Bài tập về dãy số cấp số cộng và cấp số nhân đại số lớp 11

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

III

DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG –
CẤP SỐ NHÂN
BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN

I
=

LÝ THUYẾT.

I. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số khơng đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu  un  là cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi: un 1  un q với n  * .
Đặc biệt:

 Khi q  0, cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0 , ..., 0, ...
 Khi q  1, cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ...
 Khi u1  0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0 , 0 , 0 , ..., 0 , ...
II.Số hạng tổng qt
Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng tổng quát un được xác
định bởi công thức

un  u1 .q n1 với n  2.
III.Tính chất
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là

tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

uk2  uk 1 .uk 1 với k  2.
IV.Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Định lí 3. Cho cấp số nhân  un  với công bội q  1. Đặt Sn  u1  u2  ...  un .

Khi đó

Sn 

u1 1  q n 
1 q

.

Chú ý: Nếu q  1 thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ... khi đó Sn  nu1 .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 1


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

II
=

HỆ THỐNG BÀI TẬP.
Dạng 1: Chứng minh một dãy  un  là cấp số nhân.

Dạng 2. Xác định các đại lượng của cấp số nhân
Dạng 3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Dạng 4. Một số bài toán liên quan đến cấp số nhân
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY  u n  LÀ CẤP SỐ NHÂN.

1
=

PHƯƠNG PHÁP.
+ Chứng minh n  1, u n  1  u n .q trong đó q là một số khơng đổi.
+ Nếu u n  0 với mọi n  N * thì ta lập tỉ số T 

u n 1
un

 T là hằng số thì  u n  là cấp số nhân có cơng bội q  T .

 T phụ thuộc vào n thì  u n  không là cấp số nhân.

+ Để chứng minh dãy  u n  không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp
không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn

u3 u 2
.

u 2 u1

+ Để chứng minh a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSN, ta chứng minh

ac  b 2 hoặc b  ac

2
=

BÀI TẬP TỰ LUẬN.
n

Câu 1. Chứng minh rằng dãy số  vn  : vn   1 .32 n là một cấp số nhân.
Lời giải
n 1

2 n 1

vn 1  1 3

n
vn
 1 32 n
Câu 2. Giá trị của a để

n

 9 ,n  * . Vậy  vn  : vn   1 .32 n là một cấp số nhân.

1
1
; a;
theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
5
125

Lời giải
1
1
 1  1 
Ta có: a 2     .  
a

25
 5   125  625
u1  2

Câu 3. Cho dãy số  u n  được xác định bởi 

u n 1  4u n  9

, n  1 .

Chứng minh rằng dãy số  v n  xác định

bởi v n  u n  3, n  1 là cấp số nhân .
Lời giải
Vì có v n  u n  3 (1)  v n 1  u n 1  3 (2) .
Theo đề u n 1  4u n  9  u n 1  3  4  u n  3  (3).

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 2

CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Thay (1) và (2) vào (3) được: v n 1  4v n , n  1 

v n 1
vn

 4 (không đổi).

Kết luận  v n  là cấp số

nhân với công bội q  4 .
Câu 4. Chứng minh rằng nếu phương trình x 3  ax 2  bx  c  0 có ba nghiệm lập thành CSN thì
c( ca 3  b3 )  0
Lời giải
Giả sử ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSN, suy ra x1x3  x22
Theo phân tích bài trên, ta có: x1x2 x3  c  x23  c  x2  3 c
Hay phương trình đã cho có nghiệm x2  3 c , tức là:
3

   
3

c

a

3

c

2

 b 3 c  c  0  b 3 c  a 3 c 2  c( ca 3  b 3 )  0

Bài toán được chứng minh.

3
=
Câu 1.

Câu 2.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
[1D3-4.1-1] Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. 128;  64; 32;  16; 8; ...

B.

C. 5; 6; 7; 8; ...

D. 15; 5; 1;

D. a; a ; a ; a ;   a  0  .
3

5

7

[1D3-4.1-1] Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. 1; 2; 4; 8; 
B. 3; 32 ; 33 ; 34 ; 
C. 4; 2;

Câu 4.

1
; ...
5

[1D3-4.1-1] Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
A. 2; 4; 8; 16; 
B. 1;  1; 1;  1; 
C. 12 ; 22 ; 32 ; 4 2 ; 

Câu 3.

2 ; 2; 4; 4 2 ; ....

1 1
; ;
2 4

D.

1 1
1
1

; 2; 4; 6; 
 



n

[1D3-4.1-1] Dãy số un  3  3 . là một cấp số nhân với:
A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.
B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.
C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.
D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.

Câu 5.

[1D3-4.1-1] Cho dãy số  un  với un 

3 n
.5 . Khẳng định nào sau đây đúng?
2

A.  un  không phải là cấp số nhân.
B.  un  là cấp số nhân có cơng bội q  5 và số hạng đầu u1 

3
.
2

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 3


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

C.  un  là cấp số nhân có cơng bội q  5 và số hạng đầu u1 
D.  un  là cấp số nhân có cơng bội q 
Câu 6.

15
.
2

5
và số hạng đầu u1  3.
2

[1D3-4.1-1] Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. 1; 0, 2; 0, 04; 0,0008; ...
B. 2; 22; 222; 2222; ...
D. 1;  x 2 ; x 4 ;  x 6 ; ...

C. x; 2 x; 3x; 4 x; ...
Lời giải
Chọn D.

Dãy số : 1;  x 2 ; x 4 ;  x 6 ; ... là cấp số nhân có số hạng đầu u1  1; công bội q   x 2 .
Câu 7.

