KHAI TRIỂN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN THÀNH CÁC THÀNH PHẦN TRỰC GIAO TỰ NHIÊN

KHAI TRIỂN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN
THÀNH CÁC THÀNH PHẦN TRỰC GIAO TỰ NHIÊN
8.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN
Trong toán học, phương pháp khai triển các hàm thành chuỗi theo một hệ hàm trực giao chuẩn hoá nào
đó được sử dụng rộng rãi. Hệ hàm
ϕ
1
(
t
)
,
ϕ
2
(
t
)
,...,
ϕ
n
(
t
), ...
được gọi là trực giao chuẩn hoá (trực chuẩn)
trên khoảng
[
a,b
]
(hữu hạn hoặc vô hạn), nếu thoả mãn hệ thức
b

0

khi
i
≠
k ,
∫

ϕ
i
( t )
ϕ
k
( t ) d t
=


(8.1.1)
a

1
khi
i = k .
Hệ hàm
{
ϕ
k
(
t
)
}

được gọi là đầy đủ nếu như một hàm f ( t )
khai triển thành chuỗi Fourier theo nó
bất kỳ cho trên khoảng
[
a,b
]
, có thể
∞
f ( t )
=

∑
a
k
ϕ
k
( t
).
k =1
(8.1.2)
Các hằng số a
k
gọi là các hệ số Fourier và từ (8.1.1), (8.1.2) chúng được xác định theo công thức
b
Tổng
n
số hạng đầu tiên của chuỗi (9.1.2)
a
k
=

∫

f ( t )
ϕ
k
( t )dt
,
a
(8.1.3)
n
f
n

( t )
=

∑
a
k
ϕ
k
( t ).
k =1
được gọi là đa thức Fourier của hàm f ( t ) . Bây giờ, một cách gần đúng, nếu ta thay thế hàm
tổng (8.1.4) thì với mỗi giá trị của đối số t xuất hiện sai số δ
n

( t ) bằng
δ

n

( t ) = f ( t ) − f
n

( t ).
(8.1.4)
f ( t ) bằng
(8.1.5)
Người ta gọi đại lượng
δ
n
(8.1.4) trên khoảng
[
a,b
]
là sai số bình phương trung bình của phép xấp xỉ hàm
f ( t
)
bằng tổng
δ
n

=
b
∫

[

f ( t )

−
f
n

( t
)
]
2
dt
(8.1.6)
a
Từ các đa thức dạng
n
∑
C
k
ϕ
k
( t )
,
k =1
độ lệch bình phương trung bình nhỏ nhất của hàm
f ( t )
sẽ cho một đa thức Fourier, tức là một đa thức mà

1 1
các hệ số C
k
là các hệ số Fourier a
k

. Khi đó đại lượng δ
2
2
bằng
b
n
2 2
Thực vậy,
δ
n

=

∫

f
a
( t )dt
−

∑

a
k
. (8.1.7)
k =1

2 2
n
2

b


n

δ
n

=

∫



f ( t )
−

∑

C
k
ϕ
k
( t
)

dt =
a



b n b
k
=
1

n

n b
=

∫

f
2
( t )dt
−

2
∑

C
k
∫

f ( t )
ϕ
k
( t )dt
+

∑∑

C
k
C
i
∫

ϕ
k
( t )
ϕ
i
( t )dt
=
a
k
=
1
a
k
=
1 i
=
1
a
b
∞
n
2 2 2

=

∫
f ( t )dt
−

∑
( C
k
−
a
k
)
∑

a
k
. (8.1.8)
a
k
=
1
n
k =1
Vế phải của (8.1.8) nhận giá trị nhỏ nhất bằng (8.1.7) khi
∑
( C
k
−
a

k
)
2
=

0

, tức là khi
C
k
=
a
k
.
k =1
Đại lượng δ
2
không âm, vì vậy ta có bất đẳng thức
n
b
2
∑

