SKKN Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết

MỤC LỤC
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ............................................................................. Trang 2
1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 2
1.2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 3
1.4. Giới hạn của đề tài.............................................................................

Trang 3

1.5. Nhiệm vụ của đề tài ..........................................................................

Trang 3

1.6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... Trang 3
1.7. Bố cục của đề tài ............................................................................... Trang 4
Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.................................................... Trang 5
Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn....................................................

Trang 5

1.1. Khái niệm........................................................................................... Trang 5
1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực............................................................... Trang 5
1.3. Thực trạng của đề tài.......................................................................... Trang 5
1.4. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 6
1.5. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 6
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực
sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm Trang 7
hợp và hàm liên kết ...................................................................................
2.1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 7
2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo
Trang 10

cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp
2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo
Trang 23
cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm liên kết
2.4. Bài tập tự luyện................................................................................... Trang 39
Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 44
Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 46
PHỤ LỤC.................................................................................................. Trang 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... Trang 50
1


Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành Trung
ương khóa XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ mục tiêu
cụ thể về giáo dục phổ thơng, trong đó có mục tiêu: Hình thành năng lực cơng dân,
phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.
Chương trình tổng thể Ban hành theo Thơng tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày
26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục tốn học hình thành và phát triển cho học sinh
những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố
cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mơ hình hố tốn học, năng
lực giải quyết vấn đề tốn học,…”. Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể cũng
chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn
có và q trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến
thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực
hiện thành cơng một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những
điều kiện cụ thể”.
Để góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường
THPT, hoạt động dạy giải bài tập tốn có vai trị hết sức quan trọng. Hoạt động

giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy học bộ môn Toán ở bậc
THPT. Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu là phải rèn
luyện kỹ năng giải Tốn, tức là phải hình thành cho người học cách suy nghĩ,
phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua đó góp phần phát triển năng
lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
Bài toán cực trị của hàm hợp, hàm liên kết là một trong những dạng tốn hay
và khó, thường xun xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia và đề thi
tốt nghiệp trung học phổ thông những năm gần đây. Các bài tốn này nhằm mục
đích phân loại trình độ học sinh với độ khó ngày một tăng dần. Để giải được lớp
bài tốn này địi hỏi học sinh phải linh hoạt sử dụng tổng hợp một số kiến thức đã
học trong chương trình mơn Tốn bậc THPT.
Trong sách giáo khoa và sách bài tập mơn Tốn lớp 12 hiện nay đang sử
dụng ở bậc THPT, lớp bài toán cực trị của hàm hợp, hàm liên kết lại không được
đề cập. Do đó các em học sinh rất lúng túng và gặp khơng ít khó khăn trong việc
tiếp cận và tìm tịi lời giải các bài tốn cực trị hàm hợp và hàm liên kết. Là một
giáo viên giảng dạy bộ mơn Tốn tơi ln băn khoăn, trăn trở trong việc tìm các
giải pháp để các em với học lực mơn Toán khác nhau được làm quen với xu hướng
ra đề thi của Bộ GD&ĐT, giúp các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng
giải các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết, góp phần phát triển năng lực giải
quyết vấn đề cho học sinh, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn Tốn,
hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh.
2


Để phát huy được tính sáng tạo giải tốn cho học sinh đòi hỏi người thầy cần
đầu tư xây dựng một hệ thống các bài tốn cho riêng mình bám sát xu hướng ra đề
thi của Bộ GD&ĐT thông qua việc trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp đặc
biệt là các chun gia về bộ mơn Tốn bậc THPT.
Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển năng
lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy

học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết ”.
1.2. Mục đích của đề tài
- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
- Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12 (chú trọng học sinh khá giỏi).
- Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp tỉnh
khối 12.
- Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.
1.4. Giới hạn của đề tài
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh
khi dạy chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết qua đó góp phần phát triển
năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12.
1.5. Nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng
tạo.
- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề cực trị hàm số
thuộc chương trình giải tích lớp 12.
- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ
đề cực trị của hàm hợp, hàm liên kết thông qua việc khai thác các bài toán cực trị hàm hợp,
hàm liên kết trong các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT,
các đề thi thử trên cả nước, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học
sinh.
- Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết,
giúp học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề cực trị
hàm hợp, hàm liên kết, qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tịi
lời giải các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết, góp phần phát triển năng lực
sáng tạo cho học sinh.
1.6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.

