Luận văn thạc sĩ HUS bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế001

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THỊ VÂN ANH

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG
LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội -2011

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THỊ VÂN ANH

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG
LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã ngành: 604401

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội -2011

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU............................................................................... Error! Bookmark not defined.
CHƯƠNG 1
BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬError!
Bookmark not defined.
1.1 Thành lập cơng thức của bài tốn tán xạ ........................ Error! Bookmark not defined.
1.2. Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử. ....... Error! Bookmark not
defined.
CHƯƠNG 2
KỂ THÊM BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG PHƯƠNG TRÌNH
CHUẨN THẾ ....................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.1 Phương trình chuẩn thế .................................................. Error! Bookmark not defined.
2.2 Phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ ............... Error! Bookmark not defined.
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN .. Error! Bookmark not
defined.
3.1 Phép gần đúng Born ...................................................... Error! Bookmark not defined.
3.2 Vùng năng lượng cao .................................................... Error! Bookmark not defined.
3.3 Thế Yukawa. ................................................................. Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN .......................................................................... Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................... Error! Bookmark not defined.
PHỤ LỤC ............................................................................. Error! Bookmark not defined.
Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn thế .............................. Error! Bookmark not defined.
Phụ lục B: Tính đóng góp của phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ Error!
Bookmark not defined.
Phụ lục C : Tính đóng góp của phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ bất kỳ

............................................................................................ Error! Bookmark not defined.
Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng trong chương 3 .......... Error! Bookmark not defined.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

MỞ ĐẦU
Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong cơ
học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu được
cho biên độ tán xạ được dùng rất rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm của vật lý
năng lượng cao [3-6].
Sử dụng phép gần đúng này trên cơ sở phương trình chuẩn thế LogunovTavkhelidze trong lý thuyết trường lượng tử, lần đầu tiên người ta đã thu được biểu
diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ
(góc tán xạ nhỏ). Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ nay, cũng có thể thu được khi
người ta tiến hành lấy tổng các giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm
hàm. Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với
việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi
[11,12] như sau:
1

2
1





2
2
 p   ki   m    2 p  ki   ki  ,
i
i
i






(0.1)

trong đó p là xung lượng của hạt tán xạ, ki – là xung lượng của các hạt được trao đổi
và trong công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng ki k j  0 . Phép gần đúng này được sử dụng
để nghiên cứu các quá trình tán xạ năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ
đạo thẳng hay gần đúng eikonal. Bức tranh vật lý ở đây như sau: Các hạt năng
lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng tử ảo, đồng
thời khơng có sự liên kết tương thích giữa các q trình trao đổi riêng biệt với
nhau, nên số hạng tương quan ki k j khơng có mặt trong hàm truyền (0.1).
Các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng
năng lượng cao, gần đây được giới khoa học quan tâm nghiên cứu, khi tương tác giữa
các hạt là tương tác hấp dẫn và các số hạng bổ chính liên quan đến lực hấp dẫn mạnh ở
gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt những hiệu ứng hấp dẫn lượng tử
/11-13/. Việc xác định những số hạng bổ chính cho biểu diễn tán xạ eikonal trong lý

Khoa Vật lý

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

thuyết hấp dẫn là cần thiết , song nó là vấn đề cịn bỏ ngỏ, khi năng lượng của hạt tăng,
các số hạng bổ chính tiếp theo được tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh hơn
số hạng trước nó.
Mục đích của Ban luận văn Thạc sĩ này là tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ
tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế ở vùng năng lượng cao và
xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử.
Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài
liệu trích dẫn và bốn phụ lục.
Chƣơng 1.Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử. Trong
mục 1.1 xuất phát từ phương trình dừng Schrodinger của hạt ở trường ngồi theo định
nghĩa ta tìm cơng thức eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao và xung
lượng truyền nhỏ. Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ cùng với các điều kiện cần
thiết cho phép sử dụng gần đúng này được trình bầy ở mục 2.
Chƣơng 2.Biểu diễn eikonal và bổ chính bậc nhất. Trong mục 2.1 giới thiệu
phương trình chuẩn thế cho biên độ tán xạ, và cho hàm sóng. Trong mục 2.2 xuất phát
từ phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, thực hiện sự khai triển hàm sóng và

phương trình này theo xung lượng của hạt p  p . Sử dụng phép khai triển này ta thu
được biểu diễn eikonal và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ.
Chƣơng 3. Bài tốn trên dựa trên phương trình chuẩn thế được giải quyết bằng
phương pháp lặp theo gần đúng của Born (lý thuyết nhiễu loạn theo thế tương tác). Ở
mục 2.1 chuẩn thế dưới dạng thế Gauss được sử dụng để minh họa phương pháp tính

biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất của nó trong những bậc gần đúng Born thấp nhất.
Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần đúng Born và khai triển biên độ tán xạ theo lũy
thừa của 1/p, tương tự như phân tích ở chương II, kết quả số hạng chính và số hạng bổ
chính bậc nhất cho biên độ tán xạ cũng tìm được ở mục 2.2. Trường thế Yukawa tương
ứng với sự trao đổi giữa các hạt các lượng tử với spin khác nhau, đã được sử dụng để
minh hoa sự phụ thuộc vào năng lượng của các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ
eikonal .Cuối cùng là kết luận chung, các tài liệu tham khảo và phụ lục liên quan tới
luận văn.
Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và metric Pauli:
x  x   ( x1  x, x2  y, x3  z, x4  ict  it )  x  ;

Khoa Vật lý

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh



ab  a b  ab  a0b0  ab  a4b4  ak bk  a4b4 ;

 k  1, 2,3 ,

 

1

0

0

0

0 0 0

1 0 0
.
0 1 0

0 0 1

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4.

