SKKN Phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn trong dạy học khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu Hình học 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2

SÁNG KIẾN
LĨNH VỰC TOÁN HỌC

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG
TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC
KHỐI ĐA DIỆN, MẶT NĨN, MẶT TRỤ VÀ MẶT
CẦU HÌNH HỌC 12

Nghệ An, tháng 4 năm 2022


MỤC LỤC
Phần I. Mở đầu. ...................................................................................................... 1
Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 1
Phần II. NỘI DUNG............................................................................................... 3
2.1 Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn ........................................................ 3
2.2. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn ...................................................... 3
2.3

. Các thành tố cơ bản của năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn trong ... 4

2.4. Các biện pháp phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy
học nội dung khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu của hình học lớp 12 ......... 4
2.4.1 Khơi gợi động cơ học tập từ tình huống thực tiễn gắn với nội dung chủ đề khối
đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu của hình học lớp 12 ..................................... 5
2.4.2. Sử dụng các bài toán thực tiễn trong tiết luyện tập và ôn tập chương .......... 7
2.4.3 Tập luyện cho HS sử dụng mơ hình hóa Tốn học từ các bài Tốn thực tiễn
trong dạy học từ các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề khối đa diện, mặt nón,

mặt trụ và mặt cầu của hình học lớp 12.................................................................. 8
2.4.4 :Hướng dẫn HS tự sưu tầm, tìm hiểu những ứng dụng của Tốn học để chuyển
những tình huống thực tiễn. .................................................................................. 10
GIÁO ÁN MINH HỌA 1 TIẾT 14: LUYỆN TẬP MẶT TRÒN XOAY .............. 33
PHẦN III.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................... 41

3.1. KẾT LUẬN. .................................................................................................. 41
3.2. KIẾN NGHỊ .................................................................................................. 41
3.2.1. Với Bộ giáo dục:......................................................................................... 41
3.2.2. Với Sở GD&ĐT: ......................................................................................... 41
3.2.3. Với BGH nhà trường: ................................................................................. 42
3.2.4. Với giáo viên giảng dạy mơn Tốn: ............................................................ 42
3.2.5. Với PHHS:.................................................................................................. 42


PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN
TRONG DẠY HỌC KHỐI ĐA DIỆN, MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
HÌNH HỌC 12
PHẦN I. MỞ ĐẦU.
Hiện nay, chương trình giáo dục Tốn ở nước ta đã và đang chuyển biến theo
hướng gắn liền tri thức toán học với thực tiễn, quan tâm đến kỹ năng sử dụng các
kiến thức tốn học đã được học của HS. Có thể thấy điều đó qua mục tiêu của chương
trình GDPT mơn Toán mới được Bộ GD&ĐT ban hành ngày 26/12/2018. Cụ thể,
mơn Tốn hình thành và phát triển cho HS những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung
và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi là năng lực tư duy và lập luận tốn học,
năng lực mơ hình hóa tốn học, năng lực giải quyết vấn đề tốn học, năng lực giao
tiếp toán học, năng lực sử dụng các cơng cụ và phương tiện tốn; phát triển kiến
thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào

đời sống thực tiễn. Giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học,
giữa toán học với các mơn khoa học khác và giữa tốn học với đời sống thực tiễn.
Lý do chọn đề tài
Trong xu thế phát triển hội nhập của thời đại công nghiệp 4.0, việc đổi mới
giáo dục phổ thông ở nước ta hiện nay là hoàn toàn cần thiết. Chúng ta đang dịch
chuyển từ giáo dục chú trọng đến việc truyền thụ kiến thức và kỹ năng sang giáo dục
chú trọng phát triển năng lực cho học sinh ở tất cả các môn học, trong đó có mơn
Tốn. Người giáo viên dạy Tốn ở các trường phổ thơng cũng phải tự thay đổi để
thích nghi với sự đổi mới; tuy nhiên họ cũng gặp khơng ít khó khăn nhất định.
Thứ nhất, quan niệm về dạy học Toán gắn với thực tiễn của giáo viên là khác
nhau; họ khơng biết tình huống dạy Tốn học gắn với thực tiễn là những tình huống
gắn với sự vật hiện tượng diễn ra trong thực tế hay chỉ trong nội bộ Toán học, hoặc
chỉ trong mối quan hệ giữa Tốn học và các mơn học khác
Thứ hai, hầu hết giáo viên đều dạy Toán theo đúng tinh thần của sách giáo
khoa, mà trong sách giáo khoa hiện hành thì số lượng bài tốn chứa nội dung thực
tiễn, hay mơ phỏng thực tiễn cịn ít cả về số lượng cũng như không phủ hết nội dung
kiến thức.
Thứ ba, giáo viên ít nghiên cứu về lịch sử Tốn nên thực sự họ cũng chưa thấy
được nguồn gốc của Toán học, chưa thấy được nhu cầu phát sinh, phát triển của
Toán học, chưa thấy được tư tưởng của phương pháp luận Toán học, sự cần thiết là
dạy học các mối liên hệ giữa các chương, mục khác nhau, xem xét mối liên hệ giữa
Tốn học với các mơn học khác và với thực tiễn. Hầu như giáo viên tiến hành soạn
giảng dựa trên kinh nghiệm giảng dạy và sách giáo khoa, sách tham khảo hiện hành.
Điểm tồn tại thứ tư của một số giáo viên dạy Toán hiện nay là chưa chú trọng đúng
mức đến việc nghiên cứu bài học; ít có hoạt động thảo luận, hợp tác giữa các giáo
viên về một vấn đề hoặc một tình huống dạy học cụ thể.
Đa số học sinh còn yếu, chỉ một số ít học sinh có khả năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn. Điều đó xuất phát từ các nguyên nhân chủ yếu sau:
1

- Khi HS giải một bài tốn có nội dung thực tiễn, do năng lực tư duy kém nên
học sinh chọn sai mơ hình, dẫn đến khơng giải quyết được bài tốn. Mặt khác do HS
chưa có thói quen xây dưng và phân tích rõ ràng các mơ hình tốn học của bài toán
thực tiễn.
- Trong nhưng năm gần đây việc ra đề thi THPTQG với định hướng gắn liền
tri thức toán học với thực tiễn, quan tâm đến kỹ năng sử dụng các kiến thức toán học
đã được học của HS nâng cao kỹ năng thực hành theo tinh thần đổi mới.
- Số lượng bài tập có nội dung thực tiễn SGK cịn ít, nếu có thì nội dung chứa
đựng hướng ứng dụng thực tiễn chưa nhiều. Do đó học sinh chưa có nhiều cơ hội để
thực hành gải các bài tốn có nội dung thực tiễn do đó cũng phần nào ảnh hưởng đến
khả năng vận dụng kiến thức tốn học và thực tiễn.
Chương
2

