giáo trình đại số tuyến tính

MU
.
C LU
.
C
Mu
.
c lu
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
L`o
.
i n´oi d¯ˆa
`
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
.
o
.
ng 0: Kiˆe
´
n th´u
.
c chuˆa
’
n bi
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§1. Tˆa
.
p ho

.
.
p 7
§2. Quan hˆe
.
v`a
´
Anh xa
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§3. Lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng cu
’
a tˆa
.
p ho
.
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§4. Nh´om, V`anh v`a Tru
.
`o
.

ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§5. Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§6. Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§7. D
-
a th´u
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chu
.

o
.
ng I: Khˆong gian v´ecto
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Kh´ai niˆe
.
m khˆong gian v´ecto
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2. D
-
ˆo
.
c lˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh v`a phu
.
thuˆo
.
c tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§3. Co
.
so
.
’

v`a sˆo
´
chiˆe
`
u cu
’
a khˆong gian v´ecto
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§4. Khˆong gian con - Ha
.
ng cu
’
a mˆo
.
t hˆe
.
v´ecto
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§5. Tˆo
’
ng v`a tˆo
’
ng tru
.
.
c tiˆe
´
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

§6. Khˆong gian thu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chu
.
o
.
ng II: Ma trˆa
.
n v`a
´
Anh xa
.
tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§1. Ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§2.
´
Anh xa
.
tuyˆe
´

n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§3. Ha
.
t nhˆan v`a a
’
nh cu
’
a d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§4. Khˆong gian v´ecto
.
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1
Chu
.
o
.
ng III: D
-
i

.
nh th´u
.
c v`a hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§1. C´ac ph´ep thˆe
´
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§2. D
-
i
.
nh th´u
.
c cu
’
a ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§3.
´
Anh xa
.

d¯a tuyˆe
´
n t´ınh thay phiˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§4. D
-
i
.
nh th´u
.
c cu
’
a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§5. C´ac t´ınh chˆa
´
t sˆau ho
.
n cu
’
a d¯i
.
nh th´u
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

§6. D
-
i
.
nh th´u
.
c v`a ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§7. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh - Quy t˘a
´
c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§8. Hˆe
.
phu
.
o
.

ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh - Phu
.
o
.
ng ph´ap khu
.
’
Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139
§9. Cˆa
´
u tr´uc nghiˆe
.
m cu
’
a hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Chu
.

o
.
ng IV: Cˆa
´
u tr´uc cu
’
a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§1. V´ecto
.
riˆeng v`a gi´a tri
.
riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§2. Khˆong gian con ˆo
’
n d¯i
.
nh cu
’
a c´ac tu
.
.
d¯ˆo
`

ng cˆa
´
u thu
.
.
c v`a ph´u
.
c . . . . . . . . . . . 161
§3. Tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u ch´eo ho´a d¯u
.
o
.
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§4. Tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u lu˜y linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§5. Ma trˆa

.
n chuˆa
’
n Jordan cu
’
a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Chu
.
o
.
ng V: Khˆong gian v´ecto
.
Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§1. Khˆong gian v´ecto
.
Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§2.
´
Anh xa
.

tru
.
.
c giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§3. Ph´ep biˆe
´
n d¯ˆo
’
i liˆen ho
.
.
p v`a ph´ep biˆe
´
n d¯ˆo
’
i d¯ˆo
´
i x´u
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
§4. V`ai n´et vˆe
`
khˆong gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Chu
.
o
.

ng VI: Da
.
ng song tuyˆe
´
n t´ınh v`a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§1. Kh´ai niˆe
.
m da
.
ng song tuyˆe
´
n t´ınh v`a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . 234
§2. D
-
u
.
a da
.

ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 237
2
§3. Ha
.
ng v`a ha
.
ch cu
’
a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
§4. Chı
’
sˆo
´
qu´an t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

§5. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng x´ac d¯i
.
nh dˆa
´
u 252
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Chu
.
o
.
ng VII: D
-
a
.
i sˆo
´
d¯a tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§1. T´ıch tenxo
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

§2. C´ac t´ınh chˆa
´
t co
.
ba
’
n cu
’
a t´ıch tenxo
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
§3. D
-
a
.
i sˆo
´
tenxo
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
§4. D
-
a
.
i sˆo
´
d¯ˆo
´
i x´u
.

ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§5. D
-
a
.
i sˆo
´
ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
B`ai tˆa
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
T`ai liˆe
.
u tham kha
’
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
3
L
`
O
.
I N
´
OI D
-
ˆ
A
`
U
Theo d`ong li

.
ch su
.
’
, mˆon D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh kho
.
’
i d¯ˆa
`
u v´o
.
i viˆe
.
c gia
’
i v`a biˆe
.
n luˆa
.
n
c´ac hˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh. Vˆe
`
sau, d¯ˆe
’
c´o thˆe
’
hiˆe
’
u thˆa
´
u d¯´ao cˆa
´
u tr´uc cu
’
a tˆa
.
p
nghiˆe
.
m v`a d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯ˆe

’
mˆo
.
t hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh c´o nghiˆe
.
m, ngu
.
`o
.
i ta xˆay
du
.
.
ng nh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
m tr`u
.
u tu
.
o

.
.
ng ho
.
n nhu
.
khˆong gian v´ecto
.
v`a ´anh xa
.
tuyˆe
´
n t´ınh.
Ngu
.
`o
.
i ta c˜ung c´o nhu cˆa
`
u kha
’
o s´at c´ac khˆong gian v´o
.
i nhiˆe
`
u thuˆo
.
c t´ınh h`ınh ho
.
c

ho
.
n, trong d¯´o c´o thˆe
’
d¯o d¯ˆo
.
d`ai cu
’
a v´ecto
.
v`a g´oc gi˜u
.
a hai v´ecto
.
. Xa ho
.
n, hu
.
´o
.
ng
nghiˆen c´u
.
u n`ay dˆa
˜
n t´o
.
i b`ai to´an phˆan loa
.
i c´ac da

.
ng to`an phu
.
o
.
ng, v`a tˆo
’
ng qu´at ho
.
n
phˆan loa
.
i c´ac tenxo
.
, du
.
´o
.
i t´ac d¯ˆo
.
ng cu
’
a mˆo
.
t nh´om cˆa
´
u tr´uc n`ao d¯´o.
Ng`ay nay, D
-
a

.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh d¯u
.
o
.
.
c ´u
.
ng du
.
ng v`ao h`ang loa
.
t l˜ınh vu
.
.
c kh´ac nhau,
t`u
.
Gia
’
i t´ıch t´o
.
i H`ınh ho
.
c vi phˆan v`a L´y thuyˆe
´

t biˆe
’
u diˆe
˜
n nh´om, t`u
.
Co
.
ho
.
c, Vˆa
.
t l´y
t´o
.
i K˜y thuˆa
.
t V`ı thˆe
´
, n´o d¯˜a tro
.
’
th`anh mˆo
.
t mˆon ho
.
c co
.
so
.

’
cho viˆe
.
c d¯`ao ta
.
o c´ac
gi´ao viˆen trung ho
.
c, c´ac chuyˆen gia bˆa
.
c d¯a
.
i ho
.
c v`a trˆen d¯a
.
i ho
.
c thuˆo
.
c c´ac chuyˆen
ng`anh khoa ho
.
c co
.
ba
’
n v`a cˆong nghˆe
.
trong tˆa

´
t ca
’
c´ac tru
.
`o
.
ng d¯a
.
i ho
.
c.
D
-
˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo
´
n s´ach vˆe
`
D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh d¯u
.
o
.

.
c xuˆa
´
t ba
’
n trˆen to`an thˆe
´
gi´o
.
i. Ch´ung tˆoi nhˆa
.
n thˆa
´
y c´o hai khuynh hu
.
´o
.
ng chu
’
yˆe
´
u trong viˆe
.
c tr`ınh b`ay mˆon
ho
.
c n`ay.
Khuynh hu
.
´o

.
ng th´u
.
nhˆa
´
t b˘a
´
t d¯ˆa
`
u v´o
.
i c´ac kh´ai niˆe
.
m ma trˆa
.
n, d¯i
.
nh th´u
.
c v`a hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh, rˆo
`
i d¯i t´o

.
i c´ac kh´ai niˆe
.
m tr`u
.
u tu
.
o
.
.
ng ho
.
n nhu
.
khˆong gian
v´ecto
.
v`a ´anh xa
.
tuyˆe
´
n t´ınh. Khuynh hu
.
´o
.
ng n`ay dˆe
˜
tiˆe
´
p thu. Nhu

.
ng n´o khˆong cho
ph´ep tr`ınh b`ay l´y thuyˆe
´
t vˆe
`
d¯i
.
nh th´u
.
c v`a hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh b˘a
`
ng mˆo
.
t
ngˆon ng˜u
.
cˆo d¯o
.
ng v`a d¯e
.
p d¯˜e.

Khuynh hu
.
´o
.
ng th´u
.
hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe
.
m khˆong gian v´ecto
.
v`a ´anh xa
.
tuyˆe
´
n t´ınh tru
.
´o
.
c, rˆo
`
i ´ap du
.
ng v`ao kha
’
o s´at d¯i
.
nh th´u
.
c v`a hˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n
t´ınh. U
.
u d¯iˆe
’
m cu
’
a phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay l`a d¯ˆe
`
cao ve
’
d¯e
.
p trong t´ınh nhˆa
´
t qu´an vˆe
`
cˆa
´
u

tr´uc cu
’
a c´ac d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng d¯u
.
o
.
.
c kha
’
o s´at. Nhu
.
o
.
.
c d¯iˆe
’
m cu
’
a n´o l`a khi x´et t´ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p

4
tuyˆe
´
n t´ınh v`a phu
.
thuˆo
.
c tuyˆe
´
n t´ınh, thˆa
.
t ra ngu
.
`o
.
i ta d¯˜a pha
’
i d¯ˆo
´
i m˘a
.
t v´o
.
i viˆe
.
c gia
’
i
hˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh.
C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ung c´o c´ai l´y cu
’
a n´o. Theo kinh nghiˆe
.
m cu
’
a ch´ung tˆoi th`ı
nˆen cho
.
n c´ach tr`ınh b`ay th´u
.
hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha
’
n˘ang tu
.
duy tr`u
.
u tu
.
o
.
.
ng

tˆo
´
t ho
.
n v`a c´o mu
.
c d¯´ıch hu
.
´o
.
ng t´o
.
i mˆo
.
t m˘a
.
t b˘a
`
ng kiˆe
´
n th´u
.
c cao ho
.
n vˆe
`
to´an.
Cuˆo
´
n s´ach n`ay d¯u

