Tải bản đầy đủ (.pdf) (291 trang)

giáo trình đại số tuyến tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.17 MB, 291 trang )

MU
.
C LU
.
C
Mu
.
c lu
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
L`o
.
i n´oi d¯ˆa
`
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
.
o
.
ng 0: Kiˆe
´
n th´u
.
c chuˆa

n bi
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§1. Tˆa
.
p ho


.
.
p 7
§2. Quan hˆe
.
v`a
´
Anh xa
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§3. Lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng cu

a tˆa
.
p ho
.
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§4. Nh´om, V`anh v`a Tru
.
`o
.

ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§5. Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§6. Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§7. D
-
a th´u
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chu
.

o
.
ng I: Khˆong gian v´ecto
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Kh´ai niˆe
.
m khˆong gian v´ecto
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2. D
-
ˆo
.
c lˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh v`a phu
.
thuˆo
.
c tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§3. Co
.
so
.


v`a sˆo
´
chiˆe
`
u cu

a khˆong gian v´ecto
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§4. Khˆong gian con - Ha
.
ng cu

a mˆo
.
t hˆe
.
v´ecto
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§5. Tˆo

ng v`a tˆo

ng tru
.
.
c tiˆe
´
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

§6. Khˆong gian thu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chu
.
o
.
ng II: Ma trˆa
.
n v`a
´
Anh xa
.
tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§1. Ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§2.
´
Anh xa
.
tuyˆe
´

n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§3. Ha
.
t nhˆan v`a a

nh cu

a d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§4. Khˆong gian v´ecto
.
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1
Chu
.
o
.
ng III: D
-
i

.
nh th´u
.
c v`a hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§1. C´ac ph´ep thˆe
´
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§2. D
-
i
.
nh th´u
.
c cu

a ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§3.
´
Anh xa
.

d¯a tuyˆe
´
n t´ınh thay phiˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§4. D
-
i
.
nh th´u
.
c cu

a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§5. C´ac t´ınh chˆa
´
t sˆau ho
.
n cu

a d¯i
.
nh th´u
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

§6. D
-
i
.
nh th´u
.
c v`a ha
.
ng cu

a ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§7. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh - Quy t˘a
´
c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§8. Hˆe
.
phu
.
o
.

ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh - Phu
.
o
.
ng ph´ap khu
.

Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139
§9. Cˆa
´
u tr´uc nghiˆe
.
m cu

a hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Chu
.

o
.
ng IV: Cˆa
´
u tr´uc cu

a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§1. V´ecto
.
riˆeng v`a gi´a tri
.
riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§2. Khˆong gian con ˆo

n d¯i
.
nh cu

a c´ac tu
.
.
d¯ˆo
`

ng cˆa
´
u thu
.
.
c v`a ph´u
.
c . . . . . . . . . . . 161
§3. Tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u ch´eo ho´a d¯u
.
o
.
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§4. Tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u lu˜y linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§5. Ma trˆa

.
n chuˆa

n Jordan cu

a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Chu
.
o
.
ng V: Khˆong gian v´ecto
.
Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§1. Khˆong gian v´ecto
.
Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§2.
´
Anh xa
.

tru
.
.
c giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§3. Ph´ep biˆe
´
n d¯ˆo

i liˆen ho
.
.
p v`a ph´ep biˆe
´
n d¯ˆo

i d¯ˆo
´
i x´u
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
§4. V`ai n´et vˆe
`
khˆong gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Chu
.
o
.

ng VI: Da
.
ng song tuyˆe
´
n t´ınh v`a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§1. Kh´ai niˆe
.
m da
.
ng song tuyˆe
´
n t´ınh v`a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . 234
§2. D
-
u
.
a da
.

ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 237
2
§3. Ha
.
ng v`a ha
.
ch cu

a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
§4. Chı

sˆo
´
qu´an t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

§5. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng x´ac d¯i
.
nh dˆa
´
u 252
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Chu
.
o
.
ng VII: D
-
a
.
i sˆo
´
d¯a tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§1. T´ıch tenxo
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

§2. C´ac t´ınh chˆa
´
t co
.
ba

n cu

a t´ıch tenxo
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
§3. D
-
a
.
i sˆo
´
tenxo
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
§4. D
-
a
.
i sˆo
´
d¯ˆo
´
i x´u
.

ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§5. D
-
a
.
i sˆo
´
ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
T`ai liˆe
.
u tham kha

o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
3
L
`
O
.
I N
´
OI D
-
ˆ
A
`
U
Theo d`ong li

.
ch su
.

, mˆon D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh kho
.

i d¯ˆa
`
u v´o
.
i viˆe
.
c gia

i v`a biˆe
.
n luˆa
.
n
c´ac hˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh. Vˆe
`
sau, d¯ˆe

c´o thˆe

hiˆe

u thˆa
´
u d¯´ao cˆa
´
u tr´uc cu

a tˆa
.
p
nghiˆe
.
m v`a d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯ˆe


mˆo
.
t hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh c´o nghiˆe
.
m, ngu
.
`o
.
i ta xˆay
du
.
.
ng nh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
m tr`u
.
u tu
.
o

.
.
ng ho
.
n nhu
.
khˆong gian v´ecto
.
v`a ´anh xa
.
tuyˆe
´
n t´ınh.
Ngu
.
`o
.
i ta c˜ung c´o nhu cˆa
`
u kha

o s´at c´ac khˆong gian v´o
.
i nhiˆe
`
u thuˆo
.
c t´ınh h`ınh ho
.
c

ho
.
n, trong d¯´o c´o thˆe

d¯o d¯ˆo
.
d`ai cu

a v´ecto
.
v`a g´oc gi˜u
.
a hai v´ecto
.
. Xa ho
.
n, hu
.
´o
.
ng
nghiˆen c´u
.
u n`ay dˆa
˜
n t´o
.
i b`ai to´an phˆan loa
.
i c´ac da

.
ng to`an phu
.
o
.
ng, v`a tˆo

ng qu´at ho
.
n
phˆan loa
.
i c´ac tenxo
.
, du
.
´o
.
i t´ac d¯ˆo
.
ng cu

a mˆo
.
t nh´om cˆa
´
u tr´uc n`ao d¯´o.
Ng`ay nay, D
-
a

.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh d¯u
.
o
.
.
c ´u
.
ng du
.
ng v`ao h`ang loa
.
t l˜ınh vu
.
.
c kh´ac nhau,
t`u
.
Gia

i t´ıch t´o
.
i H`ınh ho
.
c vi phˆan v`a L´y thuyˆe
´

t biˆe

u diˆe
˜
n nh´om, t`u
.
Co
.
ho
.
c, Vˆa
.
t l´y
t´o
.
i K˜y thuˆa
.
t V`ı thˆe
´
, n´o d¯˜a tro
.

th`anh mˆo
.
t mˆon ho
.
c co
.
so
.


cho viˆe
.
c d¯`ao ta
.
o c´ac
gi´ao viˆen trung ho
.
c, c´ac chuyˆen gia bˆa
.
c d¯a
.
i ho
.
c v`a trˆen d¯a
.
i ho
.
c thuˆo
.
c c´ac chuyˆen
ng`anh khoa ho
.
c co
.
ba

n v`a cˆong nghˆe
.
trong tˆa

´
t ca

c´ac tru
.
`o
.
ng d¯a
.
i ho
.
c.
D
-
˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo
´
n s´ach vˆe
`
D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh d¯u
.
o
.

.
c xuˆa
´
t ba

n trˆen to`an thˆe
´
gi´o
.
i. Ch´ung tˆoi nhˆa
.
n thˆa
´
y c´o hai khuynh hu
.
´o
.
ng chu

yˆe
´
u trong viˆe
.
c tr`ınh b`ay mˆon
ho
.
c n`ay.
Khuynh hu
.
´o

.
ng th´u
.
nhˆa
´
t b˘a
´
t d¯ˆa
`
u v´o
.
i c´ac kh´ai niˆe
.
m ma trˆa
.
n, d¯i
.
nh th´u
.
c v`a hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh, rˆo
`
i d¯i t´o

.
i c´ac kh´ai niˆe
.
m tr`u
.
u tu
.
o
.
.
ng ho
.
n nhu
.
khˆong gian
v´ecto
.
v`a ´anh xa
.
tuyˆe
´
n t´ınh. Khuynh hu
.
´o
.
ng n`ay dˆe
˜
tiˆe
´
p thu. Nhu

.
ng n´o khˆong cho
ph´ep tr`ınh b`ay l´y thuyˆe
´
t vˆe
`
d¯i
.
nh th´u
.
c v`a hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh b˘a
`
ng mˆo
.
t
ngˆon ng˜u
.
cˆo d¯o
.
ng v`a d¯e
.
p d¯˜e.

