Luận văn thạc sĩ HUS bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế002
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.25 MB, 56 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ VĂN TIẾN
BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG
LƢỢNG CAO VÀ PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội -2013
1
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ VĂN TIẾN
BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG
LƢỢNG CAO VÀ PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã ngành: 60440103
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn
Hà Nội -2013
2
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 5
CHƢƠNG 1
BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ .....................................................8
1.1 Thành lập công thức của bài toán tán xạ ...................................................................... 8
1.2. Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử. ................................ 12
CHƢƠNG 2
BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL ............................................................. 20
2.1 Phương trình chuẩn thế ................................................................................................. 20
2.2 Phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ.......................................................... 28
CHƢƠNG 3
PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN ........................ 34
3.1 Phép gần đúng Born ...................................................................................................... 34
3.2 Vùng năng lượng cao .................................................................................................... 35
3.3 Thế Yukawa. .................................................................................................................. 38
KẾT LUẬN ..................................................................................................................44
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 45
PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 47
Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn thế ....................................................................47
Phụ lục B: Tính đóng góp của phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ
................................................................................................................................................ 49
Phụ lục C : Tính đóng góp của phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ bất
kỳ .......................................................................................................................................... 52
Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng trong chương 3 .................................................... 54
3
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính tốn trên 11
Hình 2. Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi các meson
vơ hướng ............................................................................................................................... 38
Hình 3. Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi hạt vectơ 41
Hình 4. Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi hạt tenxơ
................................................................................................................................................ 42
4
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
MỞ ĐẦU
Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong cơ
học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu được
cho biên độ tán xạ được dùng rất rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm của vật lý
năng lượng cao [3-7].
Sử dụng phép gần đúng này trên cơ sở phương trình chuẩn thế LogunovTavkhelidze trong lý thuyết trường lượng tử, lần đầu tiên người ta đã thu được biểu
diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ
(góc tán xạ nhỏ). Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ này, cũng có thể thu được khi
người ta tiến hành lấy tổng các giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm
hàm. Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với
việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi
[12,13] như sau:
1
2
1
2
2
p ki m 2 p ki ki
i
i
i
(0.1)
trong đó p là xung lượng của hạt tán xạ, ki – là xung lượng của các hạt được trao đổi
và trong công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng ki k j 0 . Phép gần đúng này được sử dụng
để nghiên cứu các quá trình tán xạ năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ
đạo thẳng hay gần đúng eikonal. Bức tranh vật lý ở đây như sau: Các hạt năng
lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng tử ảo, đồng
thời khơng có sự liên kết tương thích giữa các quá trình trao đổi riêng biệt với
nhau, nên số hạng tương quan ki k j khơng có mặt trong hàm truyền (0.1).
Các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng
năng lượng cao, gần đây được giới khoa học quan tâm nghiên cứu, khi tương tác giữa
các hạt là tương tác hấp dẫn và các số hạng bổ chính liên quan đến lực hấp dẫn mạnh ở
gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt những hiệu ứng hấp dẫn lượng tử
/12-14/. Việc xác định những số hạng bổ chính cho biểu diễn tán xạ eikonal trong lý
thuyết hấp dẫn là cần thiết , song nó là vấn đề còn bỏ ngỏ, khi năng lượng của hạt tăng,
5
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
các số hạng bổ chính tiếp theo được tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh hơn
số hạng trước nó.
Mục đích của Bản luận văn Thạc sĩ này là tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ
tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế ở vùng năng lượng cao và
xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử.
Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài
liệu trích dẫn và các phụ lục.
Chƣơng I. Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ. Trong mục 1.1 xuất phát từ
phương trình dừng Schrodinger của hạt ở trường ngồi theo định nghĩa ta tìm cơng
thức eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ.
Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ cùng với các điều kiện cần thiết cho phép sử dụng
gần đúng này được trình bầy ở mục 2.
Chƣơng II. Biểu diễn eikonal và bổ chính bậc nhất. Trong mục 2.1 giới thiệu
cách thu nhận phương trình chuẩn thế cho biên độ tán xạ và cho hàm sóng. Trong mục
2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, thực hiện sự khai triển
hàm sóng và phương trình này theo xung lượng của hạt p p . Sử dụng phép khai
triển này ta thu được biểu diễn eikonal và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán
xạ.
Chƣơng III. Bài tốn trên dựa trên phương trình chuẩn thế được giải quyết
bằng phương pháp lặp theo gần đúng của Born (lý thuyết nhiễu loạn theo thế tương
tác). Ở mục 3.1 chuẩn thế dưới dạng thế Gauss được sử dụng để minh họa phương
pháp tính biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất của nó trong những bậc gần đúng Born
thấp nhất. Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần đúng Born và khai triển biên độ tán xạ
theo lũy thừa của 1/p, tương tự như phân tích ở chương II, kết quả số hạng chính và số
hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ cũng tìm được ở mục 3.2. Trường thế
Yukawa tương ứng với sự trao đổi giữa các hạt các lượng tử với spin khác nhau (trao
đổ hạt vô hướng, hạt véctơ và graviton trong tương tác hấp dẫn ), đã được sử dụng để
minh hoa sự phụ thuộc vào năng lượng của các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ
eikonal .
Cuối cùng là kết luận chung, các tài liệu tham khảo và phụ lục liên quan tới
luận văn.
6
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
c 1 và metric Pauli:
x x ( x1 x, x2 y, x3 z, x4 ict it ) x
ab a b ab a0b0 ab a4b4 ak bk a4b4
1
0
0
0
k 1, 2,3
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4.