.
o
.
.
c ch´ung tˆoi biˆen soa
.
n nh˘a
`
m mu
.
c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ach
tham kha
’
o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho
.
c v`a nghiˆen c´u
.
u sinh c´ac ng`anh khoa ho
.
c
tu
.
.
nhiˆen v`a cˆong nghˆe
.
cu
’
a c´ac tru
.
`o

.
ng d¯a
.
i ho
.
c khoa ho
.
c tu
.
.
nhiˆen, d¯a
.
i ho
.
c su
.
pha
.
m
v`a d¯a
.
i ho
.
c k˜y thuˆa
.
t. Cuˆo
´
n s´ach d¯u
.
o

.
.
c viˆe
´
t trˆen co
.
so
.
’
c´ac b`ai gia
’
ng vˆe
`
D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n
t´ınh cu
’
a tˆoi trong nhiˆe
`
u n˘am cho sinh viˆen mˆo
.
t sˆo
´

khoa cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
i ho
.
c Tˆo
’
ng
ho
.
.
p (nay l`a D
-
a
.
i ho
.
c khoa ho
.
c Tu
.
.
nhiˆen) H`a Nˆo

.
i v`a cu
’
a mˆo
.
t sˆo
´
tru
.
`o
.
ng d¯a
.
i ho
.
c su
.
pha
.
m. D
-
˘a
.
c biˆe
.
t, tˆoi d¯˜a gia
’
ng gi´ao tr`ınh n`ay trong 3 n˘am ho
.
c 1997-1998, 1998-1999,

1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co
.
, L´y, Ho´a, Sinh, D
-
i
.
a chˆa
´
t, Kh´ı tu
.
o
.
.
ng
thuy
’
v˘an cu
’
a Chu
.
o
.
ng tr`ınh d¯`ao ta
.
o Cu
.
’
nhˆan khoa ho
.
c t`ai n˘ang, D

-
a
.
i ho
.
c khoa
ho
.
c Tu
.
.
nhiˆen H`a Nˆo
.
i.
Ch´ung tˆoi cho
.
n khuynh hu
.
´o
.
ng th´u
.
hai trong hai khuynh hu
.
´o
.
ng tr`ınh b`ay d¯˜a
n´oi o
.
’

trˆen. Tˆa
´
t nhiˆen, v´o
.
i d¯ˆoi ch´ut thay d¯ˆo
’
i, cuˆo
´
n s´ach n`ay c´o thˆe
’
d`ung d¯ˆe
’
gia
’
ng
D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh theo khuynh hu
.
´o
.
ng tr`ınh b`ay th´u
.
nhˆa

´
t.
Tu
.
tu
.
o
.
’
ng cˆa
´
u tr´uc d¯u
.
o
.
.
c ch´ung tˆoi nhˆa
´
n ma
.
nh nhu
.
mˆo
.
t ma
.
ch ch´ınh cu
’
a cuˆo
´

n
s´ach. Mˆo
˜
i d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng d¯ˆe
`
u d¯u
.
o
.
.
c nghiˆen c´u
.
u trong mˆo
´
i tu
.
o
.
ng quan v´o
.
i nh´om c´ac
ph´ep biˆe
´

n d¯ˆo
’
i ba
’
o to`an cˆa
´
u tr´uc cu
’
a d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng d¯´o: Kha
’
o s´at khˆong gian v´ecto
.
g˘a
´
n
liˆe
`
n v´o
.
i nh´om tuyˆe
´
n t´ınh tˆo
’

ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto
.
Euclid v`a khˆong
gian v´ecto
.
Euclid d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng g˘a
´
n liˆe
`
n v´o
.
i nh´om tru
.
.
c giao O(n) v`a nh´om tru
.
.
c giao
d¯˘a
.
c biˆe
.
t SO(n), khˆong gian Unita g˘a
´

n liˆe
`
n v´o
.
i nh´om unita U(n) Kˆe
´
t qua
’
phˆan
loa
.
i c´ac da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng phu
.
thuˆo
.
c c˘an ba
’
n v`ao viˆe
.
c qu´a tr`ınh phˆan loa
.
i d¯u
.
o

.
.
c
tiˆe
´
n h`anh du
.
´o
.
i t´ac d¯ˆo
.
ng cu
’
a nh´om n`ao (tuyˆe
´
n t´ınh tˆo
’
ng qu´at, tru
.
.
c giao ).
Theo kinh nghiˆe
.
m, ch´ung tˆoi khˆong thˆe
’
gia
’
ng hˆe
´
t nˆo

.
i dung cu
’
a cuˆo
´
n s´ach n`ay
trong mˆo
.
t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa
’
n vˆe
`
D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru
.
`o
.
ng d¯a
.
i
5
ho
.

c, ngay ca
’
d¯ˆo
´
i v´o
.
i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an. C´ac chu
’
d¯ˆe
`
vˆe
`
da
.
ng chuˆa
’
n t˘a
´
c
Jordan cu
’
a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u, da
.

ng ch´ınh t˘a
´
c cu
’
a tu
.
.
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u tru
.
.
c giao, viˆe
.
c d¯u
.
a d¯ˆo
`
ng
th`o
.
i hai da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe

`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c, d¯a
.
i sˆo
´
tenxo
.
, d¯a
.
i sˆo
´
d¯ˆo
´
i x´u
.
ng v`a d¯a
.
i
sˆo
´
ngo`ai nˆen d`ung d¯ˆe
’
gia
’
ng chi tiˆe
´

t cho c´ac sinh viˆen cao ho
.
c v`a nghiˆen c´u
.
u sinh
c´ac ng`anh To´an, Co
.
ho
.
c v`a Vˆa
.
t l´y.
Ch´ung tˆoi cˆo
´
g˘a
´
ng b`ınh luˆa
.
n ´y ngh˜ıa cu
’
a c´ac kh´ai niˆe
.
m v`a u
.
u khuyˆe
´
t d¯iˆe
’
m
cu

’
a c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap d¯u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay. Cuˆo
´
i mˆo
˜
i chu
.
o
.
ng d¯ˆe
`
u c´o phˆa
`
n b`ai tˆa
.
p,
d¯u
.
o
.
.

c tuyˆe
’
n cho
.
n chu
’
yˆe
´
u t`u
.
cuˆo
´
n s´ach nˆo
’
i tiˆe
´
ng “B`ai tˆa
.
p D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh” cu
’
a
I. V. Proskuryakov. D

-
ˆe
’
n˘a
´
m v˜u
.
ng kiˆe
´
n th´u
.
c, d¯ˆo
.
c gia
’
nˆen d¯o
.
c rˆa
´
t k˜y phˆa
`
n l´y thuyˆe
´
t
tru
.
´o
.
c khi l`am c`ang nhiˆe
`

u c`ang tˆo
´
t c´ac b`ai tˆa
.
p cuˆo
´
i mˆo
˜
i chu
.
o
.
ng.
Viˆe
.
c su
.
’
du
.
ng cuˆo
´
n s´ach n`ay s˜e d¯˘a
.
c biˆe
.
t thuˆa
.
n lo
.

.
i nˆe
´
u ngu
.
`o
.
i d¯o
.
c coi n´o l`a phˆa
`
n
mˆo
.
t cu
’
a mˆo
.
t bˆo
.
s´ach m`a phˆa
`
n hai cu
’
a n´o l`a cuˆo
´
n D
-
a
.

i sˆo
´
d¯a
.
i cu
.
o
.
ng cu
’
a c`ung t´ac
gia
’
, do Nh`a xuˆa
´
t ba
’
n Gi´ao du
.
c H`a Nˆo
.
i ˆa
´
n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba
’
n n˘am 1999.
T´ac gia
’
chˆan th`anh ca
’

m o
.
n Ban d¯iˆe
`
u h`anh Chu
.
o
.
ng tr`ınh d¯`ao ta
.
o Cu
.
’
nhˆan khoa
ho
.
c t`ai n˘ang, D
-
a
.
i ho
.
c Khoa ho
.
c tu
.
.
nhiˆen H`a Nˆo
.
i, d¯˘a

.
c biˆe
.
t l`a Gi´ao su
.
D
-
`am Trung
D
-
ˆo
`
n v`a Gi´ao su
.
Nguyˆe
˜
n Duy Tiˆe
´
n, d¯˜a ta
.
o mo
.
i d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n thuˆa
.
n lo
.

.
i d¯ˆe
’
t´ac gia
’
gia
’
ng
da
.
y cho sinh viˆen cu
’
a Chu
.
o
.
ng tr`ınh trong ba n˘am qua v`a viˆe
´
t cuˆo
´
n s´ach n`ay trˆen
co
.
so
.
’
nh˜u
.
ng b`ai gia
’

ng d¯´o.
T´ac gia
’
mong nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c su
.
.
chı
’
gi´ao cu
’
a c´ac d¯ˆo
.
c gia
’
v`a d¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p vˆe
`
nh˜u
.
ng

thiˆe
´
u s´ot kh´o tr´anh kho
’
i cu
’
a cuˆo
´
n s´ach.
H`a Nˆo
.
i, 12/1999
6
Chu
.
o
.
ng 0
KI
ˆ
E
´
N TH
´
U
.
C CHU
ˆ
A
’

N BI
.
Nhiˆe
.
m vu
.
cu
’
a chu
.
o
.
ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du
.
´o
.
i da
.
ng gia
’
n lu
.
o
.
.
c nhˆa
´
t mˆo
.
t sˆo

´
kiˆe
´
n
th´u
.
c chuˆa
’
n bi
.
cho phˆa
`
n c`on la
.
i cu
’
a cuˆo
´
n s´ach: Tˆa
.
p ho
.
.
p, quan hˆe
.
, ´anh xa
.
, nh´om,
v`anh, tru
.

