Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Hình học ➓
Bài ➁

Chương 1

Ⓐ

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ

▣ Tóm tắt lý thuyết cơ bản:

◈-Ghi nhớ ➊
Tổng của hai vectơ
.Định nghĩa:
ሬሬሬሬሬԦ =
 Cho hai vectơ 𝑎Ԧ 𝑣à 𝑏ሬԦ. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ 𝐴𝐵
ሬሬሬሬሬԦ = 𝑏ሬԦ.
𝑎Ԧ, 𝐵𝐶
 Vectơ ሬሬሬሬሬԦ
𝐴𝐶 được gọi là tổng của hai vectơ 𝑎Ԧ 𝑣à 𝑏ሬԦ .
 Kí hiệu là 𝑎Ԧ + 𝑏ሬԦ.
.Các quy tắc:
ሬሬሬሬሬԦ = ሬሬሬሬሬԦ
 Qui tắc 3 điểm: ሬሬሬሬሬԦ
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶
ሬሬሬሬሬԦ

 Qui tắc hình bình hành: 𝐴𝐵 + ሬሬሬሬሬԦ
𝐴𝐷 = ሬሬሬሬሬԦ
𝐴𝐶

◈-Ghi nhớ ➋
Tính chất của phép cộng các vectơ


Với 𝑎Ԧ, 𝑏ሬԦ, 𝑐Ԧ, ta có:
a) 𝑎Ԧ + 𝑏ሬԦ = 𝑏ሬԦ + 𝑎Ԧ (giao hoán)
b) ൫𝑎Ԧ + 𝑏ሬԦ൯ + 𝑐Ԧ = 𝑎Ԧ + ൫𝑏ሬԦ + 𝑐Ԧ൯
c)

1

𝑎Ԧ + ሬ0Ԧ = ሬ0Ԧ + 𝑎Ԧ = 𝑎Ԧ

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

◈-Ghi nhớ ➌
Hiệu của hai vectơ


 Vectơ đối

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với 𝑎Ԧ đgl vectơ đối
của 𝑎Ԧ, kí hiệu −𝑎Ԧ.
ሬሬሬሬሬԦ = 𝐵𝐴
ሬሬሬሬሬԦ
 −𝐴𝐵
 Vectơ đối của ሬ0Ԧ là ሬ0Ԧ.
. Hiệu của hai vectơ
 𝑎Ԧ − 𝑏ሬԦ = 𝑎Ԧ + ൫−𝑏ሬԦ൯

ሬሬሬሬሬԦ − 𝑂𝐴
ሬሬሬሬሬԦ = 𝐴𝐵
ሬሬሬሬሬԦ
𝑂𝐵



Áp dụng
ሬሬሬሬԦ + 𝐼𝐵
ሬԦ
ሬሬሬሬԦ = 0
a) I là trung điểm của AB  𝐼𝐴

b) G là trọng tâm của ABC  ሬሬሬሬሬԦ
𝐺𝐴 + ሬሬሬሬሬԦ
𝐺𝐵 + ሬሬሬሬሬԦ
𝐺𝐶 = ሬ0Ԧ

◈-Ghi nhớ ❹







Vectơ – khơng là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu
, A.
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
= 0.
AB
.

Ⓑ

.

▣ Phân dạng toán cơ bản:


①

▣

Đẳng thức vectơ giải bằng quy tắc 3 điểm

◈-Cách giải:



ሬሬሬሬሬԦ + 𝐵𝐶
ሬሬሬሬሬԦ = 𝐴𝐶

ሬሬሬሬሬԦ (☞ Điểm giữa giống, vecto chạy xuôi)
Quy tắc cộng 3 diểm: 𝐴𝐵
Quy tắc trừ ሬሬሬሬሬԦ
𝑂𝐵 − ሬሬሬሬሬԦ
𝑂𝐴 = ሬሬሬሬሬԦ
𝐴𝐵
(☞ Điểm đầu giống, vecto chạy ngược)

_Bài tập minh họa:

2

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Câu 1:

Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
A. AB  AC  BC .
C. CA  BA  BC .

B. AB  CA  CB .
D. AB  BC  CA .
Lời giải

Có VT  AB  CA  CA  AB  CB  VP .
Câu 2:

Cho ba điểm bất kì A , B , C . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. CA  CB  AB .
C. AC  CB  BA .
Lời giải

B. BC  AB  AC .
D. CB  CA  AB .

 CA  CB  BA nên đáp án A sai.
 AB  AC  CB nên đáp án B sai.
 CB  BA  CA nên đáp án C sai.
 CB  CA  AB nên đáp án D đúng.
Câu 3:

Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. BC  AB  AC.
C. AB  AD  AC.
Lời giải.

