XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG SỐ

BÁO CÁO MƠN
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ

ĐỀ TÀI: XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG SỐ


MỤC LỤC
1. Khái niệm ......................................................................................................... 3
2. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ .................................................................. 6
2.1. Tiêu chuẩn Routh - Hurwitz mở rộng ...................................................... 6
2.2. Tiêu chuẩn JURY....................................................................................... 7
2.3. Quỹ đạo nghiệm số ..................................................................................... 8
3. Chất lượng hệ thống rời rạc .......................................................................... 10
3.1. Đáp ứng quá độ ........................................................................................ 10
3.2. Độ quá điều chỉnh .................................................................................... 11
3.3. Sai số xác lập ............................................................................................ 11
4. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ ĐIỀU
KHIỂN SỐ ......................................................................................................... 11
4.1. Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống tuyến tính liên tục
......................................................................................................................... 11
4.2. Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống điều khiển số..... 12
5. Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển số trên matlab - Simulink. 13


1. Khái niệm
Hệ điều khiển số tuyến tính được mơ tả bởi phương trình sai phân tuyến tính có dạng tổng
quát:

a0c ( k + n ) + a1c ( k + n − 1) +

+ anc ( k ) = b0r ( k + m ) + b1r ( k + m − 1) +

+ bmr ( k ) (1.1)

Về cơ bản, kỹ thuật phân tích và đánh giá độ ổn định của hệ thống tuyến tính liên tục có
thể áp dụng cho hệ thống điều khiển số tuyến tính. Để xét hệ thống số ổn định hay không,
ta phải giải phương trình sai phân. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân mơ tả hệ
thống điều khiển số có dạng:

c ( nT ) = c0 ( nT ) + cqd ( nT )

(1.2 )

trong đó:
+ c0 ( nT ) là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Nghiệm riêng này biểu diễn trạng
thái xác lập của hệ thống, nó khơng ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ thống.
+ cqd ( nT ) là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất (phương trình sai
phân có vế phải bằng 0). Nghiệm này mơ tả đặc tính của q trình q độ, nó ảnh hưởng
tới tính ổn định của hệ. Vì vậy, để xét tính ổn định của hệ thống điều khiển số ta cần giải
phương trình sai phân thuần nhất:

a0c ( k + n ) + a1c ( k + n − 1) +

+ anc ( k ) = 0

(1.3)

Tính chất của nghiệm của phương trình (1.3) được xác định dựa vào nghiệm của phương
trình đặc tính:

a0 Z n + a1Z n−1 +

+ an = 0

(1.4)

Giả thiết phương trình đặc tính có n nghiệm riêng biệt, nghiệm của phương trình sai phân
thuần nhất có dạng:

c0 ( nT ) = C1 z1n + C2 z2n +

+ Cn znn

Ci là các hằng số được xác định từ sơ kiện bài toán. Hệ thống điều khiển số sẽ ổn định khi

lim
c ( nT ) = 0
n→ 0

(1.5)

Điều kiện trên được xác định thơng qua các đặc tính nghiệm số của phương trình đặc tính
Từ những phân tích trên ta rút ra kết luận đối với hệ thống điều khiển số tuyến tính


+ Hệ ổn định nếu phương trình đặc tính của hệ có các nghiệm thực hoặc nghiệm phức có
mơ đun < 1.
+ Hệ khơng ổn định nếu phương trình đặc tính của hệ có các nghiệm thực hoặc nghiệm
phức có mô đun > 1.
+ Hệ ở biên giới ổn định nếu phương trình đặc tính của hệ có nghiệm thuần ảo và các
nghiệm khác là nghiệm thực hay phức có môđun <1.

