CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN
4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải
Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu
Dạng 2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I
Dạng 2.1.1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và bán kính R
Dạng bài 2.1.2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và mặt cầu
tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
Dạng bài 2.1.3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và tiếp xúc
với đường thẳng
Dạng bài 2.1.4: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt mặt
phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 theo một đường tròn có bán kính r
Dạng bài 2.1.5: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt
đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l cho trước
Dạng 2.2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường đẳng d
Dạng 2.2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi
qua 2 điểm A, B
Dạng 2.2.2: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là
đường tròn có bán kính r và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng h
Dạng 2.2.3: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt đường thẳng Δ theo một dây cung
có độ dài l và tâm I cách đường thẳng Δ một khoảng là h


Dạng 2.2.4: Mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và thỏa
mãn một điều kiện cho trước
Dạng 2.3: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P
Dạng 2.4: Viết phương trình mặt cầu tiếp ngoại tiếp tứ diện
Dạng 2.5: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm
60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi
tiết (phần 1)

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi
tiết (phần 2)
60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi
tiết (phần 3)


Chủ đề: Phương trình mặt cầu
4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời
giải
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để một
phương trình là phương trình một mặt cầu.
1. Phương pháp giải
● Xét phương trình (S): (x- a)2 + ( y- b)2 + ( z- c)2 = R2.
Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b;c), bán kính R
● Xét phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.
Điểu kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là: a 2 + b2 + c2 –
d>0

Khi đó mặt cầu có
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Mặt cầu (S): 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 12y + 2 = 0 có bán kính
bằng:

Hướng dẫn giải:
Ta có (S): 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x +12y +2 = 0


⇔ x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2/3 = 0
Đây là phương trình đường tròn có tâm I( 1; -2; 0), bán

kính

.

Chọn D.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có
phương trình: x2 + y2 +z2 + 2x - 4y + 6z – 2= 0 . Tính tọa độ tâm I và
bán kính R của (S).
A.Tâm I( -1; 2; -3) và bán kính R=4.
= 4.

B. Tâm I( 1; -2; 3) và bán kính R

C.Tâm I(-1; 2; 3) và bán kính R= 4.
16.

D. Tâm I(1; -2; 3) và bán kính R=

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z – 2 = 0 có:

Chọn A.
Ví dụ 3: Cho phương trình (S): x2 + y2 + z2 + 2( 3 – m)x – 2( m+ 1)y –
2mz + 2m2 + 7 = 0 . Tìm tất cả giá trị của m để ( S) là một phương trình
mặt cầu.


Hướng dẫn giải:
Ta có: a= m - 3 ; b = m + 1; c = m và d= 2m2 + 7
Điều kiện để ( S) là mặt cầu là a2 + b2 + c2 - d > 0

⇔ ( m- 3)2 + ( m+1)2 + m2 – 2m2 - 7 > 0 hay m2 – 4m + 3 > 0

Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có
phương trình: x2 + y2 + z2 – (2m - 2) x + 3my + ( 6m – 2)z – 7= 0 . Gọi
R là bán kính của (S) , giá trị nhỏ nhất của R bằng:
A. 7

B. √377/7

C. √377

D. √377/4

Hướng dẫn giải:
Ta có (S): x2 + y2 + z2 - ( 2m – 2)x + 3my + ( 6m -2) z – 7 = 0
hay

Suy ra bán kính


Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính .
1. Phương pháp giải
+ Mặt cầu có đường kính AB: Tâm I là trung điểm của AB và bán kính
R = AB/2 .
Lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D không đồng
phẳng
Cách 1:
+ Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu là x 2 + y2 + z2 – 2ax – 2by - 2cz +
d = 0 ( *)

(với a2 + b2 + c2 – d > 0 )
+ Bước 2: Thay tọa độ bốn điểm A, B, C, D vào phương trình (*), ta
được hệ 4 phương trình.
+ Bước 3: Giải hệ trên tìm được a, b, c, d( chú ý đối chiếu điều kiện a2 +
b2 + c2 – d > 0 ).
Thay a, b, c, d vào (*) ta được phương trình mặt cầu cần lập.
Cách 2:
+ Bước 1: Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D


