Luận văn thạc sĩ HUS bài toán quy hoạch toàn phương lồi trên không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THẮM

BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG LỒI
TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THẮM

BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG LỒI
TRÊN KHƠNG GIAN HILBERT

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số:

60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - Năm 2017

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Mục lục
Lời cảm ơn

2

Danh sách ký hiệu

3

Lời nói đầu

4

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Tập lồi, Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4

Dạng Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5

Bài tốn quy hoạch tồn phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn phương
lồi

19

2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1

Trường hợp dạng toàn phương là dạng Legendre . . . . .

25

2.2.2

Trường hợp các tốn tử có hạng hữu hạn . . . . . . . . .

34

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS. TS.
Nguyễn Năng Tâm. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan
tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cơ Khoa Tốn - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng
như các thầy cơ tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017, đã có cơng lao
dạy dỗ em trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường.
Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên em để em hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2017
Học viên

Nguyễn Thị Thắm

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Danh sách ký hiệu
(QP)
(CQP)

Bài tốn quy hoạch tồn phương
Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi

R Tập số thực
Rn

Khơng gian vectơ n chiều

X

Không gian Hilbert thực

L(X, Y ) Tập hợp các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y
L2 [a, b] Khơng gian Hilbert các hàm bình phương khả tích
2

Khơng gian Hilbert các dãy số thực bình phương khả tổng

A Tốn tử tự liên hợp tuyến tính liên tục
T (·) Dạng toàn phương
dom f
epi f
D
·, ·
x
0+ X
xn

x

v.đ.k.

Miền hữu hiệu của hàm f
Trên đồ thị của hàm f
Tập ràng buộc của bài tốn quy hoạch
Tích vơ hướng
Chuẩn của vectơ x
Nón lùi xa của tập lồi đóng khác rỗng X
x hội tụ yếu tới x
với điều kiện

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Lời nói đầu
Bài tốn quy hoạch tồn phương (viết tắt là bài tốn (QP)) là bài tốn tìm
nghiệm tối ưu của một hàm toàn phương trên một tập hợp xác định bởi một
số hữu hạn các hàm toàn phương. Quy hoạch tồn phương nghiên cứu những
khía cạnh định tính, định lượng, thuật toán và các ứng dụng khác nhau của
các bài tốn quy hoạch tồn phương. Quy hoạch tồn phương lồi là một bộ
phận quan trọng của quy hoạch toán học.
Sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn phương (QP) lồi là một câu
hỏi thú vị trong lý thuyết tối ưu. Câu hỏi này trong các điều kiện hữu hạn
chiều và vô hạn chiều được nghiên cứu rộng rãi bởi một số tác giả.
Có một số điều kiện đã biết để đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài tốn
(QP) lồi. Ví dụ, nếu tập ràng buộc của bài toán (QP) khác rỗng và bị chặn,
hàm mục tiêu là nửa liên tục dưới yếu và bị chặn dưới trong tập ràng buộc,

thì sự tồn tại nghiệm được suy ra từ tính compact. Sự ràng buộc của hàm mục
tiêu cũng là một trong các giả thiết được dùng nhiều nhất để đảm bảo sự tồn
tại nghiệm của bài toán (QP). Tuy nhiên, ta muốn xác định xem nghiệm của
bài tốn (QP) lồi có tồn tại trong các trường hợp tổng qt hơn khơng.
Ý tưởng sử dụng tích chất Legendre của dạng toàn phương của hàm mục
tiêu để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn phương
với ràng buộc tuyến tính trong khơng gian Hilbert là của Bonnans và Shapiro.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng khái niệm của dạng Legendre, mà có nguồn
gốc từ giải tích biến phân, là rất quan trọng đối với định lý tồn tại nghiệm.
Trong Chương 2, chúng tôi xây dựng một ví dụ để chỉ ra rằng kết luận của
định lý sai nếu bỏ qua giả thiết về tính Legendre của dạng tồn phương.
Bằng cách sử dụng tích chất Legendre của dạng tồn phương hoặc tính chất
4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


hạng hữu hạn của các toán tử tương ứng với các dạng tồn phương, ta có thể
chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài tốn quy hoạch tồn phương lồi với ràng
buộc tồn phương trong khơng gian Hilbert mà khơng cần địi hỏi hạn chế vào
hàm mục tiêu hoặc tính compact của tập ràng buộc.
Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “Bài tốn quy hoạch tồn
phương lồi trên không gian Hilbert” để làm luận văn cao học. Mục tiêu
của luận văn này là trình bày lại các kết quả trong bài báo [5] về sự tồn tại
nghiệm của bài tốn (QP) lồi trong khơng gian Hilbert. Các kết quả trong [5]
là mở rộng kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn (QP) lồi từ khơng gian
Euclide sang khơng gian Hilbert.
Trong luận văn này, ngồi phần Lời nói đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,
luận văn bao gồm hai chương.
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất của khơng gian