Khuynh hu
.
´o
.
ng th´u
.
hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe
.
m khˆong gian v´ecto
.
v`a ´anh xa
.
tuyˆe
´
n t´ınh tru
.
´o
.
c, rˆo
`
i ´ap du
.
ng v`ao kha

o s´at d¯i
.
nh th´u
.
c v`a hˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n
t´ınh. U
.
u d¯iˆe

m cu

a phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay l`a d¯ˆe
`
cao ve

d¯e
.
p trong t´ınh nhˆa
´
t qu´an vˆe
`
cˆa
´
u

tr´uc cu

a c´ac d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng d¯u
.
o
.
.
c kha

o s´at. Nhu
.
o
.
.
c d¯iˆe

m cu

a n´o l`a khi x´et t´ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p

4
tuyˆe
´
n t´ınh v`a phu
.
thuˆo
.
c tuyˆe
´
n t´ınh, thˆa
.
t ra ngu
.
`o
.
i ta d¯˜a pha

i d¯ˆo
´
i m˘a
.
t v´o
.
i viˆe
.
c gia

i
hˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh.
C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ung c´o c´ai l´y cu

a n´o. Theo kinh nghiˆe
.
m cu

a ch´ung tˆoi th`ı
nˆen cho
.
n c´ach tr`ınh b`ay th´u
.
hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha

n˘ang tu
.
duy tr`u
.
u tu
.
o
.
.
ng

tˆo
´
t ho
.
n v`a c´o mu
.
c d¯´ıch hu
.
´o
.
ng t´o
.
i mˆo
.
t m˘a
.
t b˘a
`
ng kiˆe
´
n th´u
.
c cao ho
.
n vˆe
`
to´an.
Cuˆo
´
n s´ach n`ay d¯u

.
o
.
.
c ch´ung tˆoi biˆen soa
.
n nh˘a
`
m mu
.
c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ach
tham kha

o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho
.
c v`a nghiˆen c´u
.
u sinh c´ac ng`anh khoa ho
.
c
tu
.
.
nhiˆen v`a cˆong nghˆe
.
cu

a c´ac tru
.
`o

.
ng d¯a
.
i ho
.
c khoa ho
.
c tu
.
.
nhiˆen, d¯a
.
i ho
.
c su
.
pha
.
m
v`a d¯a
.
i ho
.
c k˜y thuˆa
.
t. Cuˆo
´
n s´ach d¯u
.
o

.
.
c viˆe
´
t trˆen co
.
so
.

c´ac b`ai gia

ng vˆe
`
D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n
t´ınh cu

a tˆoi trong nhiˆe
`
u n˘am cho sinh viˆen mˆo
.
t sˆo
´

khoa cu

a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
i ho
.
c Tˆo

ng
ho
.
.
p (nay l`a D
-
a
.
i ho
.
c khoa ho
.
c Tu
.
.
nhiˆen) H`a Nˆo

.
i v`a cu

a mˆo
.
t sˆo
´
tru
.
`o
.
ng d¯a
.
i ho
.
c su
.
pha
.
m. D
-
˘a
.
c biˆe
.
t, tˆoi d¯˜a gia

ng gi´ao tr`ınh n`ay trong 3 n˘am ho
.
c 1997-1998, 1998-1999,

1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co
.
, L´y, Ho´a, Sinh, D
-
i
.
a chˆa
´
t, Kh´ı tu
.
o
.
.
ng
thuy

v˘an cu

a Chu
.
o
.
ng tr`ınh d¯`ao ta
.
o Cu
.

nhˆan khoa ho
.
c t`ai n˘ang, D

-
a
.
i ho
.
c khoa
ho
.
c Tu
.
.
nhiˆen H`a Nˆo
.
i.
Ch´ung tˆoi cho
.
n khuynh hu
.
´o
.
ng th´u
.
hai trong hai khuynh hu
.
´o
.
ng tr`ınh b`ay d¯˜a
n´oi o
.


trˆen. Tˆa
´
t nhiˆen, v´o
.
i d¯ˆoi ch´ut thay d¯ˆo

i, cuˆo
´
n s´ach n`ay c´o thˆe

d`ung d¯ˆe

gia

ng
D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh theo khuynh hu
.
´o
.
ng tr`ınh b`ay th´u
.
nhˆa

´
t.
Tu
.
tu
.
o
.

ng cˆa
´
u tr´uc d¯u
.
o
.
.
c ch´ung tˆoi nhˆa
´
n ma
.
nh nhu
.
mˆo
.
t ma
.
ch ch´ınh cu

a cuˆo
´

n
s´ach. Mˆo
˜
i d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng d¯ˆe
`
u d¯u
.
o
.
.
c nghiˆen c´u
.
u trong mˆo
´
i tu
.
o
.
ng quan v´o
.
i nh´om c´ac
ph´ep biˆe
´

n d¯ˆo

i ba

o to`an cˆa
´
u tr´uc cu

a d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng d¯´o: Kha

o s´at khˆong gian v´ecto
.
g˘a
´
n
liˆe
`
n v´o
.
i nh´om tuyˆe
´
n t´ınh tˆo


ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto
.
Euclid v`a khˆong
gian v´ecto
.
Euclid d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng g˘a
´
n liˆe
`
n v´o
.
i nh´om tru
.
.
c giao O(n) v`a nh´om tru
.
.
c giao
d¯˘a
.
c biˆe
.
t SO(n), khˆong gian Unita g˘a
´

n liˆe
`
n v´o
.
i nh´om unita U(n) Kˆe
´
t qua

phˆan
loa
.
i c´ac da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng phu
.
thuˆo
.
c c˘an ba

n v`ao viˆe
.
c qu´a tr`ınh phˆan loa
.
i d¯u
.
o

.
.
c
tiˆe
´
n h`anh du
.
´o
.
i t´ac d¯ˆo
.
ng cu

a nh´om n`ao (tuyˆe
´
n t´ınh tˆo

ng qu´at, tru
.
.
c giao ).
Theo kinh nghiˆe
.
m, ch´ung tˆoi khˆong thˆe

gia

ng hˆe
´
t nˆo

.
i dung cu

a cuˆo
´
n s´ach n`ay
trong mˆo
.
t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa

n vˆe
`
D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru
.
`o
.
ng d¯a
.
i
5
ho
.

c, ngay ca

d¯ˆo
´
i v´o
.
i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an. C´ac chu

d¯ˆe
`
vˆe
`
da
.
ng chuˆa

n t˘a
´
c
Jordan cu

a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u, da
.

ng ch´ınh t˘a
´
c cu

a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u tru
.
.
c giao, viˆe
.
c d¯u
.
a d¯ˆo
`
ng
th`o
.
i hai da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe

`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c, d¯a
.
i sˆo
´
tenxo
.
, d¯a
.
i sˆo
´
d¯ˆo
´
i x´u
.
ng v`a d¯a
.
i
sˆo
´
ngo`ai nˆen d`ung d¯ˆe

gia

ng chi tiˆe
´

t cho c´ac sinh viˆen cao ho
.
c v`a nghiˆen c´u
.
u sinh
c´ac ng`anh To´an, Co
.
ho
.
c v`a Vˆa
.
t l´y.
Ch´ung tˆoi cˆo
´
g˘a
´
ng b`ınh luˆa
.
n ´y ngh˜ıa cu

a c´ac kh´ai niˆe
.
m v`a u
.
u khuyˆe
´
t d¯iˆe

m
cu


a c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap d¯u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay. Cuˆo
´
i mˆo
˜
i chu
.
o
.
ng d¯ˆe
`
u c´o phˆa
`
n b`ai tˆa
.
p,
d¯u
.
o
.
.

c tuyˆe

n cho
.
n chu

yˆe
´
u t`u
.
cuˆo
´
n s´ach nˆo

i tiˆe
´
ng “B`ai tˆa
.
p D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh” cu

a
I. V. Proskuryakov. D

-
ˆe

n˘a
´
m v˜u
.
ng kiˆe
´
n th´u
.
c, d¯ˆo
.
c gia

nˆen d¯o
.
c rˆa
´
t k˜y phˆa
`
n l´y thuyˆe
´
t
tru
.
´o
.
c khi l`am c`ang nhiˆe
`

u c`ang tˆo
´
t c´ac b`ai tˆa
.
p cuˆo
´
i mˆo
˜
i chu
.
o
.
ng.
Viˆe
.
c su
.

du
.
ng cuˆo
´
n s´ach n`ay s˜e d¯˘a
.
c biˆe
.
t thuˆa
.
n lo
.

.
i nˆe
´
u ngu
.
`o
.
i d¯o
.
c coi n´o l`a phˆa
`
n
mˆo
.
t cu

a mˆo
.
t bˆo
.
s´ach m`a phˆa
`
n hai cu

a n´o l`a cuˆo
´
n D
-
a
.

i sˆo
´
d¯a
.
i cu
.
o
.
ng cu

a c`ung t´ac
gia

, do Nh`a xuˆa
´
t ba

n Gi´ao du
.
c H`a Nˆo
.
i ˆa
´
n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba

n n˘am 1999.
T´ac gia

chˆan th`anh ca


m o
.
n Ban d¯iˆe
`
u h`anh Chu
.
o
.
ng tr`ınh d¯`ao ta
.
o Cu
.

nhˆan khoa
ho
.
c t`ai n˘ang, D
-
a
.
i ho
.
c Khoa ho
.
c tu
.
.
nhiˆen H`a Nˆo
.
i, d¯˘a

.
c biˆe
.
t l`a Gi´ao su
.
D
-
`am Trung
D
-
ˆo
`
n v`a Gi´ao su
.
Nguyˆe
˜
n Duy Tiˆe
´
n, d¯˜a ta
.
o mo
.
i d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n thuˆa
.
n lo
.

.
i d¯ˆe

t´ac gia

gia

ng
da
.
y cho sinh viˆen cu

a Chu
.
o
.
ng tr`ınh trong ba n˘am qua v`a viˆe
´
t cuˆo
´
n s´ach n`ay trˆen
co
.
so
.

nh˜u
.
ng b`ai gia


ng d¯´o.
T´ac gia

mong nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c su
.
.
chı

gi´ao cu

a c´ac d¯ˆo
.
c gia

v`a d¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p vˆe
`
nh˜u
.
ng

thiˆe
´
u s´ot kh´o tr´anh kho

i cu

a cuˆo
´
n s´ach.
H`a Nˆo
.
i, 12/1999
6
Chu
.
o
.
ng 0
KI
ˆ
E
´
N TH
´
U
.
C CHU
ˆ
A


N BI
.
Nhiˆe
.
m vu
.
cu

a chu
.
o
.
ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du
.
´o
.
i da
.
ng gia

n lu
.
o
.
.
c nhˆa
´
t mˆo
.
t sˆo

´
kiˆe
´
n
th´u
.
c chuˆa

n bi
.
cho phˆa
`
n c`on la
.
i cu

a cuˆo
´
n s´ach: Tˆa
.
p ho
.
.
p, quan hˆe
.
, ´anh xa
.
, nh´om,
v`anh, tru
.

`o
.
ng, d¯a th´u
.
c Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c s˜e d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng ch˘a
.
t ch˜e o
.

