bài tập và bài giải chi tiết toán lũy thừa, bài tập mũ, bài tập logarit- bản màu đẹp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (815.21 KB, 43 trang )
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
( Trang 1 – 11 )
ĐẠO HÀM
( Trang 13 – 16 )
GIỚI HẠN
( Trang 16 – 17 )
TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
( Trang 18 – 43 )
PHẦN 1
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
GIẢI
ĐÁP
TOÁN
CẤP
3
1. LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa):
1)
0
1a
2)
1
n
n
a
a
3)
m
n m
n
a a 4)
a a
5)
.a a a
6)
a
a
a
7)
.ab a b
8)
a a
b b
Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
+) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
GV: THANH TÙNG
PHẦN 1: HÀM SỐ
LŨY THỪA, HÀM SỐ
MŨ VÀ HÀM LÔGARIT
I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
Ví dụ
1: Tính giá trị
các biểu thức sau:
1
3
2
2
4 3
1
1
2
1) A =
4 8
2
3
2) B
=
(0,04) (0,125)
1,5
3
3) C =
0,5 625 2 19. 3
0,25
4
3 2 1 2 3 2
5 5 5
81. 3. 9. 12
847 847
4) D =
4 .2 .2
5) E
=
3
6) F
=
3 3
6 6
5
3 . 18. 27. 6
5
27 27
Giải:
3
2
3 2
1)
A
=
4 8 2 2 2 2 12
2
3
2 3 3 2
2 3
3 2
2)
B
=
(0,04) (0,125) 5 2 5 2 121 11
1,5 2 3 3 2
2
3
25 8
1 1
2 3
2 3
3 2
3
4 3
1 3 1
1 2
2
1
4
1
2
3)
C
=
0,5 625 2 19. 3 2 5 19.
0,25 1 4
4 2 ( 3)
4
3
4
3 19 2 19
3 3
2 5 11 10
2 27 3 27
4)
D =
4 .2 .2 2 .2 2 16
3 2 1 2 3 2 6 2 2 2 2 2 4
4 1 2 2
1
5 5 5
81. 3. 9. 12 3 .3 .3 .2.3 3 1 3
5 5 5 5
2
1
5)
E
=
3 3 9
3
2
5
3 . 18. 27. 6
5
3 .3.2 .3 .2 .3
10 5
1 3
2 2 2
1 1 1
3
10
3
3
6)
F
=
3 3
6 6
847 847
. Ta áp dụng hằng đẳng thức :
a b a b ab a b
3
3 3
3
27 27
847 847 847 847 847 847
F 6 6 3 6 . 6 6 6
3
3 3 3 3
27 27 27 27 27 27
Trang 2
GV: THANH TÙNG
F 12 3. 36 .F 12 5F F 5F 12 0 F 3 F 3F 4 0
3 3 2
3
847
27
F = 3
hoặc
F 3F 4 0
2
(vô nghiệm).
Vậy F
= 3.
Ví dụ
2: Đơn giản các biểu thức sau (giả
sử
các biểu thức có nghĩa):
1) A
=
3
a a
2
4
2) B
=
7
b a
a b
5
35
4
3) C
=
a a b a b
4 2 4 4 4
3 1 1 1 1
a b a b a
2 2
1 1
: .
a b
4 4
1 1
1
b
a a
1 1
2
1 1
2
b b
2
4) D
=
1 2 :
b b
a b
2 2
5) E
=
a b b b
2 2
: 2
a a
1 1
2
a b
3 3
a b
ab ab b
4
1
6) F
=
3
ab
: 2
3 3
b a
7) G
=
ab
a ab b ab
: .
a b
4
8) H
=
a b
a b a b
2 2
2 2 2 2
3 3 1 1
1 1
ab
2
1
a b
2
9) I
=
a ab b
2 2
3 3
a a b b
2 4
4 1
3 3
3
8
. 1 2
3
a
1
a
2
3
1 1
3
2 2
4
1 9 1
3 3
Giải:
1)
A
=
a a a a a a a
.
4 4 2
35
35
1 5
4
2)
B =
7
b a a a a a b
a b b b b b a
5
4
1 1
5 5
1 4
7 4
1 1 1 1
1 1
a b a b a a b a b b
2 2 2 2
1 1 1 1
3)
C
=
a a b a b a b
4 2 4 4 4 4 4
3 1 1 1 1 1 1
: . : .
a b a b
4 4 4 4
b a
a a b
2 4 4
1 1 1
1 1 1 1 1
a b a a b a b a b a b a
2 2 2 2 2
. . . . 1
1
a a b a b
2 4 4 4 4
1 1 1 1 1
b b a b
a a b
2 2 2
1 1 1
1 1
2
2
2
b a
2
1 1
4)
D
=
1 2 : 1 : .
a a a
a b a b
2 2
2
b b b b b
a b
1 1
2
b b b b
2
2 2
2
2
5)
E
=
a b b b a b b a b a b
2 2
: 2 : :
a a
a a
a b
2
.
a a
2
b a b
b
Trang 3
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A =
2
3
5
2
32
2) B =
3
3
2 2 2
3) C =
1
5 13 7 1 1
2
3 3
2 4 4 2
3 .5 :2 : 4: 5 .2 .3
4) D =
7
2
4
0,75
7
6 (0,2)
5) E =
7 4 3
4 5 2
( 18) .2 .( 50)
( 225) .( 4) .( 108)
6) F =
3 1 3 4 2 2
3 2 0 2 3
2 .2 5 .5 (0,01) .10
10 :10 (0,25) 10 (0,01)
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
1) A =
3
3
a a a 2) B =
5 3 5( 5 1)
2 2 1
2 2 1
.a a
a
3) C =
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
4) D =
3 3
6 6
a b
a b
GV: THANH TÙNG
1 1 1 1
2 2
a b a b
3 3 3 3
a b ab
2
3 3 3 3 3
ab a a a b
2 2 2
3
6)
F
=
: 2 : . 1
3 3
2
3 3 3 3
ab ab ab ab
b a
3 3
a b
ab ab b a ab ab ab a b
4
1 1
7)
G
=
ab
: . . .
a ab b ab a ab ab b b ab
a b
4 4 4
a ab a b a ab
a b a b
a
a ab ab b
. .
a a b b a b
2
1 1 1 1
2
3 3 1 1 1 1
a b a a b b
2 2 2 2
1 1
8)
H
=
a b a b
a b a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
ab a b
2
1
a b
2 2
a b a b
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
2
1 1
a b
2 2
=
a a b b 2
2 2
1
1 1 1 1
2 2
a b a b
2 2 2 2
4 1
1
a a b b a b
3 3
8 2
1 1
2 2
a a b
3
8
3 3
9)
I
=
2 2 2 1 1 2
. 1 2 .
