xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

đại học tháI nguyên
TRNG I HC KHOA HC




Lý minh thùy


Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn
trong không gian hilbert





luận văn thạc sĩ toán học





TháI nguyên, 2014



Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn 6
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . . 15
1.4 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn 19
2.1 Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên . . . . . . . . 19
2.2 Điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn . . . . 26
2.3 Phương pháp lai ghép thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Đỗ Văn Lưu. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự tận tâm và nhiệt tình của Thầy trong
suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trong
Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức
phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Từ đáy lòng
mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo,
Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã
quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn
vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt

nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Lý Minh Thùy
2
DANH MỤC KÝ HIỆU
X Không gian Banach thực
H Không gian Hilbert thực
∅ Tập rỗng
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
D(T ) Miền xác định của toán tử T
Fix(T ) Tập các điểm bất động của toán tử T
x
n
→ x Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
x
n
 x Dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
3
MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của toán học như giải tích số, phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán
chấp nhận lồi, bài toán cân bằng . . . .
Cho H là một không gian Hilbert thực;C là một tập con lồi,đóng,khác
rỗng của H; T : C → H là một ánh xạ phi tuyến. Điểm x

∗
∈ C thỏa
mãn T x
∗
= x
∗
gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Trong nhiều trường
hợp, việc giải một phương trình được đưa về bài toán tìm điểm bất
động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn nghiệm của phương trình
toán tử Ax = f, ở đây A : H → H là một ánh xạ phi tuyến, f
là phần tử thuộc H, là điểm bất động của ánh xạ S xác định bởi
Sx = Ax + x − f với x ∈ H.
Lý thuyết điểm bất động và vấn đề xấp xỉ điểm bất động là vấn đề
thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Mục đích của đề tài luận văn này nhằm trình bày một số kết quả
mới đây của Giáo sư Nguyễn Bường về xấp xỉ điểm bất động của ánh
xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương
1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, bài toán
điểm bất động và một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh
xạ.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất
động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
4
Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là đọc, dịch, tổng hợp
kiến thức trong các tài liệu [2] và [3]. Toàn bộ phần chứng minh các
định lý trong chương 2 được chúng tôi làm rõ từ các kết quả nghiên
cứu đã công bố trong [2] và [3].
5
Chương 1

Bài toán điểm bất động của ánh
xạ không giãn
Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu về không gian
Hilbert thực, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert nhằm trang
bị những kiến thức cần thiết cho việc trình bày phương pháp xấp xỉ
điểm bất động của ánh xạ không giãn. Tiếp đó, chúng tôi trình bày về
bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn và một số phương pháp
lặp cổ điển giải bài toán này như phương pháp lặp Mann, phương pháp
lặp Ishikawa và phương pháp lặp Halpern. Các kiến thức của chương
này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[7].
1.1 Không gian Hilbert
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số kết quả về
không gian Hilbert thực H.
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một
tích vô hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa
mãn các điều kiện sau:
6
i) x, x > 0, ∀x = 0, x, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ H;
iii) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ·, · được gọi là
không gian tiền Hilbert.
Nhận xét 1.1. i) Không gian tiền Hilbert là một không gian định
chuẩn với chuẩn:
||x|| = x, x
1
2
, ∀x ∈ H.
ii) Đẳng thức hình bình hành luôn thỏa mãn trong không gian tiền

Hilbert H:
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2
), ∀x, y ∈ H.
Ngược lại, nếu không gian định chuẩn X có chuẩn thỏa mãn đẳng
thức hình bình hành thì trên đó ta có thể xây dựng một tích vô hướng
x, y =
1
4
(||x + y||
2
− ||x − y||
2
), ∀x, y ∈ X.
Khi đó X trở thành không gian tiền Hilbert.
iii) Trong không gian tiền Hilbert H bất đẳng thức Schwarz luôn
thỏa mãn:
|x, y| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ H.
Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. Các không gian R
n
, L
2