* Mối liên hệ giữa mặt phẳng Z và mặt phẳng S:
Mặt phẳng Z liên hệ với mặt phẳng S theo công thức: z = e sT
Hai mặt phẳng này đều là các lượng phức được biểu diễn trên trục thực và ảo chỉ khác ở
chỗ mặt phẳng S có thứ ngun của tần số cịn mặt phẳng Z thì khơng có thứ ngun.
Trục ảo trong mặt phẳng Z giống như trong mặt phẳng S chúng đóng một vai trị quan trọng
trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ gián đoạn.
Trục số ảo của mặt phẳng S biểu thị của giá trị (jω) đi từ -∞ → zero → ∞
Đặt s = j ta có z = esT = e jT = cos (T ) + j sin (T )

+ Khi ω tăng từ 0 đến π/T, đường thẳng từ gốc đến điểm Z quay ngược chiều kim đồng hồ
và nó vẽ lên một vịng trịn có bán kính là:

R = cos 2 (t ) + sin 2 (t ) = 1
+ Khi ω tăng từ -π/T đến 0, đường thẳng từ gốc đến điểm Z quay cùng chiều kim đồng hồ
và nó vê lên một vịng trịn có bán kính là 1.
+ Khi s = 0 suy ra z = e0 = 1. Khi đó gốc của mặt phẳng S trùng với điểm +l trên mặt phẳng
Z.


+ Khi s = - ∞ suy ra z = e− = 0 . Khi đó gốc của hệ Z trùng với điểm - ∞ của mặt phẳng S
Nhận thấy nửa trái của mặt phẳng S (nửa ổn định) được thể hiện bằng phần trong đường
tròn đơn vị trong mặt phẳng Z.
Trên mặt phẳng S, do tính chất chu kỳ của các đặc tính tần số của hệ thống số nên chi cần
khảo sát sự phân bố nghiệm số trong dài tần từ −

0
2

→

0
2

như hình dưới đây

Trong các dải tần tiếp theo, với độ rộng  0 sự phân bố nghiệm số hoàn toàn lặp lại. Hệ
thống ổn định khi tất cả các nghiệm số của phương trình đặc tính phân bố bên trái trục ảo.
Khi có nghiệm nằm bên phải trực ảo, hệ thống sẽ không ổn định. Trục ảo là đường biên
giới phân vùng ổn định trên mặt phẳng S (hệ thống điều khiển tuyến tính liên tục)
Trên mặt phẳng Z, hệ thống sẽ ổn định khi tất cả các nghiệm số của phương trình đặc tính
phân bố bên trong vịng trịn đơn vị.
Hệ thống sẽ khơng ổn định nếu có một nghiệm nào đó nằm ngồi vịng tròn đơn vị.
Vậy, vòng tròn đơn vị là biên giới ổn định trên mặt phẳng Z (hình b).


2. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
2.1. Tiêu chuẩn Routh - Hurwitz mở rộng
Tiêu

chuẩn

a0 x + a1 x
n

n −1

Hurwitz cho phép đánh giá phương trình đại số
+ an−1 x + an = 0 có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hay không.

Routh

+

-

Ta đã sử dụng kết quả này để đánh giá nghiệm của phương trình đặc tính của hệ liên tục

a0 s n + a1s n−1 +

+ an−1s + an = 0

Nếu phương trình trên có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức thì hệ liên tục khơng ổn
định.
Khơng thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn định của hệ rời
rạc vì miền ổn định của hệ rời rạc nằm bên trong đường tròn đơn vị.
Muốn dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc ta phải thực
hiện phép đổi biến:

z=

 +1
z +1
→ =
 −1
z −1

(1.6 )

Với cách biến đổi như trên miền nằm trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z tương ứng
với nửa trái của mặt phẳng  .

Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz đối với phương trình đặc tính theo biến  : nếu khơng
tồn tại nghiệm  nằm bên phải mặt phẳng thì khơng tồn tại nghiệm z nằm ngồi vịng trịn
đơn vị
Hệ rời rạc ổn định

Miền ổn định theo biến z

Miền ổn định theo biến 


2.2. Tiêu chuẩn JURY
Về nguyên tắc, tiêu chuẩn ổn định Routh - Hurvit mở rộng có thể áp dụng cho mọi hệ thống
điều khiển số. Song đối với hệ bậc cao, việc tính tốn khó. Khi đó người ta thường dùng
tiêu chuẩn Schur-cohn và tiêu chuẩn ổn định Jury.
Tiêu chuẩn này cho rằng một hệ thống dữ liệu đã được lấy mẫu là ổn định (có tất cả các
nghiệm nằm bên trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z) nêu tất cả các số hạng trong các
hàng lẻ ở cột bên trái của bảng Jury là dương.
Bảng Jury được thiết lập từ phương trình đặc tính:

a0 Z n + a1Z n−1 +

+ an−1Z + an = 0

(1.7 )

Cách thành lập bảng Jury như sau:
- Hàng 1 là các hệ số của phương trình đặc tính theo thứ tự tăng dần
- Hàng chẵn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự ngược lại
- Giá trị hàng thứ 3 được tính bằng cách lấy định thức bậc 2 mà sử dụng cột đầu tiên của
hàng đầu tiên với mỗi cột khác của các hàng này bắt đầu từ phải qua trái chia cho hệ số ai).

Như vậy các số hạng được tính như sau:

b0 = a0 −

an
a
a
an ; b1 = a1 − n an−1 ; b j = a j − n an − j
a0
a0
a0

Thành lập bảng theo tiêu chuẩn Jury

(1.8)


2.3. Quỹ đạo nghiệm số
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống
khi có một thơng số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → 
Xét hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính là:

1+ K
Đặt G0 ( z ) = K

N ( z)
=0
D( z)

N ( z)

D( z)

(1.9 )
(1.10 )

Gọi n là số cực của G0(z), m là số zero của G0(z)
Từ phương trình (1.10) ta có

1 + G0 ( z ) = 0

(1.11)

 G0 ( z ) = 1
→
G0 ( z ) = ( 2l + 1) 

(1.12 )

Biểu thức (1.12) là điều kiện biên độ và điều kiện pha của (1.11)
Chú ý : Nếu phương trình đặc tính của hệ thống có dạng trên thì ta phải biến đổi tương
đương về dạng trên trước khi áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số
Vì dạng phương trình đặc tính của hệ liên tục đã học ở học phần lý thuyết điều khiển tự
động và phương trình đặc tính trên là như nhau (chỉ thay s bằng biến z) nên quy tắc vẽ
QĐNS là như nhau, chỉ khác ở qui tắc 8 , thay vì đối với hệ liên tục ta tìm giao điểm của
QĐNS với trục ảo thì đối với hệ rời rạc ta tìm giao điểm của QĐNS với đường tròn đơn vị.
Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính
có dạng (1.9)
Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số bằng bậc của phương trình đặc tính bằng số
cực của G0(z)=n.
Qui tắc 2: Khi K=0 các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuât phát từ các cực của G0(z). Khi

K tiến đến + : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của G0(z), n - m nhánh
còn lại tiến đến  theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và 6
Qui tắc 3: Quỹ đạo nhiệm số đối xứng qua trục thực


Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero
của G0(z) bên phải nó là một số lẻ.
Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm với trục thực xác định bởi
công thức:

=

( 2l + 1)
n−m

( l = 0, 1, 2 )

(1.13)

Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi
n

OA =

 pole −  zero
=
n−m

m

 p −z
i

i =1

i =1

(1.14)

i

n−m

Qui tắc 7: Điểm tách nhập của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của
phương trình:

dK
=0
dz

(1.15)

Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số đường trịn đơn vị có thể xác định bằng 1
trong hai cách sau đây:
+ Áp dụng tiêu chuẩn Routh- Hurwitz mở rộng hoặc tiêu chuẩn Jury.
+ Thay z = a + jb (điều kiện: a 2 + b2 = 1) vào phương trình đặc tính (1.9), cân bằng phần
thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với đường tròn đơn vị và giá trị Kgh
Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi công
thức:

 = 180o +  arg ( p j − zi ) −
m

i =1

n



i =1, j  i

arg ( p j − pi )

(1.16 )

Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 → +
Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên
độ

K

N ( z)
=1
D( z)

(1.17 )


3. Chất lượng hệ thống rời rạc
Hệ điều khiển số sau khi kết luận đã ổn định ta phải đánh giá chất lượng của hệ. Việc

đánh giá chất lượng của hệ được thực hiện thông qua các chỉ tiêu chất lượng: Đáp ứng
quá độ, độ quá điều chỉnh và sai số xác lập

3.1. Đáp ứng quá độ
Chất lượng của hệ thống điều khiển được đánh giá trực tiếp từ đồ thị đáp ứng đầu ra của
hệ thống với tín hiệu đầu vào là xác định.
Đáp ứng quá độ của hệ thống là đáp ứng đầu ra của hệ khi đầu vào là hàm bước nhảy
đơn vị 1(t).
Dựa vào đáp ứng q độ, ta có thể tính được các thơng số về chỉ tiêu chất lượng như:
- Sai số xác lập
- Độ quá điều chỉnh,
- Thời gian quá độ
- Số lần dao động v.v...
Đối với hệ thống liên tục, việc xây dựng đáp ứng quá độ là tìm nghiệm của phương trình
vi phân (phương pháp Runge Kuta) hoặc phương trình sai phân (Phương pháp Tustin)
hoặc dùng các phương pháp gián tiếp (phương pháp hình thang), phương pháp đại số
(tốn tử Laplace), phương pháp mô phỏng,...
Thực tế cho thấy, tất cả các phương pháp phân tích đáp ứng quá độ và xác lập cho hệ liên
tục đều có thể áp dụng cho hệ rời rạc.
Với phép biến đổi Z, đáp ứng thời gian trong hệ thống số là tín hiệu được lấy mẫu ở từng
thời điểm T (s). Chất lượng động của hệ điều khiển số được đánh giá thông qua các
nghiệm cực và nghiệm Zero của hàm số truyền trong mặt phẳng Z .Có thể xác định được
đáp ứng của hệ thống rời rạc bằng một trong hai cách sau đây:
- Cách 1: tính C(z) sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm c(k)
- Cách 2: tính nghiệm x(k) của phương trình trạng thái của hệ rời rạc, từ đó suy ra c(k)
Cặp cực quyết định : hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ bậc hai với hai cực là hai
cặp cực quyết định
Đổi với hệ liên tục, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần trục ảo nhất. Do z= eTs nên
đối với hệ rời rạc, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất.

3.2. Độ quá điều chỉnh
Đối với hệ rời rạc, các thường sử dụng để tính độ quá điều chỉnh là dùng biểu thức định
nghĩa :
max

%

cmax
yxl

cxl

100

Trong đó cmax là giá trị cực đại của c(k). Độ quá điều chỉnh ảnh hưởng đến tuổi thọ của
thiết bị do vậy, trong hệ điều khiển nói chung và hệ điều khiển số nói riêng mong muốn
cmax càng nhỏ càng tốt.
3.3. Sai số xác lập
Xét sơ đồ cấu trúc hệ thống:

Sai số xác lập của hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ như trên là:

4. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ
4.1. Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống tuyến tính liên tục
Hệ thống được gọi là điều khiển được nếu với một tác động vào ta có thể chuyển trạng
thái của hệ thống từ trạng thái ban đầu t0 đến trạng thái cuối t1 trong một thời gian hữu
hạn.
Hệ thống được gọi là quan sát được nếu với các toạ độ đo được ở biến ra yi của hệ, ta có
thể khơi phục lại trạng thái xi trong khoảng thời gian hữu hạn.