`o
.
ng, d¯a th´u
.
c Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c s˜e d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng ch˘a
.
t ch˜e o
.
’
§5. Nhu
.
ng
v`ı c´ac t´ınh chˆa

´
t cu
’
a n´o rˆa
´
t quen thuˆo
.
c v´o
.
i nh˜u
.
ng ai d¯˜a ho
.
c qua chu
.
o
.
ng tr`ınh trung
ho
.
c phˆo
’
thˆong, cho nˆen ch´ung ta vˆa
˜
n n´oi t´o
.
i tru
.
`o
.

ng n`ay trong c´ac v´ı du
.
o
.
’
c´ac tiˆe
´
t
§1 - §4.
1 Tˆa
.
p ho
.
.
p
Trong tiˆe
´
t n`ay, ch´ung ta tr`ınh b`ay vˆe
`
tˆa
.
p ho
.
.
p theo quan d¯iˆe
’
m cu
’
a “L´y thuyˆe
´

t tˆa
.
p
ho
.
.
p ngˆay tho
.
”.
Cu
.
thˆe
’
, tˆa
.
p ho
.
.
p l`a mˆo
.
t kh´ai niˆe
.
m “nguyˆen thuy
’
”, khˆong d¯u
.
o
.
.
c d¯i

.
nh ngh˜ıa, m`a
d¯u
.
o
.
.
c hiˆe
’
u mˆo
.
t c´ach tru
.
.
c gi´ac nhu
.
sau: Mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p l`a mˆo
.
t su
.
.
quˆa
`

n tu
.
c´ac d¯ˆo
´
i
tu
.
o
.
.
ng c´o c`ung mˆo
.
t thuˆo
.
c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜u
.
ng d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng n`ay d¯u
.
o
.
.
c go
.

i l`a c´ac phˆa
`
n
tu
.
’
cu
’
a tˆa
.
p ho
.
.
p d¯´o. (Tˆa
´
t nhiˆen, mˆo ta
’
n´oi trˆen khˆong pha
’
i l`a mˆo
.
t d¯i
.
nh ngh˜ıa cu
’
a
tˆa
.
p ho
.

.
p, n´o chı
’
diˆe
˜
n d¯a
.
t kh´ai niˆe
.
m tˆa
.
p ho
.
.
p qua mˆo
.
t kh´ai niˆe
.
m c´o ve
’
gˆa
`
n g˜ui ho
.
n
l`a “quˆa
`
n tu
.
”. Tuy vˆa

.
y, ba
’
n thˆan kh´ai niˆe
.
m quˆa
`
n tu
.
la
.
i chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa.)
Ngu
.
`o
.
i ta c˜ung thu
.
`o
.
ng go

.
i t˘a
´
t tˆa
.
p ho
.
.
p l`a “tˆa
.
p”.
D
-
ˆe
’
c´o mˆo
.
t sˆo
´
v´ı du
.
, ch´ung ta c´o thˆe
’
x´et tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sinh viˆen cu
’

a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng
d¯a
.
i ho
.
c, tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac xe ta
’
i cu
’
a mˆo
.
t cˆong ty, tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen tˆo

´

C´ac tˆa
.
p ho
.
.
p thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.
’
i c´ac ch˜u
.
in hoa: A, B, C, , X, Y, Z
C´ac phˆa
`
n tu
.
’
cu

’
a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hi
.
ˆeu bo
.
’
i c´ac ch˜u
.
in thu
.
`o
.
ng:
a, b, c, , x, y, z D

-
ˆe
’
n´oi x l`a mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a tˆa
.
p ho
.
.
p X, ta viˆe
´
t x ∈ X v`a d¯o
.
c l`a
7
“x thuˆo
.
c X”. Tr´ai la
.
i, d¯ˆe
’
n´oi y khˆong l`a phˆa

`
n tu
.
’
cu
’
a X, ta viˆe
´
t y ∈ X, v`a d¯o
.
c l`a
“y khˆong thuˆo
.
c X”.
D
-
ˆe
’
x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p, ngu
.
`o

.
i ta c´o thˆe
’
liˆe
.
t kˆe tˆa
´
t ca
’
c´ac phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a n´o.
Ch˘a
’
ng ha
.
n,
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Ngu
.
`o
.
i ta c˜ung c´o thˆe
’
x´ac d¯i

.
nh mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p bo
.
’
i mˆo
.
t t´ınh chˆa
´
t d¯˘a
.
c tru
.
ng P(x) n`ao
d¯´o cu
’
a c´ac phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a n´o. Tˆa

.
p ho
.
.
p X c´ac phˆa
`
n tu
.
’
x c´o t´ınh chˆa
´
t P(x) d¯u
.
o
.
.
c k´y
hiˆe
.
u l`a
X = {x| P(x)},
ho˘a
.
c l`a
X = {x : P(x)}.
V´ı du
.
:
N = {x| x l`a sˆo
´

tu
.
.
nhiˆen},
Z = {x| x l`a sˆo
´
nguyˆen },
Q = {x| x l`a sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
},
R = {x| x l`a sˆo
´
thu
.
.
c}.
Nˆe
´
u mo
.
i phˆa
`
n tu
.
’
cu

’
a tˆa
.
p ho
.
.
p A c˜ung l`a mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a tˆa
.
p ho
.
.
p X th`ı ta n´oi
A l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p con cu
’

a X, v`a viˆe
´
t A ⊂ X. Tˆa
.
p con A gˆo
`
m c´ac phˆa
`
n tu
.
’
x cu
’
a X
c´o t´ınh chˆa
´
t P( x) d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a
A = {x ∈ X| P(x)}.
Hai tˆa
.
p ho
.
.

p X v`a Y d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a b˘a
`
ng nhau nˆe
´
u mˆo
˜
i phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a tˆa
.
p ho
.
.
p n`ay
c˜ung l`a mˆo
.
t phˆa
`

n tu
.
’
cu
’
a tˆa
.
p ho
.
.
p kia v`a ngu
.
o
.
.
c la
.
i, t´u
.
c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X. Khi
d¯´o ta viˆe
´
t X = Y .
Tˆa
.
p ho
.
.
p khˆong ch´u
.

a mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
n`ao ca
’
d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.
’
i ∅, v`a d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a
tˆa
.
p rˆo

˜
ng. Ta quy u
.
´o
.
c r˘a
`
ng ∅ l`a tˆa
.
p con cu
’
a mo
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p. Tˆa
.
p ho
.
.
p rˆo
˜
ng rˆa
´
t tiˆe
.
n

lo
.
.
i, n´o d¯´ong vai tr`o nhu
.
sˆo
´
khˆong trong khi l`am to´an v´o
.
i c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p.
8
C´ac ph´ep to´an ho
.
.
p, giao v`a hiˆe
.
u cu
’
a hai tˆa
.
p ho
.
.
p d¯u
.

o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau.
Cho c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p A v`a B.
Ho
.
.
p cu
’
a A v`a B d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.
’
i A ∪ B v`a d¯u

.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau
A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘a
.
c x ∈ B}.
Giao cu
’
a A v`a B d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.
’
i A ∩ B v`a d¯u
.
o
.
.
c d¯i

.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau
A ∩ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}.
Hiˆe
.
u cu
’
a A v`a B d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.
’
i A \ B v`a d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau
A \ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}.

Nˆe
´
u B ⊂ A th`ı A\B d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n b`u cu
’
a B trong A, v`a d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a C
A
(B).
C´ac ph´ep to´an ho
.
.
p, giao v`a hiˆe
.
u c´o c´ac t´ınh chˆa
´

t so
.
cˆa
´
p sau d¯ˆay:
Kˆe
´
t ho
.
.
p: (A ∪ B) ∪C = A ∪(B ∪ C),
(A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩ C).
Giao ho´an: A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A.
Phˆan phˆo
´
i: A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Cˆong th´u
.
c De Morgan: X \ (A ∪B) = (X \A) ∩(X \ B),
X \(A ∩ B) = (X \A) ∪ (X \B).
Gia
’
su
.
’
A
i
l`a mˆo

.
t tˆa
.
p ho
.
.
p v´o
.
i mˆo
˜
i i thuˆo
.
c mˆo
.
t tˆa
.
p chı
’
sˆo
´
I (c´o thˆe
’
h˜u
.
u ha
.
n hay
vˆo ha
.
n). Khi d¯´o, ho

.
.
p v`a giao cu
’
a ho
.
tˆa
.
p ho
.
.
p {A
i
}
i∈I
d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau:

i∈I
A
i
= {x| x ∈ A

i
v´o
.
i mˆo
.
t i n`ao d¯´o trong I},

i∈I
A
i
= {x| x ∈ A
i
v´o
.
i mo
.
i i ∈ I}.
Ta c´o da
.
ng tˆo
’
ng qu´at cu
’
a cˆong th´u
.
c De Morgan:
X \(

i∈I
A

i
) =

i∈I
(X \A
i
),
X \(

i∈I
A
i
) =

i∈I
(X \A
i
).
9
Viˆe
.
c su
.
’
du
.
ng qu´a rˆo
.
ng r˜ai kh´ai niˆe
.

m tˆa
.
p ho
.
.
p d¯˜a dˆa
˜
n t´o
.
i mˆo
.
t sˆo
´
nghi
.
ch l´y. Mˆo
.
t
trong sˆo
´
d¯´o l`a nghi
.
ch l´y Cantor sau d¯ˆay.
Ta n´oi tˆa
.
p ho
.
.
p X l`a b`ınh thu
.

`o
.
ng nˆe
´
u X ∈ X. X´et tˆa
.
p ho
.
.
p
X = {X| X l`a tˆa
.
p b`ınh thu
.
`o
.
ng}.
Nˆe
´
u X ∈ X th`ı theo d¯i
.
nh ngh˜ıa cu
’
a X, n´o l`a mˆo
.
t tˆa
.
p b`ınh thu
.
`o

.
ng. Do d¯´o, theo
d¯i
.
nh ngh˜ıa tˆa
.
p b`ınh thu
.
`o
.
ng, X ∈ X. Tr´ai la
.
i, nˆe
´
u X ∈ X, th`ı X l`a mˆo
.
t tˆa
.
p khˆong
b`ınh thu
.
`o
.
ng, v`a do d¯´o X ∈ X. Ca
’
hai tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p d¯ˆe
`
u dˆa
˜
n t´o
.
i mˆau thuˆa
˜
n.
D
-
ˆe
’
tr´anh nh˜u
.
ng nghi
.
ch l´y loa
.
i nhu
.
vˆa
.
y, ngu
.
`o
.
i ta s˜e khˆong d`ung kh´ai niˆe

.
m tˆa
.
p
ho
.
.
p d¯ˆe
’
chı
’
“nh˜u
.
ng thu
.
.
c thˆe
’
qu´a l´o
.
n”. Ta s˜e n´oi “l´o
.
p tˆa
´
t ca
’
c´ac tˆa
.
p ho
.

