quá trình ngẫu nhiên loại ornstein – uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




TRƯƠNG HOÀI TRUNG






QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LOẠI ORNSTEIN – UHLENBECK
SINH BỞI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP PHÂN TÁN


Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60 46 15



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN KIM THANH










TP. HỒ CHÍ MINH – 2011


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học cũng như để hoàn chỉnh luận văn này, tôi
đã nhận được sự động viên, giúp đỡ, hướng dẫn và góp ý nhiệt tình của gia đình, bạn
bè và quý Thầy cô khoa Toán – Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên thành
phố Hồ Chí Minh.
Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy – TS. Trần Kim Thanh và TS. Dương Tôn
Đảm đã dành rất nhiều thời gian và công sức, tận tâm hướng dẫn, giúp tôi hoàn thành
luận văn. Bên cạnh cách hướng dẫn cuốn hút, Thầy đã cung cấp cho tôi những tài liệu
và những kiến thức vô cùng quí giá. Mặc dù biết mình chưa lĩnh hội hết tất cả những
kiến thức mà Thầy đã truyền đạt nhưng tôi tin rằng những gì đã học được từ Thầy sẽ là
điều kiện, là hành trang tốt nhất để tôi có thể tiếp tục con đường nghiên cứu sau này.
Xin trân trọng cảm ơn các Thầy cô khoa Toán – Tin nói chung và các Thầy cô
Bộ môn Xác suất thống kê nói riêng đã tận tình giảng dạy, cung cấp cho tôi đủ kiến
thức để tôi kết thúc khóa học và hoàn thành luận văn.

Xin cảm ơn các bạn lớp cao học Toán ngành Lý thuyết Xác suất và Thống kê
toán học khóa 18 trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt
tình giúp đỡ, đóng góp ý kiến trong suốt quá trình học cũng như trong thời gian làm
luận văn.
Từ tận đáy lòng, con xin cảm ơn Cha mẹ đã sinh thành, dưỡng dục, luôn bên
cạnh động viên và tạo mọi điều kiện để con ăn học, khôn lớn nên người.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức còn hạn chế cũng như sự eo hẹp về
điều kiện và thời gian nên rất mong nhận được sự chia sẻ, thông cảm và góp ý nhiệt
tình của quý Thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2011
Trương Hoài Trung

i
LỜI NÓI ĐẦU


Trong lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên, khi giải phương trình vi phân tuyến tính
dạng Langevin ta sẽ gặp quá trình Ornstein – Uhlenbeck. Quá trình Ornstein –
Uhlenbeck là quá trình ngẫu nhiên được đặt theo tên của hai nhà Vật Lý Leonard
Ornstein (1900 – 1988) và George Eugene Uhlenbeck (1880 – 1941). Tuy loại quá
trình này đã được nhiều nhà Toán học đề cập đến nhưng nó có khá nhiều ứng dụng
trong thực tế nên quá trình Ornstein – Uhlenbeck vẫn luôn được các nhà khoa học
nghiên cứu và mở rộng.

Khi xét lớp các quá trình ngẫu nhiên liên quan đến quá trình dẫn Levy, chúng ta
sẽ gặp những quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck. Để nghiên cứu về loại quá trình này
ta cần xét đến sự liên quan của nó với những lớp quá trình ngẫu nhiên khác như quá
trình
α

-tự phân, quá trình tự đồng dạng,… .

Xuất phát từ tích phân theo quá trình Wiener, Toán học mở rộng dần sang tích
phân theo quá trình Levy. Trong bản luận văn này tác giả nghiên cứu đến một lớp quá
trình rộng hơn, có tính bao quát hơn nữa, đó là quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck
sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán, đồng thời giới thiệu về sự liên quan giữa
phân phối
α
-tự phân và quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck.

Luận văn này được chia thành 3 chương:
• Chương I: Một số kiến thức cơ bản.
• Chương II: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ
đo ngẫu nhiên độc lập phân tán.
• Chương III: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không
ngặt.

ii
BẢNG KÍ HIỆU
(
)
d
L
α
\
: lớp các phân phối
α
-tự phân trên
d
\

(
)
d
\P
: lớp các phân phối xác suất trên
d
\
(
)
(
)
{
}
:
dd
I
khả phân vô hạn=μ∈ μ\\P

()
(
)
()
()
1
1()
0
()
0
1()
0

(1 ) , 0
,0
(1 ) , 0 2
t
t
t
t
tdX
edX
tdX
−α
−α μ
∞
−μ
α
∞
−α μ
⎧
+α α<
⎪
⎪
⎪
Φμ= α=
⎨
⎪
⎪
+α <α<
⎪
⎩
∫

∫
∫
L
L
L

()
,
0
()
0
lim ( ) ( ) :
() ()
t
fes s
t
t
s
pfsdXqtqthỏa
f s dX q t hội tụ theo xác suất khi t
μ
→∞
μ
⎧
⎛⎞
⎛⎞
⎪
Φ= − −
⎜⎟
⎜⎟

⎨
⎜⎟
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎝⎠
⎩
⎫
⎪
−
→∞
⎬
⎪
⎭
∫
∫
L

(
)
1,es
Φ
μ
: kí hiệu của
,
f
es
Φ
khi
1

() (1 )
f
tt
−
=+
.