3
a a
3 3
3
a ab b a a b b
3 3 3 3 3 3
2 4 2 4
3
a
a
3 3 3 3 3 3 3 3 3
a a b a a b a ab b
3 3 2 2 2
2 2 2 2
. 0
3
a
a a a a
2 2 2 2
3 3 3 3
a ab b
2 2
3 3
2 4
3
3 3
a b
2
3 3 3 3 3
a b a ab b 2 2 2
2 2
B. BÀI LUYỆN
Trang 4
GV: THANH TÙNG 9 –
2. LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa
log
a
b
có nghĩa khi
0 1
0
a
b
1) log 1 0
a
2) log 1
a
a 3) log log log ( )
a a a
b c bc 4)
log log log
a a a
b
b c
c
5)
log
a
b
a b
6)
log log
log log
1
log log
a
a a
a
a
a
b b
b b
b b
7)
1
log .log 1 log
log
log .log log
log
log
log
a b a
b
a b a
a
b
a
b a b
a
b c c
c
c
b
Chú ý: +) Lôgarit thập phân :
10
log log lgb b b
+) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log ln
e
b b
(
2,71828e
)
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ
1: Tính giá trị
các biểu thức sau:
1)
A
=
log log 2
3
2 2
3
2)
B
=
log 3.log 36
6
3
3)
C
=
log 5.log
1 25
27
1
3
1 1
3
2 9
log 27 log 81
1 125
4)
D
=
3
9
2log 3
5
5)
E=
25
5
6)
F
=
log 27 2
3 2 2
log 2 log 27
9 8
1 1
7)
G =
lg 25 49
log 6 log 8
5 7
e
ln3
8) H
=
9 4 10
log 3 log 2
6 8
log99
9)
I
=
lg 81 27 3
log 5 log 36 2log 71
3 9 9
10)
J
=
4 36 81
1 2log
2
4
7
log 2 0,25 0,5log
6 9
7
11)
K
=
log (log 8)
3 2
12)
L =
log log (log 256) log log (log 64)
2013 4 2 0,25 9 4
13)
M
log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7
3 4 5 6 7 8
14)
N
lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan88 ) lg(tan89 )
0 0 0 0
Giải:
1)
A
=
log log 2 log log 2 log . log log 3 2
3 3 3 3 3
2 2
3
2
2
3
6
1
6 3 9
1 2 1
2
2)
B
=
log 3.log 36 log 36 log 6 4
6 6
3
1
2
6
2
1 3 15
3
3)
C
=
log 5.log log 5.log 3 ( 5). .log 5.log 3
1 25 3 5
1 2
3
27 2 2
3 5
3log 5
3
3
2
2
4)
D
=
3
9 3 3 5
2log 3
5
3 3
log 5
1 1
2 9
log 27 log 81
1 125
1 1
log log3 3
3 4
1 log 3 log 3
2 8
1 2log 3 log 3
2
5)
E
25 5 5 5 5.5 5.9 45
5 3 3 5 5
2
2 9
5 5
1 3
5 5
Trang 5
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) A =
2 3
4
5
log
a
a a a 2) B =
log log 2 log log log 1
a b a ab b
b a b b a
3) C =
3
5
1
lg log
a
a a
4) D =
2 2 4
2 2 2
3
2 2
2
log log 1
1
log 2 log log
2
log . 3log 1 1
a
a
a a a a
a a
GV: THANH TÙNG
6)
F
=
log 27 2 log 3 2 log 3 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2
log 2 log 27
9 8
3
log 2
3
2
log 3
2 2 2
3
3
3
log 2
3
log 3
2
3
3
log 3 2 log 2 3 log 3 2 2 1
3 2 2 3 2 2
log 2
3
log 3
2 2
3 2 2
1
7)
G
=
lg 25 49 lg 5 7 3 lg 5 7 3
log 6 log 8 log 6 log 8
5 7 5 7
e
ln3 2 2
log 6 log 8
5 7
2 2
lg 6 8 3 lg10 3 2 3 1
2 2 2
1 1
8)
H =
9 4 10 3 2 99 3 2 99 6 8 99 1
log 3 log 2 log 6
6 8 3
log99
2 2
log 6 log 8
3 2
2
log 8
2
2
2 2
9)
I
=
lg 81 27 3 lg 3 3 3
log 5 log 36 2log 71
3 9 9 3
4 3
log 5 log 6
3 2
3
2
2log 71
2
lg 3 3 3 lg 5 6 71 lg 29 71 lg100 2
log 5 log 6 log 71
3 3 3
4 3
4 3
10)
J
4 36 81 2 6 3
1 2log
2
4
7
log 2 0,25 0,5log
6 9
7
2
1 2log
2
4
7
2 4
log 2 0,25 .log
6 2
2
1
3
7
2 3 4 3
2
6 4 3
log
6
4
2
4log
2
4
7
3
log 7
3
7 7
11)
K =
log (log 8) log log 2 log 3 1
3 2 3 2 3
3
12)
L
=
log log (log 256) log log (log 64) log log (log 2 ) l
2013 4 2 0,25 9 4 2013 4 2 0,25 9 4
8 3
og log (log 4 )
log log 8 log log 3 log log 2 log log log 1 0
2013 4 0,25 9 2013 2013 2013
2
2 2
3
2
1
2 2 2
1 3 1
1
13)
M
log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7 log 7.log 6.l
3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 8
og 5.log 4.log 3.log 2 log 2
3
14)
N
lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan88 ) lg(tan89 )
0 0 0 0
lg(tan1 ) lg(tan89 ) lg(tan 2 ) lg(tan88 ) lg(
0 0 0 0 0 0 0
tan 44 ) lg(tan 46 ) lg(tan 45 )
lg tan1 .tan89 lg tan 2 .tan88 lg tan 44 .tan 46
0 0 0 0 0 0 0
lg tan 45
lg tan1 .cot1 lg tan 2 .cot 2 lg tan 44 .cot 44 lg
0 0 0 0 0 0 0
tan 45
lg1 lg1 lg1 lg1 0 0 0 0 0
Trang 6
Ví dụ 3: Cho log 3
a
b ;log 2
a
c . Tínhlog
a
x
biết: 1)
3 2
x a b c
2)
4
3
3
a b
x
c
3)
2
3
33
log
a
a bc
x
a cb
Giải: Cho
log 3
a
b
;
log 2
a
c
1) Với
3 2
x a b c
1
3 2 3 2
2
1 1
log log log log log 3 2log log 3 2.3 . 2 8
2 2
a a a a a a a
x a b c a b c b c
2) Với
4
3
3
a b
x
c
1
4
3
4 3
3
3
1 1
log log log log log 4 log 3log 4 .3 3. 2 1
3 3
a a a a a a a
a b
x a b c b c
c
3) Với
2
3
33
log
a
a bc
x
a cb
1 5 5
5 8
3
2 2
3
3 3 6
3 3 2
1 1 8
33
3
3 6 3
log log log log log log log
a a a a a a a
a bc a b c a c
x a b c
a cb
a b c b
5 8 5 5 8 5
log log .3 2 8
3 3 6 3 3 6
a a
b c
GV: THANH TÙNG
Giải:
1)
A
=
log log . . log . log . log
a a a a a
a a a a a a a a a a a
2 3 2 3 2 24
5
4
5 5 5 5
1 16 4 14
4
1
14
5
1
2)
B
log log 2 log log log 1 log 2 log .log log .log 1
a b a ab b a a b ab b
b a b b a b b a b a
log
a
b
log 2log 1
2
b b
log 1b
2
1
a a
1 log 1 . 1 1
ab
a
a
log log log
a a a
b b ab
log 1 log 1b b
2 2
1
log
b
a a
. 1 1 . 1 log 1 1 log
a
a a
b b
log 1 log log 1 log
a a a a
b b b b
1
5
5
1
2
3
5
10
3
1 1
3)
C
=
lg log lg log . lg log lg log lg lg 1
1 1 1 3
a a a a a a
2
a a a
3 3 3
a
10 10
log 2 log log
2 2 2
a a a a
2 2 4
log log 1
a
2
a
2
1
1 2log log . log 1 8log
2 2 2 2
a a a a
2
4)
D
=
3
log . 3log 1 1 3log . 3log 1 1
2 2 2 2
a a a a
9log 3log 1
2 2
2
a a
1
9log 3log 1
2
2 2
a a
Trang 7
2) B =
25
log 15
biết
15
log 3 a
. Ta có:
15 3
3 3
1 1 1 1
log 3 log 5 1
log 3.5 1 log 5
a
a
a a
B =
3 3 3
25
2
3 3 3
1
1
log 15 log (3.5) 1 log 5
1
log 15
1
log 25 log 5 2log 5 2 1
2.
