Vi tích phân A2 pot

VI TÍCH PHÂN A2

CHƯƠNG 1: CỰC TRỊ HÀM SỐ

A. Các bước giải bài toán đi tìm cực trò của hàm số
Cho hàm số f(x,y) xác đònh trên miền D:
B1: Giải hệ







0
0
'
'
y
x
f
f
để đi tìm điểm dừng của hàm số
B2: Xét dấu của biểu thức

=B
2
-AC tại từng điểm dừng trong
đó: A =
''

xx
f
; B =
''
xy
f
; C =
''
yy
f

- Nếu

<0, A >0 hàm số đạt cực tiểu
- Nếu

<0, A <0 hàm số đạt cực đại
- Nếu

>0 hàm số không có cực trò
- Nếu

=0 chưa khẳng đònh liền được

B. Các bước giải bài toán đi tìm GTLN, GTNN của hàm số
Cho hàm số f(x,y) xác đònh trên miền D:
B1: Giải hệ








0
0
'
'
y
x
f
f
để đi tìm điểm dừng của hàm số nằm
trong miền D
B2: Tìm các điểm dừng của hàm số trên biên D
B3: Tính giá trò tại các điểm dừng vừa tìm được ở B1, B2. So
sánh và kết luận

C. Các bước giải bài toán tìm cực trò có điều kiện
Cho hàm số f(x,y) trong đó x,y bò ràng buộc bởi g(x,y)=0
B1: Đặt F(x,y,

)=f(x,y) +

g(x,y)
Giải hệ









0),(
0
0
'
'
yxg
F
F
y
x
để tìm các điểm dừng của hàm số
B2: Ứng với từng điểm dừng M. Xét dấu của của biểu thức:
dF(M,

)=
2''
),( dxMF
xx

+
dxdyMF
xy
),(
''

+

2''
),( dyMF
yy


- Nếu dF(M,

)<0 hàm số đạt cực đại
- Nếu dF(M,

)>0 hàm số đạt cực tiểu
- Nếu dF(M,

)=0 chưa thể khẳng đònh

D. Bài tập mẫu

Bài 1: Tìm cực trò của hàm số sau:
f(x,y) = x
4
+y
4
- 2(x-y)
2

Giải:
Giải hệ








0
0
'
'
y
x
f
f








0)(44
0)(44
3
3
yxy
yxx





















2
2
0
y
y
y
yx










2;2
2;2
0
yx
yx
yx

Hàm số có 3 điểm dừng 0(0,0); M
1
(
2,2 
); M
2
(
2,2
)
Tính A =
''
xx
f =12x
2
– 4; B =
''
xy
f =4; C =
''
yy
f =12y

2
– 4
b. Tại điểm 0(0,0) ta có

=B
2
-AC =0 ta chưa thể khẳng
đònh ngay được
Xét f(0,k)-f(0,0) =k
4
– 2k
2
= k
2
(k
2
-2) thay đổi dấu khi k thay đổi
nên hàm số không đạt cực trò tại 0(0,0)
- Tại điểm M
1
(
2,2 
); M
2
(
2,2
) đều có

=-
384<0 và A=20>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại M

1
, M
1

f
CT
=f(M
1
)=f(M
2
)=-8

Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau:
f(x,y) =
)(
22
yx
e

(2x
2
+3y
2
)
trong miền D={(x,y): x
2
+y
2

1}

Giải:
Giải hệ







0
0
'
'
y
x
f
f










0)323(
0)322(
22)(

22)(
22
22
yxye
yxxe
yx
yx










0)323(
0)322(
22
22
yxy
yxx










0;1
1;0
0
yx
yx
yx

Hàm số có 1 điểm dừng nằm trong miền D
là 0(0,0)

f(0)=0
- Tính các giá trò của hàm số trên biên
D
Ta có x
2
+y
2
=1

y
2
= x
2
– 1 với x

[-1,1]
thay vào hàm số ta có
f(x,y)=g(x)=

e
x
2
3 
với x

[-1,1]
nhận thấy
e
2

g(x)


e
3
với x

[-1,1]
g(x)=
e
2

x=0

y=

1; g(x)=
e
3


x=

1

y=0
So sánh tất cả các giá trò ta có:
GTLN Maxf =
e
2
tại (0,1); (0,-1)
GTNN Minf =
e
3
tại (1,0); (-1,0)
Bài 3: Tìm cực trò của hàm số f(x,y) =x+y
với điều kiện
1
11

yx

3

Giải:

Đặt F(x,y,

) = x+y +


( 1
11

yx
)
Giải hệ












01
11
0
0
'
'
yx
F
F
y
x














01
11
01
01
2
2
yx
y
x
















)3(01
11
)2(
)1(
2
2
yx
y
x



Từ (1) và (2)

x
2
= y
2

y=

x
- Với y =x thay vào phương trình (3) ta có x=2 ứng với


=4
- Với y =-x thay vào phương trình (3) ta có -1=0 vô lý
Vậy hàm số chỉ có duy nhất một điểm dừng là M(2,2) ừng với

=4
Xét dF(M,

)
=
2''
),( dxMF
xx

+
dxdyMF
xy
),(
''

+
2''
),( dyMF
yy

(*)
Trong đó
),(
''

MF

xx
=
3
2
x

=
8
4.2
=1;
),(
''

MF
xy
=0;
),(
''

