(Luận văn thạc sĩ) Phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm vỏ dùng từ phân tử BCS_MITC3 + Sử dụng thủ thuật chia nhỏ kết cấu (sub_structures)

LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 03 năm 2017
Võ Ngọc Huy

iv


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô khoa xây dựng, quý Thầy Cô đã
truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong hai học kỳ qua. Hơm nay, với
những dịng chữ này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất.
Em xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu nhà trường Đại học Sư phạm kỹ
thuật thành phố Hồ Chí Minh, Phịng Đào tạo Sau Đại học đã giúp đỡ và tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập.
Luận văn Thạc sĩ hoàn thành đảm bảo nội dung và đúng thời hạn qui định là
nhờ phần lớn sự giúp đỡ tận tình và nhiệt huyết của TS. Châu Đình Thành. Em xin
chân thành cảm ơn TS. Châu Đình Thành, người Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp
em đưa ra hướng nghiên cứu cụ thể, hỗ trợ nhiều tài liệu, kiến thức quý báu trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn TS. Kim Jin-Gyun đã giúp đỡ em tài liệu nghiên
cứu quý báo.
Cuối cùng xin bày tỏ lòng ghi ơn và tri ân sâu sắc nhất đến gia đình đã ln
quan tâm, đơn đốc, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt thời gian thực hiện
Luận văn.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 03 năm 2017
Võ Ngọc Huy

v

TÓM TẮT
Phần tử tấm vỏ phẳng tam giác ba nút với nút bubble được giới thiệu để phân
tích dao động và ổn định của kết cấu tấm và vỏ. Với kỹ thuật làm trơn biến dạng
màng và uốn trong tam giác con được kết nối bởi nút bubble. Kỹ thuật khử hiện
tượng shear locking, kỹ thuật MITIC3+ cho phần tử tam giác ba nút với nút bubble
được phát triển. Phương pháp Craig-Bampton (CB) và phương pháp Craig-Bampton
nâng cao (ECB) được sử dụng để áp dụng để giải quyết bài toán giá trị riêng phân
tích dao động và ổn định. Kết quả số chứng minh sự tin cậy và tối ứu của phần tử
trên, với phần tử MITC3+ kết hợp thủ thuật làm trơn cạnh tạo nên một phần tư mới
được gọi CS-MITC3+, khi được kết hợp với phương pháp sub-structure để tính tốn
tần số và ổn định của kết cấu tấm và vỏ.

vi


ABTRACT
A cell-based three-node triangular flat shell element with a bubble node is
introduced to analyze frequencies and buckling of plates and shells. By smoothing
the membrane and bending strains on sub-triangular domains created by connecting
the bubble node to element nodes and applying the divergence theorem to
derivatives in the gradient matrices, the integration of corresponding stiffness
matrices are transformed from surface to line integrals. To remove the shear
locking, the MITC3+ technique for three-node triangular degenerated shell elements
with a bubble node is employed. The Craig-Bampton (CB) and enhanced CraigBampton (ECB) methods are used for efficiently solving eigenvalue problems of
frequencies and buckling analyses. Numerical results demonstrate the reliability and
superiority of the present element, called CS-MITC3+, when combined with the
substructuring methods to compute frequencies and buckling of plate and shell
structures.

vii


MỤC LỤC
LÝ LỊCH KHOA HỌC ............................................................................................. iii
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... iv
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................v
TÓM TẮT ................................................................................................................. vi
ABTRACT ............................................................................................................... vii
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN.....................................................................................1
1.1 Giới thiệu ...........................................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu .........................................................................................4
1.3 Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài ..............................................................5
1.4 Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................5
CHƯƠNG 2: CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN BCS-MITC3+ .......6
2.1 Trường chuyển vị ...............................................................................................6
2.2 Xây dựng phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút sử dụng hàm bubble trong hệ tọa
độ cục bộ ..................................................................................................................8
2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn bCS-MITC3+ ..........................................11
2.3.1 Xấp xỉ biến dạng màng trơn ......................................................................12
2.3.2 Xấp xỉ biến dạng uốn trơn .........................................................................14
2.3.3 Kỹ thuật nén các bậc tự do ........................................................................15
2.4 Phương trình động học và ổn định phần tử hữu hạn trong hệ trục tọa độ toàn
cục ..........................................................................................................................17
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP CRAIG-BAMTON VÀ CRAIG-BAMTON
NÂNG CAO .............................................................................................................20
3.1 Phương pháp Craig-Bampton [21] ..................................................................20
3.2 Phương pháp Craig-Bampton nâng cao [21] ...................................................22
CHƯƠNG 4: VÍ DỤ SỐ..........................................................................................26