a
a
a
a
a
3) C =
log 40
biết
2
3
1
log
5
a
. Ta có:
1
3
2 2
2
3
1
2
2
1 2 3
log log 5 log 5 log 5
3 2
5
a
a
C =
3
2 2 2
2 2 2
3
3
log 40 log (2 .5) 3 log 5 6 3
2
log40
3
log 10 log (2.5) 1 log 5 2 3
1
2
a
a
a
a
4) D =
6
log (21,6) biết
2
log 3 a và
2
log 5 b
Ta có: D =
2 3
2
2
2 2
6
2 2 2
2 .3
log
log 21,6
2 3log 3 log 5 2 3
5
log (21,6)
log 6 log 2.3 1 log 3 1
a b
a
5) E =
35
log 28 biết
14
log 7 a và
14
log 5 b
Ta có:
14
7 7
1 1
log 7
log 2.7 1 log 2
a
7
1 1
log 2 1
a
a a
7 7
14 7 7
7 7
log 5 log 5
1
log 5 log 5 (1 log 2) . 1
log 7.2 1 log 2
a b
b b b
a a
E =
2
7 7 7
35
7 7 7
1
1 2.
log 28 log (7.2 ) 1 2log 2
2
log 28
log 35 log (7.5) 1 log 5
1
a
a
a
b
a b
a
GV: THANH TÙNG
Ví dụ
4: Hãy biểu diễn theo a
( hoặc cả
b
hoặc c) các biểu thức sau:
1) A
=
log 0,16
20
biết
log 5
2
a
2) B
=
log 15
25
biết
log 3
15
a
1
3) C
=
log 40
biết
log
2
a
4)
D
=
log (21,6)
6
biết
log 3
2
a
và
log 5
2
b
3
5
5) E
=
log 28
35
biết
log 7
14
a
và
log 5
14
b
6) F
=
log 24
25
biết
log 15
6
a
và
log 18
12
b
7) G
=
log 30
125
biết
lg3
a
và
lg2
b
.
8) H
=
log
3
5
49
biết
log 7
25
a
và
log 5
2
b
.
8
9) I
=
log 63
140
biết
log 3
2
a
;
log 5
3
b
;
log 7
2
c
10) J
=
log 35
6
biết
log 5
27
a
;
log 7
8
b
;
log 3
2
c
Giải:
2
log
1)
A =
log 0,16
20
biết
log 5
2
a
. Ta có:
A =
log 0,04
20
log
20
2 1 3
3 2
2
5
3
1 3log 5
2
a
5 log (2 .5) 2 log 5 2
2 2
a
Trang 8
8) H =
3
5
49
log
8
biết
25
log 7 a và
2
log 5 b .
Ta có:
2 2 2
25 2
2 2
log 7 log 7 log 7
log 7 log 7 2
log 25 2log 5 2
a ab
b
H =
3
2
2 2
3
2
1
5
3
2 3
2
2
49
7
log log
2log 7 349 2.2 3 12 9
8
2
log
1 1
8
log 5
log 5
log 5
3 3
ab ab
b
b
9) I =
140
log 63
biết
2
log 3 a
;
3
log 5 b
;
2
log 7 c
Ta có :
2 2 3
log 5 log 3.log 5 ab
I =
2
2
2 2 2
140
2
2 2 2
2
log 3 .7
log 63 2log 3 log 7 2
log 63
log 140 2 log 5 log 7 2
log 2 .5.7
a c
ab c
10) J =
6
log 35
biết
27
log 5 a
;
8
log 7 b
;
2
log 3 c
2 2 2
27 2
2 2
2 2
8 2
2
log 5 log 5 log 5
log 5 log 5 3
log 27 3log 3 3
log 7 log 7
log 7 log 7 3
log 8 3
a ac
c
b b
J =
2 2 2
6
2 2
log 35 log 5 log 7 3 3
log 35
log 6 1 log 3 1
ac b
c
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức:
1) A =
3
log
b
a
b
a
biết log 3
a
b . 2) B =
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
biết
2013 2a
;
2 2012b
GV: THANH TÙNG
6)
F
=
log 24
25
biết
log 15
6
a
và
log 18
12
b
log 15 log 3 log 5
2 2 2
log 18 1 2log 3
2 2
log 2.3
2
2
Ta có:
a
log 15
(1)
b
log 18
(2)
6
log 6 1 log 3
2 2
12
log 12 2 log 3
2 2
log 2 .3
2
2
1 2
b
Từ
(2)
b b b(2 log 3) 1 2log 3 ( 2)log 3 1 2 log 3
2 2 2 2
b
2
1 2 2 1 b b a ab
Từ
(1)
log 5 1 log 3 log 3 1 log 3 1
2 2 2 2
a a a a a
b b 2 2
1 2
b
log 24 3 log 3
2 2
log 2 .3
2
3
3
b
2
b
5
F
=
log 24
25
log 25 log 5 2log 5 4 2 2 2
2 2 2
2
2.
2 1b a ab
b a ab
b
2
7)
G
=
log 30
125
biết
lg3
a
và
lg2
b
.
10
lg30 1 lg3 1
lg 3.10
a
Ta có:
b b lg2 lg 1 lg5 lg5 1
5
G
=
log 30
125
lg125 3lg5 3 1
lg 5
3
b
Trang 9
2) B =
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
biết
2013 2a
;
2 2012b
B =
1 1
1 9 1 3
2 2
4 2
4 4 2 2
1 5 1 1 1 1
4 4 2 2 4 2
1 1
1 1 2013 2 2 2012 1
1 1
a a b b
a a b b
a b a b
a a b b a a b b
Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
1)
log log
log ( )
1 log
a a
ac
a
b c
bc
c
2)
log logc a
b b
a c
3) Nếu
2 2
4 9 4a b ab
thì
2 3 lg lg
lg
4 2
a b a b
4) Nếu
2 2
4 12a b ab
thì
2013 2013 2013 2013
1
log ( 2 ) 2log 2 (log log )
2
a b a b
5) Nếu
1
1 lg
10
b
a
;
1
1 lg
10
c
b
thì
1
1 lg
10
a
c
6) Nếu
12
log 18a ;
24
log 54b thì:
5( ) 1ab a b
7)
2 2
log log
a a
b c
c b
8) Trong 3 số:
2 2
log ;log
a b
b c
c a
b c
và
2
log
c
a
b
a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
Giải:
1)
log log
log ( )
1 log
a a
ac
a
b c
bc
c
. Ta có:
log
log log log
log ( )
1 log log log log
a
a a a
ac
a a a a
bc
b c bc
bc
c a c ac
(đpcm)
2)
log logc a
b b
a c
. Đặt
log
b
c
a t
log
log
log log
log
log
t
b
b b
t
t t t
b b b
c
c a
a a a
a a
a c
c b c b b a
(đpcm)
GV: THANH TÙNG
Giải:
3
b
1)
A =
log
b
biết
log 3
a
b
.