7
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
CHƢƠNG I
BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ
Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương
trình Schrodinger. Giả sử có hạt tán xạ ở trường ngồi, thì dáng điệu của hàm sóng
của hạt bị tán xạ có thể tìm dưới dạng
tán xa
eikr
toi f ( , )
r
Trong đó f ( , ) là biên độ tán xạ cần tìm. Nếu năng lượng của hạt là lớn, góc tán xạ
nhỏ, thì ta có thể tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta còn gọi
là biểu diễn Glaubert [10], người đầu tiên thu được công thức này trong cơ học lượng
tử.
1.1 Thành lập cơng thức của bài tốn tán xạ
Q trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình
Schrodinger:
2 k 2 (r ) U(r ) (r )
ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu k 2
(1.1.1)
2mE
2
và U (r )
2mV(r )
2
. Nghiệm của
phương trình vi phân (1.1.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân:
(r) (r) d 3r ' G0 (r, r ')U(r ')(r ')
(1.1.2)
trong đó hàm (r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do:
2 k 2 (r ) 0
(1.1.3)
Phương trình (1.1.3) là phương trình vi phân cấp 2 nên nghiệm có dạng:
(r ) A0eik .r B0eik .r và hàm Green G0 (r, r ') là nghiệm của phương trình:
2 k 2 G0 (r, r ') (3) (r r ')
(1.1.4)
Chúng ta tìm G0 r , r ' theo công thức:
G0 r , r / G r r /
3
r r d r
/
3
/
Chuyển phổ Fourier ta có:
8
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
G0 r , r '
1
2
3
2
e
is r r /
g s d 3 s
(1.1.4a)
Vậy :
2
k 2 G0 (r , r / )
1
2
3
2
2
k2 e
is r r /
g s d s
3
is r r
is r r
Nhưng : 2e s 2e
/
/
Sử dụng: 3 r r /
1
2
is r r /
e
3
d 3s
Thay vào phương trình (1.1.4a) có:
1
2
3
2
s
g s
k 2 e
2
is r r /
g s d s
1
3
2
3
e
is r r /
d 3s
1
2
3
2
k
2
s2
Đặt vào (1.1.4a) ta có:
G0 r , r /
1
e
2
is r r /
3
1
d 3s
2
k s
2
Chuyển sang tọa độ cầu s, , dọc theo trục r
Vì vậy s r r / s r r / cos
e
is r r / cos
0
2
is r r / cos
e
sin d
is r r /
sin s r r
s r r
/
0
/
Vì vậy:
2
G0 r , r
2
(2 ) r r /
/
1
2
4 r r /
1
s sin s r r /
k s
2
0
s sin s r r /
k s
2
2
2
ds
ds
Chuyển sang tích phân phức :
9
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
i
G0 r , r 2
8 r r /
/
is r r /
-is r r /
se
se
ds
ds
s k s k
s k s k
i
I1 I 2
8 r r /
2
Sử dụng dạng tích phân Cauchy :
z z 2 f z
f z
0
0
seis r r /
I1
sk
1
seis r r /
ds 2 i
sk
sk
ik r r /
i e
sk
se-is r r /
I2
sk
1
se-is r r /
ik r r /
ds 2 i
i e
sk
sk
s k
/
/
i
eik r r e ik r r
G0 r , r /
/
8 r r
1
4 r r /
1
4
eik r r / e ik r r /
Aeik r r / Be ik r r /
r r/
r r/
Các điều kiện biên của hàm (r ) và G0 (r, r ') được xác định từ điều kiện biên của hàm
(r ) . Phương trình tích phân (1.1.2) được gọi là phương trình Lippman-Schwinger.
Các nghiệm của phương trình (1.1.3) và (1.1.4) là:
(r ) A0eik .r B0eik .r
(1.1.5)
ik r r '
ik r r '
1 e
e
G0 (r, r ')
A
B
4 r r '
r r'
(1.1.6)
trong (1.1.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (1.1.5) và (1.1.6), thì nghiệm
của phương trình Lippman-Schwinger (1.1.7) được viết lại dạng:
(r ) A0 e
ik . r
B0 e
ik . r
ik r r '
ik r r '
1
e
e
3
d r' A
B
r r'
4
r r'
U (r )(r ')
(1.1.7)
10
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Theo các điều kiện biên thì hàm sóng (r ) phải bao gồm hai thành phần: thành
phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần cịn lại
là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0= B = 0 và (1.1.7) viết lại dưới dạng:
ik r r '
(r ) A0 e
i k .r
1
e
d 3r '
U (r )(r ')
4
r r'
(1.1.8)
Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm
cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r)
được xác định trong một thể tích hữu hạn của khơng gian và các máy đo (detectors)
các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận
rằng r ' r và do đó suy ra gần đúng sau:
r r' r
r ' 2
r.r '
O
r
r
(1.1.9)
Từ (1.1.9), chúng ta có thể viết lại biểu thức (1.1.8) dạng:
r (r ) A0 eik .r
1
1 ik ( r r .rr ' )
3
d
r
'
e
U (r ')(r ')
4
r
(1.1.10)
Đặt Ao = 1, suy ra
r r eik r f ( , )
f (, )
với
eikr
r
(1.1.11)
1
d 3r ' eik rU (r ')(r ')
4
(1.1.12)
r
r
được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trong trường thế V(r), ở đây k k . Bức tranh
minh hoạ cho các biến đổi phức tạp trên được chỉ rõ trong hình vẽ 1:
y
r r sin cos , r sin sin , r cos
x
b'
k ' k sin cos , k sin sin , k cos
r
k'k
r
'
k 0,0, k
k, z
r ' b 'cos ', b 'sin ', z '
Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính tốn trên.