[a, b] là các không gian Hilbert với
7
tích vô hướng được xác định tương ứng là:
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
, x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
;
x, y =
b

a

x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ L
2
[a, b].
Định nghĩa 1.3. Dãy {x
n
}
∞
n=1
trong không gian Hilbert H được gọi
là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim
n→∞
x
n
, y = x, y, với mọi
y ∈ H.
Định nghĩa 1.4. Tập hợp C ⊂ H được gọi là lồi nếu
∀x
1
, x
2
∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λx
1
+ (1 − λ)x
2
∈ C.
Ví dụ 1.2. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng,
đường thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi.
Định nghĩa 1.5. Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội
tụ {x
n

} ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là
∀{x
n
} ⊂ C : x
n
→ x ⇒ x ∈ C.
Ví dụ 1.3. Hình cầu đóng B(x, r) tâm x, bán kính r là tập đóng.
Bổ đề 1.1. Giả sử H là không gian Hilbert thực, C là một tập con
lồi, đóng trong H và các điểm x, y, z ∈ H. Với một số thực a bất kỳ,
tập hợp
v ∈ C : y − v
2
≤ x − v
2
+ z, v + a
là tập lồi đóng trong H.
8
1.2 Ánh xạ không giãn
Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ với
miền xác định là D(T ), miền giá trị là R(T ).
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ T : H → H được gọi là liên tục Lipschitz
nếu tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn
T x − T y ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.1)
Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T .
Nếu L < 1 thì T là ánh xạ co và nếu L = 1 thì T là ánh xạ không
giãn, nghĩa là:
T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.2)
Sau đây là khái niệm và một số tính chất của phép chiếu mêtric.
Định nghĩa 1.7. Cho C là một tập con lồi ,đóng của không gian
Hilbert thực H, phép chiếu mêtric P

C
từ H lên C cho tương ứng mỗi
x ∈ H với phần tử P
C
(x) ∈ C thỏa mãn
x − P
C
(x) ≤ x − y với mọi y ∈ C.
Bổ đề 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng trong không gian Hilbert thực
H, với bất kì x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho ||z−x|| ≤ ||y−x||,
với mọi y ∈ C và z = P
C
(x) nếu và chỉ nếu z − x, y − z ≥ 0, với
mọi y ∈ C
Định lý 1.1. Nếu C là một tập con lồi ,đóng , khác rỗng trong không
gian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất x
0
của C sao cho
x
0
 ≤ x với mọi x ∈ C.
9
Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành ta có
x + y
2
+ x − y
2
= 2

x

2
+ y
2

với mọi x, y ∈ C.
Do đó
x − y
2
= 2

x
2
+ y
2

− 4





x + y
2





2
(1.3)

Đặt d = inf
x∈C
x. Vì C là một tập lồi nên
x + y
2
∈ C. Do đó





x + y
2





≥
d. Từ đó và từ đẳng thức (1.3) suy ra
x − y
2
≤ 2x
2
+ 2y
2
− 4d
2
. (1.4)
Nếu x = d và y = d thì từ (1.4) suy ra x = y. Do đó phần tử x

0
nói trong định lý, nếu tồn tại, là duy nhất. Do định nghĩa của d, tồn
tại một dãy phần tử x
n
của C sao cho lim
n→∞
x
n
 = d. Theo (1.4), với
mọi n ta có
x
n
− x
m

2
≤ 2x
n

2
+ 2y
n

2
− 4d
2
.
Do đó lim
m,n→∞
||x

n
− x
m
|| = 0. Vậy {x
n
} là một dãy Cauchy. Vì H là
không gian đầy đủ nên dãy x
n
hội tụ đến x
0
∈ H. Do C là một tập
đóng trong H nên x
0
∈ C. Ngoài ra, x
0
 = lim
n→∞
x
n
 = d.
Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập con lồi ,đóng ,khác rỗng của không
gian Hilbert H và P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó những
điều sau thỏa mãn:
(i) P
C
(P
C
(x)) = P