B. AB  AC  AD.
D. BA  BC  BD.

Theo qui tắc hình bình hành, ta có: BA  BC  BD.
Câu 4:

Tìm mệnh đề đúng?
A. AE  EF  FA .

C. AI  IB  0 .

B. IA  IB  AB .
D. OB  AB  OA .
Lời giải

Ta có OB  AB  OB  BA  OA .
Câu 5:

Chọn khẳng định sai?
A. MN  NP  MP .
C. AB  CB  CA .

B. OA  OB  AB .
D. AB  CM  MN  NB  AC .
Lời giải

Ta có OA  OB  BA  Đáp án B sai.
_Bài tập rèn luyện:
_Vecto trực tiếp, khơng có đổi điểm
Câu 1:

Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
A. AB  AC  BC . B. AB  CA  CB .
C. CA  BA  BC . D. AB  BC  CA .
Lời giải
Chọn B

3

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Có VT  AB  CA  CA  AB  CB  VP .
Câu 2:

Cho ba điểm bất kì A , B , C . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. CA  CB  AB . B. BC  AB  AC .
C. AC  CB  BA .
Lời giải

D. CB  CA  AB .

Chọn D
 CA  CB  BA nên đáp án A sai.
 AB  AC  CB nên đáp án B sai.
 CB  BA  CA nên đáp án C sai.
 CB  CA  AB nên đáp án D đúng.
Câu 3:

Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. BC  AB  AC. B. AB  AC  AD.
C. AB  AD  AC. D. BA  BC  BD.
Lời giải.
Chọn D

Theo qui tắc hình bình hành, ta có: BA  BC  BD.

Câu 4:

Cho hình bình hành ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. DA  DB  BA  0 .
B. DA  DB  DC  0 . C.
D. DA  DB  DA  0 .
Lời giải
Chọn B.

 DA  DB  BA  DA  DA  2DA  0 .
 DA  DB  DC  BA  DC  CD  DC  0 .
 DA  DB  CD  BA  CD  CD  CD  2CD  0 .
 DA  DB  DA  BA  DA  CD  DA  CA  0 .
Câu 5:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AC  AD .
B. Nếu O là trung điểm của AB thì OA  OB .
C. Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA  GB  GC  0 .
D. Với ba điểm bất kì I , J , K ta có: IJ  JK  IK .
Lời giải

4

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

DA  DB  CD  0 .

Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Chọn A.
Câu 6:

Tìm mệnh đề đúng?
A. AE  EF  FA . B. IA  IB  AB .
C. AI  IB  0 .
D. OB  AB  OA .
Lời giải
Chọn D
Ta có OB  AB  OB  BA  OA .

Câu 7:

Chọn khẳng định sai?
A. MN  NP  MP . B. OA  OB  AB .
C. AB  CB  CA . D. AB  CM  MN  NB  AC .
Lời giải
Chọn B
Ta có OA  OB  BA  Đáp án B sai.

Câu 8:

uur uuur
Cho hình bình hành ABCD tâm O . Khi đó OA + BO bằng

uuur
uuur uuur
uuur
A. OC + OB .
B. AB .
C. CD .
Lời giải

uuur uuur
D. OC + DO .

A

B

D

C

Chọn C
uur uuur uuur uur uur
Ta có OA + BO = BO + OA = BA .
uur uuur
Vì ABCD là hình bình hành nên BA = CD .
Câu 9:

Cho u  DC  AB  BD với 4 điểm bất kì A, B, C, D . Khẳng định nào sau là đúng?
B. u  BC .

A. u  0 .

C. u  AC .
Lời giải

D. u  2 DC .

Chọn C





Ta có u  DC  AB  BD  DC  AD  AD  DC  AC .
Câu 10:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AA  BB  AB . B. MP  NM  NP .

C. CA  BA  CB .
Lời giải

Chọn B
+ AA  BB  0  phương án A sai.

5

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

D. AB  AC  BC .

Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

+ MP  NM  NM  MP  NP  phương án B đúng.
+ CA  BA  2IA với I là trung điểm của BC  phương án C sai.
+ AB  AC  2 AI với I là trung điểm của BC  phương án D sai.
Câu 11:

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB ( A khác B ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A AB  2IA .
B. IA  AB  0 .
C. IA  IB  0 .
D. IA  IB  0 .
Lời giải
Chọn D
I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA  IB  0 .