a
k
≤

∫

f

2
( t )dt
. (8.1.9)
k
=
1
a
b
Từ đó thấy rằng, đối với các hàm có bình phương khả tích, tức là khi
∫

f
2
( t )dt
a
là một số hữu hạn,
∞
thì chuỗi
∑

a
2
hội tụ, hơn nữa, bất đẳng thức sau xảy ra
k =1
∞
b
2
∑

a

k
≤

∫
f
2
( t )
dt
(8.1.10)
và nó được gọi là bất đẳng thức Bessel.
k
=
1
a
Nếu hệ hàm
{
ϕ
k
(
t
)
}

là đầy đủ thì đối với một hàm bất kỳ
đẳng thức
f ( t ) lấy được tổng bình phương sẽ có
∞
b
2
∑

a
k
=

∫
f
2
( t )
dt
(8.1.11)
và được gọi là phương trình khép kín.
k
=
1
a
Người ta ứng dụng việc khai triển các hàm theo những hệ hàm trực chuẩn khác nhau: khai triển thành
chuỗi Fourier theo hệ hàm lượng giác, khai triển thành chuỗi Fourier−Bessel theo hệ hàm Bessel, khai triển
theo các đa thức trực giao − Trebưsev, Ermit và các hệ hàm khác.
Phương pháp khai triển theo hệ các hàm trực chuẩn cũng có thể áp dụng vào các hàm ngẫu nhiên.
Giả sử
X ( t
)
là một hàm ngẫu nhiên xác định trên khoảng
[
a,b
]

có kỳ vọng toán học bằng không,
m

x
( t ) =
0
, và hàm tương quan cho trước
R
x
( t
1
,t
2
)
,
t
1
, t
2
∈

[
a,b
]
và
{
ϕ
k
( t )
}

là hệ hàm trực chuẩn đầy
đủ. Khi đó ta biểu diễn hàm ngẫu nhiên

X ( t )
dưới dạng chuỗi Fourier
Các hệ số Fourier A
k
được xác định dưới dạng
∞
X ( t )
=

∑

A
k
ϕ
k
( t
)
k =1
(8.1.12)
là những đại lượng
ngẫu nhiên.
b
A
k
=

∫

X
( t )

ϕ
k
( t
2
n
k
)dt
a
(8.1.13)
Ta ký hiệu
n
X
n

( t )
=

∑

A
k
ϕ
k
( t
)
k =1
(8.1.14)
là tổng
của n
số hạng

đầu tiên
của
khai
triển
(8.1.12)
và ta s
xấp xỉ
hàm
ngẫu
nhiên
X
n
(
t
) .
Khi
đó,
sai
số
bình
phươ
ng
trung
bình
của
phép
xấp
xỉ
b
ằ

n
g

t
ổ
n
g
δ
n
t
2
( 8
sẽ là một đại
lượng ngẫu
nhiên.
Để làm
thước đo độ
chính xác của
phép xấp xỉ, ta
sử dụng kỳ vọng
toán học của
bình phương đại
lượng ngẫu nhiên
δ
n
2
[

2
]

Đ
lư
g
σ
σ
n

=
M
δ
n

.
(8.1.16)
biểu thị
phương sai sai
số của phép
xấp xỉ đại
lượng ngẫu
nhiên, nó phụ
thuộc vào việc
chọn hệ hàm
{
ϕ
k
(
t
)
}

và số lượng
hàm n của chúng.
Khi đó, có thể
không cho trước hệ
hàm
{
ϕ
k
(
t
)
}

mà
xác định hệ này
xuất phát từ yêu
cầu thoả mãn một
điều kiện tự nhiên
nào đó. Chẳng
hạn, có thể xác
định một
hệ như vậy từ một
số n hàm ϕ
1
(
t
),
ϕ
2
(

t
), ..., ϕ
n
(
t
)
cho trước sao cho
đại lượng σ
2
trong (8.1.16) trở
thành
cực tiểu. Những
hàm ϕ
1
( t ), ϕ
2
( t
), ..., ϕ
n