3


- Phương pháp điều tra quan sát.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
1.7. Bố cục của đề tài
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình
bày trong 3 chương.
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua
dạy học chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết.
Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu.

4


Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn
1.1. Khái niệm
- Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện,
cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá
nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành cơng một loại hoạt động
nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”
lực là:

- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng

+ Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện
của người học.

+ Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc
tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,...
+ Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự
thành công trong hoạt động thực tiễn.
1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực
- Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và
phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:
+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thơng qua tất cả các
môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và
hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.
+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua
một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngơn ngữ, năng lực
tính tốn, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm
mĩ, năng lực thể chất.
- Theo chương trình GDPT mơn Tốn năm 2018, u cầu cần đạt về năng
lực đặc thù là: Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực
tốn học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần
cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố tốn học;
năng lực giải quyết vấn đề tốn học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng
cơng cụ, phương tiện học tốn.
1.3. Thực trạng của đề tài
Có thể nói rằng chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết là một chủ đề hay và
khó trong chương trình mơn Tốn lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề
này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên
thường lựa chọn các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao mơn giải tích
5


lớp 12, các bài toán cực trị trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi
HSG để giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau:

- Các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao mơn giải tích lớp 12
vẫn cịn khá dễ và chưa sát với các bài tốn cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong
các đề thi THPTQG nay là đề thi TNTHPT và tuyển sinh đại học.
- Khi giảng dạy các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết giáo viên
thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn
tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế.
- Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tịi, xây dựng các bài tốn mới để từ
đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị hàm hợp và hàm
liên kết.
1.4. Cơ sở lý thuyết
1.4.1. Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 11:
Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình.
1.4.2. Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12:
Bảng biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Đồ thị của hàm số và các
bài toán liên quan.
1.4.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản.
1.5. Cơ sở thực tiễn
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THPT Lê Lợi nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn
đề và năng lực sáng tạo (nhiều em có điểm mơn Tốn tuyển sinh vào 10 chưa đ ạt 1,0
điểm). Các bài toán thuộc chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi
thường ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này học
sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước biến đổi.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài
tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể tháng 9 năm
2020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi cho học sinh các lớp làm bài
khảo sát, kết quả như sau:
Điểm 9-10

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm <5

Lớp

Số
HS

SL

TL(%) SL

TL(%) SL

TL(%) SL

TL(%)

12A1

37

2

5,4%

18

48,7% 15

40,5% 2

5,4%

12A2

37

0

0%

10

27,0% 16

43,2% 11

29,8%

12A5

36

0

0%

8

20,2% 17

47.2% 11

30.6%
6


Chương 2.
Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học
sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết
2.1. Một số kiến thức cơ bản
2.1.1. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là u x , và hàm số y  f  u  có đạo
hàm tại u là yu thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là: yx  yu .ux .
Ví dụ 1.1. Với u là một hàm số của x ta có:
+  u n   n.u n1.u ( n 
+

 u   2uu

+  u  

, n  2 ).

( u  0 ).

u

2

*



u  2u.u u.u

( u  0 ).



2

2 u2

2u

u

2.1.2. Cực trị của hàm số
2.1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  a; b  và điểm
x0   a; b  .
+ Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và
x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực đại tại x0 .
+ Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và
x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x0 .
2.1.2.2. Điều kiện cần đạt cực trị
Định lý 1: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng  a; b  có đạo hàm tại

x0   a; b  và đạt cực trị tại điểm đó thì f   x0   0 .
2.1.2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lý 2: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên K   x0  h; x0  h  và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0  , với h  0 .
+ Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h 
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  .