Câu 12:

Chọn khẳng định đúng trong các hệ thức sau.
A. CA  BA  CB . B. AA  BB  AB .
C. AB  AC  BC .
Chọn D

Câu 13:

D. AB  CA  CB .

Cho hình vng ABCD , có M là giao điểm của hai đường chéo. Trong các mệnh đề sau, tìm
mệnh đề sai?
A. AB  BC  AC . B. AB  AD  AC .
C. BA  BC  2BM .
D. MA  MB  MC  MD .
Lời giải
Chọn D

Câu 14:

Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. OA  OC  0 . B. OA  CO  0 .
C. AO  OC  0 .
D. OA  OC  0 .
Lời giải
Chọn A

6

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC .
Vậy OA  OC  0 .

Câu 15:

Cho hình bình hành ABCD , G là trọng tâm ACD . Tổng của vectơ GA  GB  GC bằng
A. AD .
B. BD .
C. DB .
D. CD .
Lời giải
Chọn C
Do G là trọng tâm ACD nên GA  GC  GD  0  GA  GC  GD
Ta có: GA  GB  GC = GB  GD  DB .

Câu 16:

Cho tứ giác ABCD và điểm M tùy ý. Gọi I , J là trung điểm của AC, BC . Khi đó
u  MA  4MB  3MC bằng
A. u  3 AI  AJ . B. u  2BI .

C. u  3 AC  AB .
Lời giải

D. u  BA  3BC .

Chọn D





uuur uuur

uuur uuur
uur uuur
u  MA  4MB  3MC  MA  MB  3 MC  MB  BA  3BC .
Câu 17:

Cho hình bình hành ABCD , G là trọng tâm ACD . Tổng của vectơ GA  GB  GC bằng
A. AD .
B. BD .
C. DB .
D. CD .
Lời giải
Chọn C
Do G là trọng tâm ACD nên GA  GC  GD  0  GA  GC  GD
Ta có: GA  GB  GC = GB  GD  DB .

Câu 18:

Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó AB - DC  BC - AD bằng vectơ nào sau đây?
A. 0 .

B. AC .

C. BD .
Lời giải

D. 2DC .

Chọn A
Ta có: AB - DC  BC - AD  AB  CD  BC  DA  DA  AB  BC  CD  DB  BD  DD  0
Chọn đáp án A

Câu 19:

Tổng MN  PQ  RN  NP  QR bằng
A. MR .

7

B. MN .

C. MP .
Lời giải

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

D. MQ .


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Chọn B
Ta có MN  PQ  RN  NP  QR  MN  NP  PQ  QR  RN  MN .
Câu 20:

Cho 4 điểm bất kì A, B, C, O . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. OA  OB  BA . B. OA  CA  CO .

C. AB  AC  BC .

Lời giải

D. AB  OB  OA .

Chọn B
Ta có OA  OB  BA  OA  OB  BA  0  BA  BA  0 .





OA  CA  CO  OA  OA .
AB  AC  BC  AB  AC  BC  CB  BC .
AB  OB  OA  AB  BO  OA  AO  OA .
_Vecto có đổi điểm
Câu 1:

Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. IA  IB  AB với I là điểm bất kì. B. AM  BM  0 .
C. IA  IB  IM với I là điểm bất kì. D. AM  MB  0 .
Lời giải
Chọn B
Vì M là trung điểm của AB nên ta ln có AM  BM  0 .

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Khẳng định nào sau đây sai?
A. OB  OD  BD .
B. OA  OC  0 .
C. AB  DC.

D. AB  AD  AC .
Lời giải
Chọn A

Ta có: OB  OD  0 nên sai.
Câu 3:

Đẳng thức nào sau đây luôn đúng với mọi điểm A, B, C bất kì?
A. AB  CB  AC .
C. AB  AC  BC .

B. CB  AC  AB .
D. BC  AC  AB .
Lời giải

Chọn B
Ta có CB  AC  AC  CB  AB .
Câu 4:

8

Cho ba điểm A , B , C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

A. BA  AC  BC .
C. CA  AB  BC .

B. AB  BC  AC .
D. AB  AC  CB .
Lời giải

Chọn C
Xét đáp án A có BA  AC  BC đúng theo quy tắc ba điểm đối với phép công.
Xét đáp án B có AB  BC  AC đúng theo quy tắc ba điểm đối với phép công.
Xét đáp án C có CA  AB  CB theo quy tắc ba điểm đối với phép công nên CA  AB  BC
là sai.
Xét đáp án D có AB  AC  CB đúng theo quy tắc ba điểm đối với phép trừ.
Câu 5:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. AB  AD  DB .
B. BC  BA  DC  DA .
C. OA  OB  CD .
D. OB  OC  OD  OA .
Lời giải
Chọn D

OB  OC  OD  OA  CB  AD
Đáp án này sai do ABCD là hình bình hành nên CB  DA
Câu 6:

Chọn khẳng định sai?
A. Nếu I là trung điểm đoạn

B. Nếu I là trung điểm đoạn
C. Nếu I là trung điểm đoạn
D. Nếu I là trung điểm đoạn

AB
AB
AB
AB

thì
thì
thì
thì

AI  IB  AB .
IA  BI  0 .