()
(
)
()
()
()
()
log
*
1
0
,0
,0
,0 1
,1
,1 2
d
d
d
d
d
I
I

I
I
I
αα
α
⎧
α<
⎪
⎪
α=
⎪
⎪
Φ= <α<
⎨
⎪
α=
⎪
⎪
⎪
<α<
⎩
\
\
\
\
\
D

() ()
:(),

d
dd
IIxdx
α
α
⎧⎫
⎪⎪
=μ∈ μ <∞ α>
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∫
\
\\ 0
1
.
() ()
0
:()0,
d
dd
IIxdx
αα
⎧⎫
⎪⎪
=μ∈ μ = α≥
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∫

\
\\
.
() ()
*01
1(,,)1
1
: lim ( )
T
dd
A
T
xt
I I t dt x dx tồn tại trong
−
νγ
→∞
>
⎧⎫
⎪⎪
=μ=μ ∈ ν
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∫∫
\\
d
\
.

iii
() ()
()
{} ( )
()
log
() ()
1
0
:log ()
log log 0
,
:
,: _
d
dd
d
t
d
IIxdx
xx
x là chuẩn Euclide x
X quá trình Levy với X
L b Q lớp c ác phân phối Q tự phân trên
+
+
μμ
⎧⎫
⎪⎪
=μ∈ μ <∞

⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
⎧
=∨
⎪
⎨
∈
⎪
⎩
=μ
∫
\
\\
\
\
L
() ()
log
:log ()
d
dd
IIxdx
+
⎧⎫
⎪⎪
=μ∈ μ <∞
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭

∫
\
\\

trong đó:
(
)
log log 0
,
d
xx
x là chuẩn Euclide x
+
⎧
=∨
⎪
⎨
∈
⎪
⎩
\


{
}
(
)
() ()
1
:

t
X quá trình Levy với X
μμ
=
μL

(
)
0
,: _
d
L b Q lớp các phân phối Q tự phân trên \


iv
MỤC LỤC


Trang
Lời cảm ơn i
Lời nói đầu ii
Bảng kí hiệu iii
Mục lục iv

Chương I Một số kiến thức cơ bản
1.1 Quá trình Levy 1
1.2 Tích phân theo quá trình Levy 5
1.3 Phương trình Langevin 9
1.3.1 Phương trình vi phân hình học và nghiệm của nó 9
1.3.2 Phương trình vi phân Levy hình học 12

1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính 18
1.3.4 Phương trình Langevin 19
1.4 Quá trình tự đồng dạng 20
1.5 Phân phối ổn định và quá trình ngẫu nhiên ổn định 22
1.5.1 Phân phối ổn định 22
1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 26

Chương II Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo
ngẫu nhiên độc lập phân tán
2.1 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck 28
2.2 Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck dừng 32

iv
2.3 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu
nhiên độc lập phân tán 38

Chương III Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt
3.1 Phân phối -tự phân 47
α
3.2 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt 49

KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59


v

1
CHƯƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN


Để nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck, đầu tiên chúng ta
sẽ đề cập đến quá trình Levy, tích phân theo quá trình Levy, phương trình Langevin
cũng như một số vấn đề liên quan khác.

1.1 Quá trình Levy

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa quá trình Levy)
Một quá trình ngẫu nhiên
{
}
:0
t
XXt
=
≥ định nghĩa trên không gian xác suất
(
)
,,PΩ F
được gọi là một quá trình Levy nếu nó thỏa các tính chất sau:
(1)
X
có các số gia độc lập: với mỗi dãy thời gian tăng
0
,,

n
tt… , các đại
lượng ngẫu nhiên
01 0 1
,,,
nn
tt t t t
X
XX XX
−
−−… độc lập.
(2)
(
)
00X = hầu chắc.
(3)
X
thuần nhất theo thời gian: với
0t ≥
, phân phối của
st s
X
X
+
− không
phụ thuộc vào
0s ≥ .
(4)
X
liên tục ngẫu nhiên:

0
0, lim 0
th t
h
PX X
+
→
⎡⎤
∀
ε> − ≥ε =
⎣⎦
.
(5)
X
có giới hạn trái khi 0t > và liên tục phải khi 0t ≥ .
Nhận xét.
• Một quá trình Levy trên
d
 được gọi là một quá trình Levy d-chiều.
• Quá trình ngẫu nhiên
{
}
:0
t
XXt
=
≥
chỉ thỏa từ điều kiện (1) đến điều
kiện (4) được gọi là quá trình Levy theo luật.

2
• Quá trình ngẫu nhiên
{
}
:0
t
XXt
=
≥ thỏa các điều kiện (1), (2), (4) và
(5) được gọi là quá trình cộng tính.
• Quá trình ngẫu nhiên
{
}
:0
t
XXt
=
≥ thỏa các điều kiện (1), (2) và (4)
được gọi là quá trình cộng tính theo luật.

Định nghĩa 1.1.2 (Khả phân vô hạn)
Cho
X
là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên

. Khi đó
X

được gọi là khả phân
vô hạn nếu với mọi
n ∈ , tồn tại các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân
phối
() () ()
12
,,,
nn n
n
X
XX… sao cho

() () ()
12
d
nn n
n
X
XX X=+ ++ .

