(TIỂU LUẬN) TIỂU LUẬN môn học tín HIỆU hệ THÔNG đề tài lọc tuyến tính các quá trình ngẫu nhiên

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG
KHOA VIỄN THƠNG

TIỂU LUẬN MƠN HỌC
“TÍN HIỆU HỆ THƠNG”

Đề tài:
“Lọc tuyến tính các quá trình ngẫu nhiên”

Giảng viên : NGUYỄN THỊ THU HIÊN
Sinh viên thực hiện : TỐNG THỊ THÙY LINH
Mã sinh viên : B18DCVT248
Lớp : D18CQVT08-B
Nhóm mơn học : Nhóm 03

Hà Nợi, tháng 8/2021
1|Page


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU.................................................................................................................................... 3
Tổng quan về Random Process…………………………………………………..4
Wide-Sense Stationary……………………………………………………………5
Lọc các quá trình ngẫu nhiên…………………………………………………….8
Bất biến thời gian………………………………………………………………….8
Giá trị trung bình………………………………………………………………….8
Tự tương quan đầu ra……………………………………………………….……9
Định lý tương quan chéo………………………………………………………….9
Xung photon……………………………………………………...………………11
Đáp ứng của máy dị với xung Poisson…………………………………………13
Nhiễu trắng……………………………………………………….………………14

Lọc nhiễu trắng………………………………………………..…………………16
Tính toán thực tế…………………………………………………………………17
KẾT LUẬN........................................................................................................................................ 18

2|Page


LỜI NÓI ĐẦU
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô Nguyễn Thị Thu
Hiên. Trong q trình học tập và tìm hiểu bộ mơn Tín Hiệu Hệ Thống, em đã
nhận được sự quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn rất tận tình, tâm huyết của cơ. Cơ
đã giúp em tích lũy thêm nhiều kiến thức để có cái nhìn hồn thiện hơn. Từ
những kiến thức nà cô truyền tải, em đã dần hiểu hơn về môn Tín Hiệu Hệ
Thống, từ đó có thể thực hiện được bài tiểu luận về đề tài liên quan đến
Random Prosses- Biến ngẫu nhiên là một hàm của thời gian mà chúng ta kết
hợp chiều thời gian này vào biến ngẫu nhiên, vì vậy biến ngẫu nhiên như một
hàm của thời gian là một q trình ngẫu nhiên.
Dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình tìm hiểu nhưng do nhận thức và
trình độ cịn hạn hẹp nên bài viết này khơng tránh khỏi những thiếu sót
và hạn chế. Vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp, nhận xét của
cơ để em có thêm điều kiện học hỏi thêm và năng cao kiến thức của
mình, phục vụ tốt hơn cho quá trình học tập sau này.

3|Page


I.

Tổng quan về Random Process
Giới thiệu chung

1.
-

Biến ngẫu nhiên là một hàm của thời gian t.
Biến ngẫu nhiên là một hàm của thời gian mà chúng ta đang kết hợp
chiều thời gian này vào biến ngẫu nhiên, vì vậy biến ngẫu nhiên như
một hàm của thời gian là một quá trình ngẫu nhiên.

Random Process bao gồm:

2.
-

Random signal( tín hiệu ngẫu nhiên).
Random noise process at receiver(quá trình ngẫu nhiên tại máy thu)

Lọc tuyến tính các q trình ngẫu nhiên:

3.
-

Wide Sense Stationary.
Filtering Random Process( Lọc các quá trình ngẫu nhiên).
Time Invariance( Bất biến thời gian).
Mean Value(Giá trị trung bình).
Output Autocorrelation( Tự tương quan đầu ra).
Crosscorrelation Theorem( Định lý tương quan chéo)
Photon Pulses( Xung photon)
Dectector Response to Poisson Pulses( Đáp ứng của máy dò với

xung Poisson).
White Noise( Nhiễu trắng)
Filtered White Noise( Lọc nhiễu trắng)
Practical Calculations( Tính tốn thực tế).

