SKKN Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 3

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN
“GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ TƯƠNG GIAO”

LĨNH VỰC: TỐN HỌC

Tác giả: Hồng Đình Bằng
Năm học: 2021 - 2022


MỤC LỤC
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ.............................................................................

Trang 2

1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 2
1.2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 2
1.4. Giới hạn của đề tài.............................................................................

Trang 3

1.5. Nhiệm vụ của đề tài ..........................................................................

Trang 3

1.6. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................

Trang 3

1.7. Bố cục của đề tài ...............................................................................

Trang 3

Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU....................................................

Trang 4

Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn....................................................

Trang 4

1.1. Khái niệm...........................................................................................

Trang 4

1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực............................................................... Trang 4
1.3. Thực trạng của đề tài..........................................................................

Trang 4

1.4. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 5
1.5. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 5
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực
sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao......

Trang 6

2.1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 6
2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo
cho học sinh lớp 12 thơng qua bài tốn tìm số nghiệm phương trình Trang 7
f  x   g ( x) khi g ( x) là hàm hằng……………………………….
2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo
Trang 13
cho học sinh lớp 12 thông qua bài toán hàm hợp………………………..
2.4. Bài tập tự luyện................................................................................... Trang 43
Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 45
Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 48
PHỤ LỤC.................................................................................................. Trang 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... Trang 53
1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đối với giáo dục phổ thơng đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể
chất, năng lực cơng dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề
nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng,
truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực
hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học,
khuyến khích học tập suốt đời.
Trong quá trình dạy học, hoạt động dạy giải bài tập tốn có vai trị hết sức
quan trọng. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy
học bộ mơn Tốn ở bậc THPT. Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan
trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải hình thành cho
người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua

đó góp phần phát triển năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
Chương trình lớp 12 chủ đề hàm số chiếm khối lượng lớn được chia ra
nhiều phần như: Tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tiệm
cận, tương giao. Trong sách giáo khoa hiện hành các bài toán về hàm số chỉ đề
cập ở mức độ cơ bản. Thực tế trong các kỳ thi về chọn học sinh giỏi lớp 12, kỳ thi
THPT quốc gia các năm vừa qua lại xuất hiện các bài toán về hàm hợp để phân
loại học sinh. Do đó các em học sinh rất lúng túng và gặp khơng ít khó khăn trong
việc tiếp cận và tìm tịi lời giải các bài tốn trên. Vấn đề tương giao của hàm số,
tìm số nghiệm của phương trình, số nghiệm bội của phương trình là một trong
những vấn đề khó. Nhằm giúp học sinh trong việc tìm các giải pháp để các em
với học lực mơn Toán khác nhau được làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ
GD&ĐT, giúp các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải các bài toán
tương giao, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từng
bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập mơn Tốn, hình thành năng lực tự học, khả
năng sáng tạo cho học sinh.
Từ những ý tưởng và những lý do đã nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài
nghiên cứu: ‘‘Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng
tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao”.
1.2. Mục đích của đề tài
- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
- Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12 .
- Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi năng lực, thi HSG cấp tỉnh khối 12.
- Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.
2


1.4. Giới hạn của đề tài
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh

khi dạy chủ đề tương giao của hàm hợp qua đó góp phần phát triển năng lực giải
quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12.
1.5. Nhiệm vụ và tính mới của đề tài
tạo.

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng

- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề tương giao hàm
số thuộc chương trình giải tích lớp 12.
quả.

- Ghép bảng biến thiên để giải các bài toán hàm hợp một cách nhanh chóng, hiệu

- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ
đề tương giao của hàm số thông qua việc khai thác các bài toán tương giao trong các đề thi
minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, các đề thi thử trên cả nước,
từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
- Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống các bài toán tương giao của hàm số giúp
học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề tương giao
của hàm số qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tịi lời giải các
bài tốn tương giao hàm hợp góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.
1.6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra quan sát.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
1.7. Bố cục của đề tài
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua
dạy học chủ đề tương giao .
Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu.