MF
yy
=
3
2
y

=
8
4.2
=1

Và dy=dx
Thay tất cả vào (*) ta có dF(M,

)=2dx
2
> 0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M(2,2); f
CT
= 4

Bài 4: Tìm cực trò của hàm số sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y)
với D ={(x,y): 0

x

2
3

;0

y

2
3

}
Giải:
- Tìm các điểm dừng của hàm số trong miền D
Giải hệ








0
0
'
'
y
x
f
f






)2(0)sin(cos
)1(0)sin(cos
yxy
yxx

Lấy (1) trừ (2)

cosx=cosy









2
2
kyx
kyx
; với k

Z
- Với x=-y+k2



x+y = k2

thay vào hệ ta có:





0)2sin(cos
0)2sin(cos


ky

kx






0cos
0cos
y
x














ky
kx
2
2











2
3
;
2
2
3
;
2


y
x
Do x,y

D



-

Với x= y+k2


thay vào pt (2) ta có:

cosy – sin(y+k2

+y)=0

cosy=sin(2y+ k2

)=sin2y

cosy=cos(
2

- 2y)














2
2
2
22
2
hyy
hyy













hy
h
y
2
3
2
6

2
3

;
6
5
;
2
;
6




y do y

D

























2
2
3
;
2
3
2
6
5
;
6
5
2
2
;
2
2
6
;
6
kxy
kxy

kxy
kxy
















2
3
;
2
3
6
5
;
6
5
2
;

2
6
;
6




xy
xy
xy
xy


Vậy hàm số có 6 điểm dừng:
M
1
(
6

,
6

); M
2
(
2

,
2


); M
3
(
6
5

,
6
5

); M
4
(
2
3

,
2
3

);
M
5
(
2

,
2
3


); M
6
(
2
3

,
2

)
Tính A =
''
xx
f
=-sinx – cos(x+y); B =
''
xy
f
= -cos(x+y);
C =
''
yy
f
=-siny – cos(x+y)
- Tại điểm M
1
, M
3
thì: A =-1; B =-

2
1
; C =-1


=-
4
3
<0 . Mà A =-1<0 nên hàm số đạt cực đại tại M
1
, M
3

f
CĐ
= f(M
1
)=f(M
3
)=
2
3

- Tại điểm M
2
, M
4
thì A =0; B =1; C=0



=1 >0 nên hàm số không đạt cực trò tại M
2
, M
4

b. Tại điểm M
5
thì A = -2; B = -1; C = 0


=1 >0 nên hàm số không đạt cực trò tại M
5

- Tại điểm M
6
thì A = 0; B = -1; C = -2


=1 >0 nên hàm số không đạt cực trò tại M
6

Vậy hàm số đạt cực đại tại M
1
(
6

,
6

); M

3
(
6
5

,
6
5

)
và f
CĐ
=
2
3





4

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI

A. Các dạng bài toán tích phân kép


D
dxdyyxf ),(

1. Nếu D={(x,y): a

x

b; c

y

d} thì:

D
dxdyyxf ),(
=

d
c
b
a
dyyxfdx ),(


2. Nếu D={(x,y): a

x

b; y
1
(x)

y


y
2
(x)}
thì:

D
dxdyyxf ),(
=

)(
)(
2
1
),(
xy
xy
b
a
dyyxfdx

3. Dùng phương pháp đổi biến số để đưa miền D giới hạn bởi x,y

D’ giới hạn bởi u, v
Với x=x(u,v); y=y(u,v) và J =
''
''
vu
vu
yy

xx
hoặc
''
''
1
yx
yx
vv
uu
khi đó

D
dxdyyxf ),(
=

'
||)),(),,((
D
dudvJvuyvuxf

4. Dùng phương pháp chuyển về tọa độ cực đưa miền D giới hạn
bởi x,y

D’ giới hạn bởi r,


Với x=rcos

; y=rsin


và J=r

0

D
dxdyyxf ),(
=

'
||)sin,cos(
D
drdJrrf



B. Ứng dụng trong tích phân kép
1. Tính diện tích hình phẳng:


D
dxdyS

2. Tính diện tích mặt cong:


D
yx
dxdyzzS
2'2'
)()(1



3. Tính thể tích của vật thể:


D
dxdyyxzV ),(


C. Các bước giải bài toán tích phân 3 lớp

V
dxdydzzyxf ),,(
1. Nếu V là thể trụ mở rông giới hạn bởi
2 mặt cong
1

,
2

xung quanh mặt
trụ có đường sinh song song với trục 0z
thì:






V

dxdydzzyxf ),,( =
 
D
yx
yx
dxdydzzyxf )),,((
),(
),(
2
1



2. Nếu V là hình hộp giới hạn bởi các
mặt: x=a; x=b; y=c; y=d; z=e; z=f thì

V
dxdydzzyxf ),,(
=

f
e
d
c
b
a
dzzyxfdydx ),,(

3. Dùng phương pháp đổi biến số sang hệ tọa độ trụ đưa miền V
giới hạn bởi x,y,z


V’ giới hạn bởi r,

, z
Với x=rcos

; y=rsin

; z=z và J=r

0

V
dxdydzzyxf ),,(
=

'
||),sin,cos(
V
dzdrdJzrrf


4. Dùng phương pháp đổi biến số sang hệ tọa độ cầu đưa miền V
giới hạn bởi x,y,z

V’ giới hạn bởi r,

,


Với x=rcos

sin

; y=rsin

sin

; z=rcos

và |J|=r
2
sin



V
dxdydzzyxf ),,(

=

'
||)cos,sinsin,sincos(
V
ddrdJrrrf



D. Một số mặt cần lưu ý
1. Trong mặt phẳng

2. Trong không gian


E. Bài tập mẫu

Bài 1: Tính tích phân sau:
5





D
yx
yx
dxdyeI
, D={(x,y): x

0; y

0; x+y

1}
Giải:
Đặt
2

1
||
2
2


















J
vu
y
vu
x
yxv
yxu

D

D’={(u,v): u+v

0; -u+v

0; v

1}




D
yx
yx
dxdyeI
=

'D
v
u
dudve

=


v
v
v

u
duedv
1
0
= )(
4
1
1
 ee

Bài 2: Tính tích phân sau:


D
dxdyyxI
22
4

với D là nửa hình tròn
1)1(
22
 yx

Giải:
Chuyển sang hệ tọa độ cực. Đặt
rJ
ry
rx







||
sin
cos



D

D’ giới hạn bởi 0

r

2cos

; 0



2




D
dxdyyxI
22

4
=


'
2
4
D
drdr


=





cos2
0
2
2
0
4 rdrrd = )
3
2
2
(
3
8





Bài 3 : Tính tích phân sau:


D
dxdyxyI
2
với D là miền giới hạn bởi các
đường tròn
1)1(
22
 yx
và
04
22
 yyx

Giải:
Chuyển sang hệ tọa độ cực. Đặt
rJ
ry
rx







||
sin
cos



D

D’ giới hạn bởi 2sin


r

4sin

; 0







D
dxdyxyI
2
=

'
2

)sin(cos
D
rdrdrr


=





sin4
sin2
4
0
2
cossin drrd =0



Bài 4 : Tính tích phân sau:



D
yxyx
dxdyeI
)(
22
với D={(x,y):

1
22
 yxyx
}
Giải:
Ta có:
1
22
 yxyx

1)
2
3
()
2
(
22

yy
x
Đặt:










2
3
2
y
v
y
xu










3
2
3
v
y
v
ux
3
2
||  J

D


D’={(u,v):
1
22
 vu
}



D
yxyx
dxdyeI
)(
22
=


'
)(
22
3
2
D
vu
dudve
Chuyển sang hệ tọa độ cực. Đặt rJ
rv
ru







||
sin
cos



D’

D’’: 0

r

1; 0



2






'
)(
22
3

2
D
vu
dudveI
=


1
0
2
0
2
3
2
rdred
r


= )
1
1(
3
2
e




Bài 5: Tính diện tích phần mặt
22

yxz 
nằm trong
hình trụ
xyx 2
22


Giải:
22
'
yx
x
z
x


;
22
'
yx
y
z
y




2)()(1
2'2'


yx
zz

Hình chiếu của D xuống mp 0xy là
D’:
xyx 2
22




'
2'2'
)()(1
D
yx
dxdyzzS


=

'
2
D
dxdy
=

2)'(2 DS
(đvdt)

Bài 6: Tính diện tích phần mặt phẳng
z=2x nằm phía trong parabolid
22
yxz 

Giải:
2
'

x
z
;
0
'

y
z
;
5)()(1
2'2'

yx
zz

Hình chiếu của D xuống mp 0xy là D’:
1)1(
22
 yx




'
2'2'
)()(1
D
yx
dxdyzzS



6

=

'
5
D
dxdy
=

5)'(5 DS (đvdt)
Bài 7: Tính tích phân sau:


V
dxdydzyxzI
22
với V là
miền giới hạn bởi
xyx 2

22

;
0

y
; z=0; z=a
Giải:
Hình chiếu của V xuống mp 0xy là D:
xyx 2
22

;
0

y

Chuyển sang hệ tọa độ trụ. Đặt
rJ
zz
ry
rx










||sin
cos



V

V’: 0

r

2cos

; 0



2

, 0

z

a


V
dxdydzyxzI
22

=

'
2
V
dzdrdzr


=

a
zdzdrrd
0
cos2
0
2
2
0



=
9
8
2
a


Bài 8: Tính tích phân sau:



V
dxdydzxzyI )cos(
trong đó V là miền giới hạn bởi
y=0; y=
x
; z=0; x+z=
2


Giải:


V
dxdydzxzyI )cos(

=



x
o
x
o
dzxzydydx
22
0
)cos(


=
x
x
xz
y
dx



2
00
2
2
0
|)sin(.|
2
.



=


2
0
2
)sin1(

dx
x

x
= )
8
(
2
1
2
J

với


2
0
sin

xdxxJ
=1
)1
8
(
2
1
2


I

Bài 9: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
zzyx 2

222

;
222
zyx 

Giải:

Ta có hệ:







222
222
2
zyx
zzyx



1;0022
2
 zzzz

Hình chiếu của V xuống mp 0xy là miền
D:

1
22
 yx

Chuyển sang hệ tọa độ trụ. Đặt
rJ
zz
ry
rx









||sin
cos



V

V’: 0



2


; 0

r

1; r

z

1+
2
1 r



V
dxdydzV
=

'V
drdzrd

=


2
111
0
2
0

r
r
dzrdrd



=


1
0
2
2
0
)11( drrrrd


= 2

.
2
1
=

(đvtt)

Cách khác: chuyển sang hệ tọa độ cầu
Đặt x=rcos

sin


; y=rsin

sin

; z=rcos

và |J|=r
2
sin


V

V’: 0



4

; 0



2

; 0

r


2cos




V
dxdydzV
=

'
2
sin
V
drddr


=




cos2
0
2
2
0
4
0
sin drrdd =


4
0
3
sincos
3
16


d
=
4
0
4
|cos
4
1
.
3
16



=



Bài 10: Tính thể tích của vật thể
năm trong mặt cầu
6
222

 zyx

và nằm trên parabol
22
yxz 

Giải:
Ta có hệ







22
222
6
yxz
zyx



2;36
2
 zzzz

Hình chiếu của V lên mp 0xy là miền D:
2
22

 yx

Chuyển sang hệ tọa độ trụ. Đặt x=rcos

; y=rsin

; z=z

|J|=r
V

V’: 0



2

; 0

r

2
;
2
r

z

2
6 r




2
2
62
0
2
0
r
r
V
dzrdrddxdydzV


=
)1166(
3
2


(đvtt)