§5. Nhu
.
ng
v`ı c´ac t´ınh chˆa

´
t cu

a n´o rˆa
´
t quen thuˆo
.
c v´o
.
i nh˜u
.
ng ai d¯˜a ho
.
c qua chu
.
o
.
ng tr`ınh trung
ho
.
c phˆo

thˆong, cho nˆen ch´ung ta vˆa
˜
n n´oi t´o
.
i tru
.
`o
.

ng n`ay trong c´ac v´ı du
.
o
.

c´ac tiˆe
´
t
§1 - §4.
1 Tˆa
.
p ho
.
.
p
Trong tiˆe
´
t n`ay, ch´ung ta tr`ınh b`ay vˆe
`
tˆa
.
p ho
.
.
p theo quan d¯iˆe

m cu

a “L´y thuyˆe
´

t tˆa
.
p
ho
.
.
p ngˆay tho
.
”.
Cu
.
thˆe

, tˆa
.
p ho
.
.
p l`a mˆo
.
t kh´ai niˆe
.
m “nguyˆen thuy

”, khˆong d¯u
.
o
.
.
c d¯i

.
nh ngh˜ıa, m`a
d¯u
.
o
.
.
c hiˆe

u mˆo
.
t c´ach tru
.
.
c gi´ac nhu
.
sau: Mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p l`a mˆo
.
t su
.
.
quˆa
`

n tu
.
c´ac d¯ˆo
´
i
tu
.
o
.
.
ng c´o c`ung mˆo
.
t thuˆo
.
c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜u
.
ng d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng n`ay d¯u
.
o
.
.
c go
.

i l`a c´ac phˆa
`
n
tu
.

cu

a tˆa
.
p ho
.
.
p d¯´o. (Tˆa
´
t nhiˆen, mˆo ta

n´oi trˆen khˆong pha

i l`a mˆo
.
t d¯i
.
nh ngh˜ıa cu

a
tˆa
.
p ho
.

.
p, n´o chı

diˆe
˜
n d¯a
.
t kh´ai niˆe
.
m tˆa
.
p ho
.
.
p qua mˆo
.
t kh´ai niˆe
.
m c´o ve

gˆa
`
n g˜ui ho
.
n
l`a “quˆa
`
n tu
.
”. Tuy vˆa

.
y, ba

n thˆan kh´ai niˆe
.
m quˆa
`
n tu
.
la
.
i chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa.)
Ngu
.
`o
.
i ta c˜ung thu
.
`o
.
ng go

.
i t˘a
´
t tˆa
.
p ho
.
.
p l`a “tˆa
.
p”.
D
-
ˆe

c´o mˆo
.
t sˆo
´
v´ı du
.
, ch´ung ta c´o thˆe

x´et tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sinh viˆen cu


a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng
d¯a
.
i ho
.
c, tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac xe ta

i cu

a mˆo
.
t cˆong ty, tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen tˆo

´

C´ac tˆa
.
p ho
.
.
p thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.

i c´ac ch˜u
.
in hoa: A, B, C, , X, Y, Z
C´ac phˆa
`
n tu
.

cu


a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hi
.
ˆeu bo
.

i c´ac ch˜u
.
in thu
.
`o
.
ng:
a, b, c, , x, y, z D

-
ˆe

n´oi x l`a mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

cu

a tˆa
.
p ho
.
.
p X, ta viˆe
´
t x ∈ X v`a d¯o
.
c l`a
7
“x thuˆo
.
c X”. Tr´ai la
.
i, d¯ˆe

n´oi y khˆong l`a phˆa

`
n tu
.

cu

a X, ta viˆe
´
t y ∈ X, v`a d¯o
.
c l`a
“y khˆong thuˆo
.
c X”.
D
-
ˆe

x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p, ngu
.
`o

.
i ta c´o thˆe

liˆe
.
t kˆe tˆa
´
t ca

c´ac phˆa
`
n tu
.

cu

a n´o.
Ch˘a

ng ha
.
n,
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Ngu
.
`o
.
i ta c˜ung c´o thˆe

x´ac d¯i

.
nh mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p bo
.

i mˆo
.
t t´ınh chˆa
´
t d¯˘a
.
c tru
.
ng P(x) n`ao
d¯´o cu

a c´ac phˆa
`
n tu
.

cu

a n´o. Tˆa

.
p ho
.
.
p X c´ac phˆa
`
n tu
.

x c´o t´ınh chˆa
´
t P(x) d¯u
.
o
.
.
c k´y
hiˆe
.
u l`a
X = {x| P(x)},
ho˘a
.
c l`a
X = {x : P(x)}.
V´ı du
.
:
N = {x| x l`a sˆo
´

tu
.
.
nhiˆen},
Z = {x| x l`a sˆo
´
nguyˆen },
Q = {x| x l`a sˆo
´
h˜u
.
u ty

},
R = {x| x l`a sˆo
´
thu
.
.
c}.
Nˆe
´
u mo
.
i phˆa
`
n tu
.

cu


a tˆa
.
p ho
.
.
p A c˜ung l`a mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

cu

a tˆa
.
p ho
.
.
p X th`ı ta n´oi
A l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p con cu


a X, v`a viˆe
´
t A ⊂ X. Tˆa
.
p con A gˆo
`
m c´ac phˆa
`
n tu
.

x cu

a X
c´o t´ınh chˆa
´
t P( x) d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a
A = {x ∈ X| P(x)}.
Hai tˆa
.
p ho
.
.

p X v`a Y d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a b˘a
`
ng nhau nˆe
´
u mˆo
˜
i phˆa
`
n tu
.

cu

a tˆa
.
p ho
.
.
p n`ay
c˜ung l`a mˆo
.
t phˆa
`

n tu
.

cu

a tˆa
.
p ho
.
.
p kia v`a ngu
.
o
.
.
c la
.
i, t´u
.
c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X. Khi
d¯´o ta viˆe
´
t X = Y .
Tˆa
.
p ho
.
.
p khˆong ch´u
.

a mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

n`ao ca

d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.

i ∅, v`a d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a
tˆa
.
p rˆo

˜
ng. Ta quy u
.
´o
.
c r˘a
`
ng ∅ l`a tˆa
.
p con cu

a mo
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p. Tˆa
.
p ho
.
.
p rˆo
˜
ng rˆa
´
t tiˆe
.
n

lo
.
.
i, n´o d¯´ong vai tr`o nhu
.
sˆo
´
khˆong trong khi l`am to´an v´o
.
i c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p.
8
C´ac ph´ep to´an ho
.
.
p, giao v`a hiˆe
.
u cu

a hai tˆa
.
p ho
.
.
p d¯u
.

o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau.
Cho c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p A v`a B.
Ho
.
.
p cu

a A v`a B d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.

i A ∪ B v`a d¯u

.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau
A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘a
.
c x ∈ B}.
Giao cu

a A v`a B d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.

i A ∩ B v`a d¯u
.
o
.
.
c d¯i

.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau
A ∩ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}.
Hiˆe
.
u cu

a A v`a B d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.

i A \ B v`a d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau
A \ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}.

Nˆe
´
u B ⊂ A th`ı A\B d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n b`u cu

a B trong A, v`a d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a C
A
(B).
C´ac ph´ep to´an ho
.
.
p, giao v`a hiˆe
.
u c´o c´ac t´ınh chˆa
´

t so
.
cˆa
´
p sau d¯ˆay:
Kˆe
´
t ho
.
.
p: (A ∪ B) ∪C = A ∪(B ∪ C),
(A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩ C).
Giao ho´an: A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A.
Phˆan phˆo
´
i: A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Cˆong th´u
.
c De Morgan: X \ (A ∪B) = (X \A) ∩(X \ B),
X \(A ∩ B) = (X \A) ∪ (X \B).
Gia

su
.

A
i
l`a mˆo

.
t tˆa
.
p ho
.
.
p v´o
.
i mˆo
˜
i i thuˆo
.
c mˆo
.
t tˆa
.
p chı

sˆo
´
I (c´o thˆe

h˜u
.
u ha
.
n hay
vˆo ha
.
n). Khi d¯´o, ho

.
.
p v`a giao cu

a ho
.
tˆa
.
p ho
.
.
p {A
i
}
i∈I
d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau:

i∈I
A
i
= {x| x ∈ A

i
v´o
.
i mˆo
.
t i n`ao d¯´o trong I},

i∈I
A
i
= {x| x ∈ A
i
v´o
.
i mo
.
i i ∈ I}.
Ta c´o da
.
ng tˆo

ng qu´at cu

a cˆong th´u
.
c De Morgan:
X \(

i∈I
A

i
) =

i∈I
(X \A
i
),
X \(

i∈I
A
i
) =

i∈I
(X \A
i
).
9
Viˆe
.
c su
.

du
.
ng qu´a rˆo
.
ng r˜ai kh´ai niˆe
.

m tˆa
.
p ho
.
.
p d¯˜a dˆa
˜
n t´o
.
i mˆo
.
t sˆo
´
nghi
.
ch l´y. Mˆo
.
t
trong sˆo
´
d¯´o l`a nghi
.
ch l´y Cantor sau d¯ˆay.
Ta n´oi tˆa
.
p ho
.
.
p X l`a b`ınh thu
.

`o
.
ng nˆe
´
u X ∈ X. X´et tˆa
.
p ho
.
.
p
X = {X| X l`a tˆa
.
p b`ınh thu
.
`o
.
ng}.
Nˆe
´
u X ∈ X th`ı theo d¯i
.
nh ngh˜ıa cu

a X, n´o l`a mˆo
.
t tˆa
.
p b`ınh thu
.
`o

.
ng. Do d¯´o, theo
d¯i
.
nh ngh˜ıa tˆa
.
p b`ınh thu
.
`o
.
ng, X ∈ X. Tr´ai la
.
i, nˆe
´
u X ∈ X, th`ı X l`a mˆo
.
t tˆa
.
p khˆong
b`ınh thu
.
`o
.
ng, v`a do d¯´o X ∈ X. Ca

hai tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p d¯ˆe
`
u dˆa
˜
n t´o
.
i mˆau thuˆa
˜
n.
D
-
ˆe

tr´anh nh˜u
.
ng nghi
.
ch l´y loa
.
i nhu
.
vˆa
.
y, ngu
.
`o
.
i ta s˜e khˆong d`ung kh´ai niˆe

.
m tˆa
.
p
ho
.
.
p d¯ˆe

chı

“nh˜u
.
ng thu
.
.
c thˆe

qu´a l´o
.
n”. Ta s˜e n´oi “l´o
.
p tˆa
´
t ca

c´ac tˆa
.
p ho
.