4.1 Phân tích dao động của tấm đồng nhất đẳng hướng ........................................26
4.1.1 Phân tích động học tấm đồng nhất đẳng hướng ........................................26
4.1.2 Vỏ hình trụ với điều kiện biên ngàm một cạnh .........................................37
4.1.3 Vỏ panel bán cầu .......................................................................................39
4.2 Phân tích ổn định của tấm đồng nhất đẳng hướng...........................................41

viii


4.2.1 Phân tích ổn định tấm tứ giác đồng nhất chịu nén một phương. ..................41
4.2.2 Phân tích ổn định tấm tứ giác đồng nhất chịu nén hai phương. ...................44
4.2.3 Phân tích ổn định tấm tứ giác đồng nhất chịu cắt trong mặt phẳng. ............45
4.2.4 Phân tích ổn định vỏ hình ống chịu nén một trục .........................................46
CHƯƠNG 5: ĐÁNH GIÁ VÀ KẾT LUẬN ..........................................................48
5.1 Những kết quả đạt được ...................................................................................48
5.2 Những hạn chế còn tồn đọng ...........................................................................48
5.3 Đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo ................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................49

ix


DANH MỤC HÌNH
Hình 2.1. Mơ hình phần tử vỏ phẳng trong hệ trục tọa độ toàn cục (XYZ) và hệ tọa
độ cục bộ (xyz) ............................................................................................................6
Hình 2.2. Các thành phần ứng suất phân bố theo bề dày tấm. ...................................7
Hình 2.3. Phần tử tam giác 3 nút có nút bubble .........................................................9
Hình 2.4. Điểm buộc của phần tử MITC3+ .............................................................11
Hình 2.5. Ba tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) được tạo ra từ 3 nút 1,2,3 và điểm trọng
tâm của tam giác........................................................................................................12

Hình 3.1. (a) Kết cấu tổng thể, (b) Substructure i (i=1, 2,..Ns) và điều kiện biên bề
mặt Г (Ns số substructure), (c) Điều kiện biên bề mặt ..............................................20
Hình 4.1. Tầm hình vng và chia nhỏ bằng phần tử tam giác: (a) Tấm liên kết gối
tựa đơn; (b) Tấm liên kết ngàm .................................................................................26
Hình 4.2. Dạng dao động sáu mode đầu của tấm vuông đồng nhất SSSS
(NxN=22x22, t/L=0.005). (a) Mode 1, (b) Mode 2, (c) Mode 3, (d) Mode 4, (e)
Mode 5, (f) Mode 6. ..................................................................................................29
Hình 4.3. Dạng dao động sáu mode đầu của tấm vuông đồng nhất SSSS
(NxN=22x22, t/L=0.1). (a) Mode 1, (b) Mode 2, (c) Mode 3, (d) Mode 4, (e) Mode
5, (f) Mode 6 .............................................................................................................32
Hình 4.4. Dạng dao động sáu mode đầu của tấm vuông đồng nhất CCCC
(NxN=22x22, t/L=0.005). (a) Mode 1, (b) Mode 2, (c) Mode 3, (d) Mode 4, (e)
Mode 5, (f) Mode 6 ...................................................................................................34
Hình 4.5. Dạng dao động sáu mode đầu của tấm vuông đồng nhất CCCC (NxN =
22x22, t/L=0.1). (a) Mode 1, (b) Mode 2, (c) Mode 3, (d) Mode 4, (e) Mode 5, (f)
Mode 6.......................................................................................................................37
Hình 4.6. Hình trụ với bán R=10, L=300 .................................................................37
Hình 4.6. Tấm panel bán cầu ngàm hai cạnh biên (CCFF) với R=1m, t=0.1m,
φ0=30˚, φ1=90˚, ψ=120˚ ............................................................................................39
Hình 4.7. Tấm chữ nhật: (a) tấm chịu nén một trục (b) tấm chịu nén hai trục (c) tấm
chịu cắt trong mặt phẳng (d) tấm được chia lưới ……………………………….. ...42
Hình 4.8 Vỏ hình ống chịu nén một trục…………………………………………..47

x


DANH MỤC BẢNG
Bảng 2.1. Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d=1/10000 ................... 11
Bảng 3.1. Bảng so sánh giữa phương pháp CB và phương pháp CB nâng cao ....... 25
Bảng 4.1. Sáu tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm đồng nhất liên kết tựa đơn

trên bốn cạnh biên SSSS (t/L=0.005) ....................................................................... 27
Bảng 4.2. Sáu thông số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm cuông đồng nhất
liên kết tựa đơn SSSS (t/L=0.1) …………………………………………………………………………………………29
Bảng 4.3. Sáu thông số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm vuông đồng nhất
liên kết ngàm trên bốn cạnh biên CCCC (t/L=0.005) ............................................... 32
Bảng 4.4. Sáu thông số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm vuông đồng nhất
liên kết ngàm trên bốn cạnh biên CCCC (t/L=0.1) ................................................... 34
Bảng 4.5. Tám thông số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất tấm hình trụ đồng nhất
liên kết ngàm trên cạnh CFFF ................................................................................... 38
Bảng 4.6. Tám thông số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất tấm panel bán cầu đồng
nhất liên kết ngàm trên hai cạnh CCFF.................................................................4040
Bảng 4.7. Hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với tỉ số chiều dàichiều rộng a/b = 1 và tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b = 0.01. ...................................422
Bảng 4.8. Hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với tỉ số chiều dàichiều rộng a/b = 1 và nhiều tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b .......................................43
Bảng 4.9. Hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với nhiều tỉ số chiều
dài-chiều rộng a/b và nhiều tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b .....................................433
Bảng 4.10. Hệ số ổn định theo hai phương của tấm vuông đồng nhất với tỉ số chiều
dài-chiều rộng a/b = 1 và tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b = 0.01 với nhiều điều kiện
biên ..........................................................................................................................455
Bảng 4.11. Hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với tỉ số chiều dàichiều rộng a/b và tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b = 0.01. .........................................455
Bảng 4.11 Hệ số ổn định theo vỏ hình ống chịu nén một trục…………………….47