4|Page


AI.

Nợi dung chính

1.

Wide-Sense Stationary
-

Định nghĩa: 1 q trình ngẫu nhiên X(t) là WSS nếu giá trị trung
bình của nó khơng đồi
E[X(t)] =
và sự tự tương quan của nó chỉ phụ thuộc vào
E[X(t + )X*(t)]=
( )
∗
Lưu ý rằng:
(− )=
( ) và
(

1, 2)=

= 1 − 2.

E[X( 1)X*( 2)]

(0)= E[| (t)|2]

- Auto- Correlation( Tự tương quan):
Cũng như tự tương quan hoặc tương quan của hàm quá trình
ngẫu nhiên tại 2 thời điểm T1, T2 cũng bằng giá trị kì vọng. Giá trị
này về cơ bản bằng giá trị đã xóa của q trình ngẫu nhiên tại thời
điểm T1 lần thời gian trong thời gian T2
Vây tư tương quan là gì? Tự tương quan của quá trình ngẫu
nhiên tương ứng với 2 trường hợp thời gian khác nhau, nghĩa là
nếu bạn nhìn vào quá trình ngẫu nhiên X(t) tại thời điểm T1 và
X(t)T2 tại thời điểm ngay lập tức T2 thì giá trị cốt lõi giữa 2 điều
này là tự tương quan. Đó là giá trị trung bình của tích X(t)1 xới
X(t)2 và tự nhiên đối với 1 quá trình ngẫu nhiên chung.
( 1, 2)= E[X( 1)X*( 2)]

E[X( 1)X*( 2)]: sự kết hợp giữa 2 thời điểm T1, T2.

→

Đây là 1 hàm của cả 2 trường hợp thời gian, đó là T1&T2 và do đó đây là hàm khác bởi của T1,T2.

5|Page


Ví dụ: Chúng ta nhận thấy rằng tín hiệu điện báo ngẫu nhiên có tính tự tương quan

hàm số:
( )=

− | |

Chúng ta có thể sử dụng hàm tự tương quan để tìm thời điểm thứ hai kết hợp tuyến tính chẳng hạn như: Y(t)= aX(t) +bX(t - 0)

Chúng ta cũng có thể tự tính tự tương quan:

( ) với ≠ 0.

6|Page


Ví dụ trên kết hợp các giá trị có trọng số của X(t) và X(t- 0) thành Y(t). Các
thông số thống kê E[Y], E[ 2], var(Y) và ( ) được tính tốn dễ dàng từ kiến thức về E[X] và ( ).

Các kỹ thuật này có thể mở rộng cho các kết hợp tuyến tính hơn 2 mẫu của X(t).

Đây là một ví dụ về lọc tuyến tính với bộ lọc rời rạc có trọng số

Mối quan hệ tương ứng cho quá trình xử lý thời gian liên tục là:

7|Page


2. Lọc các quá trình ngẫu nhiên:
Gọi X(t,e) là một quá trình ngẫu nhiên. Tại thời điểm này, chúng ta hiển
thị kết quả e của thử nghiệm ngẫu nhiên cơ bản.
Gọi Y(t, e) = L[X(t,e)] là đầu ra của một hệ thống tuyển tính khi X(t,e)

là đầu vào. Rõ ràng, Y(t, e) là một tập hợp các hàm được chọn bởi e và là
một q trình ngẫu nhiên.
Chúng ta có thể nói gì về Y khi có một mơ tả thống kê về X và mô tả về
hệ thống?
Lưu ý rằng L không cần thể hiện hành vi ngẫu nhiên cho L trở
thành ngẫu nhiên.

3. Bất biến thời gian:
Chúng ta sẽ làm việc với các hệ thống bất biến thời gian( hoặc dịch
chuyển bất biến). Các hệ thống bất biến nếu phản hồi đối với đầu vào dịch
chuyển theo thời gian chỉ là sự thay đổi đầu ra.
Y(t + ) = L[X(t + )]
Đầu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian có thể
được biểu diễn bằng tích của đầu vào với phản ứng xung, h(t).
.
Y(t) = ∫−∞∞

4.