[1D3-4.1-1] Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân:
A. 1, 3,9, 27,81.
B. 1, 3, 6, 9, 12.
C. 1, 2, 4, 8, 16.

D. 0,3,9, 27,81.
Lời giải

Chọn A.
Câu 8.

[1D3-4.1-2] Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số
nhân?
A. un 

1
n2

3

C. un  n 
Câu 9.

.

1
.
3

B. un 

1
 1.
3n
1
3

D. un  n 2  .

[1D3-4.1-2] Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số
nhân?
A. un  7  3n.
C. un 

7
.
3n

n
B. un  7  3 .

n
D. un  7.3 .

*
Câu 10. [1D3-4.1-3] Cho dãy số  un  là một cấp số nhân với un  0, n   . Dãy số nào sau đây không

phải là cấp số nhân?
A. u1 ; u3 ; u5 ; ...
C.

1 1 1
;
;
; ...
u1 u2 u3

B. 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; ...
D. u1  2; u2  2; u3  2; ...

Câu 11. [1D3-4.4-2] Xác định x để 3 số x  2; x  1; 3  x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A. Khơng có giá trị nào của x.

B. x  1.

C. x  2.

D. x  3.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 4


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Lời giải
Chọn A.
Ba số x  2; x  1; 3  x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân   x  2  3  x    x  1

2

 2 x 2  3x  7  0 ( Phương trình vơ nghiệm)
Câu 12. [1D3-4.4-2] Xác định x để 3 số 2 x  1; x; 2 x  1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:

1
A. x   .
3
C. x  

B. x   3.

1
.
3

D. Khơng có giá trị nào của x .
Lời giải

Chọn C.
Ba số: 2 x  1; x; 2 x  1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân   2 x  1 2 x  1  x 2  4 x 2  1  x 2

 3x 2  1  x  

1
.
3

Câu 13. [1D3-4.1-3] Trong các dãy số  un  sau, dãy nào là cấp số nhân?

n

2
A. un  n  n  1 .

B. un   n  2  .3 .

u1  2

C. 
6
*.
u

,

n


n

1

un


D. un   4 

2 n 1

.

Lời giải
Chọn đáp án D

un 1 n 2  3n  3
 2
,n  * , không phải là hằng số. Vậy  un  không phải là cấp số nhân .
A.
un
n  n 1
n 1
3  n  3
un1  n  3 .3


,n  * , không phải là hằng số. Vậy  un  không phải là
B.
n
un
n2
 n  2  .3

cấp số nhân .
C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra u1  2;u2  3;u3  2;u4  3;...
Vì

u3 u 2
 nên  un  khơng phải là cấp số nhân .
u 2 u1

2 n 1 1

 4 
u
D. n 1 
 16 ,n  * . Vậy  un  là một cấp số nhân.
2 n 1
un
 4 
Câu 14. [1D3-4.1-3] Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 5


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
u  1
A.  1

un 1  un  1, n  1

u  1
B.  1

.

un 1  3un , n  1

u  2
C.  1

.

un 1  2un  3, n  1

.

D.





u1 


2

.

  



u

sin
,

n

1



n

 n 1 



Lời giải
 Chọn B.
un  là cấp số nhân  un1  qun 
3
2

Câu 15. [1D3-4.1-2] Cho dãy số un  với un  .5n. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. un  không phải là cấp số nhân.
3
2

B. un  là cấp số nhân có cơng bội

q5

và số hạng đầu u1  .

C. un  là cấp số nhân có công bội

q5

và số hạng đầu u1 

D. un  là cấp số nhân có cơng bội q 

5
2

15
.
2

và số hạng đầu u1  3.
Lời giải

3
un  .5n
2

là cấp số nhân công bội

q5

và u1 

15



2

Chọn C.

Câu 16. [1D3-4.1-3] Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số
nhân?
A. un 

1
.
3n2

B. un 

1
3

1
1.
3n
1
3

C. un  n  .

D. un  n 2  .
Lời giải

Dãy un 

1
3n2

1
 9. 
 3 

n

u1  3
 Chọn A.
là cấp số nhân có  1 
q 

3

Câu 17. [1D3-4.1-2] Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số
nhân?
A. un  7  3n.
B. un  7  3n.
C. un 

7
.
3n

D. un  7.3n.

u  21
Lời giải. Dãy un  7.3n là cấp số nhân có  1


 Chọn D.
q  3

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 6


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Câu 18. [1D3-4.1-3] Cho dãy số un  là một cấp số nhân với un  0, n  * . Dãy số nào sau đây không
phải là cấp số nhân?
A. u1 ; u3 ; u5 ; ...
B. 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; ...
C.

1 1 1
;
;
; ...
u1 u2 u3

D. u1  2; u2  2; u3  2; ...
Lời giải

Giả sử un  là cấp số nhân cơng bội q, thì
Dãy u1 ; u3 ; u5 ; ... là cấp số nhân công bội q 2 .
Dãy 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; ... là cấp số nhân công bội

Dãy

1 1 1
;
;
; ... là
u1 u2 u3

cấp số nhân công bội

2 q.

1
.
q

Dãy u1  2; u2  2; u3  2; ... không phải là cấp số nhân. Chọn D.

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

1
=

PHƯƠNG PHÁP.
Vận dụng các công thức ở định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất của cấp số nhân.