Số lượng bài BT có nội Ví dụ gợi
tập
SGK, dung
động cơ
SBT
thực tiễn

Mặt nón,
Mặt trụ,

Khái niệm về mặt trịn xoay 22

0

2

Mặt cầu

Mặt cầu

21

0

1

Ơn tập chương

39

0

0

Trong q trình dạy học chúng tơi nhận thấy rằng hầu hết giáo viên đều rất
mong muốn sử dụng tình huống thực tiễn trong dạy học Tốn; tuy nhiên đều gặp
khó khăn trong q trình dạy học. Những khó khăn mà giáo viên gặp phải trong q
trình trải nghiệm, tìm tịi, xây dựng tình huống thực tiễn trong dạy học Tốn.
Do đây là một nội dung rất rộng gắn liền với rất nhiều lĩnh vực khoa học khác
cũng như đối với thực tiễn cuộc sống. Do đó nội dung bài viết đề xuất một số biện
pháp cơ bản đó là đưa ra một số biện pháp theo hướng tiếp cận này nhằm phát triển
năng lực giải quyết vấn đề trong cuộc sống cho HS phù hợp với mục tiêu của dạy
học Toán ngồi việc phát triển năng lực tốn học nói chung cần hướng tới việc phát
triển tư duy, phát triển năng lực vận dụng Toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn
cho HS trong dạy học Toán ở THPT đáp ứng phần nào yêu cầu dạy học hiện nay.

Làm rõ cách thức khai thác các chức năng của tình huống thực tiễn và tìm tịi được
các ví dụ minh họa chức năng của tình huống thực tiễn mang tính mới; Những vấn
đề nêu trên là tiền đề để định hướng chúng tôi thực hiện đề tài: Phát triển năng
lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn trong dạy học khối đa diện,
mặt nón, mặt trụ và mặt cầu hình học 12.
Việc rèn luyện kĩ năng vận dụng Tốn học cho HS không chỉ giúp HS hiểu
sâu sắc hơn các kiến thức, củng cố các kĩ năng Toán học mà các em còn thấy được
ý nghĩa, vai trò của mơn Tốn đối với các lĩnh vực khoa học khác cũng như đối với
thực tiễn cuộc sống. Việc rèn luyện kĩ năng vận dụng Tốn học cịn đặc biệt có ý
nghĩa trong việc rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề và kĩ năng tư duy cho HS những
kĩ năng rất quan trọng đối với HS của bất cứ quốc gia nào trong bối cảnh tồn cầu
hóa hiện nay. Hay Bùi Văn Nghị (2008) cùng các đồng tác giả của mình quan niệm:
2


“Tình huống dạy học là một bối cảnh trong đó diễn ra hoạt động dạy và hoạt động
học của một tiết hoặc một vài tiết học trên lớp được thiết kế bởi giáo viên nhằm đạt
được một mục tiêu dạy học nhất định”. Theo đó, người giáo viên đóng vai trò
quan trọng trong việc thiết kế, ủy thác các nhiệm vụ cụ thể cho học sinh. Học sinh
xuất hiện nhu cầu nhận thức, tự vận dụng tri thức, kinh nghiệm của mình để giải
quyết vấn đề đặt ra; thơng qua hoạt động học mà học sinh được rèn luyện kỹ năng
phán đoán, kiểm nghiệm, điều ứng kiến thức vận dụng vào thực tiễn.
PHẦN II. NỘI DUNG
Để học sinh thấy được chức năng, vai trị của tình huống thực tiễn như chức
năng gợi động cơ tạo nhu cầu bên trong cho học sinh tiếp cận phát hiện tri thức, chức
năng phát hiện các quy luật tìm tịi quy tắc tốn học, chức năng củng cố khắc sâu
kiến thức trong các khâu của hoạt động dạy học tốn, chức năng giải thích mô phỏng
các hiện tượng thực tiễn khai thác các ứng dụng khác nhau của toán học trong thực
tế, chức năng góp phần hình thành văn hóa tốn học cho học sinh. Do đó nội dung
bài viết bài viết đề xuất một số biện pháp cơ bản để phát triển năng lực vận dụng

kiến thức vào thực tiễn cho HS trong dạy học Toán ở THPT hiện nay.
Trong bài viết này, chúng tơi hiểu tình huống trong dạy học Tốn là: những
nội dung Toán học cần thiết được người giáo viên thiết kế biên soạn, lồng ghép các
nhiệm vụ học tập trong một đơn vị bài học, bài dạy cụ thể để học sinh thông qua
việc giải quyết các nhiệm vụ đó, chiếm lĩnh tri thức Tốn học. Đồng thời chúng tơi
hiểu tình huống thực tiễn trong dạy học tốn là những tình huống xuất phát từ thực
tiễn, có mặt trong đời sống hằng ngày, ẩn chứa các nội dung hoặc mối quan hệ toán
học được giáo viên quan sát, phát hiện hoặc thiết kế lại cho phù hợp với nhu cầu
học tập của học sinh.
2.1 Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn
Phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho học sinh (HS) sẽ làm
thay đổi cách dạy của giáo viên (GV) và cách học của HS theo hướng “học đi đơi với
hành”, lí thuyết gắn với thực tiễn, nhà trường gắn với gia đình và xã hội. Thực trạng
dạy học ở các trường phổ thông hiện nay, hầu hết GV mới chỉ tập trung vào việc hình
thành và phát triển kiến thức cho HS mà chưa chú trọng vào việc phát triển năng lực
vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho HS. Do đó, q trình dạy học hướng tới giúp HS
có kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn rất cần thiết, được xem như mục tiêu cốt lõi
của chương trình giáo dục phổ thông.
2.2. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn
Năng lực được hiểu theo các quan điểm khác nhau như: Năng lực là tổng hợp
những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trung của một
hoạt động nhất định nhằm đảm bảo việc hồn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực
hoạt động ấy. Có thể hiểu năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành và phát
triển nhờ tố chất có sẵn và q trình học tập, rèn luyện, cho phép con người thực
hiện thành công các hoạt động nhất định, đạt được kết quả như mong muốn trong
những điều kiện cụ thể.
Năng lực vận dụng kiến thức vào vào thực tiễn là khả năng của người học tự
3