( − )ℎ( )

Giá trị trung bình:
-

Kết quả sau đây phù hợp với bất kì hệ thống tuyển tính nào, dù
cho nó có là thời gian bất biến hoặc đầu vào là cố định.

-

Khi quá trình dừng lại, chúng ta thấy = , đó là phản ứng với một hằng số giá trị .

E L[X(t)] = L E[X(t)] = L[ ( )]

8|Page


5.

Tự tương quan đầu ra:
-

Hàm tự tương quan của đầu ra là:

-

Chúng ta đặc biệt quan tâm đến hàm tự tương quan ( ). đầu ra của một hệ thống tuyến tính
khi đầu vào của nó là q trình ngẫu nhiên.

-

Khi đầu vào là WSS và hệ thống bất biến theo thời gian thì đầu ra
cũng là WSS.
Hàm tự tương quan có thể được tìm thấy cho một q trình khơng
WSS và sau đó chun về trường hợp WSS mà khơng cần làm gì
nhiều cơng việc bổ sung. Chúng ta sẽ đi theo hướng phát triển đó.

-

6.

(

,

1

2

)= E[y( 1)y*( 2)]

Định lý tương quan chéo:
-

Cho phép x(t) và y(t) là các q trình ngẫu nhiên có liên quan đến
y(t) =∫−∞∞

Sau đó
và
Vì vậy,
(

1, 2)=

∬−∞∞

.

( − )ℎ( )

(

1,

2)=

∫−∞∞

( 1,

(

1,

2)=

∫−∞∞

(

(

1

− ,

2

1

2

− )ℎ( )

− , 2)ℎ( )

− )ℎ( )ℎ( )

9|Page


Chứng minh Nhân phương trình thứ nhất với x(1) và lấy giá trị kì vọng.

Điều này chứng tỏ kết quả đầu tiên. Để chứng mình điều thứ 2, ta nhân số thứ
nhất phương trình bởi y(t2) và lấy giá trị kỳ vọng.

Điều này chứng minh đẳng thức thứ 2 và thứ 3. Bây giờ thay thế phương
trình thứ 2 thành phương trình thứ 3 để chứng minh điều cuối cùng.

10 | P a g e


7. Xung photon
Ví dụ: Tự tương quan đối với lượng Photon đến
Giả sử rằng mỗi photon đến một máy dò tạo ra một xung động của hiện hành.
Chúng ta muốn lập mơ hình hóa để sử dụng làm phương pháp khuyến khích X(t)
tới hệ thống phát hiện. Giả sử rằng các photon đến với tốc độ λ photons/giây và
mỗi photon tạo ra một xung chiều cao h và chiều rộng .

Để tính tốn hàm tự tương quan, chúng ta phải tìm
( )= E[X(t + )X(t)]

-

Đầu tiên chúng ta hãy giả định rằng > . Sau đó, khơng thể cho các phiên bản t và t + nằm trong cùng một xung.

-

Xác suất để dạng sóng xung ở mức h bất kỳ tức thời là λ, là phần
nhỏ của thời gian bị chiếm bởi các xung.
11 | P a g e


Vì thế,

-

Bây giờ hãy xem xét trường hợp | | < .. Sau đó, theo giả định Poisson, khơng thể có hai xung quá gần nhau để X(t) = h và

X(t + )= h chỉ khi t và t + nằm trong cùng một xung
P(X1 = h, X2 = h=P(X1=h)=P(X2=h|X1=h)= λ P(X2=h|X1=h)
-

Xác suất mà t+| | cũng đánh vào mạch là:

P(X2 = h|X1 =h)=1 -| |/

Do đó,

Nếu bây giờ chúng ta để → 0 và giữ h=1 tam giác trở thành một xung động của khu vực h và chúng ta có

( )=λ ( )+ λ

2

12 | P a g e


8.

