ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

TIẾT 60,61:

BÀI 5:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
I.

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

II.

TÍNH THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ

1


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Ví dụ
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5.
a) Dùng công thức hình học tính diện tích hp.
5

I =  (2x + 1)dx

b) Tính tích phân sau

1

Giải: Ta có S =

và

(AD + BC).CD =28 (đvdt)
2
5

I = (x +x) = 28
2

1

o


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

 y = f(x) lt u' c/[a;b]

Bài tốn: Tính diện tích hp  y = 0
 x = a; x = b


y

y = f(x)

b

S

 S =  f(x) dx
a

a

o

b

x

y

A’
b

b

a

a

- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì S =  f(x).dx =  f(x) dx
- Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì S = S' =

b

b

  -f(x) .dx =  f(x) dx
a
a

- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d] thì

S = S1 + S2 + S3
c

d

b

a

c

d

=  f(x).dx +   -f(x) .dx +  f(x).dx
c

d

b

b

a

c

d

a

=  f(x) dx +  f(x) dx +  f(x) dx   f(x) .dx

y = - f(x)

B’

S’
o

a

S

A

y = f(x)

b x
B

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
 y = f(x) lt u' c /[a;b]
b

Bài tốn: Tính diện tích hp  y = 0
 S = f(x) dx
a
 x = a; x = b

Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối



y = x3

Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn bởi  y = 0
 x = -1; x = 2


S=

2



-1

0

2

17
x .dx   ( - x ).dx +  x 3.dx 
(đvdt)
3

-1

3

0

4

y

y = f(x)

S
o

a

b

x

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
 y = f (x) lt u c/[a;b]
'
Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng



y

x



1

= f (x) lt u' c/[a;b]
= a; x = b
2


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
 y = f 1 (x) lt u c/[a;b]
'


Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng  y = f 2 (x) lt u c/[a;b]
'

x = a; x = b



b

 S =  f1(x) - f 2 (x).dx
a

Em có thể tính S thơng qua S1 và S2 khơng?
- Xét TH f (x) ≥ f (x) ≥ 0 x  [a;b].
Và tính như thế nào?
 f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx
1

2

Khi đó S = S1 - S2

b

a

b

1

a

b

2

a

1

2


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y =

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng  y =

x=



f (x) lt u' c/[a;b]
f (x) lt u' c/[a;b]  S =
a; x = b
1

2

b

a f1 (x) - f 2 (x).dx

Cách tính:

x  c
[a;b]
- Giải pt f1(x) = f2(x)  
x  d
(f1(x) - f2(x) = 0)

- Tách tích phân thành

S=

b

c

d

b

a f1(x) - f 2 (x).dx = a f1(x) - f 2 (x)dx + c f1(x) - f 2 (x) dx + d f1 (x) - f 2 (x) dx
c

d

b

a

c

d

=  [f1 (x) - f 2 (x)]dx + [f1 (x) - f 2 (x)]dx + [f1 (x) - f 2 (x)]dx
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng:

 y = f1 (x) = 2x 2 - 4x +1

2
 y = f 2 (x) = x - 3x + 3
 x = 0; x = 3



BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
 y = f 1 (x) lt u c/[a;b]
'

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng  y =

x=



f (x) lt u' c/[a;b]
a; x = b
2

 y = f1 (x) = 2x 2 - 4x +1

Ví dụ: Tính diện tích hp:  y = f 2 (x) = x 2 - 3x + 3
 x = 0; x = 3


Giải: - Ta có f1(x) - f2(x) = x2 - x - 2 = 0
 x = -1[0;3]

 x = 2 (t/m)
2

3

0
2

2

- Ta có S = [f 2 (x) - f1(x)]dx +  [f1 (x) - f 2 (x)]dx
3

=  (-x +x+2)dx +  (x 2 -x-2)dx
2

0



31
(đvdt)
6

2

 S=

b

a f1 (x) - f 2 (x).dx


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Ví dụ: Cho các hình phẳng sau

Nhóm 1: Hãy cho biết S1 giới hạn bởi các đường nào?
Nhóm 2: Hãy nêu cơng thức tính diện tích S1 bằng tích phân trong đó đã phá bỏ
(khơng có) dấu giá trị tuyệt đối?
Nhóm 3: Hãy cho biết S2 giới hạn bởi các đường nào?
Nhóm 4: Hãy nêu cơng thức tính diện tích S2 bằng tích phân trong đó đã phá bỏ


Tóm lại
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

 y = f(x) lt u' c/[a;b]

Bài tốn: Tính dt S  y = 0
 x = a; x = b


y

y = f(x)

S

b

 S =  f(x) dx

a

o

a

b

Chú ý: Tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y =


y =

x=



f (x) lt u' c/[a;b]
Bài tốn: Tính dt S
f (x) lt u' c/[a;b]  S =
a; x = b
x  c

[a;b]
Cách tính: - Giải pt f1(x) - f2(x) = 0

x


d

1

2

b

a f1(x) - f 2 (x).dx

- Tách tích phân và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngồi dấu tích phân