Định nghĩa 1.1.3 (Hàm đặc trưng)
Hàm đặc trưng

(
)
z
μ của một độ đo xác suất
μ
trên
d

 được định nghĩa bởi


(
)
,
(),
d
iz x
d
ze dxzμ= μ ∈
∫


Hàm đặc trưng của phân phối
X
P
của một biến ngẫu nhiên
X
trên
d
 được kí
hiệu là

(
)
ˆ
X
Pz và được xác định bởi:


()
,,
().
d
iz X iz x
X
X
Pz Ee e Pdx
⎡⎤
==
⎢⎥
⎣⎦
∫


Định lý sau cho ta cách biểu diễn hàm đặc trưng của những phân phối khả phân vô
hạn. Nó được gọi là biểu diễn Levy – Khintchine hay công thức Levy – Khintchine.


Cho
{
}
:1Dxx=≤
là quả cầu đơn vị đóng.
Định lý 1.1.4 (Biểu diễn Levy – Khintchine)
(i) Nếu
μ
là phân phối khả phân vô hạn trên
d

 thì




3


()
(
)
,
1
exp , ,
2
1,1()(),
d
iz x
d
D
zzAziz
eizxxdxz
⎡
μ= − +γ
⎢
⎣
⎤
+−− ν∈
⎥
⎥

⎦
∫


(1.1)
trong đó
A
là một ma trận cấp dd
×
, đối xứng, xác định không âm và ν là một độ
đo trên
d
 thỏa

{
}
(
)
00ν=,
(
)
2
1()
d
xdx
∧
ν<∞
∫

(1.2)

và
d
γ∈ .
(ii) Cách biểu diễn của

(
)
z
μ trong (i) theo ,
A
ν
và
γ
là duy nhất.
(iii) Ngược lại nếu
A
là một ma trận cấp dd
×
, đối xứng, xác định không
âm,
ν là một độ đo thỏa (1.2) và
d
γ∈ thì tồn tại một phân phối khả phân
vô hạn
μ
với hàm đặc trưng cho bởi (1.1).

Định nghĩa 1.1.5 (Bộ ba cơ sở)
Ta gọi
(

)
,,A νγ
trong định lý 1.1.4 là bộ ba cơ sở của
μ
.
A
và ν lần lượt là ma
trận hiệp phương sai Gauss và độ đo Levy của
μ
.

Sau đây ta xét một số ví dụ về quá trình Levy.

Ví dụ 1 (Chuyển động Brown)
Một chuyển động Brown tiêu chuẩn trên
d
 là một quá trình Levy
(
)
(), 0BBtt=≥ thỏa:
(i)
(
)
()~ 0,
B
tN tI với mỗi
0t ≥
.
(ii)
B

liên tục.
Ta thấy rằng nếu
B
là chuyển động Brown tiêu chuẩn thì hàm đặc trưng của nó
được cho bởi




4


2
()
1
ˆ
() exp
2
Bt
utu
⎧
⎫
μ=−
⎨
⎬
⎩⎭
với
d
u∈ và 0t ≥ .
Cho

A
là một ma trận
dd×
đối xứng, không âm và
σ
là ma trận
dm×
sao cho
T
A
σσ = . Lấy
d
b ∈ và B là chuyển động Brown trên
m
 . Ta xây dựng quá trình
(
)
(), 0CCtt=≥ trong
d
 bởi

() ()Ct bt Bt
=
+σ
thì C là một quá trình Levy với mỗi
()~ ( , )Ct Ntb tA. Khi đó ta thấy rằng C là một
quá trình Gauss.

Ví dụ 2 (Quá trình Poisson)
Một quá trình ngẫu nhiên

{
}
:0
t
Xt≥ trên  là một quá trình Poisson với tham số
0c>
nếu nó là một quá trình Levy và với mỗi
0t >
,
t
X
có phân phối Poisson với
kì vọng
ct .

Ví dụ 3 (Quá trình Poisson phức hợp)
Cho
0c> và
σ
là phân phối thỏa
{
}
(
)
00
σ
= . Nếu
{
}
:0

t
Xt≥ là một quá trình
Levy trên
d
 thì với mỗi 0t > ,
t
X
có phân phối Poisson phức hợp là:


(
)
(
)
,()
exp ( ) 1 ,
iz Xt
d
Ee ct z z
⎡⎤
=
σ− ∈
⎢⎥
⎣⎦


Ví dụ 4 (Quá trình Gamma)
Nếu
{
}

:0
t
XXt=≥ là quá trình Gamma, do tính chất số gia dừng, độc lập ta có
với
0 st≤<<∞ thì
ts ts
X
XX
−
=+

, trong đó
ts
X
−

là một bản sao độc lập của
ts
X
−
. Vì
ts
X
−
là dương ngặt với xác suất 1, tức
ts
X
X> hầu khắp nên quá trình
Gamma là một ví dụ của quá trình Levy với đường dẫn không âm hầu khắp.