.
p”, ch´u
.
khˆong n´oi “tˆa
.
p ho
.
.
p tˆa
´
t ca
’
c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p”. Theo quan niˆe
.
m n`ay X chı
’
l`a mˆo
.
t l´o
.
p ch´u
.
khˆong l`a mˆo
.
t tˆa

.
p ho
.
.
p. V`ı thˆe
´
, ta tr´anh d¯u
.
o
.
.
c nghi
.
ch l´y n´oi trˆen.
Phˆa
`
n c`on la
.
i cu
’
a tiˆe
´
t n`ay d¯u
.
o
.
.
c d`anh cho viˆe
.
c tr`ınh b`ay so

.
lu
.
o
.
.
c vˆe
`
lu
.
o
.
.
ng t`u
.
phˆo
’
biˆe
´
n v`a lu
.
o
.
.
ng t`u
.
tˆo
`
n ta
.

i.
Ta thu
.
`o
.
ng cˆa
`
n pha
’
i ph´at biˆe
’
u nh˜u
.
ng mˆe
.
nh d¯ˆe
`
c´o da
.
ng: “Mo
.
i phˆa
`
n tu
.
’
x cu
’
a tˆa
.

p
ho
.
.
p X d¯ˆe
`
u c´o t´ınh chˆa
´
t P(x)”. Ngu
.
`o
.
i ta quy u
.
´o
.
c k´y hiˆe
.
u mˆe
.
nh d¯ˆe
`
d¯´o nhu
.
sau:
∀x ∈ X, P(x).
D˜ay k´y hiˆe
.
u trˆen d¯u
.

o
.
.
c d¯o
.
c l`a “V´o
.
i mo
.
i x thuˆo
.
c X, P(x)”.
K´y hiˆe
.
u ∀ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a lu
.
o
.
.
ng t`u
.
phˆo
’

biˆe
´
n.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, ta c˜ung hay g˘a
.
p c´ac mˆe
.
nh d¯ˆe
`
c´o da
.
ng: “Tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
x cu

’
a
X c´o t´ınh chˆa
´
t P(x)”. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
n`ay d¯u
.
o
.
.
c quy u
.
´o
.
c k´y hiˆe
.
u nhu
.
sau:
∃x ∈ X, P(x).
D˜ay k´y hiˆe
.
u d¯´o d¯u
.
o
.
.

c d¯o
.
c l`a “Tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t x thuˆo
.
c X, P(x)”.
K´y hiˆe
.
u ∃ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a lu
.
o
.
.
ng t`u
.
tˆo
`
n ta

.
i.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
“Tˆo
`
n ta
.
i duy nhˆa
´
t mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
x cu
’
a X c´o t´ınh chˆa
´
t P(x)” d¯u
.
o
.
.
c viˆe
´

t
nhu
.
sau:
∃!x ∈ X, P(x).
10
Lu
.
o
.
.
ng t`u
.
phˆo
’
biˆe
´
n v`a lu
.
o
.
.
ng t`u
.
tˆo
`
n ta
.
i c´o mˆo
´

i quan hˆe
.
quan tro
.
ng sau d¯ˆay.
Go
.
i P l`a phu
’
d¯i
.
nh cu
’
a mˆe
.
nh d¯ˆe
`
P. Ta c´o
∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x),
∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x).
Ch´ung tˆoi d¯ˆe
`
nghi
.
d¯ˆo
.
c gia
’
tu
.

.
ch´u
.
ng minh nh˜u
.
ng kh˘a
’
ng d¯i
.
nh trˆen xem nhu
.
mˆo
.
t b`ai
tˆa
.
p.
2 Quan hˆe
.
v`a
´
Anh xa
.
T´ıch tru
.
.
c tiˆe
´
p (hay t´ıch Descartes) cu
’

a hai tˆa
.
p ho
.
.
p X v`a Y l`a tˆa
.
p ho
.
.
p sau d¯ˆay:
X ×Y = {(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y }.
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯˘a
.
c biˆe
.
t, khi X = Y , ta c´o t´ıch tru
.
.
c tiˆe
´
p X ×X cu
’

a tˆa
.
p X v´o
.
i ch´ınh
n´o.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1 Mˆo
˜
i tˆa
.
p con R cu
’
a tˆa
.
p ho
.
.
p t´ıch X ×X d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.

t quan hˆe
.
hai ngˆoi trˆen X. Nˆe
´
u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x c´o quan hˆe
.
R v´o
.
i y, v`a viˆe
´
t xR y.
Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, nˆe
´
u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x khˆong c´o quan hˆe
.
R v´o
.
i y, v`a viˆe
´
t xRy.
Ch˘a
’
ng ha

.
n, nˆe
´
u R = {(x, y) ∈ Z × Z| x chia hˆe
´
t cho y}, th`ı 6R2, nhu
.
ng 5R3.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.2 Quan hˆe
.
hai ngˆoi R trˆen X d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u

.
o
.
ng
nˆe
´
u n´o c´o ba t´ınh chˆa
´
t sau d¯ˆay:
(a) Pha
’
n xa
.
: xRx, ∀x ∈ X.
(b) D
-
ˆo
´
i x´u
.
ng: Nˆe
´
u xRy, th`ı yRx, ∀x, y ∈ X.
(c) B˘a
´
c cˆa
`
u: Nˆe
´
u xRy, yRz, th`ı xRz, ∀x, y, z ∈ X.

11
C´ac quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.
’
i dˆa
´
u ∼.
Gia
’

su
.
’
∼ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng trˆen X. L´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng theo quan hˆe
.
∼ cu
’
a mˆo

.
t phˆa
`
n tu
.
’
x ∈ X d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau:
[x] = {y ∈ X| x ∼ y} ⊂ X.
Bˆo
’
d¯ˆe
`
2.3 Gia
’
su
.
’
∼ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.

tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng. Khi d¯´o, v´o
.
i mo
.
i x, y ∈ X, c´ac
l´o
.
p [x] v`a [y] ho˘a
.
c tr`ung nhau, ho˘a
.
c r`o
.
i nhau (t´u
.
c l`a [x] ∩[y ] = ∅).
Ch´u
.
ng minh: Gia
’
su
.

’
[x] ∩ [y] = ∅. Ta s˜e ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng [x] = [y]. Lˆa
´
y mˆo
.
t
phˆa
`
n tu
.
’
z ∈ [x] ∩ [y]. Ta c´o x ∼ z v`a y ∼ z.
Do t´ınh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng cu
’
a quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.

o
.
ng, x ∼ z k´eo theo z ∼ x. Gia
’
su
.
’
t ∈ [x], t´u
.
c l`a x ∼ t. Do t´ınh b˘a
´
c cˆa
`
u, z ∼ x v`a x ∼ t k´eo theo z ∼ t. Tiˆe
´
p theo,
y ∼ z v`a z ∼ t k´eo theo y ∼ t. Ngh˜ıa l`a t ∈ [y]. Nhu
.
vˆa
.
y, [x] ⊂ [y]. Do vai tr`o
nhu
.
nhau cu
’
a c´ac l´o
.
p [x] v`a [y], ta c˜ung c´o bao h`am th´u
.
c ngu

.
o
.
.
c la
.
i, [y] ⊂ [x]. Vˆa
.
y
[x] = [y]. ✷
Theo bˆo
’
d¯ˆe
`
n`ay, nˆe
´
u y ∈ [x] th`ı y ∈ [x] ∩ [y] = ∅, do d¯´o [x] = [y]. V`ı thˆe
´
, ta
c´o thˆe
’
d`ung t`u
.
l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u

.
o
.
ng d¯ˆe
’
chı
’
l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng cu
’
a bˆa
´
t k`y phˆa
`
n tu
.
’
n`ao
trong l´o
.
p d¯´o. Mˆo

˜
i phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a mˆo
.
t l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t d¯a

.
i biˆe
’
u cu
’
a
l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng n`ay.
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
y r˘a
`
ng X l`a ho
.
.
p r`o
.
i ra
.

c cu
’
a c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng theo quan hˆe
.
∼.
(N´oi c´ach kh´ac, X l`a ho
.
.
p cu
’
a c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.

ng theo quan hˆe
.
∼, v`a c´ac l´o
.
p n`ay
r`o
.
i nhau.) Ngu
.
`o
.
i ta c˜ung n´oi X d¯u
.
o
.
.
c phˆan hoa
.
ch bo
.
’
i c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o

.
ng.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.4 Tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng cu
’
a X theo quan hˆe
.
∼ d¯u
.
o
.
.

c go
.
i
l`a tˆa
.
p thu
.
o
.
ng cu
’
a X theo ∼ v`a d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a X/∼.
V´ı du
.
2.5 Gia
’
su
.
’
n l`a mˆo
.
t sˆo
´

nguyˆen du
.
o
.
ng bˆa
´
t k`y. Ta x´et trˆen tˆa
.
p X = Z quan
hˆe
.
sau d¯ˆay:
∼= {(x, y) ∈ Z ×Z| x − y chia hˆe
´
t cho n}.
12
R˜o r`ang d¯´o l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng. Ho
.

n n˜u
.
a x ∼ y nˆe
´
u v`a chı
’
nˆe
´
u x v`a y c´o
c`ung phˆa
`
n du
.
trong ph´ep chia cho n. V`ı thˆe
´
, Z/∼ l`a mˆo
.
t tˆa
.
p c´o d¯´ung n phˆa
`
n tu
.
’
:
Z/∼= {[0], [1], , [n − 1]}.
N´o d¯u
.
o
.