11
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Chú ý rằng r , k ' và k là các cực toạ độ cầu và r ' là cực toạ độ trụ.
Thơng thường, trong thực tế có thể coi f ( , ) như là một hàm của k , k ' và do
đó có thể viết f ( , ) f (k, k ') . Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới f ( , )
được chứa đựng trong miền tiệm cận của (r ) nhng các đóng góp tới f ( , ) trong
phương trình (1.1.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác khơng.
1.2. Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ.
Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho q
trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn. Các điều kiện cần thiết là
1
1
V
. Trong miền giới hạn đó, biên độ tán xạ được viết
ka
1 và
E
V/E
( V / E )2
dưới dạng :
f (, )
k
d 2 b ' eik '.b ' ei( b ') 1
2
(1.2.1)
ở đây:
1 2m
(b ')
dz ' V(b ', z ')
2k 2
(1.2.2)
Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán xạ:
f (, )
1
d 3 r ' eik r V(r ')(r ')
4
Và từ phương trình Schrodinger (1.1.3):
2 k 2 (r ) V(r )(r )
Ta đặt: (r ) eik .r (r ) và chọn k dọc theo hướng z. Khi đó ta có:
2 k 2 r V r r
2 k 2 eikr r V r eikr r
2 eikr r k 2eikr r V r eikr r
12
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
eikr r k 2 eikr r V r eikr r
ikeikr r eikr r k 2eikr r V r eikr r
i 2 k 2eikr r ikeikr r ikeikr r eikr 2 r k 2eikr r V r eikr r
k 2 eikr r 2ikeikr r eikr 2 r k 2eikr r V r eikr r
2ik r V r r 2 r
2ik V r r 2 r
Sử dụng ký hiệu r (b, z) và chọn k dọc theo hướng z suy ra:
2
2ik z V(b, z) (b, z) (b, z)
(1.2.3)
ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu r (b, z) . Chúng ta có thể viết nghiệm của phương
trình (1.2.3) dạng:
(b, z) (b, z) d b '
2
dz ' G (b, z, b ', z ')
e
'2
(b ', z ').
(1.2.4)
(b, z) thoả mãn phương trình:
2ik z U (b, z) (b, z) 0
2ik
(1.2.5)
b, z U b, z b, z
z
b, z
1
z
U b, z
2ik
b, z
ln b , z
b, z e
z
1
U b , u du
2ik
1
2 ik
z
U b ,u du
Và hàm Ge (b, z, b ', z ') thoả mãn:
(2)
2ik z U (b, z) Ge (b, z, b ', z ') (b b ')( z z ').
(1.2.6)
Nghiệm của các phương trình (1.2.5) và (1.2.6) là:
(b, z) e
1
2 ik
z
duU ( b,u)
(1.2.7)
13
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Với các điều kiện biên là (b) (b, z ) 1 Và
z
Ge (b, z, b ', z ')
1 (2)
(b b ')( z z ')e
2ik
1
du.U ( b ,u )
2 ik
z'
1
z
du.U ( b , u ) du.U ( b , u )
2 ik
1 (2)
(b b ')( z z ')e z '
2ik
1
2 ik
1
2 ik
(1.2.8)
z
du.U ( b,u)
du.U ( b,u)
1 (2)
z'
(b b ')( z z ')e
.e
2ik
1 (2)
(b b ')( z z ')(b, z)1 (b, z).
2ik
Thay (1.2.7) và (1.2.8) vào (1.2.4), ta thu được:
b , z b , z d 2b / dz / Ge b , z , b / , z / '2 b , z /
b , z d 2b /
b, z
dz
/
1 2
b b / z z / b , z 1 b , z '2 b / , z /
2ik
dz b , z b , z
1
b, z
2ik
z
/
1
'2
/
1
b , z 1
dz / 1 b , z '2 b , z /
2ik
z
z
2 2
1
/ 1
/
b , z 1
dz
b
,
z
b '2 b , z
z
2ik
Vậy:
z
2 2
1
1
(b, z) (b, z) 1
dz
'
(
b
,
z
)
b 2 (b, z ')
z '
2ik
(1.2.9)
Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau:
z
z'
z
(b, z) (b, z) 1 dz ' K b, z ', b , dz ' K b, z ', b , dz '' K b, z '', b , ...
z '
z '
z ''
(1.2.10)
ở đây biểu thức của K b, z, b , tác động lên một hàm g z bất kỳ cho bởi:
z
2 2
1 1
K b, z, b , g( z)
(b, z) b 2 (b, z)g( z)
z
2ik
z
(1.2.11)
Thay chuỗi của (b, z) trong (1.2.11) vào dạng của hàm (r ) eik .r (r ) ta được:
14
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
r eikr r
z
z
z
'
'
'
'
e b , z 1 dz K b , z , b , ' dz K b , z , b , ' dz '' K b , z '' , b , '' ...
z
z
z
ikr
'
'
e b , z e b , z dz K b , z ' , b , ' eikr b , z
z
ikr
ikr
z
'
z'
z'
'
''
''
dz K b , z , b , z ' dz K b , z , b , z '' ...