5
1.2 Tích phân theo quá trình Levy

Tính chất 1.2.1 Cho
{: 0}
t
Xt≥ là quá trình Levy trên
n
R
với phân phối
10
()LX =μ . Khi đó ta sẽ có:

{
}
00
exp , ( ) exp{ ( )}
t
t
E
ixX x t x=μ = ψ
Chứng minh Ta có:

{
}
()()

0
00
ˆ
() exp ,
exp , . exp ,
ˆˆ
() ()
ts
ts
st
ts
st
xEixXXX
E
ixX E ixX
xx
+
+
μ= −+
=
=μ μ

Lấy logarit hai vế hệ thức trên ta có

000
ˆˆˆ
log ( ) log ( ) log ( )
ts st
x
xx

+
μ=μ+μ
Đặt
0
ˆ
() log ( )
x
t
txϕ=μ ta có :

() () () (0)
xxxx
ts t ts
ss
ϕ+−ϕ ϕ+−ϕ
=
khi 0s → ta có :

0
() (0): ( )
xx
tx
′′
ϕ=ϕ =ψ
(
0
()tψ được gọi là đặc trưng mũ của
t
X
)

0
() ( )
x
tt x⇒ϕ = ψ
Vậy suy ra
0
log ( )
t
x
μ =
0
()txψ
Suy ra
0
ˆ
()
t
x
μ =
0
exp{ ( )}txψ .
Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa hàm bậc thang)
Cho
01
0 tt≤<<∞. Khi đó một hàm ()
f
s trên
01
,tt

⎡
⎤
⎣
⎦
được gọi là hàm bậc thang
nếu có hữu hạn điểm
001 1n
tss st=<<<= sao cho:

1
[,)
1
() 1 ()
jj
n
js s
j
f
sa s
−
=
=
∑
với
12
,,, .
n
aa a
∈
… (1.3)

Khi
()
f
s là hàm bậc thang dưới dạng này, ta định nghĩa tích phân




6

(
)
1
1
0
1
() .
jj
t
n
sjss
j
t
fsdZ a Z Z
−
=
=−
∑
∫
(1.4)

Chú ý rằng với mỗi hàm bậc thang
()
f
s , phân phối của
1
0
()
t
s
t
f
sdZ
∫
là khả phân vô
hạn với hàm đặc trưng có dạng

1
1
0
,()
,
1
t
s
js s
t
jj
iz fsdZ
iaz Z Z
n

j
Ee Ee
−
−
=
∫
=
∏


10
()()
1
jj j
ss az
n
j
e
−
−ψ
=
=
∏


10
1
()()
n
j

jj
j
ss az
e
−
=
−ψ
∑
=

()
1
0
0
()
t
t
z
fs ds
e
ψ
∫
= . (1.5)
Giả sử
(
)
000
,,A νγ là bộ ba cơ sở của
0
μ

. Khi đó
(
)
,
000 0
1
1
() , , 1 , 1 () ( ).
2
n
izx
x
z
zAz iz e izx x dx
≤
ψ=− +γ+ −− γ
∫



Tính chất 1.2.3
Giả sử
()
f
s là hàm thực đo được và bị chặn trên
01
,tt
⎡
⎤
⎣

⎦
sao cho có các hàm bậc
thang bị chặn đều
()
n
f
s , 1,2,n
=
… trên
01
,tt
⎡
⎤
⎣
⎦
thỏa
n
f
f→ hầu chắc. Khi đó
1
0
ˆ
()
t
ns
t
f
sdZ
∫
hội tụ theo xác suất về một biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong

n
 .
Giới hạn X đó không phụ thuộc vào cách chọn dãy
n
f
f→ . Phân phối của X là khả
phân vô hạn và được biểu diễn bởi

()
1
0
0
()
,
.
t
t
z
fs ds
izX
Ee e
ψ
∫
= (1.6)





7

Chứng minh.
Do tính liên tục của hàm
0
ψ
nên
(
)
(
)
0
() ()() 0
nm
fs f s zds
ψ
−→
với mọi s khi
,.mn→∞ Khi đó

()
()
1
0
0
() ()() 0
t
nm
t
fs f s zdsψ− →
∫
khi ,.mn→∞

Do (1.3) nên ta có

11
00
() () 0
tt
nsms
tt
f s dZ f s dZ−→
∫∫
theo xác suất.
Vì vậy tồn tại một biến ngẫu nhiên X là giới hạn theo xác suất của biến ngẫu nhiên
1
0
ˆ
()
t
ns
t
f
sdZ
∫
. Do tính chất khả phân vô hạn của
1
0
()
t
ns
t
f

sdZ
∫
nên phân phối của X là
khả phân vô hạn. Hơn nữa

()
() ()
()
()
1 1
0 0
0010
1
()() ( ) ()()
tt
n
njjj
j
tt
f
szds azss fszds
−
=
ψ=ψ−→ψ
∑
∫∫
bởi định lí
hội tụ bị chặn Lebesgue. Khi đó từ (1.3) ta sẽ có

()

1
1
0
0
0
,()
()
t
t
ns
t
t
iz f sdZ
f
szds
Ee e
ψ
∫
∫
→
Vậy ta thu được (1.4) ứng với định lí về tính liên tục.


Để thấy rằng giới hạn X không phụ thuộc vào dãy xấp xỉ, ta đặt
() ()
n
f
sfs→ và
() ()
n

gs fs→ hầu khắp, cả hai đều giới nội. Khi đó

()
()
()
1
1
0
0
0
,
() ()
1
t
t
nn s
nn
t
t
iz f g dZ
fsgszds
Ee e
−
ψ−
∫
∫
=
→ khi .n →∞
Điều này cho thấy rằng
11

00
() () 0
tt
nsms
tt
f s dZ f s dZ−→
∫∫
theo xác suất.