( t ) như
vậy được gọi là
những hàm trực
giao tự nhiên. Đối
với hệ
hàm
được
chọn
như
trên, việc

biểu diễn
hàm ngẫu
nhiên
X ( t )
dưới
dạng tổng
n số
hạng
n
X ( t )
≈

∑
k =1
được
gọi
là
khai
triển
hàm
thàn
h
tổng
các
thàn
h
phần
trực
giao
tự

nhiê
n.
(
Những vấn đề
lý thuyết của việc
khai triển theo các
thành phần trực giao
tự nhiên và các tính
chất của phép khai
triển như vậy đã
được xét trong các
công trình của Kh.
Khoteling [92], A. M.
Obukhov [67, 68],
N. A. Bagrov [35,
36], V. S. Pugatrev
[21].
Từ đẳng thức
(8.1.7), có thể
viết biểu thức
(8.1.15) dưới
dạng
b
n
2
2
2
Sử
dụng
(8.1.

13) ta
nhận
được
( t )
−

∑

A
k
.
(8.1.18)
k
=1
b
n


b


2
2
δ
n

=

∫

X
2
( t )dt
X ( t )
ϕ
k
( t )dt

a
k
=
1

b
n
=

∫
)
ϕ
k
(
T
giá
tr
này
của
δ
v
à

o
(8
.1
.1
6)
ta
n
h
ậ
n
đ
ư
ợ
c
k
=
1
a

a
b
n
2
σ
n

=

∫
R

x
( t )dt
t
1
,t
2
)
ϕ
k
( t
1
)
ϕ
k
(8.1.20)
a
k
Bài
toán
quy
về
tìm
các
hàm
h
a
y
n
ó
i

c
á
c
h
k
h
á
c
,
s
a
o
cho
tổng
n
n
n
ϕ
1
( t )
, ϕ
2
(
t ), ...
, ϕ
n

(
t ) sao cho
biểu thức

(8.1.20) trở
thành cực
tiểu,
n

b

b
trở thành cực đại.
∑

∫∫

R
x
( t
1
,t
2
)
ϕ
k
( t
1
)
ϕ
k
( t
2
)

dt
1
dt
2
k
=
1
a

a
(8.1.21)
8.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
Để tìm hệ hàm trực chuẩn làm cho (8.1.21) cực đại, ta sử dụng những kết quả đã biết từ lý thuyết
phương trình tích phân với nhân đối xứng mà chúng ta sẽ liệt kê dưới đây và bỏ qua việc chứng minh.
Trình bày chi tiết về lý thuyết này có thể tìm thấy trong một số tài liệu, ví dụ như trong [66, 24].
Xét phương trình tích phân thuần nhất
b
∫

K ( x, s )
ϕ
( s )ds
=

λϕ
( x )
, (8.2.1)
a
trong đó hàm K ( x, s ) là hàm hai biến thực cho trong hình chữ nhật a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b; λ
đó;

ϕ
( x )
là hàm cần tìm cho trên khoảng
[
a,b
]

.
là một số nào
Ta sẽ xem các hàm K ( x, s ) và ϕ( x ) giới nội và có một số hữu hạn điểm gián đoạn, tại đó tích phân
trong (8.2.1) tồn tại.
Hàm K ( x, s ) gọi là nhân của phương trình tích phân. Nếu thoả mãn hệ thức
K ( x, s )
=
K
*

( s , x )
, (8.2.2)
đối với nhân thực, hoặc tương đương với đẳng thức
thì nhân được gọi là đối xứng.
K ( x, s ) = K ( s , x ) , (8.2.3)
Các giá trị của tham số
λ

, tại đó phương trình tích phân (8.2.1) có nghiệm không đồng nhất bằng
không, được gọi là giá trị riêng của nhân
K ( x, s
)
hay của phương trình (8.2.1). Nếu