.
c go
.
i l`a tˆa
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen modulo n, v`a thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a Z/n.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.6 Gia
’
su
.
’
≤ l`a mˆo
.

t quan hˆe
.
hai ngˆoi trˆen X. N´o d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t
quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
nˆe
´
u n´o c´o ba t´ınh chˆa
´
t sau d¯ˆay:
(a) Pha
’
n xa
.
: x ≤ x, ∀x ∈ X.
(b) Pha

’
n d¯ˆo
´
i x´u
.
ng: Nˆe
´
u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X.
(c) B˘a
´
c cˆa
`
u: Nˆe
´
u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X.
Tˆa
.
p X d¯u
.
o
.
.
c trang bi
.
mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.

tu
.
.
d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´
p. Nˆe
´
u
x ≤ y, ta n´oi x d¯´u
.
ng tru
.
´o
.

c y, hay x nho
’
ho
.
n ho˘a
.
c b˘a
`
ng y.
Ta n´oi X d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´
p to`an phˆa
`
n (hay tuyˆe
´
n t´ınh) bo
.
’
i quan hˆe
.
≤ nˆe
´
u v´o
.
i mo

.
i
x, y ∈ X, th`ı x ≤ y ho˘a
.
c y ≤ x. Khi d¯´o ≤ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
to`an
phˆa
`
n (hay tuyˆe
´
n t´ınh) trˆen X.
Ch˘a
’
ng ha
.

n, tru
.
`o
.
ng sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
Q l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´
p to`an phˆa
`
n d¯ˆo
´
i v´o
.
i quan
hˆe
.

th´u
.
tu
.
.
≤ thˆong thu
.
`o
.
ng. Mˆo
.
t v´ı du
.
kh´ac: nˆe
´
u X l`a tˆa
.
p ho
.
.
p tˆa
´
t ca
’
c´ac tˆa
.
p con
cu
’
a mˆo

.
t tˆa
.
p A n`ao d¯´o, th`ı X d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´
p theo quan hˆe
.
bao h`am. D
-
ˆay khˆong pha
’
i l`a
mˆo
.
t th´u
.
tu
.
.
to`an phˆa
`
n nˆe
´
u tˆa
.

p A ch´u
.
a nhiˆe
`
u ho
.
n mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
.
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe
’
n qua x´et c´ac ´anh xa
.
.
Ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng mˆo ta

’
c´ac ´anh xa
.
mˆo
.
t c´ach tru
.
.
c gi´ac nhu
.
sau.
Gia
’
su
.
’
X v`a Y l`a c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p. Mˆo
.
t ´anh xa
.
f t`u
.
X v`ao Y l`a mˆo
.
t quy t˘a

´
c d¯˘a
.
t
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
˜
i phˆa
`
n tu
.
’
x ∈ X v´o
.
i mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
x´ac d¯i
.
nh y = f(x) ∈ Y .
´

Anh xa
.
d¯´o d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u bo
.
’
i f : X → Y .
13
Tˆa
´
t nhiˆen mˆo ta
’
n´oi trˆen khˆong pha
’
i l`a mˆo
.
t d¯i
.
nh ngh˜ıa ch˘a
.
t ch˜e, v`ı ta khˆong
biˆe
´
t thˆe

´
n`ao l`a mˆo
.
t quy t˘a
´
c. N´oi c´ach kh´ac, trong d¯i
.
nh ngh˜ıa n´oi trˆen quy t˘a
´
c chı
’
l`a mˆo
.
t tˆen go
.
i kh´ac cu
’
a ´anh xa
.
.
Ta c´o thˆe
’
kh˘a
´
c phu
.
c d¯iˆe
`
u d¯´o b˘a
`

ng c´ach d¯u
.
a ra mˆo
.
t d¯i
.
nh ngh˜ıa ch´ınh x´ac nhu
.
ng
ho
.
i cˆo
`
ng kˆe
`
nh vˆe
`
´anh xa
.
nhu
.
sau.
Mˆo
˜
i tˆa
.
p con R cu
’
a t´ıch tru
.

.
c tiˆe
´
p X ×Y d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
gi˜u
.
a X v`a Y .
Quan hˆe
.
R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t ´anh xa
.

t`u
.
X v`ao Y nˆe
´
u n´o c´o t´ınh chˆa
´
t sau: v´o
.
i mo
.
i
x ∈ X c´o mˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
t y ∈ Y d¯ˆe
’
cho (x, y) ∈ R. Ta k´y hiˆe
.
u phˆa
`
n tu
.
’
duy nhˆa
´
t
d¯´o l`a y = f(x). Khi d¯´o

R = {(x, f(x))| x ∈ X}.
´
Anh xa
.
n`ay thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a f : X → Y v`a quan hˆe
.
R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a d¯ˆo
`
thi
.
cu
’

a ´anh xa
.
f.
C´ac tˆa
.
p X v`a Y d¯u
.
o
.
.
c go
.
i lˆa
`
n lu
.
o
.
.
t l`a tˆa
.
p nguˆo
`
n v`a tˆa
.
p d¯´ıch cu
’
a ´anh xa
.
f. Tˆa

.
p
ho
.
.
p f(X) = {f(x)| x ∈ X} d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a tˆa
.
p gi´a tri
.
cu
’
a f.
Gia
’
su
.
’
A l`a mˆo
.
t tˆa
.
p con cu
’

a X. Khi d¯´o, f(A) = {f(x)| x ∈ A} d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a a
’
nh
cu
’
a A bo
.
’
i f. Nˆe
´
u B l`a mˆo
.
t tˆa
.
p con cu
’
a Y , th`ı f
−1
(B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} d¯u
.
o
.
.

c
go
.
i l`a nghi
.
ch a
’
nh cu
’
a B bo
.
’
i f. Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯˘a
.
c biˆe
.
t, tˆa
.
p B = {y} chı
’
gˆo
`
m mˆo

.
t
d¯iˆe
’
m y ∈ Y , ta viˆe
´
t d¯o
.
n gia
’
n f
−1
(y) thay cho f
−1
({y}).
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.7 (a)
´
Anh xa
.
f : X → Y d¯u
.
o
.
.
c go
.

i l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh nˆe
´
u v´o
.
i mo
.
i
x = x

, (x, x

∈ X) th`ı f(x) = f(x

).
(b)
´
Anh xa
.
f : X → Y d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo

.
t to`an ´anh nˆe
´
u v´o
.
i mo
.
i y ∈ Y tˆo
`
n ta
.
i (´ıt
nhˆa
´
t) mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
x ∈ X sao cho f(x) = y.
(c)
´
Anh xa
.
f : X → Y d¯u
.
o
.

.
c go
.
i l`a mˆo
.
t song ´anh (hay mˆo
.
t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t)
nˆe
´
u n´o v`u
.
a l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh v`u
.
a l`a mˆo
.

t to`an ´anh.
Gia
’
su
.
’
f : X → Y l`a mˆo
.
t song ´anh. Khi d¯´o, v´o
.
i mˆo
˜
i y ∈ Y tˆo
`
n ta
.
i duy nhˆa
´
t phˆa
`
n
tu
.
’
x ∈ X sao cho f(x) = y. Ta k´y hiˆe
.
u phˆa
`
n tu
.

’
x d¯´o nhu
.
sau: x = f
−1
(y). Nhu
.
14
thˆe
´
, tu
.
o
.
ng ´u
.
ng y → x = f
−1
(y) x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t ´anh xa
.
, d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe

.
u l`a f
−1
: Y → X
v`a d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a ´anh xa
.
ngu
.
o
.
.
c cu
’
a f. Hiˆe
’
n nhiˆen, f
−1
c˜ung l`a mˆo
.
t song ´anh, ho
.
n
n˜u

.
a (f
−1
)
−1
= f.
Cho c´ac ´anh xa
.
f : X → Y v`a g : Y → Z. Khi d¯´o ´anh xa
.
h : X → Z d¯u
.
o
.
.
c x´ac
d¯i
.
nh bo
.
’
i
h(x) = g(f(x)), ∀x ∈ X,
d¯u
.
o
.
.
c go
.

i l`a ´anh xa
.
t´ıch (hay ´anh xa
.
ho
.
.
p) cu
’
a f v`a g, v`a d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a h = gf
ho˘a
.
c h = g ◦f.
Ch´ung tˆoi d¯ˆe
`
nghi
.
d¯ˆo
.
c gia
’
tu
.

.
ch´u
.
ng minh hai mˆe
.
nh d¯ˆe
`
sau d¯ˆay.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
2.8 Ho
.
.
p th`anh cu
’
a hai d¯o
.
n ´anh la
.
i l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh. Ho
.
.
p th`anh cu
’

a hai
to`an ´anh la
.
i l`a mˆo
.
t to`an ´anh. Ho
.
.
p th`anh cu
’
a hai song ´anh la
.
i l`a mˆo
.
t song ´anh.
Go
.
i id
X
: X → X l`a ´anh xa
.
d¯ˆo
`
ng nhˆa
´
t trˆen X, d¯u
.
o
.
.

c x´ac d¯i
.
nh nhu
.
sau
id
X
(x) = x, ∀x ∈ X.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
2.9 (i) Gia
’
su
.
’
f : X → Y v`a g : Y → Z l`a c´ac ´anh xa
.
. Khi d¯´o, nˆe
´
u
gf l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh th`ı f c˜ung vˆa
.
y; nˆe
´

u gf l`a mˆo
.
t to`an ´anh th`ı g c˜ung vˆa
.
y.
(ii)
´
Anh xa
.
f : X → Y l`a mˆo
.
t song ´anh nˆe
´
u v`a chı
’
nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t ´anh xa
.
g : Y → X sao cho gf = id
X
, fg = id
Y
.

3 Lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng cu
’
a tˆa
.
p ho
.
.
p
D
-
ˆo
´
i v´o
.
i c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p h˜u
.
u ha

.
n, khi cˆa
`
n x´et xem tˆa
.
p n`ao c´o nhiˆe
`
u phˆa
`
n tu
.
’
ho
.
n, ngu
.
`o
.
i
ta d¯ˆe
´
m sˆo
´
phˆa
`
n tu
.
’
cu
’

a ch´ung. Nhu
.
ng d¯ˆo
.
ng t´ac d¯o
.
n gia
’
n ˆa
´
y khˆong thu
.
.
c hiˆe
.
n d¯u
.
o
.
.
c
d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac tˆa
.
p c´o vˆo ha
.
n phˆa

`
n tu
.
’
. D
-
ˆe
’
so s´anh “sˆo
´
lu
.
o
.
.
ng phˆa
`
n tu
.
’
” cu
’
a c´ac tˆa
.
p vˆo
ha
.
n, ngu
.
`o

.
i ta tro
.
’
la
.
i v´o
.
i c´ach l`am cu
’
a ngu
.
`o
.
i nguyˆen thuy
’
khi chu
.
a biˆe
´
t d¯ˆe
´
m. Cu
.
thˆe
’
l`a, nˆe
´
u muˆo
´

n xem sˆo
´
r`ıu tay c´o d¯u
’
cho mˆo
˜
i ngu
.
`o
.
i mˆo
.
t chiˆe
´
c hay khˆong ngu
.
`o
.
i
15
ta ph´at cho mˆo
˜
i ngu
.
`o
.
i mˆo
.
t chiˆe
´

c r`ıu, t´u
.
c l`a lˆa
.
p mˆo
.
t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a tˆa
.
p ho
.
.
p ngu
.
`o
.
i
v`a tˆa
.
p ho
.
.
p r`ıu.