8
Định nghĩa 1.2.4 (Tích phân theo quá trình Levy) Biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong
n
 nêu ra trong tính chất trên là tích phân ngẫu nhiên của hàm ()
f
s đo được
và bị chặn trên
01
,tt
⎡
⎤
⎣
⎦
theo quá trình Levy
{
}

:0
t
Zt≥ , và ta kí hiệu

1
0
()
t
s
t
X
fsdZ=
∫
. (1.7)
Các tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy có tính chất đặc biệt sau:

Tính chất 1.2.5
Nếu
()
f
s là hàm đo được và bị chặn địa phương trên
)
0,
⎡
+
∞
⎣
thì tồn tại một quá
trình cộng tính
{

}
:0
t
Yt≥ sao cho với mọi 0t > ta có

1
0
ˆ
() 1.
t
ts
t
PY fsdZ
⎡⎤
=
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫

Để chứng minh tính chất này ta chỉ cần sử dụng tính chất số gia dừng, độc lập của
quá trình Levy và hệ thức (1.5).

Tính chất 1.2.6
Cho f(s) và g(s) là các hàm đo được bị chặn trên
01
,tt
⎡
⎤

⎣
⎦
, khi đó:

11
00 0
1
()s () () ()s
tt
uu
tu
s
t
tt
gsd f udX f udX gsd=
∫∫ ∫ ∫
h.c

Hệ quả 1.2.7 (Công thức tích phân từng phần)
Từ tính chất 1.2.6 ta có thể thu được công thức tích phân từng phần của tích phân
ngẫu nhiên theo quá trình Levy như sau:

11
10
00
10
() () ( ) ().
tt
ut ts
tt

f
udX ft X ft X Xdfs=− −
∫∫







9
Chứng minh.
Nhận thấy rằng

11 1
00 0
11
() () () ()
tt t
uuu
tt t
f
udX ft fu dX ft dX
⎡⎤
=− − +
⎣⎦
∫
∫∫

11 1
00
1
() ( ) .
tt t
uu
tu t
dX df s f t dX=− +
∫∫ ∫

Theo tính chất trên, ta có

1
0
()
t
u
t
fudX =
∫
11
00
1
() ( )
tt
s
uu
tu t
df s dX f t dX−+
∫∫ ∫

() ()
1
010
0
1
() ( )
t
st t t
t
X
Xdfs ftXX=− − + −
∫


()
1
010
0
10 1
() ( ) ( ) ( )
t
st tt
t
X
dfs X ft ft ft X X
⎡⎤
=− + − + −
⎣⎦

∫


1
10
0
10
() () ().
t
tts
t
f
tX ftX Xdfs=−−
∫

1.3
Phương trình Langevin

Trước khi nghiên cứu về phương trình Langevin, chúng ta sẽ giới thiệu vài nét về
phương trình vi phân hình học, phương trình vi phân tuyến tính và nghiệm của
chúng.

1.3.1 Phương trình vi phân hình học và nghiệm của nó

Phương trình vi phân hình học là phương trình có dạng:

() () () () ()
t
dX t t X t dt t X t dW=α +β (1.8)
trong đó

(), ()ttαβlà các hàm số của t;
t
W là quá trình Wiener với điều kiện ban
đầu
0
(0)
X
X= .




10
Cách giải phương trình vi phân hình học
Trước hết ta tìm cách giải phương trình (1.8) trong trường hợp đặc biệt, khi
() 0tα≡.

(1) Giải phương trình:
() () ()
(0) 1
t
dX t t X t dW
X
⎧
=β
⎪
⎨
=
⎪
⎩

(1.9)
Ta xét quá trình
2
00
1
(): () ()
2
tt
s
Kt sds sdW=− β + β
∫∫
(1.10)
với vi phân tương ứng
2
1
() () ()
2
t
dK t t dt t dW=− β +β .
Sử dụng công thức Itô với
(
)
,
x
tx eϕ=, ta sẽ có:

(
)
() , ()dX t d t K t=ϕ

() () ()
2
2
2
1
,() ,() () ,() ()
2
t Kt dt t Kt dKt t Kt tdt
tx
x
∂ϕ ∂ϕ ∂ ϕ
=+ +β
∂∂
∂


() 2 2
11
() () ()
22
Kt
t
etdttdWtdt
⎡⎤
=−β+β +β
⎢⎥
⎣⎦


()

()
Kt
t
etdW=β

() ()
t
X
ttdW=β .
Từ (1.10) ta suy ra nghiệm của phương trình (1.9) là:

2
00
1
() exp () ()
2
tt
s
X
tsdssdW
⎡⎤
=−β +β
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫

Nếu ta thay điều kiện ban đầu
(0) 1
X

=
bởi điều kiện
0
(0)
X
X= thì nghiệm của
phương trình
0
() () ()
(0)
t
dX t t X t dW
XX
⎧
=β
⎪
⎨
=
⎪
⎩
là quá trình ngẫu nhiên:

2
0
00
1
() exp () ()
2
tt
s

X
tX sds sdW
⎡
⎤
=−β+β
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫
.