3


Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn
1.1. Khái niệm
- Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện,
cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính
cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành cơng một loại hoạt
động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.
- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là:
+ Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn luyện
của người học.
+ Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,...
+ Năng lực được hình thành, phát triển thơng qua hoạt động và thể hiện ở
sự thành công trong hoạt động thực tiễn.
1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực
- Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành
và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:
+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thơng qua tất cả các
môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và
hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.
+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua
một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngơn ngữ, năng lực
tính tốn, năng lực khoa học, năng lực cơng nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm
mĩ, năng lực thể chất.
- Theo chương trình GDPT mơn Tốn năm 2018, u cầu cần đạt về năng

lực đặc thù là: Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực
toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính tốn) bao gồm các thành phần
cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; Năng lực mơ hình hố tốn học;
Năng lực giải quyết vấn đề toán học; Năng lực giao tiếp toán học; Năng lực sử
dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.
1.3. Thực trạng của đề tài
Có thể nói rằng chủ đề hàm số là một chủ đề chiếm khối lượng lớn và khó
trong chương trình mơn Tốn lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề này
ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường
lựa chọn các bài toán hay trong SGK và SBT nâng cao mơn giải tích lớp 12, các
4


bài toán hàm số trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi HSG để
giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau:
- Các bài toán tương giao trong SGK và SBT nâng cao mơn giải tích lớp 12
vẫn cịn khá dễ và chưa sát với các bài toán tương giao trong các đề thi THPTQG
nay là đề thi TN THPT.
- Khi giảng dạy các bài tốn tương giao giáo viên thường ít chú trọng hoạt
động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn tới năng lực giải quyết
vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế.
- Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tịi, xây dựng các bài tốn mới để
từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về tương giao.
1.4. Cơ sở lý thuyết
1.4.1. Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 10,11:
Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình.
1.4.2. Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12:
Bảng biến thiên của hàm số; Đồ thị của hàm số và các bài toán liên quan.
1.4.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản.
1.5. Cơ sở thực tiễn

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THPT Đơ Lương 3 nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải
quyết vấn đề và năng lực sáng tạo . Các bài toán thuộc chủ đề hàm hợp trong các đề
thi thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này đòi hỏi
các em học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua một số
bước biến đổi mới tìm được kết quả chính xác.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối qua các năm ôn thi tốt nghiệp
THPT QG. Tôi thấy rằng khi đề ra gặp những bài tập dạng hàm hợp thì học sinh
thường lúng túng trong việc định hướng tìm lời giải.
Cụ thể tháng 10 năm 2021, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi
cho tiến hành kiểm tra học sinh làm bài khảo sát tại 3 lớp 12D1; 12D2; 12D3 học
sinh trường THPT Đô Lương 3, kết quả thu được như sau:
Lớp

Số HS

Điểm 9-10

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm < 5

SL

TL(%)

SL

TL(%)

SL

TL(%)

SL

TL(%)

12D1

42

2

4,8%

20

47,6%

17

40,5%

3

7,1%

12D2

41

0

0%

13

31,7%

19

46,3%

9

22,0%

12D3

44

0

0%

14

31,8%

20

45,5%

10

22,7%
5


Chương 2.
Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho
học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao.
2.1. Một số kiến thức cơ bản
2.1.1. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là ux , và hàm số y  f  u  có đạo

hàm tại u là yu thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là: yx  yu .ux .
Một số hàm số thường gặp: Với u là một hàm số của x ta có:
+ u n   n.u n1.u ( n  N * , n  2 ).

 

+

 u   2uu

+  u  

( u  0 ).

u
2



u  2u.u u.u

( u  0 ).



2

2 u2

2u

u

2.1.2. Cực trị của hàm số
2.1.2.1. Điều kiện cần đạt cực trị
Định lý 1: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng  a; b  có đạo hàm tại
x0   a; b  và đạt cực trị tại điểm đó thì f   x0   0 .
2.1.2.2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lý 2: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên K   x0  h; x0  h  và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0  , với h  0 .
+ Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h 

thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  .
+ Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h 
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .
2.1.3. Số nghiệm phương trình f  x   m bằng số giao điểm của đồ thị
y  f  x  và đồ thị y  m (là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành
đồng thời cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m).
2.1.4. Số nghiệm phương trình f  x   g ( x) bằng số giao điểm của đồ thị
y  f  x  và đồ thị y  g ( x) .