giải quyết những vấn đề đặ ra một cách nhanh chóng và hiệu quả bằng cách áp dụng
các kiến thức đã lĩnh hội vào nhưng tình huống, hoạt động thực tiễn để tìm hiểu thế
giới xung quanh và có khả năng biến đổi nó. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực
tiễn thể hiện phẩm chất và nhân cách của con người trong quá trình hoạt động để
thỏa mãn nhu cầu chiếm lĩnh tri thức. Như vậy, có thể hiểu: Năng lực vận dụng kiến
thức vào thực tiễn là khả năng chủ thể phát hiện được vấn đề thực tiễn, huy động
được các kiến thức liên quan nhằm giải quyết các vấn dề thực tiễn hiệu quả.
2.3. Các thành tố cơ bản của năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn trong
nội dung khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu của hình học lớp 12
Thành tố 1. HS có năng lực thu nhân thơng tin Tốn học từ tình huống thực tế
liên quan đến khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu.
Thể hiện ở khả năng HS nhận thức được các thông tin định lượng về diện tích,
thể tích của các khối, các hình trong thực tế hoặc các thơng tin định tính như đặc
điểm hình dạng, tính chất của các khối đa diện thực tế và trong khơng gian, kích
thước, đối tượng…
Thành tố 2. Học sinh có năng lực thiết lập mối quan hệ giữa các kiến thức
Tốn học với các thơng tin có được từ các tình huống thực tiễn.
Thể hiện ở khả năng chuyển đổi thông tin giữa thực tiễn và tốn học; bao gồm:
năng lực mã hóa thơng tin tốn học từ tình huống thực tiễn; năng lực giải mã thơng
tin Tốn học có được từ tình huống thực tế.
Thành tố 3. Năng lực thiết lập các mơ hình Tốn học của HS từ tình huống
thực tế và áp dụng các mơ hình tốn học vào các tình huống thực tiễn.
Thể hiện ở khả năng tổ chức lại các dữ kiện Tốn học thu được từ tình huống
thực tế để lập nên sơ đồ, sơ đồ, hình vẽ, các cơng thức tính thể tích, diện tích.
Thành tố 4. Năng lực ước lượng, tính gần đúng của diện tích, thể tích của các
khối hình có trong thực tiễn. Bao gồm: Năng lực ước lượng trong tính giá trị các đại
lượng; năng lực ước định gần đúng hình dạng hình học của các đối tượng ; năng lực
sử dụng hợp lý các giá trị gần đúng.
Thành tố 5. Cách tính thể tích, diện tích tối ưu trong các bài Tốn liên quan
khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu

2.4. Các biện pháp phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn trong
dạy học nội dung khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu của hình học lớp
12
Mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn được xác định đó là Tốn
học bắt nguồn từ thực tiễn và trở về phục vụ thực tiễn. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh,
phát triển các lý thuyết Toán học; Thực tiễn đặt ra những bài toán và Tốn học được
xem là cơng cụ hữu hiệu để giải quyết rất nhiều các bài toán này. Mối quan hệ biện
chứng giữa Tốn học và thực tiễn đó cũng thể hiện trong quy luật nhận thức đã được
V.I.Lênin nêu lên: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu

4


tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng để nhận thức chân lý”. Khi DH
toán theo hướng phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho HS thì
chúng tơi tập trung một số đặc điểm sau:
Thứ nhất, q trình dạy
học tốn trước hết cần phải
giúp HS nắm vững kiến thức
Toán học. Đây là điều kiện cần
để huy động và sử dụng một
cách đúng đắn kiến thức cơ
bản của Tốn học vào các tình
huống mới (trong học tập,
trong đời sống). Nói cách khác
đây là điều kiện cần thiết cho
việc vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn .
Thứ hai, phải tạo cơ hội để HS thể hiện, phát triển khả năng chuyển đổi từ
ngôn ngữ thực tiễn sang ngơn ngữ Tốn học và ngược lại (trong những trường hợp
cụ thể nào đó). Nhằm đáp ứng các yêu cầu đã nêu, phần này sẽ đề xuất một số biện

pháp về DH tốn thơng qua việc sử dụng các bài tốn có tình huống thực tiễn. Thơng
qua các ví dụ thực tiễn để củng cố khái niệm, công thức, quy tắc. Chỉ ra khả năng
vận dụng của kiến thức toán vào thực tiễn đời sống.
2.4.1 Khơi gợi động cơ học tập từ tình huống thực tiễn gắn với nội dung chủ đề
khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu của hình học lớp 12
Mục đích: - Góp phần cho HS thấy được vai trị của thực tiễn trong nội dung
học tập trong chủ đề khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu của hình học lớp 12.
- Tạo cho HS có động cơ, hứng thú, tích cực, trong học tập;
- Giúp HS phát hiện và giải quyết vấn đề liên quan đến nội dung bài học.
- Giúp thúc đẩy hoạt động vận dụng kiến thức Tốn học vào thực tiễn.
GV: Lựa chọn tình huống thực tiễn phù hợp, giúp học sinh phát hiện vấn đề
- Gắn các tình huống thực tiễn phù hợp với nội dung dạy học.
Các ví dụ minh họa.
Khi dạy học nội dung thể tích của khối chóp
GV gợi động cơ mở đầu bằng bài toán Kim tự tháp LOUVRE ( có dạng hình
chóp đều) là kim tự tháp nằm giữa sân Napoléon của bảo tàng LOUVRE, Pari. Chiều
cao kim tự tháp này là 21m, đáy của kim tự tháp là hình vng có cạnh dài 34 m.
(các con số được tính xấp xỉ)
Giáo viên yêu cầu học sinh đọc đề bài và cho biết Kim tự tháp có dạng là hình
gì?
1. Tính thể tích của Kim tự tháp.