Hilbert, tập lồi, hàm lồi, dạng toàn phương, hàm toàn phương, dạng Legendre
và bài tốn quy hoạch tồn phương.
Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn phương
lồi (CQP). Định lý 2.2.4 khẳng định sự tồn tại nghiệm của bài tốn khi dạng
tồn phương x, Ax là dạng Legendre và hàm mục tiêu f bị chặn dưới trên
tập ràng buộc khác rỗng. Định lý 2.2.11 khẳng định khi các tốn tử tương ứng
với các dạng tồn phương có hạng hữu hạn, nửa xác định dương, hàm mục tiêu
f bị chặn dưới trên tập ràng buộc khác rỗng thì bài tốn có nghiệm.
Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2017
Học viên

Nguyễn Thị Thắm

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất
của khơng gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi, dạng tồn phương, hàm tồn phương,
dạng Legendre và phát biểu bài tốn quy hoạch tồn phương.

1.1

Khơng gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 ([2]). Cho X là một không gian vectơ trên trường R, một
ánh xạ ϕ : X × X → R được gọi là một dạng song tuyến tính đối xứng dương

nếu, với mọi x, y, z ∈ X và λ ∈ R, các tính chất sau thỏa mãn:
a) ϕ(x, x) ≥ 0,
b) ϕ(x, y) = ϕ(y, x),
c) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z),
d) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y).
Lúc đó, người ta thường ký hiệu vắn tắt x, y := ϕ(x, y).
Mệnh đề 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Với mọi x, y ∈ X, ta có
x, y

2

≤ x, x y, y .

Chứng minh. Với y = 0 bất đẳng thức đúng. Giả sử y = 0, với mọi λ ∈ R ta có
x + λy, x + λy ≥ 0
suy ra
x, x + λ y, x + λ x, y + λ2 y, y ≥ 0,
6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


hay
q(λ) = y, y λ2 + 2 x, y λ + x, x ≥ 0.
Do đó q(λ) là đa thức bậc hai theo biến thực λ và q(λ) ≥ 0 với mọi λ. Điều
này xảy ra khi và chỉ khi y, y > 0 và ∆ = 4 x, y
x, y

2

2

− 4 y, y x, x ≤ 0. Suy ra

≤ x, x y, y .

Nếu dạng song tuyến tính đối xứng dương ·, · trên X còn thỏa mãn thêm
điều kiện
x, x > 0,

với mọi x = 0,

thì nó sẽ được gọi là một tích vơ hướng trên X và (X, ·, · ) được gọi là một
không gian tiền Hilbert. Lúc đó, dễ thấy
x, x

x =

xác định một chuẩn trên X. Vậy, không gian tiền Hilbert cũng là một không
gian định chuẩn, và mọi khái niệm, kết quả thiết lập được trên không gian định
chuẩn cũng được áp dụng cho không gian tiền Hilbert.
Các kết quả dưới đây được chứng minh trong lý thuyết không gian metric.
Định nghĩa 1.1.3 ([2]). Dãy (xn ) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu xm −
xk

−→ 0. Tức là

m,k→∞

∀ε > 0, ∃n0 , ∀m, k > n0 : xm − xk < ε.

Mệnh đề 1.1.4 ([2]). Nếu (xn ) là dãy hội tụ, thì nó là dãy Cauchy.
Mệnh đề 1.1.5 ([2]). Nếu (xn ) là dãy Cauchy, thì nó bị chặn. Tức là tồn tại
số dương M sao cho
xn ≤ M,

∀n.

Định nghĩa 1.1.6 ([2]). Không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy trong X hội tụ trong X.

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định nghĩa 1.1.7 ([2]). Một không gian tiền Hilbert (với tư cách là một không
gian định chuẩn) đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Trong luận văn này, khi không xác định rõ, các không gian Hilbert sẽ được
ký hiệu chung là X .
Ví dụ 1.1.8. Tính vơ hướng thơng thường trên Rn xác định bởi
n

x, y =

xi yi ,
i=i

trong đó x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ), với xi , yi ∈ R. Không gian này là
đầy đủ, và do đó nó là một khơng gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.9. Ký hiệu L2 (R) là khơng gian các hàm bình phương khả tích trên

R. Khi đó L2 (R) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định bởi
f, g =

f (x)g(x)dx.
R

Ví dụ 1.1.10. Cho (X, Ω, µ) là khơng gian độ đo bao gồm một tập X, một
σ-đại số Ω các tập con của X, và µ là một độ đo cộng tính đếm được xác định
trên Ω. Ký hiệu
L2 (Ω) = {f : Ω → R :

|f (x)|2 dµ < ∞}.
Ω

Khi đó, L2 (Ω) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định bởi
f, g =

f (x)g(x)dµ.
Ω

1.2

Tập lồi, Hàm lồi

Định nghĩa 1.2.1 ([8]). Tập con C của X được gọi là lồi nếu
(1 − λ)x + λy ∈ C với mọi x, y ∈ C và 0 < λ < 1.
Ví dụ 1.2.2. Các nửa khơng gian là các ví dụ quan trọng về tập lồi. Với bất
kỳ b ∈ Rn và bất kỳ β ∈ R, các tập
{x | x, b ≤ β}, {x | x, b ≥ β},
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


