Cấu trúc rời rạc - Phép đếm pdf

LOGO
Phép đếm
Nhóm 7
Cấu trúc rời rạc
Chương II
Cấu trúc rời rạc
Nội dung
1
2 Phép đếm
Nhị thức Newton
Tập hợp
3
 Tập hợp bằng nhau:
Tập A được gọi là bằng tập B, nếu mọi phần tử của tập A
đều là phần tử của tập B và ngược lại mọi phần tử của B đều
là phần tử của A.
(∀ x ∈ A) ↔ (∀ x ∈ B)

Tập con:
Tập A được gọi là tập con của tập hợp X, nếu mọi phần tử
của A đều là phần tử của X, kí hiệu là A ⊆X.
(A ⊆ X) ↔ (∀ x ∈ A → x ∈ X)
I.Tập hợp
Ví dụ :
+ A= {a, b, c,d}, X = {a, b, c, d, x, y, z}
Khi đó A ⊆ X.
+ Z
2
={Tập các số chẵn},Z={Tập các số nguyên}
Khi đó Z
2

⊆ Z.
Nếu A là tập con của X và A không bằng X, thì A
được gọi là tập con thực sự của tập X, kí hiệu là A
⊂X.
Hình 1.1. Tập con
A
X
Text
+ Tập rỗng:
Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, kí
hiệu là ∅. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
Ví dụ 3: A= {Tập các nghiệm thực của phương trình:
x
2
+1= 0

} Khi đó A= ∅.
+ Tập các tập con:
Tập tất cả các tập con của A bao gồm cả tập rỗng và
A là một tập hợp. Kí hiệu là p(A).
Ví dụ 1.4 : Cho tập A= {2, 4, 6}
p(A)= {{2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}, {
∅ } }
Các phép toán trên tập hợp.
+ Phép hợp: Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp bao
gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đã
cho. Kí hiệu là A ∪ B.
x∈A ∪ B ⇔ x∈A ∨ x∈B.
A
B

A={1, 3, 5, 7}
B={2, 3, 4, 5}
A ∪ B ={1,2, 3, 4, 5, 7}
+ Phép giao: Giao của hai tập A và B là một tập hợp
bao gồm các phần tử thuộc cả hai tập đã cho.
Kí hiệu là A ∩ B .
x∈ A ∩ B ⇔ x∈A ∧ x∈B.
A
B
A={1, 3, 5, 7}
B={2, 3, 4, 5}
A ∩ B ={3, 5}
+ Phép hiệu : Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập
hợp bao gôm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc
B. Kí hiệu: A \ B
x∈A \ B ⇔ x∈A ∧ x∉B.
A
B
A={1, 3, 5, 7}
B={2, 3, 4, 5}
A \ B ={1,7}
+ Hiệu đối xứng: Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B
là một tập hợp. Kí hiệu là: A ⊕ B
x∈A ⊕ B ⇔ x∈ A ∪ B ∧ x∉ A ∩ B .
A
B
A={1, 3, 5, 7}
B={2, 3, 4, 5}
A ⊕ B ={1,2,4,7}
Phần bù :Cho A⊂E thì

E
A
\A E A=
E={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A={2, 3, 4, 5}
A ={1,6,7}
Tích Descartes:
A × B = {(a,b) |a∈A,b ∈B}
A
1
×A
2
×…×A
n
=
{(a
1
,a
2
,…,a
n
) |a
i
∈A
i
, i = 1,2,…,n}
Tổng quát:
{ }
i i i I i i
i I

A (x ) i I, x A
∈
∈
= ∀ ∈ ∈
∏
Tính chất của phép toán trên tập hợp
1) Tính luỹ đẳng:
A ∩ A = A và A ∪ A = A
2) Tính giao hoán:
A ∩ B = B ∩ A và A ∪ B = B ∪ A.
3) Tính kết hợp:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
và (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
4) Tính phân phối:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
và A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
5) Công thức De Morgan:
Suy ra:
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
và A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
BABAvaøBABA
∩=∪∪=∩
•
Lực lượng của tập hợp
Cho A là tập hợp hữu hạn.Số phần tử của tập A
ký hiệu là |A|.Ta có:
1) |A∪B| = |A|+ |B| - |A∩B| .
2) |A×B| = |A| |B|
3) |P (A)| = 2
|A|