5


2. Tổng diện tích thật sự của Kim tự tháp là 1000m2 , hỏi nếu sử dụng loại gạch
hình
vng có độ dài cạnh là 60cm để lát sàn thì cần bao nhiêu viên gạch?
3. Mỗi mặt Kim tự tháp (trừ mặt có cổng ra vào) được tạo thành từ 18 tấm kính
tam giác đều và 17 hàng kính hình thoi xếp chồng lên nhau. Hỏi có bao nhiêu

tấm kính hình thoi trên mỗi mặt?
Qua hoạt động này học sinh thấy được sự cần thiết trong hoạt động nhận thức
về nội dung thể tích hình chóp
Khi nội dung tính thể
tích hình nón
GV gợi động cơ mở đầu
bằng bài tốn
Nón lá được tạo ra từ một
khung hình nón với phần vành
dưới cùng là một thanh tre
được uốn dẻo thành một đường
trịn có đường kính là 40cm và
các thanh tre nối từ đỉnh nón xuống vành lớn là các thành khung. Người ta chia thành
khung thành 16 đoạn bằng nhau, và trên mỗi vạch phân cách người ta lại tiếp tục
gắn các vành nón với các kích thước nhỏ hơn cho đến khi đủ tổng cộng 16 vành nón
1. Cho biết góc giữa một thanh khung và mặt phẳng đáy của nón là 450 , tính thể
tích chiếc nón
2. Tính bán kính vành nón thứ 2 kể từ dưới lên?
Khi dạy nội dung mặt trụ tròn xoay và khối trụ
GV gợi động cơ mở đầu bằng bài toán: Một nhà máy sản xuất sữa có hai phương
án làm hộp sữa một loại có dạng khối hộp hình chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối
trụ. Nhà sản xuất nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt ( diện tích
tồn phần của hộp là bé nhất) nhưng phải chứa một thể tích xác định. Nếu em là
người tư vấn thiết kế thì em tư vấn chọn loại hộp nào? Vì sao?

Khi dạy nội dung tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích
GV gợi động cơ mở đầu bằng bài tốn: Thùng của một xe tải có dạng là một
6

hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình bên dưới:

a) Tính thể tích của thùng chứa.
b) Nếu 1m3 cát nặng 1,6 tấn và xe chở đến
cát lúc đó là bao nhiêu?

3
trọng tải của nó thì sức nặng của
4

Bài tốn: Thùng phuy hay thùng phi là một vật
dụng hình ống dùng để chứa và chuyên chở chất lỏng
với dung tích lớn. Mỗi thùng phuy có đường kính nắp
và đáy là: 584mm, chiều cao là 876mm. Hãy tính diện
tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của
thùng phuy?
Như vậy từ những ví dụ cụ thể thực tế giáo viên giúp học sinh quan sát và rút
ra những nhận định chung của vấn đề được nêu. Từ đó hình thành dấu hiệu bản chất
của khái niệm, định lý ...hay giải một bài tốn . GV nên tạo tình huống có ván đề
liên quan đến thực tế nhiều hơn để các em có cơ hội rèn luyện và hình thành kỹ năng
mơ hình hóa Tốn học.
2.4.2. Sử dụng các bài tốn thực tiễn trong tiết luyện tập và ơn tập chương
Mục đích: Giúp học sinh củng cố kiến thức đã học:
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, phân tích, xử lý thơng tin từ các tình huống thực
tiễn dưới nhiều góc độ khác nhau, để đưa ra phương án tối ưu.
- Biết chuyển đổi bài tốn học thơng thường thành bài tốn thực tiễn, hoặc có
thể tự đặt ra nhưng tình huống thực tiễn khác nhau.
Thực hiện:
- Hướng dẫn HS giải bài Tốn thực tiễn có trong chương trình
- Chuyển đổi các bài tốn học thơng thường thành bài tốn thực tiễn.

- Bổ sung thêm một số bài toán thực tiễn với tình hình kinh tế - xã hội địa
phương
- Cho HS làm các bài toán tăng dần từ mức độ dễ đến khó.
Ví dụ minh họa: Trong tiết ơn tập chương mặt nón, mặt trụ và mặt cầu giáo
7


viên tổ chức cho HS thực hiện bài toán sau:
Một hình trụ có hai đáy là hai đường trịn  O, x  ,  O, x khoảng cách giữa hai đáy
OO  r 3 . Một hình nón có đỉnh O và có đáy là hình trịn  O, x 
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích xung quanh của hình nón?
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ lệ thể
tích của hai phần đó
( Bài tập số 8 SGK tr 40 hình học 12)
Hướng giẫn giải: Gv yêu cầu HS tốm tắt giả thiết và kết luận của bài toán? GV
yêu cầu học sinh vẽ hình.
GV u cầu HS nhắc lại cơng thức tính diện tích xung quanh, thể tích của hình
nón và hình trụ và tự giải câu a.
GV nếu gọi V1 là thể tích của khối trụ, V2 la thể tích của khối nón thì tỷ số thể
tích cần phải tìm là gì?
HS Tỷ số thể tích cần tìm là

V2
V1  V2

GV u cầu HS xây dựng một bài toán thực tiễn từ ví dụ trên?
Một cốc nước đầy có dạng là một hình trụ, một khối nón có đáy bằng đáy của
cốc nước và có chiều cao bằng với chiều cao của cốc nước. Thả khối nón vào trong
cốc nước sao cho đỉnh cuar khối nón trùng với tâm của đáy cốc. Tính tỷ số thể tích
của lượng nước tràn ra với lượng nước còn lại trong cốc ( giả thiết của bài toán bỏ

qua bề dày của cốc nước)
Bài 11. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h
110). Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.

Qua các bài toán HS thấy được tầm quan trọng của Toán học vào việc giải
quyết các vấn đề thực tiễn trong đời sống hàng ngày, trong lao động sản xuất sao
cho đem lại hiệu quả kinh tế cao nhất góp phần tạo hứng thú cho người học.
2.4.3 Tập luyện cho HS sử dụng mơ hình hóa Tốn học từ các bài Toán thực tiễn
trong dạy học từ các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề khối đa diện, mặt
nón, mặt trụ và mặt cầu của hình học lớp 12
Việc luyện tập và rèn luyện kỹ năng mơ hình hóa tốn học từ tình huống thực
8


tế sẽ giúp HS phát triển các năng lực sau đây:
- Năng lực chuyển đổi thơng tin Tốn học từ tình huống thực tế
- Năng lực chuyển đối từ tình huống thực tiễn và toán học
- Năng lực thiết lập và áp dụng mơ hình tốn học của thực tiễn
Qua quy trình sau:
Giai đoạn 1: ( Tìm kiếm và chuyển đổi thơng tin) Chuyển bài tốn thực tiễn về
bài tốn Tốn học.
học