7


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & TÍCH PHÂN MẶT

A. Tích phân đường loại 1

L
dsyxf ),(

- Nếu
L
: x=x(t); y=y(t);


t




L
dsyxf ),(
=
dttytxtytxf




22
))('())('())(),((

- Nếu
L
: y=y(x); a


x

b

L
dsyxf ),(
=
dxxyxyxf
b
a


2
))('(1))(,(


B. Tích phân đường loại 2


L
dyyxQdxyxP ),(),(

- Nếu
L
: x=x(t); y=y(t);


t





L
dyyxQdxyxP ),(),(

=


L
dttytytxQtxtytxP )]('))(),(()('))(),(([

- Nếu
L
: y=y(x); a

x

b


L
dyyxQdxyxP ),(),(

=


L
dxxyxyxQxyxP )]('))(,())(,([

- Công thức Green đối với đường cong kín
 






L D
dxdy
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP )(),(),(
- Tích phân không phụ thuộc vào đường nối 2 điểm mà chỉ phụ
thuộc vào 2 điểm đó
Nếu
y
P
x
Q





khi đó:




L
dyyxQdxyxP ),(),(

=


);(
);(
),(),(
bb
aa
yx
yx
dyyxQdxyxP =

);(
);(
)),((
bb
aa
yx
yx
yxd



Trong đó:
 


x
x
y
y
dyyxQdxyxPyx
0 0
),(),(),(
0


Hoặc
 

x
x
y
y
dyyxQdxyxPyx
0 0
),(),(),(
0


D. Ứng dụng của tích phân đường loại 2
Tính diện tích:


L
ydxxdyDS
2

1
)(


C. Tích phân mặt loại 1


S
dSzyxf ),,(

- Nếu mặt cong
S
có phương trình z=z(x,y)

S
dSzyxf ),,( =


D
yx
zzyxzyxf
2'2'
)()(1)),(,,(

D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng 0xy

D. Tích phân mặt loại 2: sinh viên tự soạn thêm nhé, chưa có
thời gian đề cập

E. Một số bài tập mẫu

Bài 1: Tính tích phân đường:


L
xydsI
trong đó
L
là elip
1
4
2
2
 y
x
nằm trong góc
phần tư thứ nhất
Giải:
Đặt
]
2
,0[;
cos'
sin2'
sin
cos2














t
ty
tx
ty
tx



L
xydsI

=


2
0
22
cossin4sincos2

dttttt

=


2
0
2
.1sin3cossin2

dtttt

=


2
0
2
2
1
2
)1sin3()1sin3(
3
1

tdt

=
2
0
2
3

2
|)1sin3(
9
2

t =
9
14


Bài 2: Tính

L
dsx
2
dọc theo đường cong là giao của 2 mặt
phẳng x-y+z =0 và x+y+2z =0 từ gốc 0 đến điểm (3,1,-2)
Giải:
d: x-3y =0 là giao tuyến của 2mp khi đó
L
: y=
3
1
x; 0

x

3

L

dsx
2
=
dxxyx


3
0
22
))('(1

=

3
0
2
3
10
dxx
=
3
0
3
|
9
10
x =
103

8
Bài 3: Tính


L
dsyx )(

với
L
là nửa đường tròn
2
xaxy 

Giải
Ta có:
2
xaxy 

1)
2
()
2
2
(
22


a
y
a

a
x

Đặt









t
a
y
t
a
x
sin
2
)cos1(
2












t
a
y
t
a
x
cos
2
'
sin
2
'
; với 0

t





L
dsyx )(

=
dttytxt
a

t
a



0
22
)(')('(]sin
2
)cos1(
2
[

=



0
2
)sincos1(
4
dttt
a
=

0
2
|)cossin(
4
ttt

a

= )11(
4
2


a
= )2(
4
2


a


Bài 4: Tính
dyyxdxyx
L
)34()(2
22


trong đó
L
là đường gấp khúc 0AB với 0(0,0);
A(1,1); B(2,0)
Giải:

QdyPdx

L


= QdyPdx
OA


+
QdyPdx
AB



Trong đó OA: y=x; OB: y=2-x
QdyPdx
OA


=


1
0
22
)]34()(2[ dxxxxx

=


1

0
2
)38( dxxx
=
1
0
23
|)
2
3
3
8
( xx  =
2
3
3
8
 =
6
25


QdyPdx
AB


=


2

1
22
)]3)2(4())2((2[ dxxxxx

=


2
1
2
)8198( dxxx
=
2
1
23
|)8
2
19
3
8
( xxx 
=
6
11



dyyxdxyx
L
)34()(2

22


=
6
25
6
11

=
3
7




Bài 5: Tính
dyyadxya
L
)()2( 


Với
L
:






)cos1(
)sin(
tay
ttax
từ điểm O(0,0) đến A(2

a,0)
Giải:
Ta tính x’ = a(1-cost); y’ =asint
Nhận thấy f(t)=t –sint đồng biến nên
Với 0

x

2

a

0

t-sint

2


f(0)

f(t)

f(2


)