6


2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho
học sinh lớp 12 thơng qua bài tốn tìm số nghiệm phương trình f  x   g ( x)
khi hàm số g ( x) là hàm hằng.
Ví dụ 2.2.1. [Trích đề thi THPTQG 2020 ] Cho hàm số bậc ba y  f  x  có
đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm thực của phương trình f  x   1 là:
B. 1 .

A. 3 .

C. 0 .

D. 2 .

Lời giải
Ta có số nghiệm của phương trình f  x   1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm
số y  f  x  với đường thẳng y  1 .

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y  1 cắt đường cong tại 3 điểm nên
phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Ví dụ 2.2.2. [Trích đề thi THPTQG 2020 ] Cho hàm số bậc bốn y  f ( x) có đồ
thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm thực của phương trình f  x  
A. 2 .

1
là:
2

B. 4 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải

7


Ta có số nghiệm thực của phương trình f  x  

1
chính là số giao điểm của đồ
2

1

2

thị hàm số y  f ( x) với đường thẳng y  .
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y 
Vậy phương trình f  x  

1
cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 2 điểm.
2

1
có hai nghiệm.
2

Ví dụ 2.2.3. [Trích đề thi thử Trường chuyên Phan Bội Châu năm 2020]
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của
phương trình f  x   2 là:

A. 6

B. 4

C. 3

D. 2

Lời giải
Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy ra đồ thị hàm số y  f  x  như sau:
- Giữ lại phần đồ thị phía trên trục Ox.
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox lên phía trên trục Ox.

Ta thu được đồ thị hàm y  f  x  như sau:

8


Số nghiệm của phương trình f  x   2 là số giao điểm của đồ thị hàm số

y  f  x  và đường thẳng y  2.
Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy đường thẳng y  2 cắt đồ thị hàm số

y  f  x  tại 4 điểm.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2.2.4. [Trích Đề thi thuận thành Bắc ninh năm 2019 – 2020] Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 8x  3.22 x1  9.2x  2m  6  0 có ít
nhất hai nghiệm phân biệt.
A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Phương pháp:
Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.
Đây là bài tốn tìm số nghiệm của phương trình mũ chứa tham số m.
Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.
- Chuyển phương trình đã cho về dạng f  x   m
- Đặt ẩn phụ t  2 x. Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  t 
- Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  t  ta tìm số giao điểm của hai

đồ thị hàm số y  f  t  và đường thẳng y  m .
- Kết luận.
Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các cơng
cụ và thuật tốn) để giải quyết vấn đề đặt ra.

 

- Phương trình đã cho  2 x

3

 6. 2 x   9.2 x  2m  6  0 1 .
2

- Đặt t  2 x , t  0 (với mỗi giá trị t dương chỉ có duy nhất một giá trị x)
- Ta có phương trình: t 3  6t 2  9t  2m  6  0  t 3  6t 2  9t  6  2m  2  .

- Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

 2  có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng  0;   .

Xét hàm số f  t   t 3  6t 2  9t  6 , t  0 .

t  1
.
Ta có f   t   0  

t
3


- Bảng biến thiên
9


- Ta có số nghiệm của phương trình  2  chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm
số f  t   t 3  6t 2  9t  6, t  0 và đường thẳng y  2m .
- Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt
 6  2m  10  3  m  5 .
Vì m  Z nên có 2 giá trị của m là m  4 và m  5 .
Bước 4. Đánh giá giải pháp .
- Để giải được bài toán trên học sinh cần giải quyết hai vấn đề quan trọng là:
Thứ nhất: Đặt ẩn phụ và chuyển về bài tốn quen thuộc tìm số nghiệm của
phương trình f  t   m .
Thứ hai: Tìm được mối liên hệ giữa x và ẩn phụ t. Lập bảng biến thiên của hàm
số y  f  t  suy ra số nghiệm f  t   m .
Nhận xét: Bằng cách chuyển về bài toán đã cho về phương trình quen thuộc
f  t   m chúng ta hướng dẫn cho học sinh giải các bài tốn chứa tham số sau:
Ví dụ 2.2.5. Cho hàm số y  x3  x 2  mx  1 có đồ thị  C  . Tìm tham số m để  C 
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt .
A. m  0

B. m  1

C. m  1

D. m  0

Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) và trục hoành là:
x3  x2  mx  1  0  x3  x2  1  mx (1)