Giai đoạn 2: (Tìm lời giải) Sử dụng kiến thức Toán học để giải bài toán Toán

Giai đoạn 3: (Diễn giải) Giải thích kết quả bài tốn thành câu trả lời cho bài
Toán thực tế.
Giai đoạn 4: (Kiểm chứng) Kiểm chứng kết quả với ban toán thực tế ban đầu
xem có phù hợp thực.
Ví dụ minh họa: Ơng A muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối

hộp chữ nhật khơng có nắp thể tích 288m3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp
đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 300000 đồng/ m3 . Nếu ông A biết
xác định được các kích thước của bể hợp lý thì chi phí th cơng nhân sẽ thấp. Hỏi
ơng A trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu, kích thước tương ứng
của bể?
Bước 1. ( Hs tìm kiếm thơng tin để chuyển đổi). Gợi ý cho HS tìm kiếm
thơng tin từ bài tốn thực tế.
- Chi phí xây dựng thấp nhất ta cần tính yếu tố nào ít nhất của hình hộp chữ
nhật?
- Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của hình hộp nhỏ nhất?
GV: Ta chuyển bài tốn thực tế từ việc tính chi phí thấp nhất để xây cái bể thành
bài tốn tính tổng diện tích xung quanh với mặt đáy sao cho nhỏ nhất.
Bước 2: Tìm lời giải
GV để tính diện tích xung quanh và diện tích đáy của hình hộp chữ nhật ta càn
phải xác định những yếu tố nào?
HS: Độ dài của ba kích thước dài, rộng, cao.
GV Gọi ba kích thước của bể là a, 2a, c ( đơn vị là m a  0, c  0 ). Tính diện tích
các mặt cần xây?
HS: S  2a 2  4ac  2ac  2a 2  6ac
Để tính được giá trị nhỏ nhất cảu S thì ta cần tính yếu tố nào? Dựa vào đâu?
HS: Tính độ dài của c dựa vào thể tích của bể đã cho
144
a2
864
432 432
 S  2a 2 
 3 3 2a 2 .
.
 216  Smin  216m2
a

a
a
432
Đâu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 2a 2 
a 6c 4
a
V  a.2a.c  2a 2c  288  c 

Bước 3: ( Diễn giải)

9


Chi phí thấp nhất để xây bể là 216m2 .300000  64.800.000 đồng
Kích thước lần lượt dài, rộng, cao của bể cần xây là: 12m, 6m, 4m
Bước 4: ( kiểm chứng) Lời giải bài toán thực tiễn là chấp nhận được
Ví dụ minh họa: Một phễu đổ bê tơng gồm một hình trụ phía trên gắn liền với
một hình nón cụt, phía dưới có các kích thước
như hình vẽ. Tính diện tích tơn thiết cần để gị
nên phễu? (làm trịn đến mét vng)
Khi tính được được diện tích cần thiết học
sinh được xem xét, được đánh giá, kết quả với
mô hình qua đó tìm hiểu về tính kỹ thuật áp
lực, chịu lực.., tính kinh tế (ít tốn vật liệu, thời
gian ...)

2.4.4 :Hướng dẫn HS tự sưu tầm, tìm hiểu những ứng dụng của Tốn học để
chuyển những tình huống thực tiễn.
Đây là cơ hội cho học sinh học tập trải nghiệm và phát triển năng lực của học sinh
một biểu hiện cụ thể của quan niệm DH tích cực, phát huy tối đa vai trò chủ thể của

HS trong học tập. HS chủ động trong mọi hình thức, mỗi hành động cụ thể. Thêm
nữa, HS hồn tồn có khả năng thực hiện việc này (chủ yếu là sưu tầm song không
hạn chế khả năng “chế biến”, “sáng tác” của các em để có được càng nhiều bài tốn
thực tiễn thuộc càng nhiều lĩnh vực thì càng tốt). Ứng dụng của tốn học mà HS có
thể trực tiếp nhận và phải tìm hiểu, giải quyết trước hết là qua nội dung học tập nói
chung và đặc biệt là các bộ mơn có liên quan chặt chẽ với tốn học (các mơn khoa
học tự nhiên), góp phần thực hiện nguyên tắc liên mơn trongDH.
Ngồi việc sưu tầm các bài tập ở các mơn học khác địi hỏi phải sử dụng cơng
cụ TH để giải quyết thì cần tạo cho HS khả năng tự mình khai thác các bài tốn thực
tiễn thuộc các lĩnh vực của cuộc sống.
Nhằm tạo cơ hội để HS có thể sưu tầm, khai thác các bài tốn thực tiễn nói
chung thì các u cầu sau có thể xem là điều kiện cần:
Thứ nhất, người học cần phải có vốn kiến thức toán học cần thiết.
Thứ hai, người học cần phải có vốn hiểu biết thực tiễn ở mức độ phù hợp với
lứa tuổi và trình độ trải nghiệm, có vốn ngơn ngữ tự nhiên, có khả năng chuyển đổi
sang ngơn ngữ tốn học hoặc ngược lại nói chung.
Thứ ba, người học phải nhận ra được kiến thức toán học tiềm ẩn trong tình
huống thực tiễn nói chung và tình huống của mơn học nói riêng. Biết liên kết kiến
thức toán học với kiến thức trong thực tiễn trong các môn học khác, với các trải
nghiệm của bản thân trong cuộc sống thực tiễn.
10


- Đối với việc nhận ra các bài tập ở các môn học mà khi giải cần phải sử dụng
công cụ toán học: Khi dạy đến một chủ đề toán học cụ thể, GV hướng dẫn HS sưu
tầm các bài tập trong các SGK, các nguồn internet, đề thi. Sau khi hồn thành q
trình sưu tầm (sau một học kỳ, một năm học) ,HS có thể sắp xếp các bài tập theo
từng nhóm ứng dụng chủ đề kiến thức tốn học cụ thể.Một bộ sưu tập như vậy sẽ rất
có ích cho các HS khóa sau, giúp GV chủ động trong DH. Riêng đối với HS thì việc
sưu tầm đó vừa tạo nên hứng thú, vừa rèn luyện được khả năng nghiên cứu, vừa phát

triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn.
Dưới đây là một số bài toán minh họa trong thực tiễn và sưu tầm các bài tập
cần có cơng cụ tốn học khi giải quyết.
Bài tốn 1. (Nhận biết) Kim tự tháp
Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào
khoảng 2500 năm trước công nguyên.
Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác
đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài
230m. Hãy tính thể tích của nó?
* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài tốn
hình học: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều.
S

+ Giả thiết: Cho hình chóp tứ giác đều có chiều
cao 147 m, cạnh đáy dài 230m.
+ Kết luận: Tính thể tích khối chóp đó.
Bước 2: Tính dữ kiện đề bài u cầu

A

+ Diện tích đáy là: B  2302  52900(m2 ).
+ Chiều cao: h  147m.

