
y y x x y x y x
x x
x y x y y x y x
x x y y
I d


  


     

 

   
   

       
 

 


  


' 3

10 10
' 3 3 '
' 3
' 3 3 '
y x
x y
x y
y
x
 

       

  
  

- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) :
10
y
x

Ví dụ 5. (HVKTQS-99) . Cho hàm số
 
2
2 4
3
2 2
x x
y
x C

x x
 
   
 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi :
     
4
; ( ); ' ; ' ' ; 3
2
A x y C B x x y C y x
x
      

- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d :
- Ta có : y'+y=2.2. Suy ra : y=4-y' .
- Do A thuộc (C) , cho nên :
4 4
4 ' ' 3 ; ' 1 '
' 2 ' 2
y x y x
x x
       



- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d :
4
1
2
y x
x
  

Ví dụ 6. Cho hàm số


2 (4 )
y
x x C
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox. Chứng minh rằng (C) cắt
(C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ?
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
Trang 14
b. Gọi A(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc (C) . B(x';y') là điểm bất kỳ thuộc (C') đồng thời
đối xứng với A qua Ox. Khi đó : x=x' và y=-y'
- Do A thuộc (C) :
   
' 2 ' 4 ' ' 2 ' 4 '
y
x x y x x         (*)
- Phương trình (*) chính là phương trình của (C') :
 
2 4

y
x x

 
- Nếu (C) cắt (C') thì phương trình hoành dộ điểm chung :
 
 
 
 
2
2
2 2 2 2
2 2
4
2 4
2
2 8 2 4 4 8 1(*)
4 8
2 4
2 8
x
y x x
x
y
y x x y x x
y x x
y x x
 

 




            
 
  
 

 

- Vậy (C) giao với (C') bằng E-Líp :
 
2
2
2
1
4 8
x
y



BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.( Đề 27). Cho hàm số


4 3 2
4 2 12
a
y

x ax x ax C   

Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy.
Bài 2.( Đề 66). Cho hàm số
 
2
3 4
2 2
x x
y
C
x
 



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A ,B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x
Bài 3.(Đề 89). Cho hàm số
 
2
2 2
1
x x
y
H
x
 



và đường thẳng d' : y=-x+m ( m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để d cắt (H) tại hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d :
y=x+3.
Bài 4. ( Đề 142). Cho hàm số






4 3 2
3 2 1
m
y
x m x m x C    
Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ?
Bài 5. ( ĐH-Hàng Hải -99). Cho hàm số
 
2
1
x
y
C
x



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x-1.

Bài 6. ( HVKTQS-99). Cho hàm số
 
2
1
y
x x x C   
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) :
2
2 2
2
x
y
x




qua đường thẳng y=2
Bài 7. ( ĐH-Luật -99 ). Cho hàm số


 
2
2 4 2 1
2
m
x m x m
y
C

x
   


Trang 15
a. Vẽ đồ thị (C) với m=-3. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng d : y=x+4
b. Tìm tham số m để đồ thị (Cm) nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .
Bài 8. ( ĐH-Thủy Lợi-99). Cho hàm số


 
3 2 2 2
3 3 1 1
m
y
x mx m x m C     
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=2.
b. Tìm m để đồ thị (Cm) chứa hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Bài 9. ( ĐH-QGA-2001). Cho hàm số


3 2
3
m
y
x m x m C  
a. Khỏa sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=0
b. Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ,CT đồng thời hai điểm CĐ,CT đối xứng nhau qua đường
thẳng d : x-2y-5=0 .

Bài 10.( ĐH-PCCC-2001). Cho hàm số


3 2
3 3
y
x x C  
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường thẳng d mà các điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua nó .
Bài 11. (ĐH-Thủy sản-2000). Cho hàm số
 
2
4 5
2
m
x mx m
y
C
x
 



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C) với m=1
b. Tìm m để trên đồ thị
 
m
C
có hai điểm đối xứng nhau qua O
Bài 12. ( CĐKS-2000). Cho hàm số



4 3 2
4 ax
a
y
x x C  

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với a=4
b. Tìm a để đồ thị
 
a
C có trục đối xứng song song với Oy.Viết phương trình trục đối xứng
Bài 13.(ĐH-YHP-2000). Cho hàm số
 
2
1
x
y
C
x



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x+1.
Bài 14.(ĐH-YHP-2001). Cho hàm số




  
3 2
3 1 3 2 1 4
m
y
x m x m x C     
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b.Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua điểm I(0;4)
Bài 15. ( VDDH-Mở-2001). Cho hàm số

  
3 2
3 2 1 2
m
y
mx mx m x C    

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm những điểm cố định mà với mọi m


m
C luôn đi qua . Chứng tỏ các điểm cố dịnh đó
thẳng hàng .