a
a
3
b
1
1
1 1 1 1
A =
log log log b a
3
2
b b b
a b b
1 1
a a a
3log 2log
3 log 2 log 1
b a
a b
b a
a a
2 2
1 1 1 2 3 3 3
2log 2log 3
a a
b b
3
1 1
log 2 3 log 2 log 2 3 log 2 3
a a a a
b b b b
3 3 2
2 log
a
b
3)
Nếu
4 9 4a b ab
2 2
thì
lg
2 3 lg lga b a b
4 2
2
2 3a b
2
Ta có:
4 9 4 4 12 9 16 2 3 16a b ab a ab b ab a b ab ab
2 2 2 2
4
2 3 2 3 2 3 lg lga b a b a b a b
2
lg lg 2lg lg lg lg
ab a b
(đpcm)
4 4 4 2
Trang 10
6) Nếu
12
log 18a ;
24
log 54b thì:
5( ) 1ab a b
Ta có:
2
2
2 2
12 2 2 2
2
2 2
2
log 2.3
log 18 1 2log 3
1 2
log 18 2 log 3 1 2log 3 log 3
log 12 2 log 3 2
log 2 .3
a
a a
a
(1)
3
2
2 2
24 2 2 2
3
2 2
2
log 2.3
log 54 1 3log 3
1 3
log 54 3 log 3 1 3log 3 log 3
log 24 3 log 3 3
log 2 .3
b
b b
b
(2)
Từ (1) và (2)
1 2 1 3
1 2 3 1 3 2 5( ) 1
2 3
a b
a b b a ab a b
a b
(đpcm)
7)
2 2
log log
a a
b c
c b
Ta có :
2
2 1 2 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a
b b c c c c
c c b b b b
(đpcm)
GV: THANH TÙNG
4)
Nếu
a b ab
2 2
4 12
thì
log ( 2 ) 2log 2 (log log )
2013 2013 2013 2013
a b a b
1
2
2
a b
2
2
Ta có:
a b ab a ab b ab a b ab ab
2 2 2 2
4 12 4 4 16 2 16
4
log log 2 log 2 2log 2 log log
2013 2013 2013 2013 2013 2013
a b
4
2
2
ab a b a b
1
log ( 2 ) 2log 2 (log log )
2013 2013 2013 2013
a b a b
(đpcm)
2
1
1
1
5)
Nếu
a
10
1 lg
b
;
b
10
1 lg
c
thì
c
10
1 lg
a
1 1
Ta có:
a a b 10 lg lg10 lg 1
1 lg 1 lg b b
1 1 lg 1a
(1)
1 lg lg lg
b a a
1 1
b b 10 lg lg10
1 lg 1 lg c c
1
(2)
1 lg
c
1 1
Từ
(1) và (2)
lg 1 1 lg 1a a
lg 1 10 10 10c c
lgc
1 lg 1 lg a a
(đpcm).
lg 1 lg lg 1 1 lga c a a
8)
Trong ba số:
log ;log
2 2
a b
c a
và
log
2
c
b
luôn có ít nhất một số
lớn hơn 1.
b c
a
b c
a
c b
a c
b a
Áp dụng công thức ở
ý 7)
ta có:
log log
2 2
a a
;
log log
2 2
b b
;
log log
2 2
c c
b c
c a
a b
b b
c c
a a
2 2 2 2 2 2 2
c a b b c a b c a
2
log .log .log log .log .log log .log .log 1 1
a b c a b c a b c
b c a b c a b c a
b c a c a b c a b
Trong ba số
không âm:
log ;log
2 2
a b
c a
và
log
2
c
b
luôn có ít nhất một số
lớn hơn 1.
b c
a
b c
a
Trang 11
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A =
4
1
25
log 5 5
2) B =
2 1
8
log 8.log 4
3) C =
1
3
5
1
log .log 5 5
9
4) D =
5
3 2log 4
5
5) E =
3 27
1
log 2 2log 3
2
9
6) F =
3
2
log 2
log 3
4 9
7)
G =
log 6 log 8
5 7
1 log 4 log 272 log 3
9 125
2
25 49 3
3 4 5
8) H =
3 8 6
log 6.log 9.log 2 9) I
3 6
6 9
log 4.log 8
log 4.log 8
10) J =
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
11) J
252 4 4
16 5
1 1
log 49log 3 log 9 log 9
1
log 25 log 3
(27 5 )(81 8 )
3 5 .5
12) K
2
6 6 1 3
2
1
1
log 5 log 2log 3
3 7 9
1 1
log log 27 log 16 9 4 log tan
3 12 4
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) A =
log log 2 log log log
a b a ab b
b a b b a
2) B =
2
4
3 3
1
log .log
log
a a
a
a a
a
Bài 3: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
1) A =
1
2
log 28
biết
7
log 2 a 2) B =
6
log 16 biết
12
log 27 a . 3) C =
49
log 32 biết
2
log 14 a
4) D =
54
log 168
biết
7
log 12 a
và
12
log 24 b
5) E =
30
log 1350
biết
30
log 3 a
và
30
log 5 b
6) F =
3
7
121
log
8
biết
49
log 11 a và
2
log 7 b . 7) G =
3
log 135 biết
2
log 5 a và
2
log 3 b .
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
1) A = log
ab
b
a
biết log 5
a
b . 2) B =
3
log log
c a
a b c
c biết log 5
a
b và log 3
a
c
Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
1)
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
2) Nếu
2 2 2
a b c
thì
log log 2log .log
b c c b c b c b
a a a a
3) Nếu
2 2
7a b ab
thì
7 7 7
1
log log log
3 2
a b
a b
4) Nếu
2 2
9 10a b ab
thì
1
log 3 log2 log log
2
a b a b
GV: THANH TÙNG
B. BÀI LUYỆN
Trang 12
GV: THANH TÙNG 9 –
II. ĐẠO HÀM
1)
1
1
1
'
' . '
'
'
n
n n
x x
u u u
u
u
n u
2)
' ln
' ' ln ' '
'
x x
u u u u
x x
a a a
a u a a e u e
e e
3)
1
log '
ln
' '
log ' ln '
ln
1
ln '
a
a
x
x a
u u
u u
u a u
x
x
Chú ý : 4)
' .( ln )'
v v
u u v u (Tổng quát của (1) và (2))
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ
1: Tính đạo hàm của các hàm số
sau:
1)
y x x
3
2)
y e e
x x3 1
5
cos sinx x
3)
y x x e
2
2 2
x
4)
y x x x ln 1 log 1
2 2
2
5)
y x
3
ln
2
6)
y
log
2
x
x
4
4
1
x
ln 1 lnx x
ln(2 1)x
7)
y
log
2
x
8)
y
x x1 ln
9)
y
2 1x
10)
y
e e
e e
x x
x x
11)
y x x x ln 1 log (sin 2 )
2
3
12)
y x log (2 1)
x
13)
y x (2 1)
x1
Giải:
1
1
1)
y x x
3
y
'
2
x
2 2
2 1x
(áp dụng công thức
n
u
'
u
'
1
)
3 6 .
3 3
x x x x x
n u
n
n
2)
y e e
x x3 1
5
cos sinx x
x x
y e x x e x x' 3. ( sin cos ).5 ln5 3 (sin cos ).5 ln5
e e
3 1 cos sin 3 1 cos sinx x x x x x
2
e
x
2
3)
y x x e
2
2 2
x
y x e x x e x e' 2 2 2 2
x x x
2 2
4)
y x x x ln 1 log 1
2 2
2
y
'
2 2 1x x
x
2
1
x x
2
1 ln 2
1
5)
y x
3
ln
2
y
'
2.(ln ).