AI  BI  0 .
IA  IB  0 .
Lời giải

Chọn B
Ta có IA  BI  BI  IA  BA .
Vậy IA  BI  0 sai.
Câu 7:

Cho ba điểm M , N , P bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. MP  MN  PN .

B. MP  PN  MN .
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
C. MP  PN  MN .
D. MP  MN  PN .
Lời giải
Chọn C
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có MP  PN  MN .
Vậy C là phương án đúng.

Câu 8:

9

Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. AB  AC  CB .
B. AB  BA  0 .
C. AB  AC  BC .
D. AB  BC  AC .
Lời giải

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Chọn C

Theo quy tắc về hiệu hai véc tơ ta có: AB  AC  CB nên khẳng định C sai.
Câu 9:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là điểm bất kỳ. Chọn khẳng định sai trong các
khẳng định sau.
A. AG + BG + CG = 0 .
B. MA + MB + MC = 3MG .
C. GA + GB + GC = 0 .
D. MA + MB + MC = MG .
Lời giải
Chọn D
Với G là trọng tâm của tam giác ABC và M là điểm bất kỳ, ta có:
+ AG + BG + CG = 0 Û - GA - GB - GC = 0 Û GA + GB + GC = 0 .
+ GA + GB + GC = 0 .
+ MA + MB + MC = 3MG .

Câu 10:

Cho hình bình hành ABCD . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uur uuur uuur
uur uuur uuur
A. BA  BD  BC .B. AB  AD  BD . C. BA  BC  BD .
D. AB  AC  AD .
Lời giải
Chọn C
Theo quy tắc hình bình hành.

Câu 11:

Cho ba điểm A , B , C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?
A. AB  AC  CB .B. BA  AC  BC . C. CA  AB  BC .
D. AB  BC  AC .
Lời giải
Chọn C
Xét đáp án A:
Xét đáp án B:
Xét đáp án C:
Xét đáp án D:

Câu 12:

10

AB  AC  CB : Đúng.
BA  AC  BC : Đúng.
CA  AB  BC : Sai, vì: CA  AB  CB .
AB  BC  AC : Đúng.

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khẳng định nào sau đây sai?
A. DA  DB  OD  OC .
B. AB  BC  DB .
C. CO  OB  BA .
D. DA  DB  DC  0 .
Lời giải
Chọn A

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

DA  DB  BA  OD  OC  BC . A sai.
AB  BC  AB  AD  DB  B đúng.
CO  OB  OA  OB  BA  C đúng.
DA  DB  DC  BA  DC  CD  DC  0  D đúng.
Câu 13:

Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Mệnh đề nào sau dây đúng?
A. AB  AD  CD  CB .
C. AB  BC  CD  DA .

B. AB  CD  AD  CB .
D. AB  BC  CD  DA .
Lờigiải

Chọn B
Ta có AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  ( DB  BD )  AD  CB
sai vì VT  AB  AD  AE với E là đỉnh thứ 4 hbh ABED.
VP  CD  CB  CF với F là đỉnh thứ 4 hbh CBFD.

Mệnh đề c) sai vì VT  AB  BC  AC
VP  CD  DA  CA

Mệnh đề d) sai vì VT  AB  BC  CD  AD
VP  DA ).

Câu 14:

Chọn mệnh đề sai?
A. Nếu M là trung điểm của AB thì MA  MB  0 .
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì IA  IB  IC  3IG .
C. Nếu ABCD là hình chữ nhật thì AC  BD .
D. Nếu ABCD là hình bình hành thì AD  BC .
Lời giải
Chọn C
Đáp án A, B đúng theo tính chất trung điểm và trọng tâm.
Đáp án D là đúng theo tính chất hình bình hành.
Đáp án C sai vì 2 vectơ đó không cùng phương nên không thể kết luận bằng nhau.