D
-
i
.
nh ngh˜ıa 3.1 Ta n´oi tˆa
.
p ho
.
.
p X c`ung lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng v´o
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p Y nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.

i mˆo
.
t
song ´anh t`u
.
X v`ao Y .
R˜o r`ang quan hˆe
.
c`ung lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng.
Gia

’
su
.
’
tˆa
.
p A c´o n phˆa
`
n tu
.
’
. D
-
iˆe
`
u n`ay c´o ngh˜ıa l`a c´o mˆo
.
t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t
gi˜u
.

a c´ac phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a A v´o
.
i c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen 1, 2, 3, , n. N´oi c´ach kh´ac, A c´o n phˆa
`
n
tu
.
’
nˆe
´
u v`a chı
’
nˆe
´
u n´o c`ung lu
.
.
c lu

.
o
.
.
ng v´o
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p {1, 2, 3, , n}.
Sau d¯ˆay ch´ung ta s˜e kha
’
o s´at l´o
.
p c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p vˆo ha
.
n c´o “´ıt phˆa
`
n tu
.
’
nhˆa
´

t”, d¯´o
l`a c´ac tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 3.2 Tˆa
.
p X d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.

.
c nˆe
´
u n´o c`ung lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng v´o
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p
N c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen.
Ch˘a
’
ng ha
.
n, Z l`a mˆo

.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c. Thˆa
.
t vˆa
.
y, ´anh xa
.
f : N → Z x´ac d¯i
.
nh bo
.
’
i
cˆong th´u
.
c
f(2n − 1) = −n + 1,
f(2n) = n (n = 1, 2, 3, )
l`a mˆo
.
t song ´anh.

Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen ch˘a
˜
n v`a tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen le

’
d¯ˆe
`
u l`a
c´ac tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
C´ac v´ı du
.
trˆen cho thˆa
´
y mˆo
.
t tˆa
.
p vˆo ha
.
n c´o thˆe
’
c´o c`ung lu
.
.
c lu

.
o
.
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t tˆa
.
p
con thˆa
.
t su
.
.
cu
’
a n´o. Ta c´o
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
3.3 Mˆo
˜
i tˆa
.
p con vˆo ha
.
n cu

’
a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c c˜ung l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m
d¯u
.
o
.
.
c.
16
Ch´u
.
ng minh: Gia
’

su
.
’
A = {a
1
, a
2
, a
3
, } l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c, v`a B l`a mˆo
.
t tˆa
.
p
con vˆo ha
.
n cu
’
a A. Go

.
i i
1
l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen nho
’
nhˆa
´
t sao cho a
i
1
∈ B, i
2
l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen
nho
’
nhˆa
´
t sao cho a
i
2

∈ B \{a
i
1
}. Mˆo
.
t c´ach quy na
.
p, i
n
l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen nho
’
nhˆa
´
t sao
cho a
i
n
∈ B \{a
i
1
, a
i
2
, , a
i

n−1
}
B˘a
`
ng c´ach d¯´o, c´ac phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a B d¯u
.
o
.
.
c xˆe
´
p th`anh mˆo
.
t d˜ay vˆo ha
.
n
B = {a
i
1
, a
i
2
, , a

i
n
, }.
N´oi c´ach kh´ac, c´o mˆo
.
t song ´anh N → B d¯˘a
.
t n tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i a
i
n
. Nhu
.
thˆe
´
B d¯ˆe
´
m
d¯u
.
o
.
.

c. ✷
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
3.4 T´ıch tru
.
.
c tiˆe
´
p cu
’
a hai tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c c˜ung l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o

.
.
c.
Ch´u
.
ng minh: Khˆong gia
’
m tˆo
’
ng qu´at, ta chı
’
cˆa
`
n ch´u
.
ng minh N ×N l`a d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
Ta xˆe
´
p tˆa
´
t ca
’
c´ac phˆa

`
n tu
.
’
(a, b) cu
’
a N × N th`anh mˆo
.
t d˜ay vˆo ha
.
n b˘a
`
ng c´ach
sau. Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta xˆe
´
p c˘a
.
p (a, b) v´o
.
i a + b = 2. Gia
’
su
.
’

d¯˜a xˆe
´
p xong c´ac c˘a
.
p (a, b)
v´o
.
i a + b = n −1, ta xˆe
´
p tiˆe
´
p c´ac c˘a
.
p (a, b) v´o
.
i a + b = n, trong d¯´o c˘a
.
p (a, b) d¯u
.
o
.
.
c
xˆe
´
p tru
.
´o
.
c c˘a

.
p (a

, b

) nˆe
´
u a + b = a

+ b

= n v`a a < a

.
Nhu
.
vˆa
.
y, N × N l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c. ✷

Hˆe
.
qua
’
3.5 Tˆa
.
p ho
.
.
p Q c´ac sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
Ch´u
.
ng minh: Ta s˜e ch´u

.
ng minh tˆa
.
p ho
.
.
p Q
+
c´ac sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
du
.
o
.
ng l`a d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
Do d¯´o Q = Q
−
∪{0}∪ Q
+

c`ung lu
.
.
c lu
.
o
.
.
ng v´o
.
i Z = N
−
∪{0}∪ N, trong d¯´o Q
−
l`a
tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
ˆam v`a N
−
l`a tˆa
.

p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen ˆam. V`ı thˆe
´
Q l`a d¯ˆe
´
m
d¯u
.
o
.
.
c.
Mˆo
˜
i sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
du
.
o
.
ng d¯u
.

o
.
.
c biˆe
’
u thi
.
duy nhˆa
´
t du
.
´o
.
i da
.
ng mˆo
.
t phˆan sˆo
´
p
q
, trong
d¯´o p, q ∈ N v`a c˘a
.
p p, q nguyˆen tˆo
´
c`ung nhau. Tu
.
o
.

ng ´u
.
ng
p
q
→ (p, q) l`a mˆo
.
t song
´anh t`u
.
Q
+
lˆen mˆo
.
t tˆa
.
p con cu
’
a t´ıch tru
.
.
c tiˆe
´
p N ×N. Do d¯´o, theo hai mˆe
.
nh d¯ˆe
`
trˆen
th`ı Q
+

l`a mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c. ✷
Ch´ung ta th`u
.
a nhˆa
.
n kˆe
´
t qua
’
sau d¯ˆay, v`ı muˆo
´
n ch´u
.
ng minh n´o ta cˆa
`
n mˆo
.
t hiˆe
’

u
biˆe
´
t sˆau s˘a
´
c ho
.
n vˆe
`
c´ac sˆo
´
thu
.
.
c.
17
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
3.6 Tˆa
.
p ho
.
.
p R c´ac sˆo
´
thu
.
.

c l`a mˆo
.
t tˆa
.
p khˆong d¯ˆe
´
m d¯u
.
o
.
.
c.
Ngu
.
`o
.
i ta n´oi tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac sˆo
´
thu
.
.
c c´o lu
.
.
c lu

.
o
.
.
ng continum.
4 Nh´om, V`anh v`a Tru
.
`o
.
ng
C´ac kh´ai niˆe
.
m nh´om, v`anh v`a tru
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c gi´o
.
i thiˆe
.
u trong tiˆe
´
t n`ay chı
’
d`u

.
ng o
.
’
m´u
.
c d¯u
’
d`ung cho c´ac diˆe
˜
n d¯a
.
t trong phˆa
`
n sau cu
’
a cuˆo
´
n s´ach.
Gia
’
su
.
’
G l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.

.
p. Mˆo
˜
i ´anh xa
.
◦ : G × G → G
d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t ph´ep to´an hai ngˆoi (hay mˆo
.
t luˆa
.
t ho
.
.
p th`anh) trˆen G. A
’
nh cu
’
a c˘a
.
p
phˆa

`
n tu
.
’
(x, y) ∈ G × G bo
.
’
i ´anh xa
.
◦ s˜e d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x ◦ y, v`a d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a t´ıch
hay ho
.
.
p th`anh cu
’
a x v`a y.

D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.1 Mˆo
.
t nh´om l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p kh´ac rˆo
˜
ng G d¯u
.
o
.
.
c trang bi
.
mˆo
.
t ph´ep
to´an hai ngˆoi ◦ thoa
’
m˜an ba d¯iˆe
`
u kiˆe

.
n sau d¯ˆay:
(G1) Ph´ep to´an c´o t´ınh kˆe
´
t ho
.
.
p:
(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦z), ∀x, y, z ∈ G.
(G2) C´o mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
e ∈ G, d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n tu
.
’
trung lˆa
.

p, v´o
.
i t´ınh chˆa
´
t
x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G.
(G3) V´o
.
i mo
.
i x ∈ G, tˆo
`
n ta
.
i phˆa
`
n tu
.
’
x

∈ G, d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a nghi
.

ch d¯a
’
o cu
’
a x, sao cho
x ◦ x

= x

◦ x = e.
Nhˆa
.
n x´et:
18
Phˆa
`
n tu
.
’
trung lˆa
.
p cu
’
a mˆo
.
t nh´om l`a duy nhˆa
´
t. Thˆa
.
t vˆa

.
y, nˆe
´
u e v`a e

d¯ˆe
`
u l`a c´ac
phˆa
`
n tu
.
’
trung lˆa
.
p cu
’
a nh´om G th`ı
e = e ◦ e

= e

.
V´o
.
i mo
.
i x ∈ G, phˆa
`
n tu

.
’
nghi
.
ch d¯a
’
o x

n´oi o
.
’
mu
.
c (G3) l`a duy nhˆa
´
t. Thˆa
.
t vˆa
.
y,
nˆe
´
u x

1
v`a x

2
l`a c´ac phˆa
`

n tu
.
’
nghi
.
ch d¯a
’
o cu
’
a x th`ı
x

1
= x

1
◦ e = x

1
◦ (x ◦ x

2
) = (x

1
◦ x) ◦ x

2
= e ◦ x


2
= x

2
.
Trong nh´om c´o luˆa
.
t gia
’
n u
.
´o
.
c, t´u
.
c l`a
x ◦ y = x ◦z =⇒ y = z,
x ◦ z = y ◦z =⇒ x = y.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, d¯ˆe
’
c´o luˆa
.
t gia
’
n u
.