a) Tính điều khiển được


Định lý: Một hệ thống tuyến tính hệ số hằng mơ tá bới phương trình trạng thái cấp n:
x

Ax ' (t ) Bu(t )
y(t ) Cx (t )

được gọi là điều khiển được hoàn toàn, khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n.
P=[ B,AB,A2 B,...,An-1 B]

Rank(P) = n

b) Tính quan sát được
Định lý: Một hệ thống tuyến tính hệ sơ hằng mơ tả bởi phương trình trạng thái cấp n:
x

Ax ' (t ) Bu(t )
y(t ) Cx (t )

được gọi là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n
L =[C',A'C',(A')2C',...(A')n-1 C']

Rank(L)= n
4.2. Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống điều khiển số
Giả thiết hệ điều khiển số được mơ tả bởi hệ phương trình trạng thái:
x (k

1) Ad x (k ) Bd u(k )

y(k ) C d x (k )

trong đó: x(k +1),x(k) là các vectơ n chiều.
Ad là ma trận n x n
a) Tính điều khiển được
Hệ thống số được gọi là điều khiển được nếu ta tìm được vectơ điều khiển u(k) để chuyển
hệ thống từ trạng thái ban đầu bất kỳ đến trạng thái cuối bất kỳ trong một khoảng thời
gian giới hạn.


Vậy ta cần tìm điều kiện để xác định được tác động điều khiển nhằm chuyển hệ thống từ
trạng thái x(0) đến trạng thái cuối x(n) đã cho.
Ad n x (0)

x (n)

Ad n 1Bd u(0)

....

Bdu(n

1)

vì Ad ,x(0),x(n) đã biết nên vế trái của phương trình là xác định, suy ra nghiệm duy nhất
u(i) chỉ tồn tại khi ma trận sau đây có hạng bằng n.
M

[Ad n 1Bd Ad n 2Bd . … Bd ]

Rank(M)=n
b) Tính quan sát được
Hệ thống số được gọi là quan sát được nếu theo các số liệu đã đo được ở đầu ra y(k) ta có
thể xác định được trạng thái x(k) của nó.
Thật vậy, từ phương trình ra: y(k) =Cd x(k) = ta viết lại:
y(n

1)

Cd Ad n 1x (0)

Viết cách khác:
Vì y(k) đã biết nên nghiệm duy nhất x(0) tồn tại khi ma trận sau có hạng bằng n
N= [C d ' Ad 'Cd ' . .. (Ad ' )n 1C 'd ]

5. Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển số trên matlab - Simulink
Cho hệ điều khiển có sơ đồ cấu trúc:

X(z)

W1(z)

W2(s)

W4(s)

W3(s)

Y(s)

W1 ( z ) =

20 ( z + 0.1)

( 2 z + 0.6 )

2

; W2 ( s ) =

a, Tìm hàm truyền đạt của hệ thống
b, Xét sự ổn định của hệ thống

a. Tìm hàm truyền đạt của hệ thống.

10 ( s + 3)
0.1( s + 0.1)
0.1
; W3 ( s ) =
; W4 ( s ) =
s +1
s +1
s+2



Vậy hàm truyền đạt của hệ thống là:

1.903z 3 − 2.728 z 2 + 0.8216 z + 0.1113

Wht = 5
2 z + 17.14 z 4 − 51.55 z 3 + 43.04 z 2 − 9.091z − 1.523
b, Xét sự ổn định của hệ thống
Từ hàm truyền đạt xét ra phương trình đặc tính:

2 z 5 + 17.14 z 4 − 51.55z 3 + 43.04 z 2 − 9.091z − 1.523 = 0


Bằng matlab ta tìm được nghiệm của phương trình như sau:

z1 = −11.0759
z2 = 0.9751
z3 = 0.9129
z4 = 0.7245
z5 = −0.1066
Ta thấy rằng z1  1 nên hệ không ổn định.