C
(x) với mọi x ∈ H;
(ii) P
C
là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là:
x − y, P
C
(x) − P
C
(y) ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
, ∀x, y ∈ H;
10
(iii) P
C
là ánh xạ không giãn, nghĩa là :
P
C
(x) − P
C
(y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H;
(iv) P
C
là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là
P
C

(x) − P
C
(y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H;
(v) x
n
 x
0
và P
C
(x
n
) → y
0
⇒ P
C
(x
0
) = y
0
.
Chứng minh. (i) Giả sử rằng P
C
(x) ∈ C với mọi x ∈ H và P
C
(z) = z
với mọi z ∈ C, khi đó P
C
(P
C
(x)) = P

C
(x) với mọi x ∈ H.
(ii) Với mọi x, y ∈ H, ta có
x − P
C
(x) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0
và
y − P
C
(y) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0.
Điều đó kéo theo
x − y, P
C
(x) − P
C
(y) ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
.

(iii) là hệ quả trực tiếp của (ii).
(iv) được suy ra từ (ii).
(v) Từ Bổ đề 1.2 ta có:
x
n
− P
C
(x
n
), P
C
(x
n
) − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
Vì x
n
 x
0
và P
C
(x
n
) → y
0
, nên
x
0
− y
0
, y

0
− z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
11
1.3 Bài toán điểm bất động
1.3.1 Bài toán điểm bất động
Định nghĩa 1.8. Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert H
được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T : D(T ) ⊆ H → H nếu
x = T x.
Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ). Chú ý rằng
tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T : D(T ) ⊆ H → H trong
không gian Hilbert H, nếu khác rỗng, là một tập con lồi và đóng của
H.
Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập
con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x
∗
∈ C sao cho T x
∗
= x
∗
. (1.5)
Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.5) tương đương với
việc giải phương trình toán tử
T x − x = 0. (1.6)
Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của
Banach vào năm 1922. Nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm
của phương trình tích phân. Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng,
Định lý điểm bất động Banach đã trở thành một công cụ rất phổ biến
trong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong nhiều ngành của toán
học giải tích.

Định lý 1.2. (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ và T : X → X là một ánh xạ co. Khi đó, T có duy
12
nhất điểm bất động ¯x trong X và với mỗi x
0
∈ X, dãy lặp {x
n
} được
định nghĩa bởi x
n+1
= T x
n
, với n ≥ 0 hội tụ tới ¯x.
Chứng minh. Đặt x
n+1
= T x
n
với n ≥ 0. Do T : X → X là một ánh
xạ co, nên tồn tại hằng số λ ∈ [0, 1) sao cho
d(T x, T y) ≤ λd(x, y).
Ta có
d(x
n
, x
n+1
) = d(T x
n−1
, T x
n
) ≤ λd(x

n−1
, x
n
)
≤ λ
2
d(x
n−2
, x
n−1
)
≤ . . .
≤ λ
n
d(x
0
, x
1
).
Lấy m > n, suy ra
d(x
n
, x
m
) ≤ d(x
n
, x
n+1
) + d(x
n+1

, x
n+2
) + . . . + d(x
m−1
, x
m
)
≤ (λ
n
+ λ
n+1
+ . . . + λ
m−1
)d(x
0
, x
1
)
≤ λ
n
(1 + λ + . . . + λ
m−n−1
)d(x
0
, x
1
)
≤ λ
n
1