´o
.
c, chı
’
cˆa
`
n nhˆan hai vˆe
´
cu
’
a d¯˘a
’
ng th´u
.
c x ◦y = x ◦z v´o
.
i
nghi
.
ch d¯a
’
o x

cu
’
a x t`u
.
bˆen tr´ai, v`a nhˆan hai vˆe
´
cu

’
a d¯˘a
’
ng th´u
.
c x ◦ z = y ◦ z v´o
.
i
nghi
.
ch d¯a
’
o z

cu
’
a z t`u
.
bˆen pha
’
i.
Nˆe
´
u ph´ep to´an ◦ c´o t´ınh giao ho´an, t´u
.
c l`a
x ◦ y = y ◦x, ∀x, y ∈ G,
th`ı G d¯u
.
o

.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t nh´om giao ho´an (hay abel).
Theo th´oi quen, luˆa
.
t ho
.
.
p th`anh ◦ trong mˆo
.
t nh´om abel thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u
theo lˆo
´
i cˆo
.

ng “+”. Ho
.
.
p th`anh cu
’
a c˘a
.
p phˆa
`
n tu
.
’
(x, y) d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x+y v`a d¯u
.
o
.
.
c
go
.
i l`a tˆo
’
ng cu

’
a x v`a y. Phˆa
`
n tu
.
’
trung lˆa
.
p cu
’
a nh´om d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n tu
.
’
khˆong, k´y
hiˆe
.
u 0. Nghi
.
ch d¯a
’
o cu

’
a x (x´ac d¯i
.
nh bo
.
’
i d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n (G3)) d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n tu
.
’
d¯ˆo
´
i
cu
’
a x, k´y hiˆe
.
u (−x).

Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p tˆo
’
ng qu´at, ph´ep to´an ◦ trong nh´om thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u theo lˆo
´
i
nhˆan “ · ”. Ho
.
.
p th`anh cu
’
a c˘a
.

p phˆa
`
n tu
.
’
(x, y) d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x ·y, hay d¯o
.
n gia
’
n
xy, v`a d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a t´ıch cu
’
a x v`a y. Phˆa
`
n tu
.

’
trung lˆa
.
p cu
’
a nh´om d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phˆa
`
n
tu
.
’
d¯o
.
n vi
.
. Phˆa
`
n tu
.
’
nghi
.
ch d¯a

’
o cu
’
a x d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x
−1
.
V´ı du
.
:
19
(a) C´ac tˆa
.
p ho
.
.
p sˆo
´
Z, Q, R lˆa
.
p th`anh nh´om abel d¯ˆo
´
i v´o
.

i ph´ep cˆo
.
ng.
(b) C´ac tˆa
.
p Z
∗
= {±1}, Q
∗
= Q \ {0}, R
∗
= R \ {0} l`am th`anh nh´om abel d¯ˆo
´
i
v´o
.
i ph´ep nhˆan.
(c) Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa ph´ep cˆo
.
ng trong Z/n nhu
.
sau:
[x] + [y] = [x + y].
Dˆe
˜
kiˆe
’
m tra r˘a

`
ng ph´ep to´an n`ay khˆong phu
.
thuˆo
.
c d¯a
.
i biˆe
’
u cu
’
a c´ac l´o
.
p tu
.
o
.
ng
d¯u
.
o
.
ng [
x
] v`a [
y
]. Ho
.
n n˜u
.

a,
Z
/n
c`ung v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng n´oi trˆen lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t
nh´om abel.
(d) Mˆo
˜
i song ´anh t`u
.
tˆa
.
p ho
.
.
p {1, 2, , n} v`ao ch´ınh n´o d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo

.
t ph´ep thˆe
´
(hay ph´ep ho´an vi
.
) trˆen n phˆa
`
n tu
.
’
. Tˆa
.
p ho
.
.
p S
n
tˆa
´
t ca
’
c´ac ph´ep thˆe
´
trˆen n
phˆa
`
n tu
.
’
l`am th`anh mˆo

.
t nh´om d¯ˆo
´
i v´o
.
i ph´ep ho
.
.
p th`anh c´ac ´anh xa
.
(α · β)(i) = α(β(i)), ∀α, β ∈ S
n
, 0 ≤ i ≤ n.
S
n
d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a nh´om d¯ˆo
´
i x´u
.
ng trˆen n phˆa
`
n tu
.

’
. D
-
ˆay l`a mˆo
.
t nh´om khˆong abel
khi n > 2. (Xem chi tiˆe
´
t o
.
’
Chu
.
o
.
ng III.)
(e) Trong Chu
.
o
.
ng II ch´ung ta s˜e kha
’
o s´at mˆo
.
t l´o
.
p nh´om khˆong abel rˆa
´
t quan
tro

.
ng d¯ˆo
´
i v´o
.
i mˆon D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh, d¯´o l`a nh´om GL(V ) c´ac biˆe
´
n d¯ˆo
’
i tuyˆe
´
n
t´ınh khˆong suy biˆe
´
n trˆen khˆong gian v´ecto
.
V .
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.2 Gia

’
su
.
’
G v`a G

l`a c´ac nh´om (v´o
.
i ph´ep to´an viˆe
´
t theo lˆo
´
i nhˆan).
´
Anh xa
.
ϕ : G → G

d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t d¯ˆo
`
ng cˆa

´
u nh´om nˆe
´
u
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G.
Nhˆa
.
n x´et: D
-
ˆo
`
ng cˆa
´
u nh´om ϕ chuyˆe
’
n d¯o
.
n vi
.
e cu
’
a G th`anh d¯o
.
n vi
.
e

cu
’
a G


:
ϕ(e) = e

.
20
N´o c˜ung chuyˆe
’
n phˆa
`
n tu
.
’
nghi
.
ch d¯a
’
o cu
’
a x th`anh phˆa
`
n tu
.
’
nghi
.
ch d¯a
’
o cu
’

a ϕ(x):
ϕ(x
−1
) = ϕ(x)
−1
, ∀x ∈ G.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.3 (a) Mˆo
.
t d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u nh´om d¯ˆo
`
ng th`o
.
i l`a mˆo
.
t d¯o
.
n ´anh d¯u
.
o
.
.
c go

.
i l`a
mˆo
.
t d¯o
.
n cˆa
´
u nh´om.
(b) Mˆo
.
t d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u nh´om d¯ˆo
`
ng th`o
.
i l`a mˆo
.
t to`an ´anh d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.

t to`an cˆa
´
u
nh´om.
(c) Mˆo
.
t d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u nh´om d¯ˆo
`
ng th`o
.
i l`a mˆo
.
t song ´anh d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t d¯˘a
’
ng cˆa
´
u

nh´om.
Nˆe
´
u c´o mˆo
.
t d¯˘a
’
ng cˆa
´
u nh´om gi˜u
.
a G v`a G

th`ı ta n´oi G d¯˘a
’
ng cˆa
´
u v´o
.
i G

v`a viˆe
´
t
G
∼
=
G

.

V´ı du
.
:
(a) Ph´ep nh´ung i : Z → Q d¯i
.
nh ngh˜ıa bo
.
’
i cˆong th´u
.
c i(x) = x l`a mˆo
.
t d¯o
.
n cˆa
´
u
nh´om.
(b) Ph´ep chiˆe
´
u pr : Z → Z/n x´ac d¯i
.
nh bo
.
’
i cˆong th´u
.
c pr(x) = [x] l`a mˆo
.
t to`an cˆa

´
u
nh´om.
(a)
´
Anh xa
.
m˜u exp : R → R
+
, exp(x) = e
x
l`a mˆo
.
t d¯˘a
’
ng cˆa
´
u t`u
.
nh´om cˆo
.
ng c´ac
sˆo
´
thu
.
.
c R v`ao nh´om nhˆan c´ac sˆo
´
thu

.
.
c du
.
o
.
ng R
+
.
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe
’
n sang kha
’
o s´at c´ac v`anh v`a tru
.
`o
.
ng.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.4 Mˆo
.
t v`anh l`a mˆo
.
t tˆa
.

p ho
.
.
p R = ∅ d¯u
.
o
.
.
c trang bi
.
hai ph´ep to´an hai
ngˆoi, gˆo
`
m ph´ep cˆo
.
ng
+ : R × R → R, (x, y) → x + y,
v`a ph´ep nhˆan
· : R × R → R, (x, y) → xy,
thoa
’
m˜an ba d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n sau d¯ˆay:
21
(R1) R l`a mˆo
.
t nh´om abel d¯ˆo

´
i v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng.
(R2) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh chˆa
´
t kˆe
´
t ho
.
.
p:
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R.
(R3) Ph´ep nhˆan phˆan phˆo
´
i vˆe
`
hai ph´ıa d¯ˆo
´
i v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng:
(x + y)z = xz + yz,
z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.
V`anh R d¯u
.

o
.
.
c go
.
i l`a giao ho´an nˆe
´
u ph´ep nhˆan cu
’
a n´o c´o t´ınh giao ho´an:
xy = y x, ∀x, y ∈ R.
V`anh R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a c´o d¯o
.
n vi
.
nˆe
´
u ph´ep nhˆan cu
’
a n´o c´o d¯o
.
n vi
.

, t´u
.
c l`a c´o phˆa
`
n tu
.
’
1 ∈ R sao cho:
1x = x1 = x, ∀x ∈ R.
V´ı du
.
:
(a) C´ac tˆa
.
p ho
.
.
p sˆo
´
Z, Q l`a c´ac v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o
.
n vi
.
d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac ph´ep to´an
cˆo
.

ng v`a nhˆan thˆong thu
.
`o
.
ng. Tˆa
.
p ho
.
.
p sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen N khˆong l`a mˆo
.
t v`anh, v`ı
n´o khˆong l`a mˆo
.
t nh´om d¯ˆo
´
i v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng.
(b) Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa ph´ep nhˆan trˆen nh´om cˆo
.

ng Z/n c´ac sˆo
´
nguyˆen modulo n nhu
.
sau:
[x][y] = [xy], ∀x, y ∈ Z/n.
Ph´ep nhˆan n`ay khˆong phu
.
thuˆo
.
c d¯a
.
i biˆe
’
u cu
’
a c´ac l´o
.
p [x] v`a [y]. N´o biˆe
´
n nh´om
cˆo
.
ng Z/n th`anh mˆo
.
t v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o
.
n vi
.
, d¯u

.
o
.
.
c go
.
i l`a v`anh c´ac sˆo
´
nguyˆen modulo n.
(c) Trong Chu
.
o
.
ng II ta s˜e x´et mˆo
.
t l´o
.
p v`anh d¯˘a
.
c biˆe
.
t quan tro
.
ng d¯ˆo
´
i v´o
.
i mˆon D
-
a

.
i
sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh, d¯´o l`a v`anh M(n ×n, K) c´ac ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n v´o
.
i c´ac phˆa
`
n
tu
.
’
trong tru
.
`o
.
ng K.
22
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.5 Gia
’

su
.
’
R v`a R

l`a c´ac v`anh.
´
Anh xa
.
ϕ : R → R

d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t
d¯ˆo
`
ng cˆa
´
u v`anh nˆe
´
u
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y),
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.