'
Thay vào biểu thức biên độ tán xạ(1.1.12) được :
1 3 ' ik 'r
d r e U r r '
4
'
1
d 3r 'eik rU r eikr b , z eikr b , z
4
'
1
d 3r 'eik rU r eikr b , z
4
f ,
ikr
'
dz K b , z , b , z ' e b , z
z
'
z
'
''
''
dz
K
b
,
z
,
,
dz
K
b
,
z
,
,
b
b
...
z '
z ''
z'
'
'
'
1
d 3r 'eik rU r eikr b , z
4
z'
z'
1 3 ' ik 'r
'
'
'
''
''
dz K b , z , b , z ' 4 d r e U r dz K b , z , b , z ' dz K b , z , b , z '' ...
z
'
cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng:
f (, ) f (0) (, ) f (1) (, ) f (2) (, ) ...
(1.2.12)
ở đây:
f (0) (, )
1
d 2 b ' dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z)(b ', z ')
4
f (1) (, )
1
d 2 b ' dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z ')(b ', z ') dz '' K (b ', z ")
4
f (2) (, )
1
d 2 b ' dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z ')(b ', z ') dz '' K (b ', z ") dz ''' K ( b ', z ''')
4
z'
(1.2.13)
z'
(1.2.14)
z"
(1.2.15)
chúng ta đã thay K b, z, b , K (b, z) cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức mũ của các
z
hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh hoạ trong hình
1 ở trên.
k ' k sin cos , k sin sin , k cos
k 0, 0, k
r ' b 'cos ', b 'sin ', z '
15
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
k .r ' kz '
k ' .r 'sin cos cos ' kb 'sin sin sin ' kz 'cos
i k k ' .r ' ikz ' 1 cos ikb 'sin cos cos ' sin sin '
i k k ' .r ' ikz '.2sin ikb 'sin cos '
2
i k k ' .r ' ikz ' ikb 'sin cos cos ' ikb 'sin sin sin ' ikz 'cos
(1.2.16)
2
Ta quan tâm tới hàm f (0) (, ) trong khai triển trên. Từ (1.2.7), (1.2.13) và (1.2.14) ta
có thể viết:
f (0) (, )
1
d 2 b ' dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z ')(b ', z ')
4
1
d 2 b ' dz 'e
4
ikb 'sin( )cos( ') ikz '.2sin
2
2
U (b ', z ')e
1
2 ik
(1.2.17)
z'
du.U ( b ', u )
ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là nhỏ.
Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau:
ikb 'sin() cos( ') ikz '.2sin 2
ikb ' cos( ') ikz '.2
2
2
Xét ở gần đúng bậc nhất theo ta nhận được biểu thức sau
ikb 'sin() cos( ') ikz '.2sin 2
ikb ' cos( ')
2
(1.2.18)
Bây giờ ta viết lại (1.2.17) như sau:
z'
1
du.U ( b ', u )
1
2 ik
2
ikb ' cos( ')
f (0) (, )
d
b
'
d
'
e
dz
'.
U
(
b
',
z
')
e
0
4
2
(1.2.19)
Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (1.2.18) cho phép chúng ta đưa ra ngoài tích phân
theo z trong (1.2.19) bằng cách thay thế bởi tích phân mới
. (b ', u) .
duU
f
0
2
ikb cos
1
dz 'U b ' , z ' e
, d 2b' d 'e
4
0
2
'
'
ikb cos
1
2m
d 2b ' d ' e
dz ' 2 V b ' , z ' e
4
0
'
'
1
2 ik
z'
du
1
2 ik
2m
2
z'
duU b ,u
'
V b ' , z'
16
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
2
ikb cos
1 2m 2 '
d b d 'e
dz 'V b ' , z ' e
2
4
0
'
2
'
ikb cos
1 k
d 2b ' d 'e
dz 'V b ' , z ' e
4 E
0
2
'
'
2
ikb'cos '
k ik
d 2b ' d 'e
dz 'V b ' , z ' e
2 i 2 E
0
2
1 k2
2 ik E
ik
2E
ikb cos ik
k
d 2b ' d 'e
.
dz 'V b ' , z ' e
2 i
2
E
0
'
2
'
'
'
k
2 '
' ikb cos
d
b
d
e
.e
0
2 i
ik
2E
1 2m
2 ik 2
z'
duV b , z
'
'
z'
duV b , z
'
'
z'
duV b , z
'
'
ik
2E
z'
duV b , z
'
'
z'
duV b ,u
'
ik duV b ' ,u
2
'
'
k
2 '
' ikb cos 2 E
d b d e
. e
1
2 i
0
z'
Vậy suy ra :
2
k
b ' db ' d '.eikb ' cos( ') ei( b ') 1
0
0
2i
k 1
ở đây (b ')
dz ' V(b ', z ')
2 E 0
f (0) (, )
(1.2.20)
(1.2.21)
Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, khơng phụ thuộc vào góc và
hơn nữa ta có thể bỏ ' trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ bậc không được
viết lại dạng:
f (0) ()
k
b ' db ' J0 (kb ' ) ei( b ') 1
i 0
(1.2.22)
ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức:
J 0 (t )
1 2
deit cos
0
2
(1.2.23)
Và tính chất J0 t J0 t . Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, chúng ta
đa vào các biến không thứ nguyên u và t với định nghĩa rằng z au và b at , ở đây a
là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên. Chúng ta cũng sử dụng
V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm V(r ) . Khi đó biên độ tán xạ trong (1.2.22)
được viết lại dạng:
17
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
ika VE ( t )
1
f ( ) a ka tdtJ0 tka e
1
i 0
11
ở đây: t
duV(at, au).