λ

=

λ
0
là giá trị
riêng của phương trình (8.2.1) và ϕ
0
( x ) là nghiệm của phương trình này khi λ = λ
0
, tức là
b
∫

K ( x,s )
ϕ
0
( s ) d s
=

λ
0
ϕ
0
( x )
, (8.2.4)
a
thì hàm ϕ
0

(
x
) được gọi là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ
0
tích phân.
của nhân
K ( x, s
)
hay của phương trình
Có thể chỉ ra rằng tất cả các giá trị riêng của nhân đối xứng là những số thực, và tất cả các hàm
riêng cũng có thể coi là những hàm thực.
Các hàm riêng của nhân đối xứng, ứng với những giá trị riêng khác nhau, trực giao với nhau. Có thể
làm cho các hàm riêng trở thành các hàm chuẩn hoá.
Ta quy ước liệt kê dãy các giá trị riêng theo thứ tự giá trị tuyệt đối giảm dần. Như vậy, nếu
λ
1
, λ
2
, ...,λ
n
, ...
(với
λ
1
≥

λ

2
≥

...
≥

λ

n

≥
...
)
(8.2.5)
là dãy các giá trị riêng của một nhân đối xứng nào đó, thì tương ứng với dãy này là hệ trực giao các hàm
riêng
ϕ
1
(
x
), ϕ
2
(
x
), ..., ϕ
n
(
x
) ...
Trong trường hợp này định lý Gilbert−Smidth khẳng định rằng, có thể biểu diễn hàm
qua nhân
K ( x, s )
dưới dạng

(8.2.6)
f ( x ) bất kỳ
trong đó
b
f ( x )
=

∫

K ( x, s )h( s )ds
, (8.2.7)
a
h( s )
là một hàm giới nội nào đó có số hữu hạn điểm gián đoạn và khai triển được thành chuỗi
Fourier hội tụ tuyệt đối và đều theo các hàm riêng của nhân. Do đó nếu viết chuỗi Fourier của hàm
h( x )
theo các hàm riêng (8.2.6) của nhân
K ( x, s )
dưới dạng
thì
hàm
f ( x ) (8.2.7) được khai triển thành
chuỗi
∞
h( x )
~
∑

h
k

ϕ
k
( x )
,
(8.2.8)
k =1
∞
f ( x )
=

∑
λ

k
h
k
ϕ
k
( x )
,
(8.2.9)
k =1
trong đó λ
k
Giả
sử
phân kép
là giá trị riêng, còn ϕ
k
( x) là hàm riêng của nhân K ( x, s ) .

p( x ) và q( x ) là hai hàm giới nội có số hữu hạn điểm gián đoạn trên khoảng [a, b] .
Lập tích
b

b
áp dụng định lý Gilbert
-
Smidth, ta
được
∫∫

K ( x,s ) p( x )q( s
)dxds
a

a
(8.2.10)
b
∞
trong đó
q
k
∫

K ( x,s )q( s )ds
=

∑

λ

k
q
k
ϕ
k
( x )
,
(8.2.11)
a
k
=
1
là các hệ số Fourier của hàm q( x ) khi khai triển thành chuỗi Fourier theo các hàm riêng
(8.2.6),
và chuỗi ở vế phải hội tụ đều.
Nhân hai vế của (8.2.11)
với
p( x ) , lấy tích phân theo x và ký
hiệu
p
k
là những hệ số Fourier
của
hà
m
p( x )
khi khai triển nó thành chuỗi theo các hàm riêng (8.2.6), ta nhận được biểu diễn của
tích phân
(8.2.10) dưới
đây:

b

b
∞
∫

∫

K ( x,s ) p( x )q( s )dxds
=

∑

λ

k
p
k
q
k
.
(8.2.12)
Đặc biệt
khi
a
a
p
(
x

)
≡
b

b
∫
p
(8.2.13)
a
k
Ta
sẽ xét
những
tính chất
cực trị
của các
hàm riêng
của nhân
đối xứng.
Khi sắp
xếp các
giá trị
riêng theo
thứ tự
giảm dần
của giá trị
tuyệt đối
của
chúng,
theo