,P (A) là tập các tập con của A
A={1, 3, 5, 7}; B={ 3, 5,6}; A∪B = {1,3,5,6,7}; A∩B={3,5}
|A| = 4; |B| = 3; |A∪B | = 5; |A∩B| = 2
P (A)=2
4
=16
•
Các phương pháp chứng minh
PP1: Chứng minh trực tiếp
Áp dụng phép suy diễn logic:
A
1
→ A
2
→ A
k
→ B
VD: Với mọi n nguyên thì n
2
– n + 5 là một số lẻ
CM: Với mọi n nguyên: n(n-1) là một số chẵn
→ n(n-1) +5 = n
2
– n + 5 là một số lẻ
•
Các phương pháp chứng minh
PP2: Chứng minh lựa chọn
VD: CMR với mọi n nguyên, 9n
2
+ 3n – 2 là một số chẵn.

CM: Ta có 9n
2
+ 3n – 2 = (3n+2) (3n-1). Xảy ra 2 TH
- TH1: 3n+2 là số chẵn → (3n+2) (3n-1) là số chẵn
-
TH2: 3n+2 là số lẻ → (3n+2)-3 là số chẵn
→ (3n+2)(3n-1) là số chẵn
•
Các phương pháp chứng minh
PP3: Chứng minh phản chứng:
Để chứng minh mệnh đề A đúng ta chỉ cần CMR phủ định
của A là sai.
Chú ý: Ta thường dựa vào công thức logic sau
A → B = B → A
VD: CMR nếu n là số nguyên và n
2
chẵn thì n chẵn.
Ta cần CM nếu n lẻ thì n
2
lẻ.
Mà n lẻ → n = 2m +1 → n
2
= 4m
2
+ 4m + 1 là số lẻ
•
Các phương pháp chứng minh
PP4: Chứng minh quy nạp:
CM mệnh đề “với mọi n ≥ n
0

ta có P(n) đúng”
- B1: Kiểm tra, CM P(n
0
) đúng
-
B2: Giả thiết rằng với n=k (k > n
0
), P(k) đúng, ta cần CM
P(k+1) đúng
Kết luận P(n) đúng với mọi n≥n
0

•
Các phương pháp chứng minh
PP4: Chứng minh quy nạp:
Áp dụng: Để đưa ra công thức tổng quát liên quan đến số
tự nhiên n thường vận dụng theo hai bước
-
B1: Quy nạp không hoàn toàn: Để tìm và đưa ra công
thức P(n) tổng quát
-
B2: Quy nạp hoàn toàn hay CM công thức P(n) đã dự
đoán trên bằng PP quy nạp
II. Phép đếm
1. Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân
1.1. Nguyên lý cộng.
Nếu có m cách chọn x, n cách chọn đối tượng y và nếu
cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn
đối tượng y nào ,thì có m+n cách chọn 1 trong các đối
tượng đã cho.

1.2. Nguyên lý nhân.
Nếu có m cách chọn đối tượng x và cứ mỗi cách chọn x
luôn luôn có n cách chọn đối tượng y thì có m.n cách
chọn cặp đối tượng (x, y).
20
2. Hoán vị.
a) Định nghĩa.
Cho tập hợp A gồm n phần tử .Mỗi cách sắp đặt có thứ
tự n phầntử của A được gọi là một hoán vị của n phần
tử.Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là P
n
b) P
n
= n!
c) Ví dụ :Nếu A là tập hợp n phần tử thì số song ánh từ A
vào A là n!
22
Ví dụ 1: Sắp xếp 6 học sinh vào vào 6 cái ghế. Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp?
Đáp án: P
6
= 6!=1.2.3…6=720
Ví Dụ 2: Cho tập A gồm 5 chữ số hệ thập phân
A={1,2,3,4,5}.Tìm các số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau lập thành từ 5 số trên.
Giải: Ta có 5!=120 số
3. Chỉnh hợp.
a) Định nghĩa .
Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k
phần tử (1 ≤ k ≤n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi

là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các
chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là
b)Công thức
k
n
A
( )
!
!
k
n
n
A
n k
=
−
24
Ví Dụ : Cho tập A gồm 5 chữ số hệ thập phân
A={1,2,3,4,5}.
tìm các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lập
thành từ 5 chữ số trên.
Giải
Số
4.Tổ hợp.
a) Định nghĩa.
Cho tập hợp A gồm n phần tử.Mỗi tập con gồm k
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n
phần tử.Số các tổ hợp chập k của n phần tử đựơc ký
hiệu là
hay

k
n
C








k
n
26