3 ln
3
x
4
x
x
3 lnx x
3
2
8
x
4
x
4
2
8
6)
y
log
2
x
4
y
'
x
4
ln 2
x
2
16 ln 2
x
4
Trang 13
9)
ln(2 1)
2 1
x
y
x
2 1
. 2 1 .ln 2 1
2 ln 2 1
2 1
2 1
'
2 1
2 1 2 1
x x
x
x
x
y
x
x x
10)
x x
x x
e e
y
e e
2 2
2 2
4
'
x x x x
x x x x
e e e e
y
e e e e
11)
2
3
ln 1 log (sin 2 )y x x x
2
2 2
1
2cos2 1 2cot2
1
'
sin 2 ln3 ln 3
1 1
x
x x
x
y
x
x x x
12)
ln 2 1
log (2 1)
ln
x
x
y x
x
2 2
2 1
ln ln 2 1
2 ln 2 1 ln 2 1
2 1
'
ln 2 1 ln
x x
x x x x
x x
y
x x x x
13)
1
(2 1)
x
y x
1
ln ln 2 1 1 ln 2 1
x
y x x x
(*)
2 1
'
ln 2 1
2 1
x
y
x
y x
(đạo hàm 2 vế của (*) )
1
2 1
' ln 2 1 . 2 1
2 1
x
x
y x x
x
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
'' 2 ' 2 0y y y
với
sin
x
y e x
2)
' 1
y
xy e
với
1
ln
1
y
x
3)
' ( ln 1)xy y y x
với
1
1 ln
y
x x
4)
2
' '' 0y xy x y
với
sin(ln ) cos(ln )y x x
5)
2 2 2
2 ' 1x y x y với
1 ln
(1 ln )
x
y
x x
6)
2 ' ln 'y xy y
với
2
2 2
1
1 ln 1
2 2
x
y x x x x
GV: THANH TÙNG
1
x
'
2
1 1
x x
.2 . 1x x
1
1
x
1
x
2
x
4x
x
1
7)
y
log
2
x
y
'
1 1 1 x x x
ln10 ln10 4 . ln10x
2 1 ln10x x
2 2 2x x x
1 1 1
ln 1 lnx x
x x x
. ln 1 ln 1 lnx x x x
1 ln 2 x
8)
y
y
'
2 2
2 2
x x1 ln
x x
1 ln 1 ln x x x
Giải:
1)
y y y'' 2 ' 2 0
với
y e x
x
sin
y e x e x e x x' sin cos cos sin
x x x
Ta có:
y e x
x
sin
y e x x e x x e x'' cos sin sin cos 2 cos
x x x
y y y e x e x x e x'' 2 ' 2 2 cos 2 cos sin 2 sin 0
x x x
(đpcm)
y
1
2)
xy e' 1
với
y
ln
1
x
Trang 14
Ta có:
2
1
ln
1
1
1
' 1 1
1
1 1
1 1
ln ' ' 1
1
1 1
1
1
1
y
y
x
x
xy
x
x x
y y xy e
x x
e e
x
x
(đpcm)
3)
' ( ln 1)xy y y x
với
1
1 ln
y
x x
. Ta có:
2 2
1
1
1
1
'
1 ln
1 ln 1 ln
x
x
y y
x x
x x x x x
2
2
1
'
1 ln
' ( ln 1)
1
1 ln
ln 1 1
1 ln 1 ln
1 ln
x
xy
x x
xy y y x
x
y y x
x x x x
x x
(đpcm)
4)
2
' '' 0y xy x y với
sin(ln ) cos(ln )y x x
Ta có:
2 2
1 1 cos(ln ) sin(ln )
' cos(ln ) sin(ln )
sin(ln ) cos(ln )
1 1
sin(ln ) cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )
2cos(ln )
''
x x
y x x
x x x
y x x
x x x x x
x
x x
y
x x
2
' '' sin(ln ) cos(ln ) cos(ln ) sin(ln ) 2cos(ln ) 0y xy x y x x x x x (đpcm)
5)
2 2 2
2 ' 1x y x y
với
1 ln
(1 ln )
x
y
x x
Ta có:
2
2 2 2
2 2 2
1 1
. 1 ln 1 ln . 1 ln
1 ln ln 1 ln
1 ln
'
1 ln 1 ln 1 ln
x x x x x
x x x
x x
x
y
x x x x x x
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 1 ln
1 ln
2 ' 2 .
1 ln 1 ln
2 1 ln
1 ln 1 ln
1 . 1 1
(1 ln ) (1 ln )
1 ln
x
x
x y x
x x x
x
x x
x y x
x x x
x
2 2 2
2 ' 1x y x y
(đpcm).
6)
2 ' ln 'y xy y
với
2
2 2
1
1 ln 1
2 2
x
y x x x x
Ta có:
2
2
2
2
2
1
1
1
2 1
' 1 .
2
1
1
x
x
x
x x
y x x x
x
x x
GV: THANH TÙNG
=
x x x x x
2 1 1 2 1 1x x x x
2 2 2
2 1
x
2
2
1
2 1 2 1 2 1 2 1x x x x
2 2 2 2
2 1 1
x x x
2 2
xy y x x x x x x x x x x' ln ' 1 ln 1 1 ln 1
2 2 2 2 2
2 ' ln 'y xy y
(đpcm)
2 1 2ln 1 1 ln 1y x x x x x x x x x x
2 2 2 2 2 2
Trang 15
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
3 2
1y x x 2)
3 1
(2 1)
x
y x e
3)
1
3
x x
y xe
4)
2
2
2 2
x
y
x x
5)
3 1
.cos2
x
y e x
6)
2
(sin cos )
x
y x x e
7)
1 ln lny x x 8)
ln( 1)
1
x
y
x
9)
2
ln(cos )
x
y e x
10)
2 2
ln 1y x x 11)
2
2
( )log (2 )
x x
y x x e x
12) ln sin(3 1)
x
y
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
2
' (1 )
xy x y
với
2
2
x
y xe
2)
'
x
y y e
với
( 1)
x
y x e
3)
''' 13 ' 12 0y y y
với
4
2
x x
y e e
4)
'cos sin '' 0y x y x y
với
sin x
y e
5)
'' 2 '
x
y y y e
với
2
1
2
x
y x e
6)
2
2
2
' ( 1)
1
x
xy
y e x
x
với
2
( 1)( 2013)
x
y x e
III. GIỚI HẠN
1)
1
0
1
lim 1 lim 1
x
x
x x
x e
x
2)
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
3)
0
1
lim 1
x
x
e
x
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ : Tính các giới hạn sau:
1)
lim
1
x
x
x
x
2)
2 1
1
lim
2
x
x
x
x
3)
ln 1
lim
x e
x
x e
4)
0
lim
sin
x x
x
e e
x
5)
3
0
ln(1 )
lim
2
x
x
x
6)
5 3 3
0
lim
2
x
x
e e
x
7)
0
1
lim
1 1
x
x
e
x
8)
0
ln(1 2 )
lim
tan
x
x
x
9)
10
lg 1
lim
10
x
x
x
GV: THANH TÙNG
B. BÀI LUYỆN
Giải:
x
x
1)
L
1
lim
x
1
x
x
x x
1
1 1
x t (1 )
Ta có:
L
1
lim lim 1
Đặt
:
x x
1 1 x x
1
x t
x t ;
1 1 1 1 1
1
t
L
1
lim 1 lim lim
1
t t t
t e e
1 1 1
t t
1.