D

H
B

C

1
3

Bước 3: Vậy thể tích của khối kim tự tháp là: V  .52900.147  2592100m3 .
BBước 4: Vậy thể tích của khối kim tự
tháp là V  2592100m3
Bài tốn 2. (Thơng hiểu) Một bể cá
hình lập phương có cạnh bằng 50cm. Cần
bao nhiêu lít nước để đổ đầy ba phần tư
chiếc bể cá đó?
A. 125l.

B. 93,75l.

C. 166,667l.

D. 83,333l.

* Hướng dẫn giải:
11


Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính số lít nước để đổ đầy ba phần tư chiếc bể cá  Tính ba phần
tư thể tích của hình lập phương.
+ Giả thiết: Hình lập phương có cạnh bằng 50cm.
+ Kết luận: Tính

3

thể tích khối lập phương đó.
4

Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Theo bài ra, ta có

3
3
V  .503  93750 (cm3 )  93,75l  Chọn B.
4
4

Bài tốn 3. (Thơng hiểu) Một
máng nước có hình dạng một nửa hình
trụ với các kích thước như hình vẽ. Cần
lượng nước bao nhiêu để đổ đầy máng
nước đó.
A. 6000 cm3.

B. 750 cm3.

C. 1500 cm3 .

D. 3000 cm3 .

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính lượng nước để đổ đầy máng nước  Tính một phần hai thể
tích khối trụ.
+ Giả thiết: Hình trụ có chiều cao bằng 15cm và đường kính đáy bằng 20cm.

+ Kết luận: Tính

1
thể tích khối trụ đó.
2

Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Bán kính đáy r  10cm.
+ Lượng nước để đổ đầy máng nước:
Chọn B.

1
1
1
V   r 2 h   .102.15  750 cm3 
2
2
2

Bài tốn 4. (Thơng hiểu) Một người bơm nước vào bể hình lập phương cạnh
18 dm mỗi ngày là 1000l nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày bơm nước thì bể đầy nước
(biết trong q trình bơm nước khơng được tháo nước ra).
* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính số ngày cần bơm để bể đầy nước  Cần tính thể tích khối lập
phương.
Bước 2: Thiết lập bài tốn hình học
+ Giả thiết: Hình lập phương có cạnh bằng 18dm.
12

+ Kết luận: Tính thể tích khối lập phương.
Bước 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Theo bài ra, ta có V  183  5832 dm3  5832 l.
+ Số ngày cần để bơm đầy bể là:

5832
V

 5,832.
1000 1000

Bước 4: Kiểm nghiệm và kết luận: Vậy cần 6 ngày để bơm đầy bể.
Bài tốn 5. (Thơng hiểu) Mơ hình thu nhỏ của một ngơi nhà ngói khơng làm
trần với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính thể tích phần khơng gian bên trong
ngơi nhà đó.
A. V  400cm3 .
B. V  320cm3 .
C. V  960cm3 .
D. V  500cm3 .

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính thể tích phần khơng gian bên trong ngơi nhà  Cần tính thể
tích khối lăng trụ đứng tam giác và thể tích khối lập phương.
- Giả thiết: Có hai khối lăng trụ và khối hộp chữ nhật ghép lại với nhau.
+ Khối lăng trụ đứng có chiều cao 5 cm, đáy là tam giác có chiều cao bằng 4cm
và cạnh đáy bằng 8 cm.
+ Khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là 8cm, 5cm, 6cm.
- Kết luận: Tính tổng thể tích V của hai khối đó.

Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
1
2

+ Thể tích khối lăng trụ: V1  B.h  .4.8.5  80cm3 .
+ Thể tích khối hộp chữ nhật: V2  8.5.6  240cm3 .
Suy ra V  V1  V2  320cm3  Chọn B.
Bài toán 6. (Thơng hiểu) Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước 50 x100(cm)
người ta gò thành mặt xung quanh của một hình trụ có chiều cao 50 cm. Tính thể tích
của khối trụ đó.

13


A. V 

12000



cm3 .

B. V 

125000



cm3 .

C. V 

15000



cm3 .

D. V 

48000



cm3 .

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính thể tích của khối trụ.
- Giả thiết: Cho hình trụ có chiều cao 50cm và chu vi đường trịn đáy là 100 cm.
- Kết luận: Tính thể tích khối trụ.
Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Bán kính đáy: r 

100 50
 (cm).

2
2

125000
 50 
+ Thể tích khối trụ: V   r h   .   .50 
cm3   Chọn B.


 
2

Bài toán 7. (Vận dụng) Cho một cái bể đựng nước mưa hình hộp chữ nhật có
ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của lòng trong
đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ
có chiều cao là 5cm và bán kính đường trịn đáy là 4 cm. Trung bình một ngày được
múc ra 170 gáo nước để sử dụng (biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao
nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước ?

A. 280 ngày.

B. 281 ngày.

C. 282 ngày.

D. 283 ngày.

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính số ngày để múc hết bể nước  Cần tính thể tích khối hộp chữ
nhật và thể tích khối trụ.
- Giả thiết:
+ Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m.

+ Hình trụ có chiều cao là 5cm và bán kính đường trịn đáy là 4 cm.
14


- Kết luận: Tính thể tích khối hộp chữ nhật và thể tích khối trụ.
Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Thể tích nước được đựng đầy trong bể là: V  2.3.2  12  m3  .
+ Thể tích nước đựng đầy trong một gáo là: Vg   .42.5  80  cm3  



m 
12500
3

.
+ Thể tích nước múc ra trong một ngày là: Vm  170.Vg 
+ Số ngày để múc hết bể nước là:

17
  m3  .
1250

V
12

 280,8616643.
17
Vm


1250

Vậy cần 281 ngày để múc hết bể nước



Chọn C.

Bài toán 8. (Vận dụng) Để làm cống thoát nước cho một con
đường người ta cần đúc 200 ống hình trụ bằng bê tơng có
đường kính trong lịng ống là 1m và chiều cao của mỗi ống
bằng 2 m, độ dày của thành ống là 8cm. Biết rằng 1m3 bê tơng
thì cần đúng 10 bao xi-măng. Hỏi cần bao nhiêu bao xi-măng
để đúc 200 ống trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
A. 523bao.

B. 1025 bao.

C. 2091bao.

D. 1086 bao.

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính số bao xi-măng để đúc 200 ống hình trụ.
- Giả thiết:
+ Phần lịng ống là hình trụ có đường kính là 1m và chiều cao bằng 2 m có thể
tích V1.
+ Phần ống là hình trụ có độ dày thành ống 8cm và chiều cao bằng 2 m có thể
tích V2 .