2
=

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1. Cho cấp số nhân  un  với công bội q < 0 và u2  4 ,u4  9 . Tìm u1 .
Lời giải
Vì q  0 ,u2  0 nên u3  0 . Do đó u3   u2 .u4   4.9  6 ;

u22 42
8
u  u1 .u3  u1 

 .
u3 6
3
2
2

Chọn đáp án A

Câu 2. Cho cấp số nhân  un  biết u1  u5  51;u2  u6  102 . Hỏi số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp
số nhân  un  ?
Lời giải
Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

u1 1  q 4   51
u1  u5  51


 q  2  u1  3  un  3.2 n1 .

4
u2  u6  102

u1q 1  q   102
n 1
n 1
12
Mặt khác un  12288  3.2  12288  2  2  n  13 .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 7


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN


2
u4 
Câu 3. Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 
27 .
u3  243u8


a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân:
b) Số

2
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
6561

Lời giải

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
 3 2
 3 2

1
u1q  27
u1q 
q 


27
3

1
2
7
5
u q  243.u q
q 
u  2
 1
 1
1

243
a)Năm số hạng đầu của cấp số là: u1  2, u2 
b)Ta có: un 
Vậy

2

3

n 1

 un 

2
2
2
2
, u3  ; u4 
, u5  .
3
9
27
81

2
 3n1  6561  38  n  9
6561

2
là số hạng thứ 9 của cấp số.
6561

Câu 4. Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có cơng bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy
Lời giải

 1  q4
 3600

U1  U 2  U 3  U 4  360
U1  240
U1
  1 q


q  2
q  2
q  2

0

Vậy 4 góc là : 24, 48, 96, 192.
Câu 5. Cho 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng một phần tư số hạng đầu tiên và tổng 2 số
hạng đầu bằng 8.
Lời giải

 U1  8
2
U

U

8
U  4U1  32  
 1
2

 1
U1  4






1
1
q  4 U1
 q  U1
  q  2

4
q  1

Vậy CSN là : -8, 16, -32, 64, -128 ; 4,4,4,4,4

3
=
Câu 1.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
[1D3-4.3-1] Cho cấp số nhân  un  có cơng bội q. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 8


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

A. u k  u k 1 .u k  2
k 1

B. u k  u k 1  u k 1 .
2

D. uk  u1   k 1 q.

C. uk  u1.q .

Lời giải
Chọn C.
Theo tính chất các số hạng của cấp số nhân.
Câu 2.

u1  2
[1D3-4.3-3] Cho dãy số  un  xác định bởi : 
 1 . Chọn hệ thức đúng:
u

.u n
n

1

10

A.  un  là cấp số nhân có cơng bội q   1 .

B. u n  (  2) 1n 1 .

C. u n  u n 1  u n 1

D. un  un1.u n1

10

2

10

 n  2 .

 n  2 .

Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Câu 3.

un 1
1
1

nên  un  là cấp số nhân có cơng bội q   .
un
10
10

2
. Chọn kết quả đúng:
3
4 8 16
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: 2; ; ;
.
3 3 3

[1D3-4.2-2] Cho cấp số nhân có

2
B. u n  3.  
3

n 1

u1  3,

q

n

.

2
C. S n  9.    9.
3

D.  un  là một dãy số tăng.

Lời giải
Chọn B.
Áp dụng công thức: un  u1.q
Câu 4.

n1

[1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân có
A. u 5 

 27
.
16

B. u 5 

2
ta được: u n  3.  
3

u1 3,

q

n 1

2
. Tính
3

 16
.
27

.

u5 ?

C. u 5 

16
.
27

D. u 5 

27
.
16

Lời giải
Chọn B.
4

16
2
Ta có: u5  u1.q 4   3      .
27
3

Câu 5.

[1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân có

u1 3,

q

2
 96
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số này?
3
243

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 9


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

A. Thứ 5.

B. Thứ 6.

C. Thứ 7.

D. Không phải là số hạng của cấp số.

Lời giải

Chọn B.
Giả sử số

 96
là số hạng thứ
243

Ta có: u1 .q
Vậy số
Câu 6.

n 1

96


243

n của cấp số này.

2
 3   
3

n 1

96
 n  6.

243

 96
là số hạng thứ 6 của cấp số.
243

[1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân có u 2 
A. q 



1
1
; u1  .
2
2

C. q  4; u1 

1
.
16

1
;
4

u5 16 . Tìm q và u1 .

1

2

1
2

B. q   ; u1   .
D. q   4; u1  

1
.
16

Lời giải
Chọn C.
Ta có: u2  u1.q 

1
 u1.q ; u5  u1.q 4  16  u1.q 4
4

Suy ra: q 3  64  q  4 . Từ đó: u1 
Câu 7.

[1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  , biết: u1  3, u2  6 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. u3  12.

Câu 8.

B. u3  12.

C. u3  18.

D. u3  18.

[1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  , biết: u1  3, u5  48 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. u3  12.

Câu 9.

1
.
16

B. u3  12.

C. u3  16.

D. u3  16.

[1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  , biết: u1  2, u2  8 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. q  4.

B. q  4.

C. q  12.

D. q  10.

Câu 10. [1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  , biết: un  81, un 1  9 . Khẳng định nào sau đây đúng?