2 V
(1.2.24)
(1.2.25)
Tiết diện tán xạ vi phân được xác định nh bằng biểu thức sau
d scatt ( ) | f ( ) |2 d | f ( ) |2 .2 sin( )d
d scatt ( )
1
1
2 | f ( ) |2 d 2 | f ( ) |2 .2 sin( )d
2
a
a
a
Để tìm tiết diện tán xạ tồn phần ta lấy tích phân hai về biểu thức trên và thay biểu
thức (1.2.24) vào ta nhận được
scatt ( ) 2
2 f ( ). f * ( ).sin( )d
a2
a
ika VE t ika VE t '
2 .a 2 (ka) 2
1 e
1
0 tdt 0 t ' dt ' e
a2
sin d J 0 tka J 0 t ' ka
0
ika V t ika V t '
2(ka) 2 tdt t ' dt ' e E 1 e E 1
0
0
sin d J 0 tka J 0 t ' ka
0
Từ đó, chúng ta thu được biểu thức của tiết diện tán xạ toàn phần dạng:
ika VE t ika VE t '
scatt
2
2
ka
tdt
t
'
dt
'
1 e
1 sin d J 0 tka J 0 t ' ka .
e
0 0
0
a2
Dễ dàng nói rằng, tỷ số
. Nh vậy trong giới hạn
(1.2.26)
V
là một đánh giá tốt cho giới hạn trên của góc tán xạ
E
V
<<1 chúng ta có thể viết sin và phạm vi giới hạn
E
góc của tích phân theo từ 0 tới
V
. Đa vào biến x ka , tacó:
E
ika VE t ika VE t ' ka VE
scatt
2 tdt t ' dt ' e
1 e
1 xdxJ0 tx J0 t ' x .
0
0
0
a2
(1.2.27)
Một lần nữa chúng ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ (1.2.24) và của tiết
diện tán xạ toàn phần (1.2.26). Chúng ta sẽ kiểm tra xem các định lý quang học có
thoả mãn trong giới hạn eikonal hay không. Đối với các hố thế không quá phức tạp,
định lý quang học có thể viết được dạng:
18
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
scatt
4
Im f 0
k
(1.2.28)
Sử dụng phương trình (1.81) và (1.85) ta có:
scatt
V
8 tdt sin 2 ka t .
2
0
a
E
(1.2.29)
So sánh phương trình (1.2.27) và phương trình (1.2.29) ta kết luận rằng dưới điều kiện
2
V
V
1 và ka 1 thì giới hạn eikonal khơng thoả mãn các định lý quang học.
E
E
Nội dung vật lý của định lý quang học là sự bảo toàn xác suất trong cơ học lượng tử.
Chúng ta có thể làm cho các phép xấp xỉ eikonal an toàn hơn từ việc vi phạm các định
lý quang học hay khơng? Điều đó là có thể. Chúng ta nhận thấy rằng trong phương
trình (1.2.27) nếu chúng ta lấy giới hạn ka
0
xdxJ0 tx J0 t ' x
V
và sử dụng tính chất:
E
t t '
(1.2.30)
t
Khi đó chúng ta có chính xác biểu thức thoả mãn định lý quang học. Như vậy thông
qua biểu thức của biên độ tán xạ trong giới hạn eikonal dẫn tới dưới những điều kiện
2
V
V
V
1 và ka 1 , chúng ta cũng cần đặt điều kiện bổ sung ka 1 để cho nó
E
E
E
thoả mãn các định lý quang học. Như vậy, phép xấp xỉ eikonal hợp lệ dưới những điều
kiện:
1
1
ka
2
V
V
E
E
V
Điều kiện thứ hai có thể được viết lại dạng:
1 ka ka .
E
V
1
E
và
(1.2.31)
(1.2.32)
19
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
CHƢƠNG II
BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL
Trong lý thuyết trường lượng tử biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt ở
vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ có thể thu được bằng ba cách:khác
nhau i/ Lấy tổng các giản đồ Feynman ; ii/ Phương pháp chuẩn thế ; iii/ Phương pháp
tích phân phiếm hàm.Trong chương này sử dụng phép gần đúng eikonal ta tính biên độ
tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ trên cơ sở của phương trình
chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze [4-10]
2.1 Phương trình chuẩn thế
Phương trình chuẩn thế là cơ bản trong trường lượng tử, chính vì vậy ta giới thiệu
cách thu nhận phương trình này. Trong hình thức luận khơng- thời gian 4 chiều
phương trình chuẩn thế được tổng qt hóa từ phương trình schrodinger trên cơ sở
hàm Green hai hạt 2- thời điểm trong lý thuyết trường lượng tử.
Hàm sóng của hệ 2 – hạt được xác định như sau:
n ( x, y) 0 T (a ( x)b ( y)) n
(2.1.1)
Trong đó a ,b - là các toán tử Heisenberg tương ứng với hạt a và b . T là toán tử
trật tự thời gian, gọi tắt là T-tích. Véctơ trạng thái 0 mô tả trạng thái chân không của
hệ , n mơ tả trạng thái cùng với xung lượng tồn phần 4-chiều Pn :
Pˆn n P ,n n ,
P ( P0 , P)
(2.1.2)
Trong đó P là tốn tử năng – xung lượng 4 – chiều mà thành phần “không” của
nó là Hamilton của hệ
(2.1.3)
Pˆ0 H
Phương trình cho hàm sóng n ( x, y) cũng có thể thu được trên cơ sở phương trình
đối với hàm Green 4 – thời điểm, mà trong biểu diễn Heisenberg được xác định bằng
công thức sau đây:
Ga ,b ( x, y, x ', y ') 0 T (a ( x)b ( y) a ( x ') b ( y ')) 0
(2.1.4)
Trong biểu diễn tương tác
Ga ,b ( x, y, x ', y ')
0 T ( a ( x)b ( y) a ( x ') b ( y ') S ) 0
0S0
(2.1.5)
Trong đó a ,b - là các toán tử trường tự do, S – là ma trận tán xạ thơng thường và
việc lấy trung bình theo trạng thái chân không 0 của các trường không tương tác.