- Kết luận: Tính V  V2  V1.
Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
V  V2  V1   r2 2 h   r12 h   .2(0,582  0,52 ).

Suy ra số bao xi măng để đúc 200 ống hình trụ là:
V .10.200   .2(0,582  0,52 ).10.200  1085.7  Chọn D.

Bài toán 9. (Vận dụng) Một căn lều được
dựng từ bạt và 4 thanh tre có dạng là một hình
chóp tứ giác đều như hình vẽ. Biết nếu một
15


người đi đều dọc theo một cạnh của căn lều với
vận tốc 0,5m / s thì phải mất 6s. Hỏi thể tích của
căn lều là bao nhiêu nếu góc giữa mỗi thanh tre
và mặt đất là 700 (kết quả làm trịn đến hàng
phần trăm).

* Hướng dẫn giải:

S

Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi
từ bài tốn thực tế sang bài Tốn hình học:
Tính thể tích của căn lều  Tính thể tích của khối
chóp tứ giác đều.
+ Giả thiết: Cho hình chóp tứ giác đều cạnh
đáy AB  0,5.6  3m, góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng 70o.

A

D

H
B

C

+ Kết luận: Tính thể tích khối chóp đó.
Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Diện tích đáy lều là: S ABCD  32  9m2 .
+ Chiều cao của lều là: SH  AH .tan SAH 

3 2
.tan 700  m  .
2

1
3

Vậy thể tích của căn lều là: V  S ABCD .SH  17, 48(m3 ).
Bài tốn 10. (Vận dụng cao) Khi thả một
viên bi khơng thấm nước dạng hình cầu, bán kính
bằng 3cm vào một cái ly hình trụ đang chứa nước
thì thấy chiều cao của nước trong ly dâng thêm
1cm. Biết rằng chiều cao của mực nước ban đầu
trong ly bằng 7,5 cm. Tính thể tích V của khối
nước ban đầu có trong ly.

A. V  282,74cm3. B. V  848,23cm3.

C. V  636,17cm3.

D. V  1272,35cm3.

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính thể tích của khối nước ban đầu có trong ly  Cần tính thể tích
của khối trụ có chiều cao 7,5 cm.
16


- Giả thiết:
+ Hình cầu có bán kính r  3 cm.
+ Hình trụ lúc đầu có chiều cao 7,5 cm, bán kính r và có thể tích V1.
+ Hình trụ sau khi thả viên bi có chiều cao tăng lên 1cm, bán kính r và có thể
tích V2 .
- Kết luận: Tính V1.
Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
4
3

4
3

+ Theo bài ra, ta có Vcau   r 3   .33  36 .
+ Ta có: V2  V1  Vcau  V2  V1  Vcau   r 2 (h2  h1 )  36  r  6.
Suy ra V1   r 2 h1   .62.7,5  848, 23cm3  Chọn B.

Bài tốn 11. (Thơng hiểu) Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, các nhà thiết kế
ln đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất. Bán kính đáy vỏ
lon là bao nhiêu khi ta muốn thể tích lon là 314cm3 ?
A. r  3

314



cm.

B. r  3

314
cm.
2

C. r  942 3 2 cm.

D. r  3

314
cm.
4

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính bán kính đáy vỏ lon. Vì ngun liệu làm vỏ hộp ít nhất nên
diện tích tồn phần hình trụ nhỏ nhất  Cần tìm GTLN - GTNN của hàm số diện
tích tồn phần theo biến là bán kính đáy của hình trụ.

+ Cơng thức: Stp  S xq  2Sd  2 rl  2 r 2 , với r là bán kính đáy của hình trụ,
l là đường sinh của hình trụ.
+ Vì hàm diện tích Stp có hai biến nên phải biểu diễn cơng thức tính diện tích
theo một biến. Từ giả thiết thể tích khối hộp ta có: Vtru   r 2 h   r 2l  314  l 
Khi đó: S  Stp  2 rl  2 r 2  2 r

314
.
 r2

314
628
 2 r 2 
 2 r 2 .
2
r
r

+ Tìm điều kiện của biến r : r  0.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích tồn phần
+ Xét hàm số S 

628
 2 r 2 trên khoảng (0; ).
r

Ta có: S '(r )  4 r 

628
;

r2

17


S '(r )  0  4 r 

628
314
.
 0  2 r 3  314  r  3
2
r
2

Bảng biến thiên
0

r

3



S '( r )



314
2

0





S (r )


 314 
S 3

 2 

Quan sát bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại r =

3

314
.
2

Vậy để chi phí ngun liệu làm vỏ hộp là ít nhất thì bán kính đáy vỏ lon là
r=

3

314
cm .  Chọn B.

2

Bài tốn 12. (Thơng hiểu) Một nhóm học
sinh dựng lều khi đi dã ngoại bằng cách gấp đơi
tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều
rộng 6m (gấp theo đường như trong hình vẽ) sau
đó dùng hai cây gậy có chiều dài bằng nhau
chống theo phương thẳng đứng vào hai mép gấp.
Hỏi khi dùng chiếc gậy có chiều dài bằng bao
nhiêu thì khơng gian trong lều là lớn nhất?
3 2
m.
2

A. 5m.

B.

C. 1,5m.

D. 1 m.

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính chiều dài chiếc gậy để khơng gian trong lều là lớn nhất 
Tìm GTLN - GTNN của hàm thể tích khối lăng trụ, biến là chiều cao của tam
giác đáy lăng trụ.
Gọi x là chiều dài chiếc gậy. Điều kiện 0  x  3.
+ Vì đáy là tam giác cân có cạnh bên bằng 3m nên diện tích đáy là S  x 9  x 2 .
+ Thể tích khối lăng trụ: V  B.h  12 x 9  x 2 .

Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích S
+ Xét hàm số V ( x)  12 x 9  x 2 trên khoảng  0;3 .
18


Ta có: V '( x) 

108  24 x 2
9  x2

; V '( x)  0  x 

3 2
.
2

Bảng biến thiên
3 2
2

0

x



V '( x)

0

3



54
V ( x)

0

0
3 2
 Chọn B.
2

 max V ( x)  54 khi x 
 0;3

Bài tốn 13. (Thơng hiểu) Một người bán gạo muốn đóng một thùng tơn đựng
gạo có thể tích khơng đổi bằng 8m3 , thùng tơn hình hộp chữ nhật có đáy là hình
vng, khơng nắp. Trên thị trường, giá tơn làm đáy thùng là 100000 / m2 và giá tôn
làm thành xung quanh thùng là 50000 / m2 . Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng
đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất ?
A. 3m.