Khoa Vật lý

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

CHƢƠNG 1

BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ
HỌC LƢỢNG TỬ
Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương
trình Schrodinger. Giả sử có hạt tán xạ ở trường ngồi, thì dáng điệu của hàm sóng
của hạt bị tán xạ có thể tìm dưới dạng


 tán xa

eikr
  toi  f ( ,  )
r

Trong đó f ( ,  ) là biên độ tán xạ cần tìm. Nếu năng lượng của hạt là lớn, góc tán xạ
nhỏ, thì ta có thể tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta còn gọi
là biểu diễn Glaubert /9/ , người đầu tiên thu được công thức này trong cơ học lượng
tử.

1.1 Thành lập cơng thức của bài tốn tán xạ
Q trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình
Schrodinger:

 
2  k 2  (r )  U(r) (r) ,

(1.1.1)



2mE

2
mV
(
r
)
ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu k 2  2 và U (r ) 
. Nghiệm của
2



phương trình vi phân (1.1.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân:


  

(r )  (r)   d 3r ' G0 (r, r ')U(r ')(r ') ,

(1.1.2)



trong đó hàm (r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do:

2  k 2  (r )  0 ,

(1.1.3)

Phương trình (1.1.3) là phương trình vi phân cấp 2 nên nghiệm có dạng:



 

(r )  A0eik .r  B0eik .r và hàm Green G0 (r, r ') là nghiệm của phương trình:
 
 
2  k 2  G0 (r, r ')  (3) (r  r ') .
 
Chúng ta tìm G0  r , r '  theo công thức:

(1.1.4)

 
 
 

G0  r , r /    G  r  r /  3  r  r /  d 3 r /

Khoa Vật lý

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

Chuyển phổ Fourier ta có:

 
G0  r , r '  

1

 2 

3
2

e



  
is r  r /

 g s d 3s
 

(1.1.4a)

Vậy :

2  k 2  G0 (r, r / ) 

1

 2 

3

2

2
2
   k  e



  
is r  r /

 g s d 3 s
 

  
  
is r  r
is r  r
Nhưng : 2e    s 2e  
/

/

Sử dụng:  3  r  r /  
 

1

 2 

e

3



  
is r  r /

 d 3 s

Thay vào phương trình (1.1.4a) có:
1

 2 

3

2

  s


 g s  

2

 k 2 e



  
is r  r /



 3
g  s  d  s 

1

 2 

3

e



  
is r  r /

 3
d s

1

 2 

3

2

k

2

 s2 

Đặt vào (1.1.4a) ta có:
 
G0  r , r /  

1

 2 

3

e



  
is r  r /



1
d 3s
k  s2
2



Chuyển sang tọa độ cầu  s, ,   dọc theo trục r
Vì vậy s  r  r /   s r  r / cos
  



e

 
is r  r / cos

 


 
is r  r / cos

sin  d  

0



 
sin s r  r /
2
 
s r r/

e
 
is r  r /

0



Vì vậy:
 
G0  r , r /  

2

2 
(2 ) r  r /

1
 2  /
4 r  r

1













 
s sin s r  r /
k s
2

0



 
s sin s r  r /
k s
2

2

2

ds

 ds

Chuyển sang tích phân phức :

Khoa Vật lý

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh
 

 
G0  r , r /  


i

2 
8 r  r /

 

is r  r /
-is r  r /


 

se
se
ds  
ds  

s  k  s  k  
 
   s  k  s  k 


i
  /  I1  I 2 
8 r  r
2

Sử dụng dạng tích phân Cauchy :

 
  z  z   2 f  z 
f z

0

0

 

 seis r  r /
I1  
  s  k


 

 1
 seis r  r /

ds  2 i 
 sk
 sk



 

 se-is r  r /
I2  
  s  k

 
 G0  r , r /   


1
 /
4 r  r

 

 1
 se-is r  r / 
 
ik r  r /


ds  2 i 
 i e
 sk
 sk 


 s  k
 /
 /
i
 ik r  r  e ik r  r  
  / e

8 r  r 
 

 

eik r  r /  e  ik r  r /

 


 
ik r  r /
  i e

 s k




 

 Aeik r  r / Be ik r  r / 
  /   / 
r r 
 r r


 

Các điều kiện biên của hàm (r ) và G0 (r, r ') được xác định từ điều kiện biên của hàm

(r ) . Phương trình tích phân (1.1.2) được gọi là phương trình Lippman-Schwinger.
1

4

Các nghiệm của phương trình (1.1.3) và (1.1.4) là:




(r )  A0eik .r  B0eik .r

,

 

(1.1.5)

 

 ik r  r '
 ik r r '

1  e
e
G0 (r, r ')  
A   B  
4  r  r '
r r'



 ,



(1.1.6)

trong (1.1.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (1.1.5) và (1.1.6), thì nghiệm

của phương trình Lippman-Schwinger (1.1.7) được viết lại dạng:
 

 

ik r r '
 ik r r '



1
e
e
ik . r
 ik . r
3

(r )  A0 e  B0 e

d r' A    B  
 r r'
4 
r r'


Khoa Vật lý

  
 U (r )(r ') .