Như vậy ta đã biết muốn tìm các hàm (2.1.3) và (2.1.1) trong lý thuyết trường lượng
tử ta phải sử dụng phương trình cho hàm Green 4 – thời điểm sau:
20
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Ga ,b ( x, y, x ', y ') Sa ( x x ') Sb ( y y ') dx1dx2dy1dy2 S a ( x x1 )Sb ( y y1 )
K ( x1 , y1 , x2 , y2 )Ga,b ( x2 , y2 , x ', y ')
(2.1.6)
Trong đó Sa ,b - là hàm Green của các hạt tự do:
Sa ( x x ') 0 T ( a ( x) a ( x ') 0
i
(2 )
4
dk p
exp i (kx)
2
ma2 i
Ta có : kx k0 x0 kx
Hàm sóng (2.1.1) thỏa mãn phương trình thuần nhất:
n ( x, y) dx1dx2 dy1dy2 Sa ( x x1 )Sb ( y y1 ) K ( x1 , y1 , x2 , y2 ) n ( x2 , y2 )
(2.1.7)
(2.1.8)
Cần khẳng định K ( x, y, x ', y ') là nhân của phương trình và sẽ tìm được bằng lý thuyết
nhiều loạn. Xác định ảnh Fourier của nó có mặt trong phương trình (2.1.6) bằng cách
dưới đây:
Ga ,b ( x, y, x ', y ')
1
(2 )12
Ga ,b ( x2 , y2 , x ', y ')
K ( x, y, x ', y ')
1
(2 )12
dpdqdp ' dq ' G
a ,b
1
(2 )12
( p, q, p ', q ') exp(ipx iqy ip ' x ' iq ' y ')
dpdqdp ' dq ' G
a ,b
(2.1.9)
( p1 , q1 , p ', q ') exp(ip1x2 iq1 y2 ip ' x ' iq ' y ')
dpdqdp ' dq 'exp(ipx iqy ip ' x ' iq ' y ') K ( p, q, p ', q ')
1
dp dq1dp ' dq 'exp(ipx1 iqy1 ip ' x2 iq ' y2 ) K ( p, q, p ', q ')
(2 )12 1
i
exp i( x x ') p
i
exp i( px p ' x ')
Sa ( x x ')
dp 2
dpdp ' ( p p ')
4
2
4
(2 )
p ma i
(2 )
p 2 ma2 i
exp i( px p1 x1 )
i
(2.1.10)
Sa ( x x1 )
dpdp1 ( p p1 )
4
(2 )
p 2 ma2 i
i
exp i( y y ')q
i
exp i(qy q ' y ')
Sb ( y y ')
dq 2
dqdq ' (q q ')
4
2
4
(2 )
q ma i
(2 )
q 2 ma2 i
K ( x1 , y1 , x2 , y2 )
Sb ( y y1 )
i
(2 )
Fa ,b ( p, q)
4
dqdq (q q )
1
1
exp i(qy q1 y1 )
q 2 ma2 i
1
( p m i )(q 2 ma2 i )
2
(2.1.11)
2
a
Thay (2.1.10) và (2.1.11) vào (2.1.6) ta được:
21
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Ga ,b ( x, y, x ', y ')
1
dpdqdp ' dq ' Ga ,b ( p, q, p ', q ') exp(ipx iqy ip ' x ' iq ' y ')
(2 )12
1
exp i ( px p ' x ')
exp i(qy q ' y ')
dpdqdp ' dq ' ( p p ')
(q q ') 2
8
2
2
(2 )
p ma i
q ma2 i
exp i ( px p1 x1 )
1
dx1dx2 dy1dy2 dpdqdp ' dq ' dp1dq1 ( p p1 )
32
(2 )
p 2 ma2 i
(q q1 )
exp i (qy q1 y1 )
Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ') exp(ip1 x2 iq1 y2 ip ' x ' iq ' y ')
q 2 ma2 i
exp(ipx1 iqy1 ip ' x2 iq ' y2 ) K ( p, q, p ', q ')
(2.1.12)
Biến đổi số hạng thứ nhất ở vế phải (2.1.12) ta được:
1
dpdqdp ' dq 'exp i ( px qy p ' x ' q ' y ') ( p p ') (q q ') Fa ,b ( p, q)
(2 )8
(2.1.13)
Biến đổi số hạng thứ hai ở vế phải (2.1.12) ta được:
1
1
dp dq dp ' dq ' dpdq (2 ) dx exp(ix ( p
p ))
1
1
(2 )
(2 ) 4
1
1
dx2 exp(ix2 ( p ' p1 ))
d y2 exp(iy2 (q ' q1 ))
4
(2 )
(2 ) 4
K ( p, q, p ', q ')Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ') exp i ( px qy p ' x ' q ' y ')
16
1
4
1
1
1
d y exp(iy (q
1
1
1
q ))
1
1
2
2
p ma i q ma2 i
(2.1.14)
2
Sử dụng tính chất hàm delta trong khơng – thời gian 4 chiều:
1
dx1 exp(ix1 ( p1 p)) ( p1 p)
(2 ) 4
1
dx2 exp(ix2 ( p ' p1 )) ( p ' p1 )
(2 ) 4
1
d y1 exp(iy1 (q1 q )) (q1 q )
(2 ) 4
1
d y2 exp(iy2 (q ' q1 )) (q ' q1 )
(2 ) 4
(2.1.15)
Thay (2.1.15) vào (2.1.14) ta nhận được:
1
dp dq1dp ' dq ' dpdqFa ,b ( p, q ) ( p1 p ) ( p p1 ) (q q1 )
(2 )16 1
K ( p, q, p ', q ') ( p ' p1 ) (q ' q1 )Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ') exp i( px qy p ' x ' q ' y ')
1
Fa ,b ( p, q) dp dq1dp ' dq ' dpdqK ( p, q, p1 , q1 )Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ')
1
(2 )16
exp i( px qy p ' x ' q ' y ')
(2.1.16)
22