0

t

2


dyyadxya
L
)()2( 


=



2
0
2
]sincos)cos1)(cos1[( dttttta
=



2
0
2

)2sin2cos1(
2
dttt
a

=

2
0
2
|)2cos
2
1
2sin
2
1
(
2
ttt
a
 = )
2
1
2
1
2(
2
2



a
=
2

a

Bài 6: Tính


L
dyxxydx
2
2
với
L
là biên miền D giới hạn
bởi
xyxy  ;
2
lấy theo chiều dương. Tính diện tích miền D
Giải:
- p dụng công thức Green đối với đường cong kín


L
dyxxydx
2
2
= dxdy
y

P
x
Q
D






)(
=


x
x
dyxxdx
2
)22(
1
0
=


1
0
2
)(4 dxxxx
=
3

1


b. Ta có công thức:


L
ydxxdyDS
2
1
)(
=






D
dxdy
y
P
x
Q
)(
2
1

=



D
dxdy))1(1(
2
1
=

x
x
dydx
2
1
0
=


1
0
2
)( dxxx
=
6
1
(dvdt)
Bài 7: Tính



)1,3(
)1,1(

2
)(
)2(
yx
ydydxyx

Giải:
Nhận thấy
3
)2(
2








x
y
y
P
x
Q
Chọn điểm (1,0) cố đònh:
 


x

y
dy
yx
y
dx
x
yx
1 0
2
)(
1
),(


=
1)ln( 


yx
x
yx




)1,3(
)1,1(
2
)(
)2(

yx
ydydxyx

=

)1,3(
)1,1(
)),(( yxd

=
)1,3
)1,1(
|),( yx

=
4
1
2ln 

9


CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

A. Phương trình vi phân cấp 1
1. Phương trình với biến số phân ly
M(x)dx+N(y)dy=0
Cách giải: tích phân 2 về
2. Phương trình thuần nhất:
),( yxf

dx
dy


Hàm f(x,y) được gọi là thuần nhất nếu:
),(),( yxfyxf
n



Cách giải:
Đặt
x
y
u 

y=u.x

dx
du
xu
dx
dy
 thay vào phương trình
ta có:
)(uf
dx
du
xu 


uuf
dx
du
x  )( : Phương trình với biến số phân ly
3. Phương trình tuyến tính cấp một: y’ +P(x)y=Q(x)
B1: Giải pt thuần nhất y’ +P(x)y =0
Phương trình có nghiệm tổng quát là:


 dxxP
Cey
)(

y =0 cũng là nghiệm của pttt thuần nhất ứng với C=0
B2: Giải phương trình tuyến tính cấp một: y’ +P(x)y=Q(x)
Ta có nghiệm tổng quát:



 ))((
)(
CdxexQyy
dxxP


B. Phương trình vi phân cấp 2
Trong chương trình này chỉ trình bày phương pháp giải phương
trình vi phân cấp 2 với hệ số không đổi

y’’+py’+q=f(x) (1)
B1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất y’’+py’+q=0 (2)
- Giải phương trình đa thức đặc trưng:
0
2
 qpkk
(3)
 TH: pt (3) có 2 nghiệm
21
, kk


Pt (2) có nghiệm tổng quát:
xkxk
eCeCy
21
21


 TH: pt (3) có nghiệm kép k

Pt (2) có nghiệm tổng quát:
kxkx
xeCeCy
21


 TH: pt (3) có 2 nghiệm phức
bia



Pt (2) có nghiệm tổng quát:
bxeCbxeCy
axax
sincos
21


B2: Giải tìm nghiệm riêng Y của phương trình tuyến tính không
thuần nhất: y’’+py’+q=f(x)
- Xét trường hợp
)()( xPexf
n
x



 TH:

là không là nghiệm của pt (3)


)(xQeY
n
x



 TH:


là nghiệm đơn của pt (3)



)(xQxeY
n
x


 TH:

là nghiệm bội của pt (3)


)(
2
xQexY
n
x



Tìm Y’ và Y’’. Sau đó thay ngược vào pt(1), đồng nhất hệ số để
tìm
)(xQ
n

- Xét trường hợp:
)sin)(cos)(()( xxQxxPexf

n
x




 TH: i



không là nghiệm phức của pt (3)


)sin)(cos)(( xxVxxUeY
ll
x




 TH:
i



là nghiệm phức của pt (3)


)sin)(cos)(( xxVxxUxeY
ll

x




Với
},max{ mnl


Tìm Y’ và Y’’. Sau đó thay ngược vào pt(1), đồng nhất hệ số để
tìm )(xU
l
, )(xU
l

Suy ra nghiệm của phương trình tổng quát (1):
Yyy 


C. Bài tập mẫu

Bài 1: Giải phương trình:
01'
2
yxy

(1)

Giải:
(1)


1
2
 y
dx
dy
x

dxyxdy )1(
2


TH:
0)1(
2
yx

x=0;
1


y
là nghiệm của pt
TH:
0)1(
2
yx
. Chia 2 vế của pt(1) cho
)1(
2

yx

dxyxdy )1(
2


x
dx
y
dy

1
2

Tích phân 2 vế ta có:
2
1
2
ln
1
C
x
dx
y
dy




2

1
ln||ln|
1
1
|ln
2
1
Cx
y
y




2
ln|
1
1
|ln Cx
y
y




2
1
1
Cx
y

y




2
2
1
1
Cx
Cx
y




Vây pt có nghiệm tổng quát:
2
2
1
1
Cx
Cx
y



;
1



y


Bài 2: Giải phương trình:
'.'
22
yxyyxy 

(2)

Giải:
(2)