7


+ Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h 
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .
Minh họa bằng bảng biến thiến

x

x0  h

f ( x)

x0  h

x0

x0  h

f ( x)





x

x0  h

x0





fCÑ
f ( x)

f ( x)

fCT

Định lý 3: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp một trên khoảng  a; b 
chứa điểm x0 , f   x   0 và f  x  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0 .
a) Nếu f   x0   0 thì hàm số y  f  x  đạt cực đại tại điểm x0 .

b) Nếu f   x0   0 thì hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Chú ý: Trong định lý 3 nếu f   x0   0 thì ta chưa kết luận được hàm số đạt
hay không đạt cực trị tại x0 .
Ví dụ 1.2. (Trích đề thi THPTQG 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên
có bảng xét dấu f   x  như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 1 .
B. 4 .

C. 3 .

,

D. 2 .

Lời giải
Ta có f  x  liên tục trên
và đổi dấu từ  sang  khi qua các điểm
x  1; x  1. Suy ra hàm số có hai điểm cực tiểu là x  1 và x  1 .
Ví dụ 1.3. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên tồn
và có đồ thị đạo hàm
y  f '  x  như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải
8


Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của f   x  :

Vậy hàm số y  f  x  có 3 cực trị.
Ví dụ 1.4. (Trích đề thi THPTQG 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số y  x8   m  2  x5   m2  4  x 4  1 đạt cực tiểu tại x  0 ?
B. 5 .

A. 3 .

C. 4 .

D. Vơ số.

Lời giải
Chọn C
Ta có
y  x8   m  2  x5   m2  4  x 4  1  y  8x7  5  m  2  x 4  4  m2  4  x3 .
y  0





 x 3 8 x 4  5  m  2  x  4  m2  4   0
x  0

4
2
 g  x   8 x  5  m  2  x  4  m  4   0

Xét hàm số g  x   8x 4  5  m  2  x  4  m2  4  . Xét giá trị g  0 :
 m  2
TH1. Nếu g (0)  0  m2  4  0  
. Do hàm số g  x  liên tục trên

m
2

, nên tồn tại số h  0 sao cho g ( x)  0 , x  (h; h)  y ' đổi dấu từ dương sang
âm khi x đi qua 0  Hàm số đã cho không đạt cực tiểu tại x  0 .

TH2. Nếu g (0)  0  m2  4  0  2  m  2 . Do hàm số g  x  liên tục
trên , nên tồn tại số h  0 sao cho g ( x)  0 , x  (h; h)  y ' đổi dấu từ âm
sang dương khi x đi qua 0  Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  0 . Vậy
2  m  2 thỏa đề bài. Do m nguyên nên m1;0;1 .

9


m  2
TH3. Nếu g (0)  0  m2  4  0  
.


m
2


* Với m  2 . Khi đó y  8x7 suy ra y  đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua

điểm x  0 nên x  0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m  2 thỏa mãn đề bài.
x  0
* Với m  2 thì g  x   8 x  20 x  0  
.
x  3 5

2
4

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có x  0 khơng là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy
m  2 không thỏa mãn đề bài.
Vậy cả ba trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa đề bài.
2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng
tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp
Ví dụ 2.1. (Trích đề thi THPTQG 2019). Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên
của hàm số f   x  như sau

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  là
B. 3 .
C. 7 .
A. 9 .

D. 5 .

Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng tốn học.
Đây là bài tốn tìm số điểm cực trị của hàm hợp y  f  x 2  2 x  khi cho biết

bảng biến thiên của hàm số f   x  .

Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.
+ Tính đạo hàm của hàm hợp y  f  x 2  2 x  .
10


+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình y  0 .
+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  .
Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng tốn học tương thích (bao gồm các
cơng cụ và thuật tốn) để giải quyết vấn đề đặt ra.
Ta có:
x 1
 2
 x  2 x  a, a   ; 1

x
1


  x 2  2 x  b, b   1;0 
y   2 x  2  f   x 2  2 x   0  
2
 f   x  2 x   0  2
x  2 x  c,c   0;1

 x 2  2 x  d , d  1;  

Lập bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x :
Ta có: u  x   2 x  2  0  x  1

Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x ta có mỗi phương trình
x2  2 x  a , x2  2 x  b , x2  2 x  c , x2  2x  d đều có hai nghiệm phân biệt
khác 1 và trong các nghiệm đó khơng có hai nghiệm nào trùng nhau. Do đó
phương trình y  0 có 7 nghiệm đơn phân biệt. Từ đó hàm số y  f  x 2  2 x  có 7
điểm cực trị.
Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.
- Để giải được bài tốn trên, ngồi việc học sinh nắm được cơng thức tính
đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là:
Thứ nhất: Từ bảng biến thiên của hàm số f   x  suy ra nghiệm u của
phương trình f   u   0 .
11


Thứ hai: Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x suy ra số nghiệm bội
lẻ của các phương trình u  x   0 , u  x   a , u  x   b , u  x   c , u  x   d .
- Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên của
hàm số f   x  . Tính số điểm cực trị của hàm số y  f  u  x   .
- Chúng ta có thể giúp học sinh giải và xây dựng các bài toán cực trị của
hàm hợp tương tự, trước hết bằng cách thay đổi giả thiết ta có các bài tốn sau:
* Giả thiết cho bằng đồ thị của hàm số f  x  :
Ví dụ 2.2. (Trích đề thi TK
THPTQG 2020). Cho hàm số bậc bốn
y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Số điểm
cực trị của hàm số g  x   f  x3  3x 2  là
A. 5.

B. 3.

C. 7.

D. 11.

Lời giải
Xét hàm số g  x   f  x3  3x 2  ta có: g   x    3x 2  6 x  f   x3  3x 2 
3 x 2  6 x  0
g x   0  
3
2
 f   x  3x   0

Phương trình
x  0
3x 2  6 x  0  
 x  2

Từ đồ thị của hàm số f  x 
 x3  3x 2  t1   ;0 

Ta có: f   x3  3x 2   0   x3  3x 2  t2   0;4 
 3
2
 x  3x  t3   4;  

1
 2
 3

x  0
Xét hàm số u  x   x3  3x 2 ta có u  x   3x 2  6 x  0  
 x  2

Bảng biến thiên của hàm số u  x   x3  3x 2

12


Dựa vào bảng biến thiên của hàm số u  x   x3  3x 2 ta thấy:

1 có 1 nghiệm duy nhất
 2 có 3 nghiệm phân biệt
 3 có 1 nghiệm duy nhất.
Suy ra g  x   0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt và
nghiệm này nên hàm số g  x  có 7 điểm cực trị.
* Giả thiết cho biểu thức của f   x  :

g   x  đổi dấu qua các

Ví dụ 2.3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục và xác định trên
và
có biểu thức tương ứng là f   x   x  x  1 x  2021 . Gọi S là tập chứa các giá trị

nguyên của tham số m để hàm số g  x   f  x3  3x  m  có nhiều điểm cực trị
nhất. Số phần tử của tập S là
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải
x  0
Ta có: f   x   x  x  1 x  2021  0   x  1
 x  2021

Xét hàm số g  x   f  x3  3x  m  ta có:
3 x 2  3  0
g   x    3 x  3 f   x  3 x  m  ; g   x   0  
.
3
 f   x  3x  m   0
2

3

Ta có: 3x2  3  0  x  1
 x3  3x  m  0
1

f   x3  3x  m   0   x3  3x  m  1
 2
 3
 x  3x  m  2021  3

13


Yêu cầu bài toán tương đương với tổng số nghiệm bội lẻ khác 1 của các
phương trình 1 ,  2 , 3 là nhiều nhất.

Xét hàm số u  x   x3  3x  m ta có u  x   3x2  3  0  x  1
Bảng biến thiên của hàm số u  x   x3  3x  m :

Do  m  2   m  2  4 nên từ bảng biến thiên ta có tổng số nghiệm đơn
khác 1 của các phương trình 1 ,  2 , 3 nhiều nhất khi và chỉ khi
m  2
m  2  0  1  m  2  
m  1