+) Nhận thấy x  0 khơng là nghiệm của phương trình (1).
+) Với x  0 , Phương trình (1)  x 2  x 

1
1
 m . Đặt f ( x)  x 2  x  , x  0 .
x
x

1 ( x  1)(2 x 2  x  1)
, x  0 ;
Khi đó f '( x)  2 x  1  2 
x
x2
Ta có f '( x)  0  x  1
10


Bảng biến thiên



x

0

f '( x)



f ( x)



1
-

0

+





1


Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt khi
và chỉ khi m  1 .
Ví dụ 2.2.6. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m 2022;2022 để
2 x  1 mx  2m  1
phương trình 2022 x 

 0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt?
x 1
x2
A. 4042.

B. 2022.

C. 2020.

D. 4044.

Lời giải:
Tập xác định D  R \ {-1;2} .
Khi đó phương trình đã cho  2022 x 
Đặt f ( x)  2022 x 

2x  1
1

 m
x 1 x  2

2x  1
1

, x  D
x 1 x  2

 f '( x)  2022 x.ln 2022 

3
1

 0, x  D
2

( x  1) ( x  2)2

Bảng biến thiên
x



f '( x)

-1
+

+


f ( x)



2
+




2





Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số y  f ( x)
11


Ta có: Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  m  2 .
Kết hợp với điều kiện m nguyên và m 2022;2022 . Suy ra có 2020 giá trị m
là: m  3;...;2022 .
Ví dụ 2.2.7. [Trích đề thi THPT QG năm 2018 - 2019]
x  3 x  2 x 1
x
Cho hai hàm số y 
và y  x  2  x  m ( m là tham



x  2 x 1
x
x 1
số thực) có đồ thị lần lượt là  C1  và  C2  . Tập hợp tất cả các giá trị của m để

 C1  và  C2  cắt nhau tại 4
A.  ;2 .

điểm phân biệt là:

B.  2;  .

C.  ;2  .

D.  2;  .

Lời giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của  C1  và  C2  là:
x  3 x  2 x 1
x



 x2  xm
x  2 x 1
x
x 1
x  3 x  2 x 1
x




 x  2  x  m (1).
x  2 x 1
x
x 1
x  3 x  2 x 1
x



 x  2  x.
x  2 x 1

x
x 1

Đặt f  x  

Tập xác định D  R \ 1;0;1;2 .
 f  x  


1

 x  2

2

1

 x  2


2



1

 x  1

2

1

 x  1


2



1
1
x2


1
2
2
x  x  1
x2

x  2   x  2
1
1


 0, x  D
2
2
x
x2

 x  1

Bảng biến thiên
x



f '( x)

-2
+

-1

0

+

1

+


+




2
+



+


f ( x)

2










12


Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số y  f ( x) ta thấy:

 C1  và  C2  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt  Đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm
số y  f ( x) tại 4 nghiệm phân biệt  m  2 .
2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng
tạo cho học sinh lớp 12 thơng qua bài tốn hàm hợp.
Ví dụ 2.3.1. Cho hàm số y  f  x  xác định trên R \ 0 có bảng biến thiên như
sau:

Số nghiệm của phương trình 2 f  3x  1  5  0 là:
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Phương pháp:
Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.
Đây là bài tốn tìm số nghiệm của phương trình 2 f  3x  1  5  0 khi cho biết
bảng biến thiên của hàm số f  x  .
Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.
+ Đặt ẩn phụ t  3x  1.
+ Tìm số nghiệm của phương trình f  t  

5
.
2

+ Kết luận số nghiệm của phương trình 2 f  3x  1  5  0 .
Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng tốn học để giải quyết vấn đề đặt ra.
Ta có phương trình: 2 f  3x  1  5  0  f  3x  1 
Đặt t  3x  1, phương trình đã cho trở thành f  t  
Với mỗi nghiệm t thì chỉ có một nghiệm x 
trình f  t  

5
.
2

5
.
2

t 1
nên số nghiệm t của phương
3

5
bằng số nghiệm của phương trình 2 f  3x  1  5  0 .
2
13


5
2

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  . Ta suy ra phương trình f  t  
có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình 2 f  3x  1  5  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2.3.2. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình 2. f 1  3x   13  0 có bao nhiêu nghiệm âm?
A. 1 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 2 .