B. 1,5m.

C. 2m.

D. 10m.

* Hướng dẫn giải
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính cạnh đáy của cái thùng đựng gạo để chi phí mua nguyên liệu
là nhỏ nhất  Tìm GTLN - GTNN của hàm chi phí mua nguyên vật liệu, biến là
cạnh đáy hình hộp.
+ Gọi a là cạnh đáy của hình hộp chữ nhật và b là chiều cao của hình hộp chữ
8
a

nhật. Điều kiện a  0, b  0. Đơn vị của a , b là m. Ta có: V  a 2b  8  ab  .
+ Chi phí làm đáy là: 100000a 2 .
+ Chi phí làm mặt xung quanh là: 50000.4ab.
+ Chi phí để làm thùng tôn là: 100000a 2  50000.4ab  100000a 2 

1600000
.
a

Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm chi phí
+ Xét hàm số y  100000a 2 
Ta có: y '(a )  200000a 

1600 000
trên khoảng (0; ).
a

1600000
; y '(a)  0  a  2.
a2

Bảng biến thiên
19


a

0



y '( a )



2

0



y (a)





1200000

Quan sát bảng biến thiên ta thấy: min y(a)  1200000 tại a  2 .
(0 ;   )

Vậy chi phí nhỏ nhất bằng 1200000 đồng khi cạnh đáy hình hộp bằng 2m 
Chọn C.
Bài tốn 14. (Thơng hiểu) Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 20(cm). Nếu ta
cắt ở bốn góc bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh là x(cm) rồi gập
tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vng bị cắt
sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài Tốn
hình học: Tính cạnh của các hình vng bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn
nhất  Cần tìm GTLN - GTNN của hàm số thể tích theo biến là cạnh của hình
vng bị cắt.
+ Cơng thức: V  B.h  (20  2 x)2 x  4 x3  80 x 2  400 x, x là cạnh của hình vng
được cắt.
+ Tìm điều kiện của biến x : 0  x  10.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm số thể tích V
+ Xét hàm số V ( x)  4 x3  80 x 2  400 x trên khoảng (0;10).
Ta có: V '( x)  12 x 2  160 x  400;
10

x

 (0;10)
V '( x)  0  
3

 x  10  (0;10).

Bảng biến thiên

20


x

10
3

0


V '( x)

10


0
16000
27

V ( x)

0

0

Quan sát bảng biến thiên ta thấy: max V ( x) 
(0; 10)

16000
10
khi x  .
27
3

Vậy thể tích khối hộp lớn nhất khi cạnh của hình vng bị cắt là x 

10
.
3

Bài tốn 15. (Thơng hiểu) Một cơng ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình
hộp chữ nhật có đáy là hình vng sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3
và diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết
kế là
A. 2 3 2dm.

B. 2dm.

C. 4dm.

D. 2 2dm.

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tính độ dài cạnh đáy của mỗi hộp. Vì diện tích tồn phần hình hộp
chữ nhật nhỏ nhất  Cần tìm GTLN - GTNN của hàm số diện tích theo biến là
cạnh đáy của hình hộp.
hộp.

+ Cơng thức: S  2 x 2  4 xh , x là cạnh đáy của hình hộp, h là chiều cao của hình
+ Vì hàm diện tích S có hai biến nên phải biểu diễn cơng thức tính diện tích

theo một biến. Từ giả thiết, thể tích khối hộp V  B.h  8  x 2 h  8  h 
Khi đó: S  2 x 2  4 xh  2 x 2  4 x

8
.
x2

8
32
 2x2  .
2
x
x

+ Tìm điều kiện của biến x : x  0.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích tồn phần
+ Xét hàm số S ( x)  2 x 2 
Ta có: S '( x)  4 x 

32
trên khoảng (0; ).
x

32
; S '( x)  0  4 x3  32  x  2.
2

x

Bảng biến thiên

21


x

0



S '( x)



2



0





S ( x)

24

Quan sát bảng biến thiên ta thấy: min S ( x)  24 khi x = 2.
(0;   )

Vậy để diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy của mỗi hộp
muốn thiết kết là 2dm  Chọn B.
Bài toán 16. (Vận dụng) Ông A dự định sử dụng hết 6,5m2 kính để làm một bể
cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng
(các mối ghép có kích thước khơng đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao
nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. 2, 26m3.

B. 1,61m3.

C. 1,33m3.

D. 1,50m3.

* Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài
Toán hình học: Dung tích bể cá lớn nhất  Thể tích bể cá lớn nhất  Tìm GTLN
- GTNN của hàm thể tích biến là chiều rộng hoặc chiều cao của bể.
6,5  2 x 2
+ Diện tích tồn phần của bể cá: S  2 x  2 xh  4 xh  6,5  h 
.
6x
2

+ Thể tích bể cá: V  2. x 2 .h  2 x 2 .

6,5  2 x 2 6,5 x  2 x3
.

6x
3

+ Do h  0, x  0 nên 6,5  2 x 2  0  0  x 

13
.
2

Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm thể tích V
+ Xét hàm số V ( x) 
Ta có: V '  x  

6,5 x  2 x3
trên khoảng
3


13 
 0;
.
2



13

 2x2 ;
6

22



39
(TM)
x 
6
V ' x   0  

39
(L).
x  
6


Bảng biến thiên
0

x

39
6


V '( x)

13
2



0
13 39
54

V ( x)

0
Vậy max V ( x) 

13 
 0 ;

2 


0

13 39
 1,50 m 3  Chọn D.
54

Bài toán 17. (Vận dụng) Cho một tấm nhơm hình chữ nhật ABCD có
AD  60 cm . Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB
và DC trùng nhau, với AN  PD (như hình vẽ dưới đây) để được một hình lăng trụ.
Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

A. AN  39cm.

B. AN  20cm.

C. AN 

45
cm.
2

D. AN  15cm.

* Hướng dẫn giải
Bước 1: Tìm kiếm thơng tin và chuyển đổi từ bài tốn thực tế sang bài
Tốn hình học: Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất  Tìm GTLN
của hàm thể tích lăng trụ, biến là độ dài cạnh AN.
- Đặt AN  PD  x. Suy ra NP  AD   AN  PD   60  2x.
- Tính diện tích SANP
Tam giác ANP cân tại A có AN  x, NP  60  2x nên

23