được gọi là các nửa khơng gian đóng. Các tập
{x | x, b < β}, {x | x, b > β},
được gọi là các nửa không gian mở.
Quy ước: Tập ∅ được coi là tập lồi.
Ví dụ 1.2.3. Đoạn thẳng [a, b] = {λa + (1 − λ)b | λ ∈ [0, 1]} là một tập lồi.
Từ định nghĩa ta suy ra tập C ⊂ Rn là tập lồi khi và chỉ khi đoạn thẳng nối
hai điểm bất kỳ a, b ∈ C phải nằm trong C.
Tính chất 1.2.4 ([8]).

(i) Giao của một họ tùy ý các tập lồi là một tập lồi.

(ii) Nếu C là một tập lồi thì tất cả tịnh tiến của nó C + a = {x + a | x ∈ C}
cũng là tập lồi.
(iii) Nếu C là một tập lồi thì tất cả bội hằng số của nó λC = {λx | x ∈ C}
cũng là tập lồi.
(iv) Nếu C và D là hai tập lồi thì tổng C + D của chúng cũng là tập lồi, trong
đó
C + D = {x + y | x ∈ C, y ∈ D}.
Chứng minh. (i) Nếu {Cα } là một họ các tập lồi, và a, b ∈
α ta có a ∈ Cα , b ∈ Cα , do dó [a, b] ⊂ Cα , và do đó [a, b] ⊂

α
α

Cα , thì với mỗi

Cα .

(iv) Nếu C, D là hai tập lồi, và a = x + y, b = u + v với x, u ∈ C, y, v ∈ D,
thì (1 − λ)a + λb = [(1 − λ)x + λu] + [(1 − λ)y + λv] ∈ C + D, với bất kỳ
λ ∈ [0, 1], do đó C + D là lồi. Tính lồi của a + C và λC được chứng minh tương
tự.
Định nghĩa 1.2.5 ([8]). Một tập lồi được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao
của một họ hữu hạn các nửa mặt phẳng đóng.
Nói cách khác, một tập lồi đa diện là nghiệm tập nghiệm của hệ hữu hạn
các bất phương trình tuyến tính có dạng
ai , x ≤ bi ,

i = 1, . . . , m,
9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


hoặc dưới dạng ma trận
Ax ≤ b,
trong đó A là ma trận m × n gồm các hàng ai và b ∈ Rm .
Cho hàm f : C → [−∞, +∞] trên tập C ⊂ X , các tập
dom f = {x ∈ C | f (x) < +∞}
epi f = {(x, α) ∈ C × R | f (x) ≤ α}
lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f (x). Nếu dom f = ∅ và
f (x) > −∞ với x ∈ C thì ta nói rằng hàm f là chính thường.
Định nghĩa 1.2.6 ([8]). Hàm f : C → [−∞, +∞] được là lồi nếu trên đồ thị
của nó là tập lồi trong X × R.
Một hàm lồi f : C → R được gọi là lồi ngặt nếu bất đẳng thức (1.1) là bất
đẳng thức chặt với mọi x, y ∈ C, x = y, ∀λ ∈ [0, 1]. Hàm f được gọi lõm trên

C nếu −f là hàm lồi trên C. Hàm vừa lồi, vừa lõm được gọi là hàm affine.
Hàm lồi có tính chất quan trọng sau.
Định lý 1.2.7 ([8]). Cho f : C → (−∞, +∞], trong đó C là một tập lồi. Khi
đó f lồi khi và chỉ khi
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y),

0 < λ < 1,

(1.1)

với mọi x, y ∈ C.
Chứng minh. Theo định nghĩa, f lồi khi và chỉ khi với mọi (x, µ) và (y, ν) thuộc
epi f và 0 ≤ λ ≤ 1 thì
(1 − λ)(x, µ) + λ(y, ν) = ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)µ + λν)
cũng thuộc epi f . Từ đó, ta phải có (1 − λ)x + λy ∈ C và
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)µ + λν với mọi µ ≥ f (x), ν ≥ f (y).
Do đó, ta có
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y).

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định lý 1.2.8 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f là hàm từ X vào (−∞, +∞].
Khi đó, f lồi khi và chỉ khi
f (λ1 x1 + . . . + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + . . . + λm f (xm )
với λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, λ1 + · + λm = 1.
Định lý 1.2.9 ([9]). Hàm thực f (x) trên khoảng mở (a, b) ⊂ R là lồi khi và chỉ
khi nó liên tục và có đạo hàm hàm trái và đạo hàm phải tại mọi điểm x ∈ (a, b)

f− (x) = lim
t↑0

f (x + t) − f (x)
f (x + t) − f (x)
, f+ (x) = lim
t↓0
t
t

thỏa mãn f+ (x) không giảm và
f− (x) ≤ f+ (x),

f+ (x) ≤ f− (y) với x < y.