.
p”, ch´u
.
khˆong n´oi “tˆa
.
p ho
.
.
p tˆa
´
t ca

c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p”. Theo quan niˆe
.
m n`ay X chı

l`a mˆo
.
t l´o
.
p ch´u
.
khˆong l`a mˆo
.
t tˆa

.
p ho
.
.
p. V`ı thˆe
´
, ta tr´anh d¯u
.
o
.
.
c nghi
.
ch l´y n´oi trˆen.
Phˆa
`
n c`on la
.
i cu

a tiˆe
´
t n`ay d¯u
.
o
.
.
c d`anh cho viˆe
.
c tr`ınh b`ay so

.
lu
.
o
.
.
c vˆe
`
lu
.
o
.
.
ng t`u
.
phˆo

biˆe
´
n v`a lu
.
o
.
.
ng t`u
.
tˆo
`
n ta
.

i.
Ta thu
.
`o
.
ng cˆa
`
n pha

i ph´at biˆe

u nh˜u
.
ng mˆe
.
nh d¯ˆe
`
c´o da
.
ng: “Mo
.
i phˆa
`
n tu
.

x cu

a tˆa
.

p
ho
.
.
p X d¯ˆe
`
u c´o t´ınh chˆa
´
t P(x)”. Ngu
.
`o
.
i ta quy u
.
´o
.
c k´y hiˆe
.
u mˆe
.
nh d¯ˆe
`
d¯´o nhu
.
sau:
∀x ∈ X, P(x).
D˜ay k´y hiˆe
.
u trˆen d¯u
.

o
.
.
c d¯o
.
c l`a “V´o
.
i mo
.
i x thuˆo
.
c X, P(x)”.
K´y hiˆe
.
u ∀ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a lu
.
o
.
.
ng t`u
.
phˆo


biˆe
´
n.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, ta c˜ung hay g˘a
.
p c´ac mˆe
.
nh d¯ˆe
`
c´o da
.
ng: “Tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

x cu


a
X c´o t´ınh chˆa
´
t P(x)”. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
n`ay d¯u
.
o
.
.
c quy u
.
´o
.
c k´y hiˆe
.
u nhu
.
sau:
∃x ∈ X, P(x).
D˜ay k´y hiˆe
.
u d¯´o d¯u
.
o
.
.

c d¯o
.
c l`a “Tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t x thuˆo
.
c X, P(x)”.
K´y hiˆe
.
u ∃ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a lu
.
o
.
.
ng t`u
.
tˆo
`
n ta

.
i.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
“Tˆo
`
n ta
.
i duy nhˆa
´
t mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

x cu

a X c´o t´ınh chˆa
´
t P(x)” d¯u
.
o
.
.
c viˆe
´

t
nhu
.
sau:
∃!x ∈ X, P(x).
10
Lu
.
o
.
.
ng t`u
.
phˆo

biˆe
´
n v`a lu
.
o
.
.
ng t`u
.
tˆo
`
n ta
.
i c´o mˆo
´

i quan hˆe
.
quan tro
.
ng sau d¯ˆay.
Go
.
i P l`a phu

d¯i
.
nh cu

a mˆe
.
nh d¯ˆe
`
P. Ta c´o
∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x),
∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x).
Ch´ung tˆoi d¯ˆe
`
nghi
.
d¯ˆo
.
c gia

tu
.

.
ch´u
.
ng minh nh˜u
.
ng kh˘a

ng d¯i
.
nh trˆen xem nhu
.
mˆo
.
t b`ai
tˆa
.
p.
2 Quan hˆe
.
v`a
´
Anh xa
.
T´ıch tru
.
.
c tiˆe
´
p (hay t´ıch Descartes) cu


a hai tˆa
.
p ho
.
.
p X v`a Y l`a tˆa
.
p ho
.
.
p sau d¯ˆay:
X ×Y = {(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y }.
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯˘a
.
c biˆe
.
t, khi X = Y , ta c´o t´ıch tru
.
.
c tiˆe
´
p X ×X cu


a tˆa
.
p X v´o
.
i ch´ınh
n´o.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1 Mˆo
˜
i tˆa
.
p con R cu

a tˆa
.
p ho
.
.
p t´ıch X ×X d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.

t quan hˆe
.
hai ngˆoi trˆen X. Nˆe
´
u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x c´o quan hˆe
.
R v´o
.
i y, v`a viˆe
´
t xR y.
Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, nˆe
´
u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x khˆong c´o quan hˆe
.
R v´o
.
i y, v`a viˆe
´
t xRy.
Ch˘a

ng ha

.
n, nˆe
´
u R = {(x, y) ∈ Z × Z| x chia hˆe
´
t cho y}, th`ı 6R2, nhu
.
ng 5R3.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.2 Quan hˆe
.
hai ngˆoi R trˆen X d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u

.
o
.
ng
nˆe
´
u n´o c´o ba t´ınh chˆa
´
t sau d¯ˆay:
(a) Pha

n xa
.
: xRx, ∀x ∈ X.
(b) D
-
ˆo
´
i x´u
.
ng: Nˆe
´
u xRy, th`ı yRx, ∀x, y ∈ X.
(c) B˘a
´
c cˆa
`
u: Nˆe
´
u xRy, yRz, th`ı xRz, ∀x, y, z ∈ X.

11
C´ac quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.

i dˆa
´
u ∼.
Gia


su
.

∼ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng trˆen X. L´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng theo quan hˆe
.
∼ cu

a mˆo

.
t phˆa
`
n tu
.

x ∈ X d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau:
[x] = {y ∈ X| x ∼ y} ⊂ X.
Bˆo

d¯ˆe
`
2.3 Gia

su
.

∼ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.

tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng. Khi d¯´o, v´o
.
i mo
.
i x, y ∈ X, c´ac
l´o
.
p [x] v`a [y] ho˘a
.
c tr`ung nhau, ho˘a
.
c r`o
.
i nhau (t´u
.
c l`a [x] ∩[y ] = ∅).
Ch´u
.
ng minh: Gia

su
.


[x] ∩ [y] = ∅. Ta s˜e ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng [x] = [y]. Lˆa
´
y mˆo
.
t
phˆa
`
n tu
.

z ∈ [x] ∩ [y]. Ta c´o x ∼ z v`a y ∼ z.
Do t´ınh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng cu

a quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.

o
.
ng, x ∼ z k´eo theo z ∼ x. Gia

su
.

t ∈ [x], t´u
.
c l`a x ∼ t. Do t´ınh b˘a
´
c cˆa
`
u, z ∼ x v`a x ∼ t k´eo theo z ∼ t. Tiˆe
´
p theo,
y ∼ z v`a z ∼ t k´eo theo y ∼ t. Ngh˜ıa l`a t ∈ [y]. Nhu
.
vˆa
.
y, [x] ⊂ [y]. Do vai tr`o
nhu
.
nhau cu

a c´ac l´o
.
p [x] v`a [y], ta c˜ung c´o bao h`am th´u
.
c ngu

.
o
.
.
c la
.
i, [y] ⊂ [x]. Vˆa
.
y
[x] = [y]. ✷
Theo bˆo

d¯ˆe
`
n`ay, nˆe
´
u y ∈ [x] th`ı y ∈ [x] ∩ [y] = ∅, do d¯´o [x] = [y]. V`ı thˆe
´
, ta
c´o thˆe

d`ung t`u
.
l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u

.
o
.
ng d¯ˆe

chı

l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng cu

a bˆa
´
t k`y phˆa
`
n tu
.

n`ao
trong l´o
.
p d¯´o. Mˆo

˜
i phˆa
`
n tu
.

cu

a mˆo
.
t l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t d¯a

.
i biˆe

u cu

a
l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng n`ay.
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
y r˘a
`
ng X l`a ho
.
.
p r`o
.
i ra
.

c cu

a c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng theo quan hˆe
.
∼.
(N´oi c´ach kh´ac, X l`a ho
.
.
p cu

a c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.

ng theo quan hˆe
.
∼, v`a c´ac l´o
.
p n`ay
r`o
.
i nhau.) Ngu
.
`o
.
i ta c˜ung n´oi X d¯u
.
o
.
.
c phˆan hoa
.
ch bo
.

i c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o

.
ng.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.4 Tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng cu

a X theo quan hˆe
.
∼ d¯u
.
o
.
.

c go
.
i
l`a tˆa
.
p thu
.
o
.
ng cu

a X theo ∼ v`a d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a X/∼.
V´ı du
.
2.5 Gia

su
.

n l`a mˆo
.
t sˆo
´

nguyˆen du
.
o
.
ng bˆa
´
t k`y. Ta x´et trˆen tˆa
.
p X = Z quan
hˆe
.
sau d¯ˆay:
∼= {(x, y) ∈ Z ×Z| x − y chia hˆe
´
t cho n}.
12
R˜o r`ang d¯´o l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng. Ho
.

n n˜u
.
a x ∼ y nˆe
´
u v`a chı

nˆe
´
u x v`a y c´o
c`ung phˆa
`
n du
.
trong ph´ep chia cho n. V`ı thˆe
´
, Z/∼ l`a mˆo
.
t tˆa
.
p c´o d¯´ung n phˆa
`
n tu
.

:
Z/∼= {[0], [1], , [n − 1]}.
N´o d¯u
.
o
.

.
c go
.
i l`a tˆa
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen modulo n, v`a thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a Z/n.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.6 Gia

su
.