(1.1.7)

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh


Theo các điều kiện biên thì hàm sóng (r ) phải bao gồm hai thành phần: thành
phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần còn lại
là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0= B = 0 và (1.1.7) viết lại dưới dạng:
 

ik r  r '


 
1
e
ik . r
3
(r )  A0 e 
d
r

'
U
(
r
)(r ') .


4 
r r'

(1.1.8)

Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm
cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài tốn mà chúng ta xem xét, thế U(r)
được xác định trong một thể tích hữu hạn của khơng gian và các máy đo (detectors)
các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận
rằng r '  r và do đó suy ra gần đúng sau:
 
 r '  2 
r.r '
r r'  r 
 O    .
r
 r  

(1.1.9)

Từ (1.1.9), chúng ta có thể viết lại biểu thức (1.1.8) dạng:
 




1
1 ik ( r  r .rr ' ) 
3
 r  (r )  A0 eik .r 
d
r
'
e
U
(
r
')

(
r
') .
4 
r

(1.1.10)

Đặt Ao = 1, suy ra:




 r   r   eik r  f ( ,  )

eikr
,
r

(1.1.11)

với
f (, )  




1
3
 ik r
d
r
'
e
U
(
r
')

(
r
') ,
4 

(1.1.12)



r
được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trong trường thế V(r), ở đây k  k . Bức tranh
r

minh hoạ cho các biến đổi phức tạp trên được chỉ rõ trong hình vẽ 1:

y

b'

x


r
k'k
r

'



k, z

Khoa Vật lý

7


r   r sin  cos  , r sin  sin  , r cos 

k '   k sin  cos  , k sin  sin  , k cos 

k   0,0, k 

r '   b 'cos  ', b 'sin  ', z ' 

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính tốn trên.
 





Chú ý rằng r , k ' và k là các cực toạ độ cầu và r ' là cực toạ độ trụ.

 

Thông thường, trong thực tế có thể coi f ( ,  ) như là một hàm của k , k ' và do
 

đó có thể viết f ( ,  )  f (k, k ') . Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới f ( ,  )


được chứa đựng trong miền tiệm cận của (r ) nhng các đóng góp tới f ( ,  ) trong
phương trình (1.1.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác khơng.

1.2. Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử.
Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho q
trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn. Các điều kiện cần thiết là
1
1
V
 ka 
. Trong miền giới hạn đó, biên độ tán xạ được viết
 1 và
V/E
( V / E )2
E

dưới dạng :
f (, ) 

 

k
2
 ik '. b '  i ( b ')
d
b

'
e
e
 1


2 

(1.2.1)

ở đây:



1 2m
(b ')  
dz
'
V
(
b
', z ')

2k 2 

(1.2.2)

Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán xạ:
f (, )  




1
3
 ik r
d
r
'
e
V
(
r
')

(
r
')
4 

Và từ phương trình Schrodinger (1.1.3):

 
2  k 2  (r )  V(r )(r )




Ta đặt: (r )  eik .r (r) và chọn k dọc theo hướng z. Khi đó ta có:

Khoa Vật lý

8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh




 2  k 2   r   V  r   r 


  
  2  k 2  eikr   r   V  r  eikr   r 




  
  2 eikr   r   k 2 eikr   r   V  r  eikr   r 




  

   eikr   r    k 2 eikr   r   V  r  eikr   r 








  
  ikeikr   r     eikr   r    k 2eikr   r   V  r  eikr   r 










  
 i 2 k 2 eikr   r   ikeikr   r   ikeikr   r   eikr  2  r   k 2 eikr   r   V  r  eikr   r 









  
 k 2 eikr   r   2ikeikr   r   eikr  2  r   k 2 eikr   r   V  r  eikr   r 




 2ik   r   V  r    r    2  r 



  2ik   V  r     r    2  r 

 
Sử dụng ký hiệu r  (b, z) và chọn k dọc theo hướng z suy ra:





  



2
(1.2.3)
2
ik

V

(
b
,
z
)

(
b
,
z
)



(
b
, z) .
 z



 
ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu r  (b, z) . Chúng ta có thể viết nghiệm của phương

trình (1.2.3) dạng:



 


2
(b, z)  (b, z)   d b '  dz ' Ge (b, z, b ', z ')'2 (b ', z ').