22
')( yyxxy 

TH: x =0

y =0 là nghiệm phương trinh
TH: y=x không là nghiệm phương trình
TH:
0
2
 xxy
. Chia 2 vế cho
2
xxy 
ta có:

22
')( yyxxy 

2
2
'
xxy
y
y


: hàm thuần nhất

10


1
)(
2


x
y
x
y
dx
dy
. Đặt
uxy
x

y
u 

dx
du
xu
dx
dy


thay vào phương trình ta có:
1
2


u
u
dx
du
xu

udxduux


)1(

TH: u =0

y =0 là nghiệm pt
TH: u


0. Chia 2 vế cho ux ta có:
dx
x
du
u
u 11



Tích phân 2 vế ta có: Cdx
x
du
u
ln
1
)
1
1( 



Cxuu ln||ln||ln





Cx
x

y
x
y
ln||ln||ln 

Cy
x
y
ln||ln 

C
x
y
y ln||ln 


C
x
y
y ln||ln 

x
y
C
x
y
Ceey 
ln

Vậy pt có nghiệm tổng quát:

x
y
Cey 
; y =0 ứng với C=0

Bài 3: Giải phương trình:
xy
x
y 3
1
' 

Giải:
Ta có: P(x)=
x
1
; Q(x)=3x
Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất
0
1
'  y
x
y
có dạng:







dx
x
dxxP
eey
1
)(
=
x
e
ln
=
x
1


Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần
nhất có dạng:
))((
)(
CdxexQyy
dxxP




=
).3(
1
1
Cdxex

x
dx
x




=
).3(
1
ln
Cdxex
x
x


=
)3(
1
2
Cdxx
x


=
)(
1
3
Cx
x




Bài 4: Giải phương trình:
xeyyy
x
2sin8'4''
2


(1)

Giải:
- Tìm nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất:
08'4''



yyy

Xét pt đa thức đặc trưng:
084
2
 kk







ik
ik
22
22
2
1


Nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất có dạng:

xeCxeCy
xx
2sin2cos
2
2
2
1


- Tìm nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất:


x
eyyy
2
8'4'' 
(2)

Xét
x

exf
2
)( 

2


; P(x)=1
Do 2 không là nghiệm của pt đa thức đặc trưng, bậc P(x)=0 nên
nghiệm riêng có dạng:
AeY
x2
1


AeY
x2'
1
2
;
AeY
x2''
1
4

Thay vào pt(2) ta có:
xx
eAe
22
4 


4
1
A


x
eY
2
1
4
1


- Tìm nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất:
xyyy 2sin8'4''




(3)

Xét
)2sin.12cos0(2sin)(
0
xxexxf
x




0


; 2


; P(x) =0 và Q(x) =1
Do
i20

không là nghiệm phức của pt đa thức đặc trưng, bậc
của P(x) và Q(x) bằng 1 nên nghiệm riêng có dạng:
xBxAY 2sin2cos
2



xBxAY 2cos22sin2
'
2



xBxAY 2sin42cos4
''
2


Thay vào pt(3) ta có:
xxBAxBA 2sin2sin)48(2cos)84(






Đồng nhất hệ số ta có:















20
1
10
1
148
084
B
A
BA

BA



xxY 2sin
20
1
2cos
10
1
2


Vậy nghiệm tổng quát của PTTT không thuần nhất là:
11
YYyy 

=
xeCxeC
xx
2sin2cos
2
2
2
1

+
+
x
e

2
4
1
+ xx 2sin
20
1
2cos
10
1















11


MỘT SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC CẦN THƠ
TỪ NĂM 2006 ĐẾN 2011

Đề thi năm 2006
Câu 1: Tính tích phân:
 


2
0
4
0
2
2
)4(
y
dxdyxI

Câu 2: Tính tích phân đường:


L
xydsI
với
L
là đường
giao tuyến của các mặt
22
22 yxz 
và
2
xz 
từ điểm

A(0,1,0) đến B(1,0,1)
Câu 3: Tìm cực trò của hàm số sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y)
với D ={(x,y): 0

x

2
3

;0

y

2
3

}
Câu 4: Viết nghiệm tổng quát của phương trình:
a.
)102(24'4''
22
 xxeyyy
x

b.
0)(
22
 ydydxxyx

Đề thi năm 2007

Câu 1: Cho miền V giới nội bởi các mặt z=0; y=z; y=x
2
; y=1
a. Biểu diễn miền V
b. Tính thể tích miền V
c. Tính


V
dxdydzyx )(
Câu 2: Tính tích phân đường


L
dyxyydxyxI )4(ln)22(
22
với
L
là đường nối 2
điểm A(-1,1); B(4,e)
Câu 3: Tìm cực trò của hàm số f(x,y)=(x-2)lnxy
Câu 4: Tìm nghiệm tổng quát của pt:
)5(9'6''
22
 xeyyy
x

Đề thi năm 2008
Câu 1: Tính tích phân đường dọc theo
21

CCC 



C
dyxyydxyxI )8(ln)44(
22
trong đó:
},21:),{(
2
1
xyxyxC 
và
}28,42:),{(
2
xyxyxC 

Câu 2: Cho miền D giới hạn bởi
2
4 yx 
; x=0; -1

x

1
a. Biểu diễn miền D
b, Tính diện tích miền D
c. Tính

D

xydxdy

Câu 3: Tìm cực trò hàm số sau:
102104),(
23
 yxyxyxf

Câu 4: Tìm nghiệm của pt sau:
)54('4''5
22
 xxeyyy
x


Thỏa mãn điều kiện y(0)=5; y’(0)=10

Đề thi năm 2009
Câu 1: Tính tích phân đường với C là một chu tuyến bất kỳ:


C
ydyxdxyxI ))((
22

Câu 2: Cho miền D giới nội bởi:
)(2)(
222222
yxayx 

a. Tính diện tích miền D

b. Tính

D
xydxdy

Câu 3: Tìm cực trò của hàm số:
53),(
33
 xyyxyxf


Câu 4: Tìm nghiệm của pt sau:
533'4''
2
 xxyyy

Đề thi năm 2010
Câu 1: Tính tích phân đường dọc theo C là các cạnh của tam
giác nối các đỉnh O(0,0); A(2,0); B(0,2)


C
xdyydxyxI )(
2

Câu 2: Cho miền D giới nội bởi:
}4:),{(
2222

 yxyxD

a. Biểu diễn hình học miền D
b. Tính


D
dxdyyxI
22
sin

Câu 3: Tìm cực trò của hàm số:
53),(
22
 xyyxyxf

Câu 4: Viết nghiệm tổng quát của pt:
xyxxy



)21('

Đề thi năm 2011 (đợt 1)
Câu 1: Cho hàm f(x,y)=x+y-xy và tập
}2;10:),{(
2
yyxyyyxD 

a. Tìm GTLN, GTNN của hàm f trên miền D
b. Tính


D
dxdyyxf ),(

Câu 2: Tính tích phân đường:




)2,3(
)1,2(
])1()1[( dyyxdxyxeI
yx

Câu 3: a. Giải pt vi phân sau:
2
2
'
xxy
y
y



b. GPT vi phân sau:
0)
3
()
2
(

22
 dy
y
xdx
x
y

Đề thi năm 2011 (đợt 2)
Câu 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm
)(2
),(
yx
yexyxf


trên
miền D đóng và bò chặn bởi x

0; y

0 và x+y

4
12

Câu 2: Tính thể tích vật thể nằm trong mặt cầu
4
222
 zyx
và trong mặt trụ

yyx 2
22


Câu 3: Tính tích phân đường


)(OmAn
dxdy
x
y
arctg

Trong đó O(0,0); A(1,1); OmA:
2
xy 
; OnA:y=x
Câu 4: a. GPT vi phân:
0)ln1(ln



dyyxydxy

b. Tìm nghiệm tổng quát của pt:
22
)
2
cos
2

(sin2'3''
xx
xeyyy
x

Đề thi năm 2011 (đợt 2)
Câu 1: Tìm cực trò hàm ẩn z=z(x,y) xác đònh bởi phương trình
011642
222
 zyxzyx

Câu 2: Tính thể tích vật thể nằm trên mp 0xy và giới hạn bởi
mặt parabolid
22
yxz 
và mặt trụ
222
ayx 
(a>0)
Câu 3: Tính tích phân mặt sau:
dxdyzyxydzdxzyxdydzxz
S
)2()(
2322



Với S là nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt
2222
azyx 

(a>0) và z=0
Câu 4: a. GPT:
0)
3
()
2
(
22
 dy
y
xdx
x
y
; y(1)=1
b. Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình:
)(2'3''
2 xx
eexyyy



Hướng dẫn:
Đề thi năm 2006
Câu 1:
 


2
0
4

0
2
2
)4(
y
dxdyxI =
 


2
0
4
0
2
2
)4(
y
dxxdy
=


2
0
22
4)8(
3
1
dyyy
ty sin2




2
0
22
cos)2(sin
3
16

tdtt





2
0
2
2cos1
)2
2
2cos1
(
3
16

dt
tt
=


3

Câu 2: Giao tuyến có dạng:
1
22
 yx

2
1 xy 


2
1
'
x
x
y




2'
)(1
x
y =
2
1
1
x



L
xydsI
=


1
0
2'2
)(1.1 dxyxx
x
=

1
0
xdx
=
2
1


Câu 3: Bài 4 chương 1
Câu 4: a. Nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất:
xx
xeCeCy
2
2
2
1




Nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất có dạng:
)(
22
CBxAxeY
x


)2)22(2('
22
CBxBAAxeY
x

)442)48(4(''
22
CBAxBAAxeY
x

Thay vào PT đồng nhất hệ số ta có
64
75
;
8
1
;
8
1
 CBA

Viết nghiệm tổng quát của phương trình:
y=
xx
xeCeC
2
2
2
1


+
)
64
75
8
1
8
1
(
22
 xxe
x

b.
0)(
22
 ydydxxyx

Đề thi năm 2007
Câu 1:

b.


V
dxdydzV
=
  

1
1
1
0
2
x
y
dzdydx

=
 

1
1
1
2
x
ydydx
=




1
1
4
)1(
2
1
dxx

=
5
4
(đvtt)
c.


V
dxdydzyx )(

=
  


1
1
1
0
2
)(
x
y

dzyxdydx
=
7
4


Câu 2: nhận thấy y
y
P
x
Q
4






Chọn (0,1) làm điểm cố đònh
),( yx

=


y
x
dyxyydxx
10
2
)4(ln)22(

=
12ln
3
2
23
 xyyyyx

),4(
)1,1(
|),(
e
yxL



=
2
8
3
127
e

Câu 4: Nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất:
xx
xeCeCy
3
2
3
1



Nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất có dạng:
)(
22
CBxAxeY
x


)2)22(2('
22
CBxBAAxeY
x


)442)48(4(''
22
CBAxBAAxeY
x


Thay vào PT đồng nhất hệ số ta có 11;4;1



CBA
Viết nghiệm tổng quát của phương trình:
y=
xx
xeCeC

3
2
3
1

+
)114(
22
 xxe
x

Đề thi năm 2008
Câu 1:
Câu 2:
b, Tính diện tích miền D
13




D
dxdyS
=
 


1
1
4
0

2
y
dxdy

=



1
1
)2
4( dyy
=
3
22
(đvdt)
c.