1
A. q  .
9

B. q  9.

C. q  9.

1
D. q   .
9

Câu 11. [1D3-4.3-1] Cho cấp số nhân  un  , biết: u1  9, u2  3 .Công sai q là
A. q  

1
3

B. q  3

C. q  3

D. q 

1
3

Câu 12. [1D3-4.3-1] Cho cấp số nhân  un  , biết: u1  2, u2  10 . Công sai q là
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 10


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

A. q  5

B. q  8

C. q  12

D. q  12

Câu 13. [1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  , biết: u1  2, u2  8 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. u5  512

C. S5  256

B. u5  256

Câu 14. [1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  có

u1  1; q 

D. q  10

1
1
10 . Số 10103 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. số hạng thứ 103.

B. số hạng thứ 104.

C. số hạng thứ 105.

D. Đáp án khác

1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
2
1
1
C. S8  
D. S8  
64
264

Câu 15. [1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  , biết: u1  12; q 
A. u8  

3
32

B. u8  

1
64

Câu 16. [1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  , biết: u1  2, u2  8 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. S6  130

C. S5  256

B. u5  256

D. q  4

1
Câu 17. [1D3-4.3-2] Cho cấp số nhân  un  có u2  ; u5  16 . Tìm q và số hạng đầu tiên của cấp số
4
nhân?
1
1
1
A. q  4, u1 
B. q  ; u1 
16
2
2
1
1
C. q   , u1  
2
2

D. q  4, u1  

1

16

u  8u17
Câu 18. [1D3-4.3-3] Cho cấp số nhân  un  có  20
. Cơng bội của cấp số nhân là
u1  u5  272
A. q  2
B. q  4
C. q  4
D. q  2

Câu 19. [1D3-4.3-3] Cho cấp số nhân  un  có u1  3 và 15u1  4u2  u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số
hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.
A. u13  24567 .
B. u13  49152 .
C. u13  12288

D. u13  3072 .
Lời giải

Gọi q là công bội của cấp số nhân  un  .
2

Ta có 15u1  4u 2  u3  45  12 q  3q 2  3  q  2   33  33 q. Suy ra 15u1  4u2  u3 đạt
GTNN khi q  2 .
12
Khi đó u13  u1q  12288. Phương án đúng là C.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 11


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

DẠNG 3: TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN

1
=

PHƯƠNG PHÁP.

Ghi nhớ công thức S n 

2
=

u1 1  q n 
1 q

,  q  1 .

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân , biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng
54 và số hạng cuối bằng 39366.
Lời giải

u1  18,u2  54  q  3.

un  39366  u1 .q n1  39366  18.3n1  39366  3n1  37  n  8 .
1  38
 59040 .
Vậy S8  18.
1 3

2
u4 
Câu 2. Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 
27 .Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;
u3  243u8


Lời giải
Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
 3 2
 3 2

1
u1q  27
u1q 
q 


27
3

u q 2  243.u q7
q 5  1

u  2
 1
 1
1

243
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số
10

1
 3  1
10
  1 10  59048
q 1


S10  u1
 2.
 3 1     
.
1
q 1
3   19683




1
3
2

2

1 
1
1 


Câu 3. Tính các tổng sau: Sn   2     4    ...   2n  n 
2 
4
2 



2

Lời giải.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 12


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

1
1
1

 2  24  4  2  ...  22 n  2 n  2
2
2
2
2
1 
 1 1
  22  24  ...  22 n    2  4  ...  2 n   2n
2 
2 2
1
1

n
n
1 4 1
4n  1 
1 
4
 4.

 2n

4  n   2n.

1 4 4 1 1
3 
4 
4

Sn  22 

Câu 4. S n  8  88  888  ...  88
...8

n so 8

Lời giải.


8
Sn   9  99  999  99
...9 

9
n so 9 
8
 10  1  10 2  1  103  1  ...  10 n  1
9

8
 10  102  103  ...  10n   n 
9
80 10n  1 8

8  1  10n
 10.
 n

 n.

9  1  10
81
9


3
=
Câu 1.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
[1D3-4.5-2] Cho cấp số nhân  un  có u1  3 và q  2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của
cấp số nhân đã cho.
A. S10  511.

Câu 2.

B. S10  1025.

C. S10  1025.

D. S10  1023.

[1D3-4.5-2] Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi Sn là tổng của

n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
n 1

A. S n  4 .
Câu 3.

B. S n 

n 1  4n 1 
2

[1D3-4.5-2] Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.
A. S  2047 ,75.
B. S  2049 ,75.

Câu 4.

4n  1
.
. C. Sn 
3

D. Sn 

4  4n  1
3

.

1 1
; ; 1;  ; 2048. Tính tổng S của
4 2

C. S  4095,75.

D. S  4096 ,75.

Cho cấp số nhân  un  có u2  2 và u5  54. Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên
[1D3-4.5-3]
của cấp số nhân đã cho.
A. S1000 

1  31000
.
4

B. S1000 

31000  1
31000  1
. C. S1000 
.
2
6

D. S1000 

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

1  31000
.
6

Page 13

CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Câu 5.

[1D3-4.3-3] Cho cấp số nhân  un  có u1  6 và q  2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số
nhân đã cho bằng 2046. Tìm n.
A. n  9.
B. n  10.

Câu 6.

C. n  11. D. n  12.

[1D3-4.5-4] Gọi S  9  99  999  ...  999...9 ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây?
A. S 

 10n  1 
.
9



10n  1
.
9

B. S  10 

 10n  1 
C. S  10 
  n.
 9 
Câu 7.

 10n  1 
D. S  10 
  n.
 9 

[1D3-4.5-4] Gọi S  1  11  111  ...  111...1 ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

 10n  1 
B. S  10 
.
 81 

10n  1
.
A. S 
81

 10n  1 
  n.
81



C. S  10 

Câu 8.