Do m   m 1;0 . Vậy tập hợp S có 2 phần tử.
* Giả thiết cho công thức của f   ax  b  , a  0 :
Ví dụ 2.4. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên
thiên của hàm số y  f   2 x  3 như hình vẽ

và có bảng biến

Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x 4  2 x 2  1 .
A. 11.
B. 5.
C. 7.
D. 9.
Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.
Đây là bài tốn tìm số cực trị của hàm hợp g  x   f  x 4  2 x 2  1 khi cho
biết bảng biến thiên của hàm số f   2 x  3 .
Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.
+ Từ bảng biến thiên của hàm số f   2 x  3 truy về được bảng biến thiên
của hàm số f   x  .
14

+ Tính đạo hàm của hàm hợp g  x   f  x 4  2 x 2  1 .
+ Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình g  x   0 .
+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x 4  2 x 2  1 .
Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng tốn học tương thích (bao gồm các
cơng cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.
Trước hết ta tìm bảng biến thiên của hàm số f   x  :

 4 x3  4 x  0
Ta có: g   x    4 x  4 x  f   x  2 x  1 ; g   x   0  
4
2
 f   x  2 x  1  0
3

4

2

x  0
Ta có: 4 x3  4 x  0  4 x  x 2  1  0  
 x  1

Từ bảng biến thiên của hàm số f   x  ta có
 x 4  2 x 2  1  a   ; 2 

f   x 4  2 x 2  1  0   x 4  2 x 2  1  b   2; 1
 4
2
 x  2 x  1  c   1;  

1
 2
 3

x  0
Xét hàm số u  x   x 4  2 x 2  1 ta có u  x   4 x3  4 x  0  
 x  1

Bảng biến thiên của hàm số u  x   x 4  2 x 2  1 :

15


Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 4  2 x 2  1 , ta có tổng số các nghiệm
đơn khác 1 và khác 0 của các phương trình 1 ,  2 , 3 là 6 nghiệm.
Do đó phương trình g  x   0 có 9 nghiệm đơn phân biệt hay hàm số

g  x   f  x 4  2 x 2  1 có 9 điểm cực trị.

Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.
- Để giải được bài tốn trên, ngồi việc học sinh nắm được cơng thức tính
đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là:
Thứ nhất: Từ bảng biến thiên của hàm số f   2 x  3 cần suy ra được bảng
biến thiên của hàm số f   x  .
Thứ hai: Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 4  2 x 2  1 suy ra số
nghiệm bội lẻ của các phương trình u  x   0 , u  x   a , u  x   b , u  x   c .
- Chúng ta có thể tổng quát hóa bài tốn như sau: Cho bảng biến thiên của
hàm số f   ax  b  ( a, b  ; a  0 ). Tính số điểm cực trị của hàm số
y  f u  x  .

Tiếp theo bằng cách thay đổi biểu thức của hàm hợp, chúng ta hướng dẫn
học sinh xây dựng và giải các bài tốn về cực trị của hàm hợp
Ví dụ 2.5. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên
biến thiên của hàm số y  f  x  như hình vẽ (trong đó 1  p  2 )



và có bảng



Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f 2021 f  x   2020 .
A. 17.

B. 15.

C. 11.

D. 19.

Lời giải





Xét hàm số g  x   f 2021 f  x   2020 , ta có:



g  x   2021 f  x   2020


 f  2021 f  x   2020 

2021 f   x   2021 f  x   2020
2021 f  x   2020





f  2021 f  x   2020 .
16


g   x  không xác định khi 2021 f  x   2020  0  f  x  

2020
1 .
2021

Ta có:
 f  x   0
g x   0  
 f  2021 f  x   2020  0





x 1
x  2

 f  x  1
x

1


x  2
 f  x   2019



2021
2021 f  x   2020  1


 f  x   2022
 2021 f  x   2020  2


2021

2018
 f  x 
2021


 2
 3 .
 4
 5

Từ bảng biến thiên của hàm số f  x  , ta có tổng số nghiệm bội lẻ khác 1 và
khác 2 của các phương trình 1 ,  2 , 3 ,  4 , 5 là 15 nghiệm. Do đó hàm số





g  x   f 2021 f  x   2020 có 17 điểm cực trị.
Ví dụ 2.6. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên
thiên của hàm số y  f   x  như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f
Lời giải
Xét hàm số g  x   f
g x  





x2  2x  2 .