(1.2.4)




(b, z) thoả mãn phương trình:

  


2
ik

U
(
b
, z) (b, z)  0 .
 z



(1.2.5)






 b, z  U b, z  b, z
z


 b, z

1
 z 

U b, z
2ik
 b, z

 

 2ik

   

 
 

 

z


1
 ln  b , z 
U

b
 , u du
2ik 

 

 

z



U  b ,u du

2 ik 
  b , z  e 

 


1



Và hàm Ge (b, z, b ', z ') thoả mãn:
 
 
   



(2)
2
ik

U
(
b
,
z
)
G
(
b
,
z
,
b
',
z
')


(
b
 b ')( z  z ').
e


z




(1.2.6)

Nghiệm của các phương trình (1.2.5) và (1.2.6) là:
Khoa Vật lý

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ
1

Cao Thị Vân Anh
z



duU ( b ,u )

2 ik 
.
(b, z)  e 

(1.2.7)




Với các điều kiện biên là (b)  (b, z  )  1 . Và
1

z



 
1 (2)     2 ik z' du.U ( b,u )
Ge (b, z, b ', z ') 
 (b  b ')( z  z ')e
2ik
1



z





1 (2)     2 ik z' du.U ( b,u )  du.U ( b,u )

 (b  b ')( z  z ')e
2ik
1
2 ik




du.U ( b , u )

1
2 ik

z



1 (2)    
 (b  b ')( z  z ')e z '
.e 
2ik

1 (2)     

 (b  b ')( z  z ')(b, z)1 (b, z).
2ik


(1.2.8)


du.U ( b , u )

Thay (1.2.7) và (1.2.8) vào (1.2.4), ta thu được:




 

2 /
 b , z   b , z   d b  dz / Ge b , z , b / , z /  '2 b , z / 

   
















1  2   /
  b , z   d 2b /  dz /
 b  b   z  z /  b , z  1 b , z  '2 b / , z / 
2ik


 





1
 b, z 
 b, z
2ik

 

 



   







   dz  b , z    b , z  
z

/

z

1

'2

/



 
1
  b , z 1 
dz / 1

 2ik 
z
 
1
  b , z 1 
dz / 1

 2ik 

 









 b , z    b , z  
'2

/



b , z   


2
b



   / 
 b , z 
z '2 

2





Vậy:

z

 
  2 2   
1
1
(b, z)  (b, z) 1 
dz
'

(
b
, z)   b  2  (b, z ')  .

2
ik
z ' 




(1.2.9)

Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau:
z
z'

  z
    
    

     
(b, z)  (b, z) 1   dz ' K  b, z ', b ,    dz ' K  b, z ', b ,   dz '' K  b, z '', b ,   ...
z '  
z '  
z ''  



 






(1.2.10)




ở đây biểu thức của K  b, z,  b ,  tác động lên một hàm g(z) bất kỳ cho bởi:
z
1 1   2  2  
    
K  b, z, b ,  g( z)  
 (b, z)   b  2  (b, z)g(z) .
(1.2.11)
z 
2ik
z 







Thay chuỗi của (b, z) trong (1.2.11) vào dạng của hàm (r )  eik .r (r) ta được:

Khoa Vật lý

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ




Cao Thị Vân Anh



  r   eikr   r  
z
z
z

 

  
 '   
 '   

'
'
 e  b , z 1   dz K  b , z , b , '    dz K  b , z , b , '   dz '' K  b , z '' , b , ''   ... 
z  
z  
z 



 


ikr

'

 




 e  b , z  eikr b , z

ikr

 

 

'

  '    ikr 
dz
K
 b , z , b , '   e  b , z

z 



 

z

'

z'

'

z
  
 '   

dz
K

b
,
z
,

,
dz '' K  b , z '' , b , ''   ...
b
'  
 
z  
z 

'

Thay vào biểu thức biên độ tán xạ(1.1.12) được :
' 
' 


1
1


   
f  ,      d 3r 'eik rU  r   r '     d 3r 'eik rU  r  eikr b , z  eikr b , z
4
4


 





1
1
 ikr 
 ikr 
3 '  ik ' r
3 '  ik ' r
d
r
e
U
r
e

b
,
z

d
r
e
U
r




e  b, z
4 
4 

 

 

 

  '    ikr 
dz
K
  b , z , b , z '   e  b , z


z'

   dz K 

z

'

'



'

z

 '    1
 '  

' 
3 '  ik ' r
' 
dz
K
b
,
z
,

,

d
r
e
U
r
dz
K
b


b




'
 
  , z , b , 
z  4 
z

cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng:
f (, )  f (0) (, )  f (1) (, )  f (2) (, )  ...

(1.2.12)

ở đây:
f (0) (, )  


  


1
2
i ( k  k '). r '
d
b
'
dz
'
e
U

(
b
',
z
)

(
b
', z ')

4 


(1.2.13)

f (1) (, )  


z'
  



1
2
i ( k  k '). r '
d
b
'
dz

'
e
U
(
b
',
z
')

(
b
',
z
')
dz
''
K
(
b
', z ")


4 



(1.2.14)

f (2) (, )  


z'
z"
  




1
2
i ( k  k '). r '
d
b
'
dz
'
e
U
(
b
',
z
')

(
b
',
z
')
dz

''
K
(
b
',
z
")
dz
'''
K
(
b
', z ''') (1.2.15)



4 









chúng ta đã thay K  b, z, b ,




 K (b, z) cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức mũ của các

z 

hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh hoạ trong hình
1 ở trên.

k '   k sin  cos  , k sin  sin  , k cos  

k   0, 0, k 

r '   b 'cos  ', b 'sin  ', z ' 

Khoa Vật lý

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh


k .r '  kz '
 
k ' .r 'sin   cos   cos  '  kb 'sin   sin   sin  '  kz 'cos  
  
i k  k ' .r '  ikz ' ikb 'sin   cos   cos  '   ikb 'sin   sin   sin  '   ikz 'cos  