D. S 

1   10 n  1  
10 
  n .
9  9  

S  1  2.5  3.52  ...  79.578 được viết dưới dạng
315 b
b
a
.5  a   ,b    . Tính giá trị biểu thức P  a  .
16
16
79
A. P  4.
B. P  5.
C. P 
D. P  20.
.
16

[1D3-4.5-4] Kết quả của tổng

Lời giải
Từ giả thiết suy ra 5 S  3  2.5 2  3.53  ...  79.579 . Do đó
4 S  S  5 S  1  5  52  ...  578  10.579 

Vì S 

1  579
1 315.579
1 315 79
 79.579   
S 
.5 .
1 5
4
4
16 16

1 315 79
315 b
1
1 79

.5  a 
.5  a  , b  79  P  
 5.
16 16
16
16
16 16

Chọn đáp án B.
Câu 9.

21.3b

b
. Tính P  a  .
4
4
C. P  3.
D. P  4.

[1D3-4.5-4] Biết rằng S  1  2.3  3.32  ... 11.310  a 
A. P  1.

B. P  2.

Lời giải
Từ giả thiết suy ra

3S  3  2.32  3.33  ...  11.311 .

2 S  S  3S  1  3  32  ...  310 10.311 

1
4

Vì S  

Do đó

1 311
1 21.311
1 21
11.311   

 S   .311.
1 3
2
2
4 4

21.311
21.3b
1
1 11
a
 a  , b  11 
 P    3. Chọn C.
4
4
4
4 4

Câu 10. [1D3-4.5-3] Cho cấp số nhân  un  có S2  4 và S3  13. Tìm S5 .
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 14


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

A. S5  121 hoặc S5 
C. S5  114 hoặc S5 

181
.
16

B. S5  121 hoặc S5 

185
.
16

D. S5  141 hoặc S5 

35
.
16

183
.
16

Lời giải
Chọn A
Ta có u3  S3  S2  9  u1q 2  9  u1 
Vì S2  4 nên u1  u1q  4. Do đó

9
q2

9 9
3

  4  4q 2  9q  9  0  q  3 hoặc q   .
2
4
q
q

+ Với q  3 thì u1  1, u6  u1q 5  243. Suy ra S5 
+ Với q  

u1  u6 1  243

 121.
1 q
1 3

u  u 181
3
243
thì u1  16, u6  
.
. Suy ra S5  1 6 
4
64
1 q
16
Vậy phương án đúng là A.

Câu 11. [1D3-4.5-3] Cho cấp số nhân  un  có u1  8 và biểu thức 4u3  2u2  15u1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính S10 .
A. S10 

2  411  1
5.49

.

B. S10 

2  410  1
5.48

.

C. S10 

210  1
.
3.26

D. S10 

211  1
3.27

Lời giải
2

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Khi đó 4u3  2u2  15u1  2  4q  1  122  122, q.
10

 1
1   
10
2  410  1
1 q
1
4

 8.

Dấu bằng xảy ra khi 4q  1  0  q   . Suy ra: S10  u1.
1 q
5.48
4
 1
1   
 4
Vậy phương án đúng là B.
Câu 12. [1D3-4.5-4] Cho cấp số nhân  un  có u1  2, công bội dương và biểu thức u4 
nhỏ nhất. Tính S  u11  u12  ...  u20 .
A. S  2046.
B. S  2097150.

C. S  2095104.

1024
đạt giá trị
u7

D. S  1047552.

Lời giải
Chọn C
Gọi q là công bội của cấp số nhân, q  0. Ta có u4 

1024
512
 2q 3  6 .
u7
q

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 15


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 2q 3 

Suy ra u4 

Ta có S10 

512
512
512
 q 3  q 3  6  3 3 q 3 .q 3 . 6  24.
6

q
q
q

512
1024
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 24 khi q3  6  q  2.
q
u7

u1 1  q10 
1 q

11

 2  2; S10 

u1 1  q 20 
1 q

 221  2.

Do đó S  S20  S10  2095104. Vậy phương án đúng là C.

u4  u6  540
Câu 13. [1D3-4.5-3] Cho cấp số nhân  un  có 
. Tính S 21 .
u3  u5  180
A. S 21 

1 21
 3  1
2

C. S 21  1  321.

B. S 21  321  1.
D. S 21  

1 21
 3  1 .
2

Lời giải
Ta có u4  u6  540   u3  u5  q  540.
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được q  3. Lại có u3  u5  180
 u1  q 2  q 4   180.

Vì q  3 nên u1  2. Suy ra S21 

u1 1  q 21 
1 q



1 21
 3  1 .
2

Vậy phương án đúng là A.

Câu 14. [1D3-4.5-2] Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi S n là tổng của n số
hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
n 1

A. S n  4 .

B. S n 

n 1  4 n 1 
2

C.

.

4 n 1
Sn 
.
3

D. S n 

4 4 n 1
3

.

Lời giải
u  1
1 q n

1  4n
4 n 1
Cấp số nhân đã cho có  1

 S n  u1 .
 1.

. Chọn C.
q  4

1 q

1 4

Câu 15. [1D3-4.5-2] Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
các số hạng của cấp số nhân đã cho.
A. S  2047, 75.
B. S  2049, 75.

C.

3

1 1
; ; 1; ; 2048.
4 2

S  4095, 75.

Tính tổng S của tất cả

D.

S  4096, 75.