B. 8.

A. 10.



x  2x  2
2

và có bảng biến

C. 7.

D. 9.





x 2  2 x  2 , ta có:

 


f



x  2x  2 
2

 x  1 f  

x2  2x  2



x2  2 x  2

17


g   x  không xác định khi

x2  2 x  2  2 1

x 1  0
x 1


g  x  0 

2
2

f
x
2
x
2
0





 f  x  2x  2  0











Từ bảng biến thiên của hàm số f   x  , ta có

f






x2  2x  2  0  







x 2  2 x  2  a   ;1

 2
x 2  2 x  2  b   2;3  3
x 2  2 x  2  c   3;4   4 
x 2  2 x  2  d   4;    5 

Xét hàm số u  x   x 2  2 x  2 , ta có u  x  

x 1
x  2x  2
2

 0  x  1.

Bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x  2 :

Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x  2 , ta có tổng số nghiệm
bội lẻ khác 1 của các phương trình 1 ,  2 , 3 ,  4 , 5 là 8 nghiệm. Vậy hàm số
g  x  f





x 2  2 x  2 có 9 điểm cực trị.

Nhận xét: Khi giải bài toán trên, học sinh thường quyên xét trường hợp
g   x  không xác định dẫn tới giải sai bài tốn.

Ví dụ 2.7. Cho hàm số y  f  x 
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị
như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của
hàm số g  x   f  sin 2 x  2  trên
khoảng  0;2  .
A. 8.

B. 5.

C. 7.

D. 9.

Lời giải
18


Xét hàm số g  x   f  sin 2 x  2  , ta có
g   x    sin 2 x  2  f   sin 2 x  2   sin 2 xf   sin 2 x  2  .

sin 2 x  0
1
sin 2 x  0

g  x   0  
 sin 2 x  2  0
 2 .
2


f
sin
x
2
0





 2
sin x  2  a   2;3  3

Xét hàm số u  x   sin 2 x  2 trên khoảng  0;2  ta có:
u  x   sin 2 x  0  2 x  k  x  k

Cho 0  k


2


2

, k

k

 2  0  k  4  k  1;2;3

Vậy trên khoảng

3
x  ; x ; x 
.
2
2

 0;2  ,

phương trình sin 2x  0 có các nghiệm là

Bảng biến thiên của hàm số u  x   sin 2 x  2 trên khoảng  0;2 

Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   sin 2 x  2 trên khoảng  0;2  , ta có
tổng số nghiệm bội lẻ của các phương trình 1 ,  2 , 3 trên khoảng  0;2  là 7
nghiệm. Vậy trên khoảng  0;2  hàm số g  x   f  sin 2 x  2  có 7 điểm cực trị.

Nhận xét: Để giải tốt bài toán trên, học sinh cần nắm vững kiến thức chủ đề
hàm số lượng giác thuộc chương trình Đại số & giải tích lớp 11.
Ví dụ 2.8. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên
thiên của hàm số y  f  x  như hình vẽ

và có bảng biến

19


Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f 2020  f  x   1 .
A. 7.

Lời giải

B. 8.

C. 5.

D. 6.

Xét hàm số g  x   f 2020  f  x   1 , ta có:
g   x   2020 f 2019  f  x   1 f   f  x   1 f   x  .

 f 2019  f  x   1  0  f  f  x   1  0


g   x   0   f   f  x   1  0   f   f  x   1  0 .


 f   x   0
 f   x   0

Từ bảng biến thiên của hàm số f  x  , ta có
 x  2
.
f  x   0  
x  2

 f  x   1  2  f  x   1 1
.

f   f  x   1  0  

f
x
1
2
f
x
3
2



 
  
  

 f  x   1  a   ; 2   f  x   1  a   ; 1  3


f  f  x   1  0   f  x   1  b   2;2    f  x   1  b   1;3  4  .
 f x  1  c  2; 
 f x  1  c  3; 



  5
  
  

Từ bảng biến thiên của hàm số f  x  , ta có
+ Phương trình (1) có các nghiệm: x  a   ; 2 (nghiệm đơn), x  2