Suy ra:
+ Bước 2: Giải hệ trên để tìm a, b, c.
+ Bước 3: Tìm bán kính R = IA.
Từ đó, viết phương trình mặt cầu cần tìm có dạng (x- a) 2 + ( y – b)2 +
( z - c)2 = R2
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A( -2; 1; 0) và B( 2;3 ; -2). Phương trình mặt cầu
đường kính AB là:
A. (x + 2)2 + ( y -1)2 + ( z+ 1)2 = 8
C. x2 + ( y - 2)2 + ( z+ 1)2 = 6

B. x2 +( y +2)2 + ( z- 1)2 = 10

D. (x – 2)2 + (y +1)2 + (z -1)2 = 8

Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB, tọa độ điểm M là :

Độ dài MA là :

Mặt cầu cần tìm nhận M(0; 2; -1) làm tâm và có bán kính là R= MA =
√6.
Ta có phương trình mặt cầu là : (x - 0)2 + ( y - 2)2 + ( z+ 1)2 = 6
Hay x2 + ( y -2)2 + (z +1)2 = 6
Chọn C.
Ví dụ 2: Nếu mặt cầu (S) đi qua bốn điểm M(2; 2;2); N( 4; 0; 2); P( 4;
2; 0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có toạ độ là:
A. (-1;-1; 0)

B. (3; 1; 1)

C. (1; 1; 1)

D. (1; 2;1)

Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d= 0
( a2 + b2 + c2 - d > 0) .
Do M(2;2;2) ∈ (S) 22 + 22 + 22 – 2.2a- 2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 4a – 4b
– 4c + d= -12 (1)
Do N( 4; 0; 2) ∈ (S) nên 42 + 02 + 22 - 2.4a- 2.0b - 2.2c + d = 0 hay – 8a
– 4c + d= - 20 (2)
Do P(4; 2; 0) ∈ (S) nên 42 + 22 + 02 – 2.4a - 2.2b - 2.0.c + d = 0 hay –
8a – 4b + d = -20 (3)
Do Q(4; 2; 2) ∈ (S) nên 42 + 22 + 22 - 2.4 a -2.2b – 2.2c + d = 0 hay –
8a – 4b – 4c + d = -24 (4)
Từ (1); (2); (3) và (4) ta có hệ phương trình:

Suy ra, mặt cầu (S) thỏa mãn có tâm I(1; 2; 1)
Chọn A.
Ví dụ 3: Mặt cầu (S) tâm I( -1; 2; -3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+
2y + 2z + 6 = 0có phương trình:
A. (x- 1)2 +( y+2)2 + (z- 3)2 = 2
C. (x+ 1)2 + (y -2)2 + (z + 3)2 =1

B. (x+ 1)2 + ( y – 2)2 + (z + 3)2 = 4
D. (x+1)2 + ( y - 2)2 +(z + 3)2 = 25

Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên d( I; (P)) = R = 1
Suy ra, phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x+1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 1
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho các điểm A(-2; 4; 1); B(2; 0; 3) và đường

thẳng
. Gọi (S) là mặt cầu đi qua A; B và có tâm thuộc
đường thẳng d. Bán kính mặt cầu (S) bằng:
A. 3√3

B. √6

Hướng dẫn giải:

C.3.

D.2√3


Tâm I ∈d => I(1+t;1+2t;-2+t) .
=> AI→(3+t;-3+2t;-3+t); BI→(-1+t;1+2t;-5+t)
Vì (S) đi qua A và B nên ta có IA = IB => IA2 = IB2
⇔ (3+ t)2 + (-3+ 2t)2 + ( -3+ t)2 = ( -1+ t)2 + (1+ 2t)2 + (- 5+ t)2
⇔ 9+ 6t + t2 + 9 – 12t + 4t2 + 9 – 6t + t2 = 1- 2t+ t2 + 1+ 4t + 4t2 + 25 10t + t2
⇔ 6t2 - 12t + 27 = 6t2 – 8t + 27
⇔ -4t = 0 nên t = 0
=> AI→(3 ; -3 ; -3) nên AI = 3√3
Vậy bán kính mặt cầu (S) là R = AI = 3√3
Chọn A.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng
và hai mặt phẳng (P): x+ 2y +
2z+3 = 0, (Q): x+ 2y + 2z + 7 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường
thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình
A. (x+ 3)2 + (y+1)2 + (z - 3)2 = 4/9 .
4/9 .
C. (x+3)2 +(y+ 1)2 +(z+3)2 = 4/9 .