Hệ quả 1.2.10 ([9]). Một hàm thực khả vi f (x) trên khoảng mở là lồi khi và
chỉ khi đạo hàm f của nó làm hàm khơng giảm. Một hàm thực khả vi hai lần
f (x) trên khoảng mở là lồi khi và chỉ khi đạo hàm cấp hai của nó f khơng âm
trong tồn bộ khoảng.
Dưới đây là một số hàm trên R mà có tính lồi được suy ra từ Hệ quả 1.2.10.
Ví dụ 1.2.11. Các hàm số sau là các hàm lồi:
1. f (x) = ax2 + bx + c, trong đó a ≥ 0.
2. f (x) = eαx , trong đó −∞ < α < ∞;
3. f (x) = xp nếu x ≥ 0, f (x) = ∞ nếu x < 0, trong đó 1 ≤ p < ∞;
4. f (x) = −xp nếu x ≥ 0, f (x) = ∞ nếu x < 0, trong đó 0 ≤ p ≤ 1.
Ví dụ 1.2.12. Trong trường hợp nhiều chiều, từ Định lý 1.2.7, ta suy ra mọi
hàm có dạng
f (x) = x, c + α,

c ∈ Rn , α ∈ R

là hàm lồi trên Rn . Thật ra, nó là hàm affine và mọi hàm affine trên Rn có
dạng này.
11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1.3

Dạng toàn phương

Định nghĩa 1.3.1 ([1]). Cho ϕ : X × X → R là một dạng song tuyến tính đối
xứng dương. Khi đó ánh xạ f : X → R xác định bởi
f (x) = ϕ(x, x)
được gọi là một dạng toàn phương trên X ứng với dạng song tuyến tính đối
xứng dương ϕ.
Ví dụ 1.3.2. (a) Cho ϕ(x, y) = xy là một dạng song tuyến tính đối xứng trên
khơng gian vectơ X = R. Dạng tồn phương ứng với ϕ là
f (x) = x2 .
(b) Mỗi tích vơ hướng trên X là một dạng song tuyến tính đối xứng dương.
Dạng tồn phương ứng với nó chính là
f (α) = |α|2 .
Theo kết quả trong đại số tuyến tính, hàm f (x1 , x2 , . . . , xn ) là một dạng
toàn phương khi và chỉ khi nó có thể được viết dưới dạng
 
x1
.
T
.

f (x) = x, Ax = x Ax, trong đó x = 
.
xn
với A là ma trận đối xứng cấp n × n.
Cho X và Y là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất
cả các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y. Nhắc lại rằng toán tử liên hợp
A∗ của A là một tốn tử tuyến tính liên tục từ Y = Y ∗ vào X = X ∗ xác định
bởi
A∗ y = y ◦ A;

y ∈ Y.

Nói cách khác, ta có
x, A∗ y = Ax, y ;

∀x ∈ X, y ∈ Y.

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định nghĩa 1.3.3 ([2]). Toán tử A ∈ L(X, Y ) được gọi là tự liên hợp nếu
A∗ = A. Lúc đó,
Ax, y = x, Ay ,

∀x, y ∈ X.

Ví dụ 1.3.4. Chẳng hạn, nếu X = Y = Rn thì một tốn tử T ∈ L(X) là tự
liên hợp khi và chỉ khi ma trận A là đối xứng. Còn nếu X = Y = L2 [a, b] và

A ∈ L(X) là tốn tử tích phân có hạch là K(t, s), thì A là tự liên hợp khi và
chỉ khi
K(t, s) = K(s, t) hầu khắp nơi trên [a, b] × [a, b].
Cho X là một khơng gian Hilbert, theo định lý Riesz, hàm T : X → R là
một dạng toàn phương khi và chỉ khi tồn tại một tốn tử tuyến tính liên tục
tự liên hợp A : X → X sao cho
T (x) = x, Ax .
Do đó, trong luận văn chúng ta chỉ xét dạng tồn phương liên tục có dạng
T (x) = x, Ax , trong đó là A tốn tử tự liên hợp tuyến tính liên tục.
Định nghĩa 1.3.5. Dạng tồn phương T (x) được gọi là
(i) không âm nếu T (x) ≥ 0 với mọi x ∈ X ;
(ii) dương nếu T (x) > 0 với mọi x ∈ X \{0}.
Tương tự như trường hợp hữu hạn chiều, toán tử A : X → X được gọi là
nửa xác định dương (xác định dương) nếu dạng toàn phương T (x) = x, Ax
khơng âm (tương ứng, dương).
Định nghĩa 1.3.6. Chúng ta nói rằng dạng tồn phương T : X → R có hạng
hữu hạn n nếu tồn tại một dạng toàn phương T1 : Rn → R và một tốn tử
tuyến tính liên tục A : X → Rn sao cho T (x) = T1 (Ax) với mọi x ∈ X .
Cho X là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · .
Định nghĩa 1.3.7. Dãy {xn } trong không gian X hội tụ yếu đến x ∈ X , ký
hiệu xn

x, nếu
lim xn , y = x, y ,

n→∞

∀y ∈ X .