1 1 1
t t t
Trang 16
B. BÀI LUYỆN
Tính các giới hạn sau:
1)
1
1
lim 1
x
x
x
x
2)
2
0
1
lim
3
x
x
e
x
3)
1
lim
1
x
x
e e
x
4)
sin2 sin
0
lim
x x
x
e e
x
5)
1
lim 1
x
x
x e
GV: THANH TÙNG
2 1 2 1
3 1
x
1 3
x x
x t3 2
2)
L
2
lim lim 1
Đặt
x t
2
x x
x x 2 2
x t ;
1 1 1
6 3 3t t
6
6 3 6
L e e
2
lim 1 lim 1 . 1 .1
x x
t t t
ln 1x
3)
L
3
lim
x e
x e
t e t
Đặt
t x e
x t e
L
3
lim lim lim .
ln( ) ln 1 1t e e
ln ln 1
e e
x e t ; 0
t t t 0 0 0
t t e e
t
e
x
1
e e e e e
x x x x x
e
e
x
2 2 2
1 1 1 1 2 1 2
4)
L
4
lim lim lim lim lim . . 1. . 2
x x x x x 0 0 0 0 0
sin sin sin 2 1 1x x e x x e
x x
sin sinx x
x
2 . .x e
2x x
ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) x x x x
3 3 3 2
5)
L
5
lim lim lim . 1.0 0
x x x 0 0 0
2 2x x
x
3
.
2
3
2
x
e e e e e e e
5 3 3 5 5 3 3 3x x x
1 1 5 5 5
3
6)
L e
6
lim lim . lim . 1.
x x x 0 0 0
2 5 2 2 2x x
5 .x
2
5
x x
1 1
e x
x
1 1 1
7)
L x
7
lim lim lim . 1 1 1.0 0
x x x 0 0 0
x
e e
1 1
x x
ln(1 2 ) ln(1 2 ) ln(1 2 ) ln(1 2 ) 1 1 x x x x
8)
L x
8
lim lim lim lim . .2cos 1. .2.1 2
x x x x 0 0 0 0
tan 2 1x x
sin sin 1 sinx x x
2 . .x
cos 2cosx x x x
lg 1x
9)
L
9
lim
x10
x
10
t t 10
Đặt:
t x L 10 lim lim lim .
x t 10
9
lg( 10) lg10 1 1t
lg lg 1
10 10
x t 10; 0
t t t 0 0 0
t t
t
10 10
10
Trang 17
Trang 18
*) Tính đơn điệu:
*) Các bất đẳng thức:
1)
0 1
log log
b c
a a
a a
a b c
b c
2)
1
log log
b c
a a
a a
a b c
b c
3)
0 1
0 1
log 0
1
1
a
a
b
b
a
b
và
0 1
1
log 0
1
0 1
a
a
b
b
a
b
4)
0
0
0
a b
a b
a b
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Không dùng bảng số và máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
1)
3
0,01
và
1000
2)
2 2
2
và
3
2
3)
4
3 1
và
3
3 1
4)
3
log 2 và
2
log 3 5)
2
log 3 và
3
log 11 6)
5
2
5
7
và
1
7)
5
6
0,7
và
1
3
0,7 8)
3
2 và
2
3 9)
0,4
log 2 và
0,2
log 0,34
10)
2 1
2
2log 5 log 9
2
và
626
9
11)
6
log 1,1
3
và
6
log 0,99
7
12)
1
3
1
log
80
và
1
2
1
log
15 2
13)
2011
log 2012 và
2012
log 2013 14)
13
log 150 và
17
log 290 15)
3
log 4 và
10
log 11
Giải:
1)
3
0,01
và
1000
. Ta có:
3
3
2 2 3 3
0,01 10 10 ; 1000 10
2 3 3
3
0,01 1000
2)
2 2
2
và
3
2
. Ta có:
1
2
và
2 2 3
2 2 3
2 2
3)
4
3 1
và
3
3 1
. Ta có:
1 1
3
4
4 3
3 1 3 1 ; 3 1 3 1
1 1
0 3 1 1;
4 3
3
4
3 1 3 1
4)
3
log 2 và
2
log 3 . Ta có:
3 3 2 2 3 2
log 2 log 3 1 log 2 log 3 log 2 log 3
5)
2
log 3 và
3
log 11 . Ta có:
2 2 3 3 2 2
log 3 log 4 2 log 9 log 11 log 3 log 11
GV: THANH TÙNG
IV. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
GV: THANH TÙNG 9 –
Trang 19
6)
5
2
5
7
và
1
. Ta có:
5
0
2
5
0
5 5
2
1
7 7
5
0 1
7
7)
5
6
0,7
và
1
3
0,7
. Ta có:
2
2
5 1
5 5 4 1
6 36 36 3
6 3
0 0,7 1
5 1
6 3
0,7 0,7
8)
3
2
và
2
3 . Ta có:
3
6 2
3
3
3
2
2 2 8
3 3 3 9
3
3
3 2 3 2
2 3 2 3
9)
0,4
log 2 và
0,2
log 0,34
. Ta có:
0,4
0,2
0 0,4 1; 2 1 log 2 0
0 0,2 1; 0 1 0,34 log 0,34 0
0,4 0,2
log 2 log 0,34
10)
2log 5 log 9
2 1
2
2
và
626
9
Ta có:
2log 5 log 9
25
2 1
log
log 25 log 9
2
9
2 2 2
25
2 2 2
9
625 626
9 9
2log 5 log 9
2 1
2
626
2
9
11)
6
log 1,1
3
và
6
log 0,99
7
. Ta có:
6
6 6
6
log 1,1
0
6
log 1,1 log 0,99
log 0,99
0
6
log 1,1 0 3 3 1
3 7
log 0,99 0 7 7 1
12)
1
3
1
log
80
và
1
2
1
log
15 2
Ta có:
1
1 3 3
3
3
1 1
1
3 2
1 2 2
2
2
1
1
1
log log 80 log 80 log 81 4
80
1 1
log log
1
80
15 2
log log 15 2 log 15 2 log 16 4
15 2
13)
2011
log 2012 và
2012
log 2013
Ta luôn có :
1
log 1 log 2
n n
n n
với
1n
(*) . Thật vậy :
+) Ta có :
2 2
1 1
1 2 1 2 1 log 1 log 2
n n
n n n n n n n n
hay
1 1
2 log log 2
n n
n n
(1)
+) Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
1 1 1 1
log log 2 2 log .log 2
n n n n
n n n n
(2)
( (2) không xảy ra dấu
'' "
vì
1 1
log log 2
n n
n n
)
+) Từ (1) và (2)
1 1 1 1
2 2 log .log 2 1 log .log 2
n n n n
n n n n
1 1
1
1
log 2 log 1 log 2
log
n n n
n
n n n
n
(đpcm)
Áp dụng (*) với 2011n
2011
log 2012
2012
log 2013
GV: THANH TÙNG 9 –
Trang 20
14)
13
log 150 và
17
log 290 . Ta có:
13 13 17 17 13 17
log 150 log 169 2 log 289 log 290 log 150 log 290
15)
3
log 4
và
10
log 11
Ta luôn có :
1
log ( 1) log ( 2)
a a
a a
với
0 1a
(*)
.Thật vậy :…
(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )
Áp dụng liên tiếp (*) ta được :
3 4 5 6 7 8 9 10
log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 log 9 log 10 log 11 hay