11

(2) Giải phương trình

0
() () () () ()
(0)
t
dX t t X t dt t X t dW
XX
⎧
=α +β
⎪

⎨
=
⎪
⎩
(1.11)
Ta tìm nghiệm của (1.11) dưới dạng:
12
() (). ()
X
tXtXt= , trong đó
1
()
X
t thỏa điều
kiện

11
10
() () ()
(0)
t
dX t t X t dW
XX
⎧
=β
⎪
⎨
=
⎪
⎩

(1.12)
và
2
()
X
t thỏa điều kiện
2
2
() () ()
(0) 1
t
dX t Atdt BtdW
X
⎧
=+
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(1.13)
với
(), ()
A
tBt là những hàm mà ta sẽ chọn sau này.
Khi đó ta có:
(
)
12 12 21 1
() . () () ()dX t d X X X dX X dX t X t B t dt==++β

12 1
() () () () ()
t
tXtdW XdX tX tBtdt=β + +β
Ta chọn
()
A
t
và
()Bt
sao cho:

22
() () () () ()dX t t B t dt t X t dt+β =α
Cụ thể lấy
2
() () ()
A
ttXt≡α và
() 0Bt
≡

Từ (1.13) sẽ cho ta :

22
2
() () ()
(0) 1
dX t t X t dt

X
⎧
=α
⎪
⎨
=
⎪
⎩

Suy ra:
2
0
() exp ()
t
X
tsds
⎡
⎤
=α
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(1.14)
Mặt khác, từ phần (1) thì phương trình (1.12) cho ta nghiệm là:
2
10

00
1
() exp () ()
2
tt
s
X
tX sds sdW
⎡
⎤
=−β+β
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫

Kết hợp
1
()
X
t và
2
()
X
t ta có nghiệm của phương trình (1.11) là:

12
2
12 0
00
1
() () () exp () () ()
2
tt
s
X
tXtXtX sdW s sds
⎡
⎤
⎡⎤
==β+α−β
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
⎣
⎦
∫∫
(1.15)

1.3.2 Phương trình vi phân Levy hình học
Cho

(
)
1
12
( ) ( ), ( ), , ( ) ; 0
T
n
Wt W t W t W t t=≥ là chuyển động Brown
1
n - chiều và độ
đo ngẫu nhiên Poisson
2
n - chiều:

()
(
)
22
11
, ( , ), , ( , ) ; 0
T
nn
N dt dz N dt dz N dt dz t=≥
trong đó

(
)
()
2
2

10
, ,
n
n
zz z=∈ ,
{
}
012
\0; ,nn
=
∈ 

Định nghĩa 1.3.1 (Định nghĩa quá trình Itô - Levy nhiều chiều)
Quá trình Itô - Levy n-chiều
(), 0
X
tt≥ là quá trình ngẫu nhiên với vi phân có
dạng


2
0
()
() (, ) (, ) () (,, ) ( , )
n
dX t t dt t dW t t z N dt dz=α ω +β ω + γ ω
∫

(1.16)
trong đó:

(
)
1
( , ) ( , ) , , ( , ) : [0, ]
n
n
tt t Tαω=α ω α ω ×Ω→

(
)
1
1
(, ) (, ) :[0, ]
nn
ij
nn
tt T
×
×
βω=β ω ×Ω→

(
)
22
2
0
(,,) (,,) :[0, ]( )
nnn
ij

nn
tz tz T
×
×
γω=γ ω × ×Ω→

là những quá trình ngẫu nhiên khả đoán với
2
0
0, ( )
n
tz≥∈ thỏa điều kiện




13

12
22
111
0
(, ) (, ) (, , ) ( ) .
t
nn
n
iijikkkk
ijk
tttzdzdthc
===

⎛⎞
αω+β ω+γ ων <∞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑
∫
(1.17)
trong đó
2
( ), 1, ,
kk
dz k nν= là những độ đo Levy tương ứng với các độ đo ngẫu
nhiên Poisson bù

(
)
(
)
,,()
k
kk kkk
N
dt dz N dt dz dz dt=−ν.

Từ (1.16) ta có biểu thức tương đương với nó là:


2
0

00 0
()
() (0) (, ) (, ) () (,, ) ( , )
n
tt t
X
t X s ds s dW s t z N ds dz=+αω+βω + γω
∫∫ ∫∫

(1.18)
Nếu biểu thức
()dX t trong (1.16) có dạng:


2
0
()
() (,, ) ( , )
n
dX t t z N ds dz=γω
∫


khi đó ta gọi
()
X
t là quá trình Itô - Levy thuần bước nhảy.