xi


DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 4.1. Sáu tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm liên kết tựa đơn trên
bốn cạnh biên SSSS với N×N=4×4 (t/L=0.005) .......................................................28
Biểu đồ 4.2. Sáu tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm liên kết tựa đơn trên
bốn cạnh biên SSSS với N×N=22×22 (t/L=0.005) ...................................................28
Biểu đồ 4.3. Sáu tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm liên kết tựa đơn trên

bốn cạnh biên SSSS với N×N=4×4 (t/L=0.1) ...........................................................30
Biểu đồ 4.4. Sáu tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm liên kết tựa đơn trên
bốn cạnh biên SSSS với N×N=22×22 (t/L=0.1) .......................................................31
Biểu đồ 4.5. Sáu thông số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm liên kết ngàm
trên bốn cạnh biên CCCC với N×N=4×4 (t/L=0.005) ..............................................33
Biểu đồ 4.6. Sáu thơng số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm liên kết ngàm
trên bốn cạnh biên CCCC với N×N=22×22 (t/L=0.005) ..........................................33
Biểu đồ 4.7. Sáu thông số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm liên kết ngàm
trên bốn cạnh biên CCCC với N×N=4×4 (t/L=0.1) ..................................................35
Biểu đồ 4.8. Sáu thơng số tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của tấm liên kết ngàm
trên bốn cạnh biên CCCC với N×N=22×22 (t/L=0.1) ..............................................36
Biểu đồ 4.9. Tám thơng số tần số được chuẩn hóa (theo kết quả Abaqus) nhỏ nhất
của tấm liên kết ngàm trên hai cạnh CCFF với N×N=16×16 ...................................41
Biểu đồ 4.10. Hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với nhiều tỉ số
chiều dài-chiều rộng a/b và nhiều tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b ...........................414
Biểu đồ 4.11. Hệ số ổn định cắt xcủa tấm vuông đồng nhất với nhiều tỉ số chiều
dài-chiều rộng a/b và tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b=0.01 .......................................46

xii


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
1.1 Giới thiệu
Tấm/vỏ là kết cấu được sử dụng trong các lĩnh vực quan trọng như giao thơng,
xây dựng, cơ khí, hàng khơng vũ trụ…Ngồi ra do kết cấu tấm/vỏ thường mỏng nên
rất dễ bị mất ổn định. Do vậy, vấn đề phân tích tĩnh, dao động và ổn định của kết
cấu tấm/vỏ đã và đang được nhiều nhà khoa học quan tâm và đạt được nhiều thành
quả đáng nghi nhận nhưng vẫn phải giải quyết các hệ tuyến tính lớn và phức tạp
(hàng triệu bậc tự do) dẫn đến tốn thời gian, tài nguyên của bộ nhớ máy tính và phải
đầu tư hệ thống máy tính mạnh, phức tạp và tốn kém. Vấn đề này được các nhà

khoa học giải quyết bằng chia nhỏ kết cấu lớn thành các kết cấu con được kết nối
với nhau bằng giới hạn bề mặt và đạt được nhiều thành quả nhằm giảm thời gian
phân tích và tài nguyên bộ nhớ máy tính nhưng vẫn đảm bảo tính chính xác của kết
quả phân tích.
Tấm/vỏ là kết cấu có hình dạng và chịu tải trọng phức tạp nên các lý thuyết vỏ
khác nhau đã được xây dựng và phát triển, cụ thể là phương pháp giải tích và
phương pháp số. Tuy nhiên phương pháp giải tích chỉ áp dụng tính tốn cho những
kết cấu vỏ đơn giản, đối với những bài tốn phức tạp, phương pháp này gặp nhiều
khó khăn trong q trình giải các phương trình tốn học cũng như việc xử lý số liệu,
độ chính xác khơng cao.
Cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học máy tính, các phương pháp số
được xây dựng và có những tiến bộ quan trọng. Một trong những phương pháp số
được sử dụng phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH). Với những
ưu điểm nổi trội như kết quả tính tốn có độ chính xác cao, mạnh mẽ khi phân tích
các bài tốn phức tạp, kết hợp tốt các lý thuyết khác nhau trong q trình phân tích.
Tuy nhiên, các phương pháp phần tử hữu hạn thông thường vẫn còn những hạn chế
nhất định liên quan đến kỹ thuật rời rạc phần tử, độ chính xác, tính ổn định. Do đó,
việc đề xuất những cải tiến cho các phương pháp phần tử hữu hạn hiện hữu luôn giữ