Câu 15:

Cho tam giác ABC .Gọi A ' là điểm đối xứng với B qua A , B ' là điểm đối xứng với C qua
B , C ' là điểm đối xứng với A qua C . Với mọi điểm O bất kì ta ln có đẳng thức nào?
A. OA  OB  OC  OA '  OB '  OC ' . B. OA  OB  OC  OA '  OB '  OC '
C. OA  OB  OC  OA '  2OB '  3OC ' D. OA  OB  OC  2OA '  2OB '  2OC '
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .
Ta có GA  GB  GC  0 và OA  OB  OC  3OG

11

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Mà

1
1
1
GA  GB  GC  (GB  GA ')  (GC  GB ')  (GA  GC ')
2
2
2
1
1
 (GA  GB  GC )  (GA '  GB '  GC ')
2
2
1
1
 .0  (GA '  GB '  GC ')
2
2
Suy ra GA '  GB '  GC '  0 suy ra G cũng là trọng tâm tam giác A ' B ' C ' nên
OA '  OB '  OC '  3.OG
Vậy OA  OB  OC  OA '  OB '  OC ' .
Cách 2:

OA  OB  OC  OA '  A ' A  OB '  B ' B  OC '  C ' C

= OA '  AB  OB '  BC  OC '  CA
= OA '  OB '  OC '  AB  BC  CA  OA '  OB '  OC '
Câu 16:

Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của đoạn AC . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. BA  BC  BM .B. MA  MB  CB . C. MB  MC  2MA . D. MB  MC  2BC .
Lời giải
Chọn B
+) Ta có M là trung điểm của AC nên MA  MC  MA  MB  MB  MC  CB .

Câu 17:

Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. BA  AD  AC .
B. AB  AD  AC .
C. AB  AD  CA .
D. AB  AC  BC
Lời giải
Chọn B
Theo qui tắc hình bình hành: AB  AD  AC

Câu 18:

Cho 3 điểm bất kỳ A, B, C , chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. AC  BC  AB B. AB  CB  AC

C. AB  AC  BC
Lời giải

D. AB  AC  BC

Chọn
A.
AC  BC  AC  CB  AB .
Câu 19: Cho hình bình hành ABCD , tâm O . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. OA  OB  OC  OD  0
C. AB  AD  AC
Chọn

12

B. AB  BC  DC  DA
D. AC  BD  AD
Lời giải

D.

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Xét khẳng định AC  BD  AD  AC  AD  BD  DC  BD .
Câu 20:

Cho hình bình hành ABCD . Khẳng định nào sau đây sai?
A. AB  AC  AD .B. AB  AD  AC . C. BA  BC  BD .

D. AB  DC .
Lời giải
Chọn A
Ta có các phương ánB.
C. đúng theo quy tắc hình bình hành
D. đúng theo tính chất cạnh hình bình hành và định nghĩa véctơ bằng nhau.
Phương án
A. sai.


➁
◈-Cách giải:


Đẳng thức vectơ giải bằng quy tắc hình bình hành

▣

Qui tắc hình bình hành: ሬሬሬሬሬԦ
𝐴𝐵 + ሬሬሬሬሬԦ
𝐴𝐷 = ሬሬሬሬሬԦ
𝐴𝐶
nối đuôi



cộng theo quy tắc 3
điểm

cùng điểm gốc


hành

là hai vectơ bất kỳ

cộng theoquy tắc hình bình


được cộng theo2 trường
hợp trên

_Bài tập minh họa:
Câu 1:

Cho hình bình hành ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. DA  DB  BA  0 .
C. DA  DB  CD  0 .
Lời giải

 DA  DB  BA  DA  DA  2DA  0 .
 DA  DB  DC  BA  DC  CD  DC  0 .

13

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

B. DA  DB  DC  0 .
D. DA  DB  DA  0 .

Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

 DA  DB  CD  BA  CD  CD  CD  2CD  0 .

Câu 2:

 DA  DB  DA  BA  DA  CD  DA  CA  0 .
uur uuur
Cho hình bình hành ABCD tâm O . Khi đó OA + BO bằng
uuur
uuur uuur
uuur
A. OC + OB .
B. AB .
C. CD .
Lời giải

uuur uuur
D. OC + DO .

A

B

D

C

uur uuur uuur uur uur
Ta có OA + BO = BO + OA = BA .
uur uuur
Vì ABCD là hình bình hành nên BA = CD
Câu 3:

Chọn khẳng định đúng trong các hệ thức sau.
A. CA  BA  CB .
B. AA  BB  AB .