Lời giải
Hướng 1: Giải tương tự trên
Phương trình 2. f 1  3x   13  0  f 1  3x  

13
2

Đặt t  1  3x . Phương trình đã cho trở thành f  t  

13
2

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  suy ra phương trình f  t  
có một nghiệm t  3 .
Từ đó suy ra t  1  3x  3  x 

13
2

2
0
3

Vậy phương trình 2. f 1  3x   13  0 có một nghiệm âm.
Hướng 2 (lập bảng biến thiên)

Phương trình 2. f 1  3x   13  0  f 1  3x  

13
2

Xét hàm số g ( x)  f 1  3x   g   x   3 f ' 1  3x 
2

x

1  3x  1 
3

Ta có g '( x)  0  
.
1  3x  3
x   2

3

Bảng biến thiên của hàm số
14


13
có một nghiệm âm.
2
Nhận xét: Từ các ví dụ ở trên chúng ta có thể giúp học sinh giải và xây dựng
các bài tốn tìm số nghiệm của phương trình f  u ( x)   m bằng cách thay đổi giả
thiết hàm u ( x) bởi hàm số lượng giác, hàm vô tỷ, hàm trị tuyệt đối, hàm bậc ba,

bậc bốn, hàm mũ … ta có các bài tốn sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f 1  3x  

Ví dụ 2.3.3. [ Trích đề minh họa BGD năm 2020]: Cho hàm số f  x  có bảng
biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn   ;2  của phương trình 2 f  sin x   3  0 là:
A. 4 .

B. 6 .

C. 3 .

D. 8 .

Lời giải
Cách 1: Cách giải truyền thống.
Đặt t  sin x . Do x    ;2  nên t   1;1 .

3
Khi đó ta có phương trình: 2 f  t   3  0  f  t    .
2

t  a   1;0 
3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình: f  t     
2
 t  b   0;1
Trường hợp 1: Với t  a   1;0 

Ứng với mỗi giá trị t   1;0  thì phương trình có 4 nghiệm
  x1  x2  0    x3  x4  2 .
Trường hợp 2: Với t  b   0;1
Ứng với mỗi giá trị t   0;1 thì phương trình có 2 nghiệm 0  x5  x6   .

15


Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn   ;2  .
Nhận xét: Việc ước lượng khoảng giá trị t  a   1;0  và t  b   0;1 và từ đó
tìm số nghiệm của phương trình đã cho là cơng việc khó khăn đối với các em
học sinh. Đặc biệt là bài tốn tìm số nghiệm của phương trình lượng giác, tìm
nghiệm của phương trình vơ tỷ…Vấn đề đặt ra là chúng ta có thể quy bài tốn
về một bảng biến thiên để học sinh dễ dàng thao tác tìm được số nghiệm của
phương trình đã cho hay khơng?
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên :
Phương pháp này được nhiều tài liệu đề cập và thường gọi là phương pháp ghép
trục hay phương pháp bảng biến thiên thu gọn. Nhằm mục đích giải các bài tốn
cực trị, bài tốn về đồng biến nghịch biến, bài toán về tương giao….
Trong nội dung đề tài này ta ta gọi là phương pháp ghép bảng biến thiên.
QUY TRÌNH GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN .
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g  f  u  x   , giả sử ta được tập xác định
D   a1; a2    a3 ; a4   ...   an1; an  . Ở đây có thể là a1  ; an   .

Bước 2: Xét sự biến thiên của u  u  x  và hàm y  f ( x) .
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa  x; u  u  x  và
u; g  f (u) .
Bảng có 3 dịng dạng

Cụ thể các thành phần trong BBT như sau
Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị (điểm biên của tập xác định D , các điểm cực
trị của u  u  x  ) của hàm u  u  x  , sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ
trái qua phải, giả sử như sau: a1  a2  ....  an1  an .