(bội chẵn).
+ Phương trình (2) có các nghiệm: x  b   2;   (nghiệm đơn), x  2
(bội chẵn).
+ Phương trình (3) và phương trình (5) vơ nghiệm.
+ Phương trình (4) các nghiệm đơn là: x  c   a; 2 , x  d   2;2 ,
x  e   2; b  .
Vậy phương trình g  x   0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt. Do đó hàm số
g  x   f 2020  f  x   1 có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 2.9. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên
thiên của hàm số y  f  x  như hình vẽ

và có bảng biến

20


Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;100 để hàm

số g  x   3 f 3  x   mf  x  có nhiều điểm cực trị nhất.
A. 90.

B. 80.

C. 91.

D. 81.

Lời giải
Xét hàm số g  x   3 f 3  x   mf  x  , ta có:
g  x   9 f   x  f 2  x   mf   x   f   x   9 f 2  x   m  .

 f   x   0 1
 f  x   0

Cho g   x   0   2
.
 2
m
 2
9 f  x   m  0  f  x  
9


Ta có phương trình (1) có các nghiệm là x  1; x  2 .
Hàm số g  x   3 f 3  x   mf  x  có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi
phương trình g  x   0 có số nghiệm bội lẻ nhiều nhất khi và chỉ khi phương trình
(2) có số nghiệm bội lẻ khác 1 và khác 2 nhiều nhất.
Từ bảng biến thiên, ta có:
m  0
m  0
m  0




 m   0;81 .
YCBT  


m

m
m
m
81

3
4
3









3
3

 3

Do m nguyên thuộc đoạn  10;100 , nên m1;2;3;....;80 .
Ví dụ 2.10. (Trích đề Vted 2020). Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu
của đạo hàm như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số g  x   f





1  sin x  1 trên khoảng  2 ;2 

là
A. 7

B. 9

C. 5

D. 6

Lời giải
21


Cách thứ nhất:
Ta có f   x  cùng dấu với x  x  1 x  2 .
g  x  



 




1  sin x  1 . f 

1  sin x  1 

Suy ra g   x  cùng dấu với biểu thức :



cos x
. 1  sin x
2 1  sin x





1  sin x  1

Hay g   x  cùng dấu với biểu thức :

cos x
.f 
2 1  sin x

1  sin x  3





1  sin x  1



cos x
sin x
sin x  8
.
.
.
2
1  sin x  1 1  sin x  3

Do sin x  8  0, x   2 ;2  nên suy ra g   x  cùng dấu với biểu thức
1
 cos x.sin x   sin 2 x .
2
1
Đồ thị của hàm số y   sin 2 x trên khoảng  2 ;2  như sau :
2

1
Từ đồ thị ta có hàm số y   sin 2 x đổi dấu 7 lần trên khoảng  2 ;2  .
2

Do đó hàm số g  x   f

 2 ;2  .





1  sin x  1 có 7 điểm cực trị trên khoảng

Cách thứ hai:
Theo trên ta có: g   x  

cos x
.f 
2 1  sin x



.

1  sin x  1

g   x  không xác định  1  sin x  0  sin x  1 1 .
cos x  0
cos x  0


cos x  0
1  sin x  1  1 sin x  1  KTM 

g  x   0  


sin x  0
 f  1  sin x  1  0  1  sin x  1  0


 1  sin x  1  2

sin x  8  VN 






cos x  0  2 

sin x  0  3

22


Đồ thị của các hàm số y  sin x, y  cos x trên khoảng  2 ;2  :

Dựa vào đồ thị của các hàm số y  sin x, y  cos x trên khoảng  2 ;2 
suy ra tổng số các nghiệm bội lẻ của các phương trình 1 ,  2 ,  3 trên khoảng