Lời giải
Cấp số nhân đã cho có

u1  1
1
 2048  211  u1q n1  .2n1  2n2  n  13.
4 


2
q  2

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 16


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng. Vậy
S13  u1 .

1 q13 1 1 213
 .

 2047, 75 

1 q
4 1 2

Chọn A.

DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ NHÂN

1
=

PHƯƠNG PHÁP.

2
=

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1. Chu kì bán rã của ngun tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng
của ngub tố đó chỉ cịn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng cịn lại của
20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).
Lời giải
Kí hiệu un (gam) là khối lượng cịn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã.
Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cần tính u53 .
Từ giả thiết suy ra dãy ( un ) là một cấp số nhân với số hạng đầu là u1 

20
 10 và cơng bội
2

52

1
q=0,5. Do đó u53  10.   2 ,22.1015 .
2
Câu 2. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích
của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế
2
tháp (có diện tích là 12 288 m ). Tính diện tích mặt trên cùng.

Lời giải
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có cơng bội q 

u1 

1
và
2

12 288
 6 144. Khi đó diện tích mặt trên cùng là
2

u11  u1q10 

6144
 6.
210

Câu 3. Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp
đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên
thắng hay thua bao nhiêu?
Lời giải
Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u1  20 000 và cơng
bội q  2.
Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 17


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

S9  u1  u2  ...  u9 

u1 1  p 9 
1 p

 10220000

9
Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là u10  u1 .p  10240000

Ta có u10  S9  20 000  0 nên du khách thắng 20 000.
Câu 4. Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm lập thành CSN.

x 3   5  m  x 2   6  5m  x  6 m  0
Lời giải

x 3   5  m  x 2   6  5m  x  6 m  0   x  m   x 2  5 x  6   0
x  m
  x  2

 x  3
Để 3 nghiệm lập thành CSN xét 3 TH
2

m  6

TH1: 3  m  2  m  6  

m 6

 m   6

TH2: 3  2  m  4  3m  m  

4
3

TH3: m  3  2  9  2m  m  

9
2

Vậy có 3 giá trịn của m thỏa mãn
Câu 5. Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7000000đ một tháng. Sau 36 tháng
người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng

với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép( nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của
tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển
ngay vào ngân hàng.
a) Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được ( cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm trịn
đến hàng nghìn)
b) Hỏi sau 60 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được ( cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm
tròn đến hàng trăm)
Lời giải
a) Đặt a  7.000.000 (đồng), m  20% , n  0,3% , t  7% .
Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là T1  am(1  n)1 .
Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
T2  (T1  am)(1  n)  am(1  n) 2  am(1  n)1 .

..........
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 18


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
T36  am(1  n)36  am(1  n)35  ...  am(1  n)  am.(1  n)

(1  n)36  1
n

Thay số ta được T36  53 297 648,73 (đồng).
b) Hết tháng thứ 37, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

T37  T36  a(1  t )m (1  n)  T36 .(1  n)1  a(1  t )m.(1  n)
Hết tháng thứ 38, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

T38  T37  a(1  t )m (1  n)  T36 .(1  n)2  a(1  t )m (1  n)2  (1  n)  .
..........
Hết tháng thứ 60, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

T60  T36 (1  n) 24  a(1  t )m (1  n)24  (1  n)23  ...  (1  n) 
 T36 (1  n) 24  a(1  t )m.(1  n)

(1  n) 24  1
.
n

Thay số và tính ta được tổng số tiền tiết kiệm sau 60 tháng của người đó là:
T60  94 602 156,59 (đồng).

3
=
Câu 1.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
[1D3-4.4-3] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt





lập thành một cấp số nhân: x 3  7 x 2  2 m 2  6 m x  8  0.

A. m  7.

B. m  1.

C. m  1 hoặc m  7. D. m  1 hoặc m  7.
Lời giải
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có

x1 ,x2 ,x3 lập thành một

x1 x2 x3  8.

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có

x1 x3  x22 . Suy ra ta có x23  8  x2  2.

m  1
m 2  6m  7  0  
 m  7
Với nghiệm x=2, ta có
2
+ Điều kiện đủ: Với m  1 hoặc m  7 thì m  6 m  7 nên ta có phương trình

x 3  7 x 2  14 x  8  0.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 19


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1, 2 , 4. Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một
cấp số nhân với công bôị q  2.
Vậy m  1 và m  7 là các giá trị cần tìm.
Câu 2.

Chọn đáp án D.

[1D3-4.7-3] Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ
nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng:
A. 560.
B. 1020.
C. 2520.
D. 1680.
Lời giải.
Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A  B  C  D ) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu
với công bội q. Ta có
q  3
2
3

A  B  C  D  360  A 1  q  q  q   360 



 A  9

 A  D  252.


 3


 D  27 A
3
 Aq  27 A
 D  Aq  243

Câu 3.

[1D3-4.7-3] Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng
nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện
tích của đế tháp (có diện tích là 12 288 m2 ). Tính diện tích mặt trên cùng.
A. 6 m2 .
B. 8 m2 .
C. 10 m2 .
D. 12 m2 .
Lời giải
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có cơng bội q 
u1 

12 288
 6 144.
2

và

Khi đó diện tích mặt trên cùng là
u11  u1q10 

Câu 4.