≤ l`a mˆo
.

t quan hˆe
.
hai ngˆoi trˆen X. N´o d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t
quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
nˆe
´
u n´o c´o ba t´ınh chˆa
´
t sau d¯ˆay:
(a) Pha

n xa
.
: x ≤ x, ∀x ∈ X.
(b) Pha


n d¯ˆo
´
i x´u
.
ng: Nˆe
´
u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X.
(c) B˘a
´
c cˆa
`
u: Nˆe
´
u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X.
Tˆa
.
p X d¯u
.
o
.
.
c trang bi
.
mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.

tu
.
.
d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´
p. Nˆe
´
u
x ≤ y, ta n´oi x d¯´u
.
ng tru
.
´o
.

c y, hay x nho

ho
.
n ho˘a
.
c b˘a
`
ng y.
Ta n´oi X d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´
p to`an phˆa
`
n (hay tuyˆe
´
n t´ınh) bo
.

i quan hˆe
.
≤ nˆe
´
u v´o
.
i mo

.
i
x, y ∈ X, th`ı x ≤ y ho˘a
.
c y ≤ x. Khi d¯´o ≤ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
to`an
phˆa
`
n (hay tuyˆe
´
n t´ınh) trˆen X.
Ch˘a

ng ha
.

n, tru
.
`o
.
ng sˆo
´
h˜u
.
u ty

Q l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´
p to`an phˆa
`
n d¯ˆo
´
i v´o
.
i quan
hˆe
.

th´u
.
tu
.
.
≤ thˆong thu
.
`o
.
ng. Mˆo
.
t v´ı du
.
kh´ac: nˆe
´
u X l`a tˆa
.
p ho
.
.
p tˆa
´
t ca

c´ac tˆa
.
p con
cu

a mˆo

.
t tˆa
.
p A n`ao d¯´o, th`ı X d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´
p theo quan hˆe
.
bao h`am. D
-
ˆay khˆong pha

i l`a
mˆo
.
t th´u
.
tu
.
.
to`an phˆa
`
n nˆe
´
u tˆa
.

p A ch´u
.
a nhiˆe
`
u ho
.
n mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

.
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe

n qua x´et c´ac ´anh xa
.
.
Ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng mˆo ta


c´ac ´anh xa
.
mˆo
.
t c´ach tru
.
.
c gi´ac nhu
.
sau.
Gia

su
.

X v`a Y l`a c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p. Mˆo
.
t ´anh xa
.
f t`u
.
X v`ao Y l`a mˆo
.
t quy t˘a

´
c d¯˘a
.
t
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
˜
i phˆa
`
n tu
.

x ∈ X v´o
.
i mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

x´ac d¯i
.
nh y = f(x) ∈ Y .
´

Anh xa
.
d¯´o d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.

i f : X → Y .
13
Tˆa
´
t nhiˆen mˆo ta

n´oi trˆen khˆong pha

i l`a mˆo
.
t d¯i
.
nh ngh˜ıa ch˘a
.
t ch˜e, v`ı ta khˆong
biˆe
´
t thˆe

´
n`ao l`a mˆo
.
t quy t˘a
´
c. N´oi c´ach kh´ac, trong d¯i
.
nh ngh˜ıa n´oi trˆen quy t˘a
´
c chı

l`a mˆo
.
t tˆen go
.
i kh´ac cu

a ´anh xa
.
.
Ta c´o thˆe

kh˘a
´
c phu
.
c d¯iˆe
`
u d¯´o b˘a
`

ng c´ach d¯u
.
a ra mˆo
.
t d¯i
.
nh ngh˜ıa ch´ınh x´ac nhu
.
ng
ho
.
i cˆo
`
ng kˆe
`
nh vˆe
`
´anh xa
.
nhu
.
sau.
Mˆo
˜
i tˆa
.
p con R cu

a t´ıch tru
.

.
c tiˆe
´
p X ×Y d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
gi˜u
.
a X v`a Y .
Quan hˆe
.
R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t ´anh xa
.

t`u
.
X v`ao Y nˆe
´
u n´o c´o t´ınh chˆa
´
t sau: v´o
.
i mo
.
i
x ∈ X c´o mˆo
.
t v`a chı

mˆo
.
t y ∈ Y d¯ˆe

cho (x, y) ∈ R. Ta k´y hiˆe
.
u phˆa
`
n tu
.

duy nhˆa
´
t
d¯´o l`a y = f(x). Khi d¯´o

R = {(x, f(x))| x ∈ X}.
´
Anh xa
.
n`ay thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a f : X → Y v`a quan hˆe
.
R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a d¯ˆo
`
thi
.
cu


a ´anh xa
.
f.
C´ac tˆa
.
p X v`a Y d¯u
.
o
.
.
c go
.
i lˆa
`
n lu
.
o
.
.
t l`a tˆa
.
p nguˆo
`
n v`a tˆa
.
p d¯´ıch cu

a ´anh xa
.
f. Tˆa

.
p
ho
.
.
p f(X) = {f(x)| x ∈ X} d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a tˆa
.
p gi´a tri
.
cu

a f.
Gia

su
.

A l`a mˆo
.
t tˆa
.
p con cu


a X. Khi d¯´o, f(A) = {f(x)| x ∈ A} d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a a

nh
cu

a A bo
.

i f. Nˆe
´
u B l`a mˆo
.
t tˆa
.
p con cu

a Y , th`ı f
−1
(B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} d¯u
.
o
.
.

c
go
.
i l`a nghi
.
ch a

nh cu

a B bo
.

i f. Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯˘a
.
c biˆe
.
t, tˆa
.
p B = {y} chı

gˆo
`
m mˆo

.
t
d¯iˆe

m y ∈ Y , ta viˆe
´
t d¯o
.
n gia

n f
−1
(y) thay cho f
−1
({y}).
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.7 (a)
´
Anh xa
.
f : X → Y d¯u
.
o
.
.
c go
.

i l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh nˆe
´
u v´o
.
i mo
.
i
x = x

, (x, x

∈ X) th`ı f(x) = f(x

).
(b)
´
Anh xa
.
f : X → Y d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo

.
t to`an ´anh nˆe
´
u v´o
.
i mo
.
i y ∈ Y tˆo
`
n ta
.
i (´ıt
nhˆa
´
t) mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

x ∈ X sao cho f(x) = y.
(c)
´
Anh xa
.
f : X → Y d¯u
.
o
.

.
c go
.
i l`a mˆo
.
t song ´anh (hay mˆo
.
t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t)
nˆe
´
u n´o v`u
.
a l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh v`u
.
a l`a mˆo
.

t to`an ´anh.
Gia

su
.

f : X → Y l`a mˆo
.
t song ´anh. Khi d¯´o, v´o
.
i mˆo
˜
i y ∈ Y tˆo
`
n ta
.
i duy nhˆa
´
t phˆa
`
n
tu
.

x ∈ X sao cho f(x) = y. Ta k´y hiˆe
.
u phˆa
`
n tu
.


x d¯´o nhu
.
sau: x = f
−1
(y). Nhu
.
14
thˆe
´
, tu
.
o
.
ng ´u
.
ng y → x = f
−1
(y) x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t ´anh xa
.
, d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe

.
u l`a f
−1
: Y → X
v`a d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a ´anh xa
.
ngu
.
o
.
.
c cu

a f. Hiˆe

n nhiˆen, f
−1
c˜ung l`a mˆo
.
t song ´anh, ho
.
n
n˜u

.
a (f
−1
)
−1
= f.
Cho c´ac ´anh xa
.
f : X → Y v`a g : Y → Z. Khi d¯´o ´anh xa
.
h : X → Z d¯u
.
o
.
.
c x´ac
d¯i
.
nh bo
.

i
h(x) = g(f(x)), ∀x ∈ X,
d¯u
.
o
.
.
c go
.

i l`a ´anh xa
.
t´ıch (hay ´anh xa
.
ho
.
.
p) cu

a f v`a g, v`a d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a h = gf
ho˘a
.
c h = g ◦f.
Ch´ung tˆoi d¯ˆe
`
nghi
.
d¯ˆo
.
c gia

tu
.

.
ch´u
.
ng minh hai mˆe
.
nh d¯ˆe
`
sau d¯ˆay.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
2.8 Ho
.
.
p th`anh cu

a hai d¯o
.
n ´anh la
.
i l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh. Ho
.
.
p th`anh cu


a hai
to`an ´anh la
.
i l`a mˆo
.
t to`an ´anh. Ho
.
.
p th`anh cu

a hai song ´anh la
.
i l`a mˆo
.
t song ´anh.
Go
.
i id
X
: X → X l`a ´anh xa
.
d¯ˆo
`
ng nhˆa
´
t trˆen X, d¯u
.
o
.
.

c x´ac d¯i
.
nh nhu
.
sau
id
X
(x) = x, ∀x ∈ X.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
2.9 (i) Gia

su
.

f : X → Y v`a g : Y → Z l`a c´ac ´anh xa
.
. Khi d¯´o, nˆe
´
u
gf l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh th`ı f c˜ung vˆa
.
y; nˆe
´

u gf l`a mˆo
.
t to`an ´anh th`ı g c˜ung vˆa
.
y.
(ii)
´
Anh xa
.
f : X → Y l`a mˆo
.
t song ´anh nˆe
´
u v`a chı

nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t ´anh xa
.
g : Y → X sao cho gf = id
X
, fg = id
Y
.

3 Lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng cu

a tˆa
.
p ho
.
.
p
D
-
ˆo
´
i v´o
.
i c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p h˜u
.
u ha

.
n, khi cˆa
`
n x´et xem tˆa
.
p n`ao c´o nhiˆe
`
u phˆa
`
n tu
.

ho
.
n, ngu
.
`o
.
i
ta d¯ˆe
´
m sˆo
´
phˆa
`
n tu
.

cu


a ch´ung. Nhu
.
ng d¯ˆo
.
ng t´ac d¯o
.
n gia

n ˆa
´
y khˆong thu
.
.
c hiˆe
.
n d¯u
.
o
.
.
c
d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac tˆa
.
p c´o vˆo ha
.
n phˆa

`
n tu
.

. D
-
ˆe

so s´anh “sˆo
´
lu
.
o
.
.
ng phˆa
`
n tu
.

” cu

a c´ac tˆa
.
p vˆo
ha
.
n, ngu
.
`o

.
i ta tro
.

la
.
i v´o
.
i c´ach l`am cu

a ngu
.
`o
.
i nguyˆen thuy

khi chu
.
a biˆe
´
t d¯ˆe
´
m. Cu
.
thˆe

l`a, nˆe
´
u muˆo
´

n xem sˆo
´
r`ıu tay c´o d¯u

cho mˆo
˜
i ngu
.
`o
.
i mˆo
.
t chiˆe
´
c hay khˆong ngu
.
`o
.
i
15
ta ph´at cho mˆo
˜
i ngu
.
`o
.
i mˆo
.
t chiˆe
´

c r`ıu, t´u
.
c l`a lˆa
.
p mˆo
.
t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a tˆa
.
p ho
.
.
p ngu
.
`o
.
i
v`a tˆa
.
p ho
.
.
p r`ıu.