C. AB  AC  BC .

D. AB  CA  CB .

Câu 4:

Cho hình vng ABCD , có M là giao điểm của hai đường chéo. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh
đề sai?
A. AB  BC  AC .
B. AB  AD  AC .
C. BA  BC  2BM .
D. MA  MB  MC  MD .
Lời giải

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. OA  OC  0 .

B. OA  CO  0 .
C. AO  OC  0 .
Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC .

14

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

D. OA  OC  0 .


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Vậy OA  OC  0 .
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1:

Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó, AB  DC  BC  AD bằng véctơ nào sau đây?
A. 0 .

C. AC .

B. BD .

D. 2DC .

Lời giải
Chọn A



 



Ta có: AB  DC  BC  AD  AB  BC  AD  DC  AC  AC  0 .
Câu 2:

Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD , phát biểu nào là đúng?
A. OA  OB  OC  OD .

B. AC  BD .

C. OA  OB  OC  OD  0 .

D. AC  AD  AB .
Lời giải

Chọn D

Ta có AC  AD  DC  AB .
Câu 3:

Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?
A. OA  OC  OE  0 . B. BC  FE  AD .

C. OA  OB  OC  EB . D. AB  CD  FE  0 .
Lời giải
Chọn D

A

B
O

F

E

C

D

Ta có: AB  CD  FE  AB  BO  AO  2 AO  0 .
Câu 4:

15

Cho tam giác đều ABC cạnh a . Độ dài của AB  AC là

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

A. a 3 .

B.

a 3
.
3

C. a 6 .

D. 2a 3 .

Lời giải
Chọn A
Gọi M là trung điểm của BC , ta có: AB  AC  2 AM  2 AM  a 3 .
Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD , giao điểm của hai đường chéo là O . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau:
A. CO  OB  BA .
B. AB  BC  DB .
C. DA  DB  OD  OC .D. DA  DB  DC  0 .
Lời giải
Chọn D





Ta có: DA  DB  DC  DA  DC  DB  DB  DB  2 DB  0 .
Câu 6:

Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC . Hỏi MP  NP bằng
véctơ nào?
A. AM .

B. PB .

D. MN .

C. AP .
Lời giải

Chọn C
A
N

M

B

Câu 7:

C

P

Cho hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?

uuur uuur
uuur uuur uuur r
A. AC = BD .
B. AB + AC + AD = 0 .
uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

C. AB - AD = AB + AD . D. BC + BD = AC - AB
Lời giải
Chọn C

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

A

B

D

C

uuur

Ta có AB - AD = DB = BD ; AB + AD = AC = AC .

16

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022
uuur

uuur

uuur

uuur

Mà BD = AC Þ AB - AD = AB + AD
Câu 8:

Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó. Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uur uuur uuur r
uuur uuur uuur
A. OA + OB + OC + OD = 0 .
B. AC = AB + AD .
uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uur

C. BA + BC = DA + DC . D. AB + CD = AB + CB .
Lời giải
Chọn D

Xét các đáp án:
A

B
O

D

uur

uur

uuur

uuur

C

uur

uuur

uur

uuur

r

 Đáp án.A. Ta có OA + OB + OC + OD = (OA + OC )+ (OB + OD ) = 0.
 Đáp án.

uuur

uuur

uuur

B. Ta có AB + AD = AC (quy tắc hình bình hành).
 Đáp án.
ìï
ï
C. Ta có ïí
ïï
ïïỵ

uuur uuur
BA + BC =
uuur uuur
DA + DC =

uuur
BD = BD
.
uuur
DB = BD

 Đáp án.
uuur

uur

uuur

uuur

uuur

uur

D. Do CD ạ CB ị (AB + CD ) ạ (AB + CB ).
Câu 9:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC . Đẳng thức nào sau
đây sai?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. DO = EB - EO .
B. OC = EB + EO .
uur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

r

C. OA + OC + OD + OE + OF = 0 .

uuur

uuur

r

D. BE + BF - DO = 0 .
Lời giải

Chọn D
A

E

B
F

O
D

C

Ta có OF , OE lần lượt là đường trung bình của tam giác D BCD và D ABC .
Þ BEOF là hình bình hành.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur
BE + BF = BO Þ BE + BF - DO = BO - DO = OD - OB = BD.