.   
(1.2.16)
i k  k ' .r '  ikz ' 1  cos     ikb 'sin   cos   cos  '   sin   sin  '  
  

i k  k ' .r '  ikz '.2sin 2  ikb 'sin   cos    '
2









Ta quan tâm tới hàm f (0) (, ) trong khai triển trên. Từ (1.2.7), (1.2.13) và (1.2.14) ta
có thể viết:
f (0) (, )  


  


1
2
i ( k  k '). r '
d
b
'

dz
'
e
U
(
b
',
z
')

(
b
', z ')

4 





1
d 2 b '  dz 'e
4 



 ikb 'sin(  )cos(  ')  ikz '.2sin
2
2

1

z'



du.U ( b ',u )

2 ik 
U (b ', z ')e 

(1.2.17)

ở đây ta đang xét trường hợp khi mơmen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là nhỏ.
Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau:
ikb 'sin() cos(   ')  ikz '.2sin 2



 ikb '  cos(   ')  ikz '.2   .
2
2

Xét ở gần đúng bậc nhất theo  ta nhận được biểu thức sau
ikb 'sin() cos(   ')  ikz '.2sin 2


 ikb '  cos(   ')
2

(1.2.18)

Bây giờ ta viết lại (1.2.17) nh sau:
1

z'



2

du.U ( b ',u )

1
2 ik 
2
 ikb '  cos(  ')

.
f (0) (, )  
d
b
'
d

'
e
dz
'.
U

(
b
',
z
')
e
0

4 


(1.2.19)

Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (1.2.18) cho phép chúng ta đa ra ngồi tích phân


theo z trong (1.2.19) bằng cách thay thế bởi tích phân mới




duU
. (b ', u) .



Khoa Vật lý

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

f

 0

Cao Thị Vân Anh
2



 ikb cos  
1
 ,      d 2b'  d 'e

4
0

'

2

'





'
'
' '
1
2 '
'  ikb cos   
' 2m

d
b
d

e
dz
V
b
0
 2 , z e
4 




2






 ikb'cos   ' 
1 2m 2 '

d b  d 'e
dz 'V b ' , z ' e
2 

4 
0

2

'

2

'



 ikb cos  
1 k

d 2b '  d 'e


4 E
0


2

'



 ikb cos  
k ik

d 2b '  d 'e


2 i 2 E
0

2

'

 ikb cos   ik
k

d 2b '  d 'e
.

2 i
2E
0
'

2



'

 ikb cos  
k
d 2b '  d 'e
.e

2 i
0
'

'

 ik
2E











1
2 ik

z'

'

'

'

'

 du 2 V b , z 
2m



1 2m
2 ik  2

z'

 duV b , z 



1 k2

z'





z'



 ' ' 2 E  duV b ' , z ' 
'
dz V b , z e 



 ik



z'



 ' ' 2 E  duV b ' , z ' 
'
dz V b , z e 





z'



1

 ' ' 2ik E  duV b ' , z ' 
'

dz V b , z e





z'

 ' ' 2ik  duU b ' ,u 
'
dz U b , z e 



 ik



duV b ' ,u

 





  ik duV b' ,u

2
'
'
   
k
2 '
'  ikb cos    2 E 

d b  d e
. e
 1
2 i 
0


z'

Vậy suy ra :

2
k 
 ikb '  cos(  ')  i ( b ')
b

'
db
'
d

'.
e
e
 1 .
0


2i 0



k 1 
ở đây (b ')  
dz ' V(b ', z ') .
2 E 0

f (0) (, ) 

(1.2.20)
(1.2.21)

Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, khơng phụ thuộc vào góc  và
hơn nữa ta có thể bỏ  ' trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ bậc không được
viết lại dạng:
f (0) () 

k 
b ' db ' J0 (kb ' ) ei( b ')  1 .

0
i

(1.2.22)

ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức:
J 0 (t ) 

Khoa Vật lý

1 2
deit cos  .

0
2

(1.2.23)

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

Và tính chất J0  t   J0  t  . Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, chúng ta
đa vào các biến không thứ nguyên u và t với định nghĩa rằng z  au và b  at , ở đây a
là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên. Chúng ta cũng sử dụng


V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm V(r ) . Khi đó biên độ tán xạ trong (1.2.22)
được viết lại dạng:

 ika V  ( t ) 
1
f ( )  a ka  tdtJ0  tka  e E  1
i 0


1 1 
ở đây:   t   
duV(at, au).
2 V 

(1.2.24)
(1.2.25)

Tiết diện tán xạ vi phân được xác định nh bằng biểu thức sau
d scatt ( ) | f ( ) |2 d  | f ( ) |2 .2 sin( ) d


d scatt ( )
1
1

 2 | f ( ) |2 d   2 | f ( ) |2 .2 sin( ) d
2
a
a
a

Để tìm tiết diện tán xạ tồn phần ta lấy tích phân hai về biểu thức trên và thay biểu
thức (1.2.24) vào ta nhận được
 scatt ( ) 2
 2  f ( ). f * ( ).sin( ) d
2
a
a
2

  ika VE   t    ika VE  t ' 
2 .a (ka) 2 

tdt
t
'
dt
'
 1 e
 1 
e
0 0
 a2






 sin  d J 0  tka  J 0  t ' ka 
0

 2(ka )