D
xydxdy
=
 


1
1
4
0
2
y

xydxdy



1
1
535
)8(
2
1
dyyyy
=0
Câu 3: Hàm số có 2 điểm dừng O(0,0) và
)
24
125
;
12
25
(M

Không đạt cực trò tại O và đạt cực tiểu tại M;
432
6985

CT
f

Câu 4: Nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất:
x

x
eCeCy
5
1
21



Nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất có dạng:
)(
22
CBxAxeY
x


)2)22(2('
22
CBxBAAxeY
x


)442)48(4(''
22
CBAxBAAxeY
x


Thay vào PT đồng nhất hệ số ta có
1331
1711

;
121
76
;
11
1


 CBA

Viết nghiệm tổng quát của phương trình:
x
x
eCeCy
5
1
21


+ )
1331
1711
121
76
11
1
(
22
 xxe
x

Do
3993
14450
;
363
2662
10)0('
5)0(
21







CC
y
y

Đề thi năm 2009
Câu 1:
Câu 2:
Chuyển sang hệ tọa độ cực ta có

2cos2
22
ar 

D

D’: 0

r


2cos2a
; 0



4


a.
 

4
0
2cos2
0
4



a
rdrdS
=


4
0
2
2cos4


da

=
4
0
2
|2sin2


a =
2
2a
(đvdt)
b.

D
xydxdy
=
 
4
0
2cos2
0
3

sincos4



a
drrd

=

4
0
24
2sin2cos2


da
=
4
0
3
4
|2cos
3


a
 =
3
4
a

Câu 3: Hàm số có 2 điểm dừng O(0,0) và M(-1,-1) trong đó
hàm số không đạt cực trò tại O và đạt cực đại tại M;
6
CD
f


Câu 4:
27
107
9
17
3
1
23
21
 xxeCeCy
xx

Đề thi năm 2010
Câu 1: p dụng ct Green:







D

dxdy
y
P
x
Q
I )(
=
 


2
0
2
0
2
15
8
x
ydyxdx

Câu 2:
b.


D
dxdyyxI
22
sin
=
 

 


2
0
2
.sin rdrrd

=




2
sin2 rdrr
=
]cos|cos[2
2
2







rdrrr

=
]|sin3[2

2



r
=
)3(2



=
2
6



Câu 4: Viết nghiệm tổng quát của pt:
xyxxy



)21('

TH: x=0

y=0 là nghiệm của pt
TH: x

0. Chia 2 vế pt cho x ta có:
1

21
' 


x
x
y
dạng
y’+P(x)y=Q(x)
Nghiệm tổng quát:
)
4
1
2
1
(
1
222
Cexee
x
y
xxx





Đề thi năm 2011 (đợt 1)
Câu 1: a. Maxf=1 tại (1,1), Minf=0 tại (0,0)
b.


D
dxdyyxf ),(
=
 


1
0
2
2
)(
yy
y
dxxyyxdy

=


1
0
223
)23( dyyyyyyy

=



1
0

2
2
4
1
dyyyy

cos22 

y
12
7
4



Câu 2:




)2,3(
)1,2(
])1()1[( dyyxdxyxeI
yx

=
)2,3(
)1,2(
|),(


yx

=
)2,3(
)1,2(
|)(


 yxe
yx
=
3
5

 ee

Câu 3: a. bài 2 chương 4
b. Nhận thấy
1





y
P
x
Q

0)),(()

3
()
2
(
22
 yxddy
y
xdx
x
y



0)2
32
( 

xy
yx
d

Cxy
yx


2
32

Đề thi năm 2011 (đợt 2)
Câu 1: Maxf=

3
4

e
tại (2,1); Minf=0 tại các điểm còn lại trừ
điểm
)
3
4
,
3
8
(


14
Câu 2:
 

2
0
sin2
0
2
.44



drrrdV

=
)
3
2
2
(
3
32


(đvtt)
Câu 3: Áp dụng ct
Green:


)(OmAn
dxdy
x
y
arctg
=
3
4
3



Câu 4:
)2
2

1
(
222
21
xxeeCeCy
xxx


]sin)1
2
1
(cos)1
2
1
[(
2
xxxxe
x



Đề thi năm 2012 (đợt 1)
Câu 1:
Câu 2:
2
),(
4
'
3



a
drdrdxdyyxzV
DD


(đvtt)
Câu 3:










V
dxdydz
z
R
y
Q
x
P
I )(

=



V
dxdydzyxz )(
222
=

a
drrdd
0
4
2
0
2
0
sin




=
a
r
0
5
2
0
2
0
|
5

.|.|cos



 =
5
2
5
a


Câu 4:
a. vi phân toàn phần
Chọn (1,1) làm điểm cố đònh ta có


y
x
dy
y
xdx
x
yx
1
2
1
2
)
3
()

2
1(),(


= 2
32
|)
3
(|)
2
(
11

yx
xy
y
xy
x
x
yx


Cdy
y
xdx
x
y 

)
3

()
2
(
22

CyxCyxd 

),()),((


C
yx
xy  2
32
mà y(1)=1 nên C=0
Nghiệm tổng quát: 02
32

yx
xy
b. Nghiệm tổng quát:
)
2
1
()
2
1
(
2222
21

xxexxeeCeCy
xxxx



15