1


vai trị quan trọng. Hướng nghiên cứu này ln mang tính thời sự trong nhiều thập
kỷ qua.
Trong q trình phân tích tấm/vỏ bằng phương pháp phần tử dùng hàm xấp xỉ
dạng C0 thường xuất hiện hiện tượng “khóa cắt” (Shear locking) khi chiều dày
tấm/vỏ rất nhỏ (vỏ mỏng) vì khi đó năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần
biến dạng cắt sẽ lớn hơn nhiều so với năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành
phần uốn gây ra. Hiện nay có rất nhiều phương pháp đã và đang được nghiên cứu
đưa ra để giải quyết hiện tượng khóa cắt như Discrete Shear Gap (DSG), Mindlin

plate element (MIN), Mixed Interpolation of Tensorial Components (MITC)…
Những năm gần đây, Liu và cộng sự [1] phát triển phương pháp phần tử hữu
hạn trơn (S-FEM), phương pháp này dựa trên trung bình trong phần tử trường
chuyển vị trên các miền, bao gồm phương pháp làm trơn trên phần tử (CS-FEM),
làm trơn trên nút (NS-FEM), làm trơn trên cạnh (ES-FEM). Bằng cách xấp xỉ của SFEM đã cải thiện tính chính xác cho các bài toán 2D, 3D, kết cấu tấm/vỏ đồng nhất
đẳng hướng, composite và vật liệu phân lớp chức năng (FGM)[2-10]. Bằng việc
thêm hàm dạng nút bubble nhằm sự chính xác của chuyển vị, trường biến dạng của
phần tử tấm 3 nút với nút bubble khơng cịn hằng số. Sử dụng CS-FEM, trường biến
dạng trong mặt phẳng được lấy trung bình trên từng miền con của phần tử. Mức
trung bình được làm bởi phân chia tích phân của trường biến bạng trong mặt phẳng
trên diện tích của miền con. Tích phân miền con của biến biến dạng trong mặt
phẳng chứa đạo hàm của hàm dạng biến đổi sang tích phân của cạnh của miền con
bởi định lý Green.
Phân tích động học là một khía cạnh quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu
động lực học kết cấu nhưng trong quá trính phân tích động phải giải quyết các hệ
tuyến tính lớn và phức tạp dẫn đến tốn thời gian. Trong những thập niên 1960,
phương pháp tổ hợp thành phần giao động (CMS) được sử dụng rộng rãi cho mơ
hình PTHH suy giảm trong phân tích động học. Trong phương pháp CMS, mơ hình
kết cấu PTHH ban đầu được chia nhỏ thành các mơ hình PTHH chia nhỏ kết cấu và
kết nối với nhau bằng giới hạn biên. Thay vì phân tích mơ hình kết cấu PTHH lớn

2


ban đầu, thì chỉ cần sử dụng mơ hình chia nhỏ kết cấu. Phương pháp CMS làm giảm
đáng kể tài nguyên bộ nhớ của máy tính và thời gian tính toán.
Dựa trên ý tưởng của Hurty và Guyan
Tác giả Hurty W [11] đã nghiên cứu đề tài “Dynamic analysis of structural
systems using component modes”
Tác giả Guyan R [12] đã nghiên cứu đề tài “Reduction of stiffness and mass

matrices”
Craig và Bampton đề nghị một phương pháp (CMS) gọi là phương pháp
Craig-Bampton
Tác giả Craig RR, Bampton MCC [13] đã nghiên cứu đề tài “Coupling of
substructures for dynamic analysis.”
Những năm sau đó, các cơng trình nghiên cứu nhằm cải thiện phương pháp
CMS
Nhóm tác giả Benfield WA, Hruda RF (1971) [14] nghiên cứu đề tài
“Vibration analysis of structures by component mode substitution”. Phương pháp
trình bày xác định dao động của hệ kết cấu phức tạp bằng sử dụng mode thành phần
dao động.
Tác giả Rubin S (1975) [15] nghiên cứu đề tài “Improved component-mode
representation for structural dynamic analysis”. Phương pháp được phát triển để cải
thiện phân tích hệ kết cấu phức tạo mà có thể phân chia thành các substructure.
Tác giả Hintz RM (1971) [16] nghiên cứu đề tài “Analytical methods in
component modal synthesis”. Phương pháp được phát triển để phân tích hệ kết cấu
phức tạo mà có thể phân chia thành các substructure.
Nhóm tác giả Bennighof JK, Lehoucq RB (2004) [17] nghiên cứu đề tài “An
automated multilevel substructuring method for eigenspace computation in linear
elastodynamics”.
Tác giả Rixen DJ (2004) [18] nghiên cứu đề tài “A dual Craig-Bampton
method for dynamic substructuring”. Nghiên cứu phương pháp mới, phương pháp
Craig-Bampton kép

3


Nhóm tác giả Markovic D, Park KC, Ibrahimbegovic A (2007) [19] nghiên
cứu đề tài “Reduction of substructural interface degrees of freedom in
flexibilitybased component mode synthesis”.