2





0

tdt 



0

  ika VE  t    ika VE  t ' 
t ' dt ' e
 1 e
 1 






 sin  d J 0  tka  J 0  t ' ka 
0

Từ đó, chúng ta thu được biểu thức của tiết diện tán xạ toàn phần dạng:

  ika VE   t    ika VE   t '  
 scatt
2 

2
ka
tdt
t
'
dt
'
 1 e
 1  sin  d J0  tka  J0  t ' ka  .


e
0 0
0
 a2




Dễ dàng nói rằng, tỷ số
 . Nh vậy trong giới hạn

(1.2.26)

V
là một đánh giá tốt cho giới hạn trên của góc tán xạ
E

V
<<1 chúng ta có thể viết sin    và phạm vi giới hạn
E

góc của tích phân theo  từ 0 tới

V
. Đa vào biến x  ka , tacó:
E



  ika VE   t    ika VE   t '  ka VE
 scatt

2
tdt
t
'
dt
'

 1 e
 1  xdxJ0  tx  J0  t ' x  . (1.2.27)
e
0 0
0
 a2




Khoa Vật lý

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

Một lần nữa chúng ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ (1.2.24) và của tiết
diện tán xạ toàn phần (1.2.26). Chúng ta sẽ kiểm tra xem các định lý quang học có
thoả mãn trong giới hạn eikonal hay khơng. Đối với các hố thế không quá phức tạp,
định lý quang học có thể viết được dạng:
 scatt 

4
Im f  0 
k

(1.2.28)

Sử dụng phương trình (1.81) và (1.85) ta có:

 scatt
 V


8
tdt sin 2  ka   t .
2

0
a
 E


(1.2.29)

So sánh phương trình (1.2.27) và phương trình (1.2.29) ta kết luận rằng dưới điều kiện
2

V
V
 1 và ka    1 thì giới hạn eikonal khơng thoả mãn các định lý quang học.
E
E

Nội dung vật lý của định lý quang học là sự bảo toàn xác suất trong cơ học lượng tử.

Chúng ta có thể làm cho các phép xấp xỉ eikonal an toàn hơn từ việc vi phạm các định
lý quang học hay khơng? Điều đó là có thể. Chúng ta nhận thấy rằng trong phương
trình (1.2.27) nếu chúng ta lấy giới hạn ka





0

xdxJ0  tx  J0  t ' x  

V
  và sử dụng tính chất:
E

 t  t '

(1.2.30)

t

Khi đó chúng ta có chính xác biểu thức thoả mãn định lý quang học. Như vậy thông
qua biểu thức của biên độ tán xạ trong giới hạn eikonal dẫn tới dưới những điều kiện
2

V
V
V
 1 và ka    1 , chúng ta cũng cần đặt điều kiện bổ sung ka  1 để cho nó

E
E
E

thoả mãn các định lý quang học. Như vậy, phép xấp xỉ eikonal hợp lệ dưới những điều
kiện:
1
1
 ka 
2
V
V
E
E
V
Điều kiện thứ hai có thể được viết lại dạng:
1  ka  ka .
E
V
 1
E

Khoa Vật lý

và

 

(1.2.31)
(1.2.32)

15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

CHƢƠNG 2
BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA
BIÊN ĐỘ TÁN XẠ
Trong lý thuyết trường lượng tử biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai
hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ có thể thu được bằng ba
cách:khác nhau i/ Lấy tổng các giản đồ Feynman ; ii/ Phương pháp chuẩn thế ;
iii/ Phương pháp tích phân phiếm hàm.Trong chương này sử dụng phép gần
đúng eikonal ta tính biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán
xạ trên cơ sở của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze /4-10/
2.1 Phương trình chuẩn thế
Ta xét trường hợp đơn giản tán xạ hai hạt vô hướng bằng nhau về khối lượng
phương trình chuẩn thế có dạng
T ( p, k , E )  V ( p  k ) ; E   
2

dq

V ( p  q)2 ; E  T (q, k ; E )

m2  q 2

q 2  m2  E 2  i 0

.

(2.1.1)

ở đây E - năng lượng , p và k là xung lượng tương đối của hạt ở trong hệ khối tâm
trong trạng thái đầu cuối .

Sự liên hệ giữa biên độ T và hàm sóng  n ( p) được xác định bằng công thức :
 
T ( p, k ; E )

2
 
2
 ( p)  p  m  ( p  k )   2
.
(2.1.2)
 p  E 2  m2  i 0 

Vì:


p 2  p2  E 2  m2 nên suy ra:

 
T ( p, p)
2

2
 
2
2
2
2
2
2

VT (2.1.1)   p  E  m  i  p  m  ( p  p )   p  E  m  i   2
 p  E 2  m2  i 




  p 2  E 2  m2  i  ( p)  ( p 2  E 2  m 2 ) ( p ) ;

(2.1.3)
VP(2.1.1) 


 

T (q , p)

   2
 
2




dqV
(
E
;
p
,
q
)
p

m

(
q

p
)

2


2
2


q

E


m

i



p 2  m2
n

 (2.1.4)

dp
  2

V
(
p
 k ) , E  ( p) .
2
2
p m
1





Từ (2.1.3) và (2.1.4) ta có kết quả
Khoa Vật lý

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

 2

V
(
p
 k ) ; E  



( p 2  E 2  m2 ) ( p)   dp 
  ( p) .
m2  p 2

(2.1.5)

Cơng thức (2.1.5) là phương trình của hàm sóng trong biểu diễn xung lượng.