1 − λ
d(x
0
, x
1
) → 0 khi n → ∞.
Do đó {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Suy ra
dãy {x
n
} hội tụ tới ¯x ∈ X. Với mỗi n ta có:
0 ≤ d(¯x, T ¯x) ≤ d(¯x, x
n
) + d(x
n
, T ¯x)
= d(¯x, x
n
) + d(T x
n−1
, T ¯x)
≤ d(¯x, x
n
) + λd(x
n−1
, ¯x).
Vì dãy {x
n
} hội tụ về ¯x ∈ X nên d(¯x, x

n
) + λd(x
n−1
, ¯x) → 0 khi
n → ∞. Từ đó 0 ≤ d(¯x, T ¯x) ≤ 0 suy ra d(¯x, T ¯x) = 0 hay T ¯x = ¯x. Vậy
¯x là điểm bất động của ánh xạ T .
13
Giả sử tồn tại ˜x ∈ X sao cho T ˜x = ˜x. Khi đó:
d(¯x, ˜x) = d(T ¯x, T ˜x) ≤ λd(¯x, ˜x).
Vì λ ∈ [0, 1) nên từ bất đẳng thức trên suy ra d(¯x, ˜x) = 0 do đó
¯x = ˜x.
Chú ý rằng, nếu một ánh xạ không giãn T : X → X có điểm bất
động thì nó có thể không duy nhất và dãy {x
n
} được xác định bởi
x
n+1
= T x
n
với n = 0, 1, 2, . . . có thể không hội tụ tới điểm bất động
của ánh xạ T. Ví dụ, cho T : R → R xác định bởi T x = 1 − x. Khi
đó, cho x
0
= 1, dãy {x
n
} được xác định bởi:
x
1
= T x
0

,
x
2
= T x
1
= 1,
x
3
= T x
2
= 0,
.
.
.
x
2n
= T x
2n−1
= 1,
x
2n+1
= T x
2n
= 0,
.
.
.
không hội tụ tới điểm bất động duy nhất
1
2

∈ R của ánh xạ T .
Nếu C là một tập con lồi của X và T : C → C là một ánh xạ không
giãn thì với mọi λ ∈ (0; 1) ánh xạ T
λ
: C → C được xác định bởi:
T
λ
x = λx + (1 − λ)T x, ∀x ∈ C
cũng là ánh xạ không giãn đồng thời T và T
λ
có cùng điểm bất động
trong C.
14
1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động
Trong mục này chúng ta nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểm
bất động cổ điển, đó là phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp
Ishikawa và phương pháp lặp Halpern.
• Phương pháp lặp Mann
Năm 1953, Mann [6] đã đưa ra một dãy lặp hội tụ mạnh đến điểm
bất động của ánh xạ T .
Định lý 1.3. Cho T là một toán tử liên tục từ tập compact [a, b] vào
chính nó. Khi đó dãy {x
n
} trong [a, b] được xác định bởi:
x
0
∈ [a; b] , x
n+1
= T x
n

, x
n
=
n

k=1
x
k
k
, n ≥ 0 (1.7)
hội tụ tới một điểm bất động của T .
Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {x
n
}
được xác định bởi:











x
0
∈ K,
x

n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T x
n
, n ≥ 0,
(1.8)
trong đó K là một tập lồi đóng của H và {α
n
} là dãy thực thỏa mãn:
(C
1
) α
0
= 1,
(C
2
) 0 < α
n
< 1, n ≥ 1,
(C
3
)
∞

n=0

α
n
= ∞.
Người ta gọi (1.7) là dãy lặp Mann tổng quát và (1.8) là dãy lặp
Mann.
Nakajo và Takahashi [7] đã đề xuất một cải tiến của phương pháp
lặp Mann cho trường hợp T là một ánh xạ không giãn trong không
15
gian Hilbert như sau:




































x
0
∈ C bất kỳ;
y
n
= β
n
x
n
+ (1 − β
n
)T x
n
;
C
n

= {z ∈ C : ||y
n
− z|| ≤ ||x
n
− z||};
Q
n
= {z ∈ C : x
n
− z, x
0
− x
n
 ≥ 0};
x
n+1
= P
C
n
∩Q
n
(x
0
), n ≥ 0,
(1.9)
ở đây P
C
là phép chiếu mêtrix từ H lên tập con lồi ,đóng C của H.
Họ đã chứng minh được rằng nếu dãy {β
n