Đáp ứng của máy dị với xung Poisson
-

Thơng thường đối với một máy dị vật lý phải có nội trở và
điện dung. Mạch Aseries RC có đáp ứng xung

- Chức năng tự tương quan của đầu ra máy dò là:

13 | P a g e


9.

Nhiễu trắng:
-

Chúng ta sẽ nói một q trình ngẫu nhiên là w(t) là nhiễu trắng nếu các giá trị của nó w( ) và w( ) khơng tương quan với mọi và ≠ . Đó
là,

-

Phương sai tự động phải có dạng:
là giá trị bình phương trung bình tại thời điểm . Trừ khi được nêu
cụ thể ngược lại, giả định rằng giá trị trung bình của nhiễu trắng là
số 0. Trong trường hợp đó,
( , )=

( , ).

Ví dụ: Chuỗi tung đồng xu( rời rạc). Điện trở nhiệt tiếng ồn( liên tục)
Giả sử rằng w(t) là nhiễu trắng và
y(t)= ∫0 ( )

Sau đó,

Nếu tiếng ồn là tĩnh thì

14 | P a g e


15 | P a g e


10.

Lọc nhiễu trắng:

Tìm phản hồi của bộ lọc tuyến tính với phản ứng xung h(t) đến nhiễu trắng.
với x(t) = w(t) ta có
( 1, 2)=
( 1 − 2). Sau đó, để

= 1 − 2 ta được
Vì (- )= ( ), kết quả này đối xứng trong .
Ví dụ: Truyền nhiễu trắng qua bộ lọc với phản xung theo cấp số nhân h(t) = A

Vì kết quả đối xứng trong ,

−

step( ).

2

()= 2

− | |

Điều thú vị là hàm này có dạng tương tự như hàm tự tương quan của tín hiệu điện
báo ngẫu nhiên và ngoại trừ hàm hạn không đổi, cũng đối với chuỗi xung Poisson.

16 | P a g e


11.

Tính tốn thực tế
Giả sử rằng bạn được cung cấp 1 tập hợp các mẫu có dạng sóng ngẫu nhiên. Biểu diễn các mẫu bằng 1 vecto x= [ 0,

1

,….,

−1].

Nó giả định

rằng các mẫu được lấy ở một số tần số lấy mẫu = 1/Ts và là đại diện của tồn
bộ q trình ngẫu nhiên. Đó là quy trình đúng và tập hợp các mẫu đủ lớn.
Trung bình mẫu: Giá trị trung binh có thể được tính gần đúng bằng
̅

=1∑

=0

−1

Tính tốn này có thể được biểu diễn bằng một sản phầm vecto
bên trong( dấu chấm) vector bên trong. Gọi 1=[1,1,…,1] là một vecto trong số các
vecto thích hợp chiều dài. Sau đó,
=
̅ 〈 ,1〉

Giá trị trung bình bình phương: Theo cách tương tự, giá trị trung
bình bình phương có thể được ước lượng bởi

Phương sai: Ước tính phương sai là

Có thể cho thấy rằng
E[

2

]=

2

và do đó là một cơng cụ ước lượng không thiên vị về phương sai.

17 | P a g e


KẾT LUẬN

Các ứng dụng và việc nghiên cứu các hiện tượng đã lần lượt tạo cảm hứng
cho đề xuất các quá trình ngẫu nhiên mới. Điển hình về các quá trình ngẫu
nhiên như vậy có thể nhắc đến q trình Poisson được sử dụng bởi
A.K.Erlang để nghiên cứu số lượng cuộc gọi điện thoại xảy ra trong một
khoảng thời gian nhất định. Lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên được coi là
một đóng góp quan trọng cho tốn học và nó tiếp tục là một chủ đề nghiên
cứu tích cực vì lý do lý thuyết lẫn ứng dụng.

18 | P a g e