D
-
i
.
nh ngh˜ıa 3.1 Ta n´oi tˆa
.
p ho
.
.
p X c`ung lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng v´o
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p Y nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.

i mˆo
.
t
song ´anh t`u
.
X v`ao Y .
R˜o r`ang quan hˆe
.
c`ung lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng.
Gia


su
.

tˆa
.
p A c´o n phˆa
`
n tu
.

. D
-
iˆe
`
u n`ay c´o ngh˜ıa l`a c´o mˆo
.
t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t
gi˜u
.

a c´ac phˆa
`
n tu
.

cu

a A v´o
.
i c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen 1, 2, 3, , n. N´oi c´ach kh´ac, A c´o n phˆa
`
n
tu
.

nˆe
´
u v`a chı

nˆe
´
u n´o c`ung lu
.
.
c lu

.
o
.
.
ng v´o
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p {1, 2, 3, , n}.
Sau d¯ˆay ch´ung ta s˜e kha

o s´at l´o
.
p c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p vˆo ha
.
n c´o “´ıt phˆa
`
n tu
.

nhˆa
´

t”, d¯´o
l`a c´ac tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 3.2 Tˆa
.
p X d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.

.
c nˆe
´
u n´o c`ung lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng v´o
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p
N c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen.
Ch˘a

ng ha
.
n, Z l`a mˆo

.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c. Thˆa
.
t vˆa
.
y, ´anh xa
.
f : N → Z x´ac d¯i
.
nh bo
.

i
cˆong th´u
.
c
f(2n − 1) = −n + 1,
f(2n) = n (n = 1, 2, 3, )
l`a mˆo
.
t song ´anh.

Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen ch˘a
˜
n v`a tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen le


d¯ˆe
`
u l`a
c´ac tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
C´ac v´ı du
.
trˆen cho thˆa
´
y mˆo
.
t tˆa
.
p vˆo ha
.
n c´o thˆe

c´o c`ung lu
.
.
c lu

.
o
.
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t tˆa
.
p
con thˆa
.
t su
.
.
cu

a n´o. Ta c´o
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
3.3 Mˆo
˜
i tˆa
.
p con vˆo ha
.
n cu


a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c c˜ung l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m
d¯u
.
o
.
.
c.
16
Ch´u
.
ng minh: Gia


su
.

A = {a
1
, a
2
, a
3
, } l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c, v`a B l`a mˆo
.
t tˆa
.
p
con vˆo ha
.
n cu

a A. Go

.
i i
1
l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen nho

nhˆa
´
t sao cho a
i
1
∈ B, i
2
l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen
nho

nhˆa
´
t sao cho a
i
2

∈ B \{a
i
1
}. Mˆo
.
t c´ach quy na
.
p, i
n
l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen nho

nhˆa
´
t sao
cho a
i
n
∈ B \{a
i
1
, a
i
2
, , a
i

n−1
}
B˘a
`
ng c´ach d¯´o, c´ac phˆa
`
n tu
.

cu

a B d¯u
.
o
.
.
c xˆe
´
p th`anh mˆo
.
t d˜ay vˆo ha
.
n
B = {a
i
1
, a
i
2
, , a

i
n
, }.
N´oi c´ach kh´ac, c´o mˆo
.
t song ´anh N → B d¯˘a
.
t n tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i a
i
n
. Nhu
.
thˆe
´
B d¯ˆe
´
m
d¯u
.
o
.
.

c. ✷
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
3.4 T´ıch tru
.
.
c tiˆe
´
p cu

a hai tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c c˜ung l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o

.
.
c.
Ch´u
.
ng minh: Khˆong gia

m tˆo

ng qu´at, ta chı

cˆa
`
n ch´u
.
ng minh N ×N l`a d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
Ta xˆe
´
p tˆa
´
t ca

c´ac phˆa

`
n tu
.

(a, b) cu

a N × N th`anh mˆo
.
t d˜ay vˆo ha
.
n b˘a
`
ng c´ach
sau. Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta xˆe
´
p c˘a
.
p (a, b) v´o
.
i a + b = 2. Gia

su
.


d¯˜a xˆe
´
p xong c´ac c˘a
.
p (a, b)
v´o
.
i a + b = n −1, ta xˆe
´
p tiˆe
´
p c´ac c˘a
.
p (a, b) v´o
.
i a + b = n, trong d¯´o c˘a
.
p (a, b) d¯u
.
o
.
.
c
xˆe
´
p tru
.
´o
.
c c˘a

.
p (a

, b

) nˆe
´
u a + b = a

+ b

= n v`a a < a

.
Nhu
.
vˆa
.
y, N × N l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c. ✷

Hˆe
.
qua

3.5 Tˆa
.
p ho
.
.
p Q c´ac sˆo
´
h˜u
.
u ty

l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
Ch´u
.
ng minh: Ta s˜e ch´u

.
ng minh tˆa
.
p ho
.
.
p Q
+
c´ac sˆo
´
h˜u
.
u ty

du
.
o
.
ng l`a d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
Do d¯´o Q = Q

∪{0}∪ Q
+

c`ung lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng v´o
.
i Z = N

∪{0}∪ N, trong d¯´o Q

l`a
tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
h˜u
.
u ty

ˆam v`a N

l`a tˆa
.

p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen ˆam. V`ı thˆe
´
Q l`a d¯ˆe
´
m
d¯u
.
o
.
.
c.
Mˆo
˜
i sˆo
´
h˜u
.
u ty

du
.
o
.
ng d¯u
.

o
.
.
c biˆe

u thi
.
duy nhˆa
´
t du
.
´o
.
i da
.
ng mˆo
.
t phˆan sˆo
´
p
q
, trong
d¯´o p, q ∈ N v`a c˘a
.
p p, q nguyˆen tˆo
´
c`ung nhau. Tu
.
o
.

ng ´u
.
ng
p
q
→ (p, q) l`a mˆo
.
t song
´anh t`u
.
Q
+
lˆen mˆo
.
t tˆa
.
p con cu

a t´ıch tru
.
.
c tiˆe
´
p N ×N. Do d¯´o, theo hai mˆe
.
nh d¯ˆe
`
trˆen
th`ı Q
+

l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c. ✷
Ch´ung ta th`u
.
a nhˆa
.
n kˆe
´
t qua

sau d¯ˆay, v`ı muˆo
´
n ch´u
.
ng minh n´o ta cˆa
`
n mˆo
.
t hiˆe


u
biˆe
´
t sˆau s˘a
´
c ho
.
n vˆe
`
c´ac sˆo
´
thu
.
.
c.
17
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
3.6 Tˆa
.
p ho
.
.
p R c´ac sˆo
´
thu
.
.

c l`a mˆo
.
t tˆa
.
p khˆong d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
Ngu
.
`o
.
i ta n´oi tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
thu
.
.
c c´o lu
.
.
c lu

.
o
.
.
ng continum.
4 Nh´om, V`anh v`a Tru
.
`o
.
ng
C´ac kh´ai niˆe
.
m nh´om, v`anh v`a tru
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c gi´o
.
i thiˆe
.
u trong tiˆe
´
t n`ay chı

d`u

.
ng o
.

m´u
.
c d¯u

d`ung cho c´ac diˆe
˜
n d¯a
.
t trong phˆa
`
n sau cu

a cuˆo
´
n s´ach.
Gia

su
.

G l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.

.
p. Mˆo
˜
i ´anh xa
.
◦ : G × G → G
d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t ph´ep to´an hai ngˆoi (hay mˆo
.
t luˆa
.
t ho
.
.
p th`anh) trˆen G. A

nh cu

a c˘a
.
p
phˆa

`
n tu
.

(x, y) ∈ G × G bo
.

i ´anh xa
.
◦ s˜e d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x ◦ y, v`a d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a t´ıch
hay ho
.
.
p th`anh cu

a x v`a y.

D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.1 Mˆo
.
t nh´om l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p kh´ac rˆo
˜
ng G d¯u
.
o
.
.
c trang bi
.
mˆo
.
t ph´ep
to´an hai ngˆoi ◦ thoa

m˜an ba d¯iˆe
`
u kiˆe

.
n sau d¯ˆay:
(G1) Ph´ep to´an c´o t´ınh kˆe
´
t ho
.
.
p:
(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦z), ∀x, y, z ∈ G.
(G2) C´o mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.

e ∈ G, d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n tu
.

trung lˆa
.

p, v´o
.
i t´ınh chˆa
´
t
x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G.
(G3) V´o
.
i mo
.
i x ∈ G, tˆo
`
n ta
.
i phˆa
`
n tu
.

x

∈ G, d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a nghi
.

ch d¯a

o cu

a x, sao cho
x ◦ x

= x

◦ x = e.
Nhˆa
.
n x´et:
18
Phˆa
`
n tu
.

trung lˆa
.
p cu

a mˆo
.
t nh´om l`a duy nhˆa
´
t. Thˆa
.
t vˆa

.
y, nˆe
´
u e v`a e

d¯ˆe
`
u l`a c´ac
phˆa
`
n tu
.

trung lˆa
.
p cu

a nh´om G th`ı
e = e ◦ e

= e

.
V´o
.
i mo
.
i x ∈ G, phˆa
`
n tu

.

nghi
.
ch d¯a

o x

n´oi o
.

mu
.
c (G3) l`a duy nhˆa
´
t. Thˆa
.
t vˆa
.
y,
nˆe
´
u x

1
v`a x

2
l`a c´ac phˆa
`

n tu
.

nghi
.
ch d¯a

o cu

a x th`ı
x

1
= x

1
◦ e = x

1
◦ (x ◦ x

2
) = (x

1
◦ x) ◦ x

2
= e ◦ x


2
= x

2
.
Trong nh´om c´o luˆa
.
t gia

n u
.
´o
.
c, t´u
.
c l`a
x ◦ y = x ◦z =⇒ y = z,
x ◦ z = y ◦z =⇒ x = y.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, d¯ˆe

c´o luˆa
.
t gia

n u
.