1
2

6144
6
210

[1D3-4.7-2] Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc
1
nhỏ nhất bằng số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.
9
0
0
0
A. 5 ,15 , 45 , 2250. B. 90 , 270 ,810 , 2430. C. 70 , 210 , 630 , 2690.D. 80 ,320 , 720 , 2480.
Lời giải
Gọi các góc của tứ giác là a, aq, aq 2 , aq3 , trong đó q  1.
1
Theo giả thiết, ta có a  aq 2 nên q  3.
9

Suy ra các góc của tứ giác là a,3a,9a, 27a.
Vì tổng các góc trong tứ giác bằng 3600 nên ta có: a  3a  9a  27a  3600  a  90.
Do đó, phương án đúng là B (vì trong ba phương án cịn lại khơng có phương án nào có góc
90 ).

Câu 5.

[1D3-4.5-2] Cho cấp số nhân  an  có a1  7, a6  224 và Sk  3577. Tính giá trị của biểu thức

T   k  1 ak .
A. T  17920.

B. T  8064.

C. T  39424.

D. T  86016.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 20


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Lời giải
Ta có a6  224  a1q 5  224  q  2 (do a1  7 ).
Do Sk 

a1 1  q k 
1 q

 7  2k  1 nên Sk  3577  7  2k  1  3577  2k  29  k  9.

Suy ra T  10a9  10a1q 8  17920.
Vậy phương án đúng là A.
Câu 6.

[1D3-4.6-3] Các số x  6 y, 5 x  2 y, 8 x  y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời
các số x 1, y  2, x  3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x2  y 2 .
A. x 2  y 2  40.
B. x 2  y 2  25.
C. x 2  y 2  100.
D. x2  y 2  10.
Lời giải
 x  6 y   8 x  y   2 5 x  2 y 
Theo giả thiết ta có 
 x  1 x  3 y    y  2 2


 x  3 y




x  3 y
 x  6 .
 
2 
2 
3 y 13 y  3 y    y  2 




 y  2

0   y  2 

Suy ra x 2  y 2  40. Chọn A.
Câu 7.

[1D3-4.6-3] Ba số x ; y ; z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời
các số x ; 2 y; 3 z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với cơng sai khác 0. Tìm giá trị của q .
1
3

1
9

A. q  .

1
3

B. q  .

C. q   .

D. q  3.

Lời giải
2



 y  xq; z  xq  x  3 xq 2  4 xq  x 3q 2  4q  1  0   x  0
.



3q 2  4q  1  0

 x  3z  2  2 y 



Nếu

x0 y z0

công sai của cấp số cộng:

x; 2 y ; 3 z

bằng 0 (vơ lí).

q  1

1
 1.
1  q  q 
q 
3

3

Nếu 3q 2  4q 1  0  

Câu 8.

[1D3-4.6-3] Các số x  6 y, 5 x  2 y, 8x  y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời,
5
các số x  , y  1, 2 x  3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
3
3
1
3
1
A. x  3, y  1 hoặc x  , y  . B. x  3, y  1 hoặc x   , y   .
8
8
8
8
C. x  24, y  8 hoặc x  3, y  1 .D. x  24, y  8 hoặc x  3, y  1

Lời giải
+ Ba số x  6 y,5 x  2 y,8 x  y lập thành cấp số cộng nên

 x  6 y   8x  y   2 5x  2 y   x  3 y .
Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 21

CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

5
+ Ba số x  , y  1, 2 x  3 y lập thành cấp số nhân nên
3

5
2

 x    2 x  3 y    y  1 .
3


1
Thay x  3 y vào ta được 8 y 2  7 y  1  0  y  1 hoặc y  .
8

1
3
Với y   1 thì x  3 ; với y  thì x  .
8

Câu 9.

8

[1D3-4.6-3] Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các
số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
2

2

2

Tính F  x  y  z .
A. F  389. hoặc F  395.
C. F  389. hoặc F  179.

B. F  395. hoặc F  179.
D. F  441 hoặc F  357.
Lời giải

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có x  z  2 y .
Kết hợp với giả thiết x  y  z  21 , ta suy ra 3 y  21  y  7 .
Gọi d là cơng sai của cấp số cộng thì x  y  d  7  d và z  y  d  7  d .
Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x  2, y  3, z  9 hay
9  d ,10,16  d .
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có

 9  d 16  d   102  d 2  7d  44  0 .

Giải phương trình ta được d  11 hoặc d  4 .
Với d  11 , cấp số cộng 18, 7,  4 . Lúc này F  389 .
Với d  4 , cấp số cộng 3, 7 ,1 1 . Lúc này F  179 .
Câu 10. [1D3-4.6-3] Cho bố số a , b , c , d biết rằng a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân cơng
bội q 1 ; cịn b, c, d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng a d 14 và bc 12.
A. q 
Giả sử

18  73

.
24
a, b, c

B. q 

19  73
.
24

C. q 

20  73
.
24

D. q 

21  73
.
24

Lời giải
lập thành cấp số cộng cơng bội q. Khi đó theo giả thiết ta có:


b  aq, c  aq 2 aq  d  2aq 2

1





b  d  2c
 a  d  14
2



a  d  14

2

a q  q   12 3

b  c  12




Nếu
Nếu

q0bc0d

Vậy

q
 0, q 
  1,

(vơ lí)

q   1  b  a; c  a  b  c  0

(vơ lí).

từ (2) và (3) ta có: d 14a và

a

12
q  q2

thay vào (1) ta được:

12 q
14q 2  14q 12
24 q 3


 12 q 3  7 q 2 13q  6  0
q  q2
q  q2
q  q2
 q  112q 2  19q  6  0  q 

19  73
24

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 22


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Vì q 1 nên q 

19  73
.
24

Chọn B.