S=

b

c

d

b

a f1(x) - f 2 (x).dx = a f1(x) - f 2 (x)dx + c f1(x) - f 2 (x) dx + d f1(x) - f 2 (x) dx

x


Tính diện tích của hình trịn và Elíp
R

S  4S1   R  x

Ta có:

2

2

y

R

0

Đặt x = Rsint

 S  4R

 /2

2

 
t   0; 
 2

 cos tdt
2

S1

R
x

O

0

 2R2

 /2

  1  cos2t  dt
0

 sin 2t   / 2
2
 2R  t 


R
0
2 

Với Elíp tương tự ta có:

y
b

2

S   ab

a
x

O

11


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

 y  x2

Bài tập về nhà: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:  y  2 x 2
y  4



BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

b
S = |f1(x)- f2(x)|.dx
a



Ví dụ :

(2)

h diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3 -3x và y = x
Giải :

Xét PT hđộ
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
x3gđiểm:
-3x = x
2
0
2
 x3 - 4x = 0
S= |x3- 4x|.dx = (x3- 4x)dx + (x3- 4x)dx
x= 2

 x= 0
x= -2

|



-2

|

x4
= ( -2x2)

4

| |

-2

|

0
-2

| |

x4
+ ( -2x2)
4

2
0

|

|

0

= |- 4+8 | + | 4-8 | = 8 (ñ.v.d.t)

|

2/ Tính diện tích hình tròn x2 + y2 = R2

Giaû
i  y  f (x)  R2  x2 (c )
1
1

Đặt x = R sint; Với

  
t  , 
 2 2

(1)  
  R  x  R Ta dx = R cost dt
2
2
 y  f (x)   R  x (c )

Coù

2
2
x   R  sint  1 t  
2
 x  R
f1(x)  f2(x)  0  

x


R

x  R  sint  1 t 





R

S

R2  x2  R2  x2 dx

R

2

R



R

R  x dx
2

2

S 2


2



2



 2

2



R2 1 sin2 t R costdt

2

1 cos2t
 2R  cos tdt  2R 
dt
2


2

2

2

2

2


2

 sin2t 
2
 R2  t 


R
dvdt

2  

2


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
 y = f1 (x) lt u c/[a;b]
'

Bài tốn: Tính dt hình phẳng S

Ví dụ: Tính diện tích hp:

Giải:



y =

x=



 y = ex

y = 1
 x = 1;


f (x) lt u' c/[a;b]
a; x = b
2

x=2

- Ta có pt ex = 1
 x = 0  [1;2]
2

2

- Ta có S =  e - 1dx =  (e x - 1)dx
x

1

1

2

= (ex - x) 1 = e2 - e - 1 (đvdt)

 S=

b

a f1 (x) - f 2 (x).dx


Thể tích của các vật thể:


II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
b

CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
y

V   S  x  dx

a







S(x)
S(X)

O

a

x

b

x
17


THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt và chóp cụt
Cho khối chóp (nón) có
diện tích đáy là S, đường y
cao là h. Tính thể tích khối
chóp (nón) đó.



Ta có:

b



V   S  x  dx

S

a

Xét phép:
x
h
O

x2
V : S  S  x  S  x  2 S
h
h
S
Sh
 V  2  x 2 dx 
h 0
3

O

S(x)

x

x

h

18


THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt
và chóp cụt

• Từ cơng thức và cách tính thể tích khối nón, chóp, hãy xác
định cơng thức tính thể tích khối nón cụt và chóp cụt?
y

Ta có:


h

S
S
2
V  2  x dx  2  h3  h '3 
h h'
3h

S

2
2
h  h '  h  hh ' h ' 

S
.

S’

2

3
h
H
V 
S  SS '  S '
3





O

h’

h

x
19


THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY

a) Vật thể trịn xoay được sinh ra khi cho y = f(x) ltục
trên [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox có thể tích:
y
)
f(x
S(x)

O

x

a
b

x

b

V   S  x  dx    y dx
2

Ta có:

a

b

Vậy:

b

a

V    y dx
2

a

20


Ví dụ:
1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn
bởi đồ thị hàm số y= sinx , trên đoạn [0;] quay quanh Ox

Ta có:

y



V = 
sin2xdx =  1 - cos2x dx
0

0

= π (x - sin2x
2
2
=



2

2

(ñ.v.t.t)





)|0

2


O

x

2/ Tính thể tích giữa y= x2-4x quay quanh Ox, với 1  x  4
Giaûi:
4

V= π

(
∫x
1

2

4

- 4 x ) dx = π (x 4 - 8x 3 + 16 x 2 )dx
2

∫
1

1 5
16 3
4
= π ( x - 2x + x )
5
3

4

619π

(ñ.v.t.t)
=
15
1


x

b) Vật thể tròn xoay được
sinh ra khi cho x = g(y) liên
tục trên [a;b], y = a, y= b
quay quanh Oy có thể tích:

y

Tương tự trên ta có:
b

V    x dy
2

a

O

x
23