} bị chặn trên bởi 1 thì dãy
lặp {x
n
} xác định bởi (1.9) hội tụ mạnh về P
Fix(T )
(x
0
). Phương pháp
này có nhược điểm là việc tính toán hình chiếu của x
0
lên giao của
hai tập lồi,đóng bất kỳ C
n
và Q
n
gặp nhiều khó khăn.
• Phương pháp lặp Ishikawa
Năm 1974, Ishikawa [5] đã nghiên cứu một suy rộng của dãy lặp
Mann, và được gọi là dãy lặp Ishikawa:
Định lý 1.4. Cho K là tập con compact lồi của không gian Hilbert
H và T : K → K là ánh xạ giả co, liên tục Lipschitz. Khi đó, dãy lặp
{x
n
} trong K xác định bởi:


















x
0
∈ C,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x
n
,
x
n+1
= (1 − α
n
) x

n
+ α
n
T y
n
, n ≥ 0
(1.10)
hội tụ mạnh tới điểm bất động của T , trong đó {α
n
} và {β
n
} là dãy
thực trong [0, 1] thỏa mãn:
(C
4
) 0 ≤ α
n
≤ β
n
≤ 1, n ≥ 1,
(C
5
) lim
n→∞
β
n
= 0,
16
(C
6

)
∞

n=1
α
n
β
n
= ∞.
Chú ý rằng, ánh xạ T : K → K được gọi là giả co nếu
T x − T y
2
≤ x − y
2
+ (I − T )x − (I − T )y
2
, ∀x, y ∈ D(T )
trong đó I là toán tử đồng nhất. Từ định nghĩa này ta thấy mọi ánh
xạ giả co đều là ánh xạ không giãn.
• Phương pháp lặp Halpern
Phương pháp lặp Halpern được Halpern đề xuất năm 1967 trong
[4] dạng:
x
n+1
= α
n
u + (1 − α
n
)T (x
n

), n ≥ 0, (1.11)
trong đó u, x
0
∈ C, {α
n
} ⊂ (0, 1) và T là một ánh xạ không giãn
từ tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C. Halpern đã
chứng minh rằng nếu α
n
= n
−α
, α ∈ (0, 1) thì dãy {x
n
} xác định bởi
(1.11) hội tụ về một điểm bất động của ánh xạ T .
Để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên C, Alber đã
đề xuất phương pháp sau:
x
n+1
= P
C
(x
n
− µ
n
(I − T)x
n
), n ≥ 0, x
0
∈ C, (1.12)

trong đó I là toán tử đơn vị trong H, và ông đã chứng minh rằng nếu
dãy số thực dương {µ
n
} được chọn sao cho µ
n
→ 0 khi n → ∞ và dãy
{x
n
} bị chặn, thì:
(i) tồn tại một điểm tụ yếu ¯x ∈ C của {x
n
};
(ii) tất cả các điểm tụ yếu của {x
n
} thuộc Fix(T );
(iii) nếu Fix(T ) chỉ gồm một điểm, tức là Fix(T ) = {¯x} thì dãy
{x
n
} hội tụ yếu đến ¯x.
17
1.4 Một số bổ đề bổ trợ
Bổ đề 1.3. Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó
||x − y||
2
= ||x||
2
− ||y||
2
− 2x − y, y, ∀x, y ∈ H.
Bổ đề 1.4. (Nguyên lý nửa đóng) Nếu C là tập con lồi, đóng ,khác

rỗng của không gian Hilbert thực H, T là ánh xạ không giãn trên C,
{x
n
} là dãy trong C sao cho x
n
 x và x
n
− T x
n
→ 0 thì x − T x = 0.
Bổ đề 1.5. Mọi không gian Hilbert H đều có tính chất Randon-Riesz
hoặc tính chất Kadec-Klee, nghĩa là, với mọi dãy {x
n
} ∈ H mà x
n
 x
và x
n
 → x, thì x
n
→ x.
Thật vậy, nếu x
n
 x và ||x
n
|| → ||x|| thì
||x
n
− x||
2