Câu 11. [1D3-4.7-3] Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi
suất là 0, 7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu
tiền?
5

5

A. 108.  0, 007  (đồng)

B. 108. 1, 007  (đồng)

6

6

C. 108.  0, 007  (đồng)

D. 108. 1,007  (đồng)
Lời giải

Chọn D.
8

Số tiền ban đầu là M0 10 (đồng).
Đặt r  0, 7%  0, 007 .
Số tiền sau tháng thứ nhất là M1  M0  M0r  M0 1  r  .
2

Số tiền sau tháng thứ hai là M 2  M 1  M 1r  M 0 1  r  .
Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là
6
Do đó M 6  108 1, 007  .

M 6  M 0 1  r 

6

.

Câu 12. [1D3-4.7-3] Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1, 2%. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu
người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao
nhiêu?
A. 10320 nghìn người.
B. 3000 nghìn người.

2227
C.
nghìn người.
D. 2300 nghìn người.
Lời giải
Chọn C.
6

Đặt P0  2000000  2.10 và r  1, 2%  0, 012 .
Gọi

Pn là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.

Ta có: Pn1  Pn  Pn r  Pn 1  r  .
Suy ra  Pn  là một cấp số nhân với số hạng đầu

P0 và công bội

q  1 r .

9

10

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là: P9  M 0 1  r   2.106 1, 012   2227000 .
Câu 13. [1D3-4.7-3] Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đơi một lần.
Nếu lúc đầu có 1012 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
A. 1024.10 12 tế bào.
B. 256.1012 tế bào.
C. 512.1012 tế bào.

D. 512.1013 tế bào.
Lời giải
Chọn C
Lúc đầu có 10 22 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số
22

nhân với u1  10 và công bội q  2 .
Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9lần phân chia tế bào. Ta có
9

u10 là số tế bào

12

nhận được sau 3 giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là u10  u1q  512.10 .

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 23


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG –
CẤP SỐ NHÂN

III

BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN

III
==

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN
Câu 1:

Trong các dãy số  un  sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
B. un  2n .

A. un  3n .

C. un 

1
.
n

D. un  2n  1 .

Lời giải
Chọn B
un
2n
Ta thấy, với n  2, n   dãy số  un   2 có tính chất:


 2 nên là cấp số nhân với
u n 1 2 n 1
n

công bội q  2, u1  2 .
Câu 2:

un được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?
A. un 

1
.
2 n 1

1
B. un  n 2  .
2

C. un 

1
1 .
2n

1
D. un  n 2  .
2

Lời giải
Chọn A

1
1 1
un  n 1  .  
2
4  2

n 1

là số hạng tổng quát của một cấp số nhân có u1 

1
1
và q  .
4
2

1
1
7 1
17 7
có u1  ; u2   .7; u3 
 .7 nên không phải số hạng tổng quát của một
2
2
2 2
2 2
cấp số nhân.
un  n 2 

1
1
3
1 3
7
3 3
 1 có u1   ; u2     . ; u3     . nên không phải số hạng tổng quát
n
2
2
4
2 2
8
4 2
của một cấp số nhân.
un 

1
3
9 3
19 9
un  n 2  có u1  ; u2   .3; u3 
 .3 nên không phải số hạng tổng quát của một
2
2
2 2
2 2
cấp số nhân.

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935

Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 24


CHUYÊN ĐỀ III – ĐS>11 – CHƯƠNG III – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Câu 3:

Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
n

C. un  2n .

B. un  n2 .

A. un   1 n .

D. un 

n
.
3n

Lời giải
Lập tỉ số

un1
un
n 1

 1 .  n  1   n  1  u không phải cấp số nhân.
u
A: n 1 
 n
n
un
n
 1 .n
2

 n  1  u không phải là cấp số nhân.
u
B: n 1 
 n
un
n2

Câu 4:

C:

un 1 2n 1
 n  2  un1  2un   un  là cấp số nhân có cơng bội bằng 2 .
un
2

D:

un 1 n  1


  un  không phải là cấp số nhân.
un
3n

Cho dãy số un  có số hạng tổng quát là un  3.2 n1  n  *  . Chọn kết luận đúng:
A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu u1  12 .
B. Dãy số là cấp số cộng có cơng sai d  2 .
C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu u1  6 .
D. Dãy số là cấp số nhân có cơng bội q  3 .
Lời giải
Chọn A
Dãy số un  có số hạng tổng quát là un  3.2 n 1  n  *   un1  3.2 n  2 .
Xét thương

un1 3.2 n2

 2  const với  n   * nên dãy số un  là một cấp số nhân có cơng
n 1
un
3.2
11

bội q  2 và có số hạng đầu là u1  3.2
Câu 5:

Dãy nào sau đây là một cấp số nhân?
A. 1, 2, 3, 4,... .
B. 1,3,5, 7,... .

12 .
C. 2, 4,8,16,... .

D. 2, 4, 6,8,...

Lời giải
Chọn C
Ta có: 2, 4,8,16,... là cấp số nhân có số hạng đầu u1  2 và công bội q  2 .
Câu 6:

1
1 1
1
;  ;
;  . Khẳng định nào sau đây là sai?
3
9 27
81
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
1
B. Dãy số này là cấp số nhân có u1  1; q=  .
3
1
n
C. Số hạng tổng quát. un   1 . n 1
3
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Lời giải
Chọn A
Cho dãy số: 1;

Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935
Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP HUẾ – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12

Page 25