´o
.
c, chı

cˆa
`
n nhˆan hai vˆe
´
cu

a d¯˘a

ng th´u
.
c x ◦y = x ◦z v´o
.
i
nghi
.
ch d¯a

o x

cu

a x t`u
.
bˆen tr´ai, v`a nhˆan hai vˆe
´
cu


a d¯˘a

ng th´u
.
c x ◦ z = y ◦ z v´o
.
i
nghi
.
ch d¯a

o z

cu

a z t`u
.
bˆen pha

i.
Nˆe
´
u ph´ep to´an ◦ c´o t´ınh giao ho´an, t´u
.
c l`a
x ◦ y = y ◦x, ∀x, y ∈ G,
th`ı G d¯u
.
o

.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t nh´om giao ho´an (hay abel).
Theo th´oi quen, luˆa
.
t ho
.
.
p th`anh ◦ trong mˆo
.
t nh´om abel thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u
theo lˆo
´
i cˆo
.

ng “+”. Ho
.
.
p th`anh cu

a c˘a
.
p phˆa
`
n tu
.

(x, y) d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x+y v`a d¯u
.
o
.
.
c
go
.
i l`a tˆo

ng cu


a x v`a y. Phˆa
`
n tu
.

trung lˆa
.
p cu

a nh´om d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n tu
.

khˆong, k´y
hiˆe
.
u 0. Nghi
.
ch d¯a

o cu


a x (x´ac d¯i
.
nh bo
.

i d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n (G3)) d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n tu
.

d¯ˆo
´
i
cu

a x, k´y hiˆe
.
u (−x).

Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p tˆo

ng qu´at, ph´ep to´an ◦ trong nh´om thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u theo lˆo
´
i
nhˆan “ · ”. Ho
.
.
p th`anh cu

a c˘a
.

p phˆa
`
n tu
.

(x, y) d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x ·y, hay d¯o
.
n gia

n
xy, v`a d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a t´ıch cu

a x v`a y. Phˆa
`
n tu
.


trung lˆa
.
p cu

a nh´om d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n
tu
.

d¯o
.
n vi
.
. Phˆa
`
n tu
.

nghi
.
ch d¯a


o cu

a x d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x
−1
.
V´ı du
.
:
19
(a) C´ac tˆa
.
p ho
.
.
p sˆo
´
Z, Q, R lˆa
.
p th`anh nh´om abel d¯ˆo
´
i v´o
.

i ph´ep cˆo
.
ng.
(b) C´ac tˆa
.
p Z

= {±1}, Q

= Q \ {0}, R

= R \ {0} l`am th`anh nh´om abel d¯ˆo
´
i
v´o
.
i ph´ep nhˆan.
(c) Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa ph´ep cˆo
.
ng trong Z/n nhu
.
sau:
[x] + [y] = [x + y].
Dˆe
˜
kiˆe

m tra r˘a

`
ng ph´ep to´an n`ay khˆong phu
.
thuˆo
.
c d¯a
.
i biˆe

u cu

a c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng
d¯u
.
o
.
ng [
x
] v`a [
y
]. Ho
.
n n˜u
.

a,
Z
/n
c`ung v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng n´oi trˆen lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t
nh´om abel.
(d) Mˆo
˜
i song ´anh t`u
.
tˆa
.
p ho
.
.
p {1, 2, , n} v`ao ch´ınh n´o d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo

.
t ph´ep thˆe
´
(hay ph´ep ho´an vi
.
) trˆen n phˆa
`
n tu
.

. Tˆa
.
p ho
.
.
p S
n
tˆa
´
t ca

c´ac ph´ep thˆe
´
trˆen n
phˆa
`
n tu
.

l`am th`anh mˆo

.
t nh´om d¯ˆo
´
i v´o
.
i ph´ep ho
.
.
p th`anh c´ac ´anh xa
.
(α · β)(i) = α(β(i)), ∀α, β ∈ S
n
, 0 ≤ i ≤ n.
S
n
d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a nh´om d¯ˆo
´
i x´u
.
ng trˆen n phˆa
`
n tu
.


. D
-
ˆay l`a mˆo
.
t nh´om khˆong abel
khi n > 2. (Xem chi tiˆe
´
t o
.

Chu
.
o
.
ng III.)
(e) Trong Chu
.
o
.
ng II ch´ung ta s˜e kha

o s´at mˆo
.
t l´o
.
p nh´om khˆong abel rˆa
´
t quan
tro

.
ng d¯ˆo
´
i v´o
.
i mˆon D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh, d¯´o l`a nh´om GL(V ) c´ac biˆe
´
n d¯ˆo

i tuyˆe
´
n
t´ınh khˆong suy biˆe
´
n trˆen khˆong gian v´ecto
.
V .
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.2 Gia


su
.

G v`a G

l`a c´ac nh´om (v´o
.
i ph´ep to´an viˆe
´
t theo lˆo
´
i nhˆan).
´
Anh xa
.
ϕ : G → G

d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t d¯ˆo
`
ng cˆa

´
u nh´om nˆe
´
u
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G.
Nhˆa
.
n x´et: D
-
ˆo
`
ng cˆa
´
u nh´om ϕ chuyˆe

n d¯o
.
n vi
.
e cu

a G th`anh d¯o
.
n vi
.
e

cu

a G


:
ϕ(e) = e

.
20
N´o c˜ung chuyˆe

n phˆa
`
n tu
.

nghi
.
ch d¯a

o cu

a x th`anh phˆa
`
n tu
.

nghi
.
ch d¯a

o cu


a ϕ(x):
ϕ(x
−1
) = ϕ(x)
−1
, ∀x ∈ G.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.3 (a) Mˆo
.
t d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u nh´om d¯ˆo
`
ng th`o
.
i l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh d¯u
.
o
.
.
c go

.
i l`a
mˆo
.
t d¯o
.
n cˆa
´
u nh´om.
(b) Mˆo
.
t d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u nh´om d¯ˆo
`
ng th`o
.
i l`a mˆo
.
t to`an ´anh d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.

t to`an cˆa
´
u
nh´om.
(c) Mˆo
.
t d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u nh´om d¯ˆo
`
ng th`o
.
i l`a mˆo
.
t song ´anh d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t d¯˘a

ng cˆa
´
u

nh´om.
Nˆe
´
u c´o mˆo
.
t d¯˘a

ng cˆa
´
u nh´om gi˜u
.
a G v`a G

th`ı ta n´oi G d¯˘a

ng cˆa
´
u v´o
.
i G

v`a viˆe
´
t
G

=
G

.

V´ı du
.
:
(a) Ph´ep nh´ung i : Z → Q d¯i
.
nh ngh˜ıa bo
.

i cˆong th´u
.
c i(x) = x l`a mˆo
.
t d¯o
.
n cˆa
´
u
nh´om.
(b) Ph´ep chiˆe
´
u pr : Z → Z/n x´ac d¯i
.
nh bo
.

i cˆong th´u
.
c pr(x) = [x] l`a mˆo
.
t to`an cˆa

´
u
nh´om.
(a)
´
Anh xa
.
m˜u exp : R → R
+
, exp(x) = e
x
l`a mˆo
.
t d¯˘a

ng cˆa
´
u t`u
.
nh´om cˆo
.
ng c´ac
sˆo
´
thu
.
.
c R v`ao nh´om nhˆan c´ac sˆo
´
thu

.
.
c du
.
o
.
ng R
+
.
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe

n sang kha

o s´at c´ac v`anh v`a tru
.
`o
.
ng.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.4 Mˆo
.
t v`anh l`a mˆo
.
t tˆa
.

p ho
.
.
p R = ∅ d¯u
.
o
.
.
c trang bi
.
hai ph´ep to´an hai
ngˆoi, gˆo
`
m ph´ep cˆo
.
ng
+ : R × R → R, (x, y) → x + y,
v`a ph´ep nhˆan
· : R × R → R, (x, y) → xy,
thoa

m˜an ba d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n sau d¯ˆay:
21
(R1) R l`a mˆo
.
t nh´om abel d¯ˆo

´
i v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng.
(R2) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh chˆa
´
t kˆe
´
t ho
.
.
p:
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R.
(R3) Ph´ep nhˆan phˆan phˆo
´
i vˆe
`
hai ph´ıa d¯ˆo
´
i v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng:
(x + y)z = xz + yz,
z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
V`anh R d¯u
.

o
.
.
c go
.
i l`a giao ho´an nˆe
´
u ph´ep nhˆan cu

a n´o c´o t´ınh giao ho´an:
xy = y x, ∀x, y ∈ R.
V`anh R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a c´o d¯o
.
n vi
.
nˆe
´
u ph´ep nhˆan cu

a n´o c´o d¯o
.
n vi
.

, t´u
.
c l`a c´o phˆa
`
n tu
.

1 ∈ R sao cho:
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.
V´ı du
.
:
(a) C´ac tˆa
.
p ho
.
.
p sˆo
´
Z, Q l`a c´ac v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o
.
n vi
.
d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac ph´ep to´an
cˆo
.

ng v`a nhˆan thˆong thu
.
`o
.
ng. Tˆa
.
p ho
.
.
p sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen N khˆong l`a mˆo
.
t v`anh, v`ı
n´o khˆong l`a mˆo
.
t nh´om d¯ˆo
´
i v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng.
(b) Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa ph´ep nhˆan trˆen nh´om cˆo
.

ng Z/n c´ac sˆo
´
nguyˆen modulo n nhu
.
sau:
[x][y] = [xy], ∀x, y ∈ Z/n.
Ph´ep nhˆan n`ay khˆong phu
.
thuˆo
.
c d¯a
.
i biˆe

u cu

a c´ac l´o
.
p [x] v`a [y]. N´o biˆe
´
n nh´om
cˆo
.
ng Z/n th`anh mˆo
.
t v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o
.
n vi
.
, d¯u

.
o
.
.
c go
.
i l`a v`anh c´ac sˆo
´
nguyˆen modulo n.
(c) Trong Chu
.
o
.
ng II ta s˜e x´et mˆo
.
t l´o
.
p v`anh d¯˘a
.
c biˆe
.
t quan tro
.
ng d¯ˆo
´
i v´o
.
i mˆon D
-
a

.
i
sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh, d¯´o l`a v`anh M(n ×n, K) c´ac ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n v´o
.
i c´ac phˆa
`
n
tu
.

trong tru
.
`o
.
ng K.
22
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.5 Gia


su
.