3 10
log 4 log 11 (đpcm)
Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A
5 15
1 0,3
3
log 3.log 4
14 7
log .log
5 2
B =
3
1
log 2 log 5
6
2 6
1 31
6 2
Giải:
A
5 15
1 0,3
3
log 3.log 4
14 7
log .log
5 2
Ta có:
5
15
1
3
0,3
5 1; 3 1 log 3 0
15 1; 4 1 log 4 0
1 14 14
0 1; 1 log 0
3 5 5
7 7
0 0,3 1; 1 log 0
2 2
A
5 15
1 0,3
3
log 3.log 4
14 7
log .log
5 2
0
B =
3
1
log 2 log 5
6
2 6
1 31
6 2
Ta có:
6 6 6 6
6
1 2
log 2 log 5 log 2 log 5 log
2 5
1
1 2
log 2 log 5 log
5
2
6 6
2 6 5
log
log
6
6
2
5
1 1 5
6 6
6 6 2
3
3 3
5 125
2 8
. Mặt khác:
3 3
31 124
2 8
Mà:
3 3
125 124
8 8
3
1
log 2 log 5
6
2 6
1 31
6 2
B =
3
1
log 2 log 5
6
2 6
1 31
6 2
0
Ví dụ 3: Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:
1) 2 ;
64
5
log
3
4
2 ;
6
2
;
log 2
9
3
2 2)
4
2log 5;
3
log
4
;
2
4
log
3
;
9
1
log
4
Giải:
1)
2
;
5
log
643
4
2 ;
6
2
;
log 2
9
3
2
Ta có:
1
2
2 2
;
1
2
5
5
1 55
log
3log
loglog
2
6
2643
4
4
2 2 4
4
5 5
2 2 2 2
4 4
;
log 2
3
log 2 log
9 3
3 3 3 2
1
2
2
2 2 2 2
Mà:
1
log 2
9
2 3
6 6
2
1
2 2 2 2 2 2 2
6 2
(1)
Mặt khác:
1
1
2
2
5 5
2 2
4 4
hay
5
log
643
4
2 2
(2)
Từ (1) và (2) :
5
log 2
log
9
643 3
6
4
2 2 2 2
thứ tự giảm dần là:
log 2
9
3
2 ;
6
2
;
2
;
5
log
643
4
2
GV: THANH TÙNG 9 –
Trang 21
2)
4
2log 5;
3
log
4
;
2
4
log
3
;
9
1
log
4
Ta có:
4 2
2log 5 log 5 ;
2 2
2
4 4 16
log 2log log
3
3 3
;
2
9 32
3
1 1 1
log log log
4 2 2
Mà:
3 3
3 2
2 2
1 1
log log
2 4 2 4
log 0 log 5
4
16 16
5 log 5 log
3 3
3 3 2 2
1 16
log log log 5 log
2 4 3
hay
9 3 4
2
1 4
log log 2log 5 log
4 4
3
thứ tự giảm dần là:
2
4
log
3
;
4
2log 5
;
3
log
4
;
9
1
log
4
Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
ln ln
ln
2 2
a b a b
với
1a
;
1b
. 2) log log
a a c
b b
với
, 1a b
và
0c
3) log log ( )
a a c
b b c
với 1 a b và 0c 4)
1
log ( 1) log ( 2)
a a
a a
với 0 1a
5)
log log log
3
3
b c a
c a b
a b c abc với
, ,a b c
dương và khác 1.
Giải: 1)
ln ln
ln
2 2
a b a b
với
1a
;
1b
.
Vì
1a
;
1b
nên
ln a
,
lnb
và
ln
2
a b
không âm. Ta có :
+)
1
ln ln ln ln ln
2 2 2 2
a b a b a b
ab ab a b
(1)
+) ln ln 2 ln lna b a b (áp dụng BĐT Cauchy)
2
2 ln ln ln ln 2 ln ln ln lna b a b a b a b hay
2
1
ln ln ln ln
2
a b a b
(2)
Từ (1) và (2)
2
1
ln ln ln
2 4
a b
a b
hay
ln ln
ln
2 2
a b a b
(đpcm)
2) log log
a a c
b b
với
, 1a b
và 0c
Vì
, 1a b
và
0c
0 log log
b b
a a c
1 1
log log
log log
a a c
b b
b b
a a c
(đpcm)
Dấu
" "
xảy ra khi : 0c
3)
log log ( )
a a c
b b c
với
1 a b
và
0c
Ta có : log log ( )
a a c
b b c
log 1 log ( ) 1 log log
a a c a a c
b b c
b b c
a a c
Với
1 a b
và
0c 1
b b c
a a c
nên
log log
a a
b b c
a a c
(*)
Mặt khác áp dụng kết quả ý 2) ta được :
log log
a a c
b c b c
a c a c
(2*)
Từ (*) và (2*) log log ( )
a a c
b b c
(đpcm) . Dấu
" "
xảy ra khi : 0c hoặc a b .
GV: THANH TÙNG 9 –
Trang 22
4)
1
log ( 1) log ( 2)
a a
a a
với 0 1a
Theo kết quả ý 3) ta có :
log log ( )
a a c
b b c
với
1 a b
và
0c
Áp dụng với
1b a
và
1c
ta được :
1
log ( 1) log ( 2)
a a
a a
(đpcm)
5)
3
log
log log
3
c
a b
b c a
a b c abc
với
, , 1a b c
Ta có :
log log log log log log log
log log log
2 . 2
c a c a a a b
b b b a
b b b a b a b a b
a c a c c c c c c
(1)
Vì
, 1a b
nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm log
b
a và log
a
b ta được :
log log 2 log .log 2
a b a b
b a b a (2)
Từ (1) và (2)
2
log
log
2 2
c
b
b a
a c c c
hay
log
log
2
c
b
b a
a c c
Chứng minh tương tự ta được :
log
log
2
c
a
b c
a b a
log log
2
a b
c a
b c b
log
log log
2 2
c
a b
b c a
a b c a b c hay
log
log log
c
a b
b c a
a b c a b c (*)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có :
3
3a b c abc
(2*)
Từ (*) và (2*)
3
log
log log
3
c
a b
b c a
a b c abc
(đpcm)
Ví dụ 5: Không sử dụng máy tính hãy chứng minh rằng:
1)
2 3
5
2 log 3 log 2
2
2)
1 3
2
1
log 3 log 2
2
Giải:
1)
2 3
5
2 log 3 log 2
2
Áp dụng BĐT Cauchy ta được :
2 3 2 3
log 3 log 2 2 log 3.log 2 2 (1)
( (1) không có dấu
" "
vì
2 3
log 3 log 2 )
Ta có :
2 3 2
2
5 1 5
log 3 log 2 log 3 0
2 log 3 2
2
2 2
2log 3 5log 3 2 0
2 2
2log 3 1 log 3 2 0 (*)
Mặt khác :
2
2
2log 3 1 0
log 3 2 0
(*) đúng
2 3
5
log 3 log 2
2
(2)
Từ (1) và (2)
2 3
5
2 log 3 log 2
2
(đpcm)
2)
1 3
2
1
log 3 log 2
2
Ta có :
1 3 2 3
2
1
log 3 log log 3 log 2
2
(1)
Chứng minh như ý 1) ta được :