17

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022
uuur

uuur

Câu 10: Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính AB - DA .
uuur

uuur

uuur

A. AB - DA = 0 .

uuur

uuur

uuur

C. AB - DA = a 2 .

B. AB - DA = a .

uuur

uuur

uuur

uuur

D. AB - DA = 2a .

Lời giải
Chọn C
uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Ta có AB - DA = AB + AD = AC = AC = a 2.
uuur

uuur

Câu 11: Cho hình thoi ABCD có AC = 2a, BD = a . Tính AC + BD .
uuur

uuur

uuur

A. AC + BD = 3a .

uuur

uuur

B. AC + BD = a 3 .

uuur

D. AC + BD = 5a .

C. AC + BD = a 5 .
Lời giải

Chọn C
B

A

C

O

M
D

Gọi O = AC Ç BD .
Gọi M là trung điểm của CD
uuur uuur
uuur uuur
uuur
AC + BD = 2 OC + OD = 2 2OM = 4OM
1
a2
= 4. CD = 2 OD 2 + OC 2 = 2
+ a 2 = a 5.
2
4

Câu 12: Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
A. GA + GC + GD = BD . B. GA + GC + GD = CD .
uuur

uuur

uuur

ur

C. GA + GC + GD = O .

uuur

uuur

uuur

uuur

D. GA + GD + GC = CD .
Lời giải

Chọn A
B

C
G

A

D
uuur

uuur

uuur

ur

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA + GB + GC = O.
uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Do đó GA + GC + GD = GA + GC + (GB + BC + CD ) = (GA + GB + GC )+ BC + CD
uuur uuur uuur
= BC + CD = BD .

18

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022
uuur

uuur

Câu 13: Cho O là tâm hình bình hành ABCD . Hỏi vectơ (AO - DO ) bằng vectơ nào?
uuur

uuur

uuur

A. BA .

B. BC .

uuur

C. DC .

D. AC .

Lời giải

Chọn B
uuur

uuur

uuur

uur

uuur

uuur

Ta có AO - DO = OD - OA = AD = BC .
A

B
O

D


➂

C

.

▣ Tính độ dài vectơ tổng, hiệu

◈-Cách giải



Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một vectơ duy nhất.



Tính độ dài của vectơ đó:



Từ đó suy ra độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu.

. Độ dài vecto bằng độ dài đoạn thẳng

_Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a ; AC=2a . Tính AB  AC và AB  AC .
Lời giải
 AB  AC  AD  AD  BC  a 2   2a   a 5
2

A
a

 AB  AC  CB  CB  a 5

2a
C

B

D

Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính AB  BC và CA  CB .
Lời giải

19

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

 AB  BC  AC  AC  a

A

 AB  AC  CB  CB  a

B

C

Câu 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a có BAD  600 . Gọi O là giao điểm hai đường chéo . Tính:
a) AB  AD

b) BA  BC ;

c) OB  DC
Lời giải

a) AB  AD  AC  AC  2AO  AB2  BO 2  a 3

A

b) BA  BC  CA  CA  a 3

600

a 3
c) OB  DC  DO  DC  CO  CO 
2

B

D

O

C
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a và B  600 . Tính AB  BC và AB  AC .
Lời giải
 AB  BC  AC  AC  AB.tan 600  a 3
 AB  AC  CB  CB 

A

a
 2a
cos 600

a
600

C

B

D

Câu 5: Cho hình vng ABCD cạnh a , có O là giao điểm hai đường chéo . Tính:
a) OA  CB

b) AB  DC ;

c) CD  DA
Lời giải

20

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

a) OA  CB  CO  CB  BO  BO 

a 2
2

B

C

b) AB  DC  AB  AB  2 AB  2a

O

c) CD  DA  CD  CB  BD  BD  a 2

A

D

_Bài tập rèn luyện:
Câu 1:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Khi đó CB  CA bằng?
A. a 3 .

B. a .

C. 2a .

D.

a 3
.
2

Lời giải
Chọn D
Ta có: CB  CA  AB  a do tam giác đều ABC có cạnh bằng a .
Câu 2:

Cho tam giác ABC đều cạnh a .Độ dài AB  BC bằng
a 3
A. a .
B.
.
C. 2a .
2
Lời giải

D. a 3 .

Chọn A
AB  BC  AC  AC  a .

Câu 3:

Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của vectơ OA  OB .
a

A. 2a.
B. .
C. a.
D. 3a.
2
Lời giải
Chọn C

A

M

B

O

D

C

Gọi M là trung điểm của AB .
 OA  OB  2 OM  2OM  AD  a.

21

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Câu 4:

Cho hình chữ nhật ABCD , AB  3 , AD  4 . Tính AB  AD .
A. AB  AD  8 .