Hệ quả 1.3.2
Cho hai quá trình Itô – Levy một chiều

0
() (, ) (, ) () (, , ) ( , ) , 1,2.
ii i i
dX t t dt t dW t t z N dt dz i=α ω +β ω + γ ω =
∫



Ta sẽ có:

(
)
0
12 1221
12 1 2
(). () ( ) () ( ) ()
(, ) (, ) (, , ) (, , ) ( , )
dXtX t Xt dX t X t dXt
t t dt tz tz Ndtdz
−−
=+
+β ωβ ω + γ ωγ ω
∫



Định lí 1.3.3
Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô – Levy dạng:

0
() (, ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) ()
(,,)() (,,) (, )
dX t t X t A t dt t X t B t dW t
t z X t G t z N dt dz
−−
−
⎡⎤⎡⎤
=α ω + ω +β ω + ω
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
+γ ω + ω
⎣⎦
∫


(1.19)




14
với điều kiện ban đầu
0
(0)
X
x
=
, trong đó:
0

0, ,tz≥∈ω∈Ω và
(, )t
α
ω
,
(, )tβω, (, )
A
t ω , (, )
B
t ω , (, , )tzγω, (, , )Gt z
ω
là những quá trình ngẫu nhiên khả
đoán cho trước với
)
0
(, , ) 1 (, , ) 0,tz tz
⎡
γω>−∀ω∈∞××Ω
⎣
 và thỏa các điều kiện

0
22
0
1
(, ) (, ) (, , )( ) .
2
t
s s s z dz ds h c
⎡⎤

αω−β ω+γ ων <∞
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫



0
22
0
1
(, ) (, ) (, , )( ) .
2
t
A
sBsGszdzdshc
⎡⎤
ω− ω+ ων <∞
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫


Khi đó phương trình trên sẽ có nghiệm là:
{
0
10
0

1
1
() ( ) (, ) (, ) (, )
()
(, , ) (, , )
()
1(,,)
t
X
tXtx As sBs
Xs
sz Gsz
dz ds
sz
−
−
⎡
=+ ω−βωω
⎣
⎤
γω ω
−ν
⎥
+γ ω
⎥
⎦
∫
∫


()
0
00
11
(, ) (, , )
() ( , )
() ()1 (,,)
tt
Bs Gs z
dW s N ds dz
Xs Xs sz
−−
⎫
ωω
⎪
++
⎬
+γ ω
⎪
⎭
∫∫∫


(1.20)

trong đó
()
0
2

1
0
1
() exp (, ) (, ) log1 (, , ) (, , ) ( )
2
t
X
tss szszdzds
⎧
⎡
⎤
⎪
⎡⎤
=αω−βω+ +γω−γων
⎢
⎥
⎨
⎣⎦
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎩
∫∫



()
0

00
(, ) () log1 (,, ) ( , )
tt
sdWs st Ndsdz
⎫
⎪
+β ω + +γ ω
⎬
⎪
⎭
∫∫∫


(1.21)
Trước khi chứng minh Định lí 1.3.3 ta xét định lí sau:


Định lí 1.3.4
Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên hình học có dạng:




15

0
11
() ( ) (, ) (, ) () (, , ) ( , )dX t X t t dt t dW t t z N dt dz
−
⎡⎤

=αω+βω+γω
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫


(1.22)
với điều kiện ban đầu
(0) 1
X
=
, trong đó:
0
0, ,tz≥∈ω∈Ω và (, )tαω , (, )t
β
ω ,
(, , )tzγω là những quá trình ngẫu nhiên khả đoán cho trước với

)
0
(, , ) 1 . , (, , ) 0,tz hc tz
⎡
γω>− ∀ω∈∞××Ω
⎣


và thỏa điều kiện

0

22
0
1
(, ) (, ) (, , )( ) .
2
t
s s s z dz ds h c
⎡⎤
αω−β ω+γ ων <∞
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫


Khi đó nghiệm của phương trình (1.22) sẽ cho bởi hệ thức (1.21).

Chứng minh Định lí 1.3.4
Ta xét hàm
(
)
1
() , (), 0Xt FtHt t=≥ với
(
)
,
x
Ftx e
=
và ()

H
t xác định bởi

()
()
0
0
2
0
00
1
() (, ) (, ) log1 (, , ) (, , ) ( )
2
(, ) () log1 (,, ) ( , )
t
tt
H
ts s sz szdzds
sdWs st Ndsdz
⎡⎤
⎡⎤
=αω−β ω+ +γ ω−γ ων
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
+β ω + +γ ω
∫∫
∫∫∫





Áp dụng công thức Itô cho
(
)
1
() , ()
X
tFtHt=
ta sẽ thu được

()
0
() 2
1
1
() (, ) (, ) log1 (, , ) (, , ) ( )
2
Ht
dX t e t t t z t z dz dt
⎡⎤
⎛⎞
⎡⎤
⎢⎥
⎜⎟
=αω−βω+ +γω−γων
⎣⎦
⎜⎟
⎢⎥

⎝⎠
⎣⎦
∫



() 2
1
(, ) (, ) ()
2
Ht
etdttdWt
⎡
⎤
+βω+βω
⎢
⎥
⎣
⎦


(
)
0 0
() ( )
(,,)log1 (,,) () (,,)(, )
Ht Ht
etz tz dzdtetzNdtdz
−
⎡⎤

+γω−+γων+γω
⎣⎦
∫∫







16

0
1
( ) (, ) (, ) () (, , ) ( , )
X
ttdttdWt tzNdtdz
−
⎡
⎤
=αω+βω+γω
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∫



Chứng minh Định lí 1.3.3
Ta tìm nghiệm của phương trình (1.12) bằng phương pháp tách nghiệm, nghĩa là ta
tìm nghiệm của nó dưới dạng tích

12
() ( ). ( )
X
tXtXt
−
−
=
(1.23)
trong đó:

1
()
X
t là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng, nghĩa là nó
là nghiệm của phương trình (1.22) đã đề cập trong Định lí 1.3.4 .