 2 ;2 

là 7 nghiệm. Do đó hàm số g  x   f





1  sin x  1 có 7 điểm cực trị

trên khoảng  2 ;2  .
2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng
tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm liên kết
Trước hết chúng ta xét bài toán sau:
Ví dụ 3.1. (Trích đề thi thử chuyên
ĐHV năm 2020). Cho hàm số y  f ( x) có
và hàm số y  f ( x) có
đạo hàm trên
đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn  3;4 hàm
x 
số g ( x)  f   1  ln  x 2  8x  16  có
2 
bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng tốn học.
Đây là bài tốn tìm số điểm cực trị của hàm liên
x 
g ( x)  f   1  ln  x 2  8x  16  khi cho biết đồ thị của hàm số f   x  .
2 
Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

kết

x 
+ Tính đạo hàm của hàm liên kết g ( x)  f   1  ln  x 2  8x  16  .
2 
+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình g  x   0 .

x 
+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số g ( x)  f   1  ln  x 2  8x  16  .
2 
Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng tốn học tương thích (bao gồm các
cơng cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

23


2
x 
Ta có g  x   f   1  ln  x  4 
2 

g  x  

x 
f   1  2ln  x  4  , x  3;4 ,
2 

1 x 
2
4
x 

; g  x   0  f    1 
.
f    1 
2 2  x4
2  x4

x
2
 1  t  x  2t  2 , khi đó phương trình có dạng f   t  
2
t 1
 1 
trong đó t   ;3 .
 2 

Đặt

* ,

điểm cực trị của hàm số
x 
là
số
g ( x)  f   1  ln  x 2  8x  16 
2


nghiệm đơn (hay bội lẻ ) của phương trình *
 1 
trên khoảng   ;3  . Từ đồ thị hàm số

 2 
2
y  f   t  và đồ thị của hàm số y 
ta suy
t 1
ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Số

Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.
- Để giải được bài toán trên, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan
trọng là:
Thứ nhất: Tính được
x 
g ( x)  f   1  ln  x 2  8x  16  .
2 

đạo

hàm

của

hàm

Thứ hai: Từ đồ thị của các hàm số y  f   t  và y 
nghiệm bội lẻ của phương trình f   t  

số

liên

kết

1
suy ra tổng số
t2

2
từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm
t 1

x 
số g ( x)  f   1  ln  x 2  8x  16  .
2 
- Để phát triển năng lực sáng tạo của học sinh giáo viên cần hướng dẫn học
sinh xây dựng và giải các bài tốn mới. Trong Ví dụ 3.1 chúng ta đã khai thác mối
1
. Bằng
quan hệ giữa đồ thị của hàm số y  f   x  và đồ thị của hàm số y 
x2
cách thay đổi mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số y  f   x  và các hàm số sơ cấp
cơ bản chúng ta hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán sau:
* Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng:
24


Ví dụ 3.2. Cho hàm số y  f ( x) có đạo
và hàm số y  f ( x) có đồ thị
hàm trên
như hình vẽ. Trên đoạn  2;1 hàm số

1
g ( x)  f  x 2  2 x  1  x 4  2 x3  2 x 2
có
2
bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 7 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải
1
Xét hàm số g ( x)  f  x 2  2 x  1  x 4  2 x3  2 x 2 , ta có:
2
g( x)   2 x  2  f   x 2  2 x  1  2 x3  6 x 2  4 x
  2 x  2  f   x 2  2 x  1   2 x  2   x 2  2 x 





  2 x  2 f   x2  2 x  1   x2  2 x  .
Ta có:
2 x  2  0
 x  1
.


g  x   0  

2
2
2
2











f
x
2
x
1
x
2
x
0
f
x
2
x

1
x
2
x









Xét phương trình:
f   x 2  2 x  1  x 2  2 x (1)

Đặt t  x2  2x  1, ta có: f   t   t  1 (2)
Dựa vào đồ thị hàm số y  f   t  và đường
thẳng y  t  1, ta có phương trình (2) có các
nghiệm là
t  a   2; 1  x 2  2 x  1  a   2; 1
 2

 x  2 x  1  b   1;0 
t  b   1;0 
 2
t  c  0;1
 
 x  2 x  1  c   0;1


 x 2  2 x  1  d  1;2 
t  d  1;2 



 3
 4
 5
6

Xét hàm số u  x   x 2  2 x  1 trên đoạn  2;1 , ta có:

u  x   2x  2; u  x   0  x  1.
Bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x  1 trên đoạn  2;1 :
25