Sử dụng hệ số Lagrange cục bộ, Park và Park phát triển phương pháp dựa trên
ma trận độ mềm CMS (F-CMS)
Nhóm tác giả Park KC, Park YH (2004) [20] nghiên cứu đề tài “Partitioned
component mode synthesis via a flexibility approach”. Sử dụng hệ số Lagrange cục
bộ để phát triển phương pháp dựa trên ma trận độ mềm CMS (F-CMS).
Việc xét đến ảnh hưởng của dao động thừa của phương pháp Craig-Bampton,
Jin-Gyun Kim và Phill-Seung Lee đã phát triển phương pháp Craig-Bampton nâng
cao.
Nhóm tác giả Jin-Gyun Kim, Phill-Seung Lee (2014) [21] nghiên cứu đề tài
“An enhanced Craig–Bampton method”. Nghiên cứu phương pháp Craig-Bampton
mới có tên: phương pháp Craig-Bampton nâng cao. Xét đến ảnh hưởng của dao
động thừa nhằm nâng cao ma trận biến đổi. Sử dụng phần tử MITC3 kết hợp với
phương pháp Craig-Bampton nâng cao kiểm tra bài tốn số.
Nhóm tác giả Jin-Gyun Kim, Phill-Seung Lee (2015) [22] nghiên cứu đề tài
“An enhanced Craig–Bampton method”. Nghiên cứu phương pháp Craig-Bampton
mới có tên: phương pháp Craig-Bampton nâng cao. Xét đến ảnh hưởng của dao
động thừa nhằm nâng cao ma trận biến đổi. Sử dụng phần tử MITC3+ kết hợp với
phương pháp Craig-Bampton nâng cao kiểm tra bài tốn số.
Hiện nay, các cơng trình nghiên cứu về phân tích dao động và ổn định của kết
của tấm/vỏ kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trơn kết hợp với thủ thuật
chia nhỏ kết cấu (substructure) chưa được quan tâm nhiều, đặc biệt ở Việt Nam. Vì
vậy tác giả lựa chọn đề tài: Phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm vỏ
dung phần tử bCS-MITC3+ với sử dụng thủ thuật chia nhỏ kết cấu
(subtructure).
1.2 Mục đích nghiên cứu

4


Mục đích của nghiên cứu của đề tài này là nhằm phân tích dao động và ổn

định đối với kết cấu tấm/vỏ bằng phương pháp Craig-Bampton và Craig-Bampton
nâng cao nhằm làm giảm tài nguyên máy tính nhưng vẫn đảm bảo tính đúng đắn
của bài tốn.
Nghiên cứu này sẽ đánh giá phương pháp Craig-Bampton và Craig-Bampton
nâng cao kết hợp phần tử hữu hạn bCS-MITC3+ cho phân tích dao động và ổn định
đối với kết cấu tấm/vỏ bằng cách so sánh kết quả đạt được với kết quả tham khảo.
1.3 Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài
Nhiệm vụ của đề tài là áp dụng phương pháp Craig-Bampton và CraigBampton nâng cao kết hợp với phần tử tấm/vỏ phẳng tam giác ba nút được làm trơn
trên miền phần tử, bCS-MITC3+, dùng phân tích tần số riêng và ổn định của kết cấu
tấm/vỏ.
Áp dụng giải quyết một số bài toán kết cấu tấm/vỏ đàn hồi đẳng hướng bằng
cách sử dụng ngôn ngữ Matlab để lập trình tính tốn và so sánh kết quả phân tích
tần số riêng và ổn định của kết cấu tấm/vỏ sử dụng phần tử hữu hạn bCS-MITC3+
kết hợp với phương pháp Craig-Bampton và Craig-Bampton nâng cao.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được thực hiện trong đề tài này: nghiên cứu phương
pháp Craig-Bampton và Craig-Bampton nâng cao kết hợp phần tử hữu hạn vỏ
phẳng bCS-MITC3+, lập trình tính tốn mơ phỏng một số bài tốn của kết cấu
tấm/vỏ.
Kết quả mô phỏng số được so sánh với kết quả các nghiên cứu trước đó, để
đánh giá hiệu quả và tính chính xác của nghiên cứu này.