Dòng 2: Điền các giá trị ui  u  ai  với i  1,..., n


16


Trên mỗi khoảng  ui ; ui 1  , i  1, n  1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b1; b2 ;...; bk
của hàm y  f ( x) .(Điểm kỳ dị của y  f ( x) gồm: Các điểm tại đó f ( x) và f ( x)
không xác định và các điểm cực trị hàm số y  f ( x) ).
Trên mỗi khoảng  ui ; ui 1  , i  1, n  1 cần sắp xếp các điểm ui ; bk theo thứ
tự chẳng hạn: ui  b1  b2  ...  bk  ui1 hoặc ui  b1  b2  ...  bk  ui1 .
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g  f  u  x   dựa vào BBT của hàm

y  f ( x) bằng cách hoán đổi: u đóng vai trị của x ; f  u  đóng vai trị của f  x 

Sau khi hồn thiện BBT hàm hợp g  f  u  x   ta thấy được hình dạng đồ
thị hàm này.
Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g  f  u  x   giải quyết các yêu cầu đặt ra trong
bài tốn và kết luận.
Trở lại Ví dụ 2.3.3.
Cách 2 (Phương pháp ghép bảng biến thiên).




x



2


Đặt t  sinx; x   ;2  . Ta có t '  cosx  0   x 

2

3
x 
2

Dòng 1: Trên   ;2  hàm số t  sinx có 5 điểm kỳ dị.



Dịng 2: Ngồi các giá trị ui  u  ai  với i  1,...,5



Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm y  f ( x) trên đoạn [-1;1] là 0.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f  u 

3
Ta có phương trình 2 f  sinx   3  0  f  sinx   f  u    .
2

17


Dựa vào bảng biến thiên. Ta có phương trình đã cho có 6 nghiệm.
Nhận xét: Sau khi học sinh làm quen thao tác ghép bảng biến thiên thì học
sinh dễ dàng tìm được số nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2.3.4. [Trích đề minh họa BGD năm 2020 ] Cho hàm số f  x  có bảng
biến thiên như sau:

 5 
Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f  sin x   1 là:
 2 

A. 7 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

Lời giải
Cách 1: Cách giải truyền thống.
 5 
Đặt t  sin x , x  0;   t   1;1
 2 
Khi đó phương trình f  sin x   1 trở thành f  t   1, t  1;1
Đây là phương trình hồnh độ giao điểm của hàm số y  f  t  và đường thẳng
y  1.
t  a   1;0 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có f  t   1  
.


t
b
0;1



Trường hợp 1: t  a   1;0
Ứng với mỗi giá trị t   1;0  thì phương trình sin x  t có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa
mãn   x1  x2  2 .
Trường hợp 2: t  b   0;1 .
Ứng với mỗi giá trị t   0;1 thì phương trình có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn
5
0  x3  x4   ; 2  x5 
;
2
Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.
 5 
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0;  .
 2 

Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
18






x

2

3
 5 
Đặt t  sin x , x  0;  . Ta có: t '  cosx  0   x 

2
 2 

5
x 

2
 5 
Dòng 1: Trên 0;  hàm số t  sinx có 4 điểm kỳ dị.
 2 



Dịng 2: Ngồi các giá trị ui  u  ai  với i  1,...,4



Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm y  f ( x) trên đoạn [-1;1] là 0.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f  u 

Dựa vào bảng biến thiên.

Ta có số nghiệm của phương trình f  sin x   f  u   1 là 5.
Ví dụ 2.3.5. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

 9 
Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f  2sin x  1  1 là:
 2 
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
A. 7 .
Lời giải
Cách 1: Cách giải truyền thống.

19


 x  1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có f  x   1   x  a  1;3 .
 x  b  3; 




Như vậy:


sin x  11
 2sin x  1  1



a 1
 sin x 
f  2sin x  1  1   2sin x  1  a  1;3
, a  1;3   2  .

2
 2sin x  1  b  3; 

 

b 1
, b   3;    3
sin x 

2
3
7
 9 
,x 
.
Trên đoạn 0;  phương trình sin x  1 có 2 nghiệm x 
2
2
 2 
a 1
a 1
 1 . Do đó sin x 
+ Với 1  a  3  0  a  1  2  0 
có 5 nghiệm

2
2
7
3
 9 
và
.
phân biệt thuộc 0;  , các nghiệm này đều khác
2
2
2


b 1
b 1
 1. Do đó sin x 
+ Với b  3  b  1  2 
vô nghiệm.
2
2
 9 
Vậy trên đoạn 0;  phương trình f  2sin x  1  1 có 7 nghiệm.
 2 
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.


x


2


 x  3

2

5
 9 
Đặt t  2sin x  1 , x  0;  . Ta có: t '  cosx  0   x 
2
 2 


7
x 
2

9

 x  2
 9 
Dòng 1: Trên 0;  hàm số t  sinx có 6 điểm kỳ dị.
 2 



Dịng 2: Ngoài các giá trị ui  u  ai  với i  1,...,6



Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm y  f ( x) trên đoạn [-1;3] là 1.

Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f  u 
20


x
u

0


2

1

3

f (u ) 2

3
2
1

-1

2

7
2

5

2
1

3

1

2

2

1
-2

-1

9
2
1

3
2

1
-2

-2

Dựa vào bảng biến thiên thu gọn ta thấy phương trình f  2sin x  1  1 có 7
nghiệm.

Nhận xét: Qua 2 cách giải trên chúng ta thấy với cách ghép bảng biến thiên học
sinh dễ dàng tìm được số nghiệm phương trình đã cho mà khơng phải xét nhiều
trường hợp khác nhau.
Ví dụ 2.3.5: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới.
Hỏi phương trình f  x3  3x  1  2  1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân

biệt?

A. 8.

B. 6.

C. 9.

D. 11.

Lời giải
Cách 1: Cách giải truyền thống.

- Dựa vào đồ thị hàm số f  x  , ta có:

21


f

f  x  3x  1  2  1 
f

3

  x3  3x  1  b  b  1  2 

 x3  3x  1  1   x3  3x  1  c  1  c  3 3
  3
3
3
1
3
x
x





  x  3x  1  d  d  3  4 
 3
 x  3x  1  a  a  d  1

- Dựa vào đồ thị hàm số y  x3  3x  1 (hình vẽ dưới đây)

Ta suy ra:
- Phương trình (1) có 1 nghiệm
- Phương trình (2) có 1 nghiệm
- Phương trình (4) có 1 nghiệm
- Phương trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
Đặt u  x3  3x  1 .

Khi đó u  x   3x 2  3 ;
Ta có u  x   0  x  1 .
BBT của hàm số u  x  :
x
u'


+

u

1
0

1
0
3

+
+
+

1



Dòng 1: Trên R hàm số u  x3  3x  1 có 4 điểm kỳ dị.



Dịng 2: Ngồi các giá trị ui  u  ai  với i  1,...,4



Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm y  f ( x) trên nửa đoạn (; 3] là (-1)
trên nửa đoạn [  1; ) là 3.
22


Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f  u 
x



u



-1
-1

3

2

f (u )



1

-1



3



2



-3

-3

 f u   3
Phương trình f  x3  3x  1  2  1 trở thành: f  u   2  1  
 f  u   1
Từ bảng biến thiên thu gọn ta thấy:
- Phương trình f  u   1 có 5 nghiệm
-

Phương trình f  u   3 có 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.

Ví dụ 2.3.6: [Trích đề thi chun Phan bội châu năm 2020]: Cho hàm số
y  f  x   ax3  bx 2  cx  d  a  0  có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình f  f  x    0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 8.

B. 6.

C. 7.

D. 9.

Cách 1: Cách giải truyền thống.
 f  x   a   2; 11

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: f  f  x    0   f  x   b   0;1  2 
 f x  c  1;2
   3
  

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và
đường thẳng y = a với a  (2; 1) , do đó phương trình (1) có 1 nghiệm.
23


Tương tự ta có:
Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt. Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt.
Nhận thấy các nghiệm của 3 phương trình (1), (2), (3) đơi một phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
Đặt u  f ( x) . Ta có u  x   f '( x) ; u  x   0  x  1 .
BBT của hàm số u  x  :


x
u'

+

u

1
0

1
0
3

+
+
+

1



Dòng 1: Trên R hàm số u  f ( x) có 4 điểm kỳ dị.



Dịng 2: Ngoài các giá trị ui  u  ai  với i  1,...,4



Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm y  f ( x) trên nửa đoạn (; 3] là (-1) và 1;
trên đoạn [3;  1] là 1. Trên nửa đoạn (1; ] là 1.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f  u 
x



u



-1
-1

1

3

f (u )



3

1

c
-1



1
-1

1



3
-1



-1

Trong đó ta có c  f (3)  3 .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f  f  x    0 có 7 nghiệm phân
biệt.
Ví dụ 2.3.7. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm
thực của phương trình f  x 4  2 x 2   2 là:

24