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Thay (2.1.16) và (2.1.13) vào (2.1.12) ta thu được kết quả cuối cùng:
Ga ,b ( p, q, p ', q ') (2 ) 4 Fa ,b ( p, q) ( p p ') (q q ')
(2 )4 Fa ,b ( p, q) dp1dq1K ( p, q, p1 , q1 )G( p1 , q1 , p ', q ')
(2.1.17)
Trong đó
Sa ( p, p ') ( p p ')
i
p ma2 i
2
Sa ( p, p ') Sb (q, q ') ( p p ') (q q ') Fa ,b ( p, q)
Fa ,b ( p, q)
1
( p m i )(q 2 ma2 i )
2
(2.1.18)
2
a
Phương trình Belthe- Salpeter (2.1.8) cho hàm sóng (2.1.1) khơng thỏa mãn điều
kiện chuẩn hóa à cũng khơng sử dụng được để giải thích xác suất cho hệ nhiều hạt.
Nếu chúng ta xét hàm sóng (2.1.1) để cho các giá trị riêng của nó mà vecto 4 chiều x
và y có các thời điểm như nhau thì ta thu được hàm sóng cho cùng một thời điểm như
sau:
(2.1.19)
X n (t , x, y) 0 a (t , x )b (t , y) n
Như đã biết hàm sóng cùng một thời điểm X cho phép sự giải thích xác suất và
thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Điều kiện chuẩn hóa của X ở đây cần thiết để cho hàm
sóng hai thời điểm (2.1.1) có ý nghĩa vật lý.
Bây giờ ta cần tìm phương trình cho hàm sóng cùng một thời điểm. Muốn vậy,cần
dẫn ra khái niệm hàm Green hai thời điểm,một cách tương tự như đã tìm phương trình
cho hàm sóng hai thời điểm. Hàm Green hai thời điểm trong lý thuyết trường lượng tử
được xác định bằng cách sau đây:
(2.1.20)
Ga,b (t , x, y; t ', x ', y ') 0 T (a (t , x )b (t , y)a (t ', x ')b (t ', y ')) 0
Giả thiết t t ' . Lúc đó sử dụng tính đủ của hệ trong các trạng thái dừng n .
I n n , thì biểu thức (2.1.20) có thể viết lại dưới dạng sau:
Ga,b (t , x, y; t ', x ', y ') 0 T (a (t , x )b (t , y) n n a (t ', x ')b (t ', y ')) 0
(2.1.21)
Từ định nghĩa hàm sóng ở cùng một thời điểm của hêh 2- hạt:
X n (t , x, y) 0 a (t , x )b (t , y) n
X n (t , x, y) n a (t , x )b (t , y) 0
(2.1.22)
Suy ra
Ga ,b (t , x, y; t ', x ', y ') X n (t , x , y ) X n (t , x , y )
(2.1.23)
n
với (t t ')
Như vậy nếu ta thu được phương trình khơng thuần nhất cho hàm Green 2- thời
điểm, thì phương trình thuần nhất sẽ cho hàm sóng cùng một thời điểm X (t , x, y) .
Bây giờ ta đi tìm các phương trình cho hàm Green 2- thời điểm. Hàm Green 2- thời
điểm liên quan đến hàm Green 4 – thời điểm bằng hệ thức sau đây:
(2.1.24)
Ga,b ( x0 , x, y; x0' , x ', y ') dy0 dy0' ( x0 y0 ) ( x0' y0' )Ga,b ( x, y; x ', y ')
23
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Xác định ảnh Fouruer của hàm Green 2- thời điểm như sau:
Ga ,b ( x0 , x, y; x0' , x ', y ')
1
(2 )
12
dp dp dpdqdp ' dq ' G
'
0
0
a ,b
( p0 , p, q; p0' , p ', q ')
eip0 x0 ip0 x0 ipx iqy ip ' x 'iq ' y '
'
'
(2.1.25)
Thay (2.1.25) và (2.1.9) vào (2.1.24) ta sẽ thu được mối liên hệ của các hàm Green 2 –
thời điểm và 4 – thời điểm:
1
(2 )
12
dp dp dpdqdp ' dq ' G
0
dy dy ( x
0
'
0
'
0
0
y0 ) ( x0' y0' )
( p0 , p, q; p0' , p ', q ') eip0 x0 ip0 x0 ipx iqy ip ' x 'iq ' y '
'
a ,b
1
(2 )12
dpdqdp ' dq 'G
a ,b
'
( p, q, p ', q ')e ipx iqy ip ' x 'iq ' y '
Ga ,b ( p0 , p, q; p0' , p ', q ') dy0 dy0' ( x0 y0 ) ( x0' y0' )Ga ,b ( p, q, p ', q ')eip0 x0 ip0 x0
'
'
dq0 dq0' Ga ,b ( p0 , p, q0 , q; p0' , p ', q0' , q ')eip0 x0 ip0 x0
'
'
Đặt q0 p0 ; q0' p0' '; dq0 d ; dq0' d '
Ga,b ( p0 , p, q; p0' , p ', q ') d d ' ei ( p0 ) x0 i ( p0 ') x0 Ga,b ( p0 , p, p0 , q; p0' , p ', p0' ', q ')
'
'
d d ' Ga ,b ( p, p0 , q, ; p ', p0' ', q ', ')
(2.1.26)
Viết lại phương trình (2.1.17) dưới dạng kí hiệu:
G F 1FKG
(2 )4
Giải phương trình (1.17) bằng gần đúng phương pháp lặp, ta thu được:
G F 1FK ( F 1FKG )
(2.1.27)
F FKF 1FKFKF ...