5


CHƯƠNG 2: CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRƠN BCS-MITC3+
2.1 Trường chuyển vị

Hình 2.1 Mơ hình phần tử vỏ phẳng trong hệ trục tọa độ toàn cục (XYZ) và hệ

tọa độ cục bộ (xyz)
Theo giả thuyết Reissner-Mindlin, trường chuyển vị được biểu diễn

u( x, y,z )  u0 ( x, y )  z  x

v ( x, y,z )  v0 ( x, y )  z  y

 w( x, y,z )  w0 ( x, y )

(2.1)

Trong đó: u0, v0, w0: là các chuyển vị được tính tại mặt trung bình; βx, βy: lần
lượt là góc xoay quanh trục y và trục x của các đoạn thẳng pháp tuyến sau khi biến
dạng nhưng vẫn cịn thẳng, khơng cịn vng góc với trục trung hịa.
Từ trường chuyển vị (2.1) các biến dạng được xác định như sau:
Biến dạng trong mặt phẳng:


u
 x 
x


v
 y 
y


u v


 xy 
y x


(2.2)

Thay công thức (2.1) vào (2.2) ta được

6



u

 x  0  z x
x
x



v0
z y
 y 
y
y


 y
u


v
 xy  0  z x  0  z
y
y
x
x


(2.3)

Ta có thể viết lại (2.3) dưới dạng sau
ε  ε m  zεb

Trong đó ε   x

(2.4)

T

 y  xy  , εm là biến dạng màng, εb là biến dạng uốn được

xác định như sau
  x

  u0






 x

 x





  v0
 b
y
εm  
; ε  

 y

 y

  u 0  v0 
   y 



 x

 y x 
 y x 

(2.5)

Biến dạng ngoài mặt phẳng (biến dạng cắt):

 w

u 

 w



   0  x 


 xz   x z   x

εs     



 yz   w  v   w0   y 

 y

z   y

(2.6)



Hình 2.2 Các thành phần ứng suất phân bố theo bề dày tấm.

7


Khi đó mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được biểu diễn thông qua
định luật Hooke như sau:
 x 
 x 
 

m 
 y   D  y 
 
 
 xy 
 xy 

(2.7)

 xz 
 xz 
s
 D  
 yz 
 yz 

(2.8)

Trong đó Dm, Ds là các ma trận độ cứng vật liệu tương ứng


1 v 0

E
Dm 
v 1 0
2 
1  
1 
0 0
2

1
Ds  G 
0

0 
1
E


1  2 1     0









(2.9)

0 
1 

(2.10)

Trong đó: v, E là hệ số poisson và mô đun đàn hồi của vật liệu
Có thể viết lại cơng thức (2.7) và (2.8) như sau

σ  Dmε  Dm  ε m  z εb   Dmε m  z Dmεb

(2.11)

τ  Ds ε s

(2.12)

2.2 Xây dựng phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút sử dụng hàm bubble trong hệ
tọa độ cục bộ
Xét phần tử vỏ tam giác 3 nút sử dụng nút bubble ở trọng tâm như Hình 2.3.
Tại mỗi nút ở đỉnh có 5 bậc tự do là u, v và độ võng w theo phương z, θx và θy là
chuyển vị xoay quanh trục x, y tương ứng. Tại nút bubble ở trọng tâm chỉ kể đến 2
bậc tự do là θx và θy.

8


Hình 2.3 Phần tử tam giác 3 nút có nút bubble

Trường chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử được xấp xỉ như sau
4

u0   Niui

(2.13)

i 1
4

v0   Ni vi

(2.14)

i 1
3

w   N i wi

(2.15)

i 1
4

 x   f k yk

(2.16)

k 1
4

 y   f k xk

(2.17)

k 1

Trong đó: Ni và fk là các hàm nội suy bubble tương ứng với nút k được xác định từ
các hàm nội suy song tuyến tính

N1  1  r  s,N2  r,N3  s,N4  27 N1N2 N3
f1  N1 

(2.18)

1
1
1
f 4 , f 2  N 2  f 4 , f 3  N3  f 4 , f 4  27rs 1  r  s  (2.19)
3
3
3

Từ công thức (2.5), (2.13) và (2.14) các thành phần biến dạng trong mặt phẳng
được xác định bằng đạo hàm của chuyển vị theo tọa độ được biểu diễn như sau

9


 u0


 N i



 x

 x
4
 v0


εm  
  0

 y
 i 1 
 u0 v0 
 N i




 y
 y x 

0
Ni
y
N i

x

  ui 
0 0 0 0  v 
 i 
w 


0 0 0 0   i   B md e

  xi 
  
0 0 0 0   yi 
 zi 



(2.20)

Trong đó: de là vector chuyển vị nút của phần tử; Bm là ma trận quạn hệ giữa
biến dạng và chuyển vị.
Các biến dạng uốn trong phần tử được xấp xỉ từ những chuyển vị nút của phần
tử theo công thức

0 0 0

4

εb   0 0 0
i 1



0 0 0


0
f i
y
f
 i
x



fi
x
0
f i
y

  ui 
0  v 
 i 
  w 
0   i   Bbd e

  xi 
  
0   yi 
  zi 

(2.21)

Trong đó: Bb là ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị uốn.
Biến dạng cắt
N i

0
0

3
x
εs   
N i
i 1 
0 0

y

0

fi

 fi

0

 ui 
 
 vi

0  
 w  0 0 0 0
 i 

0 0 0  f4
0   xi  
  
yi
 
 zi 

f4
0

 u4 
v 
 4
0 w 4 
s e (2.22)
 B d

0   x 4 
 y 4 
 
 z 4 

Trong q trình phân tích vỏ thường xuất hiện “Shear locking”. Để khắc phục
hiện tượng “Shear locking” ta sử dụng kĩ thuật MITC3+. Xấp xỉ lại các biến dạng
cắt bằng hàm mới thông qua các biến dạng cắt ở những “điểm buộc” (tying point)
như Hình 2.4 và tọa độ của các điểm buộc trong hệ trục quy chiếu được cho trong

Bảng 1.