B. (x- 3)2 +(y - 1)2 + (z+ 3)2 =

D. (x-3)2 +( y+1)2 + (z+ 3)2 = 4/9 .

Hướng dẫn giải:
Do tâm I ∈ d nên I(t; -1; - t)
Mà mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:
R= d(I; (P)) = d(I; (Q))

⇔ | -t+ 1| = | -t + 5|
⇔ t2 – 2t +1= t2 – 10t + 25
⇔8t = 24 nên t = 3.
Với t= 3,ta có tâm I (3; -1; -3) và bán kính R= d( I;

(P))=
Phương trình mặt cầu là (x-3)2 + ( y+1)2 + (z+ 3)2 = 4/9
Chọn D.
Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu biết tâm I, một đường thẳng
( mặt phẳng) cắt mặt cầu thỏa mãn điều kiện T.
1. Phương pháp giải
* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt đường thẳng d theo dây
cung AB


• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d
• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra
độ dài AH (với H là trung điểm AB)
• Bước 3: Tính IA theo định lý Pitago cho tam giác vuông AIH. Suy ra
bán kính R= IA.
* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo đường
tròn giao tuyến (C)

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)
• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn
giao tuyến. Suy ra bán kính mặt cầu
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường

thẳng

tại hai điểm A, B với AB = 16.

A.( x- 2)2 + ( y- 3)2 +(z + 1)2 = 76 .
C. (x- 2)2 +( y - 3)2 + (z+ 1)2 = 56.
Hướng dẫn giải:

B. (x-2)2 + (y - 3)2 + (z+ 1)2 = 46 .
D. ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+1)2 = 66


Chọn M(-1; 1; 0) ∈ Δ => IM→(-3; -2; 1) . Đường thẳng Δ có một
VTCP là u→(1; -4; 1).
Ta có: [IM→; u→] = (2; 4; 14)
Từ đó, khoảng cách từ I đến Δ là :

Gọi H là trung điểm của AB ta có: AH= HB= AB/2 = 8
Gọi

R

là

bán

kính

mặt

cầu

(S).

Khi

đó
Do đó, phương trình mặt cầu là: ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+ 1)2 = 76
(S): ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+ 1)2 = 76 .
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z - 6 = 0; (Q): 2x - y+ z +7 =
0 và đường thẳng
. Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn
có diện tích là 20π .
A.( x-1)2 + y2 +( z+1)2 = 110/3 .

B. (x- 1)2 + y2 + (z -1)2 = 110/3

C.(x- 1)2 + y2 +( z- 1)2 = 110/3 .

D. (x- 1)2 + y2 + (z - 1)2 = 110.

Hướng dẫn giải:


Phương trình tham số của đường thẳng ∆:
Do tâm I là giao điểm của đường thẳng ∆ và (P) nên tọa độ I là nghiệm
của hệ phương trình:

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5(1+7t) – 4. 3t + (1 – 2t) – 6 =0
⇔ 21t = 0 ⇔ t= 0
Khi đó, tọa độ điểm I(1 ; 0 ; 1).
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (Q) là :

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta
có:
20π = πr2 ⇔ r = 2√5
Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:


Vậy phương trình mặt cầu ( S) cần tìm là: (x- 1)2 + y2+ (z-1)2 = 110/3
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1/2;√3/2;0) và mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 = 8. Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt
cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam
giác OAB.
A. S = √7

B. S= 4 C.

S = 2√7

D. S = 2√2

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 2√2 .
Vì OM= 1 < R nên M thuộc miền trong của mặt cầu (S).
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân
đường cao hạ từ O của tam giác OAB.
Đặt x= OH, ta có , đồng thời
Vậy diện tích tam giác OAB là :

Khảo sát hàm số f(x) = x√(8-x2) trên (0 ; 1] , ta được max f(x) = f(1) =
√7 .
Vậy giá trị lớn nhất của SOAB = √7 , đạt được khi x= 1 hay H≡M , nói
cách khác là d⊥OM
.
Chọn A


Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1;
0); B(1; 1; -1) và mặt cầu (S): x 2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z – 3 = 0. Mặt
phẳng (P) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn
có bán kính lớn nhất có phương trình là
A. x- 2y + 3z – 2 = 0.
C. x+ 2y – 3z - 6 = 0