2.2 Phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ
 
Xuất phát từ phương trình cho hàm sóng (2.1.5) , trong biểu diễn tọa độ ta có p  i

2
và p  p 2  E 2  m2 . Thay vào (2.1.5), ta có phương trình vi phân khơng định xứ:

 

2

 p 2  p (r ) 

1
m  2
2

  2  p 2  p (r )  

V ( E; r ) p (r )

1
m2   2

V ( E; r ) p (r ) ,

(2.2.1)

với thế chuẩn định xứ hồn tồn ảo có dạng:
V ( E; r )  2ipEv(r ) ;

(2.2.2)



Ở đây v(r) là hàm số có độ nhẵn dương và p  p . Lời giải của phương trình (2.2.1)

tương ứng với tán xạ của hai hạt cùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ có thể tìm
dưới dạng:

 p (r )  eipz Fp (r ) .

(2.2.3)

Hàm Fp (r ) thỏa mãn điều kiện biên:
Fp (r )

z 

 1.

(2.2.4)

Thay (2.2.2) và (2.2.3) vào phương trình (2.2.1) ta có:



2


 p 2  eipz Fp  r   

1
m 
2

2

2ipE  r  eipz Fp  r 

(2.2.1a)

Giả thiết về độ nhẵn của chuẩn thế (2.2.2) cho phép đưa phương trình vi phân
khơng định xứ (2.2.1) thành phương trình vi phân định xứ trong giới hạn năng lượng
cao. Thật vậy, bằng cách nhân trái phương trình (2.2.1a) với eipz và sử dụng khai
triển:

Khoa Vật lý

17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

eipz (2  p 2 )eipz  2ip z  2  ( z  ip)2  2  p 2 ;

1

eipz

m2   2

eipz 

 1 
1  i z
 O  2  .
1 
E
p
 p 

(2.2.5)

(2.2.6)

Ta nhận được phương trình vi phân định xứ để cho hàm số Fp (r ) (với độ chính xác tới
bậc 1/p):

 2ip

z

 i
  2  Fp (r )  2ip 1  z
p



 v(r ) Fp (r ) .


(2.2.7)

Nghiệm của phương trình (2.2.7) được tìm dưới dạng:
 z

Fp (r )  exp     (  , z )dz  .
 


(2.2.8)

Thay (2.2.8) vào (2.2.7) ta có:
 z

 2ip z    exp    (  , z)dz  2ip 1  ipz

 

2

 z


 v(r )  exp    (  , z)dz , (2.2.9)

 


trong đó:

z


 z


 z

 
2z exp     (  , z)dz   z - z    (  , z)dz  exp     (  , z)dz 

 


 

  

2
z

 z
 
 z

 2

  z   (  , z)dz   z   (  , z)dz  exp     (  , z)dz

 

 
 





(2.2.10)

 z

=   z  (  , z )   (  , z)  exp     (  , z)dz
 

2

và:
2
z
 z
 
z
 
 z



2
 exp     (  , z)dz       (  , z)dz       (  , z)dz  exp    (  , z)dz ;
 

 
 
 
 

 

2


 z
 
 z


 i 
 i 
2ip 1  z  v(r )exp    (  , z)dz  2ip 1  z  v(r )  2v(r )  (  , z )  exp    (  , z)dz .
p 
p 



 
 
 


Khoa Vật lý

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

Đặt:
2
z

z
 


2
 (r;  )       (  , z)dz       (  , z)dz 
 
 

 


; r  (  , z ) . (2.2.11)

Thay các công thức (1.2.3) và (1.2.4) vào (2.2.9) ta có hàm  thỏa mãn phương trình
vi tích phân khơng tuyến tính sau:
 i 

2ip  (  , z )   z  (  , z )   2 (  , z)   r;    2ip 1  z  v(r )  2v(r )  (  , z) , (2.2.11)
p 


hay
 i
2ip  (  , z )  2ip 1  z
p



2
 v(r )  2v(r )  (  , z)   z  (  , z)   (  , z)   r;   .


(2.2.12)

Khai triển  theo nghịch đảo lũy thừa của xung lượng:

 (  , z )   (0) (  , z) 

1 (1)
 (  , z)  ...
2ip

(2.2.13)

Thay (2.2.13) vào (2.2.12) và lấy gần đúng đến bậc 1/p ta có:



i
1 (1)
2ip   (0) (  , z ) 
 (  , z )   2ip(1  z )v( r ) 
2ip
p






1 (1)
1 (1)
2v(r )   (0) (  , z ) 
 (  , z )    z   (0) (  , z ) 
 (  , z)  
2ip
2ip





(2.2.14)

2




1 (1)
1
   (0) (  , z ) 
 (  , z )     r;  (0)  
   r;  (1)  .
2ip
2ip



Đồng nhất các hệ số của p ở cả 2 vế của phương trình (2.2.14) như sau:
2ip  (0) (  , z )  2ipv(r );
(2.2.15)
 (1)
2
(0)
(0)
(0)
(0)
  (  , z )  2 z v(r )  2v(r )  (  , z )   z  (  , z )    (  , z)    r;  

Từ (2.2.15), số hạng chính cho biên độ tán xạ (biểu diễn eikonal) được tìm thấy dưới
dạng:

 (0) (  , z)  v(r ) ,

(2.2.16)

và bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ:

Khoa Vật lý

19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

 (1) (  , z )  3  z v(r )  v 2 (r )     r; v 
2

z





 3  z v(r )  v (r )     v(  , z )dz     v(  , z )dz  .