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định nghĩa 1.3.8. Cho X là không gian metric, x0 là một điểm trong X và
f : X → R ∪ {∞} là hàm giá trị thực mở rộng. Ta nói rằng f là hàm nửa liên
tục dưới tại x0 nếu
lim inf f (x) ≥ f (x0 ).
x→x0

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi điểm
trong miền xác định.
Định nghĩa 1.3.9. Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là nửa liên tục dưới
yếu nếu
lim inf f (xn ) ≥ f (x)
n→∞

miễn là xn

x trong X.

Các tính chất sau của dạng toàn phương được dùng trong Chương 2.
Mệnh đề 1.3.10 ([4]). Dạng tồn phương T (·) trên khơng gian Hilbert X là
lồi khi và chỉ khi nó khơng âm.
Mệnh đề 1.3.11 ([4]). Dạng tồn phương liên tục khơng âm trong không gian
Hilbert là nửa liên tục dưới yếu.
Định nghĩa 1.3.12. Chúng ta nói rằng f : X → R là một hàm tồn phương
nếu tồn tại tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp A : X → X , một vectơ
b ∈ X và một số thực α sao cho
f (x) =

1
x, Ax + b, x + α, ∀x ∈ X .
2

(1.2)

Do các hàm
x → x, Ax
x → b, x + α
là các hàm liên tục nên f là một hàm liên tục. Giả sử A : X → X là tốn tử
tuyến tính liên tục tự liên hợp khơng âm. Khi đó, theo Mệnh đề 1.3.10, hàm
T (x) = x, Ax là hàm lồi. Mặt khác, x → b, x + α cũng là hàm lồi và tổng
các hàm lồi là hàm lồi nên hàm toàn phương f trong (1.2) cũng là hàm lồi.
14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1.4

Dạng Legendre

Định nghĩa 1.4.1 ([7]). Dạng toàn phương T : X → R được gọi là dạng
Legendre nếu nó nửa liên tục dưới yếu, và nếu xk

x và T (xk ) → T (x) kéo

theo xk → x.
Ví dụ 1.4.2. Dạng toàn phương T : X → R xác định bởi T (x) = x

2

là một

dạng Legendre. Thật vậy, vì T (x) là một dạng tồn phương liên tục khơng âm
x khi k → ∞, khi đó

nên nó là nửa liên tục dưới yếu. Giả sử xk
xk − x

2

= xk − x, xk − x = xk − x, xk − xk − x, x
= xk , xk − x, xk − xk , x + x, x
= xk , xk − x, x + 2 x, x − 2 xk , x
= T (xk ) − T (x) + 2 x − xk , x .

Vì x − xk , x → 0 khi k → ∞ nên nếu T (xk ) → T (x) khi k → ∞ thì
xk − x

2

→ 0. Vậy T (x) là dạng Legendre.

Rõ ràng trong trường hợp X là không gian hữu hạn chiều, bất kì dạng tồn
phương T (x) trên X đều là dạng Legendre.
Định nghĩa 1.4.3. Dạng toàn phương T là elliptic nếu T là liên tục và tồn
tại α > 0 sao cho
T (x) ≥ α x 2 ,

∀x ∈ X .

Định lý 1.4.4 ([4]).
(i) Bất kỳ dạng toàn phương elliptic là một dạng Legendre.
(ii) Cho T1 là một dạng Legendre và T2 là liên tục yếu. Khi đó T = T1 + T2
là một dạng Legendre.
Định lý 1.4.5 ([4]). Cho X là một không gian Hilbert và T : X → R là một
dạng tồn phương. Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
(i) Dạng toàn phương T là dạng Legendre.
15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


(ii) Hạn chế của T lên khơng gian con đóng bất kỳ của X là dạng Legendre.
(iii) Hạn chế của T lên một không gian con của X đối chiều hữu hạn là một
dạng toàn phương elliptic.
(iv) Dạng toàn phương T là tổng của một dạng toàn phương elliptic và một
dạng toàn phương hạng hữu hạn.
Định lý 1.4.6 ([7]). Dạng tồn phương Legendre xác định dương là một dạng
elliptic.
Ví dụ 1.4.7. Ký hiệu

2

là không gian Hilbert gồm tất cả các dãy số thực bình

phương khả tổng. Định nghĩa A :

2

→

2

xác định bởi

Ax = (0, x2 , x3 , . . . , xn , . . .),
trong đó x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . .) ∈
ràng x, Ax = x

2

2

− x21 ≥ 0 với mọi x ∈

. Do x, Ax ≥ 0, x, Ax là lồi. Rõ
2

nên x, Ax là tổng của một dạng

elliptic và một dạng tồn phương có hạng hữu hạn. Do đó, theo Mệnh đề 1.4.5,
x, Ax là một dạng Legendre.
Ví dụ 1.4.8. Ký hiệu L2 [0, 1] là không gian Hilbert thực gồm tất cả các hàm
bình phương khả tích trên [0, 1]. Cho A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] xác định bởi
Ax(t) = tx(t).
Dễ kiểm tra được A là toán tử tự liên hợp tuyến tính liên tục và nửa xác định
dương trên L2 [0, 1]. Dạng toàn phương tương ứng của A là x, Ax =

1
tx2 (t)dt
0

khơng là dạng Legendre.