R v`a R

l`a c´ac v`anh.
´
Anh xa
.
ϕ : R → R

d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u v`anh nˆe
´
u
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y),
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.

C´ac kh´ai niˆe
.
m d¯o
.
n cˆa
´
u v`anh, to`an cˆa
´
u v`anh, d¯˘a

ng cˆa
´
u v`anh d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa
tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
d¯ˆo

´
i v´o
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p nh´om.
Ch˘a

ng ha
.
n, ph´ep nh´ung Z ⊂ Q l`a mˆo
.
t d¯o
.
n cˆa
´
u v`anh. Ph´ep chiˆe
´
u pr : Z → Z/n
l`a mˆo
.
t to`an cˆa
´
u v`anh.
Phˆa

`
n tu
.

x trong mˆo
.
t v`anh c´o d¯o
.
n vi
.
R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a kha

nghi
.
ch nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i phˆa
`
n

tu
.

x

∈ R sao cho
xx

= x

x = 1.
Dˆe
˜
ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng phˆa
`
n tu
.

x

c´o t´ınh chˆa
´
t nhu
.
vˆa
.

y nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i th`ı duy nhˆa
´
t. N´o
d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x
−1
.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.6 Mˆo
.
t v`anh giao ho´an, c´o d¯o
.
n vi
.
1 = 0 sao cho mo

.
i phˆa
`
n tu
.

kh´ac 0
trong n´o d¯ˆe
`
u kha

nghi
.
ch d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.
V`anh Q l`a mˆo
.
t tru

.
`o
.
ng. V`anh sˆo
´
nguyˆen Z khˆong l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng, v`ı c´ac sˆo
´
kh´ac
±1 d¯ˆe
`
u khˆong kha

nghi
.
ch trong Z.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.7 Gia

su
.


≤ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trˆen tru
.
`o
.
ng K. Khi d¯´o K d¯u
.
o
.
.
c
go
.
i l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng d¯u
.
o

.
.
c s˘a
´
p d¯ˆo
´
i v´o
.
i th´u
.
tu
.
.
≤ nˆe
´
u c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n sau d¯ˆay d¯u
.
o
.
.
c thoa

m˜an:
(a) Nˆe
´
u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z, v´o

.
i mo
.
i z ∈ K;
(b) Nˆe
´
u x ≤ y v`a 0 ≤ z th`ı xz ≤ yz.
Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
h˜u
.
u ty

Q l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´

p d¯ˆo
´
i v´o
.
i th´u
.
tu
.
.
thˆong thu
.
`o
.
ng.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay ta s˜e x´et xem khi n`ao th`ı v`anh Z/n l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.
23
D
-
i
.

nh ngh˜ıa 4.8 Nˆe
´
u v`anh R ch´u
.
a c´ac phˆa
`
n tu
.

a = 0, b = 0 sao cho ab = 0 th`ı ta
n´oi R c´o u
.
´o
.
c cu

a khˆong.
Tr´ai la
.
i, nˆe
´
u t`u
.
d¯˘a

ng th´u
.
c ab = 0 (v´o
.
i a, b ∈ R) suy ra ho˘a

.
c a = 0 ho˘a
.
c b = 0,
th`ı v`anh R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a khˆong c´o u
.
´o
.
c cu

a khˆong.
V`anh Z/6 c´o u
.
´o
.
c cu

a khˆong, bo
.

i v`ı [2] = 0, [3] = 0 v`a
[2][3] = [6] = [0] = 0.
N´oi chung, nˆe

´
u n l`a mˆo
.
t ho
.
.
p sˆo
´
th`ı Z/n c´o u
.
´o
.
c cu

a khˆong. Thˆa
.
t vˆa
.
y, v`ı n l`a
mˆo
.
t ho
.
.
p sˆo
´
cho nˆen n = rs trong d¯´o 0 < r, s < n. Khi d¯´o, [r] = 0, [s] = 0 v`a
[r][s] = [n] = [0] = 0.
Mˆe
.

nh d¯ˆe
`
4.9 Mˆo
˜
i tru
.
`o
.
ng d¯ˆe
`
u l`a mˆo
.
t v`anh khˆong c´o u
.
´o
.
c cu

a khˆong.
Ch´u
.
ng minh: Gia

su
.

K l`a mˆo
.
t tru
.

`o
.
ng, a v`a b l`a c´ac phˆa
`
n tu
.

thuˆo
.
c K v´o
.
i ab = 0.
Nˆe
´
u a = 0 th`ı a kha

nghi
.
ch. Ta c´o
b = 1b = (a
−1
a)b = a
−1
(ab) = a
−1
0 = 0.
Vˆa
.
y K khˆong c´o u
.

´o
.
c cu

a khˆong. ✷
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
4.10 Z/n l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng nˆe
´
u v`a chı

nˆe
´
u n l`a mˆo
.
t sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
Ch´u
.

ng minh: Nˆe
´
u n l`a mˆo
.
t ho
.
.
p sˆo
´
th`ı Z/n c´o u
.
´o
.
c cu

a khˆong, do d¯´o khˆong l`a
mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.
Gia

su
.

n = p l`a mˆo
.

t sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
. Mˆo
˜
i phˆa
`
n tu
.

kh´ac khˆong trong Z/p d¯ˆe
`
u c´o
da
.
ng [q] trong d¯´o d¯a
.
i biˆe

u q thoa

m˜an d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n 0 < q < p. Khi d¯´o p v`a q nguyˆen
tˆo
´
c`ung nhau, v`ı thˆe

´
c´o c´ac sˆo
´
nguyˆen k v`a  sao cho kp + q = 1. Hay l`a
[][q] = [1] − [kp] = [1]
trong Z/p. D
-
iˆe
`
u n`ay c´o ngh˜ıa l`a [q] kha

ngi
.
ch, v`a [q]
−1
= []. ✷
24
Tru
.
`o
.
ng Z/p thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.

c k´y hiˆe
.
u l`a F
p
.
Trong v`anh Z/n c´o hiˆe
.
n tu
.
o
.
.
ng sau d¯ˆay:
1 + 1 + ··· + 1
  
n
= 0.
Chuyˆe
.
n n`ay khˆong xa

y ra trong c´ac v`anh Z v`a Q. Ta d¯i t´o
.
i d¯i
.
nh ngh˜ıa sau d¯ˆay.
D
-
i
.

nh ngh˜ıa 4.11 Cho R l`a mˆo
.
t v`anh c´o d¯o
.
n vi
.
. Nˆe
´
u c´o sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng n sao
cho 1 + 1 + ··· + 1
  
n
= 0, th`ı sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng nho

nhˆa
´
t c´o t´ınh chˆa
´

t d¯´o d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a
d¯˘a
.
c sˆo
´
cu

a v`anh R. Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, nˆe
´
u khˆong c´o sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng n n`ao nhu

.
thˆe
´
th`ı
ta n´oi R c´o d¯˘a
.
c sˆo
´
b˘a
`
ng 0. D
-
˘a
.
c sˆo
´
cu

a R d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a Char(R).
V´ı du
.
: Char(Z) = Char(Q) = 0,
Char(Z/n) = n, v´o

.
i mo
.
i sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng n.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
4.12 Nˆe
´
u K l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng th`ı Char(K) ho˘a
.
c b˘a
`
ng 0 ho˘a
.
c l`a mˆo
.

t sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
Ch´u
.
ng minh: D
-
˘a
.
t m · 1 = 1 + 1 + ··· + 1

 
m
∈ K. Gia

su
.

n = Char(K) l`a mˆo
.
t ho
.
.
p
sˆo
´
v´o
.

i phˆan t´ıch n = rs (0 < r, s < n). Dˆe
˜
thˆa
´
y r˘a
`
ng n · 1 = (r · 1)(s · 1) = 0. V`ı
tru
.
`o
.
ng K khˆong c´o u
.
´o
.
c cu

a khˆong, nˆen ho˘a
.
c (r ·1) = 0 ho˘a
.
c (s · 1) = 0. D
-
iˆe
`
u n`ay
mˆau thuˆa
˜
n v´o
.

i d¯i
.
nh ngh˜ıa cu

a d¯˘a
.
c sˆo
´
, v`ı r v`a s l`a c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen nho

ho
.
n n. ✷
5 Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c
Tˆa
´

t ca

c´ac ho
.
c tr`o tˆo
´
t nghiˆe
.
p trung ho
.
c phˆo

thˆong d¯ˆe
`
u d¯˜a t´ınh to´an thuˆa
`
n thu
.
c v´o
.
i
c´ac sˆo
´
thu
.
.
c. Thˆe
´
nhu
.

ng, nˆe
´
u ho

i ho
.
“Sˆo
´
thu
.
.
c l`a g`ı?” th`ı ch˘a
´
c ch˘a
´
n ho
.
s˜e khˆong tra

l`o
.
i d¯u
.
o
.
.
c. Thˆa
.
t ra, d¯´o l`a mˆo
.

t vˆa
´
n d¯ˆe
`
rˆa
´
t kh´o.
Trong tiˆe
´
t n`ay, ch´ung ta s˜e xˆay du
.
.
ng tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c R nhu
.
l`a mˆo
.
t “bˆo

sung”
cu


a tru
.
`o
.
ng sˆo
´
h˜u
.
u ty

Q, nh˘a
`
m gia

i quyˆe
´
t t`ınh tra
.
ng kh´o xu
.

m`a Pythagore d¯˜a g˘a
.
p
t`u
.
ho
.
n 2000 n˘am tru
.

´o
.
c, d¯´o l`a: Nˆe
´
u chı

d`ung c´ac sˆo
´
h˜u
.
u ty

th`ı d¯u
.
`o
.
ng ch´eo cu

a
25

×