10


s

s

1

2/3

(A)
(E)

(F)

(B)

1/6

(D)

(C)
1/6

2/3

1

r

2d

r

d

Hình 2.4. Điểm buộc của phần tử MITC3+
Bảng 2.1 Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d=1/10000
Điểm buộc

r

s

A

1/6

2/3

B

2/3

1/6

C

1/6

1/6

D

1/3 + d

1/3 – 2d

E

1/3 – 2d

1/3 + d

F

1/3 + d

1/3 + d

Biến dạng cắt được xấp xỉ lại thông qua biến dạng cắt tại các điểm buộc theo
công thức:
 rt 

2 ( B) 1 ( B)
1
1

( rt   st )  ( rt( C )   st( C ) )  c(3s  1)
3
2
3
3

(2.23)

1 (C )
1
 rt   st( C )   c  3r  1

3
3

(2.24)

2
3

1
2

 st  ( rt( A)   st( A) ) 

Trong đó:
c  ( rt( F )   rt( D) )  ( st( F )   st( E ) )

(2.25)

Quan hệ giữa biến dạng cắt và các chuyển vị được viết lại
ε sMITC 3  BsMITC 3de

(2.26)

2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn bCS-MITC3+

11


Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn, các biến dạng được làm trơn trên
các miền trơn địa phương, việc tính tốn ma trận độ cứng khơng cịn phụ thuộc vào
phần tử mà dựa trên các miền trơn này. Mỗi phần tử tam giác được chia thành 3 ô
tam giác nhỏ (sub-triangle) Δ1, Δ2, Δ3 bằng cách nối 3 đỉnh với nút trọng tâm
(central point) của phần tử như Hình 2.5.

Hình 2.5 Ba tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) được tạo ra từ 3 nút 1,2,3 và điểm
trọng tâm của tam giác
2.3.1 Xấp xỉ biến dạng màng trơn
Xét một miền con ΩC, biến dạng màng trơn ε m tại một điểm xc thuộc miền con
được xác định như sau

ε m ( xC ) 

 ε  x   x - x  d
m

C

(2.27)

C

Trong đó:   x  xC  là hàm làm trơn và thỏa mãn các điều kiện sau

  x  xC   0 và

 x  x  1
C

(2.28)

C

Để đơn giản, hàm   x  xC  được chọn là một hằng số theo từng mảng
1

  x  xC    AC
0


x  C

(2.29)

x  C

12

Trong đó AC 

 d

là diện tích của miền tam giác con đang xét. Biến dạng

C

màng trơn trở thành

 ui u j 
   x  d 
  x j
i 

1
2 AC

ε m  xC  

(2.30)

C

Áp dụng định lý phần kỳ (định lý Green) cho tích phân trong phương trình
(2.30). Khi đó biến dạng màng trơn được viết lại

1
2 AC

ε m ( xC ) 

 u n
i

j

C

 u j ni  d 

(2.31)

Trong đó:  C là biên của ô phần tử con. Biến dạng màng trơn được viết lại
theo chuyển vị nút dCi của miền con ΩC

1
ε  xC  
2 AC
m

1 2
Ni  x  nhC dCi  x  d   Bm  xC  dCi
 ui n j  u j ni  d   xC   A 

C i 1 
(2.32)
C

C

Trong đó :

dCi  uCi
1
Bm  xC  
AC

vCi  ; i  1; 2; 3; 4.

(2.33)

 N i nx

C  0
 
 Ni ny

(2.34)

T

0
Ni ny
N i nx



 d




Trong đó: nx , ny là các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị dương n trên
đường biên d  . Ta sử dụng 2 điểm tích phân Gauss để tính tích phân dọc theo mỗi
cạnh biên  i( k ) . Phương trình trên được viết lại là.




1 n 
m
Bi  x C  

AC k 1 




nG

 N x n
i i

i

kn

x

eg

0

eC

nG

 N x n
i i

i

kn




nG
N i  xkn  ny  l k


i i

nG
N i  xkn  nx 

i i

0

y

(2.35)

13


k
Trong đó: neg , leC
là số cạnh biên và chiều dài cạnh biên k, nG  2 là số điểm

tích phân Gauss của cạnh biên  ( k ) .
Ma trận độ cứng của phần tử màng sau khi được làm trơn trở thành

Km 

 B 

m T

Dm B m d 

(2.36)

e

2.3.2 Xấp xỉ biến dạng uốn trơn
Tương tự như trên, ma trận biến dạng uốn trơn được xác định như sau

εb  xC  

 ε  x    x  x  d   2 A   n
1

b

C

i

C

j

C C

  j ni  d 

(2.37)

Mối quan hệ giữa ma trận biến dạng uốn trơn và chuyển vị nút dCi của miền
con ΩC được biểu diễn như sau

εb  xC  

1
AC

2

  f  x n
i 1 C

i

C
h

dCi  x  d   Bb  xC  dCi

(2.38)

Trong đó
T

dCi   wiC  xiC  yiC  ; i  1, 2,3, 4.