B. AB  AD  7 .

C. AB  AD  6 .

D. AB  AD  5 .

Lời giải
Chọn D

Ta có: AB  AD  AC
 AB  AD  AC  AC  AB 2  BC 2  32  42  5 .

Câu 5:

Cho tam giác ABC cân tại C . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA  MB  2 MC là
A. Đường thẳng song song với AB .
C. Một điểm.
D. Một đường tròn.

B. Đường thẳng vng góc với AB .
Lời giải

Chọn A
Gọi I là trung điểm AB , ta có:
MA  MB  2 MC  2 MI  2 MC  MI  MC .

Điều đó chứng tỏ điểm M cách đều hai điểm I , C , nên tập hợp các điểm M là đường trung trực của
đoạn IC .
Mặt khác, tam giác ABC cân tại C suy ra IC  AB nên đường trung trực của đoạn IC song song
với đường thẳng AB .
Câu 6:

Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O . Tính độ dài của vectơ OA  OB .
a
A. 2a .
B. .
C. a .
D. 3a .
2
Lời giải
Chọn C
E

A
I

B

O

D

22

C

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

- Ta có OA  OB  OE  2OI ,
với E là đỉnh thứ tư của hình bình hành AOBE .
I  AB  OE .

Suy ra OA  OB  2OI  2. OI  2.OI .
- Trong tam giác vng ABD ta có OI là đường trung bình nên OI 

AD a
 .
2
2

a
Vậy OA  OB  2.  a .
2

Câu 7:

Cho hình bình hành ABCD có AB  a, AB  BD, BAD  60 . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của
BD, AD. Độ dài vectơ BE  AF là
A.

a 13
.
2

B.

a 10
.
2

a 7
.
2
Lời giải

C.

D. 2a

Chọn A

Gọi H là trung điểm AB .
Ta có: BE  ED, AF  HE nên suy ra:
BE  AF  HE  ED  HD  BE  AF  HD  HD

a

2



BD  AB tan 60  a 3 , HD  HB 2  BD 2     a 3
2
Vậy BE  AF 
Câu 8:



2



a 13
.
2

a 13
.
2

Cho hai lực F1 , F2 đều có cường độ bẳng 100 N và có cùng điểm đặt tại một điểm. Góc hợp bởi F1
và F2 bằng 90 . Khi đó cường độ lực tổng hợp của F1 và F2 bằng
A. 190 N .

B. 50 3 N .

C. 100 2 N .
Lời giải

Chọn C

23

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

D. 200 N .


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

A
F1
F3

J

I
F2

B

Vẽ IA  F 1 , IB  F2 , Vẽ hình vng IAJB .
Theo qui tắc hình bình hành có: IJ  IA  IB  F 1  F2 , có IJ  IA2  IB 2  100 2  N  .

Vậy cường độ lực tổng hợp của F1 và F2 bằng 100 2  N  .
Câu 9:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB  a. Tính độ dài vectơ AB  4 AC.
A.

20a .

B. 5a .

C. 17a .
Lời giải

D. 17a .

Chọn D
Dựng AD  4 AC và dựng hình chữ nhật ABED.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: AB  4 AC  AB  AD  AE


 AB  4 AC  AE  AB 2  AD 2  a 2   4a   17a .
2

Câu 10:

Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính AB  DA là:
A. AB  DA  2a .

B. AB  DA  0 .

C. AB  DA  a 2 . D. AB  DA  a .
Lời giải

Chọn C

24

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ


Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

New 2021-2022

Ta có: AB  DC nên AB  DA  DC  DA  AC  AC  a 2 .
Câu 11:

Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính S  2 AD  DB ?
A. S  a .

B. S  a 3 .

C. S  a 2 .
Lời giải

D. S  a 5 .

Chọn C

A

D

B

C

Ta có: 2AD  DB  AD  AB  AC  2 AD  DB  AC  AC  a 2 .
Vậy S  a 2 .
Câu 12:

Cho hình chữ nhật ABCD , AB  3 , AD  4 . Tính AB  AD .
A. 8 .

B. 7 .

C. 6 .
Lời giải

D. 5 .

Chọn D

Ta có: AB  AD  AC
 AB  AD  AC  AC  AB 2  BC 2  32  42  5 .

Câu 13:

Cho hai lực F1  MA, F2  MB cùng tác động vào một vật tại điểm M . Cho biết cường độ lực F1 , F2

đều bằng 50N và tam giác MAB vuông tại M . Cường độ hợp lực tác dụng lên vật đó là
A. 100 N .
B. 100 2 N .
C. 50 2 N .
D. 50 N .
Lời giải
Chọn C

25

◈
Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