B. x - 2y – 3z – 2= 0.
D. 2x- y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:
Để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì (P)
phải qua tâm I(1; -2; 1)của (S).
Ta có AI→(1; -1; 1); BI→(0; -3; 2)
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

n→ = [AI→; BI→] = (1; -2; -3).
Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; -1;0) và nhận vecto n→(1; -2; -3) làm VTPT
nên có phương trình:
1( x- 0) – 2( y+1) – 3( z- 0) = 0 hay x- 2y - 3z – 2= 0
Chọn B.
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 1), mặt phẳng ( α):
x+ y + z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x 2 + y2 + z2 – 6x – 6y – 8z+ 18 = 0.
Phương trình đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong (α) cắt mặt cầu (S)
theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là:

Hướng dẫn giải:


Mặt cầu (S) có tâm I(3; 3;4) và bán kính R= 4.
Khoảng

cách

từ

tâm

I

đến

mặt

phẳng

(α)

là:
Suy ra mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (α) theo một đường tròn.
Ta có điểm M ∈ (α) < ; IM = √14 < R nên điểm M nằm trong mặt cầu
(S).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) => H(1; 1;2)
Để đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong (α) cắt mặt cầu (S) theo một
đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất thì Δ ⊥MH .
Từ đó suy ra Δ có véctơ chỉ phương là: u→ = [nα→; MH→] = (1; -2; 1)

Vậy phương trình
Chọn B.
Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng, mặt
phẳng và thỏa mãn điều kiện T


1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z + 24= 0,
H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt
cầu (S) có diện tích và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A
nằm trong mặt cầu là:
A. (x- 8)2 + ( y- 8)2 + (z+ 1)2 = 196
196
C. (x + 16)2 + ( y+4)2 + (z- 7)2 = 196
196

B. (x + 82 +(y+ 8)2 + (z - 1)2 =
D.(x- 16)2+ ( y- 4)2 +(z+ 7)2 =

Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Suy ra, một VTCP
của d là:
ud→ = nP→( 6; 3; -2)

Phương trình đường thẳng d là
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên H= d ∩ (P) .
Vì H ∈ d nên H( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t.
Mặt khác, H ∈ (P) nên ta có:
6(2+ 6t) + 3(5+ 3t) – 2( 1- 2t) + 24 = 0
⇔ t= - 1
Do đó, H( -4; 2; 3).
Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π , suy ra 4πR2 ⇔ R = 14 .


Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH⊥ (P) => I ∈ d .
Do đó tọa độ điểm I có dạng I( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t), với t ≠ -1 .
Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Do đó: I(8; 8; -1).
Vậy phương trình mặt cầu (S): (x- 8)2 +( y – 8)2 + (z+1)2 = 196.
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x+ 2y – 2z + 2= 0 và điểm A(2; -3; 0). Gọi
B là điểm thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng
(P) có bán kính bằng 2. Tọa độ điểm B là:
A. (0; 1; 0)

B.(0; -4; 0)

C.(0; 2; 0) hoặc (0; -4; 0)

D. (0; 2; 0)

Hướng dẫn giải:
Vì B thuộc tia Oy nên B(0; b; 0) (với b > 0)
Bán kính của mặt cầu tâm B, tiếp xúc với (P) là R= d(B; (P))= |2b+2|/3 .
Theo giả thiết R= 2 nên:


Do b > 0 nên chọn b= 2.
Vậy tọa độ B(0; 2; 0).
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P): 2x+ 3y – z + 2 = 0; (Q): 2x - y – z +2
= 0. Phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A(1;
-1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là:
A. (x+ 3)2 + (y+ 7)2 + (z – 3)2 = 56

B. (x-3)2 + ( y- 7)2 + (z+ 3)2 = 56

C. ( x+3)2 + ( y+ 7)2 +( z - 3)2 = 14

D. (x- 3)2 +( y- 7)2+ ( z+ 3)2 = 14

Hướng dẫn giải:
Gọi d đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Nên 1 VTCP của d
là: ud→ = nP→(2; 3; -1).

Ta có; phương trình đường thẳng d là:
Tâm I ∈ d nên I( 1+ 2t; -1+ 3t; 1- t).