(2.39)

0
0

  0  fi ny
C 
 0  f i nx

(2.40)

1
Bb  xC  

AC

f i nx 

0  d
fi ny 

Trong đó nx ,ny là các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị dương n trên
đường biên d  . Ta sử dụng 2 điểm tích phân Gauss để tính tích phân dọc theo mỗi
cạnh biên  i( k ) . Phương trình trên được viết lại

0
 0

neg
nG

1
Bbi  xC  
0

fi  xkn  n y


AC k 1 
i i
nG

 0   fi  xkn  nx
i i



nG

 f x n
i i

i

kn

x

0
nG

 f x n
i i

i

kn

x




 k
 l eC






(2.41)

14


k
Trong đó neg , leC
là số cạnh biên và chiều dài cạnh biên k của miền tam giác

con, fi là hàm bubble của phần tử tấm chịu uốn. nG  2 là số điểm tích phân Gauss
của cạnh biên  ( k ) .
Ma trận độ cứng của phần tử vỏ sau khi được làm trơn trở thành

 B 

b T

K p  Kb  K m  K s  

DbBb d  

e



  B

 B 

m T

Dm B m d 

e

 DB

T
s
MITC 3

s

s
MITC 3

d

(2.42)

e

2.3.3 Kỹ thuật nén các bậc tự do
Vì phần tử màng tam giác 3 nút sử dụng thêm nút bubble nên tao phải sử dụng
kỹ thuật nén các bậc tự do của nút bubble.

Kỹ thuật nén các bậc tự do đối với biến mạng màng
Phương trình cân bằng của phần tử màng khi chịu tác dụng của ngoại lực có
dạng sau
f e  Ke d

 241

e

(2.43)

 241  241

Phương trình (2.43) được viết lại

 f1   K11 K12   d1 
 (181)    (1818) (186)   (181) 
 0   K 21 K 22   d 2 
 (61)   (618) (66)   (61) 

(2.44)

1
(2.44)  0  K 21 d1  K 22 d 2  d 2   K 22
K 21 d1

 618 181

 66   61

 61

 66  618  181

(2.45)

Trong đó u1, u2 lần lượt là vector chuyển vị tại các nút ở đỉnh và nút bubble
Thay (2.43) lại (2.44) ta được


1
f1  K11 d1  K12 d 2  f1   K11  K12 K 22
K 21  d1
181 1818 181 1816   61
181  1818  186  66  618   181

(2.46)

Từ (2.46) ta có



f1   K11 d1  K12 d 2  d1  K bCS d1
181  1818 181 1816  61  181
1818 181

(2.47)

Cuối cùng ta được ma trận độ cứng màng trơn như sau

15




K bCS   K11 d1  K12 d 2 
1818
 1818 181 1816 61 

(2.48)

Để ghép nối ma trận độ cứng của mỗi phần tử trong hệ trục tọa độ địa phương
thành ma trận độ cứng tổng thể ở hệ trục tọa độ chung thì chúng ta phải chuyển đổi
hệ trục tọa độ trước khi tiến hành ghép nối. Nếu gọi ma trận chuyển đổi hệ trục là
T, ta có:
dl  Td g

(2.49)

Trong đó, l và g là ký hiệu cho hệ trục địa phương và hệ trục chung tương
ứng. Như vậy, ma trận T chuyển đổi các bậc tự do chung sang các bậc tự do địa
phương. Nó chứa các cosin chỉ phương của các trục tọa độ địa phương trong hệ trục
chung. Tại mỗi nút, quan hệ giữa các bậc tự do địa phương và các bậc tự do chung
được mô tả bởi :
ul  c11 c12 c13
v  
 l  c21 c22 c23

 wl  c31 c32 c33
 

0
0
 xl   0
 yl   0
0
0
  
0
0
 zl 
  0


0 0 0  u g 
 
0 0 0  vg 
0 0 0   wg 

 
c11 c12 c13   xg 
c11 c12 c13   yg 
 
c11 c12 c13   zg 
 

(2.50)

Td

Ma trận chuyển đổi T đối với phần tử tam giác 3 nút sẽ được biểu diễn dưới

dạng :
Td 0 0 
T   0 Td 0 
 0
0 Td 

(2.51)

Cuối cùng ta xác định được ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng bCS–MITC3+ trong
hệ tọa độ toàn cục như sau :

K eg  TT K leT

(2.52)

16