2
()
X
t là nghiệm của phương trình

0
** *
2

() (, ) (, ) () (, , ) ( , )dX t A t dt B t dW t G t z N dt dz=ω+ω + ω
∫


(1.24)
với điều kiện
20
(0)
X
x= , trong đó
*
(, )
A
t
ω
,
*
(, )
B
t
ω
,
*
(, , )Gtzω là những hàm
mà ta sẽ xác định sau này.

Theo Định lí 1.3.4 ta có nghiệm
1
()
X

t
−
của phương trình (1.22) cho bởi hệ thức
(1.21). Áp dụng hệ quả 1.3.2 cho tích
12
() ( ). ( )
X
tXtXt
−
−
= nêu trên, ta thu được:

(
)
0
12
1221
**
11
() ( ). ( )
() () () ()
(, ) ( ) (, ) (, , ) ( ) (, , ) ( , )
dX t d X t X t
Xt dXt Xt dXt
tXtBtdt tz XtGtzNdtdz
−−
−−
−−
=
=+

+β ω ω + γ ω ω
∫







17

0
0
12 12
12
**
11
**
11
*
1
(, ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( )
(, , ) ( ) ( ) ( , )
() (,) () (,) ()
() (,,)(, ) (,) () (,)
(, , ) ( ) (, , ) ( , )
tXtXt tXtXt
tz X t X t Ndtdz
Xt At dt Xt Bt dWt
X

tGtzNdtdz tXtBtdt
t z X t G t z N dt dz
−− −−
−−
−−
−−
−
=α ω +β ω
+γ ω
+ω+ω
+ω+βωω
+γ ω ω
∫
∫
∫






(1.25)
Mặt khác
()
X
t là nghiệm của phương trình (1.19), từ đó so sánh giữa (1.19) và
(1.25) ta thu được hệ phương trình

()
0

00
**
1
*
1
*
1
(, ) ( ) (, ) (, ) (, ) (, , ) (, , ) ( )
(, ) ( ) (, )
(, , ) ( , ) ( ) 1 (, , ) (, , ) ( , )
A
tXtAt tBt tzGtzdz
Bt X t B t
G t z N dt dz X t t z G t z N dt dz
−
−
−
⎧
⎡⎤
⎪
ω= ω+β ω ω+ γ ω ων
⎢⎥
⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎪
⎪
ω= ω
⎨
⎪

ω= +γωω
⎪
⎪
⎪
⎩
∫
∫∫





Suy ra:

()
0
*
1
*
1
*
1
1(,,)(,,)
(, ) (, ) (, ) (, ) ( )
1(,,)
()
(, )
(, )
()
(, , )

(, , )
()1 (,,)
tz Gtz
A
tAttBt dz
tz
Xt
Bt
Bt
Xt
Gt z
Gtz
Xt tz
−
−
−
⎧
⎡⎤
γω ω
⎪
ω= ω−β ω ω− ν
⎢⎥
+γ ω
⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎪
ω
⎪
ω=

⎨
⎪
⎪
ω
⎪
ω=
+γ ω
⎪
⎩
∫


Đặt
1
()
X
t cho bởi hệ thức (1.21) và các biểu thức của
*
(, )
A
t ω ,
*
(, )
B
t
ω
,
*
(, , )Gtzω đã xác định được vào biểu thức (1.24) ta sẽ có nghiệm của (1.20).

18
1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa 1.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính dạng tổng quát là phương trình
có dạng:

() () () () () () ()
t
dX t t X t f t dt t X t g t dW
⎡⎤⎡⎤
=α + +β +
⎣⎦⎣⎦
(1.26)
trong đó
(), (), (), ()ttftgtαβ là những hàm của t và
t
W là quá trình Wiener với
điều kiện ban đầu
0
(0)
X
X= .
Cách giải phương trình vi phân tuyến tính

Ta tìm nghiệm của phương trình (1.26) dưới dạng:
12
() (). ()
X
tXtXt= , trong đó
1
()
X
t là nghiệm của phương trình vi phân hình học tương ứng:

11 1
1
() () () () ()
(0) 1
t
dX t t X t dt t X t dW
X
⎧
=α +β
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(1.27)
và
2
()
X
t là nghiệm của phương trình:

2
20
() () ()
(0)
t
dX t A t dt B t dW
XX
⎧
=+
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(1.28)
với
(), ()
A
tBt là những hàm mà ta sẽ chọn sau này. Khi đó ta có

(
)
12 12 21 1
() . () () ()dX t d X X X dX X dX t X t B t dt==++β
Ta chọn
(), ()
A
tBt sao cho:

11
() () () () () () () ()
tt
X
t Atdt BtdW tX tBtdt f tdt gtdW
⎡⎤
++β =+
⎣⎦

Ta sẽ thu được:

1
1
1
(): () ()()
()
()
():
()
A
tftgtt
Xt
gt
Bt
Xt
⎧
⎡
⎤
=−β
⎪

⎣
⎦
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
(1.29)
Từ (1.28) và (1.29) ta suy ra