= x
n
− x, x
n
− x
= ||x
n
||
2
− 2x
n
, x + ||x||
2
= ||x
n
||
2
+ ||x||
2
− 2x
n
, x
−→ 2||x||
2
− 2||x||
2
= 0.
18
Chương 2
Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ

không giãn
Trong chương này chúng tôi trình bày hai kết quả nghiên cứu mới
đây của Giáo sư Nguyễn Bường và các học trò của ông về phương
pháp lặp Mann-Halpern cải biên và phương pháp lai ghép thu hẹp tìm
điểm bất động của một ánh xạ không giãn, điểm bất động chung của
hai ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Các kết quả trình
bày trong chương này được lấy từ tài liệu [2] và [3].
2.1 Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên
Trong mục này trình bày một cải biên của phương pháp lặp Mann-
Halpern xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không
gian Hilbert H. Kết quả này được lấy từ bài báo [2] công bố năm
2011.
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng,
khác rỗng của H, T : C → H là một ánh xạ không giãn. Ta xét
19
phương pháp lặp sau đây:























































x
0
∈ H bất kỳ;
z
n
= α
n
P
C
(x
n
) + (1 − α
n
)P
C
T P
C
(x
n
);
y

n
= β
n
x
0
+ (1 − β
n
)P
C
T z
n
;
H
n
= {z ∈ H : ||y
n
− z||
2
≤ ||x
n
− z||
2
+ β
n
(||x
0
||
2
+2x
n

− x
0
, z)};
W
n
= {z ∈ H : x
n
− z, x
0
− x
n
 ≥ 0};
x
n+1
= P
H
n
∩W
n
(x
0
), n ≥ 0.
(2.1)
Phương pháp (2.1) được Giáo sư Nguyễn Bường và nhóm nghiên cứu
đưa ra năm 2011 trong [2]. Phương pháp này khắc phục được một số
nhược điểm của phương pháp (1.9) và một số phương pháp hiện có.
Các tác giả đã thay việc chiếu x
0
lên tập lồi đóng bất kỳ bằng việc
chiếu lên các nửa không gian, vì đã có phương pháp lặp hiện giải quyết

được loại bài toán này.
Sự hội tụ mạnh của phương pháp (2.1) được trình bày trong định
lý sau đây:
Định lý 2.1. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert thực H và T : C → H là ánh xạ không giãn sao cho
Fix(T ) = ∅. Giả sử {α
n
} và {β
n
} là các dãy số trong [0, 1] thỏa mãn
α
n
→ 1 và β
n
→ 0. Khi đó, dãy {x
n
}, {y
n
} và {z
n
} được định nghĩa
bởi (2.1) hội tụ mạnh tới điểm u
0
= P
Fix(T)
(x
0
) khi n → ∞.
Chứng minh. Trước hết ta có bất đẳng thức
||y

n
− z||
2
≤ ||x
n
− z||
2
+ β
n
(||x
0
||
2
+ 2x
n
− x
0
, z),
20
tương đương với
(1 − β
n
)x
n
+ β
n
x
0
− y
n

, z ≤ x
n
− y
n
, x
n

−
1
2
||y
n
− x
n
||
2
+
β
n
2
||x
0
||
2
.
Vì vậy, H
n
là một nửa không gian.
Rõ ràng,
Fix(T

1
) = Fix(T
1
P
C
) := {p ∈ H : T
1
P
C
(p) = p},
với bất kỳ ánh xạ T
1
: C → C. Đặt T
1
= P
C
T , ta có Fix(T ) =
Fix(P
C
T P
C
). Sử dụng tính lồi của hàm || · ||
2
và tính không giãn của
phép chiếu P
C
, với bất kỳ p ∈ Fix(T ) mà p = P
C
T P
C