(8.2.13) ta
có
b
∞
2
∫
.
(8.2.14)
a
T
h
e
o
p
h
ư
ơ
n
g
tr
ì
n
h
k
h
é
p
kín
(8.
1.1

1),
b
∫
k =1
∞
( x )dx
=

∑

p
2
.
(8.2.15)
k
Đối với hàm chuẩn
hoá
a
k
=
1
p( x )
, tích phân trong vế trái (8.2.15) bằng đơn vị, do đó
∞
∑

p
2
=

1
.
(8.2.16)
T
đó,
đối
với
hàm
chuẩ
n
hoá
p
b

b
∫∫

K
p( x
dxds
a

a
(
k
Trong (8.2.17) đẳng thức
sẽ xảy ra khi
ϕ
1
( x ).

Thực vậy, sau khi nhân hai
vế đẳng thức
p(
x
) =
ϕ
1
(
x
),
tức là khi
hàm
p(
x )
trùng với hàm
riêng
λ
1
,
λ

2
, ...,
λ

n
, ...
(
λ
1

≥

λ

2
≥
...
≥

λ

n

≥
...
)
với
ϕ
1
(
x
)
và lấy tích phân theo x, do tính chuẩn hoá của
hàm
ϕ
1
(
x
)
, ta nhận được:

(8.2.
18)
b

b
b
∫∫

K ( x,s )
ϕ
( x )
ϕ
( s )dxds
=

λ

∫

ϕ
2
( x )dx
=

λ
1
.
(8.2.19)
1 1 1
1

a

a
a
Như vậy, định lý sau đây là đúng: Trên tập
hợp các hàm chuẩn hoá
b

b
p( x ) , tích
phân
∫∫

K ( x,s ) p( x ) p( s )dxds
có
cực đại bằng
λ
1
a

a
k
hi
p(
x
) = ϕ
1
(
x
) .

Bây giờ, xét tập hợp các
hàm chuẩn hoá
p( x) trực giao với
m
−
1
hàm riêng đầu
tiên của (8.2.6) của
nh
ân
K ( x, s ) . Khi đó
trong (8.2.13),
m −
1
hệ số Fourier
đầu tiên
p
k
của biểu thức khai
triển hàm
p( x
)
thành chuỗi Fourier theo các hàm (8.2.6) sẽ bằng không. Khi đó (8.2.13)
được viết dưới dạng
b

b
∞
2
∫∫

K ( x,s ) p( x ) p( s )
dxds
=

∑

λ

k
p
k
.
(8.2.20)
Từ
đó
a

a
k
=

m
b

b
Trong (8.2.21) đẳng thức
đạt được khi
∫∫

K ( x, s ) p( x ) p( s )dxds
≤

λ

m

.
(8.2.21)
a

a
p( x ) = ϕ
m

( x ) , tức là định lý sau đây
đúng:
Trên tập hợp các
hàm chuẩn tắc
b

b
p(
x )
trực giao
với
m −
1
hàm riêng đầu
tiên của nhân

K ( x,
s ) ,
tích
phân
∫∫

K (
x, s
) p(
x )
p( s
)
dxds
có
cực
đại
bằng
a

λ
m

,
cự
c
đạ
i
nà
y
đạ

t
đ
ư
ợc
kh
i
p
(
x
)
=
ϕ
m

(
x
)
.
8.3
TÌM
CÁC
THÀ
NH
PHẦN
TRỰC
GIAO
TỰ
NHIÊ
N
Bây

giờ
trở
lại
bài
toán
tìm
hệ
các
hàm
{
ϕ
k
(
x )
}

làm
cho
tổng
(8.1.2
1) trở
thành
cực
đại.
Ta
thấy
rằng trên c