F FKF 1FKFKF 2 FKFKFKF 3 FKFKFKFKF ...
(2.1.28)
Thay (2.1.28) vào phương trình (2.1.26) ta nhận được khai triển dưới đây cho hàm
Green 2 – thời điểm:
~~~~~~
~~~~~~~~~
G F FKF 1 FKFKF ...
(2.1.39)
Dấu ~ ở đây ký hiệu phép lấy tích phân được thực hiện theo cơng thức (2.1.26). Cụ thể
(2.1.18) có nghĩa:
Fa ,b d d ( p p ') (q q ') ( p0 p0' ') Fa ,b ( p, p0 ; q, )
( p p ') (q q ') ( p0 p0' ) d
1
( p0 ) m p 2 2 mb2 q 2
2
2
a
Để thuận tiện ta đặt:
Fa ,b ( p p ') (q q ') ( p0 p0' ) Fa,b ( p, q )
(2.1.30)
(2.1.31)
2i
Trong đó :
Fa ,b ( p, q )
2i
1
2
2 mb2 q 2
0 ) m p
d
( p
2
2
a
(2.1.32)
Sử dụng khai triển (2.1.29) để tìm tốn tử ngược G
1
24
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
1
1
1
1 ~~~~~~
1
G 1 F 2 F FKF F ...
(2.1.33)
Khai triển tiếp theo được viết dưới dạng:
1
1
2i
G 1 F
V
(2.1.34)
Trong đó:
i
V
2
1
1
1
1 ~~~~~~~~~
1
1 ~~~~~~
1
2
F FKFKF F F FKF F ...
(2.1.35)
Từ định nghĩa tốn tử ngược ta có:
dp dp '' dq '' G( p , p, q; p , p '', q '')
''
0
''
0
0
1
G( p0'' , p '', q ''; p0' , p ', q ')
( p p ') ( p0 p0' ) (q q ')
(2.1.36)
Nếu chú đến (2.1.31) và (2.1.34) thì phương trình (2.1.36) có thể viết lại dưới dạng:
Fa,b1 ( p, q )G( p0 , p, q; p0' , p ', q ') dp0'' dp '' dq ''V0 ( p0 , p, q; p0'' , p '', q '')
G( p0'' , p '', q ''; p0' , p ', q ')
2i
( p p ') ( p0 p0' ) (q q ')
(2.1.37)
Thật vậy,từ (2.1.34) ta nhân cả hai vế với G ,sau đó thay (2.1.31) và (2.1.36) đồng
thời lấy tích phân cả 2 vế cho ta vế trái của (2.1.34):
dp dp '' dq '' G( p , p, q; p , p '', q '')
''
0
2i
''
0
0
1
G ( p0'' , p '', q ''; p0' , p ', q ')
dp dp '' dq ''V ( p , p, q; p , p '', q '')G ( p , p '', q ''; p , p ', q ')
F ( p, q )G ( p , p, q; p , p ', q ') dp dp '' dq ''V ( p , p, q; p , p '', q '')
1
a ,b
''
0
''
0
0
0
G ( p0'' , p '', q ''; p0' , p ', q ')
'
0
''
0
'
0
''
0
2i
0
''
0
( p p ') ( p0 p0' ) (q q ')
Sử dụng tính bất biến tịnh tiến, ta có :
G( p0 , p, q; p0' , p ', q ') ( p q p ' q ') ( p0 p0' )( p0 , p, q; p ')
V ( p0 , p, q; p0'' , p '', q '') ( p q p ' q ') ( p0 p0' )V ( p0 , p, q; p ')
Thay (2.1.38) vào (2.1.37) ta thu được:
Fa,b1 ( p, q )( p0 , p, q; p ') dkV ( p0 , p, q , k ) ( p0 , k , q; p ')
( p p ') (1.39)
(2.1.38)
2i
Thật vậy thay(2.1.38) vào (2.1.37) ta có:
Fa,b1 ( p, q ) ( p q p ' q ') ( p0 p0' )( p0 , p, q; p ') dp0'' dp '' dq '' ( p0' p0'' )
( p q p '' q '')V ( p0 , p, q; p '') ( p '' q '' p ' q ') ( p0'' p0 )( p0'' , p '', q ''; p ')
( p p ') ( p0 p0' ) (q q ')
2i
(2.1.40)
Biến đổi đại lượng thứ 2 trong (2.1.40) ta nhận được:
( p q p ' q ') ( p0 p0' ) dp ''V ( p0 , p, q; p '')( p0 , p '', q ''; p ')
( p q p ' q ') ( p0 p0' ) dkV ( p0 , p, q, k ) ( p0 , k , q; p ')
(2.1.41)
25
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