(p) ta có
||z
n
− p||
2
= ||α
n
P
C
(x
n
) − p + (1 − α
n
)P
C
T P
C
(x
n
)||
2
= ||α
n
(P
C
(x
n
) − P
C
(p))

+ (1 − α
n
)[P
C
T P
C
(x
n
) − P
C
T P
C
(p)]||
2
≤ α
n
||x
n
− p||
2
+ (1 − α
n
)||P
C
(x
n
) − P
C
(p)||
2

≤ ||x
n
− p||
2
.
Bằng cách biến đổi tương tự và sử dụng Bổ đề 1.3 với x = x
0
− p và
y = x
n
− p ta nhận được
||y
n
− p||
2
= ||β
n
x
0
+ (1 − β
n
)P
C
T z
n
− p||
2
≤ β
n
||x

0
− p||
2
+ (1 − β
n
)||P
C
T z
n
− P
C
T
p
||
2
≤ β
n
||x
0
− p||
2
+ (1 − β
n
)||z
n
− p||
2
≤ β
n
||x

0
− p||
2
+ (1 − β
n
)||x
n
− p||
2
= ||x
n
− p||
2
+ β
n
(||x
0
− p||
2
− ||x
n
− p||
2
)
= ||x
n
− p||
2
+ β
n

(||x
0
||
2
+ 2x
n
− x
0
, p).
21
Vì vậy, p ∈ H
n
với mọi n ≥ 0. Điều đó có nghĩa Fix(T ) ⊂ H
n
, ∀n ≥ 0.
Tiếp theo ta chỉ ra rằng Fix(T ) ⊂ H
n
∩ W
n
, với mỗi n ≥ 0 bằng
phương pháp quy nạp. Thật vậy, với n = 0, ta có W
0
= H, suy ra
Fix(T ) ⊂ H
0
∩ W
0
. Giả sử rằng x
i
cho trước và Fix(T ) ⊂ H

i
∩ W
i
, với
i > 0. Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử x
i+1
∈ H
i
∩ W
i
sao cho
x
i+1
= P
H
i
∩W
i
(x
0
). Theo Bổ đề 1.2 suy ra
x
i+1
− x
0
, p − x
i+1
 ≥ 0 với mỗi p ∈ H
i
∩ W

i
.
Vì Fix(T ) ⊂ H
i
∩ W
i
, nên Fix(T ) ⊂ W
i+1
. Vì vậy, Fix(T ) ⊂ H
i+1
∩
W
i+1
. Hơn nữa, vì Fix(T ) là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H,
tồn tại duy nhất một phần tử u
0
∈ Fix(T ) sao cho u
0
= P
Fix(T )
(x
0
).
Từ x
n+1
= P
H
n
∩W
n

(x
0
), ta được
||x
n+1
− x
0
|| ≤ ||z − x
0
||, ∀z ∈ H
n
∩ W
n
.
Vì u
0
∈ Fix(T ) ⊂ W
n
, nên
||x
n+1
− x
0
|| ≤ ||u
0
− x
0
||, n ≥ 0. (2.2)
Suy ra dãy {x
n

} bị chặn. Do P
C
, T là các ánh xạ không giãn nên các
dãy {P
C
T P
C
(x
n
)}, {z
n
} và {T z
n
} cũng bị chặn.
Bây giờ ta chỉ ra rằng
lim
n→∞
||x
n+1
− x
n
|| = 0. (2.3)
Từ định nghĩa của W
n
và Bổ đề 1.2, suy ra x
n
= P
W
n
(x

0
). Vì x
n+1
∈
H
n
∩ W
n
, nên
||x
n+1
− x
0
|| ≥ ||x
n
− x
0
||, n ≥ 0.
Vì vậy, dãy {||x
n
− x
0
||} là dãy không giảm và bị chặn. Do đó tồn tại
22
giới hạn hữu hạn lim
n→∞
||x
n
− x
0

|| = c. Mặt khác, từ x
n+1
∈ W
n
, ta có
x
n
− x
0
, x
n+1
− x
n
 ≥ 0
và suy ra
||x
n
− x
n+1
||
2
= ||x
n
− x
0
− (x
n+1
− x
0
)||