Do điểm I nằm trên mp (Q) nên ta có:
2( 1+ 2t) - ( -1+ 3t ) – (1 – t) + 2 = 0
⇔t = - 2 nên I ( -3; -7; 3)


Bán kính mặt cầu là R= IA =
Phương trình mặt cầu (S): ( x+3)2 +(y+ 7)2 + (z- 3)2 = 56
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P);(Q) có phương trình (P): x- 2y + z - 1=
0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0 . Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và
tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng
(Oxy) và có hoành độ xM = 1 có phương trình là:
A.(x - 21)2 + ( y - 5)2 + ( z + 10)2 = 600
10)2 = 600

B. (x+19)2 + ( y+ 15)2 + (z -

C. (x- 21)2 + (y - 5)2 + (z + 10)2 = 100
10)2 = 600

D. (x+ 21)2 + ( y+ 5)2 + (z -

Hướng dẫn giải:
Vì M ∈ (Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M(1; y ; 0).
Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên M ∈ Q
=> 2.1 + y - 0+ 3 = 0 => y = -5
Tọa độ điểm M(1; -5; 0).
Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có (S) tiếp xúc với mp (Q) tại M nên IM⊥(Q) .
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n→(2; 1; -1).

Ta có: IM⊥(Q)


Do I ∈ (P) nên 1+ 2t – 2( - 5+ t) - t – 1 = 0
⇔ t = 10 nên I(21; 5; -10)
Bán kính mặt cầu R= d(I; (Q)) = 10√6
Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x- 21)2 + ( y- 5)2 + ( z +10)2 = 600.
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hai điểm M(1;0;4); N(1; 1; 2) và mặt cầu (S): x 2 + y2 +
z2 – 2x + 2y – 2= 0 . Mặt phẳng (P) qua M; N và tiếp xúc với mặt cầu
(S) có phương trình:
A. 4x + 2y + z - 8 = 0 hoặc 4x – 2y – z + 8= 0
B. 2x + 2y +z – 6= 0 hoặc 2x – 2y – z + 2= 0
C. 2 x+ 2y + z – 6 = 0
D. 2x – 2y – z + 2 = 0
Hướng dẫn giải:
- Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 0) và bán kính R= 2; MN→(0; 1; -2)
- Gọi n→(A;B;C) với A2 + B2 + C2 > 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (P).
- Vì (P) qua M, N nên n→⊥ MN→ => n→.MN→ = 0
⇔ B - 2C = 0 (1)
- Mặt phẳng (P) qua M(1; 0; 4) và nhận ( A, B, C) là vectơ pháp tuyến
nên có phương trình
A(x-1)+ B( y – 0) + C( z- 4) = 0 hay Ax + By +Cz – A - 4C =0.
- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ; (P)) = R


Từ (1) và (2) => A2 - 4C2 = 0 (*)
- Trong (*), nếu C = 0 thì A= 0, và từ (1) suy ra B = 0 (vô lí). Do vậy, C
≠0

Chọn C=1 => A = ±2
Với A=2 ; C = 1, ta có B = 2 . Khi đó; (P); 2x + 2y + z - 6 = 0 .
Với A= -2; C= 1, ta có B= 2. Khi đó, (P): 2x – 2y – z + 2 = 0 .
- Vậy phương trình mặt phẳng (P):2x + 2y + z – 6= 0 hoặc (P): 2x – 2y
–z+2=0.
Chọn B.
Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu
A. Phương pháp giải & Ví dụ
+ Phương trình (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 là phương trình mặt cầu (S)
có tâm I (a; b; c), bán kính R
+ Phương trình (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện
a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính

Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây
là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và
bán kính của mặt cầu đó
a) (x-2)2+(y+3)2+z2=5


b) x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0
c) 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0
Hướng dẫn:
a) Phương trình (x-2)2+(y+3)2+z2=5 có dạng
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm
I (2; -3; 0) và bán kính R=√5.
b) Phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0 có dạng
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1
⇒ a2+b2+c2-d=13>0
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và

bán kính R=√13.
c) Phương trình 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0
⇔ x2+y2+z2-2x+y+7=0
Phương trình có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với
a=1;b=(-1)/2;c=0;d=7 ⇒a2+b2+c2-d=(-23)/4<0
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương
trình sau là phương trình mặt cầu.
a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0
b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0
Hướng dẫn:
a) Phương trình x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 có


a=m;b=-(m+1); c=2;d=1.
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0
⇔ m2+(m+1)2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R.
b) Phương trình x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0 có a=m-3;
b=0;c=2m;d=8
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a2+b2+c2-d>0
⇔(m-3)2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0

Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 là
phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 có:
a=-(m+2);b=0;c=m-3;d=m2-1
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0
⇔ (m+2)2+(m-3)2-m2+1>0 ⇔ m2-2m+14>0 ⇔ m∈R.

Khi đó, bán kính mặt cầu là:

Dấu bằng xảy ra khi m = 1.
Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13.