C´ac kh´ai niˆe
.
m d¯o
.
n cˆa
´
u v`anh, to`an cˆa
´
u v`anh, d¯˘a
’
ng cˆa
´
u v`anh d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa
tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
d¯ˆo

´
i v´o
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p nh´om.
Ch˘a
’
ng ha
.
n, ph´ep nh´ung Z ⊂ Q l`a mˆo
.
t d¯o
.
n cˆa
´
u v`anh. Ph´ep chiˆe
´
u pr : Z → Z/n
l`a mˆo
.
t to`an cˆa
´
u v`anh.
Phˆa

`
n tu
.
’
x trong mˆo
.
t v`anh c´o d¯o
.
n vi
.
R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a kha
’
nghi
.
ch nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i phˆa
`
n

tu
.
’
x

∈ R sao cho
xx

= x

x = 1.
Dˆe
˜
ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng phˆa
`
n tu
.
’
x

c´o t´ınh chˆa
´
t nhu
.
vˆa
.

y nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i th`ı duy nhˆa
´
t. N´o
d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a x
−1
.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.6 Mˆo
.
t v`anh giao ho´an, c´o d¯o
.
n vi
.
1 = 0 sao cho mo

.
i phˆa
`
n tu
.
’
kh´ac 0
trong n´o d¯ˆe
`
u kha
’
nghi
.
ch d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.
V`anh Q l`a mˆo
.
t tru

.
`o
.
ng. V`anh sˆo
´
nguyˆen Z khˆong l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng, v`ı c´ac sˆo
´
kh´ac
±1 d¯ˆe
`
u khˆong kha
’
nghi
.
ch trong Z.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.7 Gia
’
su
.
’

≤ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trˆen tru
.
`o
.
ng K. Khi d¯´o K d¯u
.
o
.
.
c
go
.
i l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng d¯u
.
o

.
.
c s˘a
´
p d¯ˆo
´
i v´o
.
i th´u
.
tu
.
.
≤ nˆe
´
u c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n sau d¯ˆay d¯u
.
o
.
.
c thoa
’
m˜an:
(a) Nˆe
´
u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z, v´o

.
i mo
.
i z ∈ K;
(b) Nˆe
´
u x ≤ y v`a 0 ≤ z th`ı xz ≤ yz.
Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
Q l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c s˘a
´

p d¯ˆo
´
i v´o
.
i th´u
.
tu
.
.
thˆong thu
.
`o
.
ng.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay ta s˜e x´et xem khi n`ao th`ı v`anh Z/n l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.
23
D
-
i
.

nh ngh˜ıa 4.8 Nˆe
´
u v`anh R ch´u
.
a c´ac phˆa
`
n tu
.
’
a = 0, b = 0 sao cho ab = 0 th`ı ta
n´oi R c´o u
.
´o
.
c cu
’
a khˆong.
Tr´ai la
.
i, nˆe
´
u t`u
.
d¯˘a
’
ng th´u
.
c ab = 0 (v´o
.
i a, b ∈ R) suy ra ho˘a

.
c a = 0 ho˘a
.
c b = 0,
th`ı v`anh R d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a khˆong c´o u
.
´o
.
c cu
’
a khˆong.
V`anh Z/6 c´o u
.
´o
.
c cu
’
a khˆong, bo
.
’
i v`ı [2] = 0, [3] = 0 v`a
[2][3] = [6] = [0] = 0.
N´oi chung, nˆe

´
u n l`a mˆo
.
t ho
.
.
p sˆo
´
th`ı Z/n c´o u
.
´o
.
c cu
’
a khˆong. Thˆa
.
t vˆa
.
y, v`ı n l`a
mˆo
.
t ho
.
.
p sˆo
´
cho nˆen n = rs trong d¯´o 0 < r, s < n. Khi d¯´o, [r] = 0, [s] = 0 v`a
[r][s] = [n] = [0] = 0.
Mˆe
.

nh d¯ˆe
`
4.9 Mˆo
˜
i tru
.
`o
.
ng d¯ˆe
`
u l`a mˆo
.
t v`anh khˆong c´o u
.
´o
.
c cu
’
a khˆong.
Ch´u
.
ng minh: Gia
’
su
.
’
K l`a mˆo
.
t tru
.

`o
.
ng, a v`a b l`a c´ac phˆa
`
n tu
.
’
thuˆo
.
c K v´o
.
i ab = 0.
Nˆe
´
u a = 0 th`ı a kha
’
nghi
.
ch. Ta c´o
b = 1b = (a
−1
a)b = a
−1
(ab) = a
−1
0 = 0.
Vˆa
.
y K khˆong c´o u
.

´o
.
c cu
’
a khˆong. ✷
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
4.10 Z/n l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng nˆe
´
u v`a chı
’
nˆe
´
u n l`a mˆo
.
t sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
Ch´u
.

ng minh: Nˆe
´
u n l`a mˆo
.
t ho
.
.
p sˆo
´
th`ı Z/n c´o u
.
´o
.
c cu
’
a khˆong, do d¯´o khˆong l`a
mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.
Gia
’
su
.
’
n = p l`a mˆo
.

t sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
. Mˆo
˜
i phˆa
`
n tu
.
’
kh´ac khˆong trong Z/p d¯ˆe
`
u c´o
da
.
ng [q] trong d¯´o d¯a
.
i biˆe
’
u q thoa
’
m˜an d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n 0 < q < p. Khi d¯´o p v`a q nguyˆen
tˆo
´
c`ung nhau, v`ı thˆe

´
c´o c´ac sˆo
´
nguyˆen k v`a  sao cho kp + q = 1. Hay l`a
[][q] = [1] − [kp] = [1]
trong Z/p. D
-
iˆe
`
u n`ay c´o ngh˜ıa l`a [q] kha
’
ngi
.
ch, v`a [q]
−1
= []. ✷
24
Tru
.
`o
.
ng Z/p thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.

c k´y hiˆe
.
u l`a F
p
.
Trong v`anh Z/n c´o hiˆe
.
n tu
.
o
.
.
ng sau d¯ˆay:
1 + 1 + ··· + 1
  
n
= 0.
Chuyˆe
.
n n`ay khˆong xa
’
y ra trong c´ac v`anh Z v`a Q. Ta d¯i t´o
.
i d¯i
.
nh ngh˜ıa sau d¯ˆay.
D
-
i
.

nh ngh˜ıa 4.11 Cho R l`a mˆo
.
t v`anh c´o d¯o
.
n vi
.
. Nˆe
´
u c´o sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng n sao
cho 1 + 1 + ··· + 1
  
n
= 0, th`ı sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng nho
’
nhˆa
´
t c´o t´ınh chˆa
´

t d¯´o d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a
d¯˘a
.
c sˆo
´
cu
’
a v`anh R. Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, nˆe
´
u khˆong c´o sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng n n`ao nhu

.
thˆe
´
th`ı
ta n´oi R c´o d¯˘a
.
c sˆo
´
b˘a
`
ng 0. D
-
˘a
.
c sˆo
´
cu
’
a R d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a Char(R).
V´ı du
.
: Char(Z) = Char(Q) = 0,
Char(Z/n) = n, v´o

.
i mo
.
i sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng n.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
4.12 Nˆe
´
u K l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng th`ı Char(K) ho˘a
.
c b˘a
`
ng 0 ho˘a
.
c l`a mˆo
.

t sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
.
Ch´u
.
ng minh: D
-
˘a
.
t m · 1 = 1 + 1 + ··· + 1

 
m
∈ K. Gia
’
su
.
’
n = Char(K) l`a mˆo
.
t ho
.
.
p
sˆo
´
v´o
.

i phˆan t´ıch n = rs (0 < r, s < n). Dˆe
˜
thˆa
´
y r˘a
`
ng n · 1 = (r · 1)(s · 1) = 0. V`ı
tru
.
`o
.
ng K khˆong c´o u
.
´o
.
c cu
’
a khˆong, nˆen ho˘a
.
c (r ·1) = 0 ho˘a
.
c (s · 1) = 0. D
-
iˆe
`
u n`ay
mˆau thuˆa
˜
n v´o
.

i d¯i
.
nh ngh˜ıa cu
’
a d¯˘a
.
c sˆo
´
, v`ı r v`a s l`a c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen nho
’
ho
.
n n. ✷
5 Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c
Tˆa
´

t ca
’
c´ac ho
.
c tr`o tˆo
´
t nghiˆe
.
p trung ho
.
c phˆo
’
thˆong d¯ˆe
`
u d¯˜a t´ınh to´an thuˆa
`
n thu
.
c v´o
.
i
c´ac sˆo
´
thu
.
.
c. Thˆe
´
nhu
.

ng, nˆe
´
u ho
’
i ho
.
“Sˆo
´
thu
.
.
c l`a g`ı?” th`ı ch˘a
´
c ch˘a
´
n ho
.
s˜e khˆong tra
’
l`o
.
i d¯u
.
o
.
.
c. Thˆa
.
t ra, d¯´o l`a mˆo
.

t vˆa
´
n d¯ˆe
`
rˆa
´
t kh´o.
Trong tiˆe
´
t n`ay, ch´ung ta s˜e xˆay du
.
.
ng tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c R nhu
.
l`a mˆo
.
t “bˆo
’
sung”
cu
’

a tru
.
`o
.
ng sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
Q, nh˘a
`
m gia
’
i quyˆe
´
t t`ınh tra
.
ng kh´o xu
.
’
m`a Pythagore d¯˜a g˘a
.
p
t`u
.
ho
.
n 2000 n˘am tru
.

´o
.
c, d¯´o l`a: Nˆe
´
u chı
’
d`ung c´ac sˆo
´
h˜u
.
u ty
’
th`ı d¯u
.
`o
.
ng ch´eo cu
’
a
25