2
= ||x
n
− x
0
||
2
− 2x
n
− x
0
, x
n+1
− x
0

+ ||x
n+1
− x
0
||
2
≤ ||x
n+1
− x
0
||
2
− ||x
n

− x
0
||
2
, ∀n ≥ 0.
Vì vậy, (2.3) được suy ra từ bất đẳng thức trên và
lim
n→∞
||x
n
− x
0
|| = c.
Vì α
n
→ 1 và các dãy {x
n
}, {P
C
T P
C
(x
n
)} bị chặn, từ (2.1) suy ra
lim
n→∞
||z
n
− P
C

(x
n
)|| = lim
n→∞
(1 − α
n
)||P
C
(x
n
) − P
C
T P
C
(x
n
)||
= 0.
(2.4)
Mặt khác, vì x
n+1
∈ H
n
, nên
||y
n
− x
n+1
||
2

≤ ||x
n
− x
n+1
||
2
+ β
n
(||x
0
|| + 2x
n
− x
0
, x
n+1
).
Vì vậy, từ (2.3), tính bị chặn của dãy {x
n
}, β → 0 và bất đẳng trên
ta suy ra
lim
n→∞
||y
n
− x
n+1
|| = 0. (2.5)
Kết hợp với (2.3) suy ra
lim

n→∞
||y
n
− x
n
|| = 0. (2.6)
Chú ý rằng
P
C
T z
n
= y
n
− β
n
(x
n
− P
C
T z
n
) + β
n
(x
n
− x
0
)
23
nên

||x
n
− P
C
T z
n
|| ≤ ||x
n
− y
n
|| + β
n
||x
n
− P
C
T z
n
|| + β
n
||x
n
− x
0
||.
Từ (2.2) và bất đẳng thức cuối ta suy ra
||x
n
− P
C

T z
n
|| ≤
1
1 − β
n
(||x
n
− y
n
|| + β
n
||u
0
− x
0
||).
Vì β
n
→ 0 (β
n
≤ 1 − β với β ∈ (0, 1)), (2.6) và bất đẳng trên ta nhận
được
lim
n→∞
||x
n
− P
C
T z

n
|| = 0. (2.7)
Hơn nữa, ta có P
C
T z
n
= P
C
T
C
T z
n
và do đó
||z
n
− P
C
T z
n
|| ≤ ||z
n
− P
C
(x
n
)|| + ||P
C
(x
n
) − P

C
P
C
(T z
n
)||
≤ ||z
n
− P
C
(x
n
)|| + ||x
n
− P
C
T z
n
||.
Từ (2.4), (2.7), bất đẳng thức cuối suy ra
lim
n→∞
||z
n
− P
C
T z
n
|| = 0. (2.8)
Do {x

n
} bị chặn, tồn tại dãy con {x
n
j
} ⊂ {x
n
} hội tụ yếu tới một
phần tử p ∈ H khi j → ∞. Từ (2.7) và (2.8) ta cũng có {z
n
j
} hội tụ
yếu tới p. Vì {z
n
} ⊂ C, ta được p ∈ C theo Bổ đề 1.4 và công thức
(2.8), p ∈ Fix(P
C
T ) = Fix(T ).
Bây giờ, từ (2.2) và tính nửa liên tục yếu của chuẩn ta suy ra rằng
||x
0
− u
0
|| ≤||x
0
− p|| ≤ lim inf
j→∞
||x
0
− x
n

j
||
≤ lim sup
j→∞
||x
0
− x
n
j
|| ≤ ||x
0
− u
0
||.
Vì vậy, ta được
lim
j→∞
||x
0
− x
n
j
|| = ||x
0
− u
0
|| = ||x
0
− p||.
24