1.5

Bài tốn quy hoạch tồn phương

Định nghĩa 1.5.1 ([9]). Bài tốn quy hoạch toán học là bài toán dạng

min f (x)
v.đ.k. x ∈ D,

(P)

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


trong đó f : X → R := R ∪ {−∞, +∞} là một hàm cho trước và D ⊂ X là
một tập cho trước. Hàm f được gọi là hàm mục tiêu và D được gọi là tập ràng
buộc (hoặc miền chấp nhận được) của bài toán (P). Các phần tử của D được
gọi là các vectơ chấp nhận được của (P). Nếu D = X thì bài tốn (P) được gọi
là bài tốn khơng ràng buộc. Nếu D = X thì bài tốn (P) được gọi là bài tốn
có ràng buộc.
Định nghĩa 1.5.2 ([9]). Một vectơ chấp nhận được x∗ ∈ D được gọi là một

nghiệm (toàn cục) của bài toán (P) nếu f (x∗ ) = +∞ và
f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ D.
Ta nói rằng x∗ ∈ D là một nghiệm địa phương của (P) nếu f (x∗ ) = +∞ và tồn
tại một lân cận U của x∗ sao cho
f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ D ∩ U.
Tập các nghiệm, nghiệm địa phương của bài toán (P) lần lượt được ký hiệu
bởi Sol(P) và loc(P).
Chúng ta nói rằng hai bài tốn quy hoạch là tương đương nếu tập nghiệm
của bài toán này trùng với tập nghiệm của bài toán kia.
Định nghĩa 1.5.3. Giá trị tối ưu v(P) của (P) được xác định bởi
v(P) = inf{f (x) : x ∈ D}.
Nếu D = ∅ thì ta quy ước v(P) = +∞.
Nhận xét 1.5.4. Dễ dàng nhận thấy rằng Sol(P) ⊂ loc(P). Hiển nhiên là
Sol(P) = {x ∈ D : f (x) = +∞, f (x) = v(P)}.
Định nghĩa 1.5.5. Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch lồi nếu D là
một tập lồi và f là một hàm lồi.
Nhận xét 1.5.6. Trong trường hợp hàm mục tiêu f là hàm tồn phương, khi
đó f có dạng (1.2). Nếu xóa hằng số α trong (1.2) của hàm mục tiêu f thì
17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


chúng ta không làm thay đổi tập nghiệm của bài tốn min{f (x) : x ∈ D}.
Do đó trong (1.2) chúng ta có thể sử dụng dạng đơn giản của hàm mục tiêu
1
x, Ax + c, x . Từ đó, ta có phát biểu bài tốn quy hoạch tồn
f (x) =
2
phương trên không gian Hilbert như sau.

Định nghĩa 1.5.7. Bài tốn quy hoạch tồn phương trên khơng gian Hilbert
là bài toán dạng


min f (x) = 1 x, Ax + c, x
2
1

v.đ.k. x ∈ X : gi (x) = x, Ai x + ci , x + αi ≤ 0, ∀i ∈ I
2

(QP)

trong đó X là một khơng gian Hilbert, A : X → X là tốn tử tuyến tính liên
tục tự liên hợp, Ai là các tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp nửa xác định
dương trên X , c, ci ∈ X , αi ∈ R, và I = {1, 2, . . . , m}.
Nếu Ti là các tốn tử khơng, i = 1, . . . , m, thì chúng ta nói rằng bài tốn
(QP) là bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính và được ký
hiểu bởi (QPL). Nếu T là tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp khơng âm,
thì f là hàm lồi, chúng ta nói rằng (QP) là bài tốn quy hoạch tồn phương
lồi và ký hiệu bởi (CQP).
Nếu dim X < ∞ thì bài tốn (QP) được gọi là bài tốn quy hoạch tồn
phương hữu hạn chiều.

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chương 2

Sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy
hoạch tồn phương lồi
Chương này nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn
phương lồi (CQP). Bằng cách sử dụng tích chất Legendre của dạng tồn phương
hoặc tính chất hạng hữu hạn của các toán tử tương ứng với các dạng tồn
phương, ta có thể chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài tốn quy hoạch tồn
phương lồi với ràng buộc tồn phương trong khơng gian Hilbert mà khơng cần
địi hỏi hạn chế vào hàm mục tiêu hoặc tính compact của tập ràng buộc. Nội
dung của chương này được viết dựa trên cơ sở bài báo [5] của Vũ Văn Đồng và
Nguyễn Năng Tâm.