2 3 2 3
log 3 log 2 2 log 3 log 2 2 (2)
Từ (1) và (2)
1 3
2
1
log 3 log 2
2
(đpcm)
GV: THANH TÙNG 9 –
Trang 23
Ví dụ 6: Chứng minh rằng các hàm số:
1)
2 2
( )
2
x x
y f x
đồng biến trên
2)
2
( ) 3 1
x
y f x x x
nghịch biến trên
Giải:
1)
2 2
( )
2
x x
y f x
Ta có:
2 ln2 2 ln 2
'( ) 0
2
x x
f x
với
x
2 2
( )
2
x x
y f x
đồng biến trên
(đpcm)
2)
2
( ) 3 1
x
y f x x x
Ta có:
2 2
2 2
1
'( ) 3 ln3 1 3 1 3 1 ln3
1 1
x x x
x
f x x x x x
x x
Mà :
2 2 2
2 2
1 1 0
1 1
ln3 1 ln3 0
1 1
x x x x x x
x x
'( ) 0f x
với x
Vậy hàm số
2
( ) 3 1
x
y f x x x
nghịch biến trên
(đpcm)
Ví dụ 7: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1)
1
'( ) ( ) 0f x f x
x
với
3
( ) ln
f x x x
2)
'( ) 0f x
biết
2 1 1 2
( ) 2 7 5
x x
f x e e x
3)
'( ) '( )
f x g x
biết
( ) ln( 5)f x x x
;
( ) ln( 1)g x x
4)
'( ) '( )
f x g x
biết
2 1
1
( ) .5
2
x
f x
;
( ) 5 4 ln5
x
g x x
Giải:
1)
1
'( ) ( ) 0f x f x
x
với
3
( ) ln
f x x x
Điều kiện :
0x
Ta có:
3 2 3 2
1
( ) ln '( ) 3 ln . 3ln 1f x x x f x x x x x x
x
2 3 2
1 1
'( ) ( ) 0 3ln 1 . ln 0 4ln 1 0f x f x x x x x x x
x x
0x
(loại) hoặc
1
4
1
ln ln
4
x e
1
4
4
1
x e
e
. Vậy nghiệm của phương trình là:
4
1
x
e
2)
'( ) 0f x
biết
2 1 1 2
( ) 2 7 5
x x
f x e e x
Ta có:
2 1 1 2 2 1 1 2
( ) 2 7 5 '( ) 2 4 7
x x x x
f x e e x f x e e
2
2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
2 1
4
'( ) 0 2 4 7 0 2 7 0 2 7 4 0
x x x x x
x
f x e e e e e
e
2 1
2 1
1
2
4
x
x
e
e
2 1
1
2
x
e
1 1
2 1 ln ln
2 2 2
e
x x
. Vậy nghiệm của phương trình là:
1
ln
2 2
e
x
GV: THANH TÙNG 9 –
Trang 24
3)
'( ) '( )
f x g x
biết
( ) ln( 5)f x x x
;
( ) ln( 1)g x x
Điều kiện :
5x
Ta có:
1 4
( ) ln( 5) '( ) 1
5 5
x
f x x x f x
x x
;
1
( ) ln( 1) '( )
1
g x x g x
x
Với
5x
:
2
2
4 1
'( ) '( ) 4 1 5 6 9 0 3 0
5 1
x
f x g x x x x x x x
x x
(*)
Do (*) đúng với 5x .Nên nghiệm của bất phương trình là: 5x
4)
'( ) '( )
f x g x
biết
2 1
1
( ) .5
2
x
f x
; ( ) 5 4 ln5
x
g x x
Ta có:
2 1 2 1
1
( ) .5 '( ) 5 ln5
2
x x
f x f x
;
( ) 5 4 ln 5 '( ) 5 ln5 4ln5 5 4 ln5
x x x
g x x g x
2
2 1 2 1 0
4
'( ) '( ) 5 ln5 5 4 ln5 5 5 4 5. 5 5 4 0 5 1 5 0
5
x x x x x x x
f x g x x
Vậy nghiệm của bất phương trình là:
0x
Ví dụ 8: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1)
2
2
( 4)y x
2)
1
2
3
(6 )y x x
3)
3
1y x
4)
2
(3 9)
x
y
5)
2
3
log ( 3 )y x x
6)
2
4 4
log 2012
x x
y
7)
1
3
log ( 3) 1y x
8)
2
3
log 3 2 4y x x x
9)
3 8
0,5
2
log ( 1)
2
2 8
x x
x
y
x x
10)
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
Giải:
1)
2
2
( 4)y x
. Điều kiện :
2
2
4 0
2
x
x
x
TXĐ:
( ; 2) (2; )D
2)
1
2
3
(6 )y x x
. Điều kiện :
2 2
6 0 6 0 3 2x x x x x
TXĐ:
3;2D
3)
3
1y x
TXĐ: x
4)
2
(3 9)
x
y
. Điều kiện :
2
3 9 0 3 3 2
x x
x TXĐ:
\ 2D
5)
2
3
log ( 3 )y x x
. Điều kiện :
2
0
3 0
3
x
x x
x
TXĐ:
( ;0) (3; )D
6)
2
4 4
log 2013
x x
y
. Điều kiện :
2
2
2
2
2
4 4 0
2 0
1
4 4 1
4 3 0
3
x
x x
x
x
x x
x x
x
TXĐ:
\ 1;2;3D
7)
1
3
log ( 3) 1y x
Điều kiện :
1 1 1
3 3 3
1 1 10
log ( 3) 1 0 log ( 3) 1 log 0 3 3
3 3 3
x x x x
TXĐ:
10
3;
3
D
8)
2
3
log 3 2 4y x x x
Điều kiện :
2 2 2
3
log 3 2 4 0 3 2 4 1 3 2 3
x x x x x x x x x
GV: THANH TÙNG 9 –
Trang 25
2
2
2
3
3 0
1
1
3 2 0
1
2
2 3
3 0
2
3
3
3 2 3
7
3
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
TXĐ:
;1 2;D
9)
3 8
0,5
2
log ( 1)
2
2 8
x x
x
y
x x
Điều kiện :
0,5
2
3 8 0
log ( 1)
0
2 8
x x
x
x x
2 2
2 2
0,5
11
2
3 8 3 8
2
11
2 8 0 2 8 0
4
2
1 1
log 1 0
2
x
x x x x
x
x x x x x
x
x
x
x
TXĐ:
11
2
x
10)
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
. Đkiện :
2 2 2
1 5 5 5 5 5
5
1 1 1
log log 0 0 log 1 log 1 log log 5
3 3 3
x x x
x x x
2
2
2
3 1
2
0
2
2 1
1
3
1 5
2 7
3
3
5 14
0
3
2 7
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
TXĐ:
2; 1 2;7D
Ví dụ 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
1) ( ) 3
x x
f x
2)
2
sin
( ) 0,5
x
f x
3)
1 3
( ) 2 2
x x
f x
4)
2 2
sin cos
( ) 5 5
x x
f x
Giải: 1) ( ) 3
x x
f x
Cách 1: Ta có:
2
1 1 1 1 1
4 4 2 4 4
x x x x x
1
4 4
4
( ) 3 3 3 max ( ) 3
x x
f x f x
khi
1
4
x
Cách 2: Đk:
0x
Ta có:
1 1 2 1
'( ) 1 3 ln3 .3 ln3 0 1 2 0
4
2 2
x x x x
x
f x x x
x x
Ta có :
1
lim ( ) lim 3 lim 0
3
x x
x x
x x x
f x
bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
4
max ( ) 3f x
khi
1
4
x