 

z

2

2


(2.2.17)

Chú ý:
2

z

 (  , z ) z    (  )     v(  , z)dz     v(  , z)dz ,

 

z

(1)

2


(2.2.18)

tích phân trong cơng thức (2.2.8) phân kỳ tuyến tính khi z   . Để thuận tiện ta đưa
vào đại lượng sau:

 (1) (  , z)   (1) (  , z)   ( z) (  ) ,

(2.2.19)

sao cho:
z



z

 (  , z)dz 
(1)



 

(1)

(  , z)dz  z ( z ) (  ) .

(2.2.20)



Khi z   , tích phân bên phải của (2.2.20) hội tụ. Vì vậy nghiệm của phương trình
(1.69) với số hạng gần đúng ở bậc 1/p có dạng:
z
z
 z (z)

1
Fp (r )  exp  
 (  )   v(  , z)dz 
 (1) (  , z)dz .


2ip 

 2ip


(2.2.21)

Biên độ tán xạ gắn liền với hàm sóng có dạng:
T ( 2 ; E ) 

1
(2 )

3

 dr

V ( E; r ) p (r );

*(0)
k

(2.2.22)

  ( p  k) .
2

2

Sử dụng nghiệm của phương trình (2.2.21), ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ,
ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ:


 (z)



z
iz  z 
 (  )
 z

1
1  (1)
2p
i  
2






T ( ; E )  2ipE
d

dze
e
v

(
r
)exp

v
(

,
z
)
dz


(

,
z
)
dz

,


(2 )3 
2ip 
 

2

(2.2.23)

ở đây:
2  2z  2  t

và

z 

 2


 O 1 2  .
p
2p



Khai triển tích phân trong phương trình (2.2.23) theo nghịch đảo lũy thừa của
xung lượng, biên độ tán xạ được xác định bằng biểu thức sau:

Khoa Vật lý

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ
T ( 2 ; E )  2ipE

Cao Thị Vân Anh

z



1  2
i  
2
d

dze
1

z


z

(
z
)

(

)

 (1) (  , z )dz    ... 

 
3 


(2 )
 2ip 




1

 z

 v(r ) 1   v(  , z )dz   ... ,
 


và:
T ( 2 ; E )  T (0) ( 2 ; E ) 

1 (1) 2
T ( ; E )  ... .
2ip

(2.2.24)

Từ đây ta có:
T (0) ( 2 ; E )  2ipE

1
(2 )

3

d

2

 dzei   v(r ) ;


(2.2.25)





v(r )    v(  ; z )dz   e



 v (  ; z) dz



 1.



Biểu thức cho số hạng chính của biên độ tán xạ:

   v (  ; z) dz 

1
i   
(0)
2
2
T ( ; E )  2ipE
d  dz e
e 
 1


(2 )3 




(2.2.26)

là gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ. Còn biểu thức:
z

T (1) ( 2 ; E )  2ipE

1
d 2  dz ei v(r )e
3 
(2 )



 v (  , z  ) dz 


z


2
(1)



z

(
z
)

(

)

z



(

,
z
)

dz

 (2.2.27)






là bổ chính bậc nhất đối với số hạng chính (2.2.26). Biểu thức (2.2.27) cịn gọi là bổ
chính bậc nhất cho biên độ tán xạ.
Kết hợp các công thức (2.2.17) và (2.2.19), chúng ta có thể đưa biểu thức (2.2.27) về
dạng:


1  2 ip   v (  , z) dz
(1)
2
T ( ; E )  2ipE
3  v(  , z )dz 
 d e e
(2 )3  




z

  d 2  ei 





dz  r ; v  (e



 v (  , z) dz





 v (  , z)dz
 e 
)

(2.2.28)



 v (  , z)dz 

  dz z v(  , z )e
,





  d e
2

i  



2






trong đó đại lượng   r; v  được xác định bởi hệ thức (2.2.17).
Khoa Vật lý

21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Luận văn thạc sĩ

Cao Thị Vân Anh

Sau khi giải bài toán tán xạ năng lượng cao, xung lượng truyền nhỏ bằng
phương pháp chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, ta đã thu được số hạng chính như cơng
thức (2.2.6). Số hạng này trùng với biểu diễn eikonal trong cơ học lượng tử phi tương

đối tính. Số hạng bổ chính bậc nhất được cho bởi công thức (2.2.28). Số hạng này
trùng với lời giải bài toán trong biểu diễn xung lượng mà chúng ta sẽ xét ở chương 3.

Khoa Vật lý

22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add