2.1

Phát biểu bài toán

Cho X là không gian Hilbert, trong Chương 2 chúng tôi khảo sát sự tồn tại
nghiệm của bài tốn (QP) lồi có dạng:
Bài tốn 2.1.1 ([5]). Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi trong khơng gian
Hilbert là bài tốn


min f (x) = 1 x, Ax + c, x
2
1

v.đ.k. x ∈ X : gi (x) = x, Ai x + ci , x + αi ≤ 0, ∀i ∈ I
2

(CQP)

trong đó A, Ai : X → X là nửa xác định dương, liên tục và tự liên hợp tuyến
tính, và c, ci ∈ X , αi ∈ R, I = {1, 2, . . . , m}.
19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


So với bài toán (QP) Chương 1, trong phát biểu của bài toán (CQP) yêu
cầu thêm A là nửa xác định dương. Do đó, f là hàm tồn phương lồi nên bài
tốn quy hoạch tồn phương được gọi là lồi.
Nếu với mỗi i = 1, 2, . . . , m, Ai là tốn tử khơng, thì ta nói rằng (CQP) là
bài tốn quy hoạch tồn phương lồi dưới ràng buộc tuyến tính và ký hiệu bởi
(QPL). Nếu A, Ai là các tốn tử khơng với mọi i = 1, 2, . . . , m thì (CQP) trở
thành bài tốn quy hoạch tuyến tính và thường được ký hiệu bởi (LP).
Vì A và Ai xác định dương, liên tục, theo Mệnh đề 1.3.10 và 1.3.11 suy ra
f, gi , (i = 1, 2, . . . , m) là lồi và nửa liên tục dưới yếu.
Ký hiệu
D=

x ∈ X | gi (x) =

1
x, Ai x + ci , x + αi ≤ 0, ∀i ∈ I
2

là tập ràng buộc của (CQP). Vì gi , i = 1, 2, . . . , m là lồi và liên tục, D là giao
của các tập lồi nên D là đóng và lồi. Do đó tập ràng buộc D của (CQP) là lồi
và đóng yếu.
Định nghĩa 2.1.2 ([4]). Nón lùi xa (recession cone) của tập lồi đóng khác rỗng
X ⊂ X đóng vai trò quan trọng đối với kết quả của chúng tơi. Cho X ⊂ X . Nón

lùi của X được xác định bởi 0+ X = {v ∈ X | ∃x ∈ X với x + tv ∈ X ∀t ≥ 0}.
Nón lùi xa của tập ràng buộc D của (CQP) có thể được miêu tả tường minh
như sau.
Mệnh đề 2.1.3 ([5]). Nếu D khác rỗng thì
0+ D = {v ∈ X | Ai v = 0, ci , v ≤ 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , m}.

(2.1)

Chứng minh. Cố định điểm x ∈ D và láy v ∈ X túy ý. Ta sẽ chỉ ra rằng
v ∈ 0+ D khi và chỉ khi
Ai v = 0, ci , v ≤ 0,

∀i = 1, . . . , m.

(2.2)

Điều kiện cần. Giả sử v ∈ 0+ D, khi đó ∀i = 1, . . . , m, ∀t ≥ 0 ta có
1
(x + tv), Ai (x + tv) + ci , (x + tv) + αi ≤ 0.
2

(2.3)

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vì các tốn tử Ai là nửa xác định dương, từ (2.3) ta suy ra
ci , (x + tv) + αi ≤ 0,

∀i = 1, . . . , m, ∀t ≥ 0.

Nhân cả hai vế của các bất đẳng thức trên với t−1 , t > 0 và cho qua giới hạn
khi t → ∞, ta đạt được ci , v ≤ 0 với i = 1, . . . , m. Tiếp theo, nhân cả hai vế
của các bất đẳng thức trong (2.3) với t−2 , t > 0 và cho qua giới hạn khi t → ∞,
ta đạt được v, Ai v ≤ 0. Kết hợp điều này với tính xác định dương của Ai , ta
có thể khẳng định rằng v, Ai v = 0, tức là y = v là một nghiệm của bài toán
tối ưu không ràng buộc
min hi (y) :=

1
y, Ai y | y ∈ X
2

.

Vì các hàm hi là khả vi Frechet nên theo quy tắc Fermat, ta có Ai v = 0,
i = 1, 2, . . . , m.
Điều kiện đủ. Giả sử (2.2) thỏa mãn, khi đó với bất kỳ t ≥ 0,
1
(x + tv), Ai (x + tv) + ci , (x + tv) + αi
2
1
= x, Ai x + ci , x + αi + t ci , v
2
1
≤ x, Ai x + ci , x + αi ≤ 0, i = 1, . . . , m.
2
Điều này có nghĩa là x + tv ∈ D với mỗi t ≥ 0. Vậy v ∈ 0+ D. Bổ đề được chứng

minh.
Ví dụ 2.1.4. Xét X =

2

, giả sử rằng A1 : X → X được xác định bởi A1 x =

(0, x2 , 0, 0, . . .), với x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈

2

, và c1 = (1, 0, 0, . . .) ∈

2

,

α1 = −1. Khi đó, tập
D = {x = (x1 , x2 , . . .) ∈

2

| x22 + x1 − 1 ≤ 0}

có nón lùi xa là
0+ D = {v ∈ D | A1 v = 0, c1 , v ≤ 0}
= {(v1 , 0, v3 , v4 , . . .) ∈

2

| v1 ≤ 0, v2 = 0}.

Nhận xét 2.1.5. Giả sử rằng xk ∈ D\{0} với mọi k, xk → ∞ khi k → ∞
và xk

−1 k

x hội tụ yếu tới v. Khi đó, v ∈ 0+ D.
21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2.2

Sự tồn tại nghiệm

Mục này nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn phương
lồi (CQP). Để chứng minh kết quả chính chúng tơi cần định lý sau.
1
x, Ax + c, x , trong đó A : X → X là
2
tốn tử tự liên hợp tuyến tính liên tục nửa xác định dương, và c ∈ X . Giả sử
Định lý 2.2.1 ([5]). Cho f (x) =

rằng f bị chặn dưới trên X và một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) x, Ax là một dạng Legendre,
(ii) A là tốn tử hạng hữu hạn.
Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho f (x) ≤ f (x) với mọi x ∈ X .
Chứng minh. Đặt f ∗ = inf{f (x) | x ∈ X } > −∞. Với mỗi k, xét tập Sk =

{x ∈ X | f (x) ≤ f ∗ + k1 }. Từ giả thiết f ∗ > −∞, tồn tại xk ∈ X sao cho
f (xk ) =

1 k
1
x , Axk + c, xk ≤ f ∗ + .
2
k

(2.4)

Do đó Sk khác rỗng. Vì f lồi và liên tục, mỗi tập Sk lồi và đóng. Cho nên, Sk
có phần tử có chuẩn nhỏ nhất. Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử xk
trong (2.4) là phần tử có chuẩn nhỏ nhất trong Sk .
Xét dãy {xk }. Ta sẽ chứng minh {xk } bị chặn. Giả sử phản chứng {xk }
khơng bị chặn. Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử xk → ∞ khi
xk
k → ∞, xk = 0 với mọi k. Đặt v k :=
, ta có v k = 1. Khi đó, tồn
k
x
k
tại dãy con {v } hội tụ yếu với v. Khơng mất tính tổng quát ta có thể giả sử
vk

v khi k → ∞.
Ta sẽ chứng minh rằng
Av = 0,

c, v = 0.

(2.5)

Vì A nửa xác định dương, theo Mệnh đề 1.3.11, x, Ax nửa liên tục dưới yếu.
Chia cả hai vế của (2.4) cho xk 2 , cho k → ∞, ta có
0≤

1
1
1
v, Av ≤ lim inf v k , Av k ≤ lim sup v k , Av k ≤ 0.
2
2 k→∞
2 k→∞
22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Suy ra
v, Av = lim v k , Av k = 0.

(2.6)

k→∞

Vì A là nửa xác định dương, từ kết quả bên trên ta có thể suy ra
Av = 0.

(2.7)

Do tính nửa xác định dương của A, từ (2.4) suy ra rằng
1
c, xk ≤ f ∗ + .
k

(2.8)

Chia cả hai vế của bất đẳng thức (2.8) cho xk , cho k → ∞ ta thu được
c, v ≤ 0.
Bây giờ ta chứng minh rằng c, v = 0. Thật vậy, giả sử c, v < 0. Với k cố
định và với mọi t > 0, ta có xk + tv ∈ X và
t2
f (x + tv) = f (x ) +
v, Av + t Axk + c, v
2
k
= f (x ) + t c, v → −∞ khi t → +∞.
k

k

Điều này mâu thuẫn với f bị chặn dưới trên X . Do vậy, ta có
c, v = 0.

(2.9)

Kết hợp (2.7) với (2.9) ta thu được (2.5).
Xét trường hợp khi x, Ax là dạng Legendre. Vì x, Ax là một dạng Legendre và v k

v khi k → ∞, theo (2.6), v k hội tụ tới v. Do đó ta có v = 0 và

v = 1. Đặt y k (t) := xk − tv, t ∈ R, theo (2.5), ta có
f (y k (t)) = f (xk − tv)
1 k
t2
k
k
v, Av − t xk , Av − t c, v
= x , Ax + c, x +
2
2
1
= f (xk ) ≤ f ∗ + .
k
Điều này chỉ ra y k (t) ∈ Sk với bất kì số thực t. Mặt khác, ta có
y k (t)

2

= xk − tv

2

= xk

2

− t 2 xk , v + t v

2

.

(2.10)

23

